2024/06/19 更新

写真a

コオリ トシアキ
郡 敏昭
所属
理工学術院
職名
名誉教授
学位
理学博士 ( パリ(]G0006[)大学 )

経歴

  • 1972年
    -
    1977年

    早稲田大学理工学部 助教授

  • 1976年
    -
     

    - Professor

  • 1972年
    -
    1975年

    Associate professor of Sch. of Sci. and

  • 1971年
    -
    1972年

    早稲田大学理工学部 講師

  • 1971年
    -
    1972年

    Lecturer of Mathematics,

  • 1968年
    -
    1971年

    静岡大学理学部 講師

  • 1968年
    -
    1971年

    Lecturer of Mathematics, Faculty of

  • 1966年
    -
    1968年

    Assistant, Department of Applied

  • 1965年
    -
    1968年

    東京教育大学理学部 助手

  • 1964年
    -
    1966年

    Assistant, Institut of Statistical

  • 1964年
    -
    1965年

    文部省統計数理研究所 研究員

  •  
     
     

    Eng. Waseda Univ.

  •  
     
     

    早稲田大学

  •  
     
     

    School of Sciences and Engineering,

  •  
     
     

    Sciences, Shizuoka University

  •  
     
     

    Mathematics, Tokyo Kyoiku University

  •  
     
     

    Mathematics of Minister of education

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学歴

  •  
    -
    1976年

    その他(海外の大学等)   数理科学研究科   数理科学  

  •  
    -
    1976年

    Universite de Pierre et Marie Curie ( Paris 6 )   Graduate School, Division of Mathematical Sciences   Mathematical Sciences  

  •  
    -
    1964年

    京都大学   理学部   数学科  

  •  
    -
    1964年

    京都大学  

所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

  •  
     
     

    Mathematical Society of Japan

研究分野

  • 数理解析学 / 基礎解析学 / 幾何学

研究キーワード

  • 大域解析学・幾何学

  • Geometry

 

論文

  • Quaternifications and Extensions of Current Algebras on S-3

    Tosiaki Kori, Yuto Imai

    SYMMETRY-BASEL   7 ( 4 ) 2150 - 2180  2015年12月  [査読有り]

     概要を見る

    Let H be the quaternion algebra. Let g be a complex Lie algebra and let U (g) be the enveloping algebra of g. The quaternification g(H) = (H circle times U (g), [ , ](g)H) of g is defined by the bracket [z circle times X, w circle times Y](g)H = (z . w) circle times (XY) - (w . z) circle times (YX), for z, w is an element of H and the basis vectors X and Y of U (g). Let (SH)-H-3 be the (non-commutative) algebra of H -valued smooth mappings over S-3 and let S(3)g(H) = (SH)-H-3 circle times U (g). The Lie algebra structure on S(3)g(H) is induced naturally from that of g(H). We introduce a 2-cocycle on S(3)g(H) by the aid of a tangential vector field on S-3 subset of C-2 and have the corresponding central extension S(3)g(H) circle plus (Ca). As a subalgebra of (SH)-H-3 we have the algebra of Laurent polynomial spinors C [phi(+/-)] spanned by a complete orthogonal system of eigen spinors {phi(+/-(m,l,k))}(m,l,k) of the tangential Dirac operator on S-3. Then C[phi(+/-)] circle times U(g) is a Lie subalgebra of S(3)g(H). We have the central extension (g) over cap (a) = (C[phi(+/-)] circle times U(g)) circle plus (Ca) as a Lie-subalgebra of S(3)g(H) circle plus (Ca). Finally we have a Lie algebra b g which is obtained by adding to (g) over cap (a) a derivation d which acts on (g) over cap (a) by the Euler vector field d(0). That is the C-vector space (g) over cap = (C[phi(+/-)] circle times U(g)) circle plus (Ca) circle plus (Cd) endowed with the bracket [phi(1) circle times X-1 + lambda(1)a + mu(1)d, phi 2 circle times X-2 + lambda(2)a + mu(2)d]((g) over cap) = (phi(1)phi(2)) circle times (X1X2) - (phi(2)phi(1)) circle times (X2X1) + mu(1)d(0)phi(2) circle times X-2 - mu(2)d(0)phi(1) circle times X-1 + (X-1 vertical bar X-2)c(phi(1),phi(2))a. When g is a simple Lie algebra with its Cartan subalgebra h we shall investigate the weight space decomposition of (g) over cap with respect to the subalgebra (h) over cap = (phi(+(0,0,1)) circle times h) circle plus (Ca) circle plus (Cd).

    DOI

  • Lie algebra extensions of current algebras on S-3

    Tosiaki Kori, Yuto Imai

    INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRIC METHODS IN MODERN PHYSICS   12 ( 9 )  2015年10月  [査読有り]

     概要を見る

    An affine Kac-Moody algebra is a central extension of the Lie algebra of smooth mappings from S-1 to the complexification of a Lie algebra. In this paper, we shall introduce a central extension of the Lie algebra of smooth mappings from S-3 to the quaternization of a Lie algebra and investigate its root space decomposition. We think this extension of current algebra might give a mathematical tool for four-dimensional conformal field theory as Kac-Moody algebras give it for two-dimensional conformal field theory.

    DOI

  • Extensions of current groups on S-3 and the adjoint representations

    Tosiaki Kori

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   66 ( 3 ) 819 - 838  2014年07月  [査読有り]

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    Let Omega(3)(SU(n)) be the Lie group of based mappings from S-3 to SU(n). We construct a Lie group extension of Omega(3)(SU(n)) for n >= 3 by the abelian group exp 2 pi i A(3)*, where A(3)* is the affine dual of the space of SU(n)-connections on S-3. J. Mickelsson in 1987 constructed a similar Lie group extension. In this article we give several improvement of his results, especially we give a precise description of the extension of those components that are not the identity component. We also correct several argument about the extension of Omega(3)(su(2)) which seems not to be exact in Mickelsson's work, though his observation about the fact that the extension of Omega(3)(SU(2)) reduces to the extension by Z(2) is correct. Then we shall investigate the adjoint representation of the Lie group extension of Omega(3)(SU(n)) for n >= 3.

