Updated on 2024/04/24

KORI, Toshiaki

Affiliation
Faculty of Science and Engineering
Job title
Professor Emeritus
Degree
Docteur (]J1118[)s Seiences ( Universit(]E85EE[) de Paris (]G0006[) )
Homepage URL

### Research Experience

• 1972
-
1977

Waseda University   School of Science and Engineering

• 1976
-

- Professor

• 1972
-
1975

Associate professor of Sch. of Sci. and

• 1971
-
1972

Waseda University   School of Science and Engineering

• 1971
-
1972

Lecturer of Mathematics,

• 1968
-
1971

Shizuoka University   Faculty of Science

• 1968
-
1971

Lecturer of Mathematics, Faculty of

• 1966
-
1968

Assistant, Department of Applied

• 1965
-
1968

東京教育大学理学部 助手

• 1964
-
1966

Assistant, Institut of Statistical

• 1964
-
1965

文部省統計数理研究所 研究員

•

Eng. Waseda Univ.

•

Waseda University

•

School of Sciences and Engineering,

•

Sciences, Shizuoka University

•

Mathematics, Tokyo Kyoiku University

•

Mathematics of Minister of education

### Education Background

•
-
1976

Others

•
-
1976

Universite de Pierre et Marie Curie ( Paris 6 )   Graduate School, Division of Mathematical Sciences   Mathematical Sciences

•
-
1964

Kyoto University   Faculty of Science

•
-
1964

Kyoto University   Faculty of Science   Department of Mathematics

### Professional Memberships

•

日本数学会

•

Mathematical Society of Japan

### Research Areas

• Mathematical analysis / Basic analysis / Geometry

• 大域解析学・幾何学

• Geometry

### Papers

• Quaternifications and Extensions of Current Algebras on S-3

Tosiaki Kori, Yuto Imai

SYMMETRY-BASEL   7 ( 4 ) 2150 - 2180  2015.12  [Refereed]

View Summary

Let H be the quaternion algebra. Let g be a complex Lie algebra and let U (g) be the enveloping algebra of g. The quaternification g(H) = (H circle times U (g), [ , ](g)H) of g is defined by the bracket [z circle times X, w circle times Y](g)H = (z . w) circle times (XY) - (w . z) circle times (YX), for z, w is an element of H and the basis vectors X and Y of U (g). Let (SH)-H-3 be the (non-commutative) algebra of H -valued smooth mappings over S-3 and let S(3)g(H) = (SH)-H-3 circle times U (g). The Lie algebra structure on S(3)g(H) is induced naturally from that of g(H). We introduce a 2-cocycle on S(3)g(H) by the aid of a tangential vector field on S-3 subset of C-2 and have the corresponding central extension S(3)g(H) circle plus (Ca). As a subalgebra of (SH)-H-3 we have the algebra of Laurent polynomial spinors C [phi(+/-)] spanned by a complete orthogonal system of eigen spinors {phi(+/-(m,l,k))}(m,l,k) of the tangential Dirac operator on S-3. Then C[phi(+/-)] circle times U(g) is a Lie subalgebra of S(3)g(H). We have the central extension (g) over cap (a) = (C[phi(+/-)] circle times U(g)) circle plus (Ca) as a Lie-subalgebra of S(3)g(H) circle plus (Ca). Finally we have a Lie algebra b g which is obtained by adding to (g) over cap (a) a derivation d which acts on (g) over cap (a) by the Euler vector field d(0). That is the C-vector space (g) over cap = (C[phi(+/-)] circle times U(g)) circle plus (Ca) circle plus (Cd) endowed with the bracket [phi(1) circle times X-1 + lambda(1)a + mu(1)d, phi 2 circle times X-2 + lambda(2)a + mu(2)d]((g) over cap) = (phi(1)phi(2)) circle times (X1X2) - (phi(2)phi(1)) circle times (X2X1) + mu(1)d(0)phi(2) circle times X-2 - mu(2)d(0)phi(1) circle times X-1 + (X-1 vertical bar X-2)c(phi(1),phi(2))a. When g is a simple Lie algebra with its Cartan subalgebra h we shall investigate the weight space decomposition of (g) over cap with respect to the subalgebra (h) over cap = (phi(+(0,0,1)) circle times h) circle plus (Ca) circle plus (Cd).

• Lie algebra extensions of current algebras on S-3

Tosiaki Kori, Yuto Imai

INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRIC METHODS IN MODERN PHYSICS   12 ( 9 )  2015.10  [Refereed]

View Summary

An affine Kac-Moody algebra is a central extension of the Lie algebra of smooth mappings from S-1 to the complexification of a Lie algebra. In this paper, we shall introduce a central extension of the Lie algebra of smooth mappings from S-3 to the quaternization of a Lie algebra and investigate its root space decomposition. We think this extension of current algebra might give a mathematical tool for four-dimensional conformal field theory as Kac-Moody algebras give it for two-dimensional conformal field theory.

• Extensions of current groups on S-3 and the adjoint representations

Tosiaki Kori

JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   66 ( 3 ) 819 - 838  2014.07  [Refereed]

View Summary

Let Omega(3)(SU(n)) be the Lie group of based mappings from S-3 to SU(n). We construct a Lie group extension of Omega(3)(SU(n)) for n &gt;= 3 by the abelian group exp 2 pi i A(3)*, where A(3)* is the affine dual of the space of SU(n)-connections on S-3. J. Mickelsson in 1987 constructed a similar Lie group extension. In this article we give several improvement of his results, especially we give a precise description of the extension of those components that are not the identity component. We also correct several argument about the extension of Omega(3)(su(2)) which seems not to be exact in Mickelsson's work, though his observation about the fact that the extension of Omega(3)(SU(2)) reduces to the extension by Z(2) is correct. Then we shall investigate the adjoint representation of the Lie group extension of Omega(3)(SU(n)) for n &gt;= 3.

