本研究課題では、タイヒミュラー空間を曲面上の錐状特異点付き平坦計量のモジュライ空間と同一視することによって得られる幾何構造およびその位相的力学系の解明を目的とし、錐状特異点付き平坦計量の面積形式が導く幾何構造について考察した。その結果、リーマン球面の場合に面積形式の符号の錐角データによる記述を得、正曲率だけでなく負曲率の錐状特異点をもつ任意の錐状特異点付き平坦計量のモジュライ空間の擬エルミート計量の族の存在を示した

（１）Donghi Lee氏との共同研究：McShaneの等式の類似を２橋結び目に対して証明した。更に，２橋絡み目に付随するHeckoid軌道体が双曲軌道体であることを証明し,2橋絡み目群から偶型Heckoid群の上方メリディアン対保存全射準同型を全て決定した．（２）大鹿健一氏との共同研究：3次元多様体Mのヘガード曲面Sが十分大きなHempel距離を持つなら，Sに対して自然に定まる写像類群Gが自然な自由積群分解を持つことを証明し

3次元Euclid空間内のn-noidについて、種数が1の場合に、ほとんど例の知られていなかった、Gauss写像の極とendの完全代表系の総和が一致するクラスにおいて、存在条件の定式化を行うと共に、新しい例を具体的に構成した。また、種数が0の場合に、endの個数が4または4より大きくかつある種の対称性を持つと言う条件下で、indexとnullityを決定し、fluxとの関連性につき結果を得た。さらに、これまで3以上の奇数個の平面型のendのみを持つ例しか知られていなかった、射影平面上のn-noidについて、4以上の偶数個のcatenoid型のendのみを持つ例の1パラメーター族を構成した

リーマン球面から１つ以上の円板と２点以下の点を除いた場合を除き、すべての位相的有限なリーマン面についてタイヒミュラー空間の次元プラス1個の単純閉測地線をうまく選んで、長さ関数によりタイヒミュラー空間を有限次元実射影空間内の多面体の内部領域として実現できることを構成的に示した。またタイヒミュラー空間のサーストン境界の実現についても考察した。さらにトーラス上のリーマン面の退化族を具体的に構成し、その特異ファイバーと正則切断を決定した

リーマン面Xとその上の単純閉測地線C でθ-graftingして得られるリーマン面Yのタイヒミュラー距離を評価した。その応用として(1,1)型のregular b-群の等角境界と凸核境界のタイヒミュラー距離を評価し、K=2予想の反例を具体的に構成した。また単純閉測地線に関する長さ関数を用いて、2次元と3次元のタイヒミュラー空間のサーストン・コンパクト化を、有限次元実射影空間内の凸多面体として実現した

タイヒミュラー空間は曲面上の複素構造の同値類からなる空間であり、その上の幾何構造は大変複雑な様相を呈している。本研究ではタイヒミュラー空間を曲面上の錐状特異点付きユークリッド構造のモジュライ空間と同一視することによりその幾何構造を解明することを目的とし、超楕円曲線のタイヒミュラー空間が平面多角形の相似類がなすモジュライ空間と同型であることを示すことを試みた。その結果、1点付きトーラスのタイヒミュラー空間が平面四角形の相似類がなすモジュライ空間の記述を得た。さらに多角形の面積形式による幾何構造を誘導した

微分幾何学における部分多様体論は,ガウス以来の歴史の長い学問分野で,常に他の諸分野と関わりながら発展してきた.本研究課題は,有限次元および無限次元リー理論,幾何学的変分問題,可積分系理論,幾何解析等の分野と関わり,伝統的な方法を踏まえ無限次元的手法まで視点を広げて,部分多様体論の研究を広範かつ集中的に組織・推進した.有限次元および無限次元等径部分多様体,ラグランジュ部分多様体のハミルトン変分問題,調和写像と可積分系等を研究推進,新しい方法と結果を与えた.また,この研究領域における国際的な協力体制を整備し,若手研究者たちの活動も大いに促進した

