2024/12/30 更新

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コバヤシ　カズオ
小林　和夫
所属
教育・総合科学学術院
職名
名誉教授
学位
理学博士 ( 早稲田大学 )

学歴

  • 　
    -
    1976年

    早稲田大学   理工学研究科   数学  

  • 　
    -
    1971年

    早稲田大学   理工学部   数学  

所属学協会

  • 　
    　
    　

    日本数学会

研究分野

  • 基礎解析学

研究キーワード

  • 関数解析,非線形偏微分方程式、実解析、関数解析、非線形偏微分方程式、確率微分方程式

 

論文

  • Well-posedness for stochastic scalar conservation laws with the initial-boundary condition

    Kazuo Kobayasi, Dai Noboriguchi

    Journal of Mathematical Analysis and Applications   461 ( 2 ) 1416 - 1458  2018年05月  [査読有り]

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    In this paper, we are interested in the initial-(non-homogeneous) Dirichlet boundary value problem for a multi-dimensional scalar non-linear conservation law with a multiplicative stochastic forcing. We introduce a notion of “renormalized” kinetic formulations in which the kinetic defect measures on the boundary of a domain are truncated. In such a kinetic formulation we establish a result of well-posedness of the initial-boundary value problem under only the assumptions (H1), (H2) and (H3) stated below, which are very similar ones in [6].

    DOI

  • A TIME-SPLITTING APPROACH TO QUASILINEAR DEGENERATE PARABOLIC STOCHASTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

    Kazuo Kobayasi, Dai Noboriguchi

    DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS   29 ( 11-12 ) 1139 - 1166  2016年11月  [査読有り]

    　概要を見る

    In this paper, we discuss the Cauchy problem for a degenerate parabolic-hyperbolic equation with a multiplicative noise. We focus on the existence of a solution. Using nondegenerate smooth approximations, Debussche, Hofmanova and Vovelle [8] proved the existence of a kinetic solution. On the other hand, we propose to construct a sequence of approximations by applying a time splitting method and prove that this converges strongly in L-1 to a kinetic solution. This method will somewhat give us not only a simpler and more direct argument but an improvement over the existence result.

  • A stochastic conservation law with nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions

    K. Kobayasi, D. Noboriguchi

    Acta Mathematica Vietnamica   41 ( 4 ) 607 - 632  2016年  [査読有り]

  • Renormalized solutions to stochastic coservation laws

    K. Kobayasi, D. Noborigychi

    早稲田大学 教育・総合科学学術院 学術研究（自然科学編）   ( 63 ) 31 - 45  2015年

  • Method for proving some properties of the Ito integral in infinite dimension

    K.Kobayasi, D. Noboriguchi

    早稲田大学 教育・総合科学学術院 学術研究（自然科学編）   ( 62 ) 33 - 51  2014年

  • Uniqueness and Existence for anisotropic degenerate parabolic equations with boundary conditions on a bounded rectangle

    Kazuo Kobayasi, Hiroki Ohwa

    Journal of Differential Equations   ( 252 ) 137 - 167  2012年  [査読有り]

  • Remarks on BV estimates for vanishing viscosity approximations to hyperbolic systems

    Kazuo Kobayasi, Hiroki Ohwa

    Gakujutsu Kenkyu-Mathematics-, School of Education, Waseda University   55   1 - 14  2007年

    CiNii

  • On the existence of renormalized dissipative solutions via relaxation for conservation laws

    Kazuo Kobayasi, Satoru Takagi

    Hyperbolic Problem: Theory, Numerics and Applications   2   101 - 108  2006年  [査読有り]

  • On relationship between kinetic solutions and renormalized entropy solutions of scalar conservation laws

    Satomi Ishikawa, Kazuo Kobayasi

    Proceedings of the conference on Differential and Applications（HindawiPubl.)     433 - 440  2006年  [査読有り]

  • A kinetic approach to comparison properties for degenerate parabolic-hyperbolic equations with boundary conditions

    Kazuo Kobayasi

    Journal of Differential Equations   ( 230 ) 682 - 701  2006年  [査読有り]

  • A kinetic approach tocomparison theorem for degenerate parabolic equations

    Kazuo Kobayasi

    Kokyuroku RIMS Kyoto University   1475   155 - 166  2006年

  • A kinetic approach to renormalized entropy solutions for degenerate parabolic equations

    Kazuo Kobayasi

    Congerence on Differential and Difference equations and Applications(Florida I.T.)    2005年08月  [査読有り]

  • An equivalent definition of renormalized entropy solutions for scalar conservation laws

    Kazuo Kobayasi, Satoru Takagi

    Differential and Integral Equations   18 ( 1 ) 19 - 33  2005年  [査読有り]

    DOI

  • The equivalence of weak solutions and entropy solutions of nonlinear degenerate second-order equations

    K Kobayasi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   189 ( 2 ) 383 - 395  2003年04月  [査読有り]

    　概要を見る

    We prove the equivalence of weak solutions and entropy solutions of an elliptic-parabolic-hyperbolic degenerate equation g(t)(t) - Deltab(u) + div phi(u) = f with homogeneous Dirichlet conditions and initial conditions. As a result of the equivalence, we obtain the L-1-contraction principle and uniqueness of weak solutions of elliptic-parabolic degenerate equations. (C) 2002 Elsevier Science (USA). All rights reserved.

