非線形楕円型方程式 (系) に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 非線形シュレディンガー方程式に対する特異摂動問題に関しては, 局所的な変分法によるアプローチを研究代表者田中は J. Byeon 氏と共に開発し, ポテンシャル関数の極大点, 鞍点に凝集する解の構成に成功した. この構成法は非常に広いクラスの非線形項に対して適用可能であり, 従来の Lyapunov-Schmidt
法による極限方程式の解の一意性, 非退化性を要求する存在結果を大きく拡張するものである. なお, 本年度の研究において 1 点に与えられた数のピークが凝集する multi-peak 解の存在の構成にも成功している. このようなmulti-peak 解の存在は非退化条件なしには証明されていなかったものである.
常微分方程式の Lagrange 系に対する特異摂動問題に関しては, 高振動解の adiabatic invariant を用いたプロファイルの決定および与えられた admissible なプロファイルをもつ解の構成を P. Felmer 氏, S. Martinez 氏らと共に行い成功した.
また 2 次の相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系について研究代表者は分担者小澤および林氏と共に研究に取り組み, 初期値問題の局所および大域可解性, さらには定在波解の存在を様々な設定の下で行った. また研究分担者小薗は Lax-Milgram 定理の一般化およびその楕円型方程式系への応用を, また連携研究者足達, 佐藤は準線形楕円型方程式, 非線形シュレディンガー方程式系の解の漸近挙動の研究等を行い, 塩路は非線形楕円型方程式の球対称解の研究を行い, 既存の結果をほぼすべて含む, 球対称解の一意性定理を導いた.

本研究では反応拡散方程式に対する自由境界問題を解析した。この問題は数理生態学における，外来生物などの生物種の侵入・移動をモデルとしており，種の個体数密度とその生息領域が時間とともにどのように変化するかを調べることが目的である。個体数密度は反応拡散方程式で記述され，生息領域の境界（またはその一部）の運動はステファン型の自由境界条件で支配されるとする。このとき種が絶滅に至るか、あるいは生息領域が無限に拡がるとともに種が存続するか, その挙動のメカニズムを理論的に解明できた。また，生息領域が拡大する際の速度はどのように定まるか？などの問題についても詳細な結果を得ることができた

物理学をはじめとする自然科学における様々な現象を記述する偏微分方程式の数学的研究は極めて重要である．しかしながら，双曲型方程式の典型例である波の伝播を記述する波動方程式と放物型方程式の代表例である熱の伝播を記述する熱方程式とは，その解の振る舞いが著しく異なるため，その研究手法も研究者の層も乖離しているという現状がある．強い減衰項を有する波動方程式は，ある種の放物型性を発現するという，研究代表者の予備的研究を基に，減衰項を有する抽象双曲型方程式が放物型性を獲得するメカニズムを明らかにし，双曲型性と放物型性との間に横たわる階層構造を解明した

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

本研究においては、数理生態学分野に登場する2種の競合生物の棲み分け現象や新種の侵入現象などに現れる、種の非均質性の様子を数学的に定式化して考える。このような問題は生物種の個体数密度を未知関数とする反応拡散方程式として表わされる。非線形拡散を伴う2種生物モデルに対する正値定常解集合の構造、および生物の侵入をモデルとする自由境界問題に対する展開の成功と絶滅のメカニズムについて、満足できる成果が得られた。

非線型問題の研究を変分的手法により行った. 特に(1) 非線型シュレディンガーおよびその連立系に対する特異摂動問題に関して凝集解の変分的構成を行い, 非常に一般的な設定の下でその存在を示した. (2) 非線型楕円型方程式 (系) の解の存在を種々の設定の下で扱い, 解の新しい変分的構成を与えた. また解の安定性, 不安定性の研究を行った. (3) 空間次元 1 の特異摂動問題においては高振動解の特徴付けと存在結果を与えた.

環境問題等、人間生活に深く関わる非線形で複雑な現象のメカニズムの解明を目的とした数学理論の構築と、その活用を物質科学・生命科学に現れる具体的な問題を対象に試みた。本研究の過程で、新しい数学理論が展開され、それにより幾つかの未解決問題への有効なアプローチが見つかった。これは、本研究の最も大きい成果と言える。さらに、この新しい数学理論は、それを基盤とした「生活数学」の創生へ発展している

数理生態学に現れる非線形拡散を伴う反応拡散方程式システムを解析した。これは生存競争を行う2種の生物種の棲み分け現象を記述するモデルとして定式化されたものである。正値定常解は2種の生物種の共存状態として生態学的にも意味のある解であり、このような解の構造解明が重要なテーマである。正値定常の存在を示すための理論・技法の開発をおこなった。同時に、非線形拡散係数を無限大とする場合の極限問題と、本来の問題との関係を調べることにより、解構造解明への手がかりをつかむことができた。

研究目的にかかげた目標に関する次の幾つかの興味ある成果が得られた。
(1)我々の先行研究によって、p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式
u_t=△_p u+uに対する初期値境界値問題に対して、全ての解軌道を引き付ける「大域アトラクター」が、L^2で構成され、さらにそれが無限次元を持つ事実が知られていたが、これはかなり特殊な状況であり、非線形楕円型方程式に関するLyusternik-Scnirelman理論からも、その無限次元性は導出できるという難点があった。
uをαu-b(x)|u|^q uとしても、大域アトラクターの存在とその無限次元性が導かれる
ことが示された。これは、より一般的な非線形項f(x, u)に対しても、同様な結果が成立することを示唆する、重要な発見である。
(2)多孔質媒質中を流れる流体(溶媒)の速度及び温度と流体中の溶質の濃度の振舞いを記述する、2または3次元有界領域におけるBrin kman-Forchheimer方程式の時間大域解の存在と一意性が、H^1に属する初期値に対して、示された。
これによって、この方程式に対する、大域アトラクターの構成の出発点がクリアーされたことになる。
また、よく知られているように、3次元空間におけるナビエ・ストークス方程式の一意的時間大域解の存在問題が未解決大問題である事実と比較すると、非常に興味深い知見を与えている。