タイヒミュラー空間の応用として、関数体上のディオファントス問題、リーマン面の正則族に関連することを研究し、研究代表者は次のような成果を得た。(1)ある種の小平曲面から誘導される、種数2の閉リーマン面の正則族の正則切断を完全に決定した。また、楕円関数によって、この正則族の定義方程式を具体的に求めた。従って、この定義方程式のディーオファントス問題の解をすべて求めたことになる。(2)(g, n)型の双曲的リーマン面Sと、2元複素多様体B={(x, y)∈S×S|x≠y},3元複素多様体.M={(x, y, z)∈S×S×S|x≠y, y≠z, z≠y}、および射影π:M→Bに対して、B上の(g, n+2)型のリーマン面の正則族(M π, B)のモノドロミーのタイプをBersとThurstonによる方法で完全に分類した。また、一般の次元のMに拡張した。(3)リーマン面の正則族(M,π,S)に対して、2次元複素多様体Mの普遍被覆空間虚の形を決定する問題を考察し、(i) Mは強擬凸領域と双正則同値にならない、(ii)Mは一般には多重円板と双正則同値にならいことを証明し、また多重円板と双正則同値同値になるための必要十分条件も与えた。(4)負型の擬周期写像が任意に与えられたとき、それをモノドロミーを持つ穴開き単位円板Δ^*={0<|t|<1}上のリーマン面の正則族(M,π,Δ^*)を構成した。これはMatsumotoとMontesinosの別証明であるが、このような正則族のすべてを統一的に構成する方法になっている

主な研究成果は次の5つである.1.古典的結び目に対してC2変形(デルタ変形)にともなう,そのホンフリー多項式の0次の係数多項式の変化に関する公式を与えた.さらに,これを一般化し,結び目に対してCn変形にともなう,そのホンフリー多項式の0次の係数多項式の変化に関する公式を与えた.2.古典的結び目の量子不変量の一つであるリンクス・グールド(LG)多項式に関する研究成果.石井の発見したスケイン関係式を使って,LG多項式を共有する結び目,絡み目の構成法を見出し,この方法により,LG不変量を共有する任意有限個の2本橋結び目,2本橋絡み目を発見した.これらの2本橋絡み目はさらにホンフリー多項式,カウフマン多項式,2変数のアレキサンダー多項式(絡み目の揚合)をも共有する。3.カウフマン多項式の係数多項式についての結果を与えた.すなわち,絡み目のカウフマン多項式の最初の係数多項式が,真の部分絡み目のカウフマン多項式の係数多項式と絡み数で与えられることを示す公式を与えた.4.2本組み紐仮想結び目の群の一般的な表示を与え,それらのうちめある特別なクラスの群の交換子部分群を計算した.一般に仮想結び目は(4次元空間に埋め込まれた)リボントーラス結び目を表現し,その群は,リボントーラスの補空間の基本群であることが知られている.この計算結果により,仮想結び目群とリボン2次元結び目群,2次元結び目群,トーラス結び目群,高次元球面結び目群など種々の結び目群との関係を調べた.5.2本ケーブル絡み目のホンフリー多項式に対してスケイン関係式を与えた.これを用いて2で構成したLG多項式を共有する2本橋結び目の族が,その2本ケーブル絡み目のホンフリー多項式も共有することを示した

代表者佐官は、当該研究課題の海外共同研究者であるD.Partykaとの共同研究を継続している。その成果として、「ジョルダン曲線の一般化された擬対称自己同型からなる空間上の擬距離について」及び「Heinzの不等式について」を発表した。前者の論文では、ジョルダン曲線の一般化された擬対称自己同型からなる空間に擬等角写像を用いずにいくつかの擬距離を導入し、タイヒミュラー擬距離の位相的性質への応用を論じた。後者の論文では、単位円板から単位円板の上への1対1かつ調和な写像に関するHeinzの結果を、単位円周の自己同型のポアソン積分で与えられる写像の場合に改良した。応用として、調和かつ擬等角である写像に対し対応する結果を示した。また、間もなく投稿予定の論文では、単位円周の自己同型のポアソン積分で与えられるK擬等角写像に対するSchwarzの補題にあたる結果を導き、その応用としてKが1に収束するとき漸近的にシャープであるようにHeinzの不等式を改良した。擬対称性の解析には、調和測度、非調和比による最大歪曲度等の表現の解析が有用であり、調和拡張の撮等角性には、境界歪曲度、共役関数、コーシーの特異積分等が深く関わっていることが、これらの研究を通して判明した。それらの解析について、分担者西尾、吉田とポテンシャル論、確率論的観点から検討している。また、境界歪曲度は、調和拡張の撮等角性のみならず極値拡張とも密接に関連している。その解析については、関連する研究を行っている海外共同研究者Y.Shen, S.Wuとの研究連絡を継続しつつ、分担者大竹、須川と議論を重ねている。分担者今吉、小森、中西とは、タイヒミュラー空間に関連する各々の専門的研究の成果と当該研究との関連性を検討している

