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写真a

 
KOMORI, Yohei
 
Affiliation
Faculty of Education and Integrated Arts and Sciences, School of Education
Job title
Professor

Concurrent Post

  • Faculty of Education and Integrated Arts and Sciences   Graduate School of Education

  • Faculty of Science and Engineering   Graduate School of Fundamental Science and Engineering

Research Institute

  • 2012
    -
     

    教育総合研究所   兼任研究所員

Degree

  • 博士

Professional Memberships

  •  
     
     

    日本数学会

 

Research Areas

  • Geometry

  • Basic analysis

Research Interests

  • Coxeter groups

  • hyperbolic geometry

  • Teichmuller space

Papers

  • On 3-dimensional hyperbolic Coxeter pyramids.

    Komori, Yohei, Umemoto, Yuriko

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B66   213 - 230  2017  [Refereed]

  • On the growth rate of ideal Coxeter groups in hyperbolic 3-space

    Yohei Komori, Tomoshige Yukita

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   91 ( 10 ) 155 - 159  2015.12  [Refereed]

     View Summary

    We study the set G of growth rates of ideal Coxeter groups, in hyperbolic 3-space; this set consists of real algebraic integers greater than 1. We show that (1) G is unbounded above while it has the minimum, (2) any element of G is a Perron number, and (3) growth rates of ideal Coxeter groups with n generators are located in the closed interval [n - 3, n - 1].

    DOI

  • Polyhedral realization of a Thurston compactification.

    Gendulphe, Matthieu, Komori, Yohei

    Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.   (6)23 ( 1 ) 95 - 114  2014  [Refereed]

  • Linear slices of the quasi-fuchsian space of punctured tori

    Yohei Komori, Yasushi Yamashita

    Conformal Geometry and Dynamics   16 ( 5 ) 89 - 102  2012.04  [Refereed]

     View Summary

    After fixing a marking (V, W) of a quasi-Fuchsian punctured torus group G, the complex length λV and the complex twist τV, W parameters define a holomorphic embedding of the quasi-Fuchsian space QF of punctured tori into C2. It is called the complex Fenchel-Nielsen coordinates of QF. For c ∈ C, let Qγ, c be the affine subspace of C2 defined by the linear equation λV = c. Then we can consider the linear slice Lc of QF by QF ∩ Qγ, c which is a holomorphic slice of QF. For any positive real value c, Lc always contains the so-called Bers-Maskit slice BMγ, c defined in [Topology 43 (2004), no. 2, 447–491]. In this paper we show that if c is sufficiently small, then Lc coincides with BMγ, c whereas Lc has other components besides BMγ, c when c is sufficiently large. We also observe the scaling property of Lc. © 2012 American Mathematical Society.

    DOI

  • On the growth of hyperbolic 3-dimensional generalized simplex reflection groups

    Yohei Komori, Yuriko Umemoto

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   88 ( 4 ) 62 - 65  2012.04  [Refereed]

     View Summary

    We prove that the growth rates of three-dimensional generalized simplex reflection groups, i.e. three-dimensional non-compact hyperbolic Coxeter groups with four generators are always Perron numbers.

    DOI

  • Cook-hats and crowns.

    Komori, Yohei

    Contemp. Math. Amer. Math. Soc.   575   253 - 262  2012  [Refereed]

  • On holomorphic sections of a certain Kodaira surface revisited.

    Imayoshi, Yoichi, Komori, Yohei, Nogi, Toshihiro

    Riemann surfaces, harmonic maps and visualization, OCAMI Stud.   3   49 - 60  2010  [Refereed]

  • HOLOMORPHIC SECTIONS OF A HOLOMORPHIC FAMILY OF RIEMANN SURFACES INDUCED BY A CERTAIN KODAIRA SURFACE

    Yoichi Imayoshi, Yohei Komori, Toshihiro Nogi

    KODAI MATHEMATICAL JOURNAL   32 ( 3 ) 450 - 470  2009.10  [Refereed]

     View Summary

    In this paper we will consider a holomorphic family of closed Riemann surfaces of genus two which is constructed by Riera. The goal of this paper is to estimate the number of holomorphic sections of this family.

  • On the shape of Bers-Maskit slices

    Yohei Komori, Jouni Parkkonen

    ANNALES ACADEMIAE SCIENTIARUM FENNICAE-MATHEMATICA   32 ( 1 ) 179 - 198  2007  [Refereed]

     View Summary

    We consider complex one-dimensional Bers-Maskit slices through the deformation space of quasifuchsian groups which uniformize a pair of punctured tori. In these slices, the pleating locus on one of the components of the convex hull boundary of the quotient three-manifold has constant rational pleating and constant hyperbolic length. We show that the boundary of such a slice is a Jordan curve which is cusped at a countable dense set of points. We will also show that the slices are not vertically convex, proving the phenomenon observed numerically by Epstein, Marden and Markovic.

  • Modulus inequality for grafting and its application.

    Komori, Yohei

    Complex analysis and its applications, OCAMI Stud.   2   249 - 254  2007  [Refereed]

  • An explicit counterexample to the equivariant K = 2 conjecture

    Yohei Komori, Charles A. Matthews

    Conformal Geometry and Dynamics   10 ( 10 ) 184 - 196  2006.08  [Refereed]

     View Summary

    We construct an explicit example of a geometrically finite Kleinian group G with invariant component Ω in the Riemann sphere Ĉ such that any quasiconformal map from Ω to the boundary of the convex hull of Ĉ − Ω in H3 which extends to the identity map on their common boundary in Ĉ, and which is equivariant under the group of Möbius transformations preserving Ω, must have maximal dilatation K 2.002. © 2006 American Mathematical Society.

    DOI

  • Drawing Bers embeddings of the Teichmuller space of once-punctured tori

    Y Komori, T Sugawa, M Wada, Y Yamashita

    EXPERIMENTAL MATHEMATICS   15 ( 1 ) 51 - 60  2006  [Refereed]

     View Summary

    We present a computer-oriented method of producing pictures of Bers embeddings of the Teichmuller space of once-punctured tori. The coordinate plane is chosen in such a way that the accessory parameter is hidden in the relative position of the origin. Our algorithm consists of two steps. For each point in the coordinate plane, we first compute the corresponding monodromy representation by numerical integration along certain loops. Then we decide whether the representation is discrete by applying Jorgensen's theory on the quasi-Fuchsian space of once-punctured tori.

  • On the automorphic functions for Fuchsian groups of genus two.

    Komori, Yohei

    London Math. Soc. Lecture Note Ser.   329   259 - 282  2006  [Refereed]

  • Bers embedding of the teichmÜller space of a once-punctured torus

    Yohei Komori, Toshiyuki Sugawa

    Conformal Geometry and Dynamics   8 ( 5 ) 115 - 142  2004.06  [Refereed]

     View Summary

    In this note, we present a method of computing monodromies of projective structures on a once-punctured torus. This leads to an algorithm numerically visualizing the shape of the Bers embedding of a one-dimensional Teichmüller space. As a by-product, the value of the accessory parameter of a four-times punctured sphere will be calculated in a numerical way as well as the generators of a Fuchsian group uniformizing it. Finally, we observe the relation between the Schwarzian differential equation and Heun's differential equation in this special case. © 2004 American Mathematical Society.