特異摂動問題の解析に重点をおき,変分的手法を用いて非線型楕円型方程式,ハミルトン系の研究を行った.
1.特異摂動問題においては高振動解(特異摂動パラメーターεが0へ近づくときスパイクあるいは遷移層の数が無限大へと発散する解)の解析と非線型Schrodinger方程式Allen-Cahn方程式,Fisher方程式に対して行い,admissibleなadiabatic invariantに対応する解の族の構成に成功した.またGierer-Meinhardt方程式に対しては,方程式にx依存性がなくとも局所的に高振動解をもつ解が現れることをエネルギー関数等に対する極限方程式を解析することにより示した.なお,1次元Schrodinger方程式に対してはε→0のときの正値解の個数の増加に関する新しい評価を与えることに成功した.
2.非線型Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して,非常に一般的な非線型項を許容する条件の下で凝集解の構成に空間次元が1,の場合に成功した.このような試みは数多くされて来たが,今回の結果はBerestycki-Gallouet-Kavianのscalar filed方程式の結果に対応し,既存の結果を包括する.(空間次元が3以上の場合はByeonとJeanjeanにより最近示されていたが,今回空間次元が1,2の場合は未知であった.今回その場合を扱うことにに成功した.)
3ハミルトン系に関してはprescribed energy問題を考察し,天体力学に関連したハミルトン系に対して周期軌道の存在証明に成功した.ここで得られた結果の特徴としては次の点があげられる.(a)strong force条件を一般化した条件の下での存在定理であること.(b)等エネルギー曲面S={(q,p)|H(q,p)=E}はノンコンパクト.(c)存在のための条件はハミルトン関数H(q,p)に対する条件ではなく,等エネルギー曲面Sに対する条件として与えられている.

(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。

(1)L^p空間では不可能であるが、L^∞空間ではじめて可能になるエネルギー評価の新たな手法である「L^∞-energy method」が開発され、様々な非線形方物型方程式に極めて有効であることが明らかにされつつある。この手法が、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。他の非線形放物型方程式系への応用が期待される。
(2)系を記述する種々のパラメーターの値が同じであっても、系の状態は必ずしも同じにはならず、系の状態が、パラメーターの値のみならず、その過去の履歴に依存して決定される現象を、ヒステレシス効果と呼ぶ。ヒステレシス項を有するfood-prey-predator model方程式の解の存在、正値性、有界性、一意性を保証する従来の条件が大幅に緩められた。
ヒステレシス効果を表す項は、可能なすべてのヒステレシスループ(これは、未知関数に依存する)から作られる領域の指示関数(indicator function)の劣微分作用素で与えられるため、極めて強い非線形性を有している。このため、従来の研究では、ヒステレシス項を特徴付ける関数の2回微分までがすべて有界であるという強い条件が必要であったが、「L^∞-energy method」を応用することにより、これを2回連続的微分可能性条件にまで弱めることができた。さらに、解の一意性に対する証明が改良され、空間次元が4以下の場合まで示すことができるようになった。

本研究では,準線形拡散項を伴う数理生態学モデルの正値定常解集合の構造の解析,および相転移現象を記述する半線形拡散方程式の解集合の構造の解析を主として行なった.
数理生態学モデルでは拡散項が個体数密度に依存するprey-predatorモデル
u_t=Δ[ψ(u, v)u]+au(1-u-cv), v_t=Δ[ψ(u, v)v]+bv(1+du-v)
について同次Dirichlet境界条件の下で正値定常解集合の構造を解析した.この問題においてu, vはそれぞれprey, predatorの個体数密度であり,正値定常解集合が存在するための十分条件は知られており,問題になるのは正値解の形状や個数である.本研究では例えばφ(u, v)=1, φ(u, v)=1-βuとすると, βが大きいならば,適当な条件の下では3組の正値定常解が存在することを示したのみならず,それぞれの解の安定性に関する結果も得ることができた.
相転移現象モデルとして研究した方程式ほ同次Neumann境界条件下での
u_t=ε^2u_<xx>+u(1-u)(u-a(x)) (ただし0<a(x)<1)
である。拡散係数εが非常に小さいときには多種多様な定常解の存在が知られている。とりわけ、関数の値が急激に変化する内部遷移層やスパイクを持つ解が最大の関心の的である。我々の研究グループとAi-Chen-Hastingsのグループが独立に研究しており,内部遷移層が現れる位置はa(x)=1/2となる点xの近傍,スパイクが現れる位置はa(x)が極値を取る点xの近傍に限られることを示した.さらに、多重内部遷移層や多重スパイクが現れる条件や解の安定性(Morse指数)と解の形状についでも詳しい結果を得ることができた.

