(1) The moduli space of flat connections on four manifolds is given a pre-symplectic structure. And a geometric pre-quantization of this space is constructed. When the 4-manifold has the boundary the gauge transformation group on the boundary acts on the moduli space infinitesimally symplectically. This actionlifts to the pre-quantization equivariantly. (2) The Lie group extension of SU(n)-current group was constructed by J. Mickelsson for n bigger than 3. The similar construction for the SU(2)-current group had not been solved. I have constructed two kind of Lie group extensions of SU(2)-current group. (There exist actually two types of extensions.) (1) and (2) were the subjects of former research, but here stated results are improved ones and given the final form. (3) One of the purpose of this research is to construct a general frame work of the dual spaces of the space of connections and the transformation on it so that one can see transparently the "Zakharov-Shabat method for integrable systems". For that we constructed the theory of residue and duality on the solution space of gauge-coupled Dirac operators that may describe the behaqvior of the solutions near their singular points. As an application we arranged in a clear form the ADHM construction of solitons.

The reporter of this note studied from the year 2004 to 2006 the quantization of the Chern-Simons gauge theory on four-manifolds, he gave the geometric quantization of the moduli space of connections on a four-manifolds generally with boundary. He gave a pre- symplectic structure on the moduli-space of connections. He constructed an hermitian line bundle with connection on the moduli space whose curvature is given by the pre-symplectic form. The transition function of the line bundle is described by the 5- dimensional Chern-Simons functional. On the space of connections there is a Hamiltonian action of the group of gauge transformations that are identity on the boundary, whose symplectic reduction becomes the space of flat connections, this is the geometric quantization of the space of flat connections. The mapping group from the boundary three-manifold to the structure Lie group acts infinitesimally symplectic way on this moduli space of flat connections, and the author showed that the abelian extension of the mapping group lifts the action to the quantium line bundle. The last extension was constructed by Mickelsson and extended by the author's previous research on four-dimensional Wess-Zumino-Witten theory. The results were submitted to a journal of differential geometry. After this research the reporter investigated also the quasi-symplectic structure on the space of flat connections on three- manifolds and the condition for a connection to be extended to the four-manifold that cobord the first one and decided the class of such connections. Other than these research the author investigated the vortex representation of the Hamilton-Yang-Mills equation and the relation of it to the helicity of Hamiltonian flows.

As for the project "Geometry of Field Theory" we gave a construction of the four-dimensional Wess-Zumino-Witten model. We proposed a definition of a Wess-Zumino-Witten action as a functor from the category conformally flat 4-manifolds to the category of line bundles with connection and gave a construction of it. This extends many phenomena discussed on 4-dimensional sphere to the class of conformally flat 4-manifolds with boundary, especially we succeeded to have Polyakov-Wiegner formula on such a manifold. We also obtained two dual types of abelian extension of the group of the smooth maps from 3-sphere to a Lie group. These results are published in Journal of Geometry and Physics, 47(2003).
As for the project "Spinor Analysis" we investigated various properties of harmonic spinors on conformally flat 4-manifolds, comprising (1)Integral representation (2)local existence of the solution, (3)Runnge's approximation theorem, Mittag-Lefler theorem, (4)global existence of solutions on domains of the Dirac equation. These results are published in the Japanese Journao of Mathematics, vol.28-1(2002), 1-30. Then investigations of this subject continue to ; (5)the introduction of meromorphic spinors on conformally flat manifolds and their devisors. (6)Riemann-Roch type theorem for the cohomology groups of meromorphic spinors. The results will be published in "Trends in Mathematics, Advances in Analysis and Geometry2, by Birkhauser publ..