(1)基本群と分岐被覆.難波誠は土橋宏康と共に,複素射影平面内の曲線の補空間,およびその曲線で分岐する有限ガロア被覆の基本群の実際的計算に,ひとつの方法をあたえ,それを用いて新しいZariski対の例をあたえた.
(2)Epstein-Penner構成の一般化.秋吉宏尚と作間誠は,有限体積カスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,凸核との関係を調べた.穴あきトーラス群に関しては,折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田昌昭,山下靖との共同研究により,いくつかの部分的解答と,コンピュータ実験を行った.
(3)秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は共同研究により,McShaneの等式の類似が穴あき曲面束に対して成立することを証明した.この公式は,カスプトーラスのモジュライをファイバー曲面上の本質的単純閉曲線の複素長を用いて表すものである.
(4)穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口の描写.和田昌昭と山下靖は,穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口を描くコンピュータソフトを開発した.

主に次の3つのテーマについて研究した。
1.リーマン面の正則族のモノドロミー群の元のタイプを、タイヒミュラー空間に作用する写像類群の観点からBers-Thurstonによる分類によって考察した。モノドロミー群、リーマン面の正則族の位相的な性質を表現するものであるが、その解析的な性質も強く規定するものである。本研究では特に、(1)小平曲面から自然に誘導される、リーマン面の正則族、および、(2)固定されたリーマン面R上の2点t_1,t_2,(t_1≠t_2)をパラメータとし、ファイバーがR＼{t_1,t_2}である。正則族の2つの場合のモノドロミー群の元のタイプを完全に決定することができた。
2.リーマン面の間の調和写像が正則になるための必要十分条件を求めた。それは「双曲型の閉リーマン面間の定数でない写像が正則、または反正則になるための必要十分条件はPoincare計量とBergman計量の両方に関して調和である」ことである。証明のアイディアは、調和写像の特徴付けを正則2次微分に関連させれことにある。
3.閉リーマン面の間の非定数正則写像の個数は高々有限個であると云うde Franchisの結果において、その個数を種数で評価できることを示した。証明には非定数正則写像のrigidity thoeremと非ユークリッド幾何の三角法(双曲三角法)を用いている。

1.代表者佐官は、Partyka及びZajacと共同で次の研究成果を三つの論文に発表している。(1)単位円の向きを保つ自己同型の単位円板への調和拡張が擬等角写像であるための必要十分条件を論じた。特に、調和拡張が擬等角写像でないような例の構成法を与えた。(2)有界な微分係数をもつ自己同型の調和拡張であって擬等角写像であるものを、自己同型に関連する特異積分等を用いて特徴付けた。それにより、0.Martioの結果を一般化した。(3)拡張作用素という形の表現を用いて、調和拡張及び擬等角拡張に関する統一的な概説を与えた。2.代表者佐官及び分担者須川は、平成10年8月30日から9月5日までポーランドのルブリンで開催された解析関数に関する第12回国際会議で講演し、その成果を論文に発表した。佐官は、擬対称性に関するBeurling-Ahlforsの条件を、調和測度、非調和比を用いて表現した。さらに、一般化された擬対称性に関する等角不変な変形率を導入し、その性質を論じた。須川は、単葉関数の正則族を応用することにより、単葉関数の擬等角拡張性に関していくつかの研究成果を得た。3.代表者佐官は、第二回ISAAC国際会議(平成11年8月16日〜8月21日、於 福岡工業大学)及び複素解析に関する韓日セミナー(平成11年10月18日〜10月20日)、於 嶺南大学、大韓民国)で講演し、その研究成果を論文に発表予定である。ジョルダン曲線の擬対称自己同型からなる空間に、タイヒミュラー擬距離と同値になる等角不変な擬距離を、擬等角拡張を用いないで導入できるという成果を得た。4.代表者、分担者、研究協力者は、研究連絡及び研究集会への出席を積極的に行い、セミナー、討論もしばしば行った。分担者は、それぞれの専門的分野で様々の研究成果を得ている。分担者のそれぞれの成果を本研究との関連性から考察することは、今後の課題である

