小森 洋平 (コモリ ヨウヘイ)

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所属

教育・総合科学学術院 教育学部

職名

教授

ホームページ

http://www.f.waseda.jp/ykomori/index.html

兼担 【 表示 / 非表示

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

  • 教育・総合科学学術院   大学院教育学研究科

学位 【 表示 / 非表示

  • 博士

所属学協会 【 表示 / 非表示

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野 【 表示 / 非表示

  • 基礎解析学

  • 幾何学

研究キーワード 【 表示 / 非表示

  • コクセター群

  • 双曲幾何

  • タイヒミュラー空間

論文 【 表示 / 非表示

  • On 3-dimensional hyperbolic Coxeter pyramids.

    Komori, Yohei, Umemoto, Yuriko

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B66   213 - 230  2017年  [査読有り]

  • On the growth rate of ideal Coxeter groups in hyperbolic 3-space

    Yohei Komori, Tomoshige Yukita

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   91 ( 10 ) 155 - 159  2015年12月  [査読有り]

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    We study the set G of growth rates of ideal Coxeter groups, in hyperbolic 3-space; this set consists of real algebraic integers greater than 1. We show that (1) G is unbounded above while it has the minimum, (2) any element of G is a Perron number, and (3) growth rates of ideal Coxeter groups with n generators are located in the closed interval [n - 3, n - 1].

    DOI

  • Polyhedral realization of a Thurston compactification.

    Gendulphe, Matthieu, Komori, Yohei

    Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.   (6)23 ( 1 ) 95 - 114  2014年  [査読有り]

  • Linear slices of the quasi-fuchsian space of punctured tori

    Yohei Komori, Yasushi Yamashita

    Conformal Geometry and Dynamics   16 ( 5 ) 89 - 102  2012年04月  [査読有り]

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    After fixing a marking (V, W) of a quasi-Fuchsian punctured torus group G, the complex length λV and the complex twist τV, W parameters define a holomorphic embedding of the quasi-Fuchsian space QF of punctured tori into C2. It is called the complex Fenchel-Nielsen coordinates of QF. For c ∈ C, let Qγ, c be the affine subspace of C2 defined by the linear equation λV = c. Then we can consider the linear slice Lc of QF by QF ∩ Qγ, c which is a holomorphic slice of QF. For any positive real value c, Lc always contains the so-called Bers-Maskit slice BMγ, c defined in [Topology 43 (2004), no. 2, 447–491]. In this paper we show that if c is sufficiently small, then Lc coincides with BMγ, c whereas Lc has other components besides BMγ, c when c is sufficiently large. We also observe the scaling property of Lc. © 2012 American Mathematical Society.

    DOI

  • On the growth of hyperbolic 3-dimensional generalized simplex reflection groups

    Yohei Komori, Yuriko Umemoto

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   88 ( 4 ) 62 - 65  2012年04月  [査読有り]

     概要を見る

    We prove that the growth rates of three-dimensional generalized simplex reflection groups, i.e. three-dimensional non-compact hyperbolic Coxeter groups with four generators are always Perron numbers.

    DOI

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書籍等出版物 【 表示 / 非表示

  • 集合と位相

    小森洋平( 担当: 単著)

    日本評論社  2016年

  • インドラの真珠: クラインの夢みた世界

    小森洋平( 担当: 単訳)

    日本評論社  2013年

  • ヴィジュアル複素解析

    小森洋平( 担当: 共訳)

    培風館  2002年

共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 / 非表示

  • Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応

    研究期間:

