In this paper, we give a transformation formula of Dwork's $p$-adic
hypergeometric function between $t$ and $t^{-1}$. As an appendix, we introduce
a finite analogue of this transformation formula, which implies the special
case of the above transformation formula.

本年度は前年度までに得られたFermat曲線の商のCeresaサイクルの非ねじれ性に関する結果を論文としてまとめ投稿した. この論文はCanadian Mathematical Bulletenから出版済みである. この結果を多くの研究集会で発表し, 参加者とともに議論をすることで, 多くの知見を得た. また, 海外の代数的サイクルの専門家とも議論をし, 今後の研究の見通しを立てることができた. 結果のさらなる一般化に向けて, 引き続き研究を進める予定である. また, 本年度はp進超幾何関数に関する結果もいくつか得ることができた. 具体的にはDworkが定義したp進超幾何関数に関してその変換公式を得た. Dworkのp進超幾何関数はLegendre型の楕円曲線の単数根を記述する, 数論的にも重要なp進解析関数である. 複素数体上の超幾何関数は数多くの変換公式や和公式が知られているが, Dworkのp進超幾何関数について, これらが知られている例は非常に少ない. 近年, Wangによって, Dworkのp進超幾何関数のtと1/tの間の変換公式が成り立つことが予想され, 超幾何関数のランクが小さい場合は, いくつかの仮定のもとでこの予想が正しいことを証明した. 本年度は, Wangと同じ仮定のもとで, 任意のランクのDworkのp進超幾何関数に対して, この予想が正しいことを証明した. 証明の方針は, 超幾何モチーフの間の同型を具体的に構成することである. 超幾何モチーフはそのFrobenius固有値がDwrokのp進超幾何関数で記述できることがしられており, したがって主結果は2つの超幾何モチーフのFrobenius固有値を比較することで得られる. これらの結果は近く論文にしてまとめ, 投稿する予定である. 本年度はp進超幾何関数に関する研究が進展したものの, レギュレーターやL関数の特殊値に関する研究に関しては, あまり進展が見られなかった. これらの研究課題に関しては, 次年度も引き続き研究を進めていく予定である.

本年度は前年度までに得られたFermat曲線の商のCeresaサイクルの非ねじれ性に関する結果を論文としてまとめ投稿した. この論文はCanadian Mathematical Bulletenから出版済みである. この結果を多くの研究集会で発表し, 参加者とともに議論をすることで, 多くの知見を得た. また, 海外の代数的サイクルの専門家とも議論をし, 今後の研究の見通しを立てることができた. 結果のさらなる一般化に向けて, 引き続き研究を進める予定である. また, 本年度はp進超幾何関数に関する結果もいくつか得ることができた. 具体的にはDworkが定義したp進超幾何関数に関してその変換公式を得た. Dworkのp進超幾何関数はLegendre型の楕円曲線の単数根を記述する, 数論的にも重要なp進解析関数である. 複素数体上の超幾何関数は数多くの変換公式や和公式が知られているが, Dworkのp進超幾何関数について, これらが知られている例は非常に少ない. 近年, Wangによって, Dworkのp進超幾何関数のtと1/tの間の変換公式が成り立つことが予想され, 超幾何関数のランクが小さい場合は, いくつかの仮定のもとでこの予想が正しいことを証明した. 本年度は, Wangと同じ仮定のもとで, 任意のランクのDworkのp進超幾何関数に対して, この予想が正しいことを証明した. 証明の方針は, 超幾何モチーフの間の同型を具体的に構成することである. 超幾何モチーフはそのFrobenius固有値がDwrokのp進超幾何関数で記述できることがしられており, したがって主結果は2つの超幾何モチーフのFrobenius固有値を比較することで得られる. これらの結果は近く論文にしてまとめ, 投稿する予定である. 本年度はp進超幾何関数に関する研究が進展したものの, レギュレーターやL関数の特殊値に関する研究に関しては, あまり進展が見られなかった. これらの研究課題に関しては, 次年度も引き続き研究を進めていく予定である.