次数2のジーゲル尖点形式に付随したスピノルL函数の函数等式の中心における特殊値についてのBocherer予想及びその一般化についての研究を遂行した。我々の方法は相対跡公式を確立することによって、その帰結として予想を証明しようというものである。相対跡公式の証明は容易では無く、長い時間がかかるものであるが、一旦確立されてしまえば大変強力なものであり、幾多の応用が考えられる。その重要性から考えて、長期間の研究に相応しい課題であると深く信ずるものである。
相対跡公式の証明にあたって、最初の、そしてその成立の確証を与える重要なステップは、基本補題と呼ばれるヘッケ環の単位元についての2つの軌道積分の間の等式を証明することである。我々は2つの相対跡公式の成立を予想している。一つは自明なヘッケ指標に対応する場合であり、もう一つは任意のヘッケ指標による捻りに対応する場合である。我々は本研究期間内に両方の場合についての基本補題の証明を完成することができた。その要約はフランス学士院紀要に掲載された。本論文は現在投稿中である。
基本補題の次のステップは、基本補題をヘッケ環の任意の元に拡張することである。それについては、Arthur-Selberg跡公式のいくつかの場合については、単位元についての軌道積分に帰着できることが知られていた。また、相対跡公式についてもYeが一般線形群の場合について反転公式が有効であることを示していた。我々はベッセル模型、ホイッタッカー模型(分裂型)についての反転公式を証明した。これによって、我々の場合も基本補題をヘッケ環の任意の元に拡張するには、単位元についての軌道積分を計算すればよいことが云えた。現在はそれらの軌道積分を鋭意計算中である。

本研究課題に関して、研究目的・研究実施計画に挙げていた事柄は、(1)限られた正則性しかない変数次数の擬微分作用素に適応したソボレフ空間を定義し、飛躍型マルコフ過程との対応を視野に置いて、その空間上の解析を行うこと、(2)変数次数や退化型の非局所的な生成作用素を持つマルコフ過程の推移関数の正則性を、飛躍型の確率微分方程式に対するマリアバン演算法的な確率解析によって示すこと、等であった。
(1)に関して、根来と菊地が、退化を許すレビイ測度を持つ生成作用素に擬微分作用素論を適用し、マリアバン演算法によらない方法で、その生成作用素に対応するマルコフ過程が推移確率密度関数を持つことを示した。この研究経過は、平成10年度の日独科学協力事業共同研究のセミナで報告されている。
(2)に関しては、研究代表者小松が共同研究者竹内と共に、飛躍型確率微分方程式に対してマリアバン演算法的な確率解析を展開し、既に平成9年度に、変数次数の生成作用素に対応する場合のものも除外されない、ビスミューやルヤンドル等の意味よりも本質的に弱い非退化条件のもとで、方程式の解の確率密度関数の存在を証明し、研究会及び学会で発表していた。平成10年度はこの研究を発展させ、マリアバン共分散行列式の逆数の任意次数の可積分性を示す簡略な方法を発見・考案した。この方法を用いて、先のものを一般化した非退化条件のもとで、確率密度関数が滑らかであることを証明した。この成果の一部は上記の日独科学協力事業協同研究のセミナで報告したが、その方法を拡散過程に適用した場合のものが学術雑誌に掲載予定になっている。
上記以外に、本研究の分担者達は、次の研究発表の欄に記した様々な成果を得ている。

研究代表者は、リーマン面の間の調和写像が正則になるための必要十分条件を求めた。それは「双曲型の閉リーマン面間の定数でない写像が正則、または反正則になるための必要十分条件はPoincare計量とBergman計量の両方に関して調和である」ことである。証明のアイディアは、調和写像の特徴付けを正則2次微分に関連させれことにある。
リーマン面の正則族のモノドロミーの元は、写像類群の元であるが、それはタイヒミュラー・モデュラー群の元とも見なすことができる。その元のタイプをNielsen-Thuston-Bersの観点から、タイヒミュラー空間と双曲幾何の手法を用いて分類することを研究した。特に、この正則族が小平曲面から定まるものであるとき、その分類を完全に行うことができた。この研究成果は、1999年3月の日本数学会年会で発表の予定である。また、その論文を執筆中である。
小森は、1次元タイヒミュラー空間のRiley sliceとEarle sliceの形状を詳細に考察した。佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき、それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った。西尾は熱方程式との関連で多重温度と云う概念を導入し。その平均値の性質を考察した。さらに,研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,結び目理論、微分幾何、確率過程、エルゴード理論などに関して多くの成果が得られた。