We study the existence problems for nonlinear differential equations via variational methods. We mainly dealt with nonlinear elliptic problems and Hamiltonian systems.
1. We study the existence and multiplicity of positive solutions of nonlinear scalar field equations in unbounded domains. In particular, we are concerned with equations which depend on the space variable x and we investigate the effects of the inhomogeneity (dependence on the space variable x) on the set of solutions of the scalar field equation. We find a very delicate dependence ― very small inhomogeneity induces a big change in the set of soluitons ― and we find an example of nonlinear scalar field equation which has 4 positive solutions after very small but not zero pert perturbation.
2. We also consider the singular perturbation problems for nonlinear elliptic problems. We get 2 results : (a) for 1-dimensional setting we introduce a new finite dimensional reduction and we succeed to prove the existence of solutions with a cluster of interior or boundary layers for inhomogeneous Allen-Cahn type equations. We also succeed to prove the existence of solutions with a cluster of spikes for nonlinear Schrodinger equations. (b) We give a mountain pass characterization of positive solutions for a wide class of nonlinear elliptic equations. As an application, we show the existence of a spike solution for a wide class of nonlinear elliptic equations including asymptotically linear equations.
3. For Hamiltonian systems we deal with singular Hamiltonian systems with 2-body type singularities. In case the potential V(q) has more than 3 strong force type singularities we find a family of very complex solutions which are related with symbolic dynamical systems. We also deal with the case the set S of singularity is not a point and it has a positive volume. We consider the case where V(q) 〜 - 1/ dist (q, S)^α and we find the existence of non-collision solutions for all positive α > 0, that is, even for weak force case 0 < α < 2.

(1) T.Kori investigated the theory of the index of a gauge coupled Dirac operator with Grassmannian boundary condition, especially he gave a direct method of calculations not using the Atiyah-Patodi-Singer theory for those problems on the four dimensional hemisphere.
(2) T.Kori.proved a formula about the chiral anomaly of gauge coupled Dirac operators. Here he proved that the index of a gauge coupled Diracoperator on S^4 is equal to the index of the geometric Dirac operator on the hemisphere with a Grassmannian boundary condition comming from the vector potential, that is, the effect by the gauge is absorbed in the boundary condition. This result will be published in the Proceeding of the conference on Geometric Aspects of Partial Differential Equations as one volume of AMS Contemporary Mathematics series.
(3) The problem of extension of spinors from the boundary to the interior or the exterior as zero mode spinors is solved. By this an analogy of the Laurent expansion theorem for zero mode spinors is obtained. Thus the concepts of meromorphic spinors and their residues are introduced. He proved the residue theorem on a domain in S^4. Many theorems that are counterparts of what are known in complex function theory are expected to hold in our framework of spinor analysis. This will be our next project.

We shall investigate various properties of the sheaf of harmonic spinors N on C-2 and, more generally, on conformally flat spin 4-manifolds. We prove the Runge approximation theorem on C-2, and the vanishing of cohomologies; H-1(C-2, N) = 0 and H-1(S-4,N) = 0. We shall introduce a concept of divisors of meromorphic spinors on a compact conformally flat spin 4-manifold, and give an analogy of Riemann-Roch theorem.

接続のモジュライ空間の幾何的量子化の研究については、概略が完成し最初の報告を書いたのが２００７年で、その後シンポジウムや研究会で発表し、多くの批判と助言にもとずいて論文のかたちに仕上げたのが２００９年であった。論文投稿の過程でレフェリーの意見や助言をもとに、間違いを訂正し最終的に仕上げたのは２０１１年３月である。この特定課題の研究助成は、この最終段階をパリ大学（Universite de Pierre et Marie Curie)で仕上げる際の補助となった。４次元多様体上の接続の空間にプレ・シンプレクティク構造が入ることを示し、とくに平坦接続の空間上に、量子化束を構成し、この曲率がプレ・シンプレクティク形式と一致することを示した。これは、古典系の量子化という物理学・数学の研究課題への第一歩となると思う。これまでの研究では２次元の場合しか扱われておらず自然界にふさわしく４次元であつかえることを示した。この結果をUPMCのGroup de Travail: Renormalisation-Factorisationのセミナーで２月２２日に講演した。この研究に関連して、カレント代数のアーベル拡大の研究も完成させた。これまでなされてきた２次元時空における研究ではループ代数の中心拡大として　多くの優れた研究者がしらべてきた内容を、４次元時空でのあつかいに拡張した。この方面の先駆者はストックホルム大学のJ. Mickelssonだが、Mickelssonにおいて未解決だったリー群SU(2)のカレント代数についてもアーベル拡大を構成し、さらにその余随伴軌道表現への方向づけを示すことができた。さらに、こうして得られたカレント代数のアーベル拡大が、接続のモジュライ空間上の量子化束に同変作用することを示した。これは、平坦接続の空間のモジュライの幾何的量子化必要な表現空間の構成におおきな示唆を与えると思われる。