変分的手法により非線型楕円型方程式の解の存在,多重性の研究を行った.特に特異摂動問題の解析に重点を置いた.
1.非有界領域における非線型楕円型方程式に関しては,一般的な非線型項f(u)を伴う方程式-Δu+V(x)u=f(u)に関して解の存在証明をmonotonicity method等を用いて与えた.従来ほとんどの存在結果ではglobal Ambrosetti-Rabinowitz条件等のf(u)に対する大域的な条件が設定されていたが,V(x)に対してある種のdecay条件を課すことにより,f(u)に対する大域的な条件を仮定することなく,解の存在を保証することに成功した.
2.特異摂動問題としては通常とは異なる形で摂動パラメーターが導入された問題-Δu+λ^2a(x)u=|u|^<p-1>u in R^Nに関して考察を行った.λ→∞とするとき,Ω={x∈R^N;a(x)=0}(有界かつ滑らかと仮定する)を定義域とするDirichlet問題の解が現れる.ここではΩが複数個の連結成分からなる場合に,各成分上Dirichlet問題の解が与えられたとき,その解にλ→∞のときに収束するR^N上の界u_λ(x)が存在するか否か研究を行った(connecting problem).従来,このような問題は極限問題の解の非退化性の仮定の下で議論されることが多いが,ここではp∈Nのとき非退化性を全く仮定せずに論じることに成功した.なお関連する話題として,生物モデルにおけるdisruptedな環境をモデルとした解析を行い,安定解の多重性等を見いだした.
3 特異摂動問題に関しては,従来変分的に全く研究されていなかった高エネルギー(振動)を持つ解の族の特徴づけおよび存在問題の研究に取り組み,力学系におけるaveraging theory (theory of adiabatic invariants)と関連する結果を得た.特に,'極限エネルギー関数'を用いた解のパターンの記述,逆にadmissibleなパターンに対してそれを実現する解の族の構成に成功した.

本研究計画の課題は(1)相転移現象のモデル化と数学理論の開発(2)関連の最適制御問題の設定と数値シミュレーション(3)研究成果の学校教育への還元の3つであった。課題(1)では、熱力学の基本法則を基盤にして、相転移を伴う物質の数学的表現を通し、時間の発展と共に物質の構造(相変化、成分分離、破壊、原子の秩序)がどのように変化するかを力学系理論の立場から考察した。特に、研究計画後半の2年間、破壊のプロセスを念頭に置いた不可逆相転移現象のモデルのクラスを提案し、その数学理論の開発を行った。15年間構築されてきた、劣微分作用素論とうまく融合したことにより、予想以上の成果が得られた。課題(2)についても、ヒステリシス関数を制御パラメータとする最適制御問題の理論的研究はほぼ目的を達成し、部分的な数値シミュレーションを実行した。計算アルゴリズムについてはまだまだ改良の余地が多く残されている。上記の2課題(1)、(2)について、多くの学術論文が本研究計画の成果として発表された。また、この研究計画期間中に、国際研究集会を2度主催し、国際的レベルでの活動を積極的に行った。課題(3)については、本研究計画で主催した研究集会「相転移現象の数学と関連した数学教育」において多くの実践研究の成果が報告された。その内容は、時間と共に刻々と変化する(身の回りの)現象に着目し、その力学系の学校教育教材としての付加価値を検証し、実践を行った報告である。これらの教材開発研究は生きた「数学」の学習を体感させるための新教材として発展する可能性が期待され、今後の研究の新展開が大いに注目されている

1)従来の方法では得られなかった、準線形放物型方程式の解の高い微分可能性を保証する「L^∞-エネルギー法」を開発した。この方法により、まず、充分一般的な二重非線形放物型方程式のリプシッツ連続な時間局所解の存在が示され(1996,2002)、さらには、1950年代以来、未解決であった「Porous Medium方程式はC^∞-級の時間局所解を許すか?」という問題が肯定的に解決されるという重要な知見が得られた(2001)。「L^∞-エネルギー法」は、これらの成果のみならず、いろいろな局面で応用可能な極めて有用な解析手段を与えていることを、現在進行中の研究が示唆している。
2)「劣微分作用素の非単調摂動理論」が、バナッハ空間上の枠組みへ拡大された。これにより、従来ガレルキン法で構成されていた退化放物型方程式の解の存在と正則性がより自然な枠組みで、より一般的な条件のもとで、議論できるようになり、いくつかの具体的な方程式に対して、従来の方法では解決できなかった未解決問題が解決された。
3)部分対称性を有するConcentration Compactness理論を構築した。コンパクト性の欠如した問題を解析する有力な方法として、Concentration Compactness理論が知られているが、一方で球対称性などの高い対称性がある場合には、コンパクト性が回復することが知られている。コンパクト性が回復しない程度の部分的対称性が存在する場合に、Concentration Compactness理論がどのように、その部分対称性を反映するかを解明した。この応用として、無限柱状領域において、臨界指数を越える非線形性をもつ楕円型方程式の非自明解の存在が示された。
4)「ある条件のもとでは、対称性をもつ部分空間での臨界点が、全体での臨界点を与える」というR.Palaisによる対称臨界性原理は、本来変分構造をもつ楕円型方程式に限られた理論であった。
この理論が、必ずしも変分構造をもたない楕円型方程式や時間発展を含むの発展方程式へ適用可能な一般的な理論に拡張された。これにより、従来の理論では不可能であった、放物型方程式や波動方程式への応用の道が開かれた。
5)劣微分作用素を含む多価写像に対する写像度の理論が構築された。これにより、従来ではカバーできなかった、種々の多価性をもつ非線形偏微分方程式への写像度の理論が適用可能になった。
6)劣微分作用素に対する非単調摂動理論を,マイクロポーラ電磁流体の初期値境界値問題及び時間周期問題などに適用できるように改良した。