研究代表者はタイヒミュラー空間論,クライン群,複素解析,および双曲三角法を応用して、種数2以上のコンパクトなリーマン面の間の非定数正則写像の個数を具体的に評価した。この方法は,コンパクトでない双曲的なリーマン面の間の非定数正則写像の個数評価にも適用可能であり,その研究成果を執筆中である.リーマン面の間の調和写像は,正則2次微分と密接に関連しているが,この観点から,ポアンカレ距離とベルグマン距離を用いて,リーマン面の間の調和写像と正則写像の関係を考察し,調和写像が正則写像になるための必要十分条件を得た.
小森は,SL(2,R)の表現を使って,タイヒミュラー空間の半代数的な記述を行い,その応用をした.奥村は,リーマン面上の閉測地線の角度を用いてタイヒミュラー空間に座標を導入する問題を考察し,重要な結論を得た.佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき,それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った.これは,タイヒミュラー空間を単位円周上の写像でとらえる観点に関連するものである.谷口は普遍タイヒミュラー空間においてブロックノルムを考察し,それがカラテオドリの意味での幾何学的収束と同値であることを証明した.
神谷は複素単位球体に作用するユニタリ群の放物型の元の作用を考察した.正岡はリーマン面のコンパクト化に関連して,複素平面内の領域の有限葉有界被覆面の調和次元に対する,最小細位相による特徴付けを求め,その具体例への応用も与えた.米谷は,リーマン面の埋め込みに関して,最も効率的なものは何かという問題を考察した.
野口は,代数関数体上でカルタン-ネヴァリンナ理論の第2主要定理を証明し,有理点の有限性に応用した.戸田は複素平面における正則曲線の第二基本定理とdefect relationを研究し,カルタンの結果を改良した.森は,多変数正則写像の不足指数の興味深い例を構成した.
西尾は,熱方程式との関連で多重温度と云う概念を導入し,その平均値の性質を考察した.
さらに,研究分担者と研究協力者達によって、上記の内容に直接的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,リーマン面,擬等角写像,クライン群,等角写像,ポテンシャル論,多変数函数論などに関して多くの成果が得られた.

研究代表者はタイヒミュラー空間論,クライン群,複素解析,および双曲三角法を応用して、種数2以上のコンパクトなリーマン面の非定数正則写像の個数を具体的に評価した。この方法は,コンパクトでない双曲的なリーマン面の間の非定数正則写像の個数評価にも適用可能であり,その研究成果を執筆中である.この研究はSeveriの定理,リーマン面の正則族、代数関数体におけるGrauert・Maninの定理やParshin・Arakerovの定理との関連も含めて今後さらに続けられる予定である.
小森は,タイヒミュラー空間論を応用して,実3次写像の位相的エントロピーの単調性を証明した.これは,ミルナ-の実2次写像の場合の研究を発展させるものである.佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき,それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った.これは,タイヒミュラー空間を単位円周上の写像でとらえる観点に関連するものである.西尾は,熱方程式との関連で多重温度と言う概念を導入し,その平均値の性質を考察した.
また研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,トポロジー,確率過程,エルゴード理論,偏微分方程式などに関して多くの成果が得られた.

実多項式を、実数から実数への写像と思い、その合成に関する力学系的性質を研究した。特に実3次多項式について、次の2つの結果を得ることができ、現在論文にまとめている。
1)2つのcritical pointsのうちの一方を、与えられた有限型のkneading列で束縛して得られる、実3次多項式族の1パラメーター族の上では、kneading dataが単調に変化することを示した。このことにより、位相的エントロピーも単調に変化することがわかる。この結果は2次多項式族におけるMilnor-Thurstonの結果の自然な拡張になっている。用いる道具としては、kneading理論における中間値の定理と、critically tiniteな有理写像に関するThurstonのrigidity定理がある。ともに2次の時に使われた道具で、これらを3次の時にも使えるように改良したところが今年度の結果である。この仕事は、城西大理学部の西沢清子助教授との共同研究による。
2)実3次多項式族の中で、少なくとも一方のcritical pointの軌道が無限遠点に向かうような写像全体の上では、位相エントロピーが一定な集合は単連結であることを示した。これは「3次多項式族の上では、位相エントロピーのレベル集合は連結であろう」というMilnorの予想に対し、部分的な解答を与えている。用いる道具としては、2つのcritical pointsの軌道がともに有界な写像全体の境界における、位相エントロピーの単調性を1)の手法で示し、そしてBranner-Hubbardによる複素3次多項式写像族の構造定理を、実3次多項式族の場合に書き直すことである。