  • On local center unstable manifolds

    Kazuo Kobayasi, Satoru Takagi

    Nonlinear Analysis and Aplications: To V. Lakshmikantham on his 80-th bisthday   2   661 - 670  2003年  [査読有り]

    DOI

  • An L-P theory of invariant manifolds for parabolic partial differential equations on R-d

    K Kobayasi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   179 ( 1 ) 195 - 212  2002年02月  [査読有り]

    　概要を見る

    We study the problem about the existence of finite-dimensional invariant manifolds for nonlinear heat equations of the form
    partial derivativeu/partial derivativetau = Deltau + F(u, delu) on Rd x [1, infinity).
    We show that in spite of the fact that the linearized equation has continuous spectrum extending from negative infinity to zero, there exist Finite dimensional invariant manifolds which control the long time asymptotics of solutions. We consider the problem for these equations in the framework of weighted Sobolev spaces of L-p type. The L-p theory of this problem gives the L-infinity estimate of the long-time asymptotics of solutions under natural assumptions on the nonlinear term F and their initial data. (C) 2002 Elsevier Science.

    DOI

  • 再正規化解の一意性について

    小林和夫

    日本数学会 実函数論分科会    2001年

  • Uniqueness of renormalized solutions of degen quasilinear elliptic equations

    Kazuo Kobayasi

    Gakujutu Kenkyu, School of Education, Waseda Univ.   49   5 - 15  2001年

  • 全空間上の半線形放物型方程式のLp理論における有限次元不変多様体

    小林和夫

    日本数学会 実函数論分科会    2000年

  • L ^p theory of invariant manifolds for nonlinear partial differential equations on R^d

    Kazuo Kobayasi

    The third World Congress of Nonlinear Analysis    2000年  [査読有り]

  • C-1 approximations of inertial manifolds via finite differences

    K Kobayasi

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   127 ( 4 ) 1143 - 1150  1999年04月  [査読有り]

    　概要を見る

    We construct an inertial manifold for the evolution equation as a limit of the inertial manifolds for the difference approximations of the Trotter-Kato type and show that this limit is taken in a C-1 topology.

  • Existence of renormalized solutions of degenerate quasilinear elliptic equations

    Kazuo Kobayasi, Satoru Takagi, Takeshi Uehara

    Gakujutsu Kenkyou of EducationMathematics-, Waseda University, Series of Mathematics   47 ( 47 ) 29 - 46  1999年

    CiNii

  • 再正規化解とエントロピー解の同値性について

    小林和夫

    早稲田大学教育学部学術研究—数学編—   46   25 - 35  1998年02月

  • C^1 approximations of inertial manifolds for nonlinear evolution equations

    Kazuo Kobayasi

    Gakujutsu Kenkyu, School of Education, Waseda University, Series of Mathematics   45   25 - 35  1997年

  • Convergence and approximation of inertial manifolds for evolution equations

    Kazuo Kobayasi

    Differential and Integral Equations   8 ( 5 ) 1117 - 1134  1995年  [査読有り]

  • Viscosity solutions of Cauchy problems for Hamilton-Jacobi equations

    Kazuo Kobayasi

    Memoirs of Shonan Institute of Technology   28 ( 1 ) 101 - 105  1994年

    　概要を見る

    The viscosity solutions of the Cauchy problem u_t+H(x, u, Du)=0,u(x, 0)=u_0(x) in R^N, where H : R_N×R×R^N→R is a continuous function, are considered. We prove an existence and uniqueness theorem under a condition which is more general than the usual one with respect to the u dependence of the Hamiltonian H(x, u, p). This generalized condition would not necessarily guarantee that the stationary problem u+H(x, u, Du)=ƒ in R^N has a continuous viscosity solution. Our main method is based on the technique from nonlinear semigroup theory.The viscosity solutions of the Cauchy problem u_t+H(x, u, Du)=0,u(x, 0)=u_0(x) in R^N, where H : R_N×R×R^N→R is a continuous function, are considered. We prove an existence and uniqueness theorem under a condition which is more general than the usual one with respect to the u dependence of the Hamiltonian H(x, u, p). This generalized condition would not necessarily guarantee that the stationary problem u+H(x, u, Du)=ƒ in R^N has a continuous viscosity solution. Our main method is based on the technique from nonlinear semigroup theory.