    2019年04月
    -
    2024年03月
     

     概要を見る

    有限集合Sを生成系とし、Sの任意の元a, bに対し、abの有限個の積を基本関係式とする有限表示群(W, S)をCoxeter系という。 (W, S)の生成系Sによる、群Wの母関数の収束半径の逆数は増大度と呼ばれる。また(W, S)から|S|-次元実アファイン空間に幾何学的実現と呼ばれる鏡映群としての作用が定まり、Coxeter元と呼ばれるWの元のスペクトル半径は、(W, S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究では、これらCoxeter系の2つの幾何的量である増大度とCoxeter元のスペクトル半径、および両者の関係を考察する。コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究ではZehrt及び梅本が調べたコンパクト4次元双曲コクセター系の増大度が、常に2サレム数になることを示した。証明のアイデアは以下の通りである。Zehrtのコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が16で。梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が18である。さらに根の分布から分母多項式は2サレム多項式か、サレム多項式の積に分解するかのどちらかになることが分かる。もしサレム多項式の積に分解するならば、既約因子はそれぞれ14次以下、12次以下のサレム多項式になるはずである。しかしMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストにこれらの多項式は現れていないことから、Zehrtと梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は2サレム多項式、つまり増大度は2サレム数になることが分かった。このようにMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストを用いて、2サレム数を増大度に持つコクセター系の無限族が構成できたことは興味ある結果と思う。以上の結果はエジンバラ大学のC.Smythとの共同研究である。双曲コクセター群の増大度およびコクセター元のスペクトル半径を考察する上で、今年度はそれらの有限アナログを考察することを優先した。有限グラフを頂点から頂点へ情報を伝達するネットワークと考えると、伝達効率の良いグラフとしてラマヌジャングラフが考えられる。次数が固定され、内周が発散するようなRamanujanグラフ族のスペクトル分布は有限Sato-Tate測度に弱収束する。そこでTerrasにより考案された有限上半平面グラフのスペクトル分布に注目した。有限上半平面グラフは次数が固定されず、内周が発散しないようなラマヌジャングラフ族であるが、そのスペクトル分布は有限Sato-Tate測度に弱収束することがTerrasによって予想された。本研究では標数が奇素数の有限上半平面グラフのスペクトル分布を閉路の数え上げによって考察した先行研究を、標数が2の場合についても拡張し結果を得ることができた。同様に次数が固定されず、内周が発散しないようなラマヌジャングラフであるLiのグラフのスペクトル分布について考察し、標数が奇素数の場合と標数が2の場合の両方で結果を得ることができた。以上は大学院生の安井拓朗さんとの共同研究である。この有限アナログでの結果を本来の研究テーマに生かしたい。Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応の研究が進んでいないので、この方面の研究では先駆的な仕事をしている南フロリダ大学の広中えり子教授の、2次元コンパクト双曲Coxeter群の増大度とプレッツェル結び目のアレキサンダー多項式のマーラー測度が一致するという結果の高次元の双曲Coxeter群で考察することを研究目標とする。今年度11月に大阪市立大学数学研究所で開催を予定している国際研究集会Hyperbolic geometry and geometric group theory(http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/joint/joint-usage_e.html)において参加者と議論する機会を設けたい

  • 微分幾何的擬等角拡張と調和解析的普遍タイヒミュラー空間論

    研究期間:

    2018年04月
    -
    2023年03月
     

  • 平坦構造によるタイヒミュラー・モジュラー群の研究

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2019年03月
     

     概要を見る

    コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究ではZehrt及び梅本が調べたコンパクト4次元双曲コクセター系の増大度が、常に2サラム数になることを示した。証明のアイデアは以下の通りである。Zehrtのコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が16で。梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が18である。さらに根の分布から分母多項式は2サラム多項式か、サラム多項式の積に分解するかのどちらかになることが分かる。もしサラム多項式の積に分解するならば、既約因子はそれぞれ14次以下、12次以下のサラム多項式になるはずである。しかしMossinghoffによって分類された小さい次数のサラム多項式のリストにこれらの多項式は現れていないことから、Zehrtと梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は2サラム多項式、つまり増大度は2サラム数になることが分かった。このようにMossinghoffによって分類された小さい次数のサラム多項式のリストを用いて、2サラム数を増大度に持つコクセター系の無限族が構成できたことは興味ある結果と思う。以上の結果はエジンバラ大学のC.Smythとの共同研究である

  • リーマン面と低次元多様体

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2018年03月
     

     概要を見る

    リーマン面のモジュライ空間の自然なコンパクト化としてドリーニュ・マンフォードコンパクト化(DMコンパクト化)知られている。本研究の主な成果は、DMコンパクト化の上に、自然なオービフォールド・チャートからなるアトラスを具体的に構成したことである。これらのチャートは「ハーヴェイのカーヴ複体」を構成する単体達によりインデックスが付いている。この結果の副産物として、最大次元の単体によりインデックス付けられたオービフォールド・チャートに、高次元ユークリッド空間の「結晶群」が付随することを発見した。モジュライ空間のコンパクト化に結晶群が付随することの理論的な意味については将来の研究課題としたい

  • 無限次元タイヒミュラー空間上のヴェイユ・ピーターソン計量の研究

    基盤研究(B)

    研究期間:

    2013年
    -
    2017年
     

     概要を見る

    普遍タイヒミュラー空間に一般化されたヴェイユ・ピーターソン計量を導入するために,まず基礎となる可積分部分空間による普遍タイヒミュラー空間のアファイン葉層構造について調べた.通常のタイヒミュラー空間は単位円板上のベルトラミ微分の空間を使って表現されるが,p 乗可積分タイヒミュラー空間 (p>1) は,双曲計量に関してp 乗可積分なベルトラミ微分に制限して定義される普遍タイヒミュラー空間の部分空間(正則な埋め込み)である.一方,タイヒミュラー空間はベアス埋め込みという写像により,単位円板上の正則2次微分のなすバナッハ空間の領域と同一視される.p 乗可積分タイヒミュラー空間に対しては,単位円板上の p 乗可積分 (p>1) な正則2次微分形式からなるバナッハ空間を考える.ベルトラミ微分の空間と正則2次微分の空間の分解がベアス埋め込みにより対応することを証明した.2乗可積分な場合にはTakhtajan-Teo による証明があるが,応用性のある簡略化にも成功している.このアファイン葉層構造を基にして,2乗可積分な場合は Cui, Takhtajan-Teo はヴェイユ・ピーターソン 計量を導入したが,それを一般化し,p 乗ヴェイユ・ピーターソン計量をもつ部分空間による普遍タイヒミュラー空間の葉層構造を与えた.また本来あるタイヒミュラー距離との関係,ベルトラミ微分の可積分ノルムによるヴェイユ・ピーターソン距離の評価などの基本的性質を証明した.

