2022/09/28 更新

写真a

クマガイ タカシ
熊谷 隆
所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授

兼担

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学歴

  •  
    -
    1991年

    京都大学   理学研究科   数学  

  •  
    -
    1991年

    京都大学  

  •  
    -
    1989年

    京都大学   理学部   数学  

  •  
    -
    1989年

    京都大学  

学位

  • 京都大学   博士(理学)

経歴

  • 2022年04月
    -
    継続中

    早稲田大学   理工学術院   教授

  • 2010年10月
    -
    2022年03月

    京都大学   数理解析研究所   教授

  • 2007年04月
    -
    2010年09月

    京都大学   大学院理学研究科 数学・数理解析専攻   教授

所属学協会

  • 2015年
    -
    継続中

    Institute of Mathematical Statistics

  • 1991年
    -
    継続中

    日本数学会

 

研究分野

  • 数学基礎

  • 応用数学、統計数学

研究キーワード

  • 確率論

  • Probability Theory

論文

  • Spectral dimension of simple random walk on a long-range percolation cluster

    V.-H. Can, D.A. Croydon, T. Kumagai

    Electron. J. Probab.   27 ( 56 ) 1 - 37  2022年05月  [査読有り]

    DOI

  • Quenched invariance principle for long range random walks in balanced random environments

    Xin Chen, Zhen Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Annales de l'institut Henri Poincare (B) Probability and Statistics   57 ( 4 ) 2243 - 2267  2021年11月  [査読有り]

     概要を見る

    We establish via a probabilistic approach the quenched invariance principle for a class of long range random walks in independent (but not necessarily identically distributed) balanced random environments, with the transition probability from x to y on average being comparable to |x − y|−(d+α) with α ∈ (0, 2]. We use the martingale property to estimate exit time from balls and establish tightness of the scaled processes, and apply the uniqueness of the martingale problem to identify the limiting process. When α ∈ (0, 1), our approach works even for non-balanced cases. When α = 2, under a diffusive with the logarithmic perturbation scaling, we show that the limit of scaled processes is a Brownian motion.

    DOI

  • Quenched and averaged tails of the heat kernel of the two-dimensional uniform spanning tree

    M. T. Barlow, D. A. Croydon, T. Kumagai

    Probability Theory and Related Fields    2021年08月  [査読有り]

    DOI

  • Heat kernel upper bounds for symmetric Markov semigroups

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Journal of Functional Analysis   281 ( 4 ) 109074 - 109074  2021年08月  [査読有り]

    DOI

  • Quenched invariance principle for a class of random conductance models with long-range jumps

    Marek Biskup, Xin Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Probability Theory and Related Fields   180 ( 3-4 ) 847 - 889  2021年07月  [査読有り]

    DOI

  • Random conductance models with stable-like jumps: Quenched invariance principle

    Xin Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    The Annals of Applied Probability   31 ( 3 ) 1180 - 1231  2021年06月  [査読有り]

    DOI

  • Stability of heat kernel estimates for symmetric non-local Dirichlet forms

    Zhen-Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Memoirs of the American Mathematical Society   271 ( 1330 )  2021年05月  [査読有り]

     概要を見る

    <p>In this paper, we consider symmetric jump processes of mixed-type on metric measure spaces under general volume doubling condition, and establish stability of two-sided heat kernel estimates and heat kernel upper bounds. We obtain their stable equivalent characterizations in terms of the jumping kernels, variants of cut-off Sobolev inequalities, and the Faber-Krahn inequalities. In particular, we establish stability of heat kernel estimates for <inline-formula content-type="math/mathml">
    <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha">
    <mml:semantics>
    <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
    <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation>
    </mml:semantics>
    </mml:math>
    </inline-formula>-stable-like processes even with <inline-formula content-type="math/mathml">
    <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than-or-equal-to 2">
    <mml:semantics>
    <mml:mrow>
    <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
    <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo>
    <mml:mn>2</mml:mn>
    </mml:mrow>
    <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \ge 2</mml:annotation>
    </mml:semantics>
    </mml:math>
    </inline-formula> when the underlying spaces have walk dimensions larger than <inline-formula content-type="math/mathml">
    <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2">
    <mml:semantics>
    <mml:mn>2</mml:mn>
    <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation>
    </mml:semantics>
    </mml:math>
    </inline-formula>, which has been one of the major open problems in this area.</p>

    DOI

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for general symmetric pure jump processes

    Z.-Q. Chen, T. Kumagai, J. Wang

    Analysis and partial differential equations on manifolds, fractals and graphs, Adv. Anal. Geom., De Gruyter, Berlin   3   1 - 26  2021年01月  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Anomalous behavior of random walks on disordered media

    T. Kumagai

    In: Creative Complex Systems (K. Nishimura et al. (eds.)), Creative Economy, Springer     73 - 84  2021年  [招待有り]

    DOI

  • PERIODIC HOMOGENIZATION OF NONSYMMETRIC LÉVY-TYPE PROCESSES

    Xin Chen, Zhen Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Annals of Probability   49 ( 6 ) 2874 - 2921  2021年  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper we study homogenization problem for strong Markov processes on ℝd having infinitesimal gener (formula presented) in periodic media, where Π is a nonnegative measure on d that does not charge the origin 0, satisfies (formula presented) and can be singular with respect to the Lebesgue measure on ℝd. Under a proper scaling we show the scaled processes converge weakly to Lévy processes on ℝd. The results are a counterpart of the celebrated work (Asymptotic Analysis for Periodic Structures (1978) North-Holland; Ann. Probab. 13 (1985) 385–396) in the jump-diffusion setting. In particular, we completely characterize the homogenized limiting processes when b(x) is a bounded continuous multivariate 1-periodic ℝd -valued function, k(x,z) is a nonnegative bounded continuous function that is multivariate 1-periodic in both x and z variables and, in spherical coordinate (formula presented) (formula presented) with (formula presented) and e0 being any finite measure on the unit sphere (formula presented) in Rd. Different phenomena occur depending on the values of α; there are five cases: α ∈(0, 1), α = 1, α ∈ (1, 2), α = 2 and α ∈ (2,∞).

    DOI

  • Glauber dynamics for Ising models on randomregular graphs: cut-off and metastability

    Van Hao Can, Remco van der Hofstad, Takashi Kumagai

    Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics   18 ( 1 ) 1441 - 1482  2021年  [査読有り]

    DOI

  • Homogenization of Symmetric Stable-like Processes in Stationary Ergodic Media

    Xin Chen, Zhen-Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    SIAM Journal on Mathematical Analysis   53 ( 3 ) 2957 - 3001  2021年01月  [査読有り]

    DOI

  • Homogenization of symmetric jump processes in random media

    Xin Chen, Zhen Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Rev. Roumaine Math. Pures Appl.   66 ( 1 ) 83 - 105  2021年  [査読有り]  [招待有り]

  • Random conductance models with stable-like jumps: Heat kernel estimates and Harnack inequalities

    Xin Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Journal of Functional Analysis   279 ( 7 ) 108656 - 108656  2020年10月  [査読有り]

    DOI

  • Heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for symmetric Dirichlet forms

    Zhen-Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Advances in Mathematics     107269 - 107269  2020年07月  [査読有り]

    DOI

  • Time fractional Poisson equations: Representations and estimates

    Zhen Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Journal of Functional Analysis   278 ( 2 )  2020年01月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we study existence and uniqueness of strong as well as weak solutions for general time fractional Poisson equations. We show that there is an integral representation of the solutions of time fractional Poisson equations with zero initial values in terms of semigroup for the infinitesimal spatial generator L and the corresponding subordinator associated with the time fractional derivative. This integral representation has an integral kernel q(t,x,y), which we call the fundamental solution for the time fractional Poisson equation, if the semigroup for L has an integral kernel. We further show that q(t,x,y) can be expressed as a time fractional derivative of the fundamental solution for the homogeneous time fractional equation under the assumption that the associated subordinator admits a conjugate subordinator. Moreover, when the Laplace exponent of the associated subordinator satisfies the weak scaling property and its distribution is self-decomposable, we establish two-sided estimates for the fundamental solution q(t,x,y) through explicit estimates of transition density functions of subordinators.

    DOI

  • Stability of parabolic Harnack inequalities for symmetric non-local Dirichlet forms

    Zhen Qing Chen, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Journal of the European Mathematical Society   22 ( 11 ) 3747 - 3803  2020年  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we establish stability of parabolic Harnack inequalities for symmetric nonlocal Dirichlet forms on metric measure spaces under a general volume doubling condition. We obtain their stable equivalent characterizations in terms of the jumping kernels, variants of cutoff Sobolev inequalities, and Poincaré inequalities. In particular, we establish the connection between parabolic Harnack inequalities and two-sided heat kernel estimates, as well as with the Hölder regularity of parabolic functions for symmetric non-local Dirichlet forms.

    DOI

  • Elliptic Harnack inequalities for symmetric non-local Dirichlet forms

    Z.-Q. Chen, 熊谷 隆, J. Wang

    J. Math. Pures Appl.   125   1 - 42  2019年05月  [査読有り]

  • Heat kernel estimates for FIN processes associated with resistance forms

    D.A. Croydon, B.M. Hambly, 熊谷 隆

    Stoch. Proc. Their Appl.   129   2991 - 3017  2019年  [査読有り]

  • Products of random walks on finite groups with moderate growth

    G.-Y. Chen, 熊谷 隆

    Tohoku Math. J.   71 ( 2 ) 281 - 302  2019年  [査読有り]

  • Lamplighter Random Walks on Fractals

    Takashi Kumagai, Chikara Nakamura

    Journal of Theoretical Probability   31 ( 1 ) 68 - 92  2018年03月  [査読有り]

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    We consider on-diagonal heat kernel estimates and the laws of the iterated logarithm for a switch-walk-switch random walk on a lamplighter graph under the condition that the random walk on the underlying graph enjoys sub-Gaussian heat kernel estimates.

    DOI

  • Heat kernel estimates for time fractional equations

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai, Jian Wang

    Forum Mathematicum   30 ( 5 ) 1163 - 1192  2018年02月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we establish existence and uniqueness of weak solutions to general time fractional equations and give their probabilistic representations. We then derive sharp two-sided estimates for fundamental solutions of a family of time fractional equations in metric measure spaces.

    DOI

  • 複雑な系の上の異常拡散現象の解析

    熊谷 隆

    数学   70 ( 1 ) 81 - 100  2018年  [査読有り]  [招待有り]

  • Cutoff for lamplighter chains on fractals

    A. Dembo, 熊谷 隆, 中村ちから

    Electron. J. Probab.   23   1 - 21  2018年  [査読有り]

  • Cutoffs for product chains

    G.-Y. Chen, 熊谷 隆

    Stoch. Proc. Their Appl.   128 ( 11 ) 3840 - 3879  2018年  [査読有り]

  • Mean value inequalities for jump processes.

    Z.-Q. Chen, 熊谷 隆, J. Wang

    Stochastic Partial Differential Equations and Related Fields, In Honor of Michael Röckner, SPDERF, Bielefeld     421 - 437  2018年  [査読有り]  [招待有り]

  • Laws of the iterated logarithm for symmetric jump processes

    Panki Kim, Takashi Kumagai, Jian Wang

    BERNOULLI   23 ( 4A ) 2330 - 2379  2017年11月  [査読有り]

     概要を見る

    Based on two-sided heat kernel estimates for a class of symmetric jump processes on metric measure spaces, the laws of the iterated logarithm (LILs) for sample paths, local times and ranges are established. In particular, the LILs are obtained for beta-stable-like processes on alpha-sets with beta &gt; 0.

    DOI

  • Time-changes of stochastic processes associated with resistance forms

    David Croydon, Ben Hambly, Takashi Kumagai

    ELECTRONIC JOURNAL OF PROBABILITY   22 ( 82 ) 1 - 41  2017年  [査読有り]

     概要を見る

    Given a sequence of resistance forms that converges with respect to the Gromov-Hausdorff-vague topology and satisfies a uniform volume doubling condition, we show the convergence of corresponding Brownian motions and local times. As a corollary of this, we obtain the convergence of time-changed processes. Examples of our main results include scaling limits of Liouville Brownian motion, the Bouchaud trap model and the random conductance model on trees and self-similar fractals. For the latter two models, we show that under some assumptions the limiting process is a FIN diffusion on the relevant space.

    DOI

  • SUBSEQUENTIAL SCALING LIMITS OF SIMPLE RANDOM WALK ON THE TWO-DIMENSIONAL UNIFORM SPANNING TREE

    M. T. Barlow, D. A. Croydon, T. Kumagai

    ANNALS OF PROBABILITY   45 ( 1 ) 4 - 55  2017年01月  [査読有り]

     概要を見る

    The first main result of this paper is that the law of the (rescaled) two-dimensional uniform spanning tree is tight in a space whose elements are measured, rooted real trees continuously embedded into Euclidean space. Various properties of the intrinsic metrics, measures and embeddings of the subsequential limits in this space are obtained, with it being proved in particular that the Hausdorff dimension of any limit in its intrinsic metric is almost surely equal to 8/5. In addition, the tightness result is applied to deduce that the annealed law of the simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree is tight under a suitable rescaling. For the limiting processes, which are diffusions on random real trees embedded into Euclidean space, detailed transition density estimates are derived.

    DOI

  • Laws of the iterated logarithm for random walks on random conductance models.

    熊谷 隆, 中村ちから

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B59   141 - 156  2016年  [査読有り]

  • Stability and instability of Gaussian heat kernel estimates for random walks among time-dependent conductances

    Ruojun Huang, Takashi Kumagai

    ELECTRONIC COMMUNICATIONS IN PROBABILITY   21 ( 5 ) 1 - 11  2016年  [査読有り]

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    We consider time-dependent random walks among time-dependent conductances. For discrete time random walks, we show that, unlike the time-independent case, two-sided Gaussian heat kernel estimates are not stable under perturbations. This is proved by giving an example of a ballistic and transient time-dependent random walk on Z among uniformly elliptic time-dependent conductances. For continuous time random walks, we show the instability when the holding times are i.i.d. exp(1), and in contrast, we prove the stability when the holding times change by sites in such a way that the base measure is a uniform measure.

    DOI

  • Harnack inequalities and local central limit theorem for the polynomial lower tail random conductance model

    Omar Boukhadra, Takashi Kumagai, Pierre Mathieu

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   67 ( 4 ) 1413 - 1448  2015年10月  [査読有り]

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    We prove upper bounds on the transition probabilities of random walks with i.i.d. random conductances with a polynomial lower tail near 0. We consider both constant and variable speed models. Our estimates are sharp. As a consequence, we derive local central limit theorems, parabolic Harnack inequalities and Gaussian bounds for the heat kernel. Some of the arguments are robust and applicable for random walks on general graphs. Such results are stated under a general setting.

    DOI

  • QUENCHED INVARIANCE PRINCIPLES FOR RANDOM WALKS AND ELLIPTIC DIFFUSIONS IN RANDOM MEDIA WITH BOUNDARY

    Zhen-Qing Chen, David A. Croydon, Takashi Kumagai

    ANNALS OF PROBABILITY   43 ( 4 ) 1594 - 1642  2015年07月  [査読有り]

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    Via a Dirichlet form extension theorem and making full use of two-sided heat kernel estimates, we establish quenched invariance principles for random walks in random environments with a boundary. In particular, we prove that the random walk on a supercritical percolation cluster or among random conductances bounded uniformly from below in a half-space, quarter-space, etc., converges when rescaled diffusively to a reflecting Brownian motion, which has been one of the important open problems in this area. We establish a similar result for the random conductance model in a box, which allows us to improve existing asymptotic estimates for the relevant mixing time. Furthermore, in the uniformly elliptic case, we present quenched invariance principles for domains with more general boundaries.

    DOI

  • BOUNDARY HARNACK INEQUALITY FOR MARKOV PROCESSES WITH JUMPS

    Krzysztof Bogdan, Takashi Kumagai, Mateusz Kwasnicki

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   367 ( 1 ) 477 - 517  2015年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We prove a boundary Harnack inequality for jump-type Markov processes on metric measure state spaces, under comparability estimates of the jump kernel and Urysohn-type property of the domain of the generator of the process. The result holds for positive harmonic functions in arbitrary open sets. It applies, e. g., to many subordinate Brownian motions, Levy processes with and without continuous part, stable-like and censored stable processes, jump processes on fractals, and rather general Schrodinger, drift and jump perturbations of such processes.

