円周上の穴あきトーラス束という三次元双曲多様体において、ライデマイスタートーションの消滅恒等式の新しい成立例を提示することができた。ライデマイスタートーションの消滅恒等式とは物理学の場の量子論から予想されている公式で、ある条件で指定されたライデマイスタートーションの値の集まりは逆数の和がゼロになるという内容である。ライデマイスタートーションの値の集まりを指定する条件は、ライデマイスタートーションの値を定める際に使用する多様体の基本群から特殊線形群SL(2;C)への準同型写像の選び方を制限する条件になっている。
当該年度では、円周上の穴あきトーラス束の中でもトンネル数が１という条件を満たす三次元双曲多様体のライデマイスタートーションの値を求める公式を穴あきトーラス束構造の特徴に注目して導出し、トンネル数が１の穴あきトーラス束のライデマイスタートーションの値を詳細に考察した。ライデマイスタートーションの値を詳細に考察したところ、多様体の基本群から特殊線形群SL(2;C)への準同型写像の集まりを定める多項式を利用しても同じ値が導出できることを発見し、証明を与えることができた。ライデマイスタートーションの値を多様体の基本群から特殊線形群SL(2;C)への準同型写像の集まりを定める多項式を利用しても導出できることの証明に当初は修正すべき部分があったが、消滅恒等式予想を提出した韓国の研究者Dongmin Gang氏, Seonhwa Kim氏および Seokbeom Yoon氏が企画したオンラインセミナーでの研究発表と意見交換を通じて、証明の検証と修正をすることができた。今回得られた基本群から特殊線形群SL(2;C)への準同型写像の集まりを定める多項式を利用してライデマイスタートーションの値を求める考察はテキサス大学ダラス校のAnh Tran氏と共同で進めている。

The geometric structures of 3-manifolds can be classified into the hyperbolic structures and the Seifert structures. This study has focused on 3-manifolds called Seifert manifolds, which admit Seifert structures, and determined the growth order of the asymptotic behavior of the higher-dimensional Reidemeister torsions and the limits of leading coefficients. Moreover the geometric meaning of the limit of leading coefficient was revealed. These results were derived from the explicit descriptions of the higher-dimensional Reidemeister torsions for Seifert manifolds.

平成24年度は3次元球面の分岐被覆空間のトポロジーとその分岐点集合である結び目との関係性を、分岐被覆空間の位相不変量"ライデマイスタートーション"に注目して考察した。考察の成果として、分岐点集合となる結び目から定義される"ねじれアレキサンダー不変量"の特殊値から、二重分岐被覆空間のライデマイスタートーションの値を導出する公式を得ることができた。より正確には、二重分岐被覆空間のライデマイスタートーションが、ねじれアレキサンダー不変量の有における特殊値に補正項をかけることで計算できるという仕組みを解明し、その補正項の具体的な表示を与えることに成功した。
この成果は、平成23年度までに得られていた結び目群のメタベリアン表現に対するねじれアレキサンダー不変量の研究と結び目の外部空間に対する被覆空間のねじれアレキサンダー不変量の因数分解公式に基づいている。平成24年度は、結び目の外部空間の被覆空間と3次元球面の分岐被覆空間についての比較を詳細に行い、二重分岐被覆空間のライデマイスタートーションを求めるのに必要な補正項を導出した。本研究課題における研究目標について基本的な部分は、おおむね達成できたといえる。
また本年度は、リー群の既約表現の列に対応したライデマイスタートーションの漸近挙動についても考察を行った。双曲多様体に関する既存の結果を異なる幾何構造をもつザイフェルト多様体の場合に拡張する次の成果が得られた。まず、トーラス結び目の外部空間として表されるザイフェルト多様体に関する漸近挙動について考察を行い、主要項のオーダーを上から評価する不等式を得た。さらに、ザイフェルト閉3次元多様体についても考察を進めた結果、漸近挙動における主要項のオーダー及び収束値を決定することに成功した。

結び目の外部空間の被覆空間のトポロジーを調査するために、被覆空間の位相不変量を結び目のねじれアレキサンダー不変量の積から計算する積公式を導出を行った。この公式の導出は、本研究課題の目的である「結び目(理論)と結び目に沿った分岐被服空間と呼ばれる空間のトポロジ-との関係をねじれアレキサンダー不変量を使って解明する」ことの過程において、中間地点に対応する。今回得られた積公式の適応対象である"結び目の外部空間の被服空間"と本研究課題の目的にある"結び目に沿った分岐被覆空間"との違いは、"Dehn filling"と呼ばれる3次元空間を変化させる操作によって記述される。本研究課題の目的達成のためには、今後さらに積公式の"Dehn filling"についての変化を詳細に考察する必要がある。今年度の成果の一つである積公式の導出は、パリ第7大学(フランス)所属のJerome Dubois氏との共同研究の成果である。
また、得られた積公式の具体例を様々な結び目を使って構成していく中で、結び目理論において最も基本的かつ重要といってよい結び目のアレキサンダー多項式とねじれアレキサンダー不変量との間の新たな関係を発見することができた。元来、ねじれアレキサンダー不変量はアレキサンダー多項式という結び目理論及び3次元トポロジーにおいて非常に有用な不変量を結び目群の線形表現と組み合わせることにより精密化を図ったものである。今回の発見は、結び目のねじれアレキサンダー不変量の中にアレキサンダー多項式自身が多項式の因子として現れる現象を発見し、解明することができた。今回の発見、考察においては、今年度交付された科学研究補助金による国内外での研究打ち合わせから多くの有益な情報を得ている。とりわけ、トロント大学(カナダ)の村杉邦夫教授との議論からは多くの示唆を受けることができた。