    DOI

  • Landing property of stretching rays for real cubic polynomials

    Yohei Komori, Shizuo Nakane

    Conformal Geometry and Dynamics   8 ( 4 ) 87 - 114  2004.03  [Refereed]

     View Summary

    The landing property of the stretching rays in the parameter space of bimodal real cubic polynomials is completely determined. Define the Böttcher vector by the difference of escaping two critical points in the logarithmic Böttcher coordinate. It is a stretching invariant in the real shift locus. We show that stretching rays with non-integral Böttcher vectors have non-trivial accumulation sets on the locus where a parabolic fixed point with multiplier one exists. © 2004 American Mathematical Society.

    DOI

  • On the boundary of the Earle slice for punctured torus groups

    Komori, Yohei

    London Math. Soc. Lecture Note Ser.   299   293 - 304  2003  [Refereed]

  • Pleating coordinates for the Earle embedding.

    Komori, Yohei, Series, Caroline

    Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.   (6)10 ( 1 ) 69 - 105  2001  [Refereed]

  • A note on a paper of T. Sasaki

    Komori, Yohei

    Int. Soc. Anal. Appl. Comput.   8   1109 - 1115  2000  [Refereed]

  • The Riley slice revisited.

    Komori, Yohei, Series, Caroline

    Geom. Topol. Monogr.   1   303 - 316  1998  [Refereed]

  • Semialgebraic description of Teichmüller space.

    Komori, Yohei

    Publ. Res. Inst. Math. Sci.   33 ( 4 ) 527 - 571  1997  [Refereed]

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Books and Other Publications

  • 集合と位相

    小森洋平( Part: Sole author)

    日本評論社  2016

  • インドラの真珠: クラインの夢みた世界

    小森洋平( Part: Sole translator)

    日本評論社  2013

  • ヴィジュアル複素解析

    小森洋平( Part: Joint translator)

    培風館  2002

Research Projects

  • Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応

    Project Year :

    2019.04
    -
    2024.03
     

     View Summary

    有限集合Sを生成系とし、Sの任意の元a, bに対し、abの有限個の積を基本関係式とする有限表示群(W, S)をCoxeter系という。 (W, S)の生成系Sによる、群Wの母関数の収束半径の逆数は増大度と呼ばれる。また(W, S)から|S|-次元実アファイン空間に幾何学的実現と呼ばれる鏡映群としての作用が定まり、Coxeter元と呼ばれるWの元のスペクトル半径は、(W, S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究では、これらCoxeter系の2つの幾何的量である増大度とCoxeter元のスペクトル半径、および両者の関係を考察する。コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究ではZehrt及び梅本が調べたコンパクト4次元双曲コクセター系の増大度が、常に2サレム数になることを示した。証明のアイデアは以下の通りである。Zehrtのコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が16で。梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が18である。さらに根の分布から分母多項式は2サレム多項式か、サレム多項式の積に分解するかのどちらかになることが分かる。もしサレム多項式の積に分解するならば、既約因子はそれぞれ14次以下、12次以下のサレム多項式になるはずである。しかしMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストにこれらの多項式は現れていないことから、Zehrtと梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は2サレム多項式、つまり増大度は2サレム数になることが分かった。このようにMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストを用いて、2サレム数を増大度に持つコクセター系の無限族が構成できたことは興味ある結果と思う。以上の結果はエジンバラ大学のC.Smythとの共同研究である。双曲コクセター群の増大度およびコクセター元のスペクトル半径を考察する上で、今年度はそれらの有限アナログを考察することを優先した。有限グラフを頂点から頂点へ情報を伝達するネットワークと考えると、伝達効率の良いグラフとしてラマヌジャングラフが考えられる。次数が固定され、内周が発散するようなRamanujanグラフ族のスペクトル分布は有限Sato-Tate測度に弱収束する。そこでTerrasにより考案された有限上半平面グラフのスペクトル分布に注目した。有限上半平面グラフは次数が固定されず、内周が発散しないようなラマヌジャングラフ族であるが、そのスペクトル分布は有限Sato-Tate測度に弱収束することがTerrasによって予想された。本研究では標数が奇素数の有限上半平面グラフのスペクトル分布を閉路の数え上げによって考察した先行研究を、標数が2の場合についても拡張し結果を得ることができた。同様に次数が固定されず、内周が発散しないようなラマヌジャングラフであるLiのグラフのスペクトル分布について考察し、標数が奇素数の場合と標数が2の場合の両方で結果を得ることができた。以上は大学院生の安井拓朗さんとの共同研究である。この有限アナログでの結果を本来の研究テーマに生かしたい。Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応の研究が進んでいないので、この方面の研究では先駆的な仕事をしている南フロリダ大学の広中えり子教授の、2次元コンパクト双曲Coxeter群の増大度とプレッツェル結び目のアレキサンダー多項式のマーラー測度が一致するという結果の高次元の双曲Coxeter群で考察することを研究目標とする。今年度11月に大阪市立大学数学研究所で開催を予定している国際研究集会Hyperbolic geometry and geometric group theory(http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/joint/joint-usage_e.html)において参加者と議論する機会を設けたい

  • Quasiconformal extension in differential geometry and theory of the universal Teichmueller space in harmonic analysis

    Project Year :

    2018.04
    -
    2023.03
     

  • Study on Teichmuller modular groups through flat structures

    Project Year :

    2014.04
    -
    2019.03
     

  • Riemann surfaces and low dimensional manifolds

    Project Year :

    2014.04
    -
    2018.03
     

     View Summary

    It is known that the moduli space of Riemann surfaces admits a natural compactification called the Deligne-Mumford compactification (DM-compactification). The main result of the present research is that we explicitly constructed a "natural" atlas consisting of orbifold charts on the DM-compactification of moduli space. These charts are indexed by the simplices of Harvey's curve complex. As a byproduct of the result, we discovered that certain higher dimensional euclidean crystallographic groups are attached to those orbifold charts that are indexed by the simplices of the maximum dimension. The theoretical meaning of this attachment of crystallographic groups will be studied in the future

  • 無限次元タイヒミュラー空間上のヴェイユ・ピーターソン計量の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    Project Year :