    CiNii

  • On the uniqueness and existence of solutions of fully nonlinear parabolic PDEs under Osgood type condition

    Hitoshi Ishii, Kazuo Kobayasi

    Integral and Differential Equations   7 ( 4 ) 909 - 920  1994年  [査読有り]

  • Inertial manifolds for discrete approximations of evolution equations : Convergence and applications

    Kazuo Kobayasi

    Advances in Mathematical Science and Applications   3   161 - 189  1993年  [査読有り]

  • Approximation of inertial manifolds for semilinear evolution equations

    Kazuo Kobayasi

    Kokyuroku, RIMS, Kyoto University   755   61 - 72  1991年

  • Semilinear parabolic equations with nonmonotone nonlinearlity

    Kazuo Kobayasi

    Memories of Sagami Institute of Technology   23 ( 2 ) 83 - 99  1989年

  • A method of interations for quasi-linear evolution equations in nonreflexive Banach spaces

    Kazuo Kobayasi, Hironobu Sanekata

    Hiroshima Mathematical Journal   19 ( 3 ) 521 - 540  1989年  [査読有り]

  • UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF DEGENERATE DIFFUSION-EQUATIONS WITH MEASURES AS INITIAL CONDITIONS

    K KOBAYASI

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   12 ( 10 ) 1053 - 1060  1988年10月  [査読有り]

  • 非線形エルゴード定理とその応用

    小林和夫

    第24回実函数・第23回函数解析合同シンポジュウム講演録     58 - 73  1986年

  • Asymptotic behavior of periodic nonexpansive evolution operators in uniformly convex Banach spaces

    Kazuo Kobayasi

    Hiroshima Math. J.   16 ( 3 ) 531 - 537  1986年  [査読有り]

  • ON THE ASYMPTOTIC-BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF EVOLUTION-EQUATIONS ASSOCIATED WITH NONLINEAR VOLTERRA-EQUATIONS

    N KATO, K KOBAYASI, MIYADERA, I

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   9 ( 5 ) 419 - 430  1985年  [査読有り]

  • 非線形Volterra方程式に応ずる発展方程式の解の挙動

    小林和夫

    京都大学数理解析研講究録   541   86 - 99  1984年

  • ON THE ASYMPTOTIC-BEHAVIOR FOR A CERTAIN NONLINEAR EVOLUTION EQUATION

    K KOBAYASI

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   101 ( 2 ) 555 - 561  1984年  [査読有り]

  • Nonlinear evolution operators in a Frechet space

    K. Kobayasi, Y. Kobayasi, S. Oharu

    Japanese J. Math.   10 ( 2 ) 243 - 270  1984年  [査読有り]

    DOI CiNii

  • NONLINEAR EVOLUTION OPERATORS IN BANACH-SPACES

    K KOBAYASI, Y KOBAYASHI, S OHARU

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   21 ( 2 ) 281 - 310  1984年  [査読有り]

  • On difference approximations of time dependent nonlinear equations Banach spaces

    Kazuo Kobayasi

    Memoirs of Sagami Institute of Technology   17   59 - 69  1983年

  • ON THE ASYMPTOTIC-BEHAVIOR OF ALMOST-ORBITS OF NON-LINEAR CONTRACTION-SEMIGROUPS IN BANACH-SPACES

    MIYADERA, I, K KOBAYASI

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   6 ( 4 ) 349 - 365  1982年  [査読有り]

  • On the strong convergence of Cesaro means of contractions in Banack spaces, II

    Kazuo Kobayasi

    Kokyuroku, RIMS, Kyoto University   428   105 - 114  1981年

  • Two integral inequalities ralated to Benilan's integral solutions of nonlinear equation(共著)

    K. Kobayasi, Y. Kobayashi, S. Oharu

    Bull. Sci. Engi. Research Lab. Waseda Univ.   93   88 - 87  1980年  [査読有り]

  • Some remarks on nonlinear ergodic theorems in Banach spaces

    Kazuo Kobayasi, Isao Miyadera

    Proc. Japan Acad.   56  1980年  [査読有り]

  • On the strong convergence of Cesaro means of contractions in Banach spaces

    Kazuo Kobayasi, Isao Miyadera

    Proc. Japan Acad.   56 ( 6 ) 245 - 249  1980年  [査読有り]

  • On the asymptotic behavior of iterates of nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces

    Kazuo Kobayasi

    Proc. Japan Acad.   55/  1979年  [査読有り]

  • On a theorem for linear evolution equations of hyperbolic type

    Kazuo Kobayasi

    J. Math. Soc. Japan (Journal of Mathematical Society of)   31 ( 4 ) 647 - 654  1979年  [査読有り]

  • On perturbation of non-linear equations in Banach spaces

    Kazio Kobayasi, Yoshikazu Kobayashi

    Kokyuroku,R. I. M. S. Kyoto University   12 ( 3 ) 709 - 725  1977年

  • 非線形発展方程式の差分近似について(共著)

    小林和夫, 小林良和

    京都大学数理解析研講究録   246   120 - 127  1976年

  • Note on approximation of nonlinear semigroups

    Kazuo Kobayasi

    Proc. Japan Acad. (Proceeding of Japan Academy)   50 ( 9 ) 731 - 735  1974年  [査読有り]