1点穴開きトーラス上の単純閉測地線に対応する元が純双曲的かつ長さが一定という条件で、(1,1)型の擬フックス群の空間の正則なスライスをとる。このときフックス群の空間と交わる成分に、所謂ベアス・マスキットスライスが現れる。この成分は、タイヒミュラー空間内で、与えられた単純閉測地線に対応する有理境界点(カスプ)での、与えられた測地線に対応する接円の外部に対応する。ベアス・マスキットスライスのプリーツ座標は、パーカー・パルコネンとキーン・シリーズによって決定されている。本研究では、一走に保つ測地線の長さが十分短いときは、ベアス・マスキットスライスしか現れないのに対し、測地線の長さが十分長いときは、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れることを奈良女子大の山下靖氏との共同研究で示した。実際、山下氏はコンピューターグラフィックでそのスライスの形状を記述することに成功した。現在、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れるような測地線の長さの値、およびその一意性に関して共同研究を継続中である

本研究で得られた主な研究成果は下記の通りである.1.穴あきトーラス擬フックス群に関するJorgensen理論の整備.Jorgensenが開発した穴あきトーラス擬フックス群のフォード領域に関する理論は様々な研究者により興味を持たれていたのにもかかわらず,その結果と証明をきちんと述べた文献はなかった.そのなかで,秋吉,作間,和田,山下は,Jorgensen理論を整備し,完全な証明をつけた論文(257pages)を完成した.引き続き,穴あきトーラス擬フックス空間の外部への拡張,その応用としての2橋結び目の橋構造と双曲構造との間の関係の記述をきちんと書き下し,上の論文の続編として発表する計画である.2.Epstein-Penner構成の一般化と凸核との比較.Epstein-Pennerは有限体積のカスプ付き双曲多様体Mに対してミンコフスキー空間内における凸包構成を通してMの理想多面体分解を構成した.秋吉と作間は,この構成を無限体積のカスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,EPH-分解の概念を導入した.更にカスプ付き3次元双曲多様体のEPH-分解と折り曲げ線層の間には密接な関係があることを証明した.特に,穴あきトーラス群に関しては折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田,山下との共同研究によりいくつかの部分的解答コンピュータ実験を行った.3.曲面束にたいするMcShaneの等式の類似の証明.Bowditchにより,双曲構造を持つ円周上の穴あきトーラス束のカスプトーラスのモジュラスを穴あきトーラス上の単純閉曲線の複素線長を用いて表示する公式が得られていた.秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は,この公式を一般の(双曲構造を持つ)円周上の穴あき曲面束に対するものへ拡張した

プリーツ不変量のタイヒミュラー空間の境界での振る舞いは重要な問題である。これについてはサーストンによるコンパクト化の場合に考察を始めた。具体的にはプリーツ不変量は測地線の長さ関数と関連があるので、測地線の長さ関数を用いて、コンパクト化したタイヒミュラー空間を射影空間に理め込む問題を考えた。実際古典的なフリッケ・クラインの埋め込みの場合はうまくゆくことが、ボン大学のハーメンシュタット教授との共同研究の結果分かった。ハーメンシュタット教授は最小個数の長さ関数による埋め込みを提唱しており、その場合にコンパクト化したタイヒミュラー空間が埋め込めるかを考察した。具体的には1点または2点穴空きトーラスや、4点または5点穴空き球面の場合にいくつかの例を調べた。詳細については今後の課題である。またクライン群のプリーツ不変量の別の応用として、不連続領域への等角な作用と凸閉包の境界への等長な作用のそれぞれから得られるリーマン面の間のタイヒミュラー距離を評価する問題が考えられる。2003年からのCharles Matthewsとの共同研究では、KeenとSeriesが調べた(1,1)型の終端b-群とそのプリーツ不変量を用いると、このタイヒミュラー距離がlog2以上になる例が構成できた。これは長年未解決だったサーストンのK=2予想の反例を与えている。この問題では終端b-群で一意化される1点穴空きトーラスの周期を数値計算する必要があったが、2005年にローザンヌで開催されたネバリンナ・コロキウムにおいてBuserとSilhol両氏と直接議論することで、彼らの超楕円曲線の周期の数値計算の理論が、一般の(g,n)型の終端b-群でサーストンのK=2予想の反例を探す手がかりになることが分かった