  • Random walks on disordered media and their scaling limits

    Takashi Kumagai

    Lecture Notes in Mathematics   2101   1 - 159  2014年  [査読有り]

    DOI

  • Anomalous random walks and diffusions: From fractals to random media.

    熊谷 隆

    Proceedings of the ICM Seoul 2014   IV   75 - 94  2014年  [招待有り]

  • Biased random walk on critical Galton-Watson trees conditioned to survive

    D. A. Croydon, A. Fribergh, T. Kumagai

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   157 ( 1-2 ) 453 - 507  2013年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider the biased random walk on a critical Galton-Watson tree conditioned to survive, and confirm that this model with trapping belongs to the same universality class as certain one-dimensional trapping models with slowly-varying tails. Indeed, in each of these two settings, we establish closely-related functional limit theorems involving an extremal process and also demonstrate extremal aging occurs.

    DOI

  • Fluctuations of maxima of discrete Gaussian free fields on a class of recurrent graphs

    Takashi Kumagai, Ofer Zeitouni

    ELECTRONIC COMMUNICATIONS IN PROBABILITY   18   1 - 12  2013年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We provide conditions that ensure that the maximum of the Gaussian free field on a sequence of graphs fluctuates at the same order as the field at the point of maximal standard deviation; under these conditions, the expectation of the maximum is of the same order as the maximal standard deviation. In particular, on a sequence of such graphs the recentered maximum is not tight, similarly to the situation in Z but in contrast with the situation in Z(2). We show that our conditions cover a large class of "fractal" graphs.

    DOI

  • Markov chain approximations to nonsymmetric diffusions with bounded coefficients

    Jean-Dominique Deuschel, Takashi Kumagai

    Communications on Pure and Applied Mathematics   66 ( 6 ) 821 - 866  2013年06月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider a certain class of nonsymmetric Markov chains and obtain heat kernel bounds and parabolic Harnack inequalities. Using the heat kernel estimates, we establish a sufficient condition for the family of Markov chains to converge to nonsymmetric diffusions. As an application, we approximate nonsymmetric diffusions in divergence form with bounded coefficients by nonsymmetric Markov chains. This extends the results by Stroock and Zheng to the nonsymmetric divergence forms. © 2011 Wiley Periodicals, Inc.

    DOI

  • Discrete approximation of symmetric jump processes on metric measure spaces

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   155 ( 3-4 ) 703 - 749  2013年04月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper we give general criteria on tightness and weak convergence of discrete Markov chains to symmetric jump processes on metric measure spaces under mild conditions. As an application, we investigate discrete approximation for a large class of symmetric jump processes. We also discuss some application of our results to the scaling limit of random walk in random conductance.

    DOI

  • On the equivalence of parabolic Harnack inequalities and heat kernel estimates

    Martin T. Barlow, Alexander Grigor'yan, Takashi Kumagai

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   64 ( 4 ) 1091 - 1146  2012年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We prove the equivalence of parabolic Harnack inequalities and sub-Gaussian heat kernel estimates in a general metric measure space with a local regular Dirichlet form.

    DOI CiNii

  • Convergence of mixing times for sequences of random walks on finite graphs

    D. A. Croydon, B. M. Hambly, T. Kumagai

    ELECTRONIC JOURNAL OF PROBABILITY   17   1 - 32  2012年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We establish conditions on sequences of graphs which ensure that the mixing times of the random walks on the graphs in the sequence converge. The main assumption is that the graphs, associated measures and heat kernels converge in a suitable Gromov-Hausdorff sense. With this result we are able to establish the convergence of the mixing times on the largest component of the Erdros-Renyi random graph in the critical window, sharpening previous results for this random graph model. Our results also enable us to establish convergence in a number of other examples, such as finitely ramified fractal graphs, Galton-Watson trees and the range of a high-dimensional random walk.

    DOI

  • GLOBAL HEAT KERNEL ESTIMATES FOR SYMMETRIC JUMP PROCESSES

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   363 ( 9 ) 5021 - 5055  2011年09月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we study sharp heat kernel estimates for a large class of symmetric jump-type processes in R(d) for all t &gt; 0. A prototype of the processes under consideration are symmetric jump processes on R(d) with jumping intensity
    1/Phi(vertical bar x - y vertical bar)integral([alpha 1, alpha 2])c(alpha, x, y)/vertical bar x - y vertical bar(d+alpha) nu(d alpha),
    where nu is a probability measure on [alpha(1), alpha(2)] subset of (0, 2), Phi is an increasing function on [0, infinity) with c(1)e(c2r beta) &lt;= Phi(r) &lt;= c(3)e(c4r beta) with beta is an element of (0, infinity), and c(alpha, x, y) is a jointly measurable function that is bounded between two positive constants and is symmetric in (x, y). They include, in particular, mixed relativistic symmetric stable processes on R(d) with different masses. We also establish the parabolic Harnack principle.

    DOI

  • Convergence of symmetric Markov chains on ℤd

    R.F. Bass, T. Kumagai, T. Uemura

    Probability Theory and Related Fields   148 ( 1-2 ) 107 - 140  2010年09月  [査読有り]

    DOI

  • Diffusion on the Scaling Limit of the Critical Percolation Cluster in the Diamond Hierarchical Lattice

    B. M. Hambly, T. Kumagai

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   295 ( 1 ) 29 - 69  2010年04月  [査読有り]

     概要を見る

    We construct critical percolation clusters on the diamond hierarchical lattice and show that the scaling limit is a graph directed random recursive fractal. A Dirichlet form can be constructed on the limit set and we consider the properties of the associated Laplace operator and diffusion process. In particular we contrast and compare the behaviour of the high frequency asymptotics of the spectrum and the short time behaviour of the on-diagonal heat kernel for the percolation clusters and for the underlying lattice. In this setting a number of features of the lattice are inherited by the critical cluster.

    DOI

  • Symmetric jump processes: Localization, heat kernels and convergence

    Richard F. Bass, Moritz Kassmann, Takashi Kumagai

    ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-PROBABILITES ET STATISTIQUES   46 ( 1 ) 59 - 71  2010年02月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider symmetric processes of pure jump type. We prove local estimates on the probability of exiting balls, the Holder continuity of harmonic functions and of heat kernels, and convergence of a sequence of such processes.

    DOI J-GLOBAL

  • A priori hölder estimate, parabolic harnack principle and heat kernel estimates for diffusions with jumps

    Z.-Q. Chen, T. Kumagai

    Revista Matematica Iberoamericana   26 ( 2 ) 551 - 589  2010年  [査読有り]

  • Uniqueness of Brownian motion on Sierpiński carpets

    M.T. Barlow, R.F. Bass, T. Kumagai, A. Teplyaev

    Journal of the European Mathematical Society   12 ( 3 ) 655 - 701  2010年  [査読有り]

    DOI

  • On heat kernel estimates and parabolic Harnack inequality for jump processes on metric measure spaces

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai

    ACTA MATHEMATICA SINICA-ENGLISH SERIES   25 ( 7 ) 1067 - 1086  2009年07月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we discuss necessary and sufficient conditions on jumping kernels for a class of jump-type Markov processes on metric measure spaces to have scale-invariant finite range parabolic Harnack inequality.

    DOI

  • Parabolic Harnack inequality and heat kernel estimates for random walks with long range jumps

    Martin T. Barlow, Richard F. Bass, Takashi Kumagai

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT   261 ( 2 ) 297 - 320  2009年02月  [査読有り]

     概要を見る

    We investigate the relationships between the parabolic Harnack inequality, heat kernel estimates, some geometric conditions, and some analytic conditions for random walks with long range jumps. Unlike the case of diffusion processes, the parabolic Harnack inequality does not, in general, imply the corresponding heat kernel estimates.

    DOI

  • Heat kernel upper bounds for jump processes and the first exit time

    Martin T. Barlow, Alexander Grigor&apos;yan, Takashi Kumagai

    JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK   626   135 - 157  2009年01月  [査読有り]

    DOI

  • Heat kernel estimates for strongly recurrent random walk on random media

    Takashi Kumagai, Jun Misumi

    JOURNAL OF THEORETICAL PROBABILITY   21 ( 4 ) 910 - 935  2008年12月  [査読有り]

     概要を見る

    We establish general estimates for simple random walk on an arbitrary infinite random graph, assuming suitable bounds on volume and effective resistance for the graph. These are generalizations of the results in Barlow et al. (Commun. Math. Phys. 278:385-431, 2008, Sects. 1, 2) and in particular imply the spectral dimension of the random graph. We will also give an application of the results to random walk on a long-range percolation cluster.

    DOI

  • Weighted Poincaré inequality and heat kernel estimates for finite range jump processes

    Z.-Q. Chen, P. Kim, T. Kumagai

    Mathematische Annalen   342 ( 4 ) 833 - 883  2008年12月  [査読有り]

    DOI

  • Random walks on Galton-Watson trees with infinite variance offspring distribution conditioned to survive

    David Croydon, Takashi Kumagai

    ELECTRONIC JOURNAL OF PROBABILITY   13   1419 - 1441  2008年08月  [査読有り]

     概要を見る

    We establish a variety of properties of the discrete time simple random walk on a Galton-Watson tree conditioned to survive when the offspring distribution, Z say, is in the domain of attraction of a stable law with index alpha is an element of (1,2]. In particular, we are able to prove a quenched version of the result that the spectral dimension of the random walk is 2 alpha/(2 alpha-1). Furthermore, we demonstrate that when alpha is an element of (1,2) there are logarithmic fluctuations in the quenched transition density of the simple random walk, which contrasts with the log-logarithmic fluctuations seen when alpha=2. In the course of our arguments, we obtain tail bounds for the distribution of the nth generation size of a Galton-Watson branching process with offspring distribution Z conditioned to survive, as well as tail bounds for the distribution of the total number of individuals born up to the nth generation, that are uniform in n.

  • Random walk on the incipient infinite cluster for oriented percolation in high dimensions

    Martin T. Barlow, Antal A. Jarai, Takashi Kumagai, Gordon Slade

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   278 ( 2 ) 385 - 431  2008年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider simple random walk on the incipient infinite cluster for the spread-out model of oriented percolation on Z(d) x Z(+). In dimensions d &gt; 6, we obtain bounds on exit times, transition probabilities, and the range of the random walk, which establish that the spectral dimension of the incipient infinite cluster is 4/3, and thereby prove a version of the Alexander-Orbach conjecture in this setting. The proof divides into two parts. One part establishes general estimates for simple random walk on an arbitrary infinite random graph, given suitable bounds on volume and effective resistance for the random graph. A second part then provides these bounds on volume and effective resistance for the incipient infinite cluster in dimensions d &gt; 6, by extending results about critical oriented percolation obtained previously via the lace expansion.

    DOI

  • Heat kernel estimates for jump processes of mixed types on metric measure spaces

    Zhen-Qing Chen, Takashi Kumagai

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   140 ( 1-2 ) 277 - 317  2008年01月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper, we investigate symmetric jump-type processes on a class of metric measure spaces with jumping intensities comparable to radially symmetric functions on the spaces. The class of metric measure spaces includes the Alfors d-regular sets, which is a class of fractal sets that contains geometrically self-similar sets. A typical example of our jump-type processes is the symmetric jump process with jumping intensity e(-c0(x,y)|x-y|) integral(alpha 2)(alpha 1)c(alpha,x,y)/|x-y|(d+alpha) nu(d alpha)
    where nu is a probability measure on [alpha(1), alpha(2)] subset of (0, 2), c(alpha, x, y) is a jointly measurable function that is symmetric in (x, y) and is bounded between two positive constants, and c(0)(x, y) is a jointly measurable function that is symmetric in (x, y) and is bounded between gamma(1) and gamma(2), where either gamma(2) &gt;= gamma(1) &gt; 0 or gamma(1) = gamma(2) = 0. This example contains mixed symmetric stable processes on R-n as well as mixed relativistic symmetric stable processes on R-n. We establish parabolic Harnack principle and derive sharp two-sided heat kernel estimate for such jump-type processes.

    DOI

  • Recent developments of analysis on fractals.

    熊谷 隆

    Translations, Series 2, Volume 223, pp. 81--95, Amer. Math. Soc. 2008.    2008年  [査読有り]

  • Symmetric markov chains on Z(d) with unbounded range

    Richard F. Bass, Takashi Kumagai

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   360 ( 4 ) 2041 - 2075  2008年  [査読有り]

     概要を見る

    We consider symmetric Markov chains on Z(d) where we do not assume that the conductance between two points must be zero if the points are far apart. Under a uniform second moment condition on the conductances, we obtain upper bounds on the transition probabilities, estimates for exit time probabilities, and certain lower bounds on the transition probabilities. We show that a uniform Harnack inequality holds if an additional assumption is made, but that without this assumption such an inequality need not hold. We establish a central limit theorem giving conditions for a sequence of normalized symmetric Markov chains to converge to a diffusion on R-d corresponding to an elliptic operator in divergence form.

    DOI

  • Heat kernel estimates on the incipient infinite cluster for critical branching processes.

    藤井一朗, 熊谷 隆

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B6   85 - 95  2008年  [査読有り]

  • On the dichotomy in the heat kernel two sided estimates

    Alexander Grigor'yan, Takashi Kumagai

    ANALYSIS ON GRAPHS AND ITS APPLICATIONS   77   199 - +  2008年  [査読有り]

     概要を見る

    We study the off-diagonal estimates for transition densities of diffusions and jump processes in a setting when they depend essentially only on the time and distance. We state and prove the dichotomy for the tail of the transition density.

  • On the dichotomy in the heat kernel two sided estimates.「(共著)」

    熊谷 隆

    In: Analysis on Graphs and its Applications (P. Exner et al. (eds.)), Proc. of Symposia in Pure Math. 77, pp. 199--210, Amer. Math. Soc. 2008   77   199 - +  2008年  [査読有り]

  • Heat kernel estimates on the incipient infinite cluster for critical branching processes (Proceedings of RIMS Workshop on Stochastic Analysis and Applications)

    FUJII Ichiro, KUMAGAI Takashi

    数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu   6   85 - 95  2008年01月  [査読有り]

    CiNii

  • A trace theorem for Dirichlet forms on fractals

    Masanori Hino, Takashi Kumagai

    JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS   238 ( 2 ) 578 - 611  2006年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider a trace theorem for self-similar Dirichlet forms on self-similar sets to self-similar subsets. In particular, we characterize the trace of the domains of Dirichlet forms on Sierpinski gaskets and Sierpinski carpets to their boundaries, where the boundaries are represented by triangles and squares that confine the gaskets and the carpets. As an application, we construct diffusion processes on a collection of fractals called fractal fields. These processes behave as an appropriate fractal diffusion within each fractal component of the field. (C) 2006 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • Nash-type inequalities and heat kernels for non-local Dirichlet forms

    Jiaxin Hu, Takashi Kumagai

    KYUSHU JOURNAL OF MATHEMATICS   60 ( 2 ) 245 - 265  2006年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We use an elementary method to obtain Nash-type inequalities for non-local Dirichlet forms on d-sets. We obtain two-sided estimates for the corresponding heat kernels if the walk dimensions of heat kernels are less than two; these estimates are obtained by combining probabilistic and analytic methods. Our arguments partly simplify those used in Chen and Kumagi (Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets.

    DOI CiNii

  • Stability of parabolic Harnack inequalities on metric measure spaces

    Martin T. Barlow, Richard F. Bass, Takashi Kumagai

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   58 ( 2 ) 485 - 519  2006年04月  [査読有り]

     概要を見る

    Let (X, d, mu) be a metric measure space with a local regular Dirichlet form. We give necessary and sufficient conditions for a parabolic Harnack inequality with global space-time scaling exponent beta &gt;= 2 to hold. We show that this parabolic Harnack inequality is stable under rough isometrics. As a consequence, once such a Harnack inequality is established on a metric measure space, then it holds for any uniformly elliptic operator in divergence form on a manifold naturally defined from the graph approximation of the space.

    DOI CiNii

  • Random Walk on The Incipient Infinite Cluster on Trees

    M.T. Barlow, T. Kumagai

    Illinois Journal of Mathematics   50 ( 1 ) 33 - 65  2006年  [査読有り]

  • Characterization of sub-Gaussian heat kernel estimates on strongly recurrent graphs

    MT Barlow, T Coulhon, T Kumagai

    COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED MATHEMATICS   58 ( 12 ) 1642 - 1677  2005年12月  [査読有り]

     概要を見る

    Sub-Gaussian estimates for random walks are typical of fractal graphs. We characterize them in the strongly recurrent case, in terms of resistance estimates only, without assuming elliptic Harnack inequalities. (c) 2005 Wiley Periodicals, Inc.