    DOI

  • Chern-Simons pre-quantizations over four-manifolds

    Tosiaki Kori

    DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS   29 ( 5 ) 670 - 684  2011年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We endow the space of connections on an SU(n)-principal bundle over a four-manifold with a pre-symplectic structure and define a Hamiltonian action on it of the group of gauge transformations that are trivial on the boundary. Then we consider the trivial SU(n)principal bundle for n >= 3 over the four-manifold that is a submanifold of a null-cobordant four-manifold, and we construct on the moduli space of flat connections a hermitian line bundle with connection whose curvature is given by the pre-symplectic form. This is the Chern-Simons pre-quantization of moduli spaces. The group of gauge transformations on the boundary of the four-manifold acts on the moduli space of flat connections by an infinitesimally symplectic way. When the four-manifold is a 4-dimensional disc we show that this action is lifted to the pre-quantization by its Lie group extension. The geometric description of the latter is related to the 4-dimensional Wess-Zumino-Witten model. (C) 2011 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

  • THEOREMS OF DUALITY ON THE STRONGLY PSEUDOCONVEX BOUNDARY .2. ALEXANDROFF DUALITY

    T KORI

    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   20 ( 3 ) 659 - 670  1984年  [査読有り]

Works(作品等)

  • 郡 敏昭詩集 「苦しい夜のために」

    芸術活動 

    2005年
    -
     

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • ヤング・ミルズ接続の空間とその双対空間の幾何学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2007年
    -
    2009年
     

    郡 敏昭

     概要を見る

    (1)4次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間がシンプレクティク構造を持つことを示し、その幾何的準量子化束を構成した。3次元境界がある場合その上のゲージ変換群のこのモジュライ空間へのシンプレクティクな作用がこの幾何的準量子化束に同変に持ち上がることを示した。これは前科研費研究の課題だったが最終的に完成させた。(2)3次元多様体上のSU(n)-カレント群の可環拡大はnが3より大きい場合にJ.Mickelssonにより1987年に構成された。SU(2)-カレント群の可環拡大の構成は未解決だったが、それが2種あり、その2種を構成した。これも前科研費研究以来の研究だがその最終結果として完成させた。(3)「可積分方程式のZakharov-Schabatの方法」を接続の空間の双対空間とその変換の理論の一般的枠組みとして構成するのが、本研究課題の主題だが、そのための準備として4次元空間の接続と随伴したディラック作用素の解の特異点での振る舞いを記述する「留数と双対の理論」を作った。この応用としてインスタントンのADHM構成を見通しよく整理した。

  • 4次元多様体のChern-Simonsゲージ理論の量子化の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2004年
    -
    2006年
     

    郡 敏昭

     概要を見る

    報告者は平成16年度から18年度の本研究:4次元多様体のChern-Simonsゲージ理論の量子化:において4次元多様体上の接続のモジュライ空間の幾何的量子化を研究した.境界を持った4次元多様体上の接続のモジュライ空間上に準シンプレクティク形式を定義しその上にChern-Simons形式を用いて準量子化束(準シンプレクティク形式を曲率とする接続を持っエルミート直線束)を構成した.境界上で自明となるゲージ変換群の作用はハミルトニアンとなりそのモーメント写像によるシンプレクティク還元が平坦接続のモジュライ空間となることを示し、かくして平坦接続のモジュライ空間の幾何的準量子化が得られた.3次元写像群は平坦接続のモジュライ空間へ局所シンプレクティクに作用するが、報告者が以前に4次元Wess-Zumino理論で構成していた3次元写像群の可環拡大がこの準量子化束への作用に持ち上がることを示した(平成16〜17年度).この結果は論文"Chern-Simons prequantization on 4-manifolds"にまとめて現在投稿中である。平成18年度の研究において、報告者は3次元多様体上の平坦接続の空間が歪シンプレクティク空間になることを示し、平坦接続が同境を与える4次元多様体上に延長される条件を決定し、この条件を満たす部分空間はシンプレクティクであることを証明した.これらの研究のほかにも、報告者はヤン・ミルズ方程式の渦(vortex)表示とHelicityについてもいくつかの結果を得ている.

  • 場の理論の幾何学とスピノール解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2001年
    -
    2003年
     

    郡 敏昭, 鈴木 達夫, 本間 泰史

     概要を見る

    研究課題のうち、場の理論の幾何学については、4次元Wess-Zumino-Wittenモデルの構成を行った。Wess-Zumino-Witten作用の定義を、境界を持つ4次元共形平坦多様体のカテゴリーから直線束のカテゴリーへの函手として定式化し、その構成を行った。その結果、これまで4次元球面に対して論じられていた諸結果を一般化した。とくに、ポリャコフ・ヴィグナーの公式を4次元共形平坦多様体において得ることに成功した。また、この課程で、3次元多様体からリー群への写像のなす群の互いに双対な2つの可換拡大を構成した。この結果は論文として、Journal of Geometry and Physics,47(2003),pp.235-258,に発表された。
    研究課題のうち、スピノール解析については、4次元共形平坦多様体上のディラック作用素の調和スピノール解の、(1)積分表現、(2)局所解の存在、(3)ルンゲの近似定理、ミターク・レフラーの定理を証明し、(4)複素平面上の領域および4次元球面において大域解が存在することを示した。続いて、特異点を持つ調和スピノールについて、(5)ローラン展開式、有理型スピノールの導入、さらに(6)有理型スピノールのDivisorを定義し(7)そのコホモロジー群についてリーマン・ロッホ型の定理を証明した。以上のうち、(1)〜(5)の結果は、Japanese Journal of Mathematics, vol.28,No1(2002),pp.1-30,に発表し、(6)(7)の結果は2002年、澳門大学でのClifford解析国際会議で発表し、またBirkhauser Verlagより出るTrends in Mathematics, Advances in Analysis and Geometryに論文として出版される予定である。

  • 変分的方法による非線型微分方程式の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1999年
    -
    2001年
     