    2013
    -
    2017
     

     View Summary

    普遍タイヒミュラー空間に一般化されたヴェイユ・ピーターソン計量を導入するために,まず基礎となる可積分部分空間による普遍タイヒミュラー空間のアファイン葉層構造について調べた.通常のタイヒミュラー空間は単位円板上のベルトラミ微分の空間を使って表現されるが,p 乗可積分タイヒミュラー空間 (p>1) は,双曲計量に関してp 乗可積分なベルトラミ微分に制限して定義される普遍タイヒミュラー空間の部分空間(正則な埋め込み)である.一方,タイヒミュラー空間はベアス埋め込みという写像により,単位円板上の正則2次微分のなすバナッハ空間の領域と同一視される.p 乗可積分タイヒミュラー空間に対しては,単位円板上の p 乗可積分 (p>1) な正則2次微分形式からなるバナッハ空間を考える.ベルトラミ微分の空間と正則2次微分の空間の分解がベアス埋め込みにより対応することを証明した.2乗可積分な場合にはTakhtajan-Teo による証明があるが,応用性のある簡略化にも成功している.このアファイン葉層構造を基にして,2乗可積分な場合は Cui, Takhtajan-Teo はヴェイユ・ピーターソン 計量を導入したが,それを一般化し,p 乗ヴェイユ・ピーターソン計量をもつ部分空間による普遍タイヒミュラー空間の葉層構造を与えた.また本来あるタイヒミュラー距離との関係,ベルトラミ微分の可積分ノルムによるヴェイユ・ピーターソン距離の評価などの基本的性質を証明した.

  • Teichmuller space and its topological dynamics via flat singular metrics on a surface

    Project Year :

    2011.04
    -
    2016.03
     

     View Summary

    We study the geometry of Teichmuller space through the identification with the moduli space of flat metrics on a surface with cone singularities and aim to clarify the properties of its topological dynamics. As a result, we obtain the description of the signature of the area form by the cone angle data in the case of Riemann sphere to show the existence of the family of quasi-Hermite metrics on the moduli space of flat metrics with cone singularities of any positive or negative cone angles

  • Geometric structure and combinatorial structure of 3-dimensional manifolds

    Project Year :

    2010.04
    -
    2015.03
     

     View Summary

    (1) Joint work with Donghi Lee: We established a variation of McShane’s identity for 2-bridge links. Moreover, we introduced the Heckoid orbifolds and proved that they are hyperbolic, and gave a systematic construction of epimorphisms from 2-bridge link groups onto Heckoid groups. Furthermore, we proved that these are the only upper-meridian pair preserving epimorphisms onto even Heckoid groups.(2) Joint work with Ken’ichi Ohshika: We proved that for a Heegarrd surface S of a 3-manifold M with high Hempel distance, a certain natural mapping class group associated with S has a natural free decomposition. We also proved that if S is of bounded combinatorics then there is a nonempty open set U of the projective measured lamination space of S, such that any simple loop in U is not null-homntopic in M and that any two distinct simple loops in U are not homotopic in M

  • Singularities and balancing conditions on the theory of minimal surfaces and related geometric variational problems

    Project Year :

    2010.04
    -
    2015.03
     

     View Summary

    We formulated the condition for the existence of n-noids of genus 1 in the Euclidian 3-space whose complete system of representatives of poles of Gauss map and that of ends coincide with each other. Moreover, we constructed new examples of such n-noids. We also decided the indices and nullities of n-noids of genes 0 under the condition that n is 4, or n is greater than 4 and the n-noid is symmetric in a sense. Moreover, we got a result on the relation between flux and nullity of n-noids. We also constructed a 1-parameter family of n-noids defined on punctured projective planes under the condition that n is an even number greater than or equal to 4, and that all of the ends of the surface is catenoidal type. It should be remarked here that only known examples of n-noids defined on punctured projective planes have odd number of planer ends

  • Studies on compactifications of Teichmuller spaces

    Project Year :

    2011.04
    -
    2014.03
     

     View Summary

    Except Riemann surfaces conformal to Riemann spheres minus disks and one or two points, I showed that Teichmuller spaces of RIemann surfaces of topologically finite types can be realized as polyhedron in finite dimensional real projective spaces by means of length functions of suitable choices of simple closed geodesics. Thurston boundaries of Teichmuller spaces were also considered. I also constructed degenerate families of Riemann surfaces over tori explicitly, and determined their singular fibers and holomorphic sections

  • Heegaad splittings of 3-dimensional manifolds and geometric structures

    Project Year :

    2000
    -
    2003
     

     View Summary

    (1)Fundamental groups and branched coverings. M.Namba gave with H.Tsuchihashi a method for concrete computations of fundamental groups of the compliments of curves in the complex projective plane and finite branched Galois coverings branching along the curves, and gave a new example of Zariski pair using the method.
    (2)Generaliztion of Epsein-Penner decomposition. H.Akiyoshi and M.Sakuma gave a generalization of the Epstein-Penner decompositions of cusped hyperbol manifolds of finite volume to those of infinite volume, and studied relation with the convex cores. They collaborated with M.Wada and Y.Yamashita and gave partial answer and experimental evidences to their conjecture that the pleating loci would determine the generalized Epstein-Pener decompositions for punctured torus groups.
    (3)H.Akiyoshi, M.Miyachi and M.Sakuma have established a variation of McShane's identity for punctued surface bundles over a circle, which expresses the modulus of cusptori in terms of the complex translation lengths of essential simple loops of the fiber surfaces.
    (4)Drawing the 3D slices of the quasifuchsian punctured torus space. M.Wada and Y.Yamashita developed a software to draw (real) 3-dimensional slices of the quasifuchsian punctured torus space

  • Teichmuller Spaces and Mapping Class Groups

    Project Year :

    1998
    -
    2000
     

     View Summary

    Mainly we studied the following three themes :
    1. By using Bers-Thurston classification of elements of mapping class groups, we determined types of elements of monodormy groups of holomorphic families of Riemann surfaces, especially induced by Kodaira surfaces.
    2. We gived a condition for harmonic maps between compact hyperbolic Riemann surfaces so that they are holomorphi or anti-holomorphic.
    3. We gave an estimate of the number of non-constant holomorphic maps between compact hyperbolic Riemann surfaces by topological data.

  • On arithmetic theory of automorphic forms and special values of automorphic L-functions

    Project Year :

    1998
    -
    1999
     

     View Summary

    We proved the fundamental lemma for the unit element in the Hecke algebra for two relative trace formulas for GSp(4). Our ultimate goal is to prove Bocherer's conjecture on the central critical values of the quadratic twists of the spinor L-functions associated to holomorphic Siegel eigen cusp forms of degree two. The announcements of the fundamental lemma have been published in C. R. Acad. Sci. Paris and the details of the proof will appear elsewhere.
    In the course of the proof of the fundamental lemma, we evaluated certain matrix argument Kloosterman sums explicitly in terms of the classical GL(2) Kloosterman sums. We remark that our Kloosterman sum is a special case of the generalized Kloosterman sum which appears in the Fourier coefficients of the Poincare series for the Siegel modular group. Our result on the Kloosterman sum may be of some independent interest, since it is rare that such generalized Kloosterman is evaluated explicitly.
    Our second conjectural trace formula is related to the quadratic base charge for GSp (4). Our result suggests that the Jacquet-Ye criterion for the quadratic base change for GL(2) generalizes to GSp(4). This clearly deserves some further investigation. Finally our result implies that it is important to study the whole L-packet when we study the special values of automorphic L-functions. It seems very interesting to clarify the relationship between the period part of the special value expected by our result and Deligne's conjecture.

