Using the ergodic theory and the theory of function algebras, we investigate the property of Dirichlet series by regarding as analytic functions on Bohr group. In connection with analytic number theory, we especially restrict our attention to the case of the Riemann ζ-function and obtain a mean-value theorem in a weak sense and some results on value distribution of ζ-function.Let K be the dual group of the discrete group {log γ ; γ positive rational}. Then a one-parameter group {T_t}_<t∈R> of homeomorphisms of K is defined naturally. Fix 1/2 < u and putZ_u(x) = Σ^^∞___<n=1>(1)/(n^u)x_<log n>^(x), x∈K,where x_<log n> denotes the character by log n. Then t → Z_u(T_tO) represents ζ(u+it), and Z_u(x) is an outer function of H^2(K). Since (K, {T_t}_<t∈R>) is an ergodic flow, we have the following mean-value theorem of the Riemann ζ-function : Theorem Let 0 < k < ∞, and let l > 0. Then there is a subset J of Z^+ of density zero such that<lim>___<J【∋!/】N→∞>(1)/(Nl)Σ^^^<N-1>___<n=0>∫^^^<(n+1)l>___<nl>|ζ(u+it)|^<2k>dt=∫_K|Z_u(x)|^<2k>dσ(x). This theorem shows that Lindelof hypothesis holds in a weak sense. We also study the class of all Dirichlet series t

Izuchi (Head investigator) introduced the concept of weak infinite powers of Blaschke products and characterized Blaschke products which are weak generators of L^∞. Also Izuchi defined L^1 and L^∞-type singular inner functions and showed that for a positive singular measure there exists a particular set in M (H^∞) associated with the measure. He proved the existence of trivial points which are not contained in the closure of a nontrivial Gleason part. This answers the Budde problem. And the set of such points is dense in the set of trivial points.Izuchi showed the existence of homeomorphic parts which are not locally sparse. This answers Gorkin-Mortini problem. He determined closed ideals of H^∞ whose zero sets are contained in the set of nontrivial points (with Gorkin-Mortini). Also Izuchi solved the Gorkin-Mortini problem concerning with prime ideals in H^∞+C.About invariant subspaces on T^2, Izuchi studied A_φ-invariant subspaces and gen-eralized Nakazi's theorems (with Matsugu). And he started to study composition operators on H^∞ and determined connected components with respect to the essential norm topology (with Zheng).On the results of investigators, Saito dete

上記研究課題に対し、次の3項目に渡って研究を進めた。[1]Blaschke cocycles and generators、コンパクト群上の不変部分空間は、そのコサイクルが全てBlaschkeコサイクルへcohomologeousとなる、ここでは無限乗積を用い、単一生成元を持つ不変部分空間に対応するBlaschkeコサイクルを特徴付けた。[2]Corona type probhem and flows、コロナ定理のエルゴ-ド的Hardy空間H^<10>(μ)への拡張である。あわせてH^<10>(μ)の極大イデアル空間のいくつかの性質を調べてみた。ここでの手法は古典的Hardy空間H^<10>(II)のファイバ-の分析に、有効な考察をもたらす。ファイバ-の中に流れを導入し、その上の不変測皮(エルゴ-ド的)で極大イデアルを表現するというアイディアはコロナ定理と個別エルゴ-ド定理との結び付きを暗示している。[3]On single generator problemコンパクト群上の解析函数で積分値が0となるものの全体H^2Oは単一生成元を持ち得るだろうか?この問題は1950年代に提出され未解決のまま現代に至っている。最近いくつかの

△を開単位円板とする。この上の有界解析函数全体のなすHardy空間H^∞(△)は,一様ノルムで可換Banach環となる。H^∞(△)の極大イデアル空間の構造は極めて複雑で難解である。極大イデアル空間mは,互いに交わらない,部分集合mα(1α1=1)へ分解される。(mαはfiberと呼ばれる)。この研究ではfiber内へ流れ(continuous flow)を導入することにより,エルゴ-ド理論を用いた,新たな極大イデアル空間の解析を試みた。現時点までに既得されている主要結果は次の2点である。(1)コロナ定理と個別エルゴ-ド定理はタウバ-型定理を経由して,密接に関連していること。特にある種のoneーpoint partが△の集積点(mにおける)となっていることが個別エルゴ-ド定理から証明される。(2)“流れがminimalのとき,導入される函数環はDirichlet環か?"というF.Forelli(Wisconsin大)が1970年Niceでのコングレスで提出した問題へ否定的解を与えた。Fiber内へ位置するminimalな流れ上で,導入される函数環はDirichlet環ではない,logmodular環となる。これら