• Chern-Simons pre-quantizations over four-manifolds

Tosiaki Kori

DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS   29 ( 5 ) 670 - 684  2011.10  [Refereed]

View Summary

We endow the space of connections on an SU(n)-principal bundle over a four-manifold with a pre-symplectic structure and define a Hamiltonian action on it of the group of gauge transformations that are trivial on the boundary. Then we consider the trivial SU(n)principal bundle for n &gt;= 3 over the four-manifold that is a submanifold of a null-cobordant four-manifold, and we construct on the moduli space of flat connections a hermitian line bundle with connection whose curvature is given by the pre-symplectic form. This is the Chern-Simons pre-quantization of moduli spaces. The group of gauge transformations on the boundary of the four-manifold acts on the moduli space of flat connections by an infinitesimally symplectic way. When the four-manifold is a 4-dimensional disc we show that this action is lifted to the pre-quantization by its Lie group extension. The geometric description of the latter is related to the 4-dimensional Wess-Zumino-Witten model. (C) 2011 Elsevier B.V. All rights reserved.

• THEOREMS OF DUALITY ON THE STRONGLY PSEUDOCONVEX BOUNDARY .2. ALEXANDROFF DUALITY

T KORI

PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   20 ( 3 ) 659 - 670  1984  [Refereed]

### Works

• 郡 敏昭詩集 「苦しい夜のために」

Artistic work

2005
-

### Research Projects

• Geometry of the space of Yang-Mills connections and its dual.

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

2007
-
2009

KORI Toshiaki

View Summary

(1) The moduli space of flat connections on four manifolds is given a pre-symplectic structure. And a geometric pre-quantization of this space is constructed. When the 4-manifold has the boundary the gauge transformation group on the boundary acts on the moduli space infinitesimally symplectically. This actionlifts to the pre-quantization equivariantly. (2) The Lie group extension of SU(n)-current group was constructed by J. Mickelsson for n bigger than 3. The similar construction for the SU(2)-current group had not been solved. I have constructed two kind of Lie group extensions of SU(2)-current group. (There exist actually two types of extensions.) (1) and (2) were the subjects of former research, but here stated results are improved ones and given the final form. (3) One of the purpose of this research is to construct a general frame work of the dual spaces of the space of connections and the transformation on it so that one can see transparently the "Zakharov-Shabat method for integrable systems". For that we constructed the theory of residue and duality on the solution space of gauge-coupled Dirac operators that may describe the behaqvior of the solutions near their singular points. As an application we arranged in a clear form the ADHM construction of solitons.

• Quantization of the Chem-Simons Gauge Theory on Four-manifolds

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

2004
-
2006

KORI Toshiaki

View Summary

The reporter of this note studied from the year 2004 to 2006 the quantization of the Chern-Simons gauge theory on four-manifolds, he gave the geometric quantization of the moduli space of connections on a four-manifolds generally with boundary. He gave a pre- symplectic structure on the moduli-space of connections. He constructed an hermitian line bundle with connection on the moduli space whose curvature is given by the pre-symplectic form. The transition function of the line bundle is described by the 5- dimensional Chern-Simons functional. On the space of connections there is a Hamiltonian action of the group of gauge transformations that are identity on the boundary, whose symplectic reduction becomes the space of flat connections, this is the geometric quantization of the space of flat connections. The mapping group from the boundary three-manifold to the structure Lie group acts infinitesimally symplectic way on this moduli space of flat connections, and the author showed that the abelian extension of the mapping group lifts the action to the quantium line bundle. The last extension was constructed by Mickelsson and extended by the author's previous research on four-dimensional Wess-Zumino-Witten theory. The results were submitted to a journal of differential geometry. After this research the reporter investigated also the quasi-symplectic structure on the space of flat connections on three- manifolds and the condition for a connection to be extended to the four-manifold that cobord the first one and decided the class of such connections. Other than these research the author investigated the vortex representation of the Hamilton-Yang-Mills equation and the relation of it to the helicity of Hamiltonian flows.

• Geometry of Field Theory and Spinor Analysis

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

2001
-
2003

KORI Tosiaki

View Summary

As for the project "Geometry of Field Theory" we gave a construction of the four-dimensional Wess-Zumino-Witten model. We proposed a definition of a Wess-Zumino-Witten action as a functor from the category conformally flat 4-manifolds to the category of line bundles with connection and gave a construction of it. This extends many phenomena discussed on 4-dimensional sphere to the class of conformally flat 4-manifolds with boundary, especially we succeeded to have Polyakov-Wiegner formula on such a manifold. We also obtained two dual types of abelian extension of the group of the smooth maps from 3-sphere to a Lie group. These results are published in Journal of Geometry and Physics, 47(2003).
As for the project "Spinor Analysis" we investigated various properties of harmonic spinors on conformally flat 4-manifolds, comprising (1)Integral representation (2)local existence of the solution, (3)Runnge's approximation theorem, Mittag-Lefler theorem, (4)global existence of solutions on domains of the Dirac equation. These results are published in the Japanese Journao of Mathematics, vol.28-1(2002), 1-30. Then investigations of this subject continue to ; (5)the introduction of meromorphic spinors on conformally flat manifolds and their devisors. (6)Riemann-Roch type theorem for the cohomology groups of meromorphic spinors. The results will be published in "Trends in Mathematics, Advances in Analysis and Geometry2, by Birkhauser publ..