    DOI

  • Construction of diffusion processes on fractals, d-sets, and general metric measure spaces

    T Kumagai, KT Sturm

    JOURNAL OF MATHEMATICS OF KYOTO UNIVERSITY   45 ( 2 ) 307 - 327  2005年  [査読有り]

     概要を見る

    We give a sufficient condition to construct non-trivial mu-symmetric diffusion processes on a locally compact separable metric measure space (M, rho, mu). These processes are associated with local regular Dirichlet forms which are obtained as continuous parts of Gamma-limits for approximating non-local Dirichlet forms. For various fractals, we can use existing estimates to verify our assumptions. This shows that our general method of constructing diffusions can be applied to these fractals.

  • フラクタル上の解析学の展開

    熊谷 隆

    数学   56 ( 4 ) 337 - 350  2004年10月  [査読有り]

    DOI CiNii

  • Heat kernel estimates and parabolic harnack inequalities on graphs and resistance forms

    T Kumagai

    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   40 ( 3 ) 793 - 818  2004年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We summarize recent work on heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for graphs, where the time scale is the beta-th power of the space scale for some,8 greater than or equal to 2. We then discuss self-adjoint operators induced by resistance forms. Using a resistance metric, we give a simple condition for detailed heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities. As an application, we show that on trees a detailed two-sided heat kernel estimate is equivalent to some volume growth condition.

    DOI CiNii

  • Recent developments of analysis on fractals (in Japanese)

    熊谷 隆

    "Sugaku", Iwanami-shoten,56/4, 337-350    2004年  [査読有り]

  • Heat kernel estimates and law of the iterated logarithm for symmetric random walks on fractal graphs「(共著)」

    熊谷 隆

    In: Discrete Geometric Analysis, (M. Kotani et al. (eds.)), Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc.,347, 153-172    2004年  [査読有り]

  • Brownian motions on fractals

    熊谷 隆

    Bulletin de liaison,7, 1-17    2004年

  • Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometrics

    BM Hambly, T Kumagai

    FRACTAL GEOMETRY AND APPLICATIONS: A JUBILEE OF BENOIT MANDELBROT - MULTIFRACTALS, PROBABILITY AND STATISTICAL MECHANICS, APPLICATIONS, PT 2   72 ( 2 ) 233 - 259  2004年  [査読有り]

     概要を見る

    We examine a class of fractal graphs which arise from a subclass of finitely ramified fractals. The two-sided heat kernel estimates for these graphs are obtained in terms of an effective resistance metric and they are best possible up to constants. If the graph has symmetry, these estimates can be expressed as the usual Gaussian or sub-Gaussian estimates. However, without symmetry, the off-diagonal terms show different decay in different directions. We also discuss the stability of the sub-Gaussian heat kernel estimates under rough isometrics.

  • Function spaces and stochastic processes on fractals

    T Kumagai

    FRACTAL GEOMETRY AND STOCHASTICS III   57   221 - 234  2004年  [査読有り]

     概要を見る

    We summarize recent work on function spaces and stochastic processes on fractals. We discuss relations between various non-local Dirichlet forms on fractals whose domains are Besov spaces. The corresponding stochastic processes are jump-type processes. Results on heat kernel estimates for the processes are introduced. We will also discuss how jump processes and diffusion processes are related by observing their function spaces.

  • Homogenization on finitely ramified fractals.

    熊谷 隆

    Adv. Stud. Pure Math.   41   189 - 207  2004年  [査読有り]

  • Diffusion processes on fractal fields: heat kernel estimates and large deviations

    BM Hambly, T Kumagai

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   127 ( 3 ) 305 - 352  2003年11月  [査読有り]

     概要を見る

    A fractal field is a collection of fractals with, in general, different Hausdorff dimensions, embedded in R-2. We will construct diffusion processes on such fields which behave as Brownian motion in R-2 outside the fractals and as the appropriate fractal diffusion within each fractal component of the field. We will discuss the properties of the diffusion process in the case where the fractal components tile R-2. By working in a suitable shortest path metric we will establish heat kernel bounds and large deviation estimates which determine the trajectories followed by the diffusion over short times.

    DOI

  • Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets

    ZQ Chen, T Kumagai

    STOCHASTIC PROCESSES AND THEIR APPLICATIONS   108 ( 1 ) 27 - 62  2003年11月  [査読有り]

     概要を見る

    The notion of d-set arises in the theory of function spaces and in fractal geometry. Geometrically self-similar sets are typical examples of d-sets. In this paper stable-like processes on d-sets are investigated, which include reflected stable processes in Euclidean domains as a special case. More precisely, we establish parabolic Harnack principle and derive sharp two-sided heat kernel estimate for such stable-like processes. Results on the exact Hausdorff dimensions for the range of stable-like processes are also obtained. (C) 2003 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

  • Some remarks for stable-like jump processes on fractals

    T Kumagai

    FRACTALS IN GRAZ 2001: ANALYSIS - DYNAMICS - GEOMETRY - STOCHASTICS     185 - 196  2003年  [査読有り]

     概要を見る

    We summarize recent work on non-local Dirichlet forms on fractals whose corresponding processes are stable-like jump processes. Especially, we introduce three natural non-local Dirichlet forms on d-sets and prove that these forms are equivalent.

  • Asymptotics for the spectral and walk dimension as fractals approach Euclidean space

    BM Hambly, T Kumagai

    FRACTALS-COMPLEX GEOMETRY PATTERNS AND SCALING IN NATURE AND SOCIETY   10 ( 4 ) 403 - 412  2002年12月  [査読有り]

     概要を見る

    We discuss the behavior of the dynamic dimension exponents for families of fractals based on the Sierpinski gasket and carpet. As the length scale factor for the family tends to infinity, the lattice approximations to the fractals look more like the tetrahedral or cubic lattice in Euclidean space and the fractal dimension converges to that of the embedding space. However, in the Sierpinski gasket case, the spectral dimension converges to two for all dimensions. In two dimensions, we prove a conjecture made in the physics literature concerning the rate of convergence. On the other hand, for natural families of Sierpinski carpets, the spectral dimension converges to the dimension of the embedding Euclidean space. In general, we demonstrate that for both cases of finitely and infinitely ramified fractals, a variety of asymptotic values for the spectral dimension can be achieved.

    DOI

  • Function spaces and stochastic processes on fractals (ポテンシャル論とその周辺 研究集会報告集)

    熊谷 隆

    数理解析研究所講究録   1293   42 - 54  2002年11月

    CiNii

  • Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in two and three dimensions

    RF Bass, T Kumagai

    ANNALS OF PROBABILITY   30 ( 3 ) 1369 - 1396  2002年07月  [査読有り]

     概要を見る

    Let S-n be a random walk in Z(d) and let R-n be the range of Sn. We prove an almost sure invariance principle for R-n when d = 3 and a law of the iterated logarithm for R-n when d = 2.

    DOI

  • Construction of diffusion processes penetrating fractals--An application of the theory of Besov spaces (調和解析学と非線形偏微分方程式 研究集会報告集)

    熊谷 隆

    数理解析研究所講究録   1235   91 - 114  2001年10月

    CiNii

  • Fluctuation of the transition density for Brownian motion on random recursive Sierpinski gaskets

    BM Hambly, T Kumagai

    STOCHASTIC PROCESSES AND THEIR APPLICATIONS   92 ( 1 ) 61 - 85  2001年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider a class of random recursive Sierpinski gaskets and examine the short-time asymptotics of the on-diagonal transition density for a natural Brownian motion. In contrast to the case of divergence form operators in R-n or regular fractals we show that there are unbounded fluctuations in the leading order term. Using the resolvent density we are able to explicitly describe the fluctuations in time at typical points in the fractal and, by considering the supremum and infimum of the on-diagonal transition density over all points in the fractal, we can also describe the fluctuations in space. (C) 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved.

    DOI

  • Transition density asymptotics for some diffusion processes with multi-fractal structures

    Martin T. Barlow, Takashi Kumagai

    Electronic Journal of Probability   6   1 - 23  2001年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We study the asymptotics as t→0 of the transition density of a class of μ-symmetric diffusions in the case when the measure μ has a multi-fractal structure. These diffusions include singular time changes of Brownian motion on the unit cube. © 2001 Applied Probability Trust.

    DOI

  • Laws of the iterated logarithm for some symmetric diffusion processes

    RF Bass, T Kumagai

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   37 ( 3 ) 625 - 650  2000年09月  [査読有り]

    CiNii

  • Transition density estimates for diffusion processes on homogeneous random Sierpinski carpets

    BM Hambly, T Kumagai, S Kusuoka, XY Zhou

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   52 ( 2 ) 373 - 408  2000年04月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider homogeneous random Sierpinski carpets, a class of infinitely ramified random fractals which have spatial symmetry but which do not have exact self-similarity. For a fixed environment we construct "natural" diffusion processes on the fractal and obtain upper and lower estimates of the transition density for the process that are up to constants best possible. By considering the random case, when the environment is stationary and ergodic, we deduce estimates of Aronson type.

    CiNii

  • Large deviations for Brownian motion on the Sierpinski gasket

    G Ben Arous, T Kumagai

    STOCHASTIC PROCESSES AND THEIR APPLICATIONS   85 ( 2 ) 225 - 235  2000年02月  [査読有り]

     概要を見る

    We study large deviations for Brownian motion on the Sierpinski gasket in the short time limit. Because of the subtle oscillation of hitting times of the process, no large deviation principle can hold. In fact, our result shows that there is an infinity of different large deviation principles for different subsequences, with different (good) rate functions. Thus, instead of taking the time scaling epsilon --&gt; 0, we prove that the large deviations hold for E-n(z) = (2/5)(n)z as n --&gt; infinity, using one parameter family of rate functions I-z (z is an element of [2/5, 1)). As a corollary, we obtain Strassen-type laws of the iterated logarithm. (C) 2000 Elsevier Science B.V. All rights reserved. MSG. 60F10; 60J60; 60J80.

  • Brownian motion penetrating fractals - An application of the trace theorem of Besov spaces

    T Kumagai

    JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS   170 ( 1 ) 69 - 92  2000年01月  [査読有り]

     概要を見る

    For a closed connected set F in R-n, assume that there is a local regular Dirichlet form (a symmetric diffusion process) on F whose domain is included in a Lipschitz space or a Besov space on F. Under some condition for the order of the space and the Newtonian 1-capacity of F; we prove that there exists a symmetric diffusion process on R-n which moves like the process on F and like Brownian motion on R-n outside F. As an application, we will show that when F is a nested fractal or a Sicrpinski carpet whose Hausdorff dimension is greater than n - 2, we can construct Brownian motion penetrating the fractal. For the proof we apply the technique developed in the theory of Besov spaces. (C) 2000 Academic Press.

    DOI

  • Stochastic processes on fractals and related topics

    熊谷 隆

    Sugaku Expositions , American Mathematical Society,13/1,55-71    2000年  [査読有り]

  • Transition density estimates for diffusion processes on post critically finite self-similar fractals

    BM Hambly, T Kumagai

    PROCEEDINGS OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY   78   431 - 458  1999年03月  [査読有り]

    DOI

  • Heat kernel estimates and homogenization for asymptotically lower dimensional processes on some nested fractals

    BM Hambly, T Kumagai

    POTENTIAL ANALYSIS   8 ( 4 ) 359 - 397  1998年06月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider the class of diffusions on fractals first constructed in [12] on the Sierpinski and abe gaskets. We give an alternative construction of the diffusion process using Dirichlet forms and extend the class of fractals considered to some nested fractals. We use the Dirichlet form to deduce Nash inequalities which give upper bounds on the short and long time behaviour of the transition density of the diffusion process. For short times, even though the diffusion lives mainly on a lower dimensional subset of the fractal, the heat flows slowly. For the long time scales the diffusion has a homogenization property in that rescalings converge to the Brownian motion on the fractal.

    DOI

  • フラクタル上の確率過程とその周辺

    熊谷 隆

    数学   49 ( 2 ) 158 - 172  1997年04月  [査読有り]

    DOI CiNii

  • Short time asymptotic behaviour and large deviation for Brownian motion on some affine nested fractals

    T Kumagai

    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   33 ( 2 ) 223 - 240  1997年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We study so called Varadhan type short time asymptotic estimates of heat kernels and Shilder type large deviation for Brownian motion on some affine nested fractals introduced in [7]. As a corollary to our approach, we obtain sharper estimates of heat kernels for a class of one dimensional diffusion processes studied in [8].

    DOI CiNii

  • Percolation on pre-Sierpinski carpets

    T Kumagai

    NEW TRENDS IN STOCHASTIC ANALYSIS     288 - 304  1997年  [査読有り]

     概要を見る

    We study tile Bernoulli bond percolation problem on planar pre-Sierpinski carpets, a class af infinitely ramified pre-fractals which has self-similarity but which is not periodic. Let p be the probability for each bond to be open. We show that for large p between 1/2 and 1, the probability that there is an open infinity-cluster from the origin is positive. Under some assumption, we also show that the critical probability is unique.

  • Stochastic processes on fractals and related topics (in Japanese)

    熊谷 隆

    Sugaku, Iwanami-shoten,49/2, 158-172    1997年  [査読有り]

  • Homogenization on nested fractals

    T Kumagai, S Kusuoka

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   104 ( 3 ) 375 - 398  1996年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We study the homogenization problem on nested fractals. Let X(t) be the continuous time Markov chain on the pre-nested fractal given by putting i.i.d. random resistors on each cell, It is proved that under some conditions, alpha(-n)X(tnEt) converges in law to a constant time change of the Brownian motion on the fractal as n --&gt; infinity, where alpha is the contraction rate and t(E) is a time scale constant. As the Brownian motion on fractals is not a semi-martingale, we need a different approach from the well-developed martingale method.

    DOI

  • Rotation invariance and characterization of a class of self-similar diffusion processes on the Sierpinski gasket.

    熊谷 隆

    "Algorithms, Fractals, and Dynamics. ", Plenum,/,131-142    1995年  [査読有り]

  • TRANSITION DENSITY ESTIMATES FOR BROWNIAN-MOTION ON AFFINE NESTED FRACTALS

    PJ FITZSIMMONS, BM HAMBLY, T KUMAGAI

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   165 ( 3 ) 595 - 620  1994年10月  [査読有り]

     概要を見る

    A class of affine nested fractals is introduced which have different scale factors for different similitudes but still have the symmetry assumptions of nested fractals. For these fractals estimates on the transition density for the Brownian motion are obtained using the associated Dirichlet form. An upper bound for the diagonal can be found using a Nash-type inequality, then probabilistic techniques are used to obtain the off-diagonal bound. The approach differs from previous treatments as it uses only the Dirichlet form and no estimates on the resolvent. The bounds obtained are expressed in terms of an intrinsic metric on the fractal.

    DOI

  • REGULARITY, CLOSEDNESS AND SPECTRAL DIMENSIONS OF THE DIRICHLET FORMS ON PCF SELF-SIMILAR SETS

    T KUMAGAI

    JOURNAL OF MATHEMATICS OF KYOTO UNIVERSITY   33 ( 3 ) 765 - 786  1993年10月  [査読有り]

  • ESTIMATES OF TRANSITION DENSITIES FOR BROWNIAN-MOTION ON NESTED FRACTALS

    T KUMAGAI

    PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS   96 ( 2 ) 205 - 224  1993年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We obtain upper and lower bounds for the transition densities of Brownian motion on nested fractals. Compared with the estimate on the Sierpinski gasket, the results require the introduction of a new exponent, d(J), related to the ''shortest path metric'' and ''chemical exponent'' on nested fractals. Further, Holder order of the resolvent densities, sample paths and local times are obtained. The results are obtained using the theory of multi-type branching processes.

    DOI

  • Construction and some properties of a class of non-symmetric diffusion processes on the Sierpinski gasket.

    熊谷 隆

    "Asymptotic Problems in Probability Theory : stochastic models and diffusions on fractals. " , Pitman,219-247    1993年  [査読有り]

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書籍等出版物

  • Stability of heat kernel estimates for symmetric non-local Dirichlet forms

    Chen, Zhen-Qing, 熊谷, 隆, 王, 健(数学)

    American Mathematical Society  2021年 ISBN: 9781470448639

  • Random Walks on Disordered Media and their Scaling Limits.

    熊谷 隆( 担当: 単著,  担当範囲: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 2101, École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XL--2010.)