本年度は前年度までに得られたHesse cubic曲線のレギュレーターと超幾何関数に関する研究と, 超幾何関数と虚数乗法をもつ楕円曲線のL関数の特殊値に関する研究を論文にまとめ, 投稿した. また, 本年度はレギュレーターの研究に加え, 代数的サイクルの研究を行ない結果を得た. 一般化BSD予想によると, 代数多様体の代数的サイクルはL関数の特殊値とも関係がある, 数論的に非常に重要な対象である. 代数的サイクルの重要な例としてCeresaサイクルがある. 一般的な曲線のCeresaサイクルは非自明であることがCeresa自身によって知られているが, 具体的な曲線に対して非自明(非ねじれ)になることを証明することは難しい.　Harris, Bloch, Kimura, Tadokoro, Otsuboは, 次数が1000未満のFermat曲線に対して, Ceresaサイクルが代数的同値を法として非自明になることを証明した. また, Otsubo, TadokoroはFermat曲線やその商のCeresaサイクルが代数的同値を法として非ねじれになるための十分条件を一般超幾何関数を用いて与えた. しかし, これらの条件は数値的に検証することが不可能である. 近年, Eskandari-Murtyは, 次数が7より大きい素数で割れるFermat曲線のCeresaサイクルのAbel-Jacobi像が非ねじれになることを証明した. 特に, Ceresaサイクルは有理同値を法として非ねじれである. 彼らの証明は, 曲線上の反復積分で生成される空間に定まる混合Hodge構造の拡大群に関するPulte, Kaenders, Darmon-Rotger-Solsらの結果と, Gross-Rohrlichによって構成されたFermat曲線のJacobi多様体の位数無限の点を用いることで証明される. また, 彼らは同様の結果がFermat曲線の商に対しても成り立つことを予想した. この予想に対して, ある仮定のもとで, 彼らの予想が正しいことを証明した. また, Otsuboによる結果を組みわせることで, Fermat曲線の商のCeresaサイクルの高次Abel-Jacobi像もまた非ねじれになることを証明した. これらの結果は近く論文としてまとめ, 投稿する予定である. 一方, レギュレーターの研究, およびそのp進類似に関する研究はあまり進展が見られなかったため, 次年度以降も引き続き研究を進める予定である.

本年度は前年度までに得られたHesse cubic曲線のレギュレーターと超幾何関数に関する研究と, 超幾何関数と虚数乗法をもつ楕円曲線のL関数の特殊値に関する研究を論文にまとめ, 投稿した. また, 本年度はレギュレーターの研究に加え, 代数的サイクルの研究を行ない結果を得た. 一般化BSD予想によると, 代数多様体の代数的サイクルはL関数の特殊値とも関係がある, 数論的に非常に重要な対象である. 代数的サイクルの重要な例としてCeresaサイクルがある. 一般的な曲線のCeresaサイクルは非自明であることがCeresa自身によって知られているが, 具体的な曲線に対して非自明(非ねじれ)になることを証明することは難しい.　Harris, Bloch, Kimura, Tadokoro, Otsuboは, 次数が1000未満のFermat曲線に対して, Ceresaサイクルが代数的同値を法として非自明になることを証明した. また, Otsubo, TadokoroはFermat曲線やその商のCeresaサイクルが代数的同値を法として非ねじれになるための十分条件を一般超幾何関数を用いて与えた. しかし, これらの条件は数値的に検証することが不可能である. 近年, Eskandari-Murtyは, 次数が7より大きい素数で割れるFermat曲線のCeresaサイクルのAbel-Jacobi像が非ねじれになることを証明した. 特に, Ceresaサイクルは有理同値を法として非ねじれである. 彼らの証明は, 曲線上の反復積分で生成される空間に定まる混合Hodge構造の拡大群に関するPulte, Kaenders, Darmon-Rotger-Solsらの結果と, Gross-Rohrlichによって構成されたFermat曲線のJacobi多様体の位数無限の点を用いることで証明される. また, 彼らは同様の結果がFermat曲線の商に対しても成り立つことを予想した. この予想に対して, ある仮定のもとで, 彼らの予想が正しいことを証明した. また, Otsuboによる結果を組みわせることで, Fermat曲線の商のCeresaサイクルの高次Abel-Jacobi像もまた非ねじれになることを証明した. これらの結果は近く論文としてまとめ, 投稿する予定である. 一方, レギュレーターの研究, およびそのp進類似に関する研究はあまり進展が見られなかったため, 次年度以降も引き続き研究を進める予定である.

本年度はHesse cubic曲線に対するBeilinson予想の検証の続きを行なった. 前年度までに構成したモチヴィックコホモロジーの元はアプリオリには虚二次体上で定義されているが, 本年度はこれらの元が虚二次体上integralになる必要十分条件を与え, それらの条件のもとで虚二次体上のBeilinson予想が成り立っていることを数値的に検証した. また, Fermat曲線の商として現れる楕円曲線のL関数のs=2での特殊値が一般超幾何関数3F2のz=1での特殊値で記述できることを証明した. 有限体上の超幾何関数に関する研究も進めており, 2変数超幾何関数の一般化であるKampé de Férietの超幾何関数の有限体類似を考え, それらの還元公式や和公式を証明した(伊東氏・隈部氏・中川氏との共同研究).