• Variational study of nonlinear diffential equations

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

1999
-
2001

TANAKA Kazunaga, SHIBATA Tetsutaro, KURATA Kazuhiro, OTANI Mitsuharu, ADACHI Shinji, NAKASHIMA Kimie

View Summary

We study the existence problems for nonlinear differential equations via variational methods. We mainly dealt with nonlinear elliptic problems and Hamiltonian systems.
1. We study the existence and multiplicity of positive solutions of nonlinear scalar field equations in unbounded domains. In particular, we are concerned with equations which depend on the space variable x and we investigate the effects of the inhomogeneity (dependence on the space variable x) on the set of solutions of the scalar field equation. We find a very delicate dependence ― very small inhomogeneity induces a big change in the set of soluitons ― and we find an example of nonlinear scalar field equation which has 4 positive solutions after very small but not zero pert perturbation.
2. We also consider the singular perturbation problems for nonlinear elliptic problems. We get 2 results : (a) for 1-dimensional setting we introduce a new finite dimensional reduction and we succeed to prove the existence of solutions with a cluster of interior or boundary layers for inhomogeneous Allen-Cahn type equations. We also succeed to prove the existence of solutions with a cluster of spikes for nonlinear Schrodinger equations. (b) We give a mountain pass characterization of positive solutions for a wide class of nonlinear elliptic equations. As an application, we show the existence of a spike solution for a wide class of nonlinear elliptic equations including asymptotically linear equations.
3. For Hamiltonian systems we deal with singular Hamiltonian systems with 2-body type singularities. In case the potential V(q) has more than 3 strong force type singularities we find a family of very complex solutions which are related with symbolic dynamical systems. We also deal with the case the set S of singularity is not a point and it has a positive volume. We consider the case where V(q) 〜 - 1/ dist (q, S)^α and we find the existence of non-collision solutions for all positive α > 0, that is, even for weak force case 0 < α < 2.

• Boundary conditions for gavge coupled Dirac operators and their invariants.

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

1997
-
1998

KORI Toshiaki, YONIDA Gen, SUZUKI Takeru, KOSAMA Tokitake, TANAKA Kazunaga, KAJI Hajime

View Summary

(1) T.Kori investigated the theory of the index of a gauge coupled Dirac operator with Grassmannian boundary condition, especially he gave a direct method of calculations not using the Atiyah-Patodi-Singer theory for those problems on the four dimensional hemisphere.
(2) T.Kori.proved a formula about the chiral anomaly of gauge coupled Dirac operators. Here he proved that the index of a gauge coupled Diracoperator on S^4 is equal to the index of the geometric Dirac operator on the hemisphere with a Grassmannian boundary condition comming from the vector potential, that is, the effect by the gauge is absorbed in the boundary condition. This result will be published in the Proceeding of the conference on Geometric Aspects of Partial Differential Equations as one volume of AMS Contemporary Mathematics series.
(3) The problem of extension of spinors from the boundary to the interior or the exterior as zero mode spinors is solved. By this an analogy of the Laurent expansion theorem for zero mode spinors is obtained. Thus the concepts of meromorphic spinors and their residues are introduced. He proved the residue theorem on a domain in S^4. Many theorems that are counterparts of what are known in complex function theory are expected to hold in our framework of spinor analysis. This will be our next project.

• MATHEMATICAL ANALYSIS AND NUMERICAL ANALYSIS OF SEVERAL KINDS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS.

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

1994
-
1996

MUROYA Yoshiaki, TANAKA Kazunaga, TSUTSUMI Masayoshi, KORI Toshiaki, OTANI Mitsuharu, YAMADA Yoshio

View Summary

To solve non-symmetric linear systems derived from the discretization of singular pertur-bation problems, we propose a generalized SOR method with multiple relaxation parameters, that is the improved SOR method with orderings and study its theory and practical use.
In the case of tridiagonal matrices, optimal choices of the parameters are examined : It is shown that the spectral radius of the iterative matrix is reduced to zero for a pair of parameter values which are computed from the pivots of the Gaussian elimination applied to the system. A proper choice of orderings and starting vectors for the iteration is also proposed.
We apply the above method to two-dimensional cases, and propose the "adaptive improved block SOR method with orderings" for block tridiafonal matrices. The point of this method is to change the multiple relaxation parameters not only for each block but also for each iteration. If special multiple relaxation parameters are selected and used with this method for an n * n block tridiagonal matrix whose block matrices are all n * n matrices, then this iterative method converges at most n^2 iterations.
We also proposed the improved SSOR method with orderings, which converges at most only one iteration for a tridiagonal system, and n iterations for a block tridiagonal system.
The generalized convergence theorems to the improved SOR method with orderings are also considered, and we study necessary and sufficient conditions for a matrix to be a generalized diagonally dominant.
Using the notation 'basic LUL factorization' of matrices, we give some techniques to obtain special multiple relaxation parameters such that the spectral radius of the iterative matrix is zero for the Hessenberg matrices and a class of matrices.

