In this paper, we construct higher Chow cycles of type $(2, 1)$ on a family of surfaces related to a product of curves, which are certain degree $N$ abelian covers of $\mathbb{P}^1$ branched over $n+2$ points. We prove that for a very general member, these cycles generate a subgroup of the indecomposable part of $\operatorname{rank} \ge n\cdot \varphi(N)$, where $\varphi(N)$ is Euler's totient function, by computing their images under the transcendental regulator map.

In this paper, we construct certain rational or integral elements in the motivic cohomology of superelliptic curves which are quotient curves of abelian coverings of $\mathbb{P}^1$ minus $n+2$ points, and prove that these elements are non-trivial by expressing their regulators in terms of Appell-Lauricella hypergeometric functions. We also check that such elements are integral under a mild assumption. We also give various numerical examples for the Beilinson conjecture on special values of $L$-functions of the superelliptic curves by using hypergeometric expressions.

We first give a geometric construction of a 2-dimensional mixed motive over
$\mathbb{Q}$ with the Catalan constant $\mathbf{G}=1-1/3^2+1/5^2-1/7^2+\cdots$
as a period. We then use this motive to obtain a supply of linear forms in 1
and $\mathbf{G}$. We also explicitly compute the coefficients of 1 and
$\mathbf{G}$ in these linear forms.

We introduce a new type of $p$-adic hypergeometric functions, which are
generalizations of $p$-adic hypergeometric functions of logarithmic type
defined by Asakura, and show that these functions satisfy the congruence
relations similar to Asakura's. We also give numerical computations of the
special values of these functions at $t=1$ and prove that these values are
equal to zero under some conditions.

In this paper, we construct higher Chow cycles of type $(2, 1)$ on a certain
family of surfaces, which are constructed by a product of certain
hypergeometric curves of degree $N$. We prove that for a very general member,
these cycles are linearly independent over $\mathbb{Z}$ and generate a subgroup
of $\operatorname{rank} \ge 36 \cdot \varphi(N)$, where $\varphi(N)$ is Euler's
totient function, by computing the image of the transcendental regulator map.

本年度は海外の大学(Winnipeg大学・ENS de Lyon)で訪問研究員として研究活動を行ない、レギュレーターや超幾何関数、代数的サイクルに関する以下の研究成果を得た。1. Dworkのp進超幾何関数の変換公式の研究2. 超幾何曲線の代数的サイクルの研究3. P^1 \times P^1 のアーベル被覆のChowサイクルの構成4. 対数型p進超幾何関数に関する研究5. カタラン定数に付随する混合モチーフと線形関係式に関する研究1に関して、WangはDworkのp進超幾何関数のtと1/tの間の変換公式を予想し、超幾何関数の次数が低い場合に予想が正しいことを証明した。本研究では、ある仮定のもとで一般の次数の超幾何関数に対してこの予想が正しいことを証明した(Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2025)。2に関して、朝倉-大坪によって定義された超幾何曲線はその周期がガウス超幾何関数で記述できる代数曲線である。この曲線に対して、Gross-Kudla-Schoenによって定義されたmodified diagonal cycleのAbel-Jacobi像が非自明であることを、この像に付随するJacobi多様体上の点が非自明であることを示すことで証明した(with P. Eskandari, Journal of Number Theory, to appear)。同様に、この点が非ねじれであることを証明できれば、上述の代数的サイクルが非ねじれであることを証明できることが見込まれる。3に関して、超幾何曲線の積から作られる曲面上に、代数的サイクルをblow-upをしたときに現れる例外曲線と対角曲線を用いて構成し、それらが非自明であることおよび独立であることをレギュレーターを具体的に計算することで証明した(with K. Sato, preprint)。4に関して、朝倉が定義した対数型p進超幾何関数のパラメーターを拡張した。また、ある条件下では、t=1での値が消えていることを予想し、特別な場合にこの予想が正しいことを証明した(preprint)。5に関して、周期にカタラン定数が現れる混合モチーフを構成し、その幾何的性質を用いて、1とカタラン定数からなる有理数列を具体的に構成する手順を与えた(with P. Eskandari, K. Murty, preprint)。本研究は、将来カタラン定数の無理数性の証明に応用できるものであると考えている。