    Springer  2014年02月

  • Probabilistic approach to geometry

    The Seasonal Institute of the Mathematical Society of Japan, 小谷, 元子, Hino, Masanori, 熊谷, 隆, 日本数学会

    Mathematical Society of Japan  2010年 ISBN: 9784931469587

  • Homogenization on finitely ramified fractals

    熊谷 隆

    Advanced Studies in Pure Math., 41, Stochastic Analysis and Related Topics in Kyoto (H. Kunita et al. (eds.)), MSJ,189-207  2004年

  • Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometries「(共著)」

    熊谷 隆

    In: Fractal geometry and applications: A Jubilee of B. Mandelbrot (M.L. Lapidus and M. van Frankenhuijsen (eds.)), Proc. of Symposia in Pure Math., Amer. Math. Soc.,72/2, 233-260  2004年

  • Function spaces and stochastic processes on fractals

    熊谷 隆

    In: Fractal geometry and stochastics III (C. Bandt et al. (eds.)), Progr. Probab., Birkhauser,57, 221-234  2004年

  • 複雑な系における確率論と実解析学の接点

    熊谷, 隆, 京都大学数理解析研究所

    [熊谷隆]  2003年12月

  • 確率論

    熊谷 隆

    共立出版,  2003年

  • Some remarks for stable-like jump processes on fractals

    熊谷 隆

    In: Trends in Math., Fractals in Graz 2001 (P. Grabner and W. Woess (eds.)),185-196  2002年

  • フラクタル上の確率過程についての研究

    熊谷, 隆

    [出版者不明]  1998年03月

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Misc

  • フィールズ賞で語る現代数学 21 ー確率論

    熊谷 隆

    数理科学     61 - 67  2018年02月  [招待有り]

    記事・総説・解説・論説等(商業誌、新聞、ウェブメディア)  

  • ランダム媒質とフラクタル

    熊谷 隆

    数学セミナー     26 - 31  2017年03月  [招待有り]

    記事・総説・解説・論説等(商業誌、新聞、ウェブメディア)  

  • 数理科学への確率論によるアプローチ

    熊谷 隆

    数理科学     5 - 6  2016年06月  [招待有り]

    記事・総説・解説・論説等(商業誌、新聞、ウェブメディア)  

  • GLOBAL HEAT KERNEL ESTIMATES FOR SYMMETRIC JUMP PROCESSES (vol 363, pg 5021, 2011)

    Zhen-Qing Chen, Panki Kim, Takashi Kumagai

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   367 ( 10 ) 7515 - 7515  2015年10月

    その他  

    DOI

  • Random conductance models on $\mathbb{Z}^d$ (Stochastic Processes and Statistical Phenomena behind PDEs)

    熊谷 隆

    数理解析研究所講究録   1823   97 - 106  2013年01月

    CiNii

  • マルコフ連鎖と混合時間 ―カード・シヤツフルの数理―

    熊谷 隆

    平成23 年8 月1 日から8 月5 日(第33 回)受講者数102 (延べ348)    2011年  [招待有り]

  • Weighted Poincare Inequality of Fractional Order (Stochastic Analysis of Jump Processes and Related Topics)

    Chen Zhen-Qing, Kim Panki, 熊谷 隆

    数理解析研究所講究録   1672   117 - 130  2010年01月

    CiNii

  • 臨界確率における確率モデルの熱伝導について

    熊谷 隆

    数理研 9.27    2006年

  • Multifractal formalisms for the local spectral and walk dimensions

    BM Hambly, J Kigami, T Kumagai

    MATHEMATICAL PROCEEDINGS OF THE CAMBRIDGE PHILOSOPHICAL SOCIETY   132   555 - 571  2002年05月  [査読有り]

     概要を見る

    We introduce the concepts of local spectral and walk dimension for fractals. For a class of finitely ramified fractals we show that, if the Laplace operator on the fractal is defined with respect to a multifractal measure, then both the local spectral and walk dimensions will have associated non-trivial multifractal spectra. The multifractal spectra for both dimensions can be calculated and are shown to be transformations of the original underlying multifractal spectrum for the measure, but with respect to the effective resistance metric.

    DOI

  • フラクタル上の解析学

    熊谷 隆

    「数理科学」(サイエンス社),/8,58-65    1999年  [招待有り]

  • 現代数学スナップショット/フラクタル図形の上の確率過程

    熊谷 隆

    数学セミナ-   36 ( 6 ) 44 - 48  1997年06月  [招待有り]

    CiNii

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Works(作品等)

  • フラクタル上の解析学の展開(日本数学会年会総合講演)

    2004年
    -
     

  • Recent developments of analysis on fractals

    2004年
    -
     

  • 確率モデルの上のランダムウォークの漸近挙動についての研究

    2003年
    -
    2004年

  • 放物型Harnack不等式の安定性に関する研究

    2003年
    -
    2004年

  • 飛躍型確率過程の熱核の研究

    2003年
    -
    2004年

  • Asymptotic behaviour of random walks on stochastic models

    2003年
    -
    2004年

  • Stability of parabolic Harnack inequalities on metric measure spaces

    2003年
    -
    2004年

  • Heat kernel estimates for Jump-type processes

    2003年
    -
    2004年

  • 多種の複雑系が混在する空間に於ける熱伝導について

    2001年
    -
    2002年

  • フラクタル上の飛躍型確率過程の研究

    2001年
    -
    2002年

  • Heat transfer on spaces with variour disordered media

    2001年
    -
    2002年

  • Jump-type processes on fractals

    2001年
    -
    2002年

  • 低次元ランダムウォークの訪問点に関する重複大数の法則について

    2000年
    -
     

  • Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in low dimensions

    2000年
    -
     

  • フラクタル上の拡散過程の熱核におけるマルチフラクタル性について

    1999年
    -
    2000年

  • Multi-fractal formalims for heat kernels of diffusion processes on fractals

    1999年
    -
    2000年

  • フラクタル上の確率過程に関する最近の話題(日本数学会秋季総合分科会特別講演)

    1999年
    -
     

  • Recent topics of stochastic processes on fractals.

    1999年
    -
     

  • フラクタル上の拡散過程とその解析(日本数学会年会特別講演)

    1992年
    -
     

  • Stochastic processes on fractals and related topics

    1992年
    -
     

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受賞

  • フンボルト賞

    2017年11月  

  • 大阪科学賞

    2017年11月  

  • 井上学術賞

    2017年02月  

  • 日本学術振興会賞

    2012年03月  

  • 日本数学会賞春季賞

    2004年  

  • Prize of the Mathematical Society of Japan

    2004年  

  • 日本数学会建部賞

    1997年  

  • Takebe-Award, Math. Soc. Japan

    1997年  

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 複雑な空間での解析と幾何の結びつきの解明

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2021年04月
    -
    2024年03月
     

    木上 淳, 白石 大典, 相川 弘明, 角 大輝, 秋山 茂樹, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 梶野 直孝

  • 複雑な系の上の異常拡散現象の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2017年04月
    -
    2022年03月
     

    熊谷 隆, 相川 弘明, Croydon David, 舟木 直久, 福島 竜輝, 木上 淳, 日野 正訓

     概要を見る

    1。熊谷とCroydonは、trapモデルのスケール極限で現れるFIN過程の詳細な熱核評価をquenchedとannealedの両方の場合に行った。この結果はB.M. Hambly氏との共著にまとめ、雑誌に掲載された。熊谷はまた、長距離の飛躍を許すようなランダム媒質(ランダムコンダクタンス)上のランダムウォークの漸近挙動を解析し、対応するランダムウォークのquenchedのスケール極限を解明し、さらにランダムウォークの熱核の精密な評価を導出した。この結果は、X. Chen氏とJ. Wang氏との共著論文にまとめ、雑誌に投稿中である。
    2。木上は、Dirichlet formの与えられた距離・測度空間列において、monotonicity という条件があればその射影極限上に Dirichlet form の列の自然な極限として Dirichlet form が構成でき、また対応する自己共役作用素のスペクトルが適当な意味で収束することを示した。日野は、自己相似フラクタルの典型例である2次元シルピンスキーガスケットにおいて、楠岡測度を底測度とする熱核の局所スペクトル次元の定量評価について研究を行った。行列のランダム積の理論を用いて、数式処理システムを援用することにより、従前に比べて高い精度の近似値を与えた。
    3。相川は、複雑領域のDirichlet最小固有値と、その複雑領域をベースに持つシリンダー上の熱方程式の正値優解の大域可積分性との関連を調べた。
    4。福島は、A. Ramirez氏と共同でランダム媒質中のランダムウォークの速度が非退化になる条件について研究を行い、空間次元が4以上で媒質の影響が小さい時に新しい十分条件を見出した。舟木は、相互作用粒子系から平均曲率運動、Stefan自由境界問題、発散項を含む特異な確率偏微分方程式である多成分KPZ方程式などの導出を行った。

  • 無限粒子系の確率解析学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(S)

    研究期間:

    2016年05月
    -
    2021年03月
     

    長田 博文, 種村 秀紀, 舟木 直久, 香取 眞理, 白井 朋之, 笹本 智弘, 熊谷 隆

     概要を見る

    長田博文は,IFC条件について,従来よりも一般的な十分条件を与えた.種村秀紀は,長距離相互作用をもつ無限個の剛体球の系をスコロホッド型確率微分方程式で表し,強解の一意性を研究し,また理論を飛躍型無限次元確率微分方程式への一般化した。
    白井朋之は,2次元球面上にランダム行列やラプラス・ベルトラミ作用素のスペクトルに由来する2種類の行列式点過程を考察し,そのスケール極限で Ginibre 点過程や一般化されたPaley-Wiener空間に付随する行列式点過程を導出した.
    舟木直久は相互作用粒子系から平均曲率運動,Stefan 自由境界問題,多成分KPZ方程式などを導出した.熊谷隆は長距離の飛躍を許すランダム媒質上のランダムウォークの漸近挙動を解析した.飛躍の確率が安定過程型で,その係数がランダムでランダムコンダクタンスについて,係数に弱い可積分条件を置くことで,対応するランダムウォークのスケール極限が安定過程になることを証明し,熱核の精密評価を導出した.
    香取眞理はアフィンルート系に付随するマクドナルド分母公式に着目し,行列式過程の楕円関数拡張を行った.2次元上の行列式点過程も構成し、それらの無限粒子極限としてジニブル過程とその2つの変形版を導いた.また,1成分プラズマ模型や2次元ガウス自由場との関連を議論した.笹本智弘は1次元KPZ普遍性クラスに属する多くのモデルを特別もしくは極限的な場合として含む確率的6頂点模型の定常状態の性質を明らかにした.定常状態を具体的に構成し,高さ関数の母関数を行列式を用いて表した.また1次元XXスピン鎖と呼ばれる量子スピン系のカレント揺らぎを,ランダム行列理論にも現れるBessel核を用いて記述した.

  • ランダム媒質上のダイナミックスの研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 特別研究員奨励費

    研究期間:

    2017年11月
    -
    2020年03月
     

    熊谷 隆, CAN VAN HAO, CAN HAO

     概要を見る

    昨年度に引き続き、Can氏とインフォーマルなセミナーを行い、さらにメールのやり取り等を通じて以下の研究を行った。
    1)正則なランダムグラフ上のグラウバーダイナミックスの混合時間のカットオフ現象について、van der Hofstad教授と3人の共著で以下の論文にまとめ、雑誌に投稿した。Van Hao Can, Remco van der Hofstad, Takashi Kumagai, Glauber dynamics for Ising models on random regular graphs: cut-off and metastability: arXiv:1912.07798
    この研究では、低温相(逆温度が大きい場合)で磁場が強ければカットオフ現象が起こり、磁場が弱ければ混合時間が指数増大する(メタスタビリティが起こる)ことを媒質のランダム性について確率1の場合(quenched caseと呼ばれる)と媒質のランダム性についても平均をとる場合(annealed caseと呼ばれる)について示した。さらに、annealed caseではカットオフ現象とメタスタビリティを隔てる臨界磁場が、正則樹木の上のイジング模型の臨界磁場と一致することも示した。
    2)定常なランダム媒質中のランダムウォークの熱核評価については、昨年に引き続き媒質の定常性を利用した熱核の下からの対角評価の研究を続けている。媒質に関する仮定が未だにかなりテクニカルな形になっているため、関連するJ.R. Lee氏の論文を詳しく解析することで、より自然な条件にできないかを検討している。また、主結果の応用について、long-range percolation以外の適用例を検討している。本研究については、引き続きCan氏とメール等で連絡を取りながら、共同研究を継続していく予定である。

  • 空間の構造と解析の関わりーフラクタルを出発点としてー

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2017年04月
    -
    2020年03月
     

    木上 淳, 白石 大典, 相川 弘明, 日野 正訓, 角 大輝, 秋山 茂樹, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 梶野 直孝, 桑田 和正

     概要を見る

    空間の性質を理解するための基礎理論の研究を行った。具体的にはコンパクトな距離空間の分割とその上の重み関数という概念を導入し、距離や測度に対応する自然な重み関数を定義した。この観点から、分割上の重み関数は距離や測度を包括する概念と考える事ができることを示し、更に重み関数が距離に対応するための必要十分条件が、分割と重み関数から決まる無限グラフがグロモフの意味で双曲的であること、重み関数の世界では、距離と距離が疑対称的であることと、測度が距離に対して2倍的である事が同じ概念であること、更に距離空間のアールフォース正則等角次元がエネルギーの臨界指数に一致することを示した。

  • 確率解析的手法によるマルコフ過程の研究と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2019年03月
     

    重川 一郎, 矢野 孝次, 熊谷 隆, 日野 正訓, 会田 茂樹

     概要を見る

    確率解析的な手法でマルコフ過程の研究を、ユークリド空間、リーマン多様体、Wiener 空間や道の空間などの無限次元空間など、さまざまな状態空間の場合を対象として行った。一次元拡散過程の場合に Kolmogorov 拡散過程のスペクトルの決定を、超対称性の枠組みで行った。また Kummer 過程の場合に、Zygmundt 空間や Orlicz 空間でスペクトルを決定した。
    その他縮小性を非対称な Dirichle 形式を使って特徴づけ、コンパクトなRiemann 多様体の場合に基本解の漸近挙動に応用した。また無限次元空間の典型例として Wiener 空間の上の非対称な拡散過程の構成を行った。

  • ディリクレ形式が定める局所構造に基づく確率論および幾何学の展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2019年03月
     

    日野 正訓, 桑江 一洋, 会田 茂樹, 熊谷 隆

     概要を見る

    確率論の研究において,確率微分方程式の理論と相補的な関係にあるディリクレ形式の理論の基礎的な進展を与えた.特に,ディリクレ形式が定める局所構造に基づく空間構造と確率論との関わりを1つの主要なテーマとする成果を挙げた.フラクタルのような,滑らかとは限らず,通常の微分の概念が定まっていないような状況にも有用となることを念頭に置いた理論展開を行った.