• 非線形偏微分方程式系の総合的研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1994

大谷 光春, 小島 清史, 宮寺 功, 山田 義雄, 堤 正義, 郡 敏昭

View Summary

研究代表者及び理工学部所属の解析学分野分担者を中心とした、外部にも開かれた定期セミナーを早稲田大学理工学部内において週一回(計21回)開催した。この会(応用解析研究会)には、研究分担者のみならず、東京近郊の若手研究者が多く参加し、研究課題関連の話題について活発な討論、意見交換がおこなわれ、研究を遂行する上で非常に有意義であった。また研究経過発表会を数回おこなった。具体的成果については、個々の単独(非線形楕円形、放物型、双曲型、分散型)方程式に関する多くの成果のほかに、Davey-Stewartson(完全流体の表面波)方程式系に対し、弱解の存在と一意性及びその漸近挙動(時間とともに解のある種ノルムが零に近づく)が解明された。
また、界面で化学反応を起こしている拡散方程式系、伝染病をモデル化した反応拡散系について、大域解の存在を示しその漸近挙動を決定した。更に、熱対流と非圧縮性粘性流との混合方程式系に対しては、流体の占める領域の境界が時間とともに変動する、非柱状領域における初期値境界値問題、周期問題の強解の存在と一意性が、柱状領域における熱伝導と粘性流に対してそれぞれ知られている結果を含む極めて一般的な枠組みで解決された。しかしながら、このように多くの成果があげられた一方、最終目標であったシュレディンガー混合型方程式系の多くを含む統一的理論を構築するという課題については、いくつかの有力な手がかりは得られたものの、達成するには至らなかった。今後の課題としたい。

• 非線型放物型方程式系及び楕円型方程式系にたいする解集合の研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1993

山田 義雄, 堤 正義, 郡 敏昭, 小島 清史, 垣田 高夫, 大谷 光春

View Summary

非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式について研究を進めてきたなかで、今年度中に成果が得られた研究テーマは、[1]フイードバック効果をもつ反応拡散方程式系についての解集合の構造、[2]数理生態学にあらわれる準線系放物型方程式系について、の二つである。[1]の研究においては、数値実験の結果から、フイードバックのメカニズムは反応拡散方程式系の解にたいして振動現象をもたらすことが観測されている。ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながらも終局的には定常解に収束するのはどんな場合かを解析した。その結果、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件をわかりやすい形で導くことができた。さらに適当な定数をパラメーターとみなして変化させるとき、定常解が不安定となる状況が起きる。このときには定常解から周期解が分岐することが証明され、分岐した周期解の軌道安定性を調べることができた。周期解が必ずしも軌道安定になるとは限らないこともわかり、将来さらに詳しい解析を進める必要がある。また、[1]の方程式系をディリクレ境界条件の下で解析すると、解の漸近挙動を調べる際にノイマンのときにはなかった難しさがあらわれる。定常問題の解集合の構造が単純ではない点である。対応する楕円型方程式系の正値解を見つけることが重要であり、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。ただし、解集合の情報は完全ではなく、今後も研究を続けなければならない。[2]は二種類の生物が競合している状況をモデルとしていて、二つの方程式の間で拡散効果が相互作用をしている。このような数学的難点を克服して、かなり自然な条件のもとで有界な大域界を校正することができた。今後は、この解の時間無限大での漸近挙動を調べる予定である。

• 関数方程式の総合的研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1992

小島 清史, 郡 敏昭, 上野 喜三雄, 鈴木 武, 山田 義雄

View Summary

当該年度において、上記研究課題について数理物理学に表される各種の偏微分方程式に対して研究等で著るしい発展があった。まず、山田義雄は、熱対流方程式の外部領域における混合問題の大域解の存在性、一環性および漸近挙動について調べた。類似の問題は、従来ナビア-ストークス方程式等については知られていたが、熱対流方程式に関しては始めての結果であると思われる。(Tokyo J.Math,Vol15)さらに山田は、界面における化学反応方程式の漸近的挙動に対しても新しい結果を得ている。(Osaka J.Math Vol29)
また鈴木武は、統計的仮設検定問題において、ベイズリスクと統計的十分性の関係に注目して、ベイズ危険により漸近十分性を特徴ずけている(Statistics & Resisions Vol15)また、非エルゴード的確率過程モデルにおいて、最大確率推定量を定義し、その特質を論じている(Bull.Sui.& Eng.Lal.Waseda.Uniu)
さらに上野喜三雄は、非コンパクト量子群SU_q(I,1)の球関数に対するブランシェレルの公式をカシミール作用素に対応するq-差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。
郡は、S^4のディラック作用素に対する境界値問題を研究し、場の量子論への応用を試みた。以上の様に、特に数理物理学あるいは応用数学において表われる各種の関数方程式に対して、注目すべき成果が多く得られた。

• 無限次元リー群およびリー環の表現とその応用

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1991
-
1992

清水 義之, 橋本 喜一両朗, 郡 敏昭, 上野 喜三雄

View Summary

当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである。

• 場の理論の数学

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1991

郡 敏昭, 大谷 光春, 堤 正義, 橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 垣田 高夫

View Summary

2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。
S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)
量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)
この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田)

• 統計的漸近理論の研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1990

鈴木 武, 郡 敏昭, 鈴木 晋一, 堤 正義, 橋本 喜一朗, 草間 時武

View Summary

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。
2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。
3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある。

• 量子群上の調和解析と差分系のスペクトル理論

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1990

上野 喜三雄, 廣瀬 健, 堤 正義, 郡 敏昭

View Summary

当該年度において,上記研究課題の量子群を含む,数理物理上のいくつかの主題(場の量子論,ソリトン方程式)及び,コンピュ-タ-科学について著しい研究の進展があった。まず,代表者上野は,非compact量子群SU_q(1,1)の球関数に対するPlancheralの公式を,カシミ-ル作用素に対応するqー差分作用素のスペクトル構造を調べることにより証明した。(Spectral Analysis for the Carimir Operator on the Quantum Group SU_q(1,1),Boc.Japan Acad,vol66 SirA(1990))注目すべきは,リ-群SU(1,1)に対する同種の公式に現われないユニタリ-表現の系列がPlancheralの公式に関与するという事実である。すなわち,ユニタリ-表現の主系列の構造が,量子群SU_q(1,1)とリ-群SU(1,1)では全く異なるのである。さらに,上野は,高ランクの量子対称空間の球関数論を考察した。(Zonal Spherical Functions on Quantum Symmetric Spaces and Macdonald's Symmetric Polynomials to appear in the Proceedings of the 1st Somester on Quantum Groups,EIMI,Leningrad '90)量子対称空間GL_q(n)/O_q(n)を然るべく定義した後,n=3の時,この空間上の不変q差分作用素を計算し,結果として,組合せ論,代数群において重要な役割を演ずるMacdonalの対称多項式が球関数であることを発見した。これは量子群の研究において画企的なことと信ずる。この方面の研究は現在も継続中である。また分担者群敏昭は,無限次元グラスマン多様体上の自由フェルミ場の理論を拡張すべく,S^3上のディラック方程式の固有関数で張られる無限次元グラマン多様体の理論を構築し,場の量子論への応用を試みた。堤正義はソリトン方程式のCauchy問題,境界値問題の研究で進展を見た。最後に,廣瀬健は,コンピュ-タ-・アルゴリズムについて基礎論からのアプロ-チを行った。