本研究において得られた研究成果は、次のような準線形拡散項を含む反応拡散方程式系
【numerical formula】
に対する定常問題と非定常問題に対するものに大別される。このシステムは同一領域で生存競争する2種類の生物の棲み分け現象を記述する数理モデルとして有名である。未知関数u, vは個体数密度を表わし、f, gはu, v間の相互作用を表し、Lotka-Volterra型の競合モデルまたはprey-predatorモデルを扱う。
(1)非線形拡散(cross-diffusion)を伴う上記モデルに対する非定常問題に対しては、時間大域解の存在に関する既知の結果は空間次元が2以下のケースに限られていた。本研究では、α,γ>0の場合、他の方程式の拡散項が線形(β=δ=0)ならば、空間次元や初期データの大きさと無関係に大域解が一意的に存在すことを示すことができた。うまくいった理由は、システムを準線形放物型方程式と半線形放物型方程式に分解し、各方程式についての基本解評価とself-diffusion項をフルに活用したアプリオリ評価を効果的に組み合わせた点にある。この方法はδ>0のケースにも適用することができ、空間次元が5以下の場合に大域解の一意的存在を示すことができた。
(2)上記モデルに対する定常問題について、正値定常解は共存解として数理生態学的に大きな意味があり、その個数を知ることは重要な問題である。本研究においては同次Dirichlet境界条件下、いかなる条件で複数個の共存解が存在しうるか、を集中的に調べた。その結果、線形拡散で相互作用が非常に大きい競合モデルや、非線形拡散(cross-diffusion)の効果が非常に大きいというprey-predatorモデルにおいて、複数個の共存解が存在し得る条件を明らかにすることに成功した。

変分的手法により非線型微分方程式の解の存在問題に関する研究を行った.得られた成果は非線型楕円型方程式,特異摂動問題に関するものとハミルトン系に関するものに大別できる.
1.非線型楕円型方程式に関しては非有界領域状のスカラーフィールド方程式の正値解の存在,多重性を空間変数xの依存性をもつ場合に研究を行った.方程式の空間変数xへの依存性からの解集合への影響に関して考察を行い,そのデリケートな依存性を見いだした.特に依存性がいかに小さくとも解空間に大きな影響が起こることを示し,非常に小さな摂動ののちに4つの正値解をもつ方程式の例等をあげた.
2.また空間非一様性をもつ非線型楕円型方程式に対する特異摂動問題を考察した.得られた成果としては(a)1次元問題に対し,新しい有限次元問題への帰着法を導入し,変分的アプローチと共に用いることにより,1点に集中する複数個の内部遷移層あるいは境界層をもつAllen-Cahn型方程式の解の構成し,また1次元非線型Schrodinger方程式に対する1点に複数個のspikeが集中するような半古典極限解の族の構成に成功した.(b)一般的な非線型項g(u)を伴った非線型楕円型方程式に関して,そのMountain Pass Theoremを用いた特徴付けを非常に広いクラスの非線型性に対して与え,その応用として高次元でのspike解の存在証明が,漸近的に線型のオーダーをもつ非線型項をも含む,非常に広いクラスの非線型項に対して可能となった.
3.ハミルトン系に関しては,2体問題型の特異性をもつハミルトン系を主に扱った.まず複数個のstrong force typeの特異点をもつハミルトン系に対し,非常に複雑な(記号力学系に対応する)解軌道族を構成した.また特異点集合Sが1点でなく体積をもつ場合,特異性V(q)〜-1/dist(q,S)^αのオーダーαがいかに小さくとも-いわゆるweak forceの条件の下でも-周期軌道が存在することを見出した.

本プロジェクトでは、線形・非線形作用素論から反応拡散系方程式、波動方程式、シュレディンガー方程式、相転移モデルやそれに関連する数値解析に至るまで実に多様な研究成果が得られた。特に、学際的見地に立った極めてレベルの高い研究が発表されている。例えば下記のような研究結果が上げられる。
●環境問題に関連して、広島湾における赤潮の発生メカニズムに関する数学的解析と数値シミレーションを行った。これは非線形発展方程式理論の立場から環境問題の解決に積極的に寄与しようとする試みである。また、火山の噴火に伴う溶岩流の凝固現象を非柱状領域のステファン問題として捉え劣微分作用素論の立場からモデリングをした。
●メゾスコピックスケールでの液体・固体相転移現象のモデルとして得られた非線形放物型方程式系の安定性理論を展開した。こめ理論では、全く新しい「(空間的)局所安定性」の概念が導入され、定常解の安定性の特徴づけがこの概念で行われている。この概念は、物理的には相(液相・固相)の消滅や成長のメカニズムを説明するもので極めて重要である。
●様々な非線形現象を力学系として捉えたとき、時刻と共に現象がどのように進んでいくか、或はどのような挙動に近づいているか等を数学的に評価する手段として大域的アトラクターの概念がある。多くの非線形現象モデルに対応する十分一般的力学系に対しその大域的アトラクターの構成法を確立した。

1.定常状態のマイスナー効果を巨視的に表現する拘束条件をGinzburg-Landauのエネルギー汎関数に付加して、その最小化問題を考え、それをペナルティ法を用いて解き、その非自明な解の存在定理を得た。さらに、その数値シミュレーションを行い、その解が巨視的にマイスナー効果をよく表現していることを確認した。
2.外部磁場中の時間依存のGinzburg-Landau方程式とMaxwell方程式の連立方程式に対する初期値境界値問題の大域的弱解と境界の存在と一意性定理の研究を空間二次元と三次元の場合に行った。
最初にL_2空間の枠組みでガレルキン法を用いて、大きなデータの一意存在定理を示し、さらに、L_3空間の枠組みで、大きなデータに関しては局所解の一意存在定理を線形半群の理論と非線形項の適切な評価を用いて、最初全空間で、次に有界または非有界領域の場合に確立した。
さらに、自明解の安定性を示すことにも成功した。
3.時間依存のGinzburg-Landau方程式の数値解析は、単に離散化すると、方程式のゲージ不変性が失われて、なかなか適切に現象を捉えることが出来ない困難さがある。本研究では、時間ゲージを採用し、方程式をうまく変形すると、その離散化が全自由エネルギーが時間とともに単調に現象するような差分スキームが構成できることに着目し、それを用いて、第一種と第二種の超伝導状態の時間的変化を外部磁場の下で数値シミュレーションした。その結果は、物理理論の正当性をよく示すものであった。

