Real and harmonic analysis used to be studied based on function spaces in which functions have the uniform property with respect to integrability and continuity. Since 2000, function spaces with variable exponents have attracted a lot of attention in connection with electrorheological fluids. Moreover, function spaces with variable growth conditions have also been introduced and studied, and it has become clear that those are in close connection.
However, there are still also a lot of developing parts. Then we investigate properties of various function spaces and prove the boundedness and compactness of several operators to deepen the theory of the new function spaces.

We established the theory of Hardy spaces with variable exponent and Orlicz-Hardy spaces, characterizing by Poisson integral, atomic decomposition, Littlewood-Paley decomposition, etc, proving the boundedness of singular and fractional integral operators, and studying related function spaces and their duals. Moreover, we developed the theory of generalized Morrey-Campanato spaces, B_sigma-Morrey-Campanato spaces, and their unified spaces as function spaces with variable oscillation and variable growth conditions. Using these function spaces, we analyzed the properties of solutions of some partial differential equations. Furthermore, we constructed the harmonic analysis theory for martingales.

We studied geometric constants and norm inequalities in Banach spaces. In particular the relation between James and von Neumann-Jordan constants was discussed intensively, and we obtained a quite simple inequality about these two constants. This answers affirmatively a question posed by Alonso-Martin-Papini, and improves all previous results concerning these inequalities. We also investigated refined generalizations of norm inequalities.

1. Semigroups of locally Lipschitz operators are characterized by subtangential conditions and semilinear stability conditions in terms of a family of metric-like functionals. The result is applied to the mixed problem for the complex Ginzburg-Landau equation.
2. It is interesting to compute solutions of Cauchy problems for partial differential equations numerically and to discuss the question of convergence which arises in that case. Such problems are treated by the theory of semigroups of operators. A convergence theorem and an approximation theorem for semigroups of Lipschitz operators are given. These theorems are applied to a semi-discrete approximation problem for a quasi-linear wave equation with damping and a finite difference method for a quasi-linear equation of Kirchhoff type.
3. An approximation theorem is given for abstract quasi-linear evolution equations in the sense of Hadamard. The result is applied to an approximation problem for a degenerate Kirchhoff equation.
4. The situation that the domains of differential operators are not dense in the underlying space arises when the mixed problems for certain partial differential equations in the space of continuous functions are studied. This leads to the study of the abstract Cauchy problems for quasi-linear evolution equations with non-densely defined operators. The result is applied to obtain the global wellposedness for quasi-linear wave equations of Kirchhoff type with acoustic boundary conditions and the local solvability of quasi-linear wave equations with Wentzell boundary conditions in the space of continuous functions.

1. The theory of pointwise multipliers on the function space Lp is well known. In this research, we have developed this theory on several function spaces ; Lorentz, Orlicz, Morrey, BMO, and Campanato spaces. The pointwise multiplier is simple and basic. So we can examine properties of spaces of homogeneous type by studying it.
2. The boundedness of singular integral operators and the Riesz potential are useful for the theory of partial differential equations and are studied by many authors. In particular, the boundedness of the Riesz potential (fractional integral) from L^p to L^q is well known as the Hardy-Littlewood-Sobolev theorem. In this research, we introduce generalized fractional integrals and extend this boundedness on several function spaces ; Orlicz, BMO_φ, Campanato, Morrey, weak-Orlicz and generalized Hardy spaces.
3. We have developed the method to redefine the quasi-distance of the space of homogeneous type on which the function space is not change, and we have the following as applications :
(1) We have other results for the theory of pointwise multipliers on Campanato spaces.
(2) On several operators used in the theory of partial differential equations, for example Kohn Laplacian, some results on the normal space of homogeneous type are adaptable to general spaces of homogeneous type.
(3) On the fractional integral and derivative, some results on the normal space of homogeneous type are adaptable to general spaces of homogeneous type.

数学を教育する上で、数学の語学としての立ち位置を考えることが重要である。2023年5月、A.Sffard著「コミュニケーションとしての思考:人間の発達、ディスコースの成長、数学化」（岡崎正和他訳、共立出版）が出版された。同書は本研究の中心に据えるべきものであり、その教養教育への貢献が期待できる。ところが同書はかなり難解である。本研究では、同書の翻訳者である岡山大学教育学域・岡崎正和教授、および同書の基本とするプラグマティズムの考え方の中心であるJ.Deweyの研究者として知られる岡山大学教育学域・宮崎宏志准教授を訪問、同書の立場について深く検討するとともに、数学教育についての哲学的な基盤を確立することを目指した。現在論文発表には至っていないが、翌2024年度に取得が予定されている特別研究期間で予定しているこの研究への方向付けが出来た。

本年度も開講した「英語と数学の読み方」の講義は、導入が容易な「数学ゲーム」を題材としている。英語による解説動画から情報の受け取り方について知り、実際にゲームをプレイして内容に対するコンテクストの重要性を体験させた。次に図書館などで閲覧が容易な大辞典クラス程度を参考に、単語の語義をできる限り検討させ、文章を味わわせた。これは教養教育における語学教育の意義を受講者に感じさせることとなった。また自動翻訳システムを体験させた。システムによる日本語の翻訳文があっても、それで内容がわかる訳ではないこと、また得られた翻訳文が「正しい」かについて判断する能力が必要であることを受講者に実感させることができた。

数学を題材にして英語を学ぶ科目「英語と数学の読み方」は、2020年度はすべてオンライン講義であったが、今年度はすべてを対面で行った。表面的な内容を伝えるには授業形態による差異はみられなかったが、本講義の特質である「数学という言語・それを取り巻く環境・文化」を伝えるためにはオンライン授業においては大きな違いがあった。特に「数学的なコミュニケーション」については学生に深く味わわせることは困難であった。具体的には、秋学期開講科目では「対戦型の数学的ゲーム」が題材で、その段階で履修者同士が実際に対戦してそのゲームをいわば「体験・観察」してそれを学ぶことにしているが、前年度は上手くいかなかった内容が今年度はスムーズに進み、その違いが明らかになった。

今年度はコロナ禍の関係で授業形態がオンラインになったことから、それを逆手にとって授業において複数のオンライン翻訳システムの比較検討を行った。自動翻訳システムは文章の意味を理解しているわけではないということは必ずしも知られているわけではない。人文学・社会科学の分野においてはそうした自動翻訳システムの性能を高く評価する意見も聞くが、数学的な文章を機械翻訳のシステムに入れても、その内容が伝わるような訳文を得られるケースが余り多くなかった。このことを通じて、数学教材は語学を学ぶ大きな意義－文章の持つ意味を知り、またそれを伝えること－を学習者に実感させることができることが明らかになった。

数学を題材にした英語学習のための教材はインターネット上にいくつも見られる。しかしそれらは１）単に数学の色々なトピックごとの講義動画を挙げているもの２）大学教育にふさわしいレベルとは言えないもの ３）英語教育に資するとは思えないもの が大半であった。単に数学のトピックを解説するだけでは語学としては興味を持ちにくい。逆に内容として易しすぎるものは数多くあったが、ヒアリング教材として使えそうなものは少ない。ネット上の教材のほか書籍についても検討したが、なかなか良いものには巡り会っていない。