    田中 和永, 柴田 徹太郎, 倉田 和浩, 大谷 光春, 足達 慎二, 中島 主恵, 郡 敏昭

     概要を見る

    変分的手法により非線型微分方程式の解の存在問題に関する研究を行った.得られた成果は非線型楕円型方程式,特異摂動問題に関するものとハミルトン系に関するものに大別できる.
    1.非線型楕円型方程式に関しては非有界領域状のスカラーフィールド方程式の正値解の存在,多重性を空間変数xの依存性をもつ場合に研究を行った.方程式の空間変数xへの依存性からの解集合への影響に関して考察を行い,そのデリケートな依存性を見いだした.特に依存性がいかに小さくとも解空間に大きな影響が起こることを示し,非常に小さな摂動ののちに4つの正値解をもつ方程式の例等をあげた.
    2.また空間非一様性をもつ非線型楕円型方程式に対する特異摂動問題を考察した.得られた成果としては(a)1次元問題に対し,新しい有限次元問題への帰着法を導入し,変分的アプローチと共に用いることにより,1点に集中する複数個の内部遷移層あるいは境界層をもつAllen-Cahn型方程式の解の構成し,また1次元非線型Schrodinger方程式に対する1点に複数個のspikeが集中するような半古典極限解の族の構成に成功した.(b)一般的な非線型項g(u)を伴った非線型楕円型方程式に関して,そのMountain Pass Theoremを用いた特徴付けを非常に広いクラスの非線型性に対して与え,その応用として高次元でのspike解の存在証明が,漸近的に線型のオーダーをもつ非線型項をも含む,非常に広いクラスの非線型項に対して可能となった.
    3.ハミルトン系に関しては,2体問題型の特異性をもつハミルトン系を主に扱った.まず複数個のstrong force typeの特異点をもつハミルトン系に対し,非常に複雑な(記号力学系に対応する)解軌道族を構成した.また特異点集合Sが1点でなく体積をもつ場合,特異性V(q)〜-1/dist(q,S)^αのオーダーαがいかに小さくとも-いわゆるweak forceの条件の下でも-周期軌道が存在することを見出した.

  • ゲージ項をもつDirac作用素の境界条件と不変量

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1997年
    -
    1998年
     

    郡 敏昭, 米田 元, 鈴木 武, 草間 時武, 田中 和永, 楫 元, 福島 延久

     概要を見る

    (1) 1997年-1998年、文部省科学研究費補助金(基盤C)「ゲージ項をもつDirac作用素の境界条件と不変量」により、ゲージ項をもったDirac作用素の指数公式を、グラスマン型の境界条件の下で調べた。とくに4次元半球面上における指数をAtiyah-Singerを用いずに計算した。
    (2) さらに、物理でNinomiya-Tanの定理(Chiral anomalyの公式)と呼ばれる結果をゲージ付きDirac作用素の指数の不変性として精密化した。すなわち、ゲージ項をもつDirac作用素のS^4上の指数が、半球面上の幾何的Dirac作用素の(ゲージ項により定まる)グラスマン型の境界条件を与えた時の指数と等しいことを示した。これはゲージ項の効果が境界条件に吸収されることを言っている。この結果は早稲田大学理工学研究所Technical Reportに報告し、さらにRoskild大学のB,B,Booss教授を通してAMS Series"Contemporary Mathematics""Geometric Aspects of Partial Differetial Equationsに掲載される予定である。
    (3) 以上の結果で、変数分離法によるS^3のスピノールのS^4へのゼロモード延長問題を、固有関数展開の形をさらに整理し、Bergmann核関数の類似により述べようと試みた。その結果コーシー核、それに続いて積分定理が得られた。そこからスピノール関数論と呼ぶべきものの構成を始め、特異点を持つゼロモードスピノールに対しローラン展開の類似を得た。C^2上の理論はほぼ完成している。これは次年度の萌芽研究に申請中である。

  • 各種微分方程式の数理解析および数値解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1994年
    -
    1996年
     

    室谷 義昭, 田中 和永, 提 正義, 郡 敏昭, 大谷 光春, 山田 義雄, 和田 淳蔵

     概要を見る

    特異摂動問題から導かれる差分方程式等の非対称行列を係数行列とする連立方程式に対し、SOR-likeな反復法を用いて解く際に有効な計算法として“順序付き改良SOR法"を提案し、その理論面と実用性を研究の主テーマとして取り組んだ。
    三重対角行列の場合に対し、改良SOR行列のスペクトル半径を0とする緩和係数を調べ、行列のLU分解のピボットの逆数と対応させるものn組を求め、それを用いた実用的なアルゴリズムを提案した。
    2次元定常移流拡散方程式を離散化して得られるブロック三重対角行列を係数行列とする連立方程式に対して、三重対角行列の場合の結果を応用した実用的な計算法として緩和係数を各ブロックごとのみならず、各反復ごとに変え、有限回で収束する手法である“適応的順序付きブロック改良SOR法"を提案した。
    次に、三重対角行列及びブロック三重対角列を係数行列とする連立方程式に対し、そのぞれ1回で及びn回で収束する順序付き改良SSOR法を提案する。またこの他に順序付き改良SOR法の一般的な収束定理を、一般化優対角行列に対しては判定法に役立つ必要かつ十分条件を求めた。
    “基本LUL分解"なるものを考えることにより、Hessenberg行列及び特殊な行列のあるクラスに対する具体的な反復行列のスペクトル半径を0とする簡単な緩和係数の決め方を得た。

  • 非線形偏微分方程式系の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1994年
     
     
     