  • 大規模相互作用系の確率解析とその発展

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2019年03月
     

    舟木 直久, 長田 博文, 熊谷 隆, 三村 昌泰, 俣野 博, 乙部 厳己, 坂川 博宣, 謝 賓, 佐々田 慎子

     概要を見る

    多成分がカップルした KPZ(Kardar-Parisi-Zhang)方程式について、擬被制御解析に基づき定常測度の解析を行い、大域的適切性を示した。さらに、この特異な確率偏微分方程式が複数の保存量を持つ粒子系からスケール極限の下で導かれることを示した。また、確率的揺動項を持つ質量保存Allen-Cahn方程式の鋭敏界面極限、粒子系からの平均曲率運動の導出、方向依存性を持つノイズが加わった平均曲率運動、確率的保存則すなわち1階の非線形確率偏微分方程式、数理遺伝学で用いられる適応力学の数学的正当化、ランダム行列に関連する確率力学、ランダム媒質中のMarkov連鎖の研究等を行った。

  • 非局所作用素のポテンシャル論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 特別研究員奨励費

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2018年03月
     

    熊谷 隆, WANG JIAN, WANG Jian

     概要を見る

    今年度も京都大学数理解析研究所においてWang氏と定期的にインフォーマルなセミナーを行い、また海外から研究者を招聘してWang氏を交えて議論を行うことで、以下の進展が得られた。
    1)広い範疇のsubordinatorから作られる一般化された分数冪時間微分熱方程式の弱解の存在と一意性、そして解の確率論的表現について解析した。さらにこのような分数冪時間微分熱方程式の熱核の精密な上下評価を導出した。この結果は、Wang氏とZ.Q. Chen氏、P. Kim氏との共著論文にまとめ、雑誌に掲載予定である。
    2)長距離の飛躍を持つランダムコンダクタンスモデルで、特にコンダクタンスの形が安定過程型の場合に、コンダクタンスのある種の可積分条件の下で、媒質のランダム性に関して確率1でスケール極限が安定過程になることを証明した。この研究は、Wang氏と積み上げて来たstable-like processの熱核評価、ハルナック不等式の安定性の研究を発展させる方向であり、ランダムな非局所作用素のhomogenizationの問題にも繋がる重要性を持つ。現在、当該研究の成果をWang氏とX. Chen氏との共著論文として執筆中である。
    3)確率過程のthick pointの大偏差原理に関するDembo氏、Wang氏との共同研究は、技術的問題点が依然完全にはクリアできていない状況であるが、係数が周期関数かつ連続関数である場合には、divergence formの枠内で議論が進みうるという手応えを得ている。さらに議論を進め、共同研究の形にまとめることを目標としている。
    Wang氏とは今後も継続的に共同研究を行うことで合意を得ている。本研究で得られた安定性理論をさらに発展させて行きたいと考えている。

  • 無限粒子系とランダム行列の確率解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2017年03月
     

    長田 博文, 種村 秀紀, 白井 朋之, 香取 眞理, 熊谷 隆, 舟木 直久

     概要を見る

    干渉ブラウン運動のtagged粒子の不変原理に関して、従来より適切かつ精密な定式化を行い、Kipnis-Varadhanの不変原理の対応物が成立することを証明した。
    従来は、Palm測度に対して、無限個の環境粒子系にたいして、tagged粒子のブラウン運動への収束が「測度収束」の意味で成立するという形で、主張が定式化されてきた。これは、80年代前半に行われたGuo-Papanicolauの研究以来の伝統的な定式化ではあるが、tagged粒子から見た他の無限個の粒子家の挙動を記述する確率微分方程式に対する解析となるため、すぐには元来の問題との関係が分かりにくい。
    それに対して、今回は、粒子のラベルを考慮し構造に入れることにより、元々の平行移動不変な平衡分布に関して、可逆な確率力学を記述する確率微分方程式を考え、その個々の粒子が、ブラウン運動に初期条件に関して測度収束するという、より自然なわかりやすい定式化となった。
    また、応用として、1次元の無限粒子系が互いに衝突しない(順序を入れ替えない)という性質をもつとき、極限が常に退化するという結果を得た。この事実自体は、当然の結果だが、ポイントはこれが常に成立するということを、幾何的な結果から平易に示したという一般性を備えている点である。
    ランダム行列に関係する干渉ブラウン運動は、対数関数(2次元クーロンポテンシャル)で相互作用する確率力学である。また、干渉ブラウン運動を含む広い範囲の無限次元確率微分方程式に対して一般論を構築し、更に発展させている最中だが、これに関する最近の研究結果をまとめてreview論文として報告した。

  • フラクタルにおける代数的・幾何学的構造と解析の相互的な関わりの研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2017年03月
     

    木上 淳, 相川 弘明, 桑田 和正, 日野 正訓, 角 大輝, 秋山 茂樹, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 梶野 直孝, 小谷 元子, 亀山 敦, 太田 慎一, 伊藤 俊次, 高橋 智

     概要を見る

    自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

  • Kardar-Parisi-Zhang 方程式の確率解析的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2017年03月
     

    舟木 直久, 俣野 博, 佐々田 槙子, 長田 博文, 熊谷 隆, 乙部 厳己, 謝 賓, 笹本 智弘

     概要を見る

    Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式とは、揺動を伴う界面の成長を記述する非線形確率偏微分方程式である。数学的には発散項を含み不良設定になるが、これを除去する繰り込みの手法がフィールズ賞受賞者Hairerにより提唱され意味付けが可能となった。本研究では、KPZ方程式および多成分がカップルしたKPZ方程式の定常測度を特定し、方程式の時間大域的可解性を示した。さらに、関連する相互作用無限粒子系の行列式構造を新たに見出すなどの研究を行った。

  • 複雑な系の上の確率過程―離散モデルとそのスケール極限の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2017年03月
     

    熊谷 隆, 相川 弘明, 竹田 雅好, 日野 正訓, 舟木 直久, 木上 淳, 重川 一郎, 小谷 元子, 白井 朋之, 福島 竜輝

     概要を見る

    ランダムな媒質中のダイナミックスとそのスケール極限について、体系的に解析を行った。大きな成果としては次が挙げられる。i) 境界のあるランダムなコンダクタンス上のマルコフ連鎖について、媒質について確率1での収束定理を広い範疇で証明した。ii) 2次元一様全域木と呼ばれる、スケール極限が共形不変なモデルについて、その上のランダムウォークの部分列の収束性を示し、極限過程の熱核評価を行った。iii) 測度距離空間における飛躍型確率過程に関する熱核評価の安定性を証明した。

  • 空間複雑性と理想境界のポテンシャル解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2017年03月
     

    相川 弘明, 志賀 啓成, 須川 敏幸, 平田 賢太郎, 加須栄 篤, 木上 淳, 利根川 吉廣, 島内 宏和, 濱田 英隆, 濱野 佐知子, 松村 慎一, 川上 裕, 熊谷 隆

     概要を見る

    調和関数や熱方程式解,Green核,熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し,ユークリッド空間の複雑領域,多様体,バリフォールド,ネットワーク,フラクタルなど様々な分野に応用した.とくに,除外集合を許したHarnack原理,最小固有値の容量的幅による評価,大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件,放物型境界Harnack原理(Intrinsic Ultracontractivity)に対応する条件,グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率,無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た.

  • 量子スピン系の離散幾何解析学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2017年03月
     

    小谷 元子, 熊谷 隆, 塩谷 隆, 尾畑 伸明, 楯 辰哉, 宮岡 礼子

     概要を見る

    物性物理における基本的な研究題材である電気伝導性、特に電子のもつスピンに注目し波動関数のなすバンド構造のトポロジカルな性質であるトポロジカル絶縁体とその表面流について、無秩序系を含む定式化を非可換幾何学の枠組みで構成した。量子ウォークや、カーボンナノチューブにおける物性研究を行うために、離散曲面論を構築し、離散データから連続体の幾何学を抽出する方法を考察した。これによりミクロ構造とマクロ物性の関係を解明する方向性を見出した。

  • 測度・距離空間上の解析学の展開に向けてーCheeger 理論とフラクタル

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2016年03月
     

    木上 淳, 熊谷 隆, 日野 正訓, 梶野 直孝

     概要を見る

    測度・距離空間上の解析学の展開に向けて、その基礎となる位相空間上の距離と測度に関する bi-Lipschitz 同値、volume doubling property, quasisymmetry, Ahlfors 正則性などの諸性質を、空間の partition とそれに付随する gauge function の観点から統一的に扱う理論の構築を行った。またその理論を用いて、測度と距離の間の bi-Lipshitz 性が Ahlfors 正則と同値であることを示した。

  • 2次元クーロンポテンシャルによって相互作用する無限粒子系の確率幾何と確率力学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2016年03月
     

    長田 博文, 種村 秀紀, 舟木 直久, 白井 朋之, 熊谷 隆, 小谷 眞一, 香取 真理, 篠田 正人, 乙部 厳己

     概要を見る

    統計物理に典型的に現れるような、対称性を持つ無限次元確率微分方程式を解く一般論を構築した。特に、解のパスワイズ一意性や強解の存在を、非常に一般的な枠組みで証明した。これは、新規な方法であり、配置空間の末尾事象をあたかも、無限次元確率微分方程式の境界条件のように見做し、それが平衡分布に関して自明であることが強解の存在を意味することを示した。無限次元確率微分方程式に対して、末尾事象が自明である状況の下で、確率1となる集合が一意であるとき、パスワイズ一意性が成り立つことを証明した。
    この結果は、ランダム行列理論に現れる対数関数を干渉ポテンシャルとしてもつ無限次元確率微分方程式にも有効である。

  • 大規模相互作用系の確率解析とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2015年03月
     

    舟木 直久, 長田 博文, 俣野 博, 樋口 保成, 乙部 厳己, 種村 秀紀, 千代延 大造, 熊谷 隆, 半田 賢司, 吉田 伸生, 杉浦 誠, 市原 直幸, 西川 貴雄, 坂川 博宣, 謝 賓

     概要を見る

    揺動界面の成長を記述する KPZ 方程式の不変測度の解析を行った。この確率偏微分方程式は発散項を含み、数学的扱いには困難を伴う。動的2次元ヤング図形の非平衡揺動問題を論じ、スケール極限の下で確率偏微分方程式を導いた。自己組織的に集成する生物系に対し流体力学極限の手法を適用し巨視的描像へのリンクを与えた。動的ランダム行列理論において現れるAiry点過程、Ginibre点過程について、無限次元確率微分方程式の一意的強解の存在や堅牢性を示した。その他、パーコレーション、非線形拡散方程式、安定型雑音を伴う確率偏微分方程式等の研究を行った。

  • 非局所偏微分方程式におけるde Giorgi-Nash-Moser理論の構築

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2014年03月
     

    熊谷 隆, 石毛 和弘

     概要を見る

    非局所偏微分方程式や対応する飛躍型確率過程に関するde Giorgi-Nash-Moser理論や解のアプリオリ評価の現状と手法の整理し、様々なモデルの解析に用いた。測度付き距離空間の上の広い範疇の飛躍型確率過程(非局所偏微分方程式)について、境界Harnack不等式が成立するための十分条件を与え具体的な非局所方程式に応用した。また、fractional time derivative heat equationの熱核に関する研究を行った。

  • フラクタルの内的構造を巡る数学の諸分野の相互作用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2014年03月
     

    木上 淳, 亀山 敦, 相川 弘明, 伊藤 俊次, 日野 正則, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 長田 博文, 小谷 元子, 服部 哲弥, 高橋 智, 桒田 和正, 若野 功, 久保 雅義

     概要を見る

    本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

  • 無限次元確率解析と幾何学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2009年04月
    -
    2014年03月
     

    重川 一郎, 熊谷 隆, 杉田 洋, 会田 茂樹, 日野 正訓, 松本 裕行

     概要を見る

    主に、マルコフ過程を確率解析の手法で研究した。ここではマルコフ過程に付随する半群の挙動について主に調べた。まずリーマン多様体上の拡散過程を、半群の構成の立場から考察した。Laplace-Beltrami 作用素にベクトル場を加えた作用素を考え、ベクトル場の条件で半群が一意的に決まる条件を与えた。
    次に半群の凸集合の保存性に関する条件を整理した。Banach 空間の場合には生成作用素で条件を記述し、Hilbert 空間の場合は Dirichlet 形式を用いて条件を与えた。
    また対数 Sobolev 不等式の条件の下で不変測度への収束の速さを考察した。関連して双対超縮小性の条件を調べた。

  • 複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2013年03月
     

    熊谷 隆, 相川 弘明, 重川 一郎, 木上 淳, 日野 正訓, 上村 稔大, 舟木 直久, 竹田 雅好, 小谷 元子, 吉田 伸生

     概要を見る

    確率論的手法と実解析的手法を融合的に用いることで、複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程を統一的に解析する研究を行った。一般論を展開する観点からは、cycle条件を満たす非対称なマルコフ連鎖の熱核の評価とそのスケール極限の解析、測度付き距離空間上の対称拡散過程に関する熱核の劣ガウス型評価と一般化放物型ハルナック不等式の同値性の証明、飛躍型確率過程の収束理論の構築などの成果を得た。具体例の観点からは、樹木上の臨界確率パーコレーションにバイアス付きランダムウォークを走らせた際の漸近挙動、極限過程の考察を行い、またランダムな有限グラフ上のマルコフ連鎖の混合時間のスケール極限に関する成果を得た。

  • Sobolev型不等式の臨界に表れる幾何構造の抽出と距離空間の一般化

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2009年
    -
    2012年
     

    石渡 聡, 小谷 元子, 熊谷 隆, 太田 慎一

     概要を見る

    非コンパクトリーマン多様体及び無限グラフにおいて、空間の大域的幾何構造と幾何学的不等式、熱核の長時間挙動の密接な関係は多くの研究者により研究されてきた。本研究では Sobolev不等式、 Poincare不等式などの幾何学的不等式の成立条件に関連する幾何構造解明を目的に非コンパクトリーマン多様体の連結和を考察し、連結部分の幾何構造と等周不等式、 Poincare不等式、熱核の長時間挙動の詳細な関係を明らかにした。

  • ポテンシャル問題の多面的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2008年
    -
    2012年
     

    相川 弘明, 志賀 啓成, 木上 淳, 利根川 吉廣, 平田 賢太郎, 上野 康平, 鈴木 紀明, 熊谷 隆, 須川 敏幸, 下村 哲, 村田 實, 田所 勇樹, 片方 江, 大野 貴雄, 大野 貴雄, 片方 江, 村田 實, 熊谷 隆, 須川 敏幸

     概要を見る

    調和,優調和,劣調和関数などは解析学,幾何学,確率論など多くの分野に現れる重要な関数であり,その性質を調べることをポテンシャル問題という.複雑領域,フラクタル,多様体,関数空間におけるポテンシャル問題を多面的に研究し,関数の深い性質を明らかにした.

  • ランダム性を通して見る離散空間の幾何学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2008年
    -
    2011年
     

    小谷 元子, 塩谷 隆, 新井 仁之, 熊谷 隆, 井関 裕靖, 納谷 信, 楯 辰哉, 石渡 聡

     概要を見る

    幾何学と確率論の異なる分野の関わりを通じて、これまで扱えなかった特異性のある空間や離散的な空間の幾何学の新たな研究方法を開拓することを目的とし、ランダムウォークの量子版である量子ウォークや、非対称ランダムウォークの長時間挙動の幾何学的理解、ランダム群の固定点性質、Alexandrov空間のBishop-Gromov型の不等式、ランダムグラフの収束性などに関する結果を得て、発表した。

  • 低次元臨界確率パーコレーション上のダイナミックスとそのスケール極限

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2009年
    -
    2010年
     

    熊谷 隆, 長田 博文

     概要を見る

    本年度行った研究により得られた成果は、以下の通りである。
    1. 熊谷は、Croydon氏(Warwick大)、Hambly氏(Oxford大)と共同で、与えられた有限グラフの列に対して、その上の対称マルコフ連鎖の混合時間が収束するための十分条件を与えた。この十分条件は、グラフのグロモフ-ハウスドルフ収束に、熱核の収束の概念を加えた新たな収束概念によって表現することができる。これにより、例えばErdos-Renyiのランダムグラフの臨界確率近傍での最大連結成分上のランダムウォークの混合時間に関する収束定理を証明することができる。この結果は3人の共著論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。
    2. 熊谷は、昨年度から継続しているChen氏(Washington大)、Kim氏(Seoul大)との共同研究を論文にまとめ、雑誌に投稿した。その内容は、D次元正方格子上の対称マルコフ連鎖が飛躍型確率過程に収束するための十分条件を、ディリクレ形式の手法を用いて導出するものである。特に、ランダムコンダクタンスモデルへの応用として、2点間のコンダクタンスに長距離相関がある場合に、対応するランダムなマルコフ連鎖がD次元安定過程に収束するための十分条件を与える部分について、昨年度やや曖昧であった条件を明確にした。現在、査読結果を元に改訂版を作成中である。
    3. 長田は白井朋之氏(九州大)と共に、Ginibre random point fieldのPalm測度が、もとの測度に対して特異になること、および(任意の相異なる)2点で条件づけたPalm測度は互いに絶対連続になることを示した。

  • フラクタルの数学的諸相

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2008年
    -
    2010年
     

    木上 淳, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 相川 弘明, 亀山 敦, 日野 正訓, 伊藤 俊次, 長田 博文, 小谷 元子, 服部 哲弥, 高橋 智, 〓田 和正, 若野 功, 久保 雅義

     概要を見る

    本研究では、フラクタルに関する数学的基礎理論を多様な視点から研究した。フラクタル上の解析的構造(確率過程など)から導かれるフラクタルの内的な幾何的構造を明らかにし、その幾何学的構造を用いてフラクタル上の確率過程の漸近挙動、フラクタルを境界とする領域上の関数の境界での挙動などなどを詳しく調べた。

  • 確率解析の理論と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2007年
    -
    2010年
     

    松本 裕行, 竹田 雅好, 熊谷 隆, 白井 朋之, 貝瀬 秀裕, 矢野 孝次, 杉田 洋, 谷口 説男, 塩沢 裕一, 舟木 直久, 重川 一郎, 種村 秀紀, 関根 順, 日野 正訓, 高岡 浩一郎, 乙部 厳己, 会田 茂樹, 藤田 岳彦, 稲浜 譲, 稲浜 譲, 舟木 直久, 重川 一郎, 関根 順

     概要を見る

    代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

  • 3次元多様体の幾何と不変量

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2006年
    -
    2009年
     

    小島 定吉, 吉田 朋好, 森田 茂之, 松元 重則, 相馬 輝彦, 藤原 耕二, 大槻 知忠, 高沢 光彦, 熊谷 隆

     概要を見る

    3次元多様体のトポロジーの理解を深めることを目的とし,幾何構造と不変量の関わりについての研究を進め,幾何学的不変量の大域的な振る舞いについていくつかの新しい知見を得た.とくに代表者は,曲面の写像類の力学系的不変量とその写像トーラスの単体体積の比較可能性に関する研究で成果を得た.また総括のため最終年度に国際研究集会を開催し,本研究の今後の方向性を示唆する重要な課題を数多く指摘した.