  • The martingale problem for generators of variable order

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

     View Summary

    We studied on the existence of smooth densities of transition probabilities of Markov processes with jumps which are solutions to d-dimensional stochastic integro-differential equations:
    dxィイD2tィエD2 = aィイD20ィエD2(xィイD2tィエD2)dt + ΣィイD6m(/)k=1ィエD6aィイD2kィエD2(xィイD2tィエD2)・dβィイD1kィエD1(t) + ∫b(xィイD2t-ィエD2,θ)J(dtdθ),
    where β(t) = (βィイD1kィエD1(t)) is an m-dimensional Brownian motion and J(dtdθ) is a Poisson random measure with E[J(dtdθ)] = π(dθ)dt. The existence of smooth densities is equivalent to the hypoellipticity of the parabolic pseudo-differential operator
    ィイD7∂(/)∂tィエD7 + (AィイD20ィエD2 + ィイD71(/)2ィエD7ΣィイD6m(/)k=1ィエD6(AィイD2kィエD2)ィイD12ィエD1 + ∫(BィイD2θィエD2 - I)π(dθ)),
    where AィイD2kィエD2 = aィイD2kィエD2(x)・∂ィイD2xィエD2 and BィイD2θィエD2 are operators defined by BィイD2θィエD2φ(x) = φ(x + b(x,θ)).
    A similar problem for continuous Markov processes was studied in the course of the Malliavin calculus, and the Hormander condition is well-known as a sufficient condition for the hypoellipticity. We carried out the variation for jump type Markov processes by Girzanov transforms of Levy processes, and proved special necessary formulas of integration by parts on the cad-lag space. We also faced the problem to show the exponential decay of the Laplace transform of the distribution of a specific functional associated with the Malliavin covariance. So far, the exponential decay was proved by long complicated arguments. We showed it by a new method where the key lemma is an estimate for general semimartingales. And we proved the smoothness of transition densities of Markov processes with jumps under certain conditions which are weaker than Hormander type conditions in the previous sense. This method also gives a quite simple proof to the Hormander theorem for usual parabolic differential operators.

  • 正則2次微分とタイヒミュラー空間

    科学研究費助成事業(大阪市立大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

     View Summary

    研究代表者は、リーマン面の間の調和写像が正則になるための必要十分条件を求めた。それは「双曲型の閉リーマン面間の定数でない写像が正則、または反正則になるための必要十分条件はPoincare計量とBergman計量の両方に関して調和である」ことである。証明のアイディアは、調和写像の特徴付けを正則2次微分に関連させれことにある。
    リーマン面の正則族のモノドロミーの元は、写像類群の元であるが、それはタイヒミュラー・モデュラー群の元とも見なすことができる。その元のタイプをNielsen-Thuston-Bersの観点から、タイヒミュラー空間と双曲幾何の手法を用いて分類することを研究した。特に、この正則族が小平曲面から定まるものであるとき、その分類を完全に行うことができた。この研究成果は、1999年3月の日本数学会年会で発表の予定である。また、その論文を執筆中である。
    小森は、1次元タイヒミュラー空間のRiley sliceとEarle sliceの形状を詳細に考察した。佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき、それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った。西尾は熱方程式との関連で多重温度と云う概念を導入し。その平均値の性質を考察した。さらに,研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,結び目理論、微分幾何、確率過程、エルゴード理論などに関して多くの成果が得られた。

  • Complex manifolds and Teichmuller spaces

    Project Year :

    1995
    -
    1997
     

     View Summary

    The head investigator has been studying geometric and analytic objects on complex manifolds, especially on Riemann surfaces and Teichmuller spaces. In particular, using complex analysis, Kleinian groups, Teichmuller spaces, he studied Douady spaces of holomorphic maps between complex manifolds, estimates of numbers of holomorphic maps, relations between harmonic maps and holomorbhic maps, and so on. Let Hol (R,S) be the set of all non-constant holomorphic maps of a closed Riemann surface R of genus g to a closed Riemann surface S of genus g' with g', (2<less than or equal>g'<less than or equal>g'). Then an estimate of the number of elements in Hol (R,S) is obtained by topological data g and g'. Its method of proof is an area estimate by using hyperbolic geometry, Kleinian groups, and complex analysis. So this method is also applicable to the case of open Riemann surfaces of hyperbolic type. Harmonic maps between Riemann surfaces and holomorphic quadratic differentials are closely related. From this point of view, relations between harmonic maps and holomorphic maps between Riemann surfaces are considered. It is proved that harmonic maps become holomorphic or anti-holomorphic under a certai
    Komori studied semialgebraic description of Teichmuller space. Okumura obtained global real analytic angle parameters for Teichmuller spaces. Sakan considered non-quasiconformal harmonic extention. Taniguchi proved that Bloch topology of the universal Teichmuller space is equivalent to the geometric convergence in the sense of Caratheodory. Kamiya studied discrete subgroups of PSU (1,2, C)with Heisenberg translations. Masaoka obtained some important results on harmonic dimension of covering surfaces. Maitani considered ploblems on optimal embedding of Riemann surfaces.
    Noguchi obtained the second main theorem of Cartan-Nevalinna theorem over function fields and its application to finiteness theorem for rational points. Toda obtained the fundamental inequality for non-degenerate holomorhic curves. Mori constructed some important examples for meromorphic maps of C^n into P^n (C) in the value distribution theorem. Nishio got a mean value property for polytemperatures.

  • タイヒミュラー空間とその応用

    科学研究費助成事業(大阪市立大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    Project Year :

    1996
     
     
     

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    研究代表者はタイヒミュラー空間論,クライン群,複素解析,および双曲三角法を応用して、種数2以上のコンパクトなリーマン面の非定数正則写像の個数を具体的に評価した。この方法は,コンパクトでない双曲的なリーマン面の間の非定数正則写像の個数評価にも適用可能であり,その研究成果を執筆中である.この研究はSeveriの定理,リーマン面の正則族、代数関数体におけるGrauert・Maninの定理やParshin・Arakerovの定理との関連も含めて今後さらに続けられる予定である.
    小森は,タイヒミュラー空間論を応用して,実3次写像の位相的エントロピーの単調性を証明した.これは,ミルナ-の実2次写像の場合の研究を発展させるものである.佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき,それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った.これは,タイヒミュラー空間を単位円周上の写像でとらえる観点に関連するものである.西尾は,熱方程式との関連で多重温度と言う概念を導入し,その平均値の性質を考察した.
    また研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,トポロジー,確率過程,エルゴード理論,偏微分方程式などに関して多くの成果が得られた.