    大谷 光春, 小島 清史, 宮寺 功, 山田 義雄, 堤 正義, 郡 敏昭

     概要を見る

    研究代表者及び理工学部所属の解析学分野分担者を中心とした、外部にも開かれた定期セミナーを早稲田大学理工学部内において週一回(計21回)開催した。この会(応用解析研究会)には、研究分担者のみならず、東京近郊の若手研究者が多く参加し、研究課題関連の話題について活発な討論、意見交換がおこなわれ、研究を遂行する上で非常に有意義であった。また研究経過発表会を数回おこなった。具体的成果については、個々の単独(非線形楕円形、放物型、双曲型、分散型)方程式に関する多くの成果のほかに、Davey-Stewartson(完全流体の表面波)方程式系に対し、弱解の存在と一意性及びその漸近挙動(時間とともに解のある種ノルムが零に近づく)が解明された。
    また、界面で化学反応を起こしている拡散方程式系、伝染病をモデル化した反応拡散系について、大域解の存在を示しその漸近挙動を決定した。更に、熱対流と非圧縮性粘性流との混合方程式系に対しては、流体の占める領域の境界が時間とともに変動する、非柱状領域における初期値境界値問題、周期問題の強解の存在と一意性が、柱状領域における熱伝導と粘性流に対してそれぞれ知られている結果を含む極めて一般的な枠組みで解決された。しかしながら、このように多くの成果があげられた一方、最終目標であったシュレディンガー混合型方程式系の多くを含む統一的理論を構築するという課題については、いくつかの有力な手がかりは得られたものの、達成するには至らなかった。今後の課題としたい。

  • 非線型放物型方程式系及び楕円型方程式系にたいする解集合の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1993年
     
     
     

    山田 義雄, 堤 正義, 郡 敏昭, 小島 清史, 垣田 高夫, 大谷 光春

     概要を見る

    非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式について研究を進めてきたなかで、今年度中に成果が得られた研究テーマは、[1]フイードバック効果をもつ反応拡散方程式系についての解集合の構造、[2]数理生態学にあらわれる準線系放物型方程式系について、の二つである。[1]の研究においては、数値実験の結果から、フイードバックのメカニズムは反応拡散方程式系の解にたいして振動現象をもたらすことが観測されている。ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながらも終局的には定常解に収束するのはどんな場合かを解析した。その結果、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件をわかりやすい形で導くことができた。さらに適当な定数をパラメーターとみなして変化させるとき、定常解が不安定となる状況が起きる。このときには定常解から周期解が分岐することが証明され、分岐した周期解の軌道安定性を調べることができた。周期解が必ずしも軌道安定になるとは限らないこともわかり、将来さらに詳しい解析を進める必要がある。また、[1]の方程式系をディリクレ境界条件の下で解析すると、解の漸近挙動を調べる際にノイマンのときにはなかった難しさがあらわれる。定常問題の解集合の構造が単純ではない点である。対応する楕円型方程式系の正値解を見つけることが重要であり、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。ただし、解集合の情報は完全ではなく、今後も研究を続けなければならない。[2]は二種類の生物が競合している状況をモデルとしていて、二つの方程式の間で拡散効果が相互作用をしている。このような数学的難点を克服して、かなり自然な条件のもとで有界な大域界を校正することができた。今後は、この解の時間無限大での漸近挙動を調べる予定である。

  • 関数方程式の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1992年
     
     
     

    小島 清史, 郡 敏昭, 上野 喜三雄, 鈴木 武, 山田 義雄

     概要を見る

    当該年度において、上記研究課題について数理物理学に表される各種の偏微分方程式に対して研究等で著るしい発展があった。まず、山田義雄は、熱対流方程式の外部領域における混合問題の大域解の存在性、一環性および漸近挙動について調べた。類似の問題は、従来ナビア-ストークス方程式等については知られていたが、熱対流方程式に関しては始めての結果であると思われる。(Tokyo J.Math,Vol15)さらに山田は、界面における化学反応方程式の漸近的挙動に対しても新しい結果を得ている。(Osaka J.Math Vol29)
    また鈴木武は、統計的仮設検定問題において、ベイズリスクと統計的十分性の関係に注目して、ベイズ危険により漸近十分性を特徴ずけている(Statistics & Resisions Vol15)また、非エルゴード的確率過程モデルにおいて、最大確率推定量を定義し、その特質を論じている(Bull.Sui.& Eng.Lal.Waseda.Uniu)
    さらに上野喜三雄は、非コンパクト量子群SU_q(I,1)の球関数に対するブランシェレルの公式をカシミール作用素に対応するq-差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。
    郡は、S^4のディラック作用素に対する境界値問題を研究し、場の量子論への応用を試みた。以上の様に、特に数理物理学あるいは応用数学において表われる各種の関数方程式に対して、注目すべき成果が多く得られた。

  • 無限次元リー群およびリー環の表現とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1991年
    -
    1992年
     

    清水 義之, 橋本 喜一両朗, 郡 敏昭, 上野 喜三雄

     概要を見る

    当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである。

  • 場の理論の数学

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1991年
     
     
     

    郡 敏昭, 大谷 光春, 堤 正義, 橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 垣田 高夫

     概要を見る

    2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。
    S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)
    量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)
    この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田)

  • 統計的漸近理論の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1990年
     
     
     

    鈴木 武, 郡 敏昭, 鈴木 晋一, 堤 正義, 橋本 喜一朗, 草間 時武

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    1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。
    2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。
    3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある。

  • 量子群上の調和解析と差分系のスペクトル理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1990年
     
     
     

    上野 喜三雄, 廣瀬 健, 堤 正義, 郡 敏昭

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    当該年度において,上記研究課題の量子群を含む,数理物理上のいくつかの主題(場の量子論,ソリトン方程式)及び,コンピュ-タ-科学について著しい研究の進展があった。まず,代表者上野は,非compact量子群SU_q(1,1)の球関数に対するPlancheralの公式を,カシミ-ル作用素に対応するqー差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。(Spectral Analysis for the Carimir Operator on the Quantum Group SU_q(1,1),Boc.Japan Acad,vol66 SirA(1990))注目すべきは,リ-群SU(1,1)に対する同種の公式に現われないユニタリ-表現の系列がPlancheralの公式に関与するという事実である。すなわち,ユニタリ-表現の主系列の構造が,量子群SU_q(1,1)とリ-群SU(1,1)では全く異なるのである。さらに,上野は,高ランクの量子対称空間の球関数論を考察した。(Zonal Spherical Functions on Quantum Symmetric Spaces and Macdonald's Symmetric Polynomials to appear in the Proceedings of the 1st Somester on Quantum Groups,EIMI,Leningrad '90)量子対称空間GL_q(n)/O_q(n)を然るべく定義した後,n=3の時,この空間上の不変q差分作用素を計算し,結果として,組合せ論,代数群において重要な役割を演ずるMacdonalの対称多項式が球関数であることを発見した。これは量子群の研究において画企的なことと信ずる。この方面の研究は現在も継続中である。また分担者群敏昭は,無限次元グラスマン多様体上の自由フェルミ場の理論を拡張すべく,S^3上のディラック方程式の固有関数で張られる無限次元グラマン多様体の理論を構築し,場の量子論への応用を試みた。堤正義はソリトン方程式のCauchy問題,境界値問題の研究で進展を見た。最後に,廣瀬健は,コンピュ-タ-・アルゴリズムについて基礎論からのアプロ-チを行った。