本年度は前年度までに得られたFermat曲線の商のCeresaサイクルの非ねじれ性に関する結果を論文としてまとめ投稿した. この論文はCanadian Mathematical Bulletenから出版済みである. この結果を多くの研究集会で発表し, 参加者とともに議論をすることで, 多くの知見を得た. また, 海外の代数的サイクルの専門家とも議論をし, 今後の研究の見通しを立てることができた. 結果のさらなる一般化に向けて, 引き続き研究を進める予定である. また, 本年度はp進超幾何関数に関する結果もいくつか得ることができた. 具体的にはDworkが定義したp進超幾何関数に関してその変換公式を得た. Dworkのp進超幾何関数はLegendre型の楕円曲線の単数根を記述する, 数論的にも重要なp進解析関数である. 複素数体上の超幾何関数は数多くの変換公式や和公式が知られているが, Dworkのp進超幾何関数について, これらが知られている例は非常に少ない. 近年, Wangによって, Dworkのp進超幾何関数のtと1/tの間の変換公式が成り立つことが予想され, 超幾何関数のランクが小さい場合は, いくつかの仮定のもとでこの予想が正しいことを証明した. 本年度は, Wangと同じ仮定のもとで, 任意のランクのDworkのp進超幾何関数に対して, この予想が正しいことを証明した. 証明の方針は, 超幾何モチーフの間の同型を具体的に構成することである. 超幾何モチーフはそのFrobenius固有値がDwrokのp進超幾何関数で記述できることがしられており, したがって主結果は2つの超幾何モチーフのFrobenius固有値を比較することで得られる. これらの結果は近く論文にしてまとめ, 投稿する予定である. 本年度はp進超幾何関数に関する研究が進展したものの, レギュレーターやL関数の特殊値に関する研究に関しては, あまり進展が見られなかった. これらの研究課題に関しては, 次年度も引き続き研究を進めていく予定である.

本年度は前年度までに得られたFermat曲線の商のCeresaサイクルの非ねじれ性に関する結果を論文としてまとめ投稿した. この論文はCanadian Mathematical Bulletenから出版済みである. この結果を多くの研究集会で発表し, 参加者とともに議論をすることで, 多くの知見を得た. また, 海外の代数的サイクルの専門家とも議論をし, 今後の研究の見通しを立てることができた. 結果のさらなる一般化に向けて, 引き続き研究を進める予定である. また, 本年度はp進超幾何関数に関する結果もいくつか得ることができた. 具体的にはDworkが定義したp進超幾何関数に関してその変換公式を得た. Dworkのp進超幾何関数はLegendre型の楕円曲線の単数根を記述する, 数論的にも重要なp進解析関数である. 複素数体上の超幾何関数は数多くの変換公式や和公式が知られているが, Dworkのp進超幾何関数について, これらが知られている例は非常に少ない. 近年, Wangによって, Dworkのp進超幾何関数のtと1/tの間の変換公式が成り立つことが予想され, 超幾何関数のランクが小さい場合は, いくつかの仮定のもとでこの予想が正しいことを証明した. 本年度は, Wangと同じ仮定のもとで, 任意のランクのDworkのp進超幾何関数に対して, この予想が正しいことを証明した. 証明の方針は, 超幾何モチーフの間の同型を具体的に構成することである. 超幾何モチーフはそのFrobenius固有値がDwrokのp進超幾何関数で記述できることがしられており, したがって主結果は2つの超幾何モチーフのFrobenius固有値を比較することで得られる. これらの結果は近く論文にしてまとめ, 投稿する予定である. 本年度はp進超幾何関数に関する研究が進展したものの, レギュレーターやL関数の特殊値に関する研究に関しては, あまり進展が見られなかった. これらの研究課題に関しては, 次年度も引き続き研究を進めていく予定である.

