We developed effective criteria of singularities of differentiable maps in the following three topics. 1. We have newly developed a local theory originated by Darborx and Wilcynski in projective differential geometry of surfaces in relation with applications to computer vision. 2. Combining Geometric Algebra and classification theory of map-germs, we studied singularities arising in differential line geometry (ruled surfaces, line congruences, etc), that suggests a new method in Applied Geometry. 3. Using classification of map-germs and universal polynomials of singularities, we developed classical enumerative geometry of curves and surfaces, that proposes a new algebro-geometric approach to computer vision. 4. By means of `singularity criteria', we studied A-tangent spaces and logarithmic tangents to discriminants (free divisors).

Seeking for the complete foundation of the enumerative theory of singularities of maps, I have developed singular Chern class theory on various moduli spaces; in particular, together with collaborators I completed a sequence of works on zeta functions of homology characteristic classes of Hilbert schemes of points on a non-singular variety; I applied the theory of equivariant singular Chern classes to the classification theory of map-germs, that made a new breakthrough for computing singular Milnor numbers.

In this grant project, I developed in two directions my previous researches on the theory of equivariant singular Chern class. The first one is to establish a foundation of the Chern-MacPherson natural transformation for the category of quasi-projective Deligne-Mumford algebraic stacks (orbifolds) with proper representable morphisms. Furthermore, by the same mean, I gave an extension, for DM stacks mentioned above, of the Todd class transformation in the sense of Baum-Fulton-MacPherson and also the Hirzebruch class transformation in the sense of Brasselet-Schurmann-Yokura. The second one is that I tried to study the generating functions of singular Chern class of the Hilbert scheme of points on a smooth variety through the pushforward to the symmetric product. arguments. Finally, as a variant of enumerative geometry of singularities arising in differential topology, I studied about Vassiliev-type invariants and relative Thom polynomials for differentiable maps between smooth manifolds.

平成15年度において申請者は「同変チャーン・マクファーソン変換」の定式化・理論的基礎を与え,平成16年度においては,この理論の応用の端緒を開いた.
数理物理等との関係から,近年,オービフォルドやヒルベルト概型などの関する「(オービフォルド・)オイラー数に対する母関数」について多く研究が進められているが,申請者の試みは,これら既存の方針とはある意味で一線を画している.まず申請者は代数多様体の対称積に関して「同変オービフォルド・チャーン類」の母関数を導いた.これはオービフォルド・オイラー数に対する母関数の「ホモロジー類版」としての一般化である.さらに,より一般に「(任意の)群の置換表現に付随する同変チャーン類」の母関数(いわばチャーン類に関するデイ・ヴォールファルト型公式)に発展させた.これは空間が一点の場合,代数的数え上げ理論におけるデイ・ヴォールファルト公式に一致する.渦巻き積(wreath product)表現に関しても同種の公式を得た.
次のターゲットは,対称積の特異点解消として現れる種々の空間(配置空間のコンパクト化あるいはヒルベルト概型)に関するチャーン類の母関数である.さらに,より一般の空間概念である代数的スタックに対して、もっとも自然な"チャーン類理論"が上記「同変チャーン類」を"張り合わせる"ことで得られると予想している.また與倉氏(鹿児島大)らのモティヴィック・チャーン類理論の「同変版」は大変有望である.統一的な「同変特性類理論」の構築が期待される.