  • 複素解析幾何を用いた力学系の研究

    科学研究費助成事業(大阪市立大学)  科学研究費助成事業(奨励研究(A))

    Project Year :

    1995
     
     
     

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    実多項式を、実数から実数への写像と思い、その合成に関する力学系的性質を研究した。特に実3次多項式について、次の2つの結果を得ることができ、現在論文にまとめている。
    1)2つのcritical pointsのうちの一方を、与えられた有限型のkneading列で束縛して得られる、実3次多項式族の1パラメーター族の上では、kneading dataが単調に変化することを示した。このことにより、位相的エントロピーも単調に変化することがわかる。この結果は2次多項式族におけるMilnor-Thurstonの結果の自然な拡張になっている。用いる道具としては、kneading理論における中間値の定理と、critically tiniteな有理写像に関するThurstonのrigidity定理がある。ともに2次の時に使われた道具で、これらを3次の時にも使えるように改良したところが今年度の結果である。この仕事は、城西大理学部の西沢清子助教授との共同研究による。
    2)実3次多項式族の中で、少なくとも一方のcritical pointの軌道が無限遠点に向かうような写像全体の上では、位相エントロピーが一定な集合は単連結であることを示した。これは「3次多項式族の上では、位相エントロピーのレベル集合は連結であろう」というMilnorの予想に対し、部分的な解答を与えている。用いる道具としては、2つのcritical pointsの軌道がともに有界な写像全体の境界における、位相エントロピーの単調性を1)の手法で示し、そしてBranner-Hubbardによる複素3次多項式写像族の構造定理を、実3次多項式族の場合に書き直すことである。

  • Various quasiconformal extensions of a quasisymmetric automorphism of the unit circle and Teichmuller space

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    1. The head investigator Sakan obtained jointly with Partyka and Zajac the following results in three published paper.(1) They gave necessary and sufficient conditions on sense-preserving homeomorphisms of the unit circle for the quasiconformality of their harmonic extensions. In particular, the case where the harmonic extension is not quasiconformal was studied. In consequence, suitable examples were constructed.(2) Suppose that the harmonic extension of a sense-preserving homeomorphism of the unit circle is quasiconformal. All such homeomorphisms with a bounded derivative were well characterized. In consequence, a generalization of Martio's result was obtained.(3) By the use of the extension operators, a unified summary on harmonic and quasiconformal extensions was given.2. Sakan and an investigator Sugawa attended the 12th Conference on Analytic Functions (August30〜September 5, 1998 at Lublin, Poland) and gave lectures. The papers of the results were published. Sakan expressed the Beurling-Ahlfors condition on quasisymmetry in terms of harmonic measure and cross ration. In consequence, Sakan introduced a generalized conformally invariant dilatation on quasisymmetry and discussed its properties. By an application of holomorphic families of univalent functions, Sugawa obtained some results on quasiconformal extendability of univalent functions.3. Sakan attended the Second ISAAC Conference (August 16〜21, 1999 at Fukuoka Institute of Technology) and Korea-Japan Seminar on Complex Analysis (October 18〜20, 1999 at Yeungnam University, Korea) and gave lectures. The result will soon appear in the Proceedings. On the space of all quasisymmetric automorphisms of a given Jordan curve, a conformally invariant pseudo-metric which is equivalent to the Teichmuller pseudo-metric was introduced with no use of quasiconformal extensions

  • タイヒミュラー空間のプリーツ不変量の研究

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    1点穴開きトーラス上の単純閉測地線に対応する元が純双曲的かつ長さが一定という条件で、(1,1)型の擬フックス群の空間の正則なスライスをとる。このときフックス群の空間と交わる成分に、所謂ベアス・マスキットスライスが現れる。この成分は、タイヒミュラー空間内で、与えられた単純閉測地線に対応する有理境界点(カスプ)での、与えられた測地線に対応する接円の外部に対応する。ベアス・マスキットスライスのプリーツ座標は、パーカー・パルコネンとキーン・シリーズによって決定されている。本研究では、一走に保つ測地線の長さが十分短いときは、ベアス・マスキットスライスしか現れないのに対し、測地線の長さが十分長いときは、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れることを奈良女子大の山下靖氏との共同研究で示した。実際、山下氏はコンピューターグラフィックでそのスライスの形状を記述することに成功した。現在、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れるような測地線の長さの値、およびその一意性に関して共同研究を継続中である

  • Analysis of quasisymmetric functions and Teichmuller space

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    The head investigator Sakan published jointly with the foreign joint worker D.Partyka "On pseudo-metrics on the space of generalized quasisymmetric automorphisms of a Jordan curve" and "On Heinz's inequality ". In the former paper they introduced, with no use of quasiconformal mappings, some pseudo-metrics into the space of generalized quasisymmetric automorphisms of a Jordan curve, and discussed some applications to topological properties of the Teichmiuller pseudo-metric. In the latter paper they generalized the Heinz's result on one-to-one harmonic mappings F of the unit disc onto itself in the case where F is the Poisson integral of a sense-preserving homeomorphic self-mapping of the unit circle. As an application they inferred a version of Heinz's inequality for harmonic and quasiconformal self-mappings of the unit disc. In a paper to be. submitted, they show an asymptotically sharp variant of Heinz's inequality for harmonic and quasiconformal self-mappings of the unit disc.For the analysis of quasisymmetry, it is important to analyze the representations of maximal dilatations and so on in terms of harmonic measure and crossratio. Furthermore, it turned out that boundary dilatations, conjugate functions and Cauchy singular integrals are deeply related to the quasiconformality of harmonic extensions. Sakan has discussed about these analyses, with investigators Nishio and Yoshida from the viewpoint of potential and probability theory. Further, on extremal extensions which are quite related to boundary dilatations Sakan has contacted foreign joint workers Y.Shen, S.Wu and investigators Ohtake and Sugawa. Moreover, Sakan has discussed with investigators Imayoshi, Komori and Nakanishi about the relation of their researches on Teichmuller space and our research project

  • STUDY OF TOPOLOGICAL INVARIANTS FOR KNOTS AND THEIR APPLICATIONS

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    There are five main results.1.We investigated how a delta move influences the first HOMFLY coefficient polynomials of a link. Then we generalized this to a Cn-move.2.We studied the Links-Gould (LG) polynomial, which is a quantum invariant. Using a skein relation discovered by Ishii, we found a way to construct knots or links sharing the same LG polynomial. Then we gave arbitrarily many 2-bridge knots and links with the same LG polynomial. These 2-bridge knots and links also share the same HOMFLY, Kauffman, and 2-variable Alexander (in case of links) polynomials.3.We give formulas for the first four coefficient polynomials of the Kauffman's link polynomial involving linking numbers and the coefficient polynomials of the Kauffman polynomials of the one- and two-component sublinks.4.Giving a presentation of the group of a 2-braid virtual knot or link, we consider the groups of certain special families of 2-braid virtual knots. It is known that the collection of the virtual knot groups is the same as that of the ribbon torus-knot groups. Using our examples we discuss the relationship among the virtual knot groups and other knot groups such as ribbon 2-sphere-knot groups, 2-sphere-knot groups, torus-knot groups, and 3-sphere-knot groups.5.We give a skein relation for the HOMFLYPT polynomials of 2 cable links. Using this, we have shown that the collection of 2-bridge knots or links mentioned in part 2 also share the same 2-cable HOMFLY polynomial

