特異摂動問題から導かれる差分方程式等の非対称行列を係数行列とする連立方程式に対し、SOR-likeな反復法を用いて解く際に有効な計算法として“順序付き改良SOR法"を提案し、その理論面と実用性を研究の主テーマとして取り組んだ。
三重対角行列の場合に対し、改良SOR行列のスペクトル半径を0とする緩和係数を調べ、行列のLU分解のピボットの逆数と対応させるものn組を求め、それを用いた実用的なアルゴリズムを提案した。
2次元定常移流拡散方程式を離散化して得られるブロック三重対角行列を係数行列とする連立方程式に対して、三重対角行列の場合の結果を応用した実用的な計算法として緩和係数を各ブロックごとのみならず、各反復ごとに変え、有限回で収束する手法である“適応的順序付きブロック改良SOR法"を提案した。
次に、三重対角行列及びブロック三重対角列を係数行列とする連立方程式に対し、そのぞれ1回で及びn回で収束する順序付き改良SSOR法を提案する。またこの他に順序付き改良SOR法の一般的な収束定理を、一般化優対角行列に対しては判定法に役立つ必要かつ十分条件を求めた。
“基本LUL分解"なるものを考えることにより、Hessenberg行列及び特殊な行列のあるクラスに対する具体的な反復行列のスペクトル半径を0とする簡単な緩和係数の決め方を得た。

研究代表者及び理工学部所属の解析学分野分担者を中心とした、外部にも開かれた定期セミナーを早稲田大学理工学部内において週一回(計21回)開催した。この会(応用解析研究会)には、研究分担者のみならず、東京近郊の若手研究者が多く参加し、研究課題関連の話題について活発な討論、意見交換がおこなわれ、研究を遂行する上で非常に有意義であった。また研究経過発表会を数回おこなった。具体的成果については、個々の単独(非線形楕円形、放物型、双曲型、分散型)方程式に関する多くの成果のほかに、Davey-Stewartson(完全流体の表面波)方程式系に対し、弱解の存在と一意性及びその漸近挙動(時間とともに解のある種ノルムが零に近づく)が解明された。
また、界面で化学反応を起こしている拡散方程式系、伝染病をモデル化した反応拡散系について、大域解の存在を示しその漸近挙動を決定した。更に、熱対流と非圧縮性粘性流との混合方程式系に対しては、流体の占める領域の境界が時間とともに変動する、非柱状領域における初期値境界値問題、周期問題の強解の存在と一意性が、柱状領域における熱伝導と粘性流に対してそれぞれ知られている結果を含む極めて一般的な枠組みで解決された。しかしながら、このように多くの成果があげられた一方、最終目標であったシュレディンガー混合型方程式系の多くを含む統一的理論を構築するという課題については、いくつかの有力な手がかりは得られたものの、達成するには至らなかった。今後の課題としたい。

非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式について研究を進めてきたなかで、今年度中に成果が得られた研究テーマは、[1]フイードバック効果をもつ反応拡散方程式系についての解集合の構造、[2]数理生態学にあらわれる準線系放物型方程式系について、の二つである。[1]の研究においては、数値実験の結果から、フイードバックのメカニズムは反応拡散方程式系の解にたいして振動現象をもたらすことが観測されている。ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながらも終局的には定常解に収束するのはどんな場合かを解析した。その結果、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件をわかりやすい形で導くことができた。さらに適当な定数をパラメーターとみなして変化させるとき、定常解が不安定となる状況が起きる。このときには定常解から周期解が分岐することが証明され、分岐した周期解の軌道安定性を調べることができた。周期解が必ずしも軌道安定になるとは限らないこともわかり、将来さらに詳しい解析を進める必要がある。また、[1]の方程式系をディリクレ境界条件の下で解析すると、解の漸近挙動を調べる際にノイマンのときにはなかった難しさがあらわれる。定常問題の解集合の構造が単純ではない点である。対応する楕円型方程式系の正値解を見つけることが重要であり、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。ただし、解集合の情報は完全ではなく、今後も研究を続けなければならない。[2]は二種類の生物が競合している状況をモデルとしていて、二つの方程式の間で拡散効果が相互作用をしている。このような数学的難点を克服して、かなり自然な条件のもとで有界な大域界を校正することができた。今後は、この解の時間無限大での漸近挙動を調べる予定である。

