BGKモデルとは輸送方程式にスケールパラメータεを持つ摂動項を加えた、非斉次線形偏微分方程式である。決定論的な場合において、BGKモデルにおけるスケールパラメータεを0に近づけることで、BGKモデルの解は保存則方程式のkinetic解に収束することが知られている。本研究では有界領域における(したがって、境界条件付きの)弱幾何p-ラフパスによって駆動される状況下でも同様に先行研究の結果が得られるかを確かめた。その結果、「ある条件」の下で、肯定的な結果を得ることに成功した。しかし、現在の予想では「ある条件」を弱めることができると考えている。具体的には、BGKモデルにおけるポテンシャル関数aをγ-リプシッツ連続とするとき、リプシッツ指数γと方程式を駆動するラフパスのラフネスpとの関係が、γ>p+1となっている現在の結果に対して、γ>pとできることを予想している。その根拠は、境界における解の評価の兼ね合いからγ>p+1という条件を課しているが、境界条件の無い全空間における方程式で考えた場合はγ>pを得ることができる。解が満たすべき境界条件を見直し、適切に定義することができれば、γ>pとできるのではないかと予想している。次年度以降も、本研究の続きに取り組み、今年度の結果をさらにブラッシュアップしていきたいと考えている。

ラフパスによって駆動されるBGK近似モデルに対する初期値・境界値問題の解の一意存在性について、研究を行った。この偏微分方程式は輸送方程式に摂動項を加えた方程式とみなすことができる。本研究では、登口の以前の研究である輸送方程式に対する初期値・境界値問題の場合に倣って解の定義を少し工夫することで、従来の方法を適用することができるようになり、問題を解決することができた。具体的には、解空間からそれ自身への写像を解の陽表現を元に定義し、その写像が縮小写像であることを示すことで、解の一意性を得ることができる(バナッハの不動点定理)。

以前から研究を続けていた「有界領域におけるラフパスによって駆動される保存則方程式の初期値・境界値問題の解の一意存在性」の結果を大きく進展させることに成功した。具体的には、以前は空間変数が1次元の場合のみに解の一意存在性を示せていたが、今年度の成果として一般次元の場合の解の一意存在性を示すことができた。これは解の定義に新たな手法を用いたことによる結果である。この新たな手法は、滑らかなパスによって駆動される保存則方程式の場合と同様の解の表現を得られることから、妥当な手法であると考えられる。

本年度はキネシンの確率微分方程式を用いた数理モデルを構成し、そのモデルの妥当性を検証することを計画していた。決定論的微分方程式のモデルを参考にし、確率微分方程式のモデルを立てることができた。さらに、その方程式の解の一意存在性を得ることに成功した。しかし、新型コロナウイルスの影響で研究打合せが思うようにできなかったため、当初予定していた構成したモデルの妥当性の検証までは研究を遂行することができなかった。今後は、引き続きこのモデルの妥当性、すなわち、解の数値解析を研究していく予定である。

本年度は確率外力とラフフラックスを持つ保存則方程式の解の『存在性』に関する研究に焦点を当てた。本研究では線形方程式による近似法(Bhatnagar-Gross-Krookモデルによる近似法)を採用し、近似方程式を構成することから始めた。その後、構成した近似列の収束の可能性を探った。本手法では、近似方程式の主要部分であるラフ輸送方程式の解の存在性、L^p連続性、有界性を必要とする。昨年度に、これらのラフ輸送方程式に関する研究を行ったがその証明の一部に誤りがあったので、その修正を含めて、良い結果を得ることに成功した。