本研究の主たる成果は反応拡散方程式の解集合の構造と個々の解の形状に関わる以下の2つのテーマに分類される。
(1)cross-diffusion項を含む反応拡散方程式系の解析:ここではLotka-Volterra型の競合関係をモデルとする反応項とcross-diffusion項と呼ばれる拡散項からなる方程式系を扱った。数理生態学分野に現われる方程式であり、数学的に重要な課題は時間大域解が存在するための十分条件を確立すること、および共存解として大きな意味がある正値定常解集合の構造を知ることである。非定常問題に関しては空間次元が1および2の場合に、大域解の存在条件を得ることができた。また、定常問題については同次Dirichlet境界条件下で正値定常解が存在するための十分条件を調べるとともに、その一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。その結果、相互作用の係数が一定の条件をみたせば正値解が2個以上存在し得ることが理論的に明らかになった。さらに数値解析によれば、空間次元が1の場合でも半自明解から対称な正値解の分岐、さらに対称分岐解から非対称な共存解の分岐というように、解集合は非常に複雑になることが示された。これは理論的には未解明であり、今後解明していかなければならない。
(2)pラプラシアン項と反応項からなる準線形放物型方程式の解析:pラプラシアン項はその非線形性と退化性があいまって解析に困難を伴う一方、線形拡散とは大きく異なる非線形現象がもたらされる。この研究では定常問題の解集合の構造について、空間次元1の場合のみならず、高次元の場合もかなり詳しく情報が得られるとともに、解の形状についてもフラットハットと呼ばれる退化型拡散特有の性質・形状が調べられた。また、非定常問題に関して解の時間空間的変化についても従来知られていなかった結果を示すことができた。

楕円型方程式(I)方程式(E)-△u=|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ω に対して,次の定理を得た.
「Ω=R^N＼B_R, B_R={x∈IR^N ; |x|【less than or equal】R}, 2^*<q<+∞(2^*は, ソボレフ型埋蔵H^1_0(Ω)⊂L^q(Ω)の臨界指数)とするとき, (E)はH^1(Ω)∩L^q(Ω)に属する(球対称)非自明解をもつ. 」1<q【less than or equal】2^*の場合には, 非自明解が存在しないことが既に知られており, 有界領域に対する既知の結果との双対性から, 予想されていた長年の未解決問題が肯定的に解決された有義は極めて大きい.
(II)方程式(E)_λ-△u=λu+|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ωに対して:
(1)Ω=Ω_d×R^<n-d>(R^Nの非有界柱状領域), q=2^*, d【greater than or equal】1, N【greater than or equal】4 とするとき, 任意のλ∈(0, λ_1), λ_1=inf_<v∈H^1_0>(Ω)‖∇u‖^2_L_2/‖u‖^2_L_2>0に対し, (E)_λは非自明解をもつ. この結果は, 有界領域に於けるBrezis-Nirenbergの結果の非有界柱状領域への拡張を与えている. (2)Ω=Ω_d×R^<N-d>, Ω_dをd-次元円環領域とするとき, q>N_d=2(N-d+1)/(N-d+1-2)ならば, (E)_λは非自明解(適当なクラスに属する弱解)を持たない. 2<q【less than or equal】2^*に対しては, (E)_λは非自明解をゆるすことが知られており, 2^*<q【less than or equal】N_dの場合が最近, 次のように解決された:(i)2^*<q【less than or equal】N_dの場合は, 解が存在し, (ii)q=N_dの場合は, 解が存在しない. 即ち, この事実から, 「領域のd次元対称性は, 実効的次元を(d-1)次元だけ減ずる効果をもたらす」ことが結論づけられた.
(III)方程式(E)_1 -△u+u=a(x)|u|^<q-2>u+f(x) x∈IR^N, 2<q<2^* 0<a(x), |a(x)-1|【less than or equal】Ce^<λ|x|>, λ>0に対して, ‖f‖_<H-1(R^N)>が十分小さければ, (E)_1は少なくとも2つの正値解をもつ. さらに, f=0かつq<2^*が十分2^*に近い場合, 正値解の多重性が係数関数a(x)の最大値与える点xのなす集合の位相的性質(カテゴリー)に支配される現象が発見された. この現象は, 今後の進展が期待される重要な課題となろう.
放物型方程式 (I)porous medium方程式の弱解のHolder連続性が良く知られていたが, 滑らかな(局所)解の存在については, 長く, 未解決問題として残されていた. これに対し, 大谷-杉山により, より一般的な方程式に対して, Lipshitz連続な時間局所解が構成され, ここで開発された, L^∞-エネルギー評価法を発展させ, C^∞(IR^N)に属する局所解の存在が証明された. 長年の大きな未解決問題が解決された意義は極めて大きい.
(II) (E)に対する, 非定常問題に対し, q=2^*のときの解の漸近挙動の決定は, 未解決の問題として残されていたが, 今回, 次のような手掛かりが得られた. 「q=2^*, Ω={x∈R^N;|x|<1}かつ, 解u(x, t)は正値, 球対称でr=|x|に関して単調減少ならば, 解は有限時間で爆発するか, または時間大域的に存在して, 次をみたす. 「ある点列{t_n}が存在して, 測度の意味で|∇u(x, t_n)|^2-C_0δ(0) (n-∞). |u(x, t_n)|^<2*>-C_0δ(0) (n-∞)」この結果, critical case(q = 2^*)では, デルタ関数がsubcritical case(q <2^*)の場合の定常解に相当していることを示す意味で, 大変重要な示唆を与えているが, 技術的な強い仮定を要する点で不満が残る. 自然な仮定のもとでの解決が, 今後の課題となろう.
(III)2次元有界領域でのKeller-Segel方程式(粘菌の生態を記述する走化性方程式)に対する初期値・境界値問題の大域解の存在が示された. 更に, 孤立爆発点で解はデルタ関数的な特異性を持つ事を示された. この事実からも, (II)における問題との楕円型方程式を介した密接な関連性がうかがえる. この視点からの今後の研究が望まれる.