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講演・口頭発表等 【 表示 / 非表示

  • Growth of hyperbolic Coxeter groups

    Komori, Yohei  [招待有り]

    Growth in Topology and Number Theory: Volumes, Entropy, and L2-torsion   Hausdorff Center, Bonn 大学  

    発表年月: 2018年07月

  • Construction of pseudo-Anosov automorphisms whose dilatations are 2-Salem numbers

    小森洋平

    日本数学会2018年度年会幾何学分科会一般講演   東京大学  

    発表年月: 2018年03月

  • On spectral radii of Coxeter elements for some bipartite Coxeter diagrams

    Komori, Yohei  [招待有り]

    Geometry Seminar   Fribourg 大学  

    発表年月: 2017年11月

  • Growth functions of hyperbolic groups

    Komori, Yohei  [招待有り]

    Colloquium   Fribourg 大学  

    発表年月: 2017年11月

  • On Schwarz automorphic functions

    Komori, Yohei  [招待有り]

    Topology and Analysis of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces   京都大学数理解析研究所  

    発表年月: 2016年06月

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特定課題研究 【 表示 / 非表示

  • Ramanujanグラフのスペクトル分布について

    2020年  

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    有限グラフを頂点から頂点へ辺を通して情報が伝わる通信ネットワークと考えると、伝達効率の良いグラフとしてRamanujanグラフが考えられる。Terrasによって元の個数がqである有限体上に定義された有限上半平面グラフのスペクトルは重複度も込めてEvansにより決定され、Katzにより有限上半平面グラフはRamanujanグラフであることが示された。スペクトルに重みを持つDirac測度の和は、qが発散すると有限 Sato-Tate 測度と呼ばれる確率測度に弱収束するだろうというTerras予想をqが偶数の場合に考察した。具体的にはそれぞれのk次モーメントがkが4までは一致することを示した。

  • Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径に関する研究

    2019年  

     概要を見る

    Coxeter系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時Coxeter元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今年度はZehrt及び梅本が調べたコンパクト4次元双曲Coxeter系の増大度が、常に2Salem数になることを示した。

  • 高階コクセター系の構成およびコクセター元のスペクトル半径の数論的性質

    2018年  

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    ユークリッド幾何においては、三角形におけるHeronの公式や、円に内接する四角形におけるBrahmaguptaの公式のように、辺の長さの四則演算とベキ根のみで面積を表す公式が存在する。その一方5以上の任意の自然数nに対し、円に内接するn角形の面積を、辺の長さの四則演算とベキ根のみで表す一般の公式は存在しないことが知られていた。今回の研究により双曲幾何や球面幾何においても、5以上の任意の自然数nに対し、円に内接するn角形の面積を、辺の長さの四則演算とベキ根のみで表す一般の公式は存在しないことが分かった。

  • Dehn不変量が消える多面体の研究

    2017年  

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    デーン不変量が消える多面体の研究として、双曲コクセター3次元ピラミッドを考察した。ピラミッドの頂点は隣接する側面の数が4つであることから理想頂点になる。その頂点からピラミッドの底面を射影して、理想境界である複素平面上の長方形に移し、ピラミッドの底面を含む半球面の境界である円周とのなす角により、多面体の分類を行った。分類結果を用いて増大度関数の分母多項式を計算し、増大度の数論的性質を調べた。共著者との以前の論文によるペロン数の判定法が一見使えない例が現れたが、適当な因子をかけることで判定法が使える状況に帰着できた。また体積の大小と増大度の大小が無関係である多面体の例を構成した。

  • 擬アノソフ写像に付随するコクセター図形の分類について

    2016年  

     概要を見る

    アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の1つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な2部グラフになるので、マクマレンの結果より2部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの2重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が8以下なら双曲的で、k が10以上なら高階数というクラスになることを示した。特に k=10 の場合は2部コクセター元のスペクトル半径は2サラム数になるが、k=18 の場合は再びサラム数になることを示した。

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海外研究活動 【 表示 / 非表示

  • タイヒミュラー・モジュラー群と幾何学的コクセター群の研究

    2017年10月
    -
    2018年03月

    スイス   フリブール大学

 

現在担当している科目 【 表示 / 非表示

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