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書籍等出版物

  • On the asymptotic behavior of solutions to nonlinear Volterra equations

    Kazuo Kobayasi

    in Trends in the Theory and Practice of Nonlinear Analysis, Noth-Holland  1985年

  • On nonlinear evolution operators associated with certain nonlinear equations of evolution

    Kazuo Kobayasi, Shinnosuke Oharu( 担当： 分担執筆)

    in Mathematical Analysis on Structures in Nonlinear Phenomena, Kinokuniya  1980年

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 粘性解の理論と応用の新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

    石井 仁司, 儀我 美一, 三上 敏夫, 小池 茂昭, 三竹 大寿, 小林 和夫

    　概要を見る

    1階非線形偏微分方程式、2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式に対する粘性解理論とその応用の研究を進めた。弱KAM理論との関連ではハミルトン・ヤコビ方程式の周期的均質化について収束率の評価の研究を進めた。P. E. Souganidis氏とH. V. Tran氏との共同研究として、粘性係数が空間変数に依存する場合に、Langevin方程式に対するSmoluchowski-Kramers近似の収束を考察し、抵抗係数が領域の一部で0に収束する漸近問題を研究し、前年度の研究を進展させた。抵抗係数が0に領域の一部で収束する漸近問題の部分領域に対する条件を精密化する研究課題を更に進めた。I. Birindelli氏とG. Galise氏との共同研究により、完全非線形退化楕円型方程式(短縮ラプラス方程式)に対する固有値問題を考察し、Faber-Krahn型の固有値の領域に関する依存性を調べた。領域としては体積を一定に保った直方体の族を考え、対応した主固有値に注目すると立方体の時に最大となりラプラス方程式の場合とは逆になるという

  • リプシッツ発展作用素論の基礎と応用

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2019年03月
     

    　概要を見る

    研究代表者は変異方程式の初期値問題に関する理論をさらに整備・拡張する研究を続け，研究成果を国際研究集会「The Eighth International Conference on Differential and Functional Differential Equations」で発表した．研究分担者の松本敏隆は抽象準線形発展方程式に対する初期値問題について，準線形作用素の定義域が一定ではなくかつ稠密でもない場合を考察し,既存の結果を拡張し,連続微分可能な解の一意存在を示し，さらに応用として、サイズ構造モデルの連続的微分可能な解の一意存在を絶対可積分関数の空間で証明した．野井貴弘は1変数複素解析学におけるBlochの定理の自己完結した初等的な証明を与えた．また，一般化された Besov Morrey空間に対して，指数にどのような条件があれば差分で特徴づけることができるかを考察し，研究成果を RIMS共同研究(公開型)「関数空間の深化とその周辺」 などで発表した．小林和夫は乗法的確率外力を持った非線形保存型偏微分方程式に対する初期値・境界値

  • リプシッツ発展作用素論の基礎と応用

    科学研究費助成事業（中央大学）  科学研究費助成事業（基盤研究（Ｃ））

    研究期間:

    2016年
    -
    2018年
     

  • バナッハ空間におけるリプシッツ発展作用素の生成・収束・近似

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2016年03月
     

    小林 良和, 松本 敏隆, 小林 和夫, 應和 宏樹

    　概要を見る

    バナッハ空間におけるリプシッツ発展作用素の新しい一般的なクラスを導入し，その連続な無限小生成素の一つの特徴付けを得た。バナッハ空間におけるある抽象コーシー問題の弱連続な解の存在のための必要十分条件を与えた。増大度αの解析的半群の非線形摂動をそれに付随するコーシー問題を研究することにより調べた。区分的に線形な不連続関数の性質について考察し，その関数の周期的な性質に関する結果を得た。乗法的外力項を持つ一階単独保存型方程式に対する初期値-境界値問題を動力学的定式化による方法で扱い，その解の一意存在に関する結果を得た

  • バナッハ空間におけるリプシッツ発展作用素の生成・収束・近似

    科学研究費助成事業（中央大学）  科学研究費助成事業（基盤研究（Ｃ））

    研究期間:

    2013年
    -
    2015年
     

  • 非線形退化放物型および双曲型方程式系のエントロピー解の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2010年10月
    -
    2013年03月
     

    小林 和夫, 應和 宏樹, 高木 悟

    　概要を見る

    1次元n×n 保存則方程式系の初期値問題の可解性については,A.Bressan 等による波面追跡法を用いた一連の研究があるが,その証明手段はかなり複雑である。本研究では,1次元2×2 保存則方程式系の場合にリーマン問題(初期値が階段関数)についてショック曲線の幾何学的構造の解明を行った。そして,その構造理論を用いて一般の初期値問題を扱い,波面追跡法における議論の簡略化に成功した。また,非線形等方的退化放物型方程式に対する初期値・境界値問題を考察し,エントロピー解の比較定理と存在定理を得た