  • 場の量子論の幾何学

    研究期間:

    1990年
    -
     
     

  • Geometry of Field Theory

    研究期間:

    1990年
    -
     
     

  • 関数空間の理論とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1989年
    -
    1990年
     

    和田 淳藏, 郡 敏昭, 鈴木 晋一, 石垣 春夫, 日野原 幸利, 宮寺 功

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    本研究を理論面と応用面に大別し、それぞれについて研究の概要を述べる。もちろん両者は密接に関連している。
    1. 理論面。 関数空間、とくに解析関数からなる関数空間、および関数環の理論の研究が研究期間2年間にわたって行なわれた。まず山口ー和田の研究がある。これは、関数環の理論の中の種々の定理が、関数空間ではどの程度成り立つかについて論じられた。これは以前の研究の継続であるが、ある条件をみたす関数空間において、Rudinの定理、Briemの定理、Hoffman・Wermenの定理など一般化が得られた。また郡は、C^nの有界な強擬凸領域Dにおいて、A(D)をD^^ー上で連続でDで正則な関数全体の関数空間としたとき、A(D)の共役空間の特徴付けを行ない、それがある条件をみたす弱連続(n,nー1)ーfromの全体の関数空間と一致することを示した。そのほかに、羽鳥ー和田の関数環上の微分子の研究、郡のS^4とS^3上のDirac作用素の研究などがある。
    2. 応用面。 関数空間を単にふつうの意味の関数の空間に限らず、ベクトル値関数の空間や、さらに一般の空間の中で問題を発展させていくことが2年間にわたって行なわれた。まず一般化された空間の場合として宮寺ー田中は、線形作用素からなるCー半群の生成理論から、種々のクラスの半群の生成定理が統一的に得られることを示し、田中ー宮寺はBanach空間で必ずしも稠密には定義されていない作用素による線形作用素のCー半群の生成を考察しこれを利用して、Cー半群とintegrated semigroup の間の関係をつまびらかにした。また宮寺ー田中は、作用素AがCー半群を生成するための条件を、クラス(Co)の半群の立場から論じ、宮寺ー田中は、クラス(Co)の半群の生成に関するHilleー吉田の定理の一般化として、integrated Cー半群の生成理論を考察している。そのほかに和田のベクトル値解析関数の研究、石垣の最適制御問題の研究などがある。

  • 代数群上の保型函数論とP-進離散群の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1989年
     
     
     

    橋本 喜一朗, 山田 義雄, 上野 喜三雄, 清水 義之, 郡 敏昭, 足立 恒雄

     概要を見る

    1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。
    2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。
    3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した。

  • 数論的多様体の幾何学的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1987年
     
     
     

    有馬 哲, 山田 義雄, 宮寺 功, 郡 敏昭, 草間 時武, 足立 恒雄

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    (1)曖昧であった擬ベクトルと擬スカラーの概念を明快にし, ベクトル場, 擬ベクトル場の回転rot, 発散divの座標系と独立な定義を与えた. それらを用いて真空の電磁場と回転運動を記述した.
    (2)Fermat予測の第1の場合に対し, 新しい合同式を見つけた.
    (3)弾性をもつ絃の振動をモデルとするような退化型準線型波動方程式の初期値境界値問題について, 局所解を構成する手法を確立するとともに, 解の一意性を示した.
    (4)界面における化学反応を記述する楕円型一放物型方程式系についての初期値境界値問題に対して, 滑らかな正値解の大域的存在を示した. 「11.研究発表」の他に寺田文行(Tournal of Seience Education Axpar)Pro-celdings of the leep TC3 Regional conferenee on microcomputer's in Secondary Education.), 中島勝也(計算機内部数表現に関する研究), 広瀬健(Tournal of enformation Rioces-sing), 和田淳蔵(Tokyo J.Math)の研究業績がある.
    なお有馬哲, 橋本喜一朗, 郡敏昭は別に論文を執筆中である.

  • Complex Analytic Dynamicsの研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1987年
     
     
     

    伊藤 隆一, 中島 勝也, 郡 敏昭, 宮寺 功, 和田 淳蔵, 鈴木 晋一

     概要を見る

    ジュリア集合に関する研究では, Eλ=λe^zのλについての変化の様子を調べたが, まだ所期の目的を達していない. 今後さらに研究を続けて, 測度, ハウスドルフ次元などについて結果を得たい.
    研究分担者による周辺分野の研究では, いくつかの成果を得たので, 下にそのうちの数例を記しておく.
    (1)4次元球面の2つの2次元球面はlinkの状態を引き起す. しかしこのlinkの状態は, 3次元球面内の2つの1次元球面の引き起すlinkとは本質的に異なり, link homotopyの概念のもとではすべて解けることを示した. (2)R.H.Foxが1958年に導入した結び目の合同類に関する定理の証明の誤りを正し, さらにこの概念を一般化して新しい結果を導いた. (3)3次元球面内のグラフに対して, 結び目, 絡み目の素分解の概念の一般化を試み, その存在と一意性を示した. (4)Function Algebraの摂動, 特にFunction Algebraの直和の安定性を調べ無限個のFunction Algebra{Aλ}の直和が安定となるための条件を与えた. (5)Bishopの定理を関数空間に一般化し, 関数環におけるいくつかの定理が, ある条件をもつ関数空間においても成り立つことを示した. (6)バナッハ空間におけるC-半群に対して3つの作用素 A, 〓, Zの間の関係を研究し, 〓CA=Zを示した. さらに〓=Aとなるための条件を調べた.
    この外, 中島は, マンデルブロート集合についてコンピュータによる解析を行った. 郡はC^nの凸領域における, 連続な境界値をもつ解析関数の空間の反対について一定の結果を得た.