Pを実数Rにおける稠密な部分群とする。Pに離散位相を入れ、そのコンパクトな双対群をKとする。このとき、正規Haar測度σに関して、二乗可積分で、Fourier係数が負で0となる凾数の全体をH^2(σ)と書く。H^2_0(σ)はH^2_0(σ)の部分空間で0におけるFourier係数が0となるものとする。このとき「H^2_0(σ)は単一生成元を持つか?」という問題は、50年代以後、この分野の主専テーマの一つとして未解決のまま残ってきた。この研究では、この問題に対し背定的解答、即ちH^2_0(σ)は単一生成元を持つという結論を与え得たように思う。主要なアイデアは、有〓な可測凾数を コロナ定理と関連させ、連続凾数として表現する。そしてエルゴード理論の適用から本来測度0の集合内に押し込まれている情報を引き出すという手法である。一般の不変部分空間については 現在検討予定であるが、ほぼ背定的であろうと確信している。ただあまりにも論証が細かく、複雑なため、いくつかの改良を摸索している段階で

多重円板上のコロナ問題は多変数解析関数論における著名な問題である．ここでは一つの試みとして，次元を2次元(bidisc)に限定し，テンソル積からつくられる関数環の極大イデアル空間の構造との比較での検証を試みた．より具体的には以下のとおりである：B(D^2)を2次元多重円盤D^2上で有界な解析関数の作る関数環とする．この極大イデアル空間 M(B(D^2))でD^2が稠密か否かを問うのがコロナ問題である．一方単位円 D上の有界な解析関数の作る関数環 B(D)がコロナ定理を満たすことはCarlesonの定理としてよく知られている．したがって二つのB(D)のテンソル積 B(D)(x)B(D)ではコロナ定理が自動的に成立してくる．すなわちB(D)(x)B(D)の極大イデアル空間 M(B(D)(x)B(D))においてD^2は稠密となっている．一方 B(D)(x)B(D)はB(D^2)でかなり大きな部分環をなすことから，M(B(D^2))の要素をB(D)(x)B(D)へ制限して得られるhomomorphismを M(B(D)(x)B(D))の性質を利用しM(B(D^2))の構造を調べてみた．かなり複雑で相当の手数を要するがいくつかの結果を得た．（１）制限したhomomophism が M(B(D)(x)B(D))の nontrivial Gleason partに含まれるならHoffmanの定理が適用できそれ 自身D^2の閉包内にあること，（２）Bishopによる Choquet境界の特徴付からその閉包であるSilov境界の各点がD^2の閉包内にあること，などである．しかし極大イデアル空間 M(B(D^2))の構造はかなり複雑で現在も鋭意考察中である．多重円板上のコロナ問題は解析的なDirichlet級数の集積値集合と強く関連している．上記の結果を利用すると2つの独立な特性関数 exp{ist}から生成されるDirichlet級数の無限遠点付近での挙動がある程度理解できる．この方向での研究は解析数論との関連で興味深いと思う．

　この研究ではFourier解析学およびエルゴード理論を用いてDirichlet級数によって定まるBohr群K上の解析関数の性質とそれらの応用を調べてみた。{an}を複素数列とするとき、f (s)＝Σ∞／n=1 an／ns、　s＝σ＋it、をDirichlet級数と呼ぶ。特にam・an＝amnで｜an｜＝1となるときのDirichlet級数は f (s)＝Πp:系数（１－ap／ps）－１、　σ＞1とEuler積で表現され、Riemannのζ関数と深い関連性を持つ。そしてRiemannのζ関数をBohr群K上（即ち、｛logr ; rは正の有理数｝で生成される離散群Γの双対群）へ拡張したとき、Kの軌道上にすべてが現れる。この性質を利用し、これらのDirichlet級数はほとんどの場合1/2＜σまで解析的に拡張され零点を持たないことが示される。そしてこの結果からRiemannのζ関数による近似式を利用しその零点の分布に関して興味深い結果を得た。いまN (σ,T)をβ＞σ、0?T Riemannのζ関数の零点β＋itの個数とする。流れ（K, {Tt}t∈R）のもつエルゴード性とRouch&#233;の定理により、Riemannのζ関数の零点の分布の様子がある程度分かる：定理　1/2＜σ0のときσ0?σで一様にN (σ, T)＝o(TlogT)となる。この性質は既知の結果より現時点ではあらい評価だが、エルゴード理論を用いた新たな証明法であり今後改良の可能性は有ると思う。