  • 放物型-双曲型方程式の初期値・境界値問題の解の構造と数値解析への応用

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C)(2))

    研究期間:

    2004年
    -
    2006年
     

    　概要を見る

    従来から研究している，バナッハ空間におけるリプシッツ作用素半群の研究成果を時間に依存する発展方程式に応ずるリプシッツ発展作用素の理論として，発展展開させることを目的に研究した．本年度は生成素が連続なときの生成を論じ，Murakami(1966), Martin(1973), Lakshmikantham-Mitchell-Mitchell(1976), S. Kato(1976)などの結果の精密化を得た．非柱状領域で論じており，準縮小作用素の発展作用素の生成を論じたKenmochi-Takahashi(1980)やIwamiya(1983)などの拡張を与える．空間1次元の準線形散逸的波動方程式に対する初期値問題への応用も与えた．論文は準備中であるが，その概要を日本数学会2013年度総合分科会の企画講演において紹介した．
    関連して，増大度αの解析的半群の非線形摂動を考察し、対応する初期値問題のマイルド解の存在・一意性を得て，移流拡散程式の初期値境界値問題へ応用した．また，n×n双曲型保存則方程式系に対する波面追跡法の簡易化・厳密化や乗法的確率項を持つ保存型方程

  • 散逸型偏微分方程式に対する慣性多様体の離散近似と構造安定性についての研究

    科学研究費助成事業（早稲田大学）  科学研究費（基盤研究(C)(2))

    研究期間:

    1998年
    -
    1999年
     

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特別研究期間制度（学内資金）

  • 非線形偏微分方程式の関数解析的手法による研究

    2002年03月
    -
    2003年03月

    ドイツ   ボン大学

特定課題制度（学内資金）

  • ラフパスにより駆動される確率保存則偏微分方程式の実解析・測度論的研究

    2017年  

    　概要を見る

    キネティック定式化理論はLions, Perthame, Tadmor (1994)を出発点として、非線形保存型（双曲型）方程式の解の存在・一意性・正則性・漸近挙動などの研究に大きく寄与し、進展してきた。最近、Debussche, Vovelle(2010)はこの理論を確率的ノイズ項を持つ保存型（双曲型）方程式に拡張し、解の一意性・存在性を論じたが、一意性と存在性の議論は互いに独立であるなどの部分を改良、開発すべき点が多くある。キネティック理論は保存型（双曲型）方程式の研究では有力なものであることは確かである。そのような背景から、キネティック理論の確率版を発展方程式論で得られている収束・近似理論的手法と確率論的手法を融合して構築し、ラフパスにより駆動された確率保存型方程式の解の構造を明らかにする研究を行った。より正確に述べると、有界領域上での確率保存型方程式に対する初期値・境界値問題の解の存在と一意性の理論、すなわち、well-posednessの研究をキネティック理論と発展方程式論において開発されている理論・方法を融合するという視点から、従来の確率論的主体ではなく実解析・測度論的に研究を行った。具体的には次の結果を得た。　確率保存型偏微分方程式に対する初期値・境界値問題du + div (A(u))dt = Φ(u)dW(t) in  Ω×D×(0,T)u(・,0)= u0(・)　　in Ω×D,u = ub  on Ω×∂D×(0,T)を考える。ここで、初期条件u0(・)は確率変数ωに依存してもよいが、境界条件ubは確率変数ωに依存しない関数である。この初期値・境界値問題に対してキネティック解を導入し、次のwell-posedness定理を得た。 定理.　Ｄをｄ次元ユークリッド空間におけるリプシッツ連続な境界をもつ有界な凸領域とする。このとき、Debussche-Vovelleが方程式の係数関数A(u),Φ(u)に仮定した通常の条件の下で、一意的なキネティック解を持つ。さらに、u1(t), u2(t)をそれぞれ初期条件u1,0,u2,0, 境界条件u1,b, u2,b に対応したキネティック解とすると、つぎの不等式が成り立つ。 E‖u1(t) – u2(t)‖L1(D) ≦　E‖u1,0 – u2,0‖L1(D)+ Mb∫‖u1,b(s)– u2,b(s)‖L1(∂D) ds, ここで、∫は[0,t]上の積分を表し、Mbはu1,b, u2,bの∂D×[0,T]上の最大値に依存した定数である。         