  • 共形場の理論

  • ポワソン多様体と解析力学

  • スピノール解析

  • 接続と特性類の理論

  • Conformal Field Theory

  • Analytic geometry and Poisson manifolds

  • Spinor Analysis

  • Theory of Connections and Characteristics

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Misc

  • Yang-Mills 方程式のハミルトン形式

    郡 敏昭

    数理解析研究所講究録 力学系と微分幾何学 Dynamical Systems and Differential Geometry   ( 1408 ) 110 - 122  2005年

  • Yang-Mills 方程式のハミルトン形式

    郡 敏昭

    数理解析研究所講究録 力学系と微分幾何学 Dynamical Systems and Differential Geometry   ( 1408 ) 110 - 122  2005年

  • 解析力学・対称性(局所シンプレクティク幾何学)

    三恵社    2004年

  • Cohomology groups of harmonic spinors on conformally flat manifolds

    T Kori

    ADVANCES IN ANALYSIS AND GEOMETRY: NEW DEVELOPMENTS USING CLIFFORD ALGEBRAS   pp. 209-225   209 - 225  2004年

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    We shall investigate various properties of the sheaf of harmonic spinors N on C-2 and, more generally, on conformally flat spin 4-manifolds. We prove the Runge approximation theorem on C-2, and the vanishing of cohomologies; H-1(C-2, N) = 0 and H-1(S-4,N) = 0. We shall introduce a concept of divisors of meromorphic spinors on a compact conformally flat spin 4-manifold, and give an analogy of Riemann-Roch theorem.

  • Cohomology Groups of Harmonic Spinors on Conformally Flat Manifolds

    Trends in Mathematics: Advances in Analysis and Geometry, Birkhauser Verlag   pp. 209-225  2004年

  • Four-dimensional Wess-Zumino-Witten actions

    T Kori

    JOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS   47 ( 2-3 ) 235 - 258  2003年08月

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    We shall give an axiomatic construction of Wess-Zumino-Witten (WZW) actions valued in G = SU(N), N greater than or equal to 3. It is realized as a functor WZ from the category of conformally flat four-dimensional manifolds to the category of line bundles with connection that satisfies, besides the axioms of a topological field theory, the axioms which abstract the characteristics of WZW actions. To each conformally flat four-dimensional manifold Sigma with boundary Gamma = partial derivativeSigma, a line bundle L = WZ(F) with connection over the space GammaG of mappings from F to G is associated. The WZW action is a non-vanishing horizontal section WZ(Sigma) of the pullback bundle r*L over SigmaG by the boundary restriction r : SigmaG --&gt; GammaG. WZ(Sigma) is required to satisfy a generalized Polyakov-Wiegmann formula with respect to the pointwise multiplication of the fields SigmaG. Associated to the WZW action there is a geometric description of the extension of the Lie group Omega(3)G due to Mickelsson. In fact, we have two Abelian extensions of Omega(3)G that are in duality. (C) 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.

    DOI

  • Four-dimensional Wess-Zumino-Witten actions

    Journal of Geometry and Physics/ Elsevier   Vol. 47, Issue 2-3, page 235-258  2003年

    DOI

  • Spinor analysis on C2 and on conformally flat 4-manifolds

    Tosiaki Kori

    Japanese Journal of Mathematics   28 ( 1 ) 1 - 30  2002年

     概要を見る

    The present paper is concerned with extensions of complex analysis on the complex plane C to conformally flat 4-manifolds. We shall give in an explicit form a fundamental system of spinors that will serve as the basis vectors for the Laurent expansion. Restricted to a sphere around the center of the expansion these spinors form a complete orthonormal system of eigenspinors of the tangential Dirac operator on the sphere, and give a basis of the representations of Sρin(4). We shall also give the definition of meromorphic spinors and residues, and prove under some hypothesis that, on a compact conformally flat 4-manifold, the sum of the residues of a meromorphic spinor is zero. © 2002, The Mathematical Society of Japan. All rights reserved.

    DOI

  • Spinor analysis on $C^2$ and on conformally flat 4-manifolds

    Japanese Journal of Mathematics   28-1, pp.1-30  2002年

  • 共形平坦多様体のzero mode spinor層のコホモロジー

    日本数学会    2000年

  • Spinor analysis on conformally flat 4-manifolds

    Conference on Dirac operators, index theorem and numerical invariants ,Usedom-Seeland, Germany    1999年

  • Spinor analysis on C^2 and on conformally flat 4-manifolds

    Dirac operators, Index theorems and Numerical Invariants,Germany    1999年

  • Chiral Anomaly and Grassmannian Boundary Conditions

    Contemporary Mathematics/American Mathematical Society   242  1999年

  • Meromorphic spinors on locally flat 4-manifolds

    International Conference on Clifford analysis, Mexico    1999年

  • Meromorphic spinors, Runge's theorem and…

    Banach Center,Poland    1999年

  • Solutions of the Dirac operator onconformally flat 4-manifolds

    Mathematical Colloquium of University of Odense, Denmark    1999年

  • Spinor analysis on C^2 and on conformally flat 4-manifolds

    Dirac operators, Index theorems and Numerical Invariants,Germany    1999年

  • Chiral Anomaly and Grassmannian Boundary Conditions

    Contemporary Mathematics/American Mathematical Society   242  1999年

  • Meromorphic spinors on locally flat 4-manifolds

    International Conference on Clifford analysis, Mexico    1999年

  • Meromorphic spinors, Runge's theorem and…

    Banach Center,Poland    1999年

  • Solutions of the Dirac operator onconformally flat 4-manifolds

    Mathematical Colloquium of University of Odense, Denmark    1999年

  • ディラック作用素の解析学

    応用解析研究会    1998年

  • Dirac作用素のゼロモードスピノールの積分表現

    日本数学会関数解析分科会    1998年

  • 有理型スピノールと留数定理

    日本数学会幾何学分科会    1998年

  • Meeromorphic spinors and residues on ${\roman C}^2$\endtitle

    山形大学理学部Proceeding of the conference on real analysis and functional analysis in Yamagata University    1998年