　１.報告者は四次元共形平坦多様体上の共形場理論を目指して、この数年の一連の研究において、そのための道具つくりを行ってきた。四次元空間においてディラック作用素によるスピノール解析を行い２次元複素平面上の関数論と類似の理論が作れることを一昨年・昨年に示した。本研究では、その続きの大域的理論として、四次元共形平坦多様体上におけるスピノール解析を行いリーマン面の理論と類似の理論、とくに与えられた極を持つ有理形スピノールの空間の次元を調べ古典のリーマン・ロッホの定理に相当することを証明した。開リーマン面の正則関数の高次のコホモロジーはすべて消えるが、これに対応して四次元共形平坦多様体上で（ディラック作用素に関する）調和スピノールの高次のコホモロジーが消えるという予想は途中まで証明され、これは成り立つと思われるが今後の課題である。　２.上記研究と平行して報告者はWess-Zumino-Witten２次元共形場の理論を四次元に拡張することを試みて成功した。　四次元共形平坦多様体の境界となる３次元多様体の同境類のカテゴリから直線束のカテゴリへのファンクターで、ファインマン経路積分の性質を抽象した公理を満たすものを構成した。この際、基礎的な役割を果たすのが、３次元球面からリー群への写像全体の空間の上で定義されるある種の主束であり、それは互いに双対なもの二つの主束で、位相的には U（１）－主束となっている。これにより３次元球面からリー群への写像全体のつくる群の互いに双対な可換拡大が二つ得られ、これはそのこと自体位相幾何として興味あることである。この理論は、接続による高次の平行移動の理論、Deligne-Kostant理論の高次元類似やgerbeの理論との関係が期待され、今後興味ある展開を期待できる。この結果は現在　論文として投稿中である。

１．4次元空間のディラック作用素のゼロモードスピノールについて、古典的な複素関数論と類似の理論が展開できることを示した。すなわち、コーシーの積分公式、ローラン展開、4次元球面上の留数定理を示した。また、複素関数論が1次元複素多様体（リーマン面）に拡張されるごとく、我々の理論も4次元共形平坦多様体の上で展開されることを示した。この結果は論文として投稿中である。また、ウセダム（ドイツ）におけるデイラック作用素の会議で99年3月に、メキシコの Ixtapo-Zihuatanejo でのInternational conference on Clifford algebra において7月にこの結果を講演した。２．１で述べた研究に続いて、4次元共形平坦多様体の上のディラック作用素のゼロモードスピノールのコホモロジーを調べた。開4次元共形平坦多様体に対しては、１次以上のコホモロジーがすべて消えることを示した。これはリーマン面がシュタイン多様体であるという古典的結果に対応してる。とくに開4次元共形平坦多様体上ではディラック方程式の大域解の存在が示せたことになる。また、ルンゲ近似定理に対応する結果およびセールの双対定理に対応した＜ゼロモードスピノールの空間の双対は反ゼロモードスピノールの台がコンパクトな1次コホモロジーになる＞という結果も得られた。この結果を、9月にワルシャワのバナッハ研究所での散乱理論およびディラック作用素の研究集会、および12月に、コペンハーゲン大学数学研究所の解析セミナーとオーデンセ大学数学コロキュームにおいて講演した。