最も簡単な双曲曲面である穴あきトーラスを深く調べることにより,一般の曲面に関する理解が深まるという信念に従って研究を行い,次の研究成果を得た.(1)穴あきトーラス擬フックス群に関するJorgensen理論の完全な記述と証明を与え,Lecture Noteとして出版した.(2)擬アノソフモノドロミーを持つ円周上の穴あきトーラス束に付随して自然に得られる「Cannon-Thurston-Dicksフラクタルタイル張り」と「標準的分割が定めるカスプの三角形分割」,の間に密接な関係があることを証明した.また,それをヒントに一般の円周上の穴あき曲面束の標準的分割に関する予想を提案した.(3)2橋結び目の橋球面上の本質的単純閉曲線が結び目補空間で可縮となるための必要十分条件を与えた

本年度は以下のような成果を得た。連携研究者の河内、金信両氏は日韓の結び目研究集会に参加、講演を行ない、リーマン面の正則族の位相的性質の研究の中心をなす、写像類群についての低次元トポロジーの立場からの研究を行なった。また連携研究者の佐官、西尾両氏は大阪市立大学で複素解析のセミナーを定期的に行ない、研究者および大学院生に最新の研究報告や重要な論文の紹介などを行なった。特に擬等角写像やポテンシャル論に関する話題が中心となった。連携研究者の大仁田、加藤の両氏は大阪市立大学で微分幾何および幾何解析に関するセミナーを定期的に行ない、リーマン面のモジュライと調和写像の関係など、数理物理にも関係した話題を数多く取り扱った。特に12月に大阪市立大学で開催された国際学術シンポジウム「リーマン面,調和写像と可視化」において、リーマン面の離散化など、これまでになかった新たな研究アプローチが内外の研究者から数多く提示され、今後のリーマン面の正則族の研究、および写像類群の研究に画期的な役割を果たす知見を得る事ができたことは有意義であった。また今吉の大学院生の能城と連携研究者の小森との共同研究により、Rieraにより構成された種数2のリーマン面の正則族の正則切断の個数の非常によい評価が得られた。当初は一般には自明な2本の切断のみ存在することを証明しようと試みたが、本年度は切断の可能性があと1本残ってしまった。これが本当に切断かそうでないかは今後の課題として残ったが、本年度に得られた結果を論文として投稿し、2月に受理された。これは昨年度行なった国際集会の報告集を出版できたことと合わせて、今回の科研費による成果の1つである

アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の１つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な２部グラフになるので、マクマレンの結果より２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が８以下なら双曲的で、k が１０以上なら高階数というクラスになることを示した。特に k=10 の場合は２部コクセター元のスペクトル半径は２サラム数になるが、k=18 の場合は再びサラム数になることを示した。

双曲コクセター理想多面体の頂点の１つを選び、双曲空間の無限遠境界へ多面体を射影することにより、平面上の円と直線の幾何学を用いて双曲コクセター理想多面体を調べた。具体的に得られた結果としては以下の通りである。（１）双曲コクセター理想多面体の増大度の集合は上に非有界で、最小値 2.03074 はただ１つの双曲コクセター理想単体で実現される。（２）双曲コクセター理想多面体の増大度はペロン数という代数的整数になる。（３）面の数が n の双曲コクセター理想多面体の増大度は n-3 以上かつ n-1 以下で、増大度が n-3 になるための必要十分条件は、全ての面角が９０度になることである。

曲面上の２組の多重単純閉曲線族によるデーン・ツイストが生成するタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との対応により、生成元のデーン・ツイストの積からなる擬アノソフ写像の拡大率はサラム数になることがマクマレンおよびレイニンガーにより調べられている。そこで本研究ではどのようなサラム数が擬アノソフ写像の拡大率として実現されるか、またサラム数を拡大率として持つ擬アノソフ写像の複素解析的または双曲幾何的性質は何かについて考察した。今回の具体的な成果としてサラム数の一般化である２サラム数が双曲コクセター系Ah_{2n}の２色固有値として現れることを示した。