平成13年度では,平成12年度に引き続き,研究計画に載せている研究テーマ
(1)トム多項式および多重点公式,(2)特異多様体の特性類,(3)ジュネリック写像のヴァシリエフ型不変量,に関して,下記のように研究を行った.
(1)実特異点の複素化に対するトム多項式が特異点集合の自己交差類となることを示し,折り目特異点型の自己交差類が折り目写像が存在するための障害類を与えることを示した(佐伯氏(広大理),佐久間氏(近大理工)との共著).これについて,7月に北京で開かれた特異点論シンポジウムにて講演し,同年度秋期日本数学会にて結果報告した.また,7月に当該科研費により招聘したL.フェハー氏(ハンガリー,ブダペスト)と研究連絡を行い,群作用におけるトム多項式の理論から実特異点型の複素化のトム多項式に関して検討した.
(2)L.フェハーとの研究連絡において,代数的特異点型の高次トム多項式として,特異点集合のチャーン-マザー特性類のギジン準同型像を考え,簡単な場合に計算をすすめている.
(3)多様体からユークリッド空間へのジェネリック写像に関するヴァシリエフ型不変量の研究を進めた.とくにF.アイカルディ氏(イタリア,トリエステ)と研究連絡を行い,閉曲面から平面へのジェネリック写像の次数1ヴァシリエフ型不変量の積分公式に関して結果をまとめた.
また,曲面束からユークリッド空間へのジェネリック写像に対して,特異点の分岐集合が代表する特性類を判別トム多項式と呼ぶことにし,簡単な特異点型の場合に曲面束の特性類との関係を調べた.2002年1月の接触幾何・研究集会(函館)において,結果の一部を紹介した.

平成10年度では,9年度から引き続き,1)ジェネリック写像のヴァシリエフ型イソトピー不変量の研究,2)特異多様体のホモロジー特性類に関する研究,3)安定特異点型に対するトム多 項式(写像の特異点集合が代表するコホモロジー類)に関する研究を行った.
1.閉曲面からユークリッド平面への滑らかな安定写像に関するヴァシリエフ型不変量の研究を進めている.多重特異点芽の分類を用いて次数1の不変量について結果を得ているが,さらに次数1の不変量と特異値曲線のアーノルド不変量との関係などを検討した.結果の一部は,98年2月の国際研究集会(高知)などで公表している.
2. 近年,ブラスレ,諏訪,與倉,パルシンスキらにより,特異超曲面(又は完全交互特異多様体)のミルナー・ホモロジー特性類の研究が進んでいる.筆者は,與倉氏(鹿児島大理)とともに,ミルナー特性類に関するトム-セバスチアニ型公式およびクロス積公式を証明し,ミルナー特性類の持つ良い性質を明らかにした.これらについて99年2月のWorkshop “Classesde Milnor"(マルセイユ,仏)で公表し,現在論文を準備中である.
3. トム多項式を決定する問題について,リマーニ-シューチによる「一般化されたトム-ポントリャーギン構成の理論」(1998)を端緒に,新しいアプローチのあることが解ってきた.本年は(まだ公表されていない)リマーニの結果の確認とその一般化に関して検討した(現在,リマーニ氏と新しいプロジェクトを計画中).

90年代に入り、結び目等をはじめとする低次元多様体間のgeneric写像のトポロジーと特異点に関する研究が再燃している.そこで本件において、閉曲面M^2からEuclid平面R^2へのC^∞安定写像の大域的位相型に関する研究を行った.特に、V.A.Vassilievによる結び目不変量、V.I.Arnoldによる平面曲線不変量の構成方法を基に、安定写像f:M→R^2のisotopy同値類に対する「次数1のVassiliev型不変量」の構成を行った.即ち、A-有限確定多重写像芽R^2,S→R^2,0の分類(A-codim.=3,4)を行い、分類結果と分岐図式の解析から得られるVassiliev複体のhomologyを計算し、非自明な興味深いisotopy不変量を導くことができた.この新しい不変量は、特異値集合(輪郭線)D(f)をplane wave frontとみなすとき、ArnoldのJ^+-理論に深く関連するものと考えられる.しかし、現時点でまだ不明な点が多く、これらを解明する事がこれからの課題である.また、閉曲面MからR^4へのgeneric immerson、2次元結び目やその射影等に関するVassiliev型不変量を見つけること等も今後の問題として考えられ、低次元トポロジーの研究者と情報交換を進めている状況である.上記結果の一部は、平成9年1月に開催された京大数理解研・研究集会「実特異点のトポロジーと周辺話題(代表:佐伯修氏(広島大))」において発表した.数理研講究録に本研究に関する解説を載せる予定である(さらに数編の論文を準備中).この他にも、有限型複素解析的写像f:M→Nのdegenerate locus S(f)のホモロジー特性類(Chern-Schwartz-MacPerson class、Chern-Mather classなど)に関する研究、およびconstructible functionの位相的ラドン変換に関する研究を進めた.