本研究は、相転移を伴う非線形現象について、モデリング、理論解析、数値シミレーションを行う学際的かつ総合研究である。平成9年度及び10年度の研究成果は次のとおりである。
1. 液体・固体、固体・固体相転移のモデルを再検討し、現象論的な立場から、従来のものよりもより現実的なモデル(モデルA)を提案した。その記述に非線形解析学の劣微分作用素を有効に使い、非線形放物型偏微分方程式系としてモデル化することに成功した。更に、ヒステリシス効果を考慮した新しいモデル(モデルB)は時間依存の2重オブスタクル問題に帰着出来るこたが示された。
2. 上記の新しいモデルAについて、理論解析を行い、解の大域的存在、一意性の証明に成功した。モデルの理論解析のために新しい数学的テクニックが開発されたが、その中でも、30年間未解決のままであった非線形楕円型作用素の問題を解いた事は大きな碩究成果といえる。モデルBについては、解の一意性証明はまだ未解決のままである。
3. 数学的道具の開発のために、ヒルベルト空間における凸関数の劣微分作用素が生成する十分に一般的なクラスの力学系の枠組みで、大域的アトラクターの理論を展開し、漸近安定性を論じた。
4. 上述の問題に関連し、数値実験を試みた。

今年度の研究成果は、"cross-diffusion"と呼ばれる拡散項をもつLotka-Volterra型モデルに対する定常解集合の研究と、退化型拡散項(p-Laplacian)をもつ放物型方程式の解のダイナミックスの研究の二つに分けられる。
1.数理生態学における"biodiffusion"のなかには"cross-diffusion"と呼ばれる重要な非線形拡散がある。同一の領域で生存競争している2種以上の生物の固体密度を未知関数として定式化すると、"cross-diffusion"の効果により、拡散係数が固体密度にも依存するような準線形拡散方程式系となる。このようなモデルは1979年に提起され、数値実験では分岐やパターンの形成などの興味深い現象が見られるにもかかわらず、理論的な解析は十分ではない。我々の研究グループは数年前から正値定常解集合の解明に取り組み、正値解が存在するための十分条件や必要条件を見いだしている。今年度は解の多重性に関して非線形拡散がいかなる影響を及ぼすかを調べ、写像度の理論と分岐理論を組み合わせて、正値定常解が2個以上存在する状況を新たに発見した。
2.p-Laplacianを含む拡散方程式にたいしてChafee-Infanteタイプの非線形項を付け加え、解の挙動、定常解集合の構造、安定性を研究した。空間次元1のケースに限定されるが、定常解集合の構造を完全に解明することができた。とくにp-Laplacianの退化性のため、定常解集合の構造は非退化のときと全く異なり、非可算集合となる。さらに、解のプロフィール、解の分岐構造、解の個数、安定性について今まで知られていなかった情報が得られた。今後は、空間次元の高いときの解集合の構造も調べたい。

計画調書の研究目的にかかげた目標に関連した主たる成果は以下の通りである。
1.非線形項が境界で特異性を有する半線形楕円型方程式 -Δu(χ)=Κ(χ)u^β(χ)/(1-|χ|)^α χ∈B={χ∈R^N;|χ|<1}に対して、変分的手法により以下の結果を得た。
(1)β+1【greater than or equ
非自明古典解(C^2(B)∩C^1(B^^-)に属する解)は存在しない。
(2)0<α<min(β+1,(β+1)/2+1),α<2^*=(N+1)(N-2) ならば、非自明古典解が存在する。
(3)0<β【less than or equal】1,β+1【less than or equal】α<(β+1)/2+1 ならば、Holder連続な非自明解が一意的に存在する。これらの成果は、従来の結果を大幅に改良したもので、その全貌がほぼ解明されたと言える。しかしながら、1<β,(β+1)/2+1【less than or equal】α<β+1 の場合の
2.非有界領域における弱解に対するPohozaev型の不等式が、星状領域の外部領域及び柱状領域に対して確立され、準線形楕円型方程式の弱解の非存在に応用された。この結果、解の存在・非存在に関して、星状領域の内部と外部との双対性が明らかにされ、この分野における重要な知見が得られた。
3.Pohzaev型の(不)等式に依らない、正値解の非存在の為の新たな手法の端緒が開かれた。これは、領域は平行移動不変性と正値解の一意性の議論を組み合わせた議論によるもので、正値解の一意性がよく調べられている、固有値問題、sub-linear(sub-principal)caseに対して有力な道具を提供するものである。この手法のより一般的な場合への拡張が期待される。
その他、これに関連する周辺の成果も多数得られている。

特異摂動問題から導かれる差分方程式等の非対称行列を係数行列とする連立方程式に対し、SOR-likeな反復法を用いて解く際に有効な計算法として“順序付き改良SOR法"を提案し、その理論面と実用性を研究の主テーマとして取り組んだ。
三重対角行列の場合に対し、改良SOR行列のスペクトル半径を0とする緩和係数を調べ、行列のLU分解のピボットの逆数と対応させるものn組を求め、それを用いた実用的なアルゴリズムを提案した。
2次元定常移流拡散方程式を離散化して得られるブロック三重対角行列を係数行列とする連立方程式に対して、三重対角行列の場合の結果を応用した実用的な計算法として緩和係数を各ブロックごとのみならず、各反復ごとに変え、有限回で収束する手法である“適応的順序付きブロック改良SOR法"を提案した。
次に、三重対角行列及びブロック三重対角列を係数行列とする連立方程式に対し、そのぞれ1回で及びn回で収束する順序付き改良SSOR法を提案する。またこの他に順序付き改良SOR法の一般的な収束定理を、一般化優対角行列に対しては判定法に役立つ必要かつ十分条件を求めた。
“基本LUL分解"なるものを考えることにより、Hessenberg行列及び特殊な行列のあるクラスに対する具体的な反復行列のスペクトル半径を0とする簡単な緩和係数の決め方を得た。