双曲空間における多面体で、面角が π/p (pは２以上の整数または∞) の値を持つ多面体をコクセター多面体という。コクセター多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は、双曲空間に等長的に作用する離散群で、双曲コクセター群と呼ばれ、もとのコクセター多面体はこの群の基本領域となる。この群Gの各面に関する鏡映変換からなる生成系をS としたとき、S による最短表示の長さがnとなるようなGの元 g の個数をa_n をする。このとき、コクセター系 (G,S) のgrowth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。このgrowth functionの性質を調べることは、離散群Gの幾何的性質を調べることに直結する。例えばコクセター多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで双曲空間全体に広がっているかを測ることができる。このgrowth functionの収束半径の逆数はgrowth rateと呼ばれ、２次元と３次元のcocompactな双曲コクセター群については代数的整数、特にSalem 数になることが知られている。現在３次元のcofiniteな双曲コクセター群の場合についてそのgrowth rateの数論的性質を主に研究しているが、その際にVinbergを中心とするロシア・スクールによる、面の数が４と５の３次元コクセター多面体の分類結果を用いてきた。そこで今回の特定課題研究では、この分類の別証明を与え、結果を拡張するために、カスプを持つコクセター多面体を平面幾何を用いて分類することを考察した。具体的にはカスプを無限遠点に置き、そこから多面体の各面を複素平面に射影することで、平面上の円の配置の幾何の問題に置き換えることができる。学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で３次元のcofiniteな双曲コクセター多面体のうち面の数が４と５の分類を行った。具体的にはカスプを持つ四面体とピラミッドの場合に限り、結果を得ることができ現在論文を準備中である。これら２つの場合にうまくいった主な理由は、単位円内の３種類のユークリッド的なコクセター三角形または長方形を、円周とπ/pの角度で位置するような配置の組合せがすべて数え上げられる点にある。またその考察の過程でコクセター多面体どうしに包含関係があれば、それらのgrowth rateの間に大小関係が成立するという新しい現象をみつけることができた。この現象がより複雑なコクセター多面体でも成立するかは興味深い問題と思われる。プリズムに関しては無限系列であることの困難性から今回の研究期間内では最終結果を得ることができなかったが、Kaplinskayaの分類で見落とされているコクセター多面体もあり、別証明を新たに与える必要性を今でも感じている。また分類そのものが未だ未解決である面の数が６以上の３次元コクセター多面体の場合にも貢献できる新しいアイデアとして、今回の平面図形を用いる方法は有用であると思われる。

双曲 n 次元空間 H^n における多面体で、面角が π/p (pは２以上の整数または∞) の値を持つ多面体を Coxeter 多面体という。Coxeter 多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は H^n に等長的に作用する離散群で、双曲 Coxeter 群と呼ばれ、もとの Coxeter 多面体はこの群の基本領域となる。この群を G、各面に関する鏡映変換からなる生成系を S としたとき、G の元 g の S による最短表示を&#8467;_S(g) とし、a_n を&#8467;_S(g)=n となるような G の元 g の個数とする。このとき、Coxeter 系 (G,S) の growth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。この growth function の性質を調べることは、離散群 G の幾何的性質を調べることに直結する。例えばもとの Coxeter 多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで H^n 全体に広がっているかを測ることができる。この growth function の収束半径の逆数は growth rate と呼ばれ、２次元と３次元の cocompact な双曲 Coxeter 群については代数的整数、特に Salem 数であることが知られており、同様の数論的考察を non-compact な双曲 Coxeter 群で行うことが本研究の主テーマであった。本研究と前後して研究代表者は学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で３次元の non-compact な双曲 Coxeter 単体の場合に、その growth rate が Perron 数という代数的整数になることを示した ([1])。そして本年度の研究により３次元の non-compact な双曲 Coxeter pyramid についても同様の結果を得ることができ、現在論文を準備中である ([2])。またこの結果は今年度７月にスウェーデンのミッタグ・レフラー研究所で開催される国際会議「Growth and Mahler measures in geometry and topology」における招待講演で発表する予定である ([3])。現在３次元の non-compact な双曲 Coxeter prism について調べている最中であり、これが終われば３次元の場合については面の数が４または５の non-compact な双曲 Coxeter 多面体すべてについて結果が得られたことになる。引き続き面の数が６の non-compact な双曲 Coxeter 多面体、例えば双曲 cube について研究を行いたい。