  • 放物-双曲型方程式とその確率微分方程式のエントロピー解の構造研究

    2013年  

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    乗法的確率項をもつ非線形保存型偏微分方程式の解の一意性と存在について研究を行い，それについて次の結果を得た。Ｄをd次元空間R^dの滑らかな境界∂Ωをもつ有界な領域とする。(Ω，F,{F_t},P)をフィルター付き確率空間とする。このとき，次の確率保存型偏微分方程式に対する初期値・境界値問題を考える。　　　ｄu + div(A(u))dt = Φ(u)dW(t) in (0,T)×D, 　　　u(0,・) = u_0 on D, 　　　u=u_b on (0,T)×∂Ω,ここで、A：R→R^d はC^1級関数，W(t)は柱状ブラウン運動：W(t) = ∑β(t)_k・e_k, である。ただし，{e_k}はあるヒルベルト空間Hの完全正規直交系とする。Φ(u): H→L^2(D)　は Φ(u)e_k = g_k(u)・e_k によって与えられている。これらに対して次の仮定をおく。|A´(ξ) - A´(η)|≦C(1 +|ξ|^(p-1) + |η|^(p-1))|ξ-η|, G^2(x,ξ) =∑|g_k(x,ξ)|^2 ≦C(1+|ξ|^2), ∑|g_k(x,ξ) -g_k(y,η)|^2 ≦C(|x-y|^2 +|ξ-η|h(|ξ-η|),　ここで，hは非減少連続関数でh(0)=0なるものとする。われわれが考察する解は次のような（一般化された）kinetic 解である。u:Ω×[0,T]×D→R がkinetic解であるとは次の(i)-(iii)が成り立つこと定義する。(i) uは可予測である。(ii) 各p≧1に対して，定数C_pが存在してu(t)のL^p(Ω×D)ノルムがC_pで上からおさえられる。　(iii) f = χ_{u>ξ}, g=1 - fとするとき，(0,T)×D×R上のkinetic 測度m と各h < kに対して(0,T)×∂Ω×(h,k)上の非負関数　m^bとn^bでm^b(k＝n^b(h)=0なるものが存在して,　[0,T]×R^d×(h,k)の中にコンパクト台をもつすべてのテスト関数φに対して， ∫f(∂_t + A´・∇)φ　+ ∫f^0φ　M∫f^bφ ＝- ∑∫(∫g_k(x,u)φ(x,t,u)dxdβ_k(t) - (1/2)∫∂_ξφ(x,t,u)G^2(x,u) + ∫∂_ξφdm + ∫∂_ξm^bが成り立つ。さらに，gについても同様な等式が成り立つ。このとき，次の定理を得た。[一意性定理] uとvがそれぞれ初期値，境界値(u_0, u_b)と(v_0,v_b)に対応するkinetic解とすると，u-vのL^1ノルムはu_0 - v_0のL^1ノノルムとu_b - v_b のL＾１ノルムの定数倍の和で上からおさえられる。[存在定理] Aと初期値・境界値データに対してある条件を仮定すれば，kinetic解が存在する。

  • 非線形退化放物型および双曲型方程式系のエントロピー解の研究

    2010年  

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    １次元非線形２×２保存系に対するRiemann問題について、初期値が大きい場合の解の存在性の研究およびｎ次元空間における非線形放物型-双曲型（非線形退化放物型）方程式に対する初期値・境界値問題のエントロピー解の存在性、一意性、安定性、漸近挙動をkinetic formulation法（kinetic理論）を中心とし、実解析的、測度論的、関数解析的手法を用いて研究した。研究初年度である本年度は、これまでの研究を検討・整理し、新しい知見と結果の取得に重点をおいて、関連した研究集会において、資料と最新情報の収集を行った。研究成果については、１次元２×２保存系のRiemann問題の可解性については、１９６０年代後半から７０年代にかけてのSmoller-Johnsonによる一連の結果とBorovikov(１９７２)そしてKeyfitz-Kranzer（１９７８）による結果がある。本研究では、Smoller-Johnsonの証明に不備を見つけ、反例をもってそれを指摘し、さらに再証明を与えた。この証明方法は新しい手法を提示しており、これまでの知られた結果で仮定されていた“凸性”を取り除くことができた。もう一つの結果は、１９７０年代前半から後半にかけてのDafermosのRiemann問題の解の存在に関する一連の結果での証明方法を用いて非線形波動方程式を抽象化した保存則系の解の存在定理を得た。この結果は流束に関する仮定を緩和している。さらに、流束が狭義単調である場合の保存則系や粘性保存則系にも適用でき、今後において様々な非線形偏微分方程式にも応用されることが期待される。

  • 非線形放物ー双曲型方程式のエントロピー解の構造研究とその応用

    2009年  

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    We proved the uniqueness of entropy solutions of non- isotropic degenerate parabolic- hyperbolic equations with non homogeneous Dirichlet boundary value condition.Let Ω be an open bounded cube of Rｄ, with the boundary ∂Ω. Let QT = (0,T)×Ω, T> 0 and ΣT = (0,T)× ∂Ω. We consider the following problem (P): ∂t u + ∑i=1 ∂Ai (u) /xi &#8211; Σi,j=1 ∂2 βij (u)/∂xi∂xj = g in QT, u = ub on ΣT, u(0, ) = u0 in Ω,where u(t,x): QT → R $, is the unknown function and ub :ΣT → R ,g: QT → R are given functions. We assume that Ai(u): R → R is locally Lipschiz,the d×d matrix (β’ ij(u))) is symmetric, nonnegative and locally bounded. We have to explain the meaning of the boundary condition. In the nondegenerate case ( in which (β’ij(u)) is strictly positive) u = ub a.e. (t,x) in ΣT in the classical sense. In this case the problem (P) is of parabolic equation. However, the situation drastically changes for the completely degenerate case (in which β’ij(u) = 0 ). In this case the problem (P) becomes a first order hyperbolic equation . It is well known that discontinuous solution must be considerd and discontinuous weaqk solutions are not uniquely determined by their data.In this study we consider entropy solutions to the problem (P) and obtain the comparison theorem, which in particular deduces the uniqueness of entropy solutions of (P). The precise results will appear in the forthcoming paper.

