2024/07/17 更新

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オクムラ カツヒコ
奥村 克彦
所属
附属機関・学校 高等学院
職名
教諭
学位
博士(理学) ( 2022年03月 早稲田大学 )

研究分野

  • 代数学   代数幾何学
 

論文

  • SNC Log Symplectic Structures on Fano Products

    Katsuhiko Okumura

    Canadian Mathematical Bulletin   63 ( 4 ) 891 - 900  2020年12月

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    <title>Abstract</title>This paper classifies Poisson structures with the reduced simple normal crossing divisor on a product of Fano varieties of Picard number 1. The characterization of even-dimensional projective spaces from the viewpoint of Poisson structures is given by Lima and Pereira. In this paper, we generalize the characterization of projective spaces to any dimension.

    DOI

  • A classification of SNC log symplectic structures on blow-up of projective spaces

    Katsuhiko Okumura

    Letters in Mathematical Physics   110 ( 10 ) 2763 - 2778  2020年10月

    DOI

    Scopus

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 二次超曲面と射影空間を特徴づける対数的シンプレクティック構造の構成

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 研究活動スタート支援

    研究期間:

    2021年08月
    -
    2023年03月
     

    奥村 克彦

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    申請者はこれまで退化因子の特異点が単純正規交差(SNC)因子である対数的ポアソン構造(SNC対数的シンプレクティック構造)をピカール数が2以上のファノ多様体上で構成・分類するという問題に取り組んでいた.これまでに知られたSNC対数的シンプレクティック構造は射影空間上の対角ポアソン構造のみだったからである.2022年1月に「対称性と幾何」セミナーにて,この以前の研究について講演するとともに,現在の当該分野の状況や課題について紹介した.
    本研究計画では,退化因子に許容する特異点の範囲を単純正規交差因子のみの場合より拡張すること,それによりこれまで対数的シンプレクティック構造が構成されたことのないファノ多様体上に新しく例を構成すること,特に,そのような対数的シンプレクティック構造の存在性によりその多様体を特徴づけることが目的だった.研究開始時の研究の概要に書いてあるように,元々の狙いは多様体が二次超曲面の場合を想定していた.
    2021年度は,研究の方針を転換して,V-normal crossing特異点を退化因子に許容する対数的シンプレクティック構造の研究に着手した.V-normal crossingとはエタール被覆上ではSNCであるような特異点である.そのような特異点を扱うために,滑らかなDeligne-Mumford stack上でのポアソン構造や交点数の理論などについて理解を深めた.現在の転換した研究計画において重み付き射影空間が,従来の計画の二次超曲面に相当する多様体になると想定している.

 

特定課題制度(学内資金)

  • V-NC対数的シンプレクティック構造の分類とトーリックファノ多様体

    2023年  

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    研究は遂行中である。重み付き射影空間だけでなく、偽重み付き射影空間上にもV-NC対数的シンプレクティック構造が入り得ることが分かった。そこで、現在は偽重み付き射影空間の理解を深めている。2023年12月に上智大学数学談話会に招待され、これまでの研究や本研究の今後の進展などについて講演をした。

  • 点のヒルベルトスキームを用いたSNCログシンプレクティック構造の構成

    2022年  

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    点のヒルベルトスキームを用いたSNCログシンプレクティック構造の構成よりも、SNCログシンプレクティック構造の一般化であるVNCログシンプレクティック構造の研究に注力していた。現在知られているSNCログシンプレクティック構造がほとんどないという現状がある。これら二つの課題はどのようにすれば新しい例を構成できるか、という着眼点を共有している。この研究は現在進行中である。さらに、射影空間束の構造を持つ4次元多様体上のSNCログシンプレクティック構造の分類にも取り組んでいる。多くの場合で分類ができており、残りの場合についての研究を進めている。第4回宇都宮大学代数幾何学研究集会を世話人として主催した。若手の研究者を中心に20名近くが参加し、代数幾何学について議論を交わした。

  • Fano多様体を特徴づける対数的シンプレクティック構造の構成

    2021年  

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    The original plan was to study Poisson structures that characterize quadratic hypersurfaces. However, my interest shifted to the construction of SNC log-symplectic structures using the Hilbert scheme of points, which I was studying in parallel, and I spent most of this year working on this topic. It is a kind of Poisson structure known as the closest one to symplectic and it characterize projectice space. It is also difficult to construct examples like the symplectic case. We find that the blow-up of the Hilbert scheme of points of the diagonal Poisson structure on the projective space form an example of SNC log-symplectic. We also started a study on a VNC log-symplectic structure, which is a generalization of SNC that allows actions of finite groups.