  • Hecguard Splittings and genetic structures of 3-manifolds

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    The main results obtained by this project are as follows.1.Akiyoshi, Sakuma, Wada and Yamashita have completed a preprint (256 pages) which gives a full exposition of Jorgensen's theory for the Ford domains of quasifuchsian punctured torus groups, including a full proof. We plan to write a sequel of the paper to explain our extension of his theory to the outside of the quasifuchsian punctured torus space and to explain the relationship between the bridge structure of a 2-bridge knot and the complete hyperbolic structure of its complement.2.Epstein-Penner has introduced the Euclidean decompositions of finite-volume cusped hyperbolic manifolds through a convex hull construction in the Minkowski space. Akiyoshi-Sakuma has generalized the construction to (possibly) infinite-volume cusped hyperbolic manifolds and introduced EPH-decompositions of these manifolds. Moreover, relation between the EPH-decompositions and the bending laminations of cusped hyper-bolic manifolds were studied by Akiyoshi-Sakuma-Wada Yamashita.3.Akiyoshi-Miyachi-Sakuma have generalized Bowditch's variation of McShane's identity for hyperbolic punctured torus bundles to general hyperbolic punctured surface bundles

  • プリーツ不変量によるタイヒミュラー空間の研究

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    プリーツ不変量のタイヒミュラー空間の境界での振る舞いは重要な問題である。これについてはサーストンによるコンパクト化の場合に考察を始めた。具体的にはプリーツ不変量は測地線の長さ関数と関連があるので、測地線の長さ関数を用いて、コンパクト化したタイヒミュラー空間を射影空間に理め込む問題を考えた。実際古典的なフリッケ・クラインの埋め込みの場合はうまくゆくことが、ボン大学のハーメンシュタット教授との共同研究の結果分かった。ハーメンシュタット教授は最小個数の長さ関数による埋め込みを提唱しており、その場合にコンパクト化したタイヒミュラー空間が埋め込めるかを考察した。具体的には1点または2点穴空きトーラスや、4点または5点穴空き球面の場合にいくつかの例を調べた。詳細については今後の課題である。またクライン群のプリーツ不変量の別の応用として、不連続領域への等角な作用と凸閉包の境界への等長な作用のそれぞれから得られるリーマン面の間のタイヒミュラー距離を評価する問題が考えられる。2003年からのCharles Matthewsとの共同研究では、KeenとSeriesが調べた(1,1)型の終端b-群とそのプリーツ不変量を用いると、このタイヒミュラー距離がlog2以上になる例が構成できた。これは長年未解決だったサーストンのK=2予想の反例を与えている。この問題では終端b-群で一意化される1点穴空きトーラスの周期を数値計算する必要があったが、2005年にローザンヌで開催されたネバリンナ・コロキウムにおいてBuserとSilhol両氏と直接議論することで、彼らの超楕円曲線の周期の数値計算の理論が、一般の(g,n)型の終端b-群でサーストンのK=2予想の反例を探す手がかりになることが分かった

  • Study on Diophantine problem over function fields and Teichmuller spaces

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    Applying Teichmuller space, we studied Diophantine problem over function fields and holomorphic familes of Riemann surfaces, and we obtained the following results :(1)We determined all the holomorphic sections of holomorphic families of closed Riemann surfaces of genus 2 induced by certain Kodaira surfaces. Using elliptic functions, we got defining equations of these families, and so obtained all the solutions of the Diophantine problem for these defining equations.(2)For a hyperbolic Riemann surface S of type (g,n), let B={(x,y)∈S×S|x≠y}, M={(x,y,z)∈S×S×S|x≠y,y≠z,z≠x}, and π:M→B the canonical projection. We determined completely types of Bers for elements of monodromy of the holomorphic family (M,π,B).(3)For a holomorphic family (M,π,R) over a Riemann surface R, we studied complex analytic properties of the universal covering space of M.(4)For a given pseudo-periodic map f of negative type, we constructed a holomorphic family (M,π,Δ^*) over the punctured unit disc Δ^* with monodromy f. This is an alternative proof for a theorem due to Matsumoto and Montesinos, and gives a systematic method to construct these holomorphic families

  • Research on Submanifold Theory via Infinite Dimensional Methods

  • Euclidean cone structures on a surface and Teichmuller spaces

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    The space of equivalence classes of complex structures on a surface is called Teichmuller space whose geometry is known to be very complicated. We study Teichmuller space through Euclidean cone-structures on a surface and try to show the one-to-one correspondence between Teichmuller space and the space of similarity classes of Euclidean polygons. As a result, we show an isomorphism between the Teichmuller space of one-pointed torus and the space of similarity classes of Euclidean quadrilaterals. Moreover we get a geometric structure induced by the area form on the polygons

  • Heegaard structures and geometric structures of 3-manifolds

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    We have concentrated on the study of the once-punctured torus, the simplest hyperbolic surface, believing that it would bring us to deep understanding of general hyperbolic surfaces, and obtained the following results. (1) We gave a complete description and proof to Jorgensen's theory on quasifuchsian punctured torus groups. (2) We found an intimate relation between the following two tessellations associated with a punctured torus bundles over the circle ; the Cannon-Thurston-Dicks fractal tessellation and the cusp triangulation induced by the canionical decomposition. We also proposed a conjecture concerning the canonical decompositions of punctured surface bundles over the circle. (3) We gave a complete characterization of those essential simple loops on the bridge sphere of a 2-bridge knot which are null-homotopic in the knot complement

  • リーマン面の正則族の大域的構成法の種々の試み

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    本年度は以下のような成果を得た。連携研究者の河内、金信両氏は日韓の結び目研究集会に参加、講演を行ない、リーマン面の正則族の位相的性質の研究の中心をなす、写像類群についての低次元トポロジーの立場からの研究を行なった。また連携研究者の佐官、西尾両氏は大阪市立大学で複素解析のセミナーを定期的に行ない、研究者および大学院生に最新の研究報告や重要な論文の紹介などを行なった。特に擬等角写像やポテンシャル論に関する話題が中心となった。連携研究者の大仁田、加藤の両氏は大阪市立大学で微分幾何および幾何解析に関するセミナーを定期的に行ない、リーマン面のモジュライと調和写像の関係など、数理物理にも関係した話題を数多く取り扱った。特に12月に大阪市立大学で開催された国際学術シンポジウム「リーマン面,調和写像と可視化」において、リーマン面の離散化など、これまでになかった新たな研究アプローチが内外の研究者から数多く提示され、今後のリーマン面の正則族の研究、および写像類群の研究に画期的な役割を果たす知見を得る事ができたことは有意義であった。また今吉の大学院生の能城と連携研究者の小森との共同研究により、Rieraにより構成された種数2のリーマン面の正則族の正則切断の個数の非常によい評価が得られた。当初は一般には自明な2本の切断のみ存在することを証明しようと試みたが、本年度は切断の可能性があと1本残ってしまった。これが本当に切断かそうでないかは今後の課題として残ったが、本年度に得られた結果を論文として投稿し、2月に受理された。これは昨年度行なった国際集会の報告集を出版できたことと合わせて、今回の科研費による成果の1つである