  • 放物型ー双曲型方程式系の初期値・境界値問題とその数値解析

    2007年  

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    非線形双曲型保存系研究および非線形退化放物型（双曲-放物型）方程式に対する初期値・境界値問題の非有界なエントロピー解について研究を行った。　非線形双曲型保存系については、２×２保存型方程式系のリーマン問題： u_t +f(u,v)_x=0, v_t +g(u,v)_x=0, 　 (u(x,0),(v(x,0)) = (u_0,v_0) (x 0　のとき),　を次の条件の下で考察した。 条件：f, g は(f_v)(g_u) > 0 を満足する２回連続的微分可能な関数で、かつベクトル値関数F(u,v) = (f(u,v), g(u,v)) は、 (l_i)(∇^2 F(r_i,r_i)) > 0 , i, j = 1,2, 　を満足する。ここで l_j, r_jはそれぞれ F(u,v)のj-左固有関数、i-右固有関数である。次の結果を得た。 定理．　λ_1(u,v) < λ_2(u,v) を F(u,v) の実固有値とする。このとき、任意のu-v平面の点P_0を出発点としショック速度をσ_i(u,v) とするショック曲線S_i(P_0)と逆ショック曲線S'_2(P_0)で次の安定条件(1)-(4)を満たすものが大域的に存在する。　 (1)λ_1(u,v)< σ_1(u,v) < min {λ_1(u_0,v_0),λ_2(u,v)}, (u,v) \in S_1(P_0)(2)λ_1(u_0.v_0)< σ_1(u,v) < min {λ_1(u,v),λ_2(u_0.v_0)}, (u,v) \in S’_2(P_0)(3)max{λ_1(u_0,v_0), λ_2(u,v)} < σ_2(u,v) < λ_2(u_0,v_0), \in S_2(P_0)(4)max{λ_1(u,v), λ_2(u_0,v_0)} < σ_2(u,v) < λ_2(u,v), \in S’_2(P_0) 退化放物型方程式の初期値・境界値問題については、これまでに知られているL^∞解に対する結果を、非有界なL1解に拡張する研究を行った。退化放物型方程式に対する初期値-境界値問題の有界なエントロピー解（L^∞解）に対する比較定理は、これまでは、比較定理より弱いL^1縮小性定理がCarrillo(1999)と Massia et al.(2002)等によって、Kruzkohの２変数法を用いて証明されていた。　本研究ではP.L. Lions等により開発されたkinetic formulation法を初期値-境界値問題に適用できるように改良し、それらの結果をL1の枠組みにおける（非有界な）エントロピー解に対する比較定理に拡張した。

  • 非線型放物形偏微分方程式の解の漸近解析・数値解析の不変多様体による研究

    2001年  

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    \documentclass[a4j,10pt,onecolumn,oneside,notitlepage,final]{jarticle}%Preamble%%% Document Start %%%\begin{document}無限次元Banach空間における半線形発展方程式に対する不変多様体（中心安定多様体、中心不安定多様体）の理論の改良を行った。正確には、$X, Y, Z$　をBanach空間とし、$X$ と　$Y$　は　$Z$　に連続的に埋め込まれているとする。$\{T(t)\}$　を$Z$上の　$C_0$　半群とし、$F:R\times X\to Y$　は各$t$に対して、 $F(t,\cdot )$　は $C^1$級で、 $F(t,0)=0,\quad DF(t,0)=0$　とする。このとき、$\{T(t)\}$　に対する適当なスペクトル分割条件の下で、時間に依存する半線形発展方程式　$u(t)=T(t)x_0 + \int^{t}_{0}T(t-s)u(s)ds $ は原点のまわりで、$C^1$級の有限次元局所不変多様体を持つことを証明した。\parさらに、この結果を、非有界領域上の非線形放物型偏微分方程式　$u_t=\Delta u + F(u,\nabla u)$　の漸近解析の研究に適用する試みを行った。有界領域上の偏微分方程式に対しては、その線形化された方程式が離散スペクトルのみ持つので、有限次元のときと同様な議論を行うことにより不変多様体の存在は知られているが、非有界領域上の方程式に対してはその線形化された方程式は連続スペクトルのみあらわれ、スペクトルのギャップがないので有限次元のときの様な議論は成り立たない。この問題に対して、これまでは重みつきの$L^2$型Sobolev空間の枠内で扱われていたが、$L^p$型Sobolev空間で扱った。これにより、漸近挙動についてより精密な結果を得た。今後の研究として、この手法をSwift-Hohenberg方程式の周期解に対する非線形安定性問題の研究やSchrodinger方程式、Korteweg-Vries方程式などの分散型方程式の漸近挙動の研究に適用し、これらの問題に新しい切り口を与えたい。