当該年度において、上記研究課題について数理物理学に表される各種の偏微分方程式に対して研究等で著るしい発展があった。まず、山田義雄は、熱対流方程式の外部領域における混合問題の大域解の存在性、一環性および漸近挙動について調べた。類似の問題は、従来ナビア-ストークス方程式等については知られていたが、熱対流方程式に関しては始めての結果であると思われる。(Tokyo J.Math,Vol15)さらに山田は、界面における化学反応方程式の漸近的挙動に対しても新しい結果を得ている。(Osaka J.Math Vol29)
また鈴木武は、統計的仮設検定問題において、ベイズリスクと統計的十分性の関係に注目して、ベイズ危険により漸近十分性を特徴ずけている(Statistics & Resisions Vol15)また、非エルゴード的確率過程モデルにおいて、最大確率推定量を定義し、その特質を論じている(Bull.Sui.& Eng.Lal.Waseda.Uniu)
さらに上野喜三雄は、非コンパクト量子群SU_q(I,1)の球関数に対するブランシェレルの公式をカシミール作用素に対応するq-差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。
郡は、S^4のディラック作用素に対する境界値問題を研究し、場の量子論への応用を試みた。以上の様に、特に数理物理学あるいは応用数学において表われる各種の関数方程式に対して、注目すべき成果が多く得られた。

当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである。

2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。
S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)
量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)
この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田)

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。
2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。
3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある。

当該年度において,上記研究課題の量子群を含む,数理物理上のいくつかの主題(場の量子論,ソリトン方程式)及び,コンピュ-タ-科学について著しい研究の進展があった。まず,代表者上野は,非compact量子群SU_q(1,1)の球関数に対するPlancheralの公式を,カシミ-ル作用素に対応するqー差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。(Spectral Analysis for the Carimir Operator on the Quantum Group SU_q(1,1),Boc.Japan Acad,vol66 SirA(1990))注目すべきは,リ-群SU(1,1)に対する同種の公式に現われないユニタリ-表現の系列がPlancheralの公式に関与するという事実である。すなわち,ユニタリ-表現の主系列の構造が,量子群SU_q(1,1)とリ-群SU(1,1)では全く異なるのである。さらに,上野は,高ランクの量子対称空間の球関数論を考察した。(Zonal Spherical Functions on Quantum Symmetric Spaces and Macdonald's Symmetric Polynomials to appear in the Proceedings of the 1st Somester on Quantum Groups,EIMI,Leningrad '90)量子対称空間GL_q(n)/O_q(n)を然るべく定義した後,n=3の時,この空間上の不変q差分作用素を計算し,結果として,組合せ論,代数群において重要な役割を演ずるMacdonalの対称多項式が球関数であることを発見した。これは量子群の研究において画企的なことと信ずる。この方面の研究は現在も継続中である。また分担者群敏昭は,無限次元グラスマン多様体上の自由フェルミ場の理論を拡張すべく,S^3上のディラック方程式の固有関数で張られる無限次元グラマン多様体の理論を構築し,場の量子論への応用を試みた。堤正義はソリトン方程式のCauchy問題,境界値問題の研究で進展を見た。最後に,廣瀬健は,コンピュ-タ-・アルゴリズムについて基礎論からのアプロ-チを行った。

本研究を理論面と応用面に大別し、それぞれについて研究の概要を述べる。もちろん両者は密接に関連している。
1. 理論面。 関数空間、とくに解析関数からなる関数空間、および関数環の理論の研究が研究期間2年間にわたって行なわれた。まず山口ー和田の研究がある。これは、関数環の理論の中の種々の定理が、関数空間ではどの程度成り立つかについて論じられた。これは以前の研究の継続であるが、ある条件をみたす関数空間において、Rudinの定理、Briemの定理、Hoffman・Wermenの定理など一般化が得られた。また郡は、C^nの有界な強擬凸領域Dにおいて、A(D)をD^^ー上で連続でDで正則な関数全体の関数空間としたとき、A(D)の共役空間の特徴付けを行ない、それがある条件をみたす弱連続(n,nー1)ーfromの全体の関数空間と一致することを示した。そのほかに、羽鳥ー和田の関数環上の微分子の研究、郡のS^4とS^3上のDirac作用素の研究などがある。
2. 応用面。 関数空間を単にふつうの意味の関数の空間に限らず、ベクトル値関数の空間や、さらに一般の空間の中で問題を発展させていくことが2年間にわたって行なわれた。まず一般化された空間の場合として宮寺ー田中は、線形作用素からなるCー半群の生成理論から、種々のクラスの半群の生成定理が統一的に得られることを示し、田中ー宮寺はBanach空間で必ずしも稠密には定義されていない作用素による線形作用素のCー半群の生成を考察しこれを利用して、Cー半群とintegrated semigroup の間の関係をつまびらかにした。また宮寺ー田中は、作用素AがCー半群を生成するための条件を、クラス(Co)の半群の立場から論じ、宮寺ー田中は、クラス(Co)の半群の生成に関するHilleー吉田の定理の一般化として、integrated Cー半群の生成理論を考察している。そのほかに和田のベクトル値解析関数の研究、石垣の最適制御問題の研究などがある。