• 場の量子論の幾何学

Project Year :

1990
-

• Geometry of Field Theory

Project Year :

1990
-

• Theory of Function Spaces and its Applications

Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

Project Year :

1989
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1990

WADA Junzo, KORI Toshiaki, SUZUKI Shin'ichi, ISHIGAKI Haruo, HINOHARA Yukitoshi, MIYADERA Isao

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The contents of our project consist of theory of function spaces and its applications.
1. The theory. We study function spaces, especially function spaces consisting of analytic functions and function algebras. J. Wada (with S. Yamaguchi) studies peak sets for function spaces and gives characterizations to assert that A=C(X) for function spaces on a compact Hausdorff space X having some conditions connected with peak sets. Especially he establishes generalizations of a theorem of Rudin and a theorem of Hoffman and Wermer. Also, T. Kori gives a characterization of the dual space of the space A(D) of functions which are continuous on and holomorphic on D, where D is a bounded strictly pseudo-convex domain in C^n.
2. Its applications. We study generalized function spaces, that is, vector-valued function spaces and spaces of functions defined on more general spaces. I. Miyadera (with N. Tanaka) publishes a lot of papers on semigroups of linear operators on Banach spaces. One of them is a generalization of the Hille-Yosida theorem. As a generalization of the theorem relative to generation of semigroups of class (Co), he investigates a theory of generation of integrated C-semigroups.

• 代数群上の保型函数論とP-進離散群の研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1989

橋本 喜一朗, 山田 義雄, 上野 喜三雄, 清水 義之, 郡 敏昭, 足立 恒雄

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1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。
2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。
3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した。

• 数論的多様体の幾何学的研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1987

有馬 哲, 山田 義雄, 宮寺 功, 郡 敏昭, 草間 時武, 足立 恒雄

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(1)曖昧であった擬ベクトルと擬スカラーの概念を明快にし, ベクトル場, 擬ベクトル場の回転rot, 発散divの座標系と独立な定義を与えた. それらを用いて真空の電磁場と回転運動を記述した.
(2)Fermat予測の第1の場合に対し, 新しい合同式を見つけた.
(3)弾性をもつ絃の振動をモデルとするような退化型準線型波動方程式の初期値境界値問題について, 局所解を構成する手法を確立するとともに, 解の一意性を示した.
(4)界面における化学反応を記述する楕円型一放物型方程式系についての初期値境界値問題に対して, 滑らかな正値解の大域的存在を示した. 「11.研究発表」の他に寺田文行(Tournal of Seience Education Axpar)Pro-celdings of the leep TC3 Regional conferenee on microcomputer's in Secondary Education.), 中島勝也(計算機内部数表現に関する研究), 広瀬健(Tournal of enformation Rioces-sing), 和田淳蔵(Tokyo J.Math)の研究業績がある.
なお有馬哲, 橋本喜一朗, 郡敏昭は別に論文を執筆中である.

• Complex Analytic Dynamicsの研究

日本学術振興会  科学研究費助成事業

Project Year :

1987

伊藤 隆一, 中島 勝也, 郡 敏昭, 宮寺 功, 和田 淳蔵, 鈴木 晋一

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ジュリア集合に関する研究では, Eλ=λe^zのλについての変化の様子を調べたが, まだ所期の目的を達していない. 今後さらに研究を続けて, 測度, ハウスドルフ次元などについて結果を得たい.
研究分担者による周辺分野の研究では, いくつかの成果を得たので, 下にそのうちの数例を記しておく.
(1)4次元球面の2つの2次元球面はlinkの状態を引き起す. しかしこのlinkの状態は, 3次元球面内の2つの1次元球面の引き起すlinkとは本質的に異なり, link homotopyの概念のもとではすべて解けることを示した. (2)R.H.Foxが1958年に導入した結び目の合同類に関する定理の証明の誤りを正し, さらにこの概念を一般化して新しい結果を導いた. (3)3次元球面内のグラフに対して, 結び目, 絡み目の素分解の概念の一般化を試み, その存在と一意性を示した. (4)Function Algebraの摂動, 特にFunction Algebraの直和の安定性を調べ無限個のFunction Algebra{Aλ}の直和が安定となるための条件を与えた. (5)Bishopの定理を関数空間に一般化し, 関数環におけるいくつかの定理が, ある条件をもつ関数空間においても成り立つことを示した. (6)バナッハ空間におけるC-半群に対して3つの作用素 A, 〓, Zの間の関係を研究し, 〓CA=Zを示した. さらに〓=Aとなるための条件を調べた.
この外, 中島は, マンデルブロート集合についてコンピュータによる解析を行った. 郡はC^nの凸領域における, 連続な境界値をもつ解析関数の空間の反対について一定の結果を得た.