  • 大規模相互作用系の確率解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2006年
    -
    2009年
     

    舟木 直久, 長田 博文, ヴァイス ゲオグ, 乙部 厳己, 三村 昌泰, 樋口 保成, 種村 秀紀, 熊谷 隆, 吉田 伸生, 千代延 大造, 半田 賢司, 杉浦 誠, 西川 貴雄, 樋口 保成, 熊谷 隆, 種村 秀紀, 吉田 伸生

     概要を見る

    界面模型とランダム行列理論に関連する大規模相互作用系に対し、確率解析および非線形偏微分方程式論に基づく研究を行った。特に、壁あるいはピンニングを持つ界面模型について、大偏差原理の速度汎関数が複数の最小解を持つ場合の詳細な解析とスケール極限の決定を行い、さらに2次元ヤング図形の動的模型に対し流体力学極限を証明した。また、ランダム行列理論における動的モデルとしてGinibre干渉ブラウン粒子系を考察し、着目粒子の劣拡散的挙動という際立った性質を発見した。

  • 複雑な系における確率過程論と実解析学の展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    熊谷 隆, 相川 弘明, 木上 淳, 重川 一郎, 日野 正訓, 舟木 直久, 高橋 陽一郎, 竹田 雅好, 小谷 元子, 舟木 直久, 竹田 雅好

     概要を見る

    フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

  • 熱核のgradientのGauss型評価に伴う空間の幾何学的性質の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    石渡 聡, 小谷 元子, 熊谷 隆

     概要を見る

    非コンパクトリーマン多様体及び無限グラフにおいて,近年熱核の長時間挙動と空間の大域的な性質との深いつながりが明らかとなってきた.このような状況のもと,本研究では熱核の空間方向へのgradient について研究を行い,
    (1)熱核のgradient のGauss 型評価がグラフのある摂動のもとでは安定であること,
    (2) Dungey の方法によりベキ零群の作用のあるグラフ上では熱核のgradient がGauss 型評価を持つこと,
    (3)ベキ零被覆グラフの中心極限定理がグラフのある摂動のもとで安定であること,
    (4)正方格子グラフの連結和の下で熱核のgradient のGauss 型評価が成り立たないための十分条件,を得た.

  • 統計力学に動機付けをもつ諸問題の確率解析による総合的かつ統合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2005年
    -
    2008年
     

    長田 博文, 舟木 直久, 篠田 正人, 熊谷 隆, 白井 朋之, 原 隆, 深井 康成, 内山 耕平, 松本 裕行, 種村 秀紀, 永幡 幸生, 樋口 保成, 三苫 至, 杉浦 誠, 今野 紀雄, 籠屋 恵嗣, 乙部 厳己, 吉田 伸生, 梁 松, 半田 賢司

     概要を見る

    統計力学は、膨大な自由度-数学的には無限自由度-をもつ系を研究対象とする。この研究では、統計力学に動機づけられた諸問題を、とくに無限次元確率力学系を中心として、確率解析の手法で統一的に研究し、確率場、相互作用粒子系、極限定理に関係する様々な結果を得た。さらに、これらの研究を契機として、Bessel確率積分やフラクタル構造領域の劣ガウス型熱核の評価など、確率解析の理論を発展させた。

  • 無限次元空間における確率解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2005年
    -
    2008年
     

    重川 一郎, 熊谷 隆, 吉田 伸生, 日野 正訓, 上木 直昌, 会田 茂樹, 植村 英明, 高信 敏, 吉田 伸生, 日野 正訓, 上木 直正, 会田 茂樹, 高信 敏

     概要を見る

    確率解析に関する研究を、主に関数解析的な手法で進めた。ここでは次のような結果を得た。(1)Hodge-Kodaira 作用素のmultiplier の L^p 有界性(2)Riemann 多様体上のSchrodinger 作用素に対する Littlewood-Paleyの不等式(3)作用素の交換関係と生成作用素(4)Wiener空間及び格子スピン系のSchrodinger作用素のスペクトルギャップの存在(5)1次元拡散過程の生き残り拡散過程の存在(6)非対称な半群に関する超縮小性のための条件と、リーマン多様体上の拡散過程への応用。

  • 臨界確率における確率モデル上の熱伝導の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽研究

    研究期間:

    2006年
    -
    2007年
     

    熊谷 隆, 長田 博文

     概要を見る

    本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。二年間という短期間で多くのモデルの解析を行い、当該研究を大きく推進できたと考える。
    1.Diamond latticeと呼ばれるグラフ上の臨界確率におけるパーコレーションクラスターを考え、そのスケール極限が連結なクラスターを持つという条件のもとで、クラスター上の拡散過程を構成し、その熱核に関する詳しい評価を得た。特に、スペクトル次元に関する有名なAlexander-Orbach予想はこのモデルでは成り立たないことを証明した。(なお、このモデルでは臨界確率において連結なクラスターが存在する確率が正になる。)このモデルは2次元モデルの簡易化としていくつもの文献に取り扱われているが、臨界確率におけるダイナミックスの解析は本研究が初めてであると考える。現在この結果を、Oxford大学のHambly氏との共著論文として執筆中である。
    2.臨界確率における分枝過程の家系図に対応する樹木を考え、そのincipient infinite cluster上のランダムウオークの熱核を研究した。昨年までのこの研究を発展させ、本年は子孫分布が有限な二次モーメントを持たない場合にこの問題を取り扱い、二次モーメントを持つ場合との間で熱核挙動に顕著な違いがあることを解明した。具体的には、体積増大度が大きく異なるため、熱核の対角評価のオーダーが二次モーメントを持つ場合と異なり、特に上述したAlexander-Orbach予想が成り立たないことが示された。(なお、二次モーメントを持つ場合はこの予想が正しいことを昨年我々が証明している。)

  • フラクタルの多様な数学的視点からの研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2005年
    -
    2007年
     

    木上 淳, 宍倉 光広, 熊谷 隆, 伊藤 俊次, 相川 弘明, 長田 博文, 小川 友之

     概要を見る

    フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
    (1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
    (2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

  • 測度論的リーマン構造と対応する熱核の漸近挙動

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽研究

    研究期間:

    2005年
    -
    2006年
     

    木上 淳, 熊谷 隆, 日野 正訓

     概要を見る

    木上は、Sierpinski gasket上のstandard Dirichlet formに関するKusuokaの結果をもとに、Sierpinski gasket上のMeasurable Riemannian stturcutreについて研究を行った。その過程で、Kusuokaによるgradient operatorとKigamiによるhamonic Sierpinski gasket上のgradient operatorが本質的に同じものであること、Kusuoka measureがユークリッドの距離に関してvolume doublingであることを示した。
    また、harmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricがmeasurable Riemannian structureから決まる測地線距離で有ることを示した。さらにこれらの結果を組み合わせて、Kusuoka measureに対応する熱核がLi-Yau型のGaussian estimateを満たすことを証明した。
    日野は、(無限分岐的なものも含む)自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formのエネルギー測度について研究した。
    エネルギー測度が自己相似測度に対して特異的になるための条件を示し、いくつかの興味ある場合に適用した。

  • ハルナック不等式の安定性とその確率モデルへの応用

    日本学術振興会  科学研究費補助金

    研究期間:

    2004年
    -
    2005年
     

    熊谷 隆

     概要を見る

    本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。
    1.D次元正方格子上の対称マルコフ連鎖で、2点間のコンダクタンスが、2点間の距離が離れても0にならないようなものを考える。コンダクタンスに関する一様な二乗可積分性条件の下、熱核の評価、exit timeの評価を行った。さらに、コンダクタンスに関する仮定を加えることにより、一様なハルナック不等式が成り立つことを証明し、また、スケール変換したマルコフ過程にある種の条件を課することにより、このマルコフ過程がユークリッド空間上のdivergence formで決まる拡散過程に収束することを証明した。この結果は、Bass氏との共著論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。
    2.D次元正方格子上の飛躍型確率過程が放物型ハルナック不等式を満たすための必要十分条件、ある種の多項式的な減衰をする熱核評価を持つための必要十分条件について、Barlow氏、Bass氏と共同で研究を行った。これらの必要十分条件について部分的な結果を得ることができ、今後も継続して共同研究を行うこととなった。
    3.フラクタルを典型例とする自己相似な空間上に、自己相似な局所正則ディリクレ形式が与えられ、その定義域となる関数空間がベソフ空間であるとする。このとき、このディリクレ形式の自己相似部分集合へのトレースをとったとき、対応する定義域を決定するという問題を取り扱った。これは、関数空間論的にはベソフ空間のトレース理論の一般化に相当する問題である。もとのディリクレ形式がハルナック不等式などいくつかの条件を満たすとき、トレースで決まる関数空間が再びベソフ空間となることを示し、その特徴づけを行った。この結果は、日野正訓氏との共著論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。

  • Stability of Harnack inequalities and the applications to stochastic models

    Grant-in-Aid for Scientific Research

    研究期間:

    2004年
    -
    2005年
     

  • 確率解析の総合的かつ統合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2002年
    -
    2005年
     

    谷口 説男, 濱地 敏弘, 白井 朋之, 深井 康成, 松本 裕行, 熊谷 隆, 安田 公美, 杉田 洋, 濱名 裕治

     概要を見る

    (1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

  • 確率論の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2002年
    -
    2004年
     

    重川 一郎, 熊谷 隆, 日野 正訓, 会田 茂樹, 小倉 幸雄, 白井 朋之, 盛田 健彦, 吉田 伸生

     概要を見る

    代表者の研究は、無限次元空間を中心に拡散過程の研究を進めている。幾何的な考察も有効であるため、Riemann多様体の場合も平行して研究を進めている。ここで扱った問題はLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明、生成作用素の平方とグラディエント作用素とのL^pノルムの同値性、Schrodinger作用素の本質的自己共役性、スペクトルの跳びなどである。生成作用素とグラディエント作用の交叉性を基本として解析を行った。そのためには空間の性質によらない方法が必要であり、特に関数解析的な手法が有効である。一般的な枠組みでは対数Sobolev不等式の仮定の下で、交叉関係の非可換な部分に指数可積分性を仮定して行った。また境界のあるRiemann多様体の場合も考察し、境界の凸性を仮定して同様の結果を得た。
    また、Wiener空間上でL+V(LはOrnstein-Uhlenbeck作用素)の形のSchrodinger作用素を考察した。本質的自己共役性、定義域の特徴付け、スペクトルの跳びなどのための十分条件を与えた。さらにSchrodinger作用素に対し、Littlewood-Paleyの不等式の証明も行い、ポテンシャル項Vも考慮に入れた形で定式化を行い、従来の結果を一般化した。この手法はRiemann多様体上のHodeg-Kodaira作用素にポテンシャルを付け加えた形でも証明することが出来る。
    なお、この科研費では多くの研究集会を開催し、支援を行った。以下主なものは述べる。2002年度に数理解析研究所のプロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進して。また2003年、2004年にはサマースクールを開催、多くの学生の参加を得て活発な研究交流を行うことができた。さらに毎年シンポジウム「確率過程とその周辺」を開催し、確率論全体での研究交流を行った。全体で24個の研究集会を開催し、外国人研究者14人を招聘し多くの成果を上げることができた。

  • フラクタルの数学的基礎

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2002年
    -
    2004年
     

    木上 淳, 熊谷 隆, 宍倉 光広, 長田 博文, 服部 哲弥, 伊藤 俊次, 佐藤 坦

     概要を見る

    本研究はフラクタルを解析学、確率論、エルゴード理論、力学系、応用数学の様々な視点から総合的にとらえること目的としている。初年度(14年度)および最終年度(16年度)に京都において本研究課題を中心テーマとする研究集会をおこない、初年度においてはこれからの研究の方向について、最終年度については本研究で得られた成果にういてそれぞれ検討をおこなった。本研究で得られた成果の主なものは以下のとおりである。木上は、volume doubling条件の元では、Li-Yau型の上からの熱核の評価が局所Nash不等式と脱出時間の評価に同値であることを明らかにし、その応用としてフラクタル上の熱核の性質を詳細に調べた。熊谷は、Barlow-Bassらと共同で、熱核のLi-Yau型の評価の摂動に関する安定性を示した。伊藤は、ベータ変換とそれに対応するタイリングの代数的な性質を明らかにした。佐藤はフラクタルをマルチン境界とするような確率過程の構成を行った。亀山は、複素力学系に現れるジュリア集合が自己相似集合となるための条件を明らかにした。日野はSierpin ski carpet上の自己相似的なDirichlet形式のエネルギー測度は任意の自己相似測度と特異的であることを示した。さらに木上と亀山は自己相似集合の位相的性質とその上の拡散過程の性質の関係を明らかにした。また木上と熊谷はHamblyと共同で、フラクタル上の熱核の漸近的性質のマルチフラクタル性を明らかにした。

  • 複雑な系における確率論と実解析学の接点

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2002年
    -
    2003年
     

    熊谷 隆, 重川 一郎, 高橋 陽一郎, 渡辺 信三, 日野 正訓, 木上 淳

     概要を見る

    1.本研究を遂行する中で、空間内に複雑な系が可算無限個存在する時にそれぞれの系にしみ込む拡散過程を構成しその性質を調べるという問題に関して新たな知見が得られた。複雑な系内でのディリクレ形式の定義域がベソフ空間である場合に、ベソフ空間のトレースの理論を援用することにより2次形式の正則性を示した。熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得、これを用いて、短時間挙動における「最も起こりやすいパス」をエネルギー関数の変分問題の解として表現した。これらの結果はB.M.Hambly氏との共著で論文にまとめ、Probab.Theory Relat.Fieldsに掲載された。
    2.D-setと呼ばれるフラクタル図形の上に飛躍型確率過程を構成し、これらの熱核の詳しい評価を得た。扱う2次形式の定義域はこの場合もベソフ空間となり、熱核のナッシュ型の評価を得る際にベソフ空間の埋め込み定理が有効に利用される。熱核のoff-diagonalの評価では確率論を用いた議論が用いられ、実解析学と確率論の手法をうまく融合させている。また、得られた熱核の評価を用いて、確率過程の再帰性や、粒子の軌跡のハウスドルフ次元などを計算した。これらの結果はZ.Q.Chen氏との共著で論文にまとめ、Stoch.Proc.Their Appl.に掲載された。
    3.自己相似集合上の熱核の漸近挙動について研究し、測度がvolume doubling Propertyを持つことと熱核の対角成分のある種の漸近評価と同値であることを示した。一般の測度-距離空間上のディリクレ形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling Propertyのもとで脱出時刻の評価と局所ナッシュ不等式が熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。

  • 多変数複素力学系とフラクタル上のラプラシアンのスペクトル分布の接点

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽研究

    研究期間:

    2002年
    -
    2003年
     

    木上 淳, 宍倉 光広, 熊谷 隆

     概要を見る

    木上は一般の測度-距離空間上のディリクレ形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling propertyのもとでexit timeの評価とlocal Nash inequalityが熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。その結果を線分上のブラウン運動を自己相似測度に関して時間変更した拡散過程の熱核に応用し、測度がvolume doublingであるときに熱核の詳細な評価を得た。さらに一般のresistance formに対して、境界が有限個の点である場合のgreen関数の定義をあたえ、そのgreen関数がresistance metricに関して一様Lipschitz連続であることを示した。また、green関数を用いて測度に値を持つLaplacianの定義を与えるとともに自己相似集合上のディリクレ形式の定義域、Laplacianの定義域の関数のresistance metricに関するLipschitz連続性を考察した。
    熊谷は、異なった次元を持つフラクタルを張り合わせた空間上の拡散過程の研究を行った。まずベゾフ空間のトレースの理論を援用することで2次形式の正則性を示し、熱核の短時間挙動についての詳しい評価をえた。その評価を用いて短い時間スケールでみたとき粒子が最も通りやすい経路のエネルギー関数の変分問題の解としての特徴付けを得た。さらにベゾフ空間の理論の応用として、(フラクタル集合を自然に含む)d-setと呼ばれるクラスの集合の上に飛躍型対象マルコフ過程と対応するディリクレ形式を構成した。また対応する熱核の詳細な評価を得て、過程の再帰性や粒子の軌跡のハウスドルフ次元に関する結果を得た。
    宍倉は自己相似集合上のLaplacianに付随する高次元の複素力学系に関係して、高次元複素力学系の不変集合(ジュリア集合、ファツウ集合を含む)の構造、繰り込みおよび力学系に付随するポテンシャル(グリーン関数)に関する研究を行った。

  • 大偏差原理の諸相

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2001年
    -
    2003年
     

    高橋 陽一郎, 重川 一郎, 日野 正訓, 熊谷 隆, 樋口 雄介, 白井 朋之, 原 啓介

     概要を見る

    大偏差原理は、大数の法則、中心極限定理に次ぐ確率論の基本法則であり、対象に応じてさまざまな様相を見せる。本研究では、2,3の確率過程を対象としてその構造を明らかにすることから始めて、それぞれの場合の大偏差原理の諸相を明らかにすることを目的とした。最も力点を置いた確率過程のクラスは、フェルミオン過程、ボゾン過程およびその一般化であり、高橋と白井はフレドホルム行列式に付随する(確率点場に関する研究を遂行し、ボゾン過程、フェルミオン過程に対応するボゾン統計、フェルミ統計を一般化したα統計を提唱、パラメータがα=-1/n(n=1,2,...)の場合およびα=2/m(m=1,2,...)の場合に確率点場が存在することを確率論的な構成方法を発見することにより証明した。同時にこれ以外の場合についてαパーマネントの非負性を予想し、SpohnやJohannsonの問題提起に応えて、1次元の拡散過程もしくは生成消滅過程に推移作用素の場合には非対称でもαパーマネントの非負性予想が成り立ち、したがって確率点場が存在すること等を発見した。以上の基礎結果をもとに、これらの確率点場に関する大偏差原理および基本的極限定理、エントロピーの評価やベルヌーイ性などを研究した。これらの成果はAnn.Probability、J.Functional AnalysisおよびASPM Series39巻に論文として公表した。さらに、Glauber dynamicsに関しても白井は一定の成果を挙げた。この他の分担者もそれぞれの研究を遂行し、樋口と白井はグラフ上の酔歩とシュレディンガー作用素、熊谷はフラクタル上の拡散過程、重川と日野はウィーナー空間、原は2次ウィーナー汎関数を研究し、成果を挙げた。

  • 複雑集合の内と外のポテンシャル解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽研究

    研究期間:

    2001年
    -
    2003年
     

    相川 弘明, 熊谷 隆, 杉江 実郎, 山崎 稀嗣

     概要を見る

    ・境界の容量密度条件の下で,一様領域,内部一様領域,John領域が境界Harnack原理や調和測度の評価で特徴付けられることを示した.また,非可積分な核に対する境界挙動を調べ,Fatou型の定理とLittlewood型の定理を導いた.3G不等式を内部一様領域に対して示すとともに,3次元以上の次元ではMartin境界が位相境界と一致するにもかかわらず,Cranston-McConnellの不等式が成立せず,その結果3G不等式が成立しない領域の例を構成した.p-調和関数に関するCarleson評価を導いた.
    ・ベソフ空間の理論の応用として、フラクタルを典型例として持つd-setと呼ばれるクラスの上に構成した飛耀型対称確率過程が、Triebel氏を初めとした関数空間の専門家が研究している作用素とどのような関係にあるかを調べ、論文にまとめた。

  • 確率解析に関する国際研究集会のための企画調査

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2001年
     
     
     

    熊谷 隆, 重川 一郎, 高橋 陽一郎, 渡辺 信三, 松本 裕行, 舟木 直久

     概要を見る

    本研究は、14年度に予定されている、京都大学数理解析研究所プロジェクト研究「確率解析とその周辺」、日本数学会国際研究集会「大規模相互作用系に関する確率解析」という、確率解析に関する2つの大きな国際研究集会・共同研究を有意義かつ円滑に実施するための企画調査を目的として行われたこのために、以下のように全体会議、海外動向調査、研究者招聘によるコミュニケーションの深化を図った。
    1.全体会議について:5月19日に大阪大学において初めての全体会合を持ち、各研究集会の基本的な枠組みについて話し合った。その後、代表者・分担者が各方面と連絡を取り合い、具体的な案作りを行った。これを受けて、10月4日に九州大学において2回目の全体会合を持ち、具体案の確認と今後の作業の分担の仕方について話し合った。
    2.海外動向調査について:6月上旬に木上は、オーストリアでフラクタルの国際研究集会において視察・情報収集を行った。また、10月に松本は、フランスでの確率解析の国際研究集会を視察し、Elworthy教授、Yor教授らと、次年度にプロジェクト研究の一環として行われる研究集会の打ち合わせを行った。熊谷は、10月中旬よりイギリスを中心に、フランス、ドイツを2ヶ月に渡り歴訪し、イギリスのLyons教授、フランスのYor教授、Emery教授、ドイツのAlbeverio教授、Sturm教授らと事前の意思疎通を図るとともに近隣大学での最新の研究動向を詳細に調査した。これらの渡航の結果、ヨーロッパを中心とした確率解析の研究動向の最新情報を得るとともに、関連分野研究者とのコミュニケーションを深めることが出来た。
    3.研究者招聘について:12月にOxford大学のHambly講師を招聘し、当該分野研究動向の報告を受けた。また、次年度に向けての日本側の準備状況を説明し、理解を得た。

  • 複雑度の高い空間における確率解析の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽的研究

    研究期間:

    2000年
    -
    2001年
     

    若野 功, 熊谷 隆, 重川 一郎, 日野 正訓, 渡辺 信三

     概要を見る

    本研究に際しては,各研究分担者は密接に連絡を取り合いながら各々が独自のテーマを研究するという形態をとった.実施結果は以下の通りである.
    若野は,二次元弾性体中の曲線亀裂先端での応力集中現象の数学解析と数値解析について,二次元「全平面」内の亀裂問題に対して得られていた結果が二次元「有界領域」内の亀裂問題についても同様に成り立つことを検証した.
    日野は,一般の局所Dirichlet形式に付随するMarkov半群に関して,積分化されたVaradhan型の短時間漸近挙動について研究を行い,極限が内在距離を用いて表現できることを証明した.系として,フラクタル集合上の対称拡散過程についてwalk次元の評価式を得た.(J.A.Ramirezとの共同研究)
    重川は,半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.さらにその応用として,Riemann多様体上でのLittlewood-Paleyの不等式の証明や,L^p乗法作用素定理などの証明を与えた.
    熊谷は,空間内に複雑な系が可算無限個存在し,それぞれの系については熱伝導に関する情報がある程度分かっているようなモデルについて,各々の系にしみ込む拡散過程を構成し,その熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得た.
    渡辺は,WalshのBrown運動勲に関連して,Riemann面上のBrown運動の道に沿った有理型微分形式の積分(Abel積分)の漸近挙動について研究した.また,Tsirelsonが確率過程の表現の問題に関連して導入したノイズの概念に関し,Fellerの1次元拡散過程から比較的容易に構成出来るblack noiseの例を与えた.

  • 確率過程のサンプルパスの解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1999年
    -
    2001年
     

    熊谷 隆, 重川 一郎, 高橋 陽一郎, 渡辺 信三, 日野 正訓

     概要を見る

    1.本研究を遂行する中で、d次元正方格子上のランダムウォークの訪問点に関して新たな知見が得られた。第1に、dが3の場合に概不変原理を証明した。これは、従来中心極限定理まで知られていたものを精密化したものであり、これによりサンプルパスに関する種々の極限定理が系として導かれる。第2に、dが2の場合に重複対数の法則を証明した。よく知られた重複対数の法則とはオーダーが異なり、3重対数が現れるのが特徴的である。これらの結果はBass氏との共著で論文にまとめ、Ann.Probab.に掲載予定である。
    2.複雑な形の不純物が空間内に存在するとき空間からこの物質内への熱伝導はどのようになるかという問題を扱い、実解析で用いられるBesov空間の理論を援用することにより、ある条件のもとでこのような熱伝導を表す拡散過程(物質内ではその物質の拡散をし、外では空間の拡散に従うようなもの)が構成できることを示した。これに関する論文は、J.Funct.Anal.に掲載された。続いて、このような拡散過程の熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得、汎関数型の大偏差原理を証明した。この結果については、現在論文を執筆中である。
    3.無限次元空間上の拡散過程の集合間の推移確率に関してVaradhan型の短時間漸近挙動と類似の漸近挙動の問題を考察し、通常の集合間距離の代わりに内在距離を用いることで、技術的な条件無しに非常に一般的な枠組みの下でこのような漸近評価を証明した。これによって、特に興味を持たれていたリーマン多様体上のループ空間におけるOrnstein-Uhlenbeck過程の場合についての予想を肯定的に解決した。ユークリッド空間上の対称拡散過程に関しても、その生成作用素が退化しているとき一般にこの結果は新しい。これらの結果はJ.A.Ramirez氏との共著で雑誌投稿中である。

  • フラクタル上の波動及び拡散の基礎理論の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1999年
    -
    2000年
     

    木上 淳, 熊谷 隆

     概要を見る

    本研究では、フラクタル上での波動および拡散を記述するための数学的基礎理論に関して主に次の5つのテーマに関して成果をえた。
    (1)self-similar set上のDirichlet formのMarkov性について
    Kusuoka-Zhouによってself-similar set上に構成されたself-similar Dirichlet formのMarkov性を証明した。
    (2)p.c.f.self-similar set上のLaplacianに付随するvolume measureの自己相似性について
    作用素論的traceを用いて定義されたvolume measureが自己相似測度に成るための十分条件を導き、Sierpinski gasket上のstandard Laplacianについてその十分条件を示した。
    (3)p.c.f.self-similar set上のLaplacianに付随するGreen関数の研究
    Green関数の対角成分の値を帰納的に求めるアルゴリズムを発見し、それを用いてGreen関数の最大値を与える点の位置について研究した。
    (4)フラクタル上の熱核に関するVaradhan型の短時間評価、およびこの拡散過程に関するSchilder型の大偏差原理
    Sierpinski gasket上のブラウン運動に対して、Varadhan型の短時間評価、およびこの拡散過程に関するSchilder型の大偏差原理が成立しないことを証明した。
    (5)フラクタル上の熱核の漸近挙動に現れるマルチフラクタルの研究
    フラクタル上の熱核の時刻0での漸近挙動が一般には各点ごとに異なることを示し、さらに各点ごとの漸近指数がマルチフラクタル性を持つことを明らかにした。

  • フラクタル上の解析学の展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    1998年
    -
    2000年
     

    日野 正訓, 高橋 陽一郎, 木上 淳, 熊谷 隆, 篠田 正人, 松本 裕行, 杉浦 誠

     概要を見る

    本研究を通じて、フラクタル上の解析学について以下の成果を得ることができた。
    1.フラクタル上の自己共役作用素のスペクトル
    自己相似測度をベースとする拡散過程において、測度の自己相似性と拡散過程のスケールがマッチしない際の熱核の短時間漸近挙動を研究した。この場合の漸近挙動は初期点に大きく依存してマルチフラクタルが現れることが分かり、その(ユークリッド距離等に関する)ハウスドルフ次元を計算した。この結果は雑誌に掲載予定である。さらに、フラクタル上に擬距離の族を定め、ある特別な擬距離については上述した次元が単純な形で表現できることを示した。この結果は現在論文に纏めている。
    2.ランダムフラクタル上の確率過程の解析
    (1)Homogeneous random Sierpinski carpet上の拡散過程とその熱核の評価に関する研究をまとめ、雑誌に掲載された。
    (2)空間的な対称性のないrandom recursive Sierpinski gasket上の拡散過程の熱核の短時間漸近挙動を調べ、この挙動に重複対数分の振動が現われることを証明した。この結果は雑誌に掲載された。
    3.フラクタル上の確率解析
    (1)ユークリッド空間内にフラクタルなどの複雑な系が埋め込まれたモデルにおける熱伝導問題を扱い、実解析で用いられるベソフ空間の理論を援用することにより、内部では系特有の拡散、外部ではユークリッド空間の拡散に従うような拡散過程を解析的に構成した。この結果は雑誌に掲載され、現在は拡散過程の短時間挙動の大偏差原理を研究中である。
    (2)T.Lyons氏らによる「ラフパスを持つ確率過程上の確率解析の研究」の発展については、新たな成果を得られなかった。離散近似を手がかりに、彼らの与えた確率微分方程式の性質を詳しく探ることは今後の大きなテーマの一つである。

  • スピングラスの確立論的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 萌芽的研究

    研究期間:

    1998年
    -
    1999年
     

    日野 正訓, 南 和彦, 吉田 伸生, 熊谷 隆, 村井 浄信

     概要を見る

    本年度もセミナーや研究会を通じて、スピン系等の数理モデルの性質を中心に最新のプレプリントの紹介、各自の研究の報告・議論を行ったが、スピングラスのモデル自体について大きな進展を得ることは残念ながら出来なかった。以下では、セミナー等で得られた、このテーマに関連した問題に関する実績概要を述べる。
    1.吉田は、wetting tansitionの問題に興味を持ち、E.BolthausenやP.Caputoらのプレプリントを読むとともに具体的な計算を行った。Wetting transitionの問題とは、固形物の上に液体がありpinningとentropy repulsionという対立する力がかかるとき、そのinterfaceの局在(dry phase)・非局在(wet phase)がどのようなときに起こるかという問題である。吉田は、非負に条件付けられた一次元のランダムウォークにpinningとしてdiluted local timeを与えたとき、pinningの係数が小さければ非局在、大きければ局在が起こることを示した。
    2.熊谷は、フラクタルのような複雑な形の不純物が空間内に存在するときに、空間からこの物質内への熱伝導はどのようになるかという問題を扱い、実解析で用いられるBesov空間の理論を援用することによりある条件のもとでこのような熱伝導を表す拡散過程(物質内ではその物質の拡散をし、外では空間の拡散に従うようなもの)が構成できることを示した。この結果は、最近雑誌に掲載された。
    3.村井は篠田氏(奈良女)との議論を通じて、ある範疇の自己相似なグラフ上ではρ-パーコレーションのρ→1における相転移点と普通のパーコレーションの相転移点が一致することを示し、現在論文を執筆中である。

  • 確率論の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

    高橋 陽一郎, 谷口 説男, 松本 裕行, 重川 一郎, 楠岡 成雄, 舟木 直久, 熊谷 隆, 小倉 幸雄, 高信 敏, 濱名 裕治, 樋口 保成

     概要を見る

    本研究では3年間に渡り,確率解析、流体力学極限、エルゴード理論など確率論の諸分野の研究を推進し、順調な研究成果を挙げると共に、2,3の新しい動向へも寄与した。
    確率解析においては、会田、重川を中心とした対数ソボレフ不等式など、無限次元空間上の関数空間における不等式の役割の認識の深化、および、谷口、松本を中心とした指数型汎関数に対する漸近挙動の研究の進展がとくに顕著であった。また、長田の仕事など、ディリクレ形式の理論に基づく確率解析の一般化という方向性も見逃せない動向である。
    流体力学極限は、舟木、内山らを中心として、より現実的な方程式の解明というより困難な状況下で着実な成果を挙げると共に、その中から上記ディリクレ形式論における結果との対比という問題意識が鮮明になり、今後の進展が期待される。
    エルゴード理論関係では、盛田による相関関数の研究などの成果を得た。なお、平成9年度に企画した情報理論など周辺分野との勉強会は、韓氏による情報理論における大偏差原理の研究などの波及効果をもたらしている。
    古典的な理論、手法の現代的な再生は当初掲げた目標のひとつであった。これに関しては、熊谷らのフラクタル集合上の解析、厚地のネヴァリンナ理論への確率論的接近、濱名の酔歩の汎関数の精密評価、白井らのグラフのスペクトルでの成果が顕著である。
    また、長井たちは確率制御理論の手法を援用することにより数理ファイナンスに新しい視点をもたらし、杉田、高信らは確率論的手法を駆使して擬似乱数の理論に貢献している。
    さらに最終年度、渡辺信三氏のご尽力により、黒色雑音など雑音の同型問題という、将来大きく発展する可能性の大きい新動向を照会する機会がもてたことは幸いであった。
    最後に、外国旅費の制限緩和により、海外の研究者との共同研究が大変スムーズになり、研究の推進に大いに役立ったことを記しておきたい。