1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。
2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。
3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した。

(1)曖昧であった擬ベクトルと擬スカラーの概念を明快にし, ベクトル場, 擬ベクトル場の回転rot, 発散divの座標系と独立な定義を与えた. それらを用いて真空の電磁場と回転運動を記述した.
(2)Fermat予測の第1の場合に対し, 新しい合同式を見つけた.
(3)弾性をもつ絃の振動をモデルとするような退化型準線型波動方程式の初期値境界値問題について, 局所解を構成する手法を確立するとともに, 解の一意性を示した.
(4)界面における化学反応を記述する楕円型一放物型方程式系についての初期値境界値問題に対して, 滑らかな正値解の大域的存在を示した. 「11.研究発表」の他に寺田文行(Tournal of Seience Education Axpar)Pro-celdings of the leep TC3 Regional conferenee on microcomputer's in Secondary Education.), 中島勝也(計算機内部数表現に関する研究), 広瀬健(Tournal of enformation Rioces-sing), 和田淳蔵(Tokyo J.Math)の研究業績がある.
なお有馬哲, 橋本喜一朗, 郡敏昭は別に論文を執筆中である.

ジュリア集合に関する研究では, Eλ=λe^zのλについての変化の様子を調べたが, まだ所期の目的を達していない. 今後さらに研究を続けて, 測度, ハウスドルフ次元などについて結果を得たい.
研究分担者による周辺分野の研究では, いくつかの成果を得たので, 下にそのうちの数例を記しておく.
(1)4次元球面の2つの2次元球面はlinkの状態を引き起す. しかしこのlinkの状態は, 3次元球面内の2つの1次元球面の引き起すlinkとは本質的に異なり, link homotopyの概念のもとではすべて解けることを示した. (2)R.H.Foxが1958年に導入した結び目の合同類に関する定理の証明の誤りを正し, さらにこの概念を一般化して新しい結果を導いた. (3)3次元球面内のグラフに対して, 結び目, 絡み目の素分解の概念の一般化を試み, その存在と一意性を示した. (4)Function Algebraの摂動, 特にFunction Algebraの直和の安定性を調べ無限個のFunction Algebra{Aλ}の直和が安定となるための条件を与えた. (5)Bishopの定理を関数空間に一般化し, 関数環におけるいくつかの定理が, ある条件をもつ関数空間においても成り立つことを示した. (6)バナッハ空間におけるC-半群に対して3つの作用素 A, 〓, Zの間の関係を研究し, 〓CA=Zを示した. さらに〓=Aとなるための条件を調べた.
この外, 中島は, マンデルブロート集合についてコンピュータによる解析を行った. 郡はC^nの凸領域における, 連続な境界値をもつ解析関数の空間の反対について一定の結果を得た.

We shall give an axiomatic construction of Wess-Zumino-Witten (WZW) actions valued in G = SU(N), N greater than or equal to 3. It is realized as a functor WZ from the category of conformally flat four-dimensional manifolds to the category of line bundles with connection that satisfies, besides the axioms of a topological field theory, the axioms which abstract the characteristics of WZW actions. To each conformally flat four-dimensional manifold Sigma with boundary Gamma = partial derivativeSigma, a line bundle L = WZ(F) with connection over the space GammaG of mappings from F to G is associated. The WZW action is a non-vanishing horizontal section WZ(Sigma) of the pullback bundle r*L over SigmaG by the boundary restriction r : SigmaG --&gt; GammaG. WZ(Sigma) is required to satisfy a generalized Polyakov-Wiegmann formula with respect to the pointwise multiplication of the fields SigmaG. Associated to the WZW action there is a geometric description of the extension of the Lie group Omega(3)G due to Mickelsson. In fact, we have two Abelian extensions of Omega(3)G that are in duality. (C) 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.

The present paper is concerned with extensions of complex analysis on the complex plane C to conformally flat 4-manifolds. We shall give in an explicit form a fundamental system of spinors that will serve as the basis vectors for the Laurent expansion. Restricted to a sphere around the center of the expansion these spinors form a complete orthonormal system of eigenspinors of the tangential Dirac operator on the sphere, and give a basis of the representations of Sρin(4). We shall also give the definition of meromorphic spinors and residues, and prove under some hypothesis that, on a compact conformally flat 4-manifold, the sum of the residues of a meromorphic spinor is zero. © 2002, The Mathematical Society of Japan. All rights reserved.