  • Meeromorphic spinors and residues on ${\roman C}^2$\endtitle

    山形大学理学部Proceeding of the conference on real analysis and functional analysis in Yamagata University    1998年

  • 複素関数の解析学

    遊星社    1997年

  • ディラック作用素のコーシー核について

    科研費集会「シンプレティック幾何学」報告    1997年

  • Lie algebra of the infinitesimal automorphisms on S-3 and its central extension

    T Kori

    JOURNAL OF MATHEMATICS OF KYOTO UNIVERSITY   36 ( 1 ) 45 - 60  1996年02月

  • Lie algebra of the infinitesimal automorphism on S^3 and its central extension

    Journal of Mathematics of Kyoto University   36-1,pp.45-60  1996年

  • Index of the Dirac operator on S4 and the infinite dimensional Grassmannian on S3

    Tosiaki Kori

    Japanese Journal of Mathematics   22 ( 1 ) 1 - 36  1996年

    DOI

  • Lie algebra of the infinitesimal automorphism on S^3 and its central extension

    Journal of Mathematics of Kyoto University   36-1,pp.45-60  1996年

  • Index of the Dirac operator on $S^4$ and the infinite dimensional Grassmannian on $S^3$

    Japanese Journal of Mathematics   22-1, pp.1-36  1996年

  • $S^4$上のスピノールに対する延長問題(非線型可積分系の研究の現状と展望)

    郡 敏昭

    数理解析研究所講究録   822   62 - 69  1993年03月

    CiNii

  • $S^3$上のフェルミオン・フォック空間の構成(非線型可積分系の研究の現状と展望)

    郡 敏昭

    数理解析研究所講究録   822   56 - 61  1993年03月

    CiNii

  • DUAL OF THE SPACE OF HOLOMORPHIC-FUNCTIONS WITH CONTINUOUS BOUNDARY-VALUES ON A STRICTLY PSEUDO-CONVEX DOMAIN IN CN

    T KORI

    MATHEMATISCHE ANNALEN   284 ( 4 ) 537 - 562  1989年

  • Dual of the space of holomorphic functions with continuous boundary values on a strictly pseudo-convex domain in $C^n$

    Mathematishe Annalen/Springer   284, pp.537-562  1989年

  • Relative holomorphic tangent bundle along CR maps and the deduction of Kuranishi's formula

    Kori, Tosiaki

    Seminar Notes on Differential Topology   10   1 - 45  1988年

  • Relative holomorphic tangent bundle along CR maps and the deduction of Kuranishi's formula

    Kori, Tosiaki

    Seminar Notes on Differential Topology   10   1 - 45  1988年

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特別研究期間制度(学内資金)

  • 接続の空間の幾何学と解析学-多様体上の接続の空間の幾何的量子化と写像リー群の表現論

    2010年10月
    -
    2011年03月

    フランス   パリ第6大学

特定課題制度(学内資金)

  • 接続のモジュライ空間の幾何的量子化とテプリッツ量子化

    2010年  

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    接続のモジュライ空間の幾何的量子化の研究については、概略が完成し最初の報告を書いたのが2007年で、その後シンポジウムや研究会で発表し、多くの批判と助言にもとずいて論文のかたちに仕上げたのが2009年であった。論文投稿の過程でレフェリーの意見や助言をもとに、間違いを訂正し最終的に仕上げたのは2011年3月である。この特定課題の研究助成は、この最終段階をパリ大学(Universite de Pierre et Marie Curie)で仕上げる際の補助となった。4次元多様体上の接続の空間にプレ・シンプレクティク構造が入ることを示し、とくに平坦接続の空間上に、量子化束を構成し、この曲率がプレ・シンプレクティク形式と一致することを示した。これは、古典系の量子化という物理学・数学の研究課題への第一歩となると思う。これまでの研究では2次元の場合しか扱われておらず自然界にふさわしく4次元であつかえることを示した。この結果をUPMCのGroup de Travail: Renormalisation-Factorisationのセミナーで2月22日に講演した。この研究に関連して、カレント代数のアーベル拡大の研究も完成させた。これまでなされてきた2次元時空における研究ではループ代数の中心拡大として 多くの優れた研究者がしらべてきた内容を、4次元時空でのあつかいに拡張した。この方面の先駆者はストックホルム大学のJ. Mickelssonだが、Mickelssonにおいて未解決だったリー群SU(2)のカレント代数についてもアーベル拡大を構成し、さらにその余随伴軌道表現への方向づけを示すことができた。さらに、こうして得られたカレント代数のアーベル拡大が、接続のモジュライ空間上の量子化束に同変作用することを示した。これは、平坦接続の空間のモジュライの幾何的量子化必要な表現空間の構成におおきな示唆を与えると思われる。

  • 共形平坦多様体上のDirac作用素

    2000年  

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     1.報告者は四次元共形平坦多様体上の共形場理論を目指して、この数年の一連の研究において、そのための道具つくりを行ってきた。四次元空間においてディラック作用素によるスピノール解析を行い2次元複素平面上の関数論と類似の理論が作れることを一昨年・昨年に示した。本研究では、その続きの大域的理論として、四次元共形平坦多様体上におけるスピノール解析を行いリーマン面の理論と類似の理論、とくに与えられた極を持つ有理形スピノールの空間の次元を調べ古典のリーマン・ロッホの定理に相当することを証明した。開リーマン面の正則関数の高次のコホモロジーはすべて消えるが、これに対応して四次元共形平坦多様体上で(ディラック作用素に関する)調和スピノールの高次のコホモロジーが消えるという予想は途中まで証明され、これは成り立つと思われるが今後の課題である。 2.上記研究と平行して報告者はWess-Zumino-Witten2次元共形場の理論を四次元に拡張することを試みて成功した。 四次元共形平坦多様体の境界となる3次元多様体の同境類のカテゴリから直線束のカテゴリへのファンクターで、ファインマン経路積分の性質を抽象した公理を満たすものを構成した。この際、基礎的な役割を果たすのが、3次元球面からリー群への写像全体の空間の上で定義されるある種の主束であり、それは互いに双対なもの二つの主束で、位相的には U(1)-主束となっている。これにより3次元球面からリー群への写像全体のつくる群の互いに双対な可換拡大が二つ得られ、これはそのこと自体位相幾何として興味あることである。この理論は、接続による高次の平行移動の理論、Deligne-Kostant理論の高次元類似やgerbeの理論との関係が期待され、今後興味ある展開を期待できる。この結果は現在 論文として投稿中である。