本年度は前年度までに得られたHesse cubic曲線のレギュレーターと超幾何関数に関する研究と, 超幾何関数と虚数乗法をもつ楕円曲線のL関数の特殊値に関する研究を論文にまとめ, 投稿した. また, 本年度はレギュレーターの研究に加え, 代数的サイクルの研究を行ない結果を得た. 一般化BSD予想によると, 代数多様体の代数的サイクルはL関数の特殊値とも関係がある, 数論的に非常に重要な対象である. 代数的サイクルの重要な例としてCeresaサイクルがある. 一般的な曲線のCeresaサイクルは非自明であることがCeresa自身によって知られているが, 具体的な曲線に対して非自明(非ねじれ)になることを証明することは難しい.　Harris, Bloch, Kimura, Tadokoro, Otsuboは, 次数が1000未満のFermat曲線に対して, Ceresaサイクルが代数的同値を法として非自明になることを証明した. また, Otsubo, TadokoroはFermat曲線やその商のCeresaサイクルが代数的同値を法として非ねじれになるための十分条件を一般超幾何関数を用いて与えた. しかし, これらの条件は数値的に検証することが不可能である. 近年, Eskandari-Murtyは, 次数が7より大きい素数で割れるFermat曲線のCeresaサイクルのAbel-Jacobi像が非ねじれになることを証明した. 特に, Ceresaサイクルは有理同値を法として非ねじれである. 彼らの証明は, 曲線上の反復積分で生成される空間に定まる混合Hodge構造の拡大群に関するPulte, Kaenders, Darmon-Rotger-Solsらの結果と, Gross-Rohrlichによって構成されたFermat曲線のJacobi多様体の位数無限の点を用いることで証明される. また, 彼らは同様の結果がFermat曲線の商に対しても成り立つことを予想した. この予想に対して, ある仮定のもとで, 彼らの予想が正しいことを証明した. また, Otsuboによる結果を組みわせることで, Fermat曲線の商のCeresaサイクルの高次Abel-Jacobi像もまた非ねじれになることを証明した. これらの結果は近く論文としてまとめ, 投稿する予定である. 一方, レギュレーターの研究, およびそのp進類似に関する研究はあまり進展が見られなかったため, 次年度以降も引き続き研究を進める予定である.

本年度は前年度までに得られたHesse cubic曲線のレギュレーターと超幾何関数に関する研究と, 超幾何関数と虚数乗法をもつ楕円曲線のL関数の特殊値に関する研究を論文にまとめ, 投稿した. また, 本年度はレギュレーターの研究に加え, 代数的サイクルの研究を行ない結果を得た. 一般化BSD予想によると, 代数多様体の代数的サイクルはL関数の特殊値とも関係がある, 数論的に非常に重要な対象である. 代数的サイクルの重要な例としてCeresaサイクルがある. 一般的な曲線のCeresaサイクルは非自明であることがCeresa自身によって知られているが, 具体的な曲線に対して非自明(非ねじれ)になることを証明することは難しい.　Harris, Bloch, Kimura, Tadokoro, Otsuboは, 次数が1000未満のFermat曲線に対して, Ceresaサイクルが代数的同値を法として非自明になることを証明した. また, Otsubo, TadokoroはFermat曲線やその商のCeresaサイクルが代数的同値を法として非ねじれになるための十分条件を一般超幾何関数を用いて与えた. しかし, これらの条件は数値的に検証することが不可能である. 近年, Eskandari-Murtyは, 次数が7より大きい素数で割れるFermat曲線のCeresaサイクルのAbel-Jacobi像が非ねじれになることを証明した. 特に, Ceresaサイクルは有理同値を法として非ねじれである. 彼らの証明は, 曲線上の反復積分で生成される空間に定まる混合Hodge構造の拡大群に関するPulte, Kaenders, Darmon-Rotger-Solsらの結果と, Gross-Rohrlichによって構成されたFermat曲線のJacobi多様体の位数無限の点を用いることで証明される. また, 彼らは同様の結果がFermat曲線の商に対しても成り立つことを予想した. この予想に対して, ある仮定のもとで, 彼らの予想が正しいことを証明した. また, Otsuboによる結果を組みわせることで, Fermat曲線の商のCeresaサイクルの高次Abel-Jacobi像もまた非ねじれになることを証明した. これらの結果は近く論文としてまとめ, 投稿する予定である. 一方, レギュレーターの研究, およびそのp進類似に関する研究はあまり進展が見られなかったため, 次年度以降も引き続き研究を進める予定である.