  • Global construction of pleating coordinates of Teichmuller spaces and its applications

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    We estimate the Teichmuller distance between Riemann surfaces X and Y which is obtained from X byθ-grafting along a simple closed geodesic C. As anapplication we estimate the Teichmuller distance between the conformal boundary andthe convex core boundary of some regular b-groups of type (1,1) one of which gives acounterexample of K=2 conjecture. Also by means of geodesic length functions, werealize Teichmuller spaces of dimension 2 and 3 as convex polyhedron in real projective spaces

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Presentations

  • Growth of hyperbolic Coxeter groups

    Komori, Yohei  [Invited]

    Growth in Topology and Number Theory: Volumes, Entropy, and L2-torsion  Hausdorff Center, Bonn 大学

    Presentation date: 2018.07

  • Construction of pseudo-Anosov automorphisms whose dilatations are 2-Salem numbers

    小森洋平

    日本数学会2018年度年会幾何学分科会一般講演  東京大学

    Presentation date: 2018.03

  • On spectral radii of Coxeter elements for some bipartite Coxeter diagrams

    Komori, Yohei  [Invited]

    Geometry Seminar  Fribourg 大学

    Presentation date: 2017.11

  • Growth functions of hyperbolic groups

    Komori, Yohei  [Invited]

    Colloquium  Fribourg 大学

    Presentation date: 2017.11

  • On Schwarz automorphic functions

    Komori, Yohei  [Invited]

    Topology and Analysis of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces  京都大学数理解析研究所

    Presentation date: 2016.06

  • 3次元双曲理想コクセター多面体の増大度について

    小森洋平

    日本数学会2015年度秋季総合分科会函数論分科会一般講演  京都産業大学

    Presentation date: 2015.09

  • Coxeter garlands と 2-Salem 数

    小森洋平

    日本数学会2015年度年会幾何学分科会一般講演  明治大学

    Presentation date: 2015.03

  • Projective embeddings of the Teichmuller spaces

    小森洋平  [Invited]

    「リーマン面・不連続群論」研究集会  大阪大学中之島センター

    Presentation date: 2015.02

  • Arithmetic aspects of growth rates for hyperbolic Coxeter groups

    Komori, Yohei  [Invited]

    Complex Hyperbolic Geometry and Related Topics  岡山理科大

    Presentation date: 2015.01

  • トーラス上のリーマン面の退化族について

    小森洋平

    早稲田双曲幾何幾何学的群論セミナー  早稲田大学

    Presentation date: 2014.06

  • トーラス上のリーマン面の退化族について

    小森洋平  [Invited]

    学習院大学トポロジーセミナー  学習院大学

    Presentation date: 2014.04

  • On degenerate families of Riemann surfaces over elliptic curves

    小森洋平  [Invited]

    離散群と双曲空間の複素解析とトポロジー  京都大学数理解析研究所

    Presentation date: 2014.01

  • On degenerate families of Riemann surfaces over elliptic curves

    Komori, Yohei  [Invited]

    Rigidity School  東京大学

    Presentation date: 2014.01

  • トーラス上のリーマン面の退化族について

    小森洋平

    日本数学会2013年度秋季総合分科会函数論分科会一般講演  愛媛大学

    Presentation date: 2013.09

  • トーラス上のリーマン面の退化族について

    小森洋平  [Invited]

    リーマン面に関連する位相幾何学  東京大学

    Presentation date: 2013.08

  • Arithmetic aspects of growth rates of hyperbolic Coxeter groups

    Komori, Yohei  [Invited]

    Growth and Mahler measures in geometry and topology  Mittag-Leffler 研究所

    Presentation date: 2013.07

  • On a degenerate family of Riemann surfaces of genus two over an elliptic curve

    小森洋平  [Invited]

    研究集会 Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics  首都大学東京

    Presentation date: 2013.03

  • トーラス上の種数 2 のリーマン面の退化族について

    小森洋平

    日本数学会2013年度春期総合分科会函数論分科会一般講演  京都大学

    Presentation date: 2013.03

  • On a degenerate family of Riemann surfaces induced by a certain Kodaira surface

    Komori, Yohei  [Invited]

    Topology Seminar  ストラスブール大学

    Presentation date: 2012.09

  • On growth rates of 3-dimensional hyperbolic Coxeter prisms

    小森洋平

    日本数学会2012年度秋季総合分科会函数論分科会一般講演  九州大学

    Presentation date: 2012.09

  • Linear slices of the quasifuchsian space of punctured tori

    Komori, Yohei  [Invited]

    Progress in low-dimensional topology: Teichmuller theory and 3-manifold groups  オーフス大学

    Presentation date: 2012.08

  • Cone lemma とその応用

    小森洋平  [Invited]

    クライン群とコンピュータ・グラフィックス  名古屋大学

    Presentation date: 2012.03

  • On the growth rates of 3-dimensional generalized simplex reflection groups

    小森洋平

    日本数学会2012年度春期総合分科会函数論分科会一般講演  東京理科大学

    Presentation date: 2012.03

  • Linear slices of the quasifuchsian space of punctured tori

    Komori, Yohei  [Invited]

    第19回有限無限次元複素解析国際会議  アステールプラザ広島

    Presentation date: 2011.12

  • On Dirichlet polyhedra for generalized simplex groups

    小森洋平

    日本数学会2011年度秋季総合分科会函数論分科会一般講演  信州大学

    Presentation date: 2011.09

  • Cook-Hats and Crowns

    小森洋平  [Invited]

    群の表現及び表現空間の幾何学的・解析的研究  京都大学数理解析研究所

    Presentation date: 2011.06

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Specific Research

  • 2-Salem数の幾何

    2021  

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    タイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、コクセター系から擬アノソフ写像を構成し、その拡大率を調べてきた。Zehrtと梅本はある4次元余コンパクト双曲Coxeter群の族について、増大度関数の有理関数表示の分母多項式が2-Salem数の最小多項式か、または2つのSalem数の最小多項式の積のどちらかになることを示した。エジンバラ大学のC.Smythとの共同研究により、Zehrtや梅本が扱った4次元余コンパクト双曲Coxeter群の増大度は全て2-Salem数になることを、増大度関数の分母多項式の既約性から示すことができた。