  • 4次元共形平坦多様体のスピノール解析と共形場理論への応用

    1999年  

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    1.4次元空間のディラック作用素のゼロモードスピノールについて、古典的な複素関数論と類似の理論が展開できることを示した。すなわち、コーシーの積分公式、ローラン展開、4次元球面上の留数定理を示した。また、複素関数論が1次元複素多様体(リーマン面)に拡張されるごとく、我々の理論も4次元共形平坦多様体の上で展開されることを示した。この結果は論文として投稿中である。また、ウセダム(ドイツ)におけるデイラック作用素の会議で99年3月に、メキシコの Ixtapo-Zihuatanejo でのInternational conference on Clifford algebra において7月にこの結果を講演した。2.1で述べた研究に続いて、4次元共形平坦多様体の上のディラック作用素のゼロモードスピノールのコホモロジーを調べた。開4次元共形平坦多様体に対しては、1次以上のコホモロジーがすべて消えることを示した。これはリーマン面がシュタイン多様体であるという古典的結果に対応してる。とくに開4次元共形平坦多様体上ではディラック方程式の大域解の存在が示せたことになる。また、ルンゲ近似定理に対応する結果およびセールの双対定理に対応した<ゼロモードスピノールの空間の双対は反ゼロモードスピノールの台がコンパクトな1次コホモロジーになる>という結果も得られた。この結果を、9月にワルシャワのバナッハ研究所での散乱理論およびディラック作用素の研究集会、および12月に、コペンハーゲン大学数学研究所の解析セミナーとオーデンセ大学数学コロキュームにおいて講演した。

  • 5次元Yang-Mills-Higgs場と様々な位相不変量

    1997年  

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    1.ホプフ・ファイバーS7→S4をBPSTインスタントンにより解釈し、Diracモノポールとの類似を具体的に写像を式で記述して示した。次に、射影平面P2(C)上のSU(2)主束にともなうインスタントンを具体的に式を与えて構成した。 3次元空間R3の上のSU(2)ヤン・ミルズ・ヒグス理論と自発的対称性の破れによるディラックモノポールの出現は良く知られている。これを高次元化する問題がこの特定課題研究の目的であるが、筆者は5次元空間R5の上のSU(3)ヤン・ミルズ・ヒグス理論を調べ、自発的な対称性のやぶれU(1)&#215; SU(2)とそれにともなう不変量をひとつ見いだした。この部分SU(2)束としてBPSTインスタントンが埋め込まれてモノポールの役割をしていることを示した。結果については吟味・検討中である。2.筆者は、この特定課題研究と平行して、ゲージ項を持つDirac作用素の境界条件と指数について次の結果を証明し、論文として投稿中である。まず、4次元球面上のベクトルポテンシャルで静電的なものの全体は、赤道の3次元球面上の(幾何的)Dirac作用素の境界条件の全体のつくる無限次元グラスマニアンの中に写像されることを示した。その上で次の3種の指数が等しくなることを証明した。(1) 4次元球面上のゲージ項をもつDirac作用素の指数、(2)4次元半球面上で、同じDirac作用素に、赤道上でAtiyah-Patodi-Singer境界条件を課したときの指数、(3)4次元半球面上の幾何の指数。(1)、(2)が等しいことは知られていたと思ってよいので、(3)が重要である。これにより二宮・タンの定理を精密化した。3.このほかにホプフ・ファイバーS7→S4の束写像が調和振動子の軌道により与えられることを、示すことができそうである。

  • ゲージ群の幾何

    1995年  

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    次の結果を得た。I. 境界を持つ多様体でのゲージ項のあるディラック作用素の指数定理とAxial anomaly. 4次元空間の半球において,境界球面の近くでは自明な形をしているヴェクトルポテンシャルをAとし,Aをゲージ項とするカイラルディラック作用素をDAとする。ゲージ項なしのディラック作用素の境界球面での接平面成分(ハミルトニアン)の正の固有値をもつ固有スピノール全体の空間への射影をPとする。境界条件Pφ=0(アチャ・シンガー・パトディ境界条件)を与えたときのDAの指数の計算が重要である。これについて二宮-Tanは, index DA = deg (h)ただし境界の近くでA=h-1dh,を証明した(1985年)。筆者はより一般にAxial成分を持たないヴェクトルポテンシャルに対しDAの指数と,境界面上の無限次元グラスマン多様体の中でAが定める成分の次元との関係を考察した後,境界近傍でAが自明な場合,Aに依らずアチャ・シンガー・パトディ境界条件が定まることを示し,上記の二宮-Tanの結果を系として導く定理を証明した。これは物理におけるゲージ場の理論においても重要な結果であると思う。II. Ω3Gのアーベル拡大. 3次元球面からリー群G=SU(N)への写像のつくるリー群のアーベル拡大を構成することは,それに附随したアノマリーバンドルとともに重要であり,J. マイケルソンが構成している。彼が構成にもちいた2-コサイクルはS3上のゲージポテンシャル全体Αに値をとるものであった。本研究で研究者はΩ3Gに値をとる2-コサイクルにより同様のアーベル拡大が得られることを示した。さらに,このアーベル拡大の方法によりWess-Zumino-Wittenモデルの4次元多様体への拡張を構成できることを現在示しつつある。