  • 非線形偏微分方程式の解の漸近解析についての不変多様体による研究

    2000年  

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    　無限次元Banach空間における半線形発展方程式に対する不変多様体（中心安定多様体、中心不安定多様体）の理論の改良を行った。正確には、X, Y, ZをBanach空間とし、XとYはZに連続的に埋め込まれているとする。{T(t)}をZ上のC0半群とし、F: R ×X → Y は各tに対して、F(t,・)は C1級で、F(t,0)=0, DF(t,0)=0　とする。このとき、{T(t)}に対する適当なスペクトル分割条件の下で、時間に依存する半線形発展方程式　u(t)=T(t) x 0+∫t0T(t-s)u(s)ds は原点のまわりで、C1級の有限次元局所不変多様体を持つことを証明した。さらに、この結果を、非有界領域上の非線形放物型偏微分方程式　ut=△u + F(u,▽u)　の漸近解析の研究に適用する試みを行った。有界領域上の偏微分方程式に対しては、その線形化された方程式が離散スペクトルのみ持つので、有限次元のときと同様な議論を行うことにより不変多様体の存在は知られているが、非有界領域上の方程式に対してはその線形化された方程式は連続スペクトルのみあらわれ、スペクトルのギャップがないので有限次元のときの様な議論は成り立たない。この問題に対して、これまでは重みつきのL2型Sobolev空間の枠内で扱われていたが、Lp型Sobolev空間で扱った。これにより、漸近挙動についてより精密な結果を得た。今後の研究として、この手法をSwift-Hohenberg方程式の周期解に対する非線形安定性問題の研究やSchrodinger方程式、Korteweg-Vries方程式などの分散型方程式の漸近挙動の研究に適用し、これらの問題に新しい切り口を与えたい。

  • 散逸型偏微分方程式に対する慣性多様体の離散近似と構造安定性

    1998年  

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    1)Chan-Hilliard方程式、Kuramoto-Shivashinsky方程式、双安定反応拡散方程式などをモデルとするHilbert空間における発展方程式(D)　du(t)/dt=Au(t)+F(u(t)), t＞0に対する慣性多様体の構造安定性を差分近似の立場から考察した。ここで、Ａは解析的線形半群の生成作用素で、Ｆは非線形作用素である。(Ｅ)に対する差分近似として次を考える。(D)　ｘnl＝C（λe）ｘn-1l＋λlFl（ｘn-1l） ｎ=1,2,……但し、C(λl),flはl→∞のときする意味でＡ，Ｆにそれぞれ収束している。次の結果を得た。(D)に対する慣性多様性は(E)に対するそれにＣ1位相の意味で収束する。これにより、慣性多様体上のダイナミックスは差分近似に関して構造安定であることが保障された。2)非線形楕円型方程式b（u）-diva(・,u、Du)=f　in Uに対するDirichlet問題の再正規化解(renormalized solution)の存在について研究した。ここで、ＵはRNの非有界領域、bは(多価)単調増加関数、ｆはL1(U)の元である。

  • 2階準線形偏微分方程式の発展方程式論的研究

    1997年  

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    Rnの開集合Uにおける対流項をもつ非線形楕円型方程式　b(u)-div{a(x,u,Du)+h(u)}=f　に対するDirichlet問題と、X(0,T)における非線形放物型方程式　ut-div{a(t,x,u,Du)+h(u)}=f　に対する初期値-境界値問題のL1理論の研究を行った。ここで、bは非減少関数、aはRnに値をとるCarat&#201;　odory関数、hはR nに値をとる連続関数である。aはDuについての単調性とuについての増大度が仮定されているが、hについての増大度は仮定しない。これらの方程式は多孔性媒体における流体の研究、例えばダムの水の浸透問題などに現れる。　これらの方程式の解として、超関数解を採用すると一意性が成り立たない。そこで、この問題の本質は如何に適切に解を定式化するかである。本研究では、再正規化解(renormalized solotion)なる概念を採用して、解の存在と一意性を証明した。再正規化解はDiperna-LionsによってBoltzmann方程式の研究において導入された概念である。一方、&#201;　;nilan等の研究者達は、エントロピー解なる概念を導入し、これらの方程式を研究しているが、本研究では、再正規化解とエントロピー解は同値であることも証明した。研究成果の発表：(1)再正規化解とエントロピー解の同値性について（早稲田大学教育学部学術研究-数学編- 1998年2月pp.17-23）;(2)Existence and uniqueness of renormalized solutions of degenerate quasilinear elliptic equations in L1 spaces (1998, submitted)

  • 非線形発展方程式の理論とその応用

    1996年  

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