研究代表者及び理工学部所属の解析学分野分担者を中心とした、外部にも開かれた定期セミナーを早稲田大学理工学部内において週一回(計21回)開催した。この会(応用解析研究会)には、研究分担者のみならず、東京近郊の若手研究者が多く参加し、研究課題関連の話題について活発な討論、意見交換がおこなわれ、研究を遂行する上で非常に有意義であった。また研究経過発表会を数回おこなった。具体的成果については、個々の単独(非線形楕円形、放物型、双曲型、分散型)方程式に関する多くの成果のほかに、Davey-Stewartson(完全流体の表面波)方程式系に対し、弱解の存在と一意性及びその漸近挙動(時間とともに解のある種ノルムが零に近づく)が解明された。
また、界面で化学反応を起こしている拡散方程式系、伝染病をモデル化した反応拡散系について、大域解の存在を示しその漸近挙動を決定した。更に、熱対流と非圧縮性粘性流との混合方程式系に対しては、流体の占める領域の境界が時間とともに変動する、非柱状領域における初期値境界値問題、周期問題の強解の存在と一意性が、柱状領域における熱伝導と粘性流に対してそれぞれ知られている結果を含む極めて一般的な枠組みで解決された。しかしながら、このように多くの成果があげられた一方、最終目標であったシュレディンガー混合型方程式系の多くを含む統一的理論を構築するという課題については、いくつかの有力な手がかりは得られたものの、達成するには至らなかった。今後の課題としたい。

非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式について研究を進めてきたなかで、今年度中に成果が得られた研究テーマは、[1]フイードバック効果をもつ反応拡散方程式系についての解集合の構造、[2]数理生態学にあらわれる準線系放物型方程式系について、の二つである。[1]の研究においては、数値実験の結果から、フイードバックのメカニズムは反応拡散方程式系の解にたいして振動現象をもたらすことが観測されている。ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながらも終局的には定常解に収束するのはどんな場合かを解析した。その結果、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件をわかりやすい形で導くことができた。さらに適当な定数をパラメーターとみなして変化させるとき、定常解が不安定となる状況が起きる。このときには定常解から周期解が分岐することが証明され、分岐した周期解の軌道安定性を調べることができた。周期解が必ずしも軌道安定になるとは限らないこともわかり、将来さらに詳しい解析を進める必要がある。また、[1]の方程式系をディリクレ境界条件の下で解析すると、解の漸近挙動を調べる際にノイマンのときにはなかった難しさがあらわれる。定常問題の解集合の構造が単純ではない点である。対応する楕円型方程式系の正値解を見つけることが重要であり、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。ただし、解集合の情報は完全ではなく、今後も研究を続けなければならない。[2]は二種類の生物が競合している状況をモデルとしていて、二つの方程式の間で拡散効果が相互作用をしている。このような数学的難点を克服して、かなり自然な条件のもとで有界な大域界を校正することができた。今後は、この解の時間無限大での漸近挙動を調べる予定である。

2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。
S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)
量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)
この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田)

今年度における研究目標はかなり達成できた。特に頂点(回転の中心となる点)をもつ回転面に関しては予想より非常に良い結果を得た。まず基本的性質として、頂点をもつ回転面上の極の作る集合は、頂点を中心とするある半径の閉球をなすことがわかった。次に回転面上の極が2個以上あるための同値条件を、関数L(t)だけの簡単な性質だけで表すことができた。ただし、L(t)は、頂点を中心とする半径tの円の長さを表す。マンゴルトの回転面と呼ばれる回転面を定義し、この回転面上の最小軌跡を完全に決定することに成功した。いくつかの興味深い例を作ることにも成功した。非連結な最小軌跡をもつ回転面、ある点でガウス曲率が正であるが、共役点を持たない回転面の例、極を沢山もつマンゴルトの回転面の例等を見つけた。またマンゴルトの回転面上において、極の作る閉球の半径は、L(t)だけで表せるある幾何学的な等式を満たすことも証明した。最後に主定理を述べるのに必要な定義をしておく。Mを回転面、PをMの頂点とする。各q(Mの点でPでない点)に対して、μ_qをPからでて、qを通る測地線、またt_qをqからでてpを通る測地線とする。ただし、各測地線のパラメ-タ-はその孤長にとるものとする。dをM上のリ-マンの距離関数とするとき、次の定理を証明した。
主定理、Mをマンゴルトの回転面とする。各xに対して、xの最小軌跡C_xは空集合であるか、C_x=u_x〔d(p,x)∞〕である。ただし、xはt_xに沿うxの第一共役点を表す。

対称臨界性原理とは、「Banach空間X上で定義された汎関数Jに対し、ある群Gの作用に関して不変な部分空間X_G上でのJの臨界点が、X全体でのJの臨界点を与える」という原理である。この原理は、Jの汎関数(フレッシェ)微分を、劣微分作用素を含むかなり一般的な多価作用素Aに置き換えても成立することが、本研究により示されている。さらに、作用素Aが、必ずしも変分構造を有していない場合に対して拡張することが可能(AがG-共変であれば十分)であり、時間発展を伴う発展方程式に対して有用であろうことが期待されていた。(1)非線形放物型方程式、波動方程式、シュレンディンガー方程式等への応用考えるとき、時間に関する微分作用素d/dtがどのような空間でG-共変となるかを調べることは重要であるが、今回L2(0,T;X),X=L2(Ω),L2(Ω)xL2(Ω),H10(Ω)xL2(Ω),などでそのG-共変性(G=O(N))が確かめられた。これらの空間は、上記の諸方程式を抽象発展方程式に帰着させるときに現れる基本的な空間であり、これは、今後の発展方程式への応用研究において重要な知見である。(2)放物型方程式の時間大域解の漸近挙動を解析する際、コンパクト性は強力なな道具を提供する。一般の非有界領域では欠如しているソボレフの埋蔵定理にかかわるコンパクト性が、回転対称性を有する関数からなる部分空間においては、恢復するという事実に基づき、ある種の回転対称性を有する非有界領域におけp-Laplace作用素と爆発項を含む非線形放物型方程式の対称大域解のW1,p-有界性が確かめられた