• 共形場の理論

• ポワソン多様体と解析力学

• スピノール解析

• 接続と特性類の理論

• Conformal Field Theory

• Analytic geometry and Poisson manifolds

• Spinor Analysis

• Theory of Connections and Characteristics

### Misc

• Yang-Mills 方程式のハミルトン形式

郡 敏昭

数理解析研究所講究録 力学系と微分幾何学 Dynamical Systems and Differential Geometry   ( 1408 ) 110 - 122  2005

• Yang-Mills 方程式のハミルトン形式

郡 敏昭

数理解析研究所講究録 力学系と微分幾何学 Dynamical Systems and Differential Geometry   ( 1408 ) 110 - 122  2005

• 解析力学・対称性（局所シンプレクティク幾何学)

三恵社    2004

• Cohomology groups of harmonic spinors on conformally flat manifolds

T Kori

ADVANCES IN ANALYSIS AND GEOMETRY: NEW DEVELOPMENTS USING CLIFFORD ALGEBRAS   pp. 209-225   209 - 225  2004

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We shall investigate various properties of the sheaf of harmonic spinors N on C-2 and, more generally, on conformally flat spin 4-manifolds. We prove the Runge approximation theorem on C-2, and the vanishing of cohomologies; H-1(C-2, N) = 0 and H-1(S-4,N) = 0. We shall introduce a concept of divisors of meromorphic spinors on a compact conformally flat spin 4-manifold, and give an analogy of Riemann-Roch theorem.

• Cohomology Groups of Harmonic Spinors on Conformally Flat Manifolds

Trends in Mathematics: Advances in Analysis and Geometry, Birkhauser Verlag   pp. 209-225  2004

• Four-dimensional Wess-Zumino-Witten actions

T Kori

JOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS   47 ( 2-3 ) 235 - 258  2003.08

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We shall give an axiomatic construction of Wess-Zumino-Witten (WZW) actions valued in G = SU(N), N greater than or equal to 3. It is realized as a functor WZ from the category of conformally flat four-dimensional manifolds to the category of line bundles with connection that satisfies, besides the axioms of a topological field theory, the axioms which abstract the characteristics of WZW actions. To each conformally flat four-dimensional manifold Sigma with boundary Gamma = partial derivativeSigma, a line bundle L = WZ(F) with connection over the space GammaG of mappings from F to G is associated. The WZW action is a non-vanishing horizontal section WZ(Sigma) of the pullback bundle r*L over SigmaG by the boundary restriction r : SigmaG --&gt; GammaG. WZ(Sigma) is required to satisfy a generalized Polyakov-Wiegmann formula with respect to the pointwise multiplication of the fields SigmaG. Associated to the WZW action there is a geometric description of the extension of the Lie group Omega(3)G due to Mickelsson. In fact, we have two Abelian extensions of Omega(3)G that are in duality. (C) 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.

• Four-dimensional Wess-Zumino-Witten actions

Journal of Geometry and Physics/ Elsevier   Vol. 47, Issue 2-3, page 235-258  2003

• Spinor analysis on C2 and on conformally flat 4-manifolds

Tosiaki Kori

Japanese Journal of Mathematics   28 ( 1 ) 1 - 30  2002

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The present paper is concerned with extensions of complex analysis on the complex plane C to conformally flat 4-manifolds. We shall give in an explicit form a fundamental system of spinors that will serve as the basis vectors for the Laurent expansion. Restricted to a sphere around the center of the expansion these spinors form a complete orthonormal system of eigenspinors of the tangential Dirac operator on the sphere, and give a basis of the representations of Sρin(4). We shall also give the definition of meromorphic spinors and residues, and prove under some hypothesis that, on a compact conformally flat 4-manifold, the sum of the residues of a meromorphic spinor is zero. © 2002, The Mathematical Society of Japan. All rights reserved.

• Spinor analysis on \$C^2\$ and on conformally flat 4-manifolds

Japanese Journal of Mathematics   28-1, pp.1-30  2002

• 共形平坦多様体のzero mode spinor層のコホモロジー

日本数学会    2000

• Spinor analysis on conformally flat 4-manifolds

Conference on Dirac operators, index theorem and numerical invariants ,Usedom-Seeland, Germany    1999

• Spinor analysis on C^2 and on conformally flat 4-manifolds

Dirac operators, Index theorems and Numerical Invariants，Germany    1999

• Chiral Anomaly and Grassmannian Boundary Conditions

Contemporary Mathematics／American Mathematical Society   242  1999

• Meromorphic spinors on locally flat 4-manifolds

International Conference on Clifford analysis, Mexico    1999

• Meromorphic spinors, Runge's theorem and…

Banach Center，Poland    1999

• Solutions of the Dirac operator onconformally flat 4-manifolds

Mathematical Colloquium of University of Odense, Denmark    1999

• Spinor analysis on C^2 and on conformally flat 4-manifolds

Dirac operators, Index theorems and Numerical Invariants，Germany    1999

• Chiral Anomaly and Grassmannian Boundary Conditions

Contemporary Mathematics／American Mathematical Society   242  1999

• Meromorphic spinors on locally flat 4-manifolds

International Conference on Clifford analysis, Mexico    1999

• Meromorphic spinors, Runge's theorem and…

Banach Center，Poland    1999

• Solutions of the Dirac operator onconformally flat 4-manifolds

Mathematical Colloquium of University of Odense, Denmark    1999

• ディラック作用素の解析学

応用解析研究会    1998

• Dirac作用素のゼロモードスピノールの積分表現

日本数学会関数解析分科会    1998

• 有理型スピノールと留数定理

日本数学会幾何学分科会    1998

• Meeromorphic spinors and residues on \${\roman C}^2\$\endtitle

山形大学理学部Proceeding of the conference on real analysis and functional analysis in Yamagata University    1998