  • 量子確率過程の超関数論的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1996年
     
     
     

    尾畑 伸明, 杉浦 誠, 南 和彦, 市原 完治, 熊谷 隆, 三宅 正武

     概要を見る

    ホワイトノイズ超関数に作用する作用素の統一理論は、94年に出版された私の著書で一通りの完成を見たが、最近のホワイトノイズ超関数論の発展に合わせて、理論を組み立て直す必要が出てきた。本研究では、まず、増大度の条件を緩めたホワイトノイズ超関数でベクトル値の場合も含むように、従来の理論を発展させた。応用として、量子適合過程・量子的マルチンゲ-ルの一般化と特徴づけが得られた。この理論では、ホワイトノイズの高次の巾乗を取り扱うことができるが、これは確率解析を非線形の方向で一般化するための基礎になるのではないか、という知見を得た。関連する量子的伊藤公式の導出は興味深い課題として残った。別の応用として、ある種の量子確率微分方程式の解の一意存在定理を証明し、ウィック指数関数による解の構成を論じた。また、散逸を含む量子系を記述する量子ランジュヴァン方程式もこの範疇で捉えることができた。解の滑らかさは、極めて興味深い問題である。本研究では、古典的な微分方程式における手法が応用できるか、との関連で研究を開始したが、今のところ手探りの状態である。量子系の中心極限定理も本研究に含まれる課題であったが、群や超群上のランダムウォークのスペクトル解析を背景に、新しい組合せ論的アプローチを開発した。その結果、新しい極限分布の族が構成され、ウィグナーの半円則とその変形が得られた。この流れでダイソンのランダム行列モデルを解析することは今後の課題となった。シュレ-ディンガー作用素の固有値問題・量子スピン系・フラクタル上の確率過程などを量子確率論の観点から見直すことで、これらは今後の研究の展開の上で重要であると認識を新たにした。
    本研究遂行にあたり、研究代表者・分担者ともに海外も含め多くの研究集会で口頭発表し、周辺研究者との交流を深めた。また、来日中の外国人研究者や国内研究者多数をセミナーに招待することができ有意義な研究討論を行なった。

  • 無限粒子系の解析

  • フラクタル上の解析

  • Analysis on infinite particle systems

  • Analysis on fractals

▼全件表示

講演・口頭発表等

  • Anomalous diffusions and time fractional differential equations

    熊谷隆  [招待有り]

    マルコフ過程とその周辺(熊本大学)  

    発表年月: 2022年03月

  • Anomalous diffusions and time fractional differential equations

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Deterministic and stochastic fractional differential equations and jump processes, Workshop at Isaac Newton Institute  

    発表年月: 2022年02月

  • Spectral dimension of simple random walk on a long-range percolation cluster

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Joint Online Workshop between Netherlands and Japan  

    発表年月: 2022年01月

  • Periodic homogenization of non-symmetric Levy-type processes

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Bernoulli-IMS 10th World Congress  

    発表年月: 2021年07月

    開催年月:
    2021年07月
     
     
  • Quenched and averaged tails of the heat kernel of the two-dimensional uniform spanning tree

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    6th International Workshop on Markov Processes and Related Topics, Central South University (Online)  

    発表年月: 2021年07月

  • Periodic homogenization of non-symmetric Lévy-type processes

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Joint Israeli Probability Seminar(オンライン)  

    発表年月: 2021年06月

  • 複雑な形状の図形の中で熱はどのように伝わるか?

    熊谷隆  [招待有り]

    明治大学大学院理工学研究科特別講義(オンライン)  

    発表年月: 2020年12月

  • 複雑な系の上のランダムウォークとそのスケール極限

    熊谷隆  [招待有り]

    慶應大学集中講義(数理解析特論、オンライン)  

    発表年月: 2020年12月

    開催年月:
    2020年11月
    -
    2020年12月
  • Homogenization of jump processes in random media

    熊谷隆  [招待有り]

    東京確率論セミナー(オンライン)  

    発表年月: 2020年11月

  • Quenched invariance principle for long range random walks in balanced random environments

    Takashi Kumagai

    Bernoulli-IMS One World Symposium 2020 (Online)  

    発表年月: 2020年08月

    開催年月:
    2020年08月
    -
     
  • 複雑な系の上の異常拡散現象

    熊谷隆  [招待有り]

    明治非線型数理セミナー  

    発表年月: 2020年01月

  • Simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree

    熊谷隆  [招待有り]

    Mar Kac seminar (Utrecht)  

    発表年月: 2019年12月

  • Anomalous diffusions and time fractional differential equations

    熊谷隆  [招待有り]

    Colloquium at Bielefeld University  

    発表年月: 2019年11月

  • Anomalous random walk and diffusion: from fractals to random media

    熊谷隆  [招待有り]

    Colloquium at Shanghai JiaoTong University  

    発表年月: 2019年10月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for symmetric Dirichlet forms

    熊谷 隆  [招待有り]

    Realizing the Potential -- Theory in Bielefeld  

    発表年月: 2019年09月

  • Anomalous random walk and diffusion: from fractals to random media

    熊谷 隆  [招待有り]

    50 Years of Mathematics at Bielefeld  

    発表年月: 2019年09月

  • Homogenization of (symmetric) stable-like processes in random media

    熊谷隆  [招待有り]

    Probability Seminar at Tianjin University  

    発表年月: 2019年09月

  • Quenched and averaged tails of the heat kernel of the two-dimensional uniform spanning tree

    熊谷 隆  [招待有り]

    Analysis and PDEs on Manifolds and Fractals  

    発表年月: 2019年09月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for symmetric Dirichlet forms

    熊谷隆  [招待有り]

    Japanese-German Open Conference on Stochastic Analysis 2019  

    発表年月: 2019年09月

    開催年月:
    2019年09月
     
     
  • Anomalous random walk and diffusion in random media

    熊谷 隆  [招待有り]

    BMS Friday Colloquium  

    発表年月: 2019年07月

  • Heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for symmetric Dirichlet forms

    熊谷 隆  [招待有り]

    Walking through the Brownian Zoo  

    発表年月: 2019年06月

  • Quenched and averaged tails of the heat kernel of the two-dimensional uniform spanning tree

    熊谷 隆  [招待有り]

    Probabilistic methods in statistical mechanics of random media  

    発表年月: 2019年05月

  • Homogenization of (symmetric) stable-like processes in random media

    熊谷 隆  [招待有り]

    Spring Probability Workshop at Academia Sinica  

    発表年月: 2019年05月

  • Homogenization of symmetric stable-like processes in random media

    熊谷 隆

    Potential Analysis and its Related Fields 2019  

    発表年月: 2019年02月

  • Homogenization of symmetric stable-like processes in random media

    熊谷 隆

    Advances in Asymptotic Probability, Stanford University  

    発表年月: 2018年12月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆

    Non Standard Diffusions in Fluids, Kinetic Equations and Probability at CIRM  

    発表年月: 2018年12月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆

    Probability Afternoon at TU-Dresden  

    発表年月: 2018年11月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆

    Montreal Summer Workshop on Challenges in Probability and Mathematical Physics at CRM  

    発表年月: 2018年07月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆

    Interplay of Random Media and Stochastic Interface Models  

    発表年月: 2018年06月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆  [招待有り]

    Sixth Bielefeld-SNU Joint Workshop in Mathematics, Seoul  

    発表年月: 2018年03月

  • Quenched invariance principle for random walks among random conductances with stable-like jumps

    熊谷 隆  [招待有り]

    Interplay of Analysis and Probability in Applied Mathematics  

    発表年月: 2018年02月

  • 飛躍型対称確率過程のポテンシャル論とその応用

    熊谷 隆  [招待有り]

    九州大学数理談話会  

    発表年月: 2018年01月

  • 大阪科学賞受賞記念講演

    熊谷 隆  [招待有り]

    大阪科学賞受賞記念講演  

    発表年月: 2017年11月

  • Convergence of random walks for trap models on disordered media

    熊谷 隆  [招待有り]

    International Conference on Spatial Probability and Statistical Physics  

    発表年月: 2017年10月

  • Convergence of random walks for trap models on disordered media

    熊谷 隆  [招待有り]

    German-Japanese Open Conference on Stochastic Analysis 2017  

    発表年月: 2017年09月

  • Heat kernel estimates for time fractional equations

    熊谷 隆

    Workshop on jump processes and stochastic analysis 2017 at Dresden  

    発表年月: 2017年09月

  • Potential theory for symmetric jump processes and applications

    熊谷 隆  [招待有り]

    SPA 2017 in Moscow (Medallion Lecture)  

    発表年月: 2017年07月

  • Heat kernel estimates for time fractional equations

    熊谷 隆  [招待有り]

    13th Workshop on Markov Processes and Related Topics at Wuhan  

    発表年月: 2017年07月

  • Convergence of random walks for trap models on disordered media

    熊谷 隆  [招待有り]

    Dynamics, aging and universality in complex systems, NYU  

    発表年月: 2017年06月

  • Time changes of stochastic processes associated with resistance forms

    熊谷 隆  [招待有り]

    6th Cornell Conference on Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals  

    発表年月: 2017年06月

  • Time changes of stochastic processes: Convergence and heat kernel estimates

    熊谷 隆  [招待有り]

    Random walks with memory at CIRM  

    発表年月: 2017年05月

  • Lamplighter random walks on fractals

    熊谷 隆  [招待有り]

    3rd Workshop on Probability Theory and its Applications  

    発表年月: 2016年12月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces

    熊谷 隆  [招待有り]

    SPDE and Related Fields, Bielefeld University  

    発表年月: 2016年10月

  • 複雑な系の上の異常拡散現象の解析

    熊谷 隆  [招待有り]

    日本数学会秋季総合分科会、企画特別講演  

    発表年月: 2016年09月

  • Time changes of stochastic processes associated with resistance forms

    熊谷 隆  [招待有り]

    Random Structures in High Dimensions: CMO-BIRS workshop  

    発表年月: 2016年06月

  • Time changes of stochastic processes on fractals

    熊谷 隆  [招待有り]

    Fractality and Fractionality  

    発表年月: 2016年05月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces

    熊谷 隆  [招待有り]

    1st Hong Kong/Kyoto Workshop on Fractal Geometry and Related Areas  

    発表年月: 2016年03月

  • Recent topics on random conductance model

    熊谷 隆  [招待有り]

    2016 Spring Probability Workshop at Academia Sinica  

    発表年月: 2016年03月

  • Anomalous random walks and diffusions in random media

    熊谷 隆  [招待有り]

    International Workshop on the Multi-Phase Flow; Analysis, Modeling and Numerics  

    発表年月: 2015年11月

  • Harnack inequalities and local CLT for the polynomial lower tail random conductance model

    熊谷 隆  [招待有り]

    Stochastic Analysis  

    発表年月: 2015年09月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces

    熊谷 隆  [招待有り]

    International Conference on Stochastic Analysis and Related Topics  

    発表年月: 2015年08月

  • Stability of heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces

    熊谷 隆  [招待有り]

    SPA 2015 at Oxford, 2015  

    発表年月: 2015年07月

  • Heat kernel estimates and local CLT for random walk among random conductances with a power-law tail near zero

    熊谷 隆  [招待有り]

    University of Bath Probability Seminar  

    発表年月: 2015年06月

  • Anomalous random walks and their scaling limits: From fractals to random media

    熊谷 隆  [招待有り]

    Colloquium at Humboldt University  

    発表年月: 2014年10月

  • Heat kernel estimates and local CLT for random walk among random conductances with a power-law tail near zero

    熊谷 隆  [招待有り]

    1st PAJAKO Workshop at TU-Dresden  

    発表年月: 2014年10月

  • Quenched Invariance Principle for a class of random conductance mod- els with long-range jump

    熊谷 隆  [招待有り]

    Oberwolfach Workshop  

    発表年月: 2014年10月

  • Anomalous Random Walks and Diffusions

    熊谷 隆  [招待有り]

    ICM Seoul 2014  

    発表年月: 2014年08月

  • Heat kernel estimates and local CLT for random walk among random conductances with a power-law tail near zero

    熊谷 隆  [招待有り]

    7th ICSAA at Seoul National University  

    発表年月: 2014年08月

  • Heat kernel estimates and local CLT for random walk among random conductances with a power-law tail near zero

    熊谷 隆  [招待有り]

    ASC-IMS 2014 Annual Meeting at Sydney  

    発表年月: 2014年07月

  • Simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree and its scaling limits

    熊谷 隆

    5th Cornell Conference on Analysis, Probability and Mathematical Physics on Fractals  

    発表年月: 2014年06月

  • Simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree and its scaling limits

    熊谷 隆  [招待有り]

    Warwick EPSRC Symposium on Statistical Mechanics  

    発表年月: 2014年05月

  • Subsequential scaling limits of simple random walk on the two-dimensional uniform spanning tree

    熊谷 隆  [招待有り]

    Spring probability workshop in 2014, NCTS, National Tsing Hua University  

    発表年月: 2014年03月

  • Quenched Invariance Principles for Random Walks and Random Divergence Forms in Random Media with a Boundary

    熊谷 隆  [招待有り]

    German-Japanese workshop in Leipzig  

    発表年月: 2013年09月

  • Quenched Invariance Principles for Random Walks and Random Divergence Forms in Random Media with a Boundary

    熊谷 隆  [招待有り]

    PRIMA 2013  

    発表年月: 2013年06月

  • Random walks on disordered media and their scaling limits

    MSJ-KMS Joint Meeting 2012   日本数学会、韓国数学会  

    発表年月: 2012年09月

  • Random walks on graphs 10:45-12:00 and applications to random media

    Spring School in Probability, 23-27 April 2012, Dubrovnik, Croatia(  

    発表年月: 2012年04月

  • Quenched invariance principle for random walks and random divergence forms in random media on cones

    The expanding art of expansions, Eurandom, Netherlands  

    発表年月: 2012年02月

  • Convergence of mixing times for sequences of random walks on finite graphs

    4th Cornell Conference on Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals, Cornell University   Cornell University  

    発表年月: 2011年09月

  • Markov chain approximations to non-symmetric diffusions with bounded coefficients

    5th inter- national conferences on Stochastic Analysis and its Applications, Bonn, Germany,  

    発表年月: 2011年09月

  • Random walks on graphs and applications to random media

    The First NIMS Summer School in Probability 2011, 15-26, Daejeon, Korea  

    発表年月: 2011年08月

  • On the equivalence of parabolic Harnack inequalities and heat kernel estimates

    Seminar, Aalto University, Finland   Aalto University  

    発表年月: 2011年06月

  • Convergence of mixing times for sequences of random walks on graphs

    Stochastic Analysis, Oberwolfach, Germany  

    発表年月: 2011年06月

  • Convergence of mixing times for sequences of simple random walks on graphs

    Combinatorics and Analysis in Spatial Probability, Eurandom  

    発表年月: 2010年12月

  • Convergence of symmetric Markov chains on Zd

    34th conference on Stochastic Processes and Their Applications, Osaka  

    発表年月: 2010年07月

  • Parabolic Harnack inequalities for stable-like processes on metric measure spaces (2 Lectures),

    6th Cornell Probability Summer School, Cornell University  

    発表年月: 2010年07月

  • Random walks on disordered media and their scaling limits (8 Lectures)

    0th Probability Summer School, St. Flour  

    発表年月: 2010年07月

  • Convergence of centered Markov chains to non-symmetric diffusions with bounded coefficients

    Random walks, random environments, reinforcement, Marseilles  

    発表年月: 2010年05月

  • Periodic homogenization of non-symmetric Levy-type processes

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Bernoulli-IMS 10th World Congress in Probability and Statistics, Seoul (Online)  

  • Periodic homogenization of non-symmetric Lévy-type processes

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Bernoulli-IMS 10th World Congress in Probability and Statistics, Seoul (Online)  

  • Periodic homogenization of non-symmetric Lévy-type processes

    Takashi Kumagai  [招待有り]

    Bernoulli-IMS 10th World Congress in Probability and Statistics, Seoul (Online)  

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