微分方程式の粘性解理論とその応用の研究に関して、境界値問題の粘性解、弱KAM理論、粘性解の正則性、最適化問題、微分方程式の種々の漸近問題、曲率流や界面の時間発展、質量輸送の問題、工学・経済の問題を研究した。本研究組織のこれまでの研究の蓄積の上に、個々の課題に対して多くの新しい知見を得ることが出来た。特に、弱KAM理論におけるオーブリ集合の研究とその漸近問題への応用での貢献は大きい

　非有界領域における臨界ソボレフ指数を越える非線形性を有する非線形楕円形方程式に対して、以下の興味深い結果がえられた。方程式　（Ｅ）　－△ｕ＝｜ｕ｜q-2ｕ　ｘ∈Ω、　ｕ（ｘ）＝ｘ∈∂Ωに対して、次の定理を得た。(1)「Ω＝ＲN＼ＢR、・ＢR＝｛ｘ∈ＲＮ；｜ｘ｜≦Ｒ｝、２*＜ｑ＜∞（２*は、ソボレフ型埋蔵Ｈ10（Ω）⊂Ｌq（Ω）の臨界指数）とするとき、（Ｅ）はＨ1O（Ω）⊂Ｌq（Ω）に属する（球対称）非自明解をもつ（大谷・橋本哲）・」１＜ｑ≦２*の場合には、非自明解が存在しないことが既に知られており、（大谷・橋本貴）、有界領域に対する既知の結果（１＜ｑ＜２*のき存在、２*≦ｑ＜∞のとき非存在＞との双対性から、解の存在が予想されていたが、この長年の未解決問題が肯定的に解決された意義は大きい。　また今まで、非有界領域における臨界ソボレフ指数を越える非線形性を有する非線形楕円形方程式に対する変分的解法が皆無であったが、この定理を証明するために、「適当な変換によって、外部領域における問題を、円環領域における境界に特異性を有する楕円形方程式に変換し、これを変分的な方法で解くことに帰着する」という全く新しい技法が開発されたことは極めて意義深い。(2) Ω＝Ωｄ×ＲN-d、Ωdをｄ-次元円環領域とする。非自明解の存在に関して、今まで解明されていなかった場合２*＜ｑ≦Ｎd=２(N-d+1)/N-d-1が解明された：（ⅰ）２*＜ｑ≦Ｎdの場合は、非自明解が存在し、（ⅱ）ｑ＝Ｎdの場合は、解が存在しない。即ち、既存の結果とあわせると「（ⅰ）１＜ｑ≦Ｎdのとき存在（ⅱ）Ｎd≦ｑのとき非存在」となり、この問題に対する完全な解答が得られたことになる。この事実から、「領域のｄ次元対称性は、実効的次元を（ｄ－１）次元だけ減ずる効果をもたらす」ことが結論づけられた。

臨界ソボレフ指数の非線形性を有する、楕円型方程式に関していくつかの興味深い結果が得られた。方程式（Ｅ）　-Δu=λu+│u│q-2u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ωに対して、次の定理が成り立つ。（１）Ω=Ωd&#215;　RN-d（RNの非有界柱状領域）、q=2*（2*は、ソボレフ型埋蔵H10 (Ω)⊂Lq(Ω)の臨界指数）、d≧1,N≧4とするとき、任意のλ∈(0,λ1)、λ1=infν∈H10(Ω)∥∇u∥2L2/∥u∥2L20に対し、(E)は非自明解をもつ（大谷・石渡）。（この結果は、有界領域に対してよく知られているBrezis-Nirenbergの結果の非有界柱状領域への拡張を与えている。また、λ≦0の場合には、(E)は非自明界を持たないことが知られている（大谷・橋本）。）（２）Ω=Ωd&#215;　RN-d,Ωdをd-次元円環領域とするとき、q>Nd=2(N-d+1)/(N-d+1-2)ならば、(E)は非自明界（適当なクラスに属する弱解）を持たない（大谷・橋本）。（2＜q≦2*に対しては、(E)は非自明解をゆるすことが知られており（大谷・石渡）、2*＜q≦Ndの場合を解決することが、今後の課題となろう。）　次に、当面の目標であった、劣微分作用素に対しての写像度を定義することに成功した（大谷・小林）。これは、従来の理論の欠点（例えば「deg(f,G,p)≠0　であってもf(x)=pの解がGに存在するとは限らない」など）を取り除いたものであり、Leray-Schauder型の写像度の理論に沿った拡張になっている。この意味で、従来の理論を大きく越える枠組みを提供するものであり、非線形偏微分方程式への応用が期待される。この為には、摂動理論の確立が今後の最重要課題となろう。研究成果の発表1997　Periodic problems for heat convection equations in noncylindrical domains, Funkcialaj Ekvacioj 40 19-391997　Nonexistence of weak solutions of nonlinear elliptic equations in exterior domains, Houston J. Math. 23, 267-2901997　Nonexistence of positive solutions for some quasilinear elliptic equations in striplike domains, Discrete and Continuous Dynamical Systems 3, 565-578