• Meeromorphic spinors and residues on \${\roman C}^2\$\endtitle

山形大学理学部Proceeding of the conference on real analysis and functional analysis in Yamagata University    1998

• 複素関数の解析学

遊星社    1997

• ディラック作用素のコーシー核について

科研費集会「シンプレティック幾何学」報告    1997

• Lie algebra of the infinitesimal automorphisms on S-3 and its central extension

T Kori

JOURNAL OF MATHEMATICS OF KYOTO UNIVERSITY   36 ( 1 ) 45 - 60  1996.02

• Lie algebra of the infinitesimal automorphism on S^3 and its central extension

Journal of Mathematics of Kyoto University   36-1,pp.45-60  1996

• Index of the Dirac operator on S4 and the infinite dimensional Grassmannian on S3

Tosiaki Kori

Japanese Journal of Mathematics   22 ( 1 ) 1 - 36  1996

• Lie algebra of the infinitesimal automorphism on S^3 and its central extension

Journal of Mathematics of Kyoto University   36-1,pp.45-60  1996

• Index of the Dirac operator on \$S^4\$ and the infinite dimensional Grassmannian on \$S^3\$

Japanese Journal of Mathematics   22-1, pp.1-36  1996

• KORI Tosiaki

RIMS Kokyuroku   822   62 - 69  1993.03

• KORI Tosiaki

RIMS Kokyuroku   822   56 - 61  1993.03

• DUAL OF THE SPACE OF HOLOMORPHIC-FUNCTIONS WITH CONTINUOUS BOUNDARY-VALUES ON A STRICTLY PSEUDO-CONVEX DOMAIN IN CN

T KORI

MATHEMATISCHE ANNALEN   284 ( 4 ) 537 - 562  1989

• Dual of the space of holomorphic functions with continuous boundary values on a strictly pseudo-convex domain in \$C^n\$

Mathematishe Annalen/Springer   284, pp.537-562  1989

• Relative holomorphic tangent bundle along CR maps and the deduction of Kuranishi's formula

Kori, Tosiaki

Seminar Notes on Differential Topology   10   1 - 45  1988

• Relative holomorphic tangent bundle along CR maps and the deduction of Kuranishi's formula

Kori, Tosiaki

Seminar Notes on Differential Topology   10   1 - 45  1988

• 郡 敏昭

数学セミナ-   20 ( 10 ) p16 - 20  1981.10

### Overseas Activities

• 接続の空間の幾何学と解析学－多様体上の接続の空間の幾何的量子化と写像リー群の表現論

2010.10
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2011.03

フランス   パリ第６大学

### Internal Special Research Projects

• 2010

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接続のモジュライ空間の幾何的量子化の研究については、概略が完成し最初の報告を書いたのが２００７年で、その後シンポジウムや研究会で発表し、多くの批判と助言にもとずいて論文のかたちに仕上げたのが２００９年であった。論文投稿の過程でレフェリーの意見や助言をもとに、間違いを訂正し最終的に仕上げたのは２０１１年３月である。この特定課題の研究助成は、この最終段階をパリ大学（Universite de Pierre et Marie Curie)で仕上げる際の補助となった。４次元多様体上の接続の空間にプレ・シンプレクティク構造が入ることを示し、とくに平坦接続の空間上に、量子化束を構成し、この曲率がプレ・シンプレクティク形式と一致することを示した。これは、古典系の量子化という物理学・数学の研究課題への第一歩となると思う。これまでの研究では２次元の場合しか扱われておらず自然界にふさわしく４次元であつかえることを示した。この結果をUPMCのGroup de Travail: Renormalisation-Factorisationのセミナーで２月２２日に講演した。この研究に関連して、カレント代数のアーベル拡大の研究も完成させた。これまでなされてきた２次元時空における研究ではループ代数の中心拡大として　多くの優れた研究者がしらべてきた内容を、４次元時空でのあつかいに拡張した。この方面の先駆者はストックホルム大学のJ. Mickelssonだが、Mickelssonにおいて未解決だったリー群SU(2)のカレント代数についてもアーベル拡大を構成し、さらにその余随伴軌道表現への方向づけを示すことができた。さらに、こうして得られたカレント代数のアーベル拡大が、接続のモジュライ空間上の量子化束に同変作用することを示した。これは、平坦接続の空間のモジュライの幾何的量子化必要な表現空間の構成におおきな示唆を与えると思われる。

• 2000

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１.報告者は四次元共形平坦多様体上の共形場理論を目指して、この数年の一連の研究において、そのための道具つくりを行ってきた。四次元空間においてディラック作用素によるスピノール解析を行い２次元複素平面上の関数論と類似の理論が作れることを一昨年・昨年に示した。本研究では、その続きの大域的理論として、四次元共形平坦多様体上におけるスピノール解析を行いリーマン面の理論と類似の理論、とくに与えられた極を持つ有理形スピノールの空間の次元を調べ古典のリーマン・ロッホの定理に相当することを証明した。開リーマン面の正則関数の高次のコホモロジーはすべて消えるが、これに対応して四次元共形平坦多様体上で（ディラック作用素に関する）調和スピノールの高次のコホモロジーが消えるという予想は途中まで証明され、これは成り立つと思われるが今後の課題である。　２.上記研究と平行して報告者はWess-Zumino-Witten２次元共形場の理論を四次元に拡張することを試みて成功した。　四次元共形平坦多様体の境界となる３次元多様体の同境類のカテゴリから直線束のカテゴリへのファンクターで、ファインマン経路積分の性質を抽象した公理を満たすものを構成した。この際、基礎的な役割を果たすのが、３次元球面からリー群への写像全体の空間の上で定義されるある種の主束であり、それは互いに双対なもの二つの主束で、位相的には U（１）－主束となっている。これにより３次元球面からリー群への写像全体のつくる群の互いに双対な可換拡大が二つ得られ、これはそのこと自体位相幾何として興味あることである。この理論は、接続による高次の平行移動の理論、Deligne-Kostant理論の高次元類似やgerbeの理論との関係が期待され、今後興味ある展開を期待できる。この結果は現在　論文として投稿中である。