１．ホプフ・ファイバーＳ７→Ｓ４をＢＰＳＴインスタントンにより解釈し、Diracモノポールとの類似を具体的に写像を式で記述して示した。次に、射影平面Ｐ２（Ｃ）上のＳＵ（2）主束にともなうインスタントンを具体的に式を与えて構成した。　３次元空間Ｒ３の上のＳＵ（2）ヤン・ミルズ・ヒグス理論と自発的対称性の破れによるディラックモノポールの出現は良く知られている。これを高次元化する問題がこの特定課題研究の目的であるが、筆者は５次元空間Ｒ５の上のＳＵ（3）ヤン・ミルズ・ヒグス理論を調べ、自発的な対称性のやぶれＵ（1）&#215;　ＳＵ（2）とそれにともなう不変量をひとつ見いだした。この部分ＳＵ（2）束としてＢＰＳＴインスタントンが埋め込まれてモノポールの役割をしていることを示した。結果については吟味・検討中である。２．筆者は、この特定課題研究と平行して、ゲージ項を持つDirac作用素の境界条件と指数について次の結果を証明し、論文として投稿中である。まず、４次元球面上のベクトルポテンシャルで静電的なものの全体は、赤道の３次元球面上の（幾何的）Dirac作用素の境界条件の全体のつくる無限次元グラスマニアンの中に写像されることを示した。その上で次の３種の指数が等しくなることを証明した。（１） ４次元球面上のゲージ項をもつDirac作用素の指数、（２）４次元半球面上で、同じDirac作用素に、赤道上でAtiyah-Patodi-Singer境界条件を課したときの指数、（３）４次元半球面上の幾何の指数。（１）、（２）が等しいことは知られていたと思ってよいので、（３）が重要である。これにより二宮・タンの定理を精密化した。３．このほかにホプフ・ファイバーＳ７→Ｓ４の束写像が調和振動子の軌道により与えられることを、示すことができそうである。

次の結果を得た。I. 境界を持つ多様体でのゲージ項のあるディラック作用素の指数定理とAxial anomaly． 4次元空間の半球において，境界球面の近くでは自明な形をしているヴェクトルポテンシャルをAとし，Aをゲージ項とするカイラルディラック作用素をDAとする。ゲージ項なしのディラック作用素の境界球面での接平面成分（ハミルトニアン）の正の固有値をもつ固有スピノール全体の空間への射影をPとする。境界条件Pφ＝0（アチャ・シンガー・パトディ境界条件）を与えたときのDAの指数の計算が重要である。これについて二宮－Tanは， index DA ＝ deg (h)ただし境界の近くでA＝h-1dh，を証明した（1985年）。筆者はより一般にAxial成分を持たないヴェクトルポテンシャルに対しDAの指数と，境界面上の無限次元グラスマン多様体の中でAが定める成分の次元との関係を考察した後，境界近傍でAが自明な場合，Aに依らずアチャ・シンガー・パトディ境界条件が定まることを示し，上記の二宮－Tanの結果を系として導く定理を証明した。これは物理におけるゲージ場の理論においても重要な結果であると思う。II. Ω3Gのアーベル拡大． 3次元球面からリー群G＝SU(N)への写像のつくるリー群のアーベル拡大を構成することは，それに附随したアノマリーバンドルとともに重要であり，J. マイケルソンが構成している。彼が構成にもちいた2－コサイクルはS3上のゲージポテンシャル全体Αに値をとるものであった。本研究で研究者はΩ3Gに値をとる2－コサイクルにより同様のアーベル拡大が得られることを示した。さらに，このアーベル拡大の方法によりWess－Zumino－Wittenモデルの4次元多様体への拡張を構成できることを現在示しつつある。