• 1999

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１．4次元空間のディラック作用素のゼロモードスピノールについて、古典的な複素関数論と類似の理論が展開できることを示した。すなわち、コーシーの積分公式、ローラン展開、4次元球面上の留数定理を示した。また、複素関数論が1次元複素多様体（リーマン面）に拡張されるごとく、我々の理論も4次元共形平坦多様体の上で展開されることを示した。この結果は論文として投稿中である。また、ウセダム（ドイツ）におけるデイラック作用素の会議で99年3月に、メキシコの Ixtapo-Zihuatanejo でのInternational conference on Clifford algebra において7月にこの結果を講演した。２．１で述べた研究に続いて、4次元共形平坦多様体の上のディラック作用素のゼロモードスピノールのコホモロジーを調べた。開4次元共形平坦多様体に対しては、１次以上のコホモロジーがすべて消えることを示した。これはリーマン面がシュタイン多様体であるという古典的結果に対応してる。とくに開4次元共形平坦多様体上ではディラック方程式の大域解の存在が示せたことになる。また、ルンゲ近似定理に対応する結果およびセールの双対定理に対応した＜ゼロモードスピノールの空間の双対は反ゼロモードスピノールの台がコンパクトな1次コホモロジーになる＞という結果も得られた。この結果を、9月にワルシャワのバナッハ研究所での散乱理論およびディラック作用素の研究集会、および12月に、コペンハーゲン大学数学研究所の解析セミナーとオーデンセ大学数学コロキュームにおいて講演した。

• 1997

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１．ホプフ・ファイバーＳ７→Ｓ４をＢＰＳＴインスタントンにより解釈し、Diracモノポールとの類似を具体的に写像を式で記述して示した。次に、射影平面Ｐ２（Ｃ）上のＳＵ（2）主束にともなうインスタントンを具体的に式を与えて構成した。　３次元空間Ｒ３の上のＳＵ（2）ヤン・ミルズ・ヒグス理論と自発的対称性の破れによるディラックモノポールの出現は良く知られている。これを高次元化する問題がこの特定課題研究の目的であるが、筆者は５次元空間Ｒ５の上のＳＵ（3）ヤン・ミルズ・ヒグス理論を調べ、自発的な対称性のやぶれＵ（1）&#215;　ＳＵ（2）とそれにともなう不変量をひとつ見いだした。この部分ＳＵ（2）束としてＢＰＳＴインスタントンが埋め込まれてモノポールの役割をしていることを示した。結果については吟味・検討中である。２．筆者は、この特定課題研究と平行して、ゲージ項を持つDirac作用素の境界条件と指数について次の結果を証明し、論文として投稿中である。まず、４次元球面上のベクトルポテンシャルで静電的なものの全体は、赤道の３次元球面上の（幾何的）Dirac作用素の境界条件の全体のつくる無限次元グラスマニアンの中に写像されることを示した。その上で次の３種の指数が等しくなることを証明した。（１） ４次元球面上のゲージ項をもつDirac作用素の指数、（２）４次元半球面上で、同じDirac作用素に、赤道上でAtiyah-Patodi-Singer境界条件を課したときの指数、（３）４次元半球面上の幾何の指数。（１）、（２）が等しいことは知られていたと思ってよいので、（３）が重要である。これにより二宮・タンの定理を精密化した。３．このほかにホプフ・ファイバーＳ７→Ｓ４の束写像が調和振動子の軌道により与えられることを、示すことができそうである。

• 1995

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次の結果を得た。I. 境界を持つ多様体でのゲージ項のあるディラック作用素の指数定理とAxial anomaly． 4次元空間の半球において，境界球面の近くでは自明な形をしているヴェクトルポテンシャルをAとし，Aをゲージ項とするカイラルディラック作用素をDAとする。ゲージ項なしのディラック作用素の境界球面での接平面成分（ハミルトニアン）の正の固有値をもつ固有スピノール全体の空間への射影をPとする。境界条件Pφ＝0（アチャ・シンガー・パトディ境界条件）を与えたときのDAの指数の計算が重要である。これについて二宮－Tanは， index DA ＝ deg (h)ただし境界の近くでA＝h-1dh，を証明した（1985年）。筆者はより一般にAxial成分を持たないヴェクトルポテンシャルに対しDAの指数と，境界面上の無限次元グラスマン多様体の中でAが定める成分の次元との関係を考察した後，境界近傍でAが自明な場合，Aに依らずアチャ・シンガー・パトディ境界条件が定まることを示し，上記の二宮－Tanの結果を系として導く定理を証明した。これは物理におけるゲージ場の理論においても重要な結果であると思う。II. Ω3Gのアーベル拡大． 3次元球面からリー群G＝SU(N)への写像のつくるリー群のアーベル拡大を構成することは，それに附随したアノマリーバンドルとともに重要であり，J. マイケルソンが構成している。彼が構成にもちいた2－コサイクルはS3上のゲージポテンシャル全体Αに値をとるものであった。本研究で研究者はΩ3Gに値をとる2－コサイクルにより同様のアーベル拡大が得られることを示した。さらに，このアーベル拡大の方法によりWess－Zumino－Wittenモデルの4次元多様体への拡張を構成できることを現在示しつつある。