  • Ramanujanグラフのスペクトル分布について

    2020  

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    有限グラフを頂点から頂点へ辺を通して情報が伝わる通信ネットワークと考えると、伝達効率の良いグラフとしてRamanujanグラフが考えられる。Terrasによって元の個数がqである有限体上に定義された有限上半平面グラフのスペクトルは重複度も込めてEvansにより決定され、Katzにより有限上半平面グラフはRamanujanグラフであることが示された。スペクトルに重みを持つDirac測度の和は、qが発散すると有限 Sato-Tate 測度と呼ばれる確率測度に弱収束するだろうというTerras予想をqが偶数の場合に考察した。具体的にはそれぞれのk次モーメントがkが4までは一致することを示した。

  • Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径に関する研究

    2019  

     View Summary

    Coxeter系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から&nbsp;|S|-次元実アファイン空間に&nbsp;W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時Coxeter元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今年度はZehrt及び梅本が調べたコンパクト4次元双曲Coxeter系の増大度が、常に2Salem数になることを示した。

  • 高階コクセター系の構成およびコクセター元のスペクトル半径の数論的性質

    2018  

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    ユークリッド幾何においては、三角形におけるHeronの公式や、円に内接する四角形におけるBrahmaguptaの公式のように、辺の長さの四則演算とベキ根のみで面積を表す公式が存在する。その一方5以上の任意の自然数nに対し、円に内接するn角形の面積を、辺の長さの四則演算とベキ根のみで表す一般の公式は存在しないことが知られていた。今回の研究により双曲幾何や球面幾何においても、5以上の任意の自然数nに対し、円に内接するn角形の面積を、辺の長さの四則演算とベキ根のみで表す一般の公式は存在しないことが分かった。

  • Dehn不変量が消える多面体の研究

    2017  

     View Summary

    デーン不変量が消える多面体の研究として、双曲コクセター3次元ピラミッドを考察した。ピラミッドの頂点は隣接する側面の数が4つであることから理想頂点になる。その頂点からピラミッドの底面を射影して、理想境界である複素平面上の長方形に移し、ピラミッドの底面を含む半球面の境界である円周とのなす角により、多面体の分類を行った。分類結果を用いて増大度関数の分母多項式を計算し、増大度の数論的性質を調べた。共著者との以前の論文によるペロン数の判定法が一見使えない例が現れたが、適当な因子をかけることで判定法が使える状況に帰着できた。また体積の大小と増大度の大小が無関係である多面体の例を構成した。

  • 擬アノソフ写像に付随するコクセター図形の分類について

    2016  

     View Summary

    アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の1つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な2部グラフになるので、マクマレンの結果より2部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの2重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が8以下なら双曲的で、k が10以上なら高階数というクラスになることを示した。特に k=10 の場合は2部コクセター元のスペクトル半径は2サラム数になるが、k=18 の場合は再びサラム数になることを示した。

  • 射影図を用いた双曲コクセター理想多面体の研究

    2015  

     View Summary

    双曲コクセター理想多面体の頂点の1つを選び、双曲空間の無限遠境界へ多面体を射影することにより、平面上の円と直線の幾何学を用いて双曲コクセター理想多面体を調べた。具体的に得られた結果としては以下の通りである。(1)双曲コクセター理想多面体の増大度の集合は上に非有界で、最小値 2.03074 はただ1つの双曲コクセター理想単体で実現される。(2)双曲コクセター理想多面体の増大度はペロン数という代数的整数になる。(3)面の数が n の双曲コクセター理想多面体の増大度は n-3 以上かつ n-1 以下で、増大度が n-3 になるための必要十分条件は、全ての面角が90度になることである。

  • 擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質

    2014  

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    曲面上の2組の多重単純閉曲線族によるデーン・ツイストが生成するタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との対応により、生成元のデーン・ツイストの積からなる擬アノソフ写像の拡大率はサラム数になることがマクマレンおよびレイニンガーにより調べられている。そこで本研究ではどのようなサラム数が擬アノソフ写像の拡大率として実現されるか、またサラム数を拡大率として持つ擬アノソフ写像の複素解析的または双曲幾何的性質は何かについて考察した。今回の具体的な成果としてサラム数の一般化である2サラム数が双曲コクセター系Ah_{2n}の2色固有値として現れることを示した。

  • 平面幾何を用いた3次元双曲Coxeter群の研究

    2013  

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    双曲空間における多面体で、面角が π/p (pは2以上の整数または∞) の値を持つ多面体をコクセター多面体という。コクセター多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は、双曲空間に等長的に作用する離散群で、双曲コクセター群と呼ばれ、もとのコクセター多面体はこの群の基本領域となる。この群Gの各面に関する鏡映変換からなる生成系をS としたとき、S による最短表示の長さがnとなるようなGの元 g の個数をa_n をする。このとき、コクセター系 (G,S) のgrowth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。このgrowth functionの性質を調べることは、離散群Gの幾何的性質を調べることに直結する。例えばコクセター多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで双曲空間全体に広がっているかを測ることができる。このgrowth functionの収束半径の逆数はgrowth rateと呼ばれ、2次元と3次元のcocompactな双曲コクセター群については代数的整数、特にSalem 数になることが知られている。現在3次元のcofiniteな双曲コクセター群の場合についてそのgrowth rateの数論的性質を主に研究しているが、その際にVinbergを中心とするロシア・スクールによる、面の数が4と5の3次元コクセター多面体の分類結果を用いてきた。そこで今回の特定課題研究では、この分類の別証明を与え、結果を拡張するために、カスプを持つコクセター多面体を平面幾何を用いて分類することを考察した。具体的にはカスプを無限遠点に置き、そこから多面体の各面を複素平面に射影することで、平面上の円の配置の幾何の問題に置き換えることができる。学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で3次元のcofiniteな双曲コクセター多面体のうち面の数が4と5の分類を行った。具体的にはカスプを持つ四面体とピラミッドの場合に限り、結果を得ることができ現在論文を準備中である。これら2つの場合にうまくいった主な理由は、単位円内の3種類のユークリッド的なコクセター三角形または長方形を、円周とπ/pの角度で位置するような配置の組合せがすべて数え上げられる点にある。またその考察の過程でコクセター多面体どうしに包含関係があれば、それらのgrowth rateの間に大小関係が成立するという新しい現象をみつけることができた。この現象がより複雑なコクセター多面体でも成立するかは興味深い問題と思われる。プリズムに関しては無限系列であることの困難性から今回の研究期間内では最終結果を得ることができなかったが、Kaplinskayaの分類で見落とされているコクセター多面体もあり、別証明を新たに与える必要性を今でも感じている。また分類そのものが未だ未解決である面の数が6以上の3次元コクセター多面体の場合にも貢献できる新しいアイデアとして、今回の平面図形を用いる方法は有用であると思われる。

  • 双曲Coxeter群のgrowth rateの数論的性質

    2012  

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    双曲 n 次元空間 H^n における多面体で、面角が π/p (pは2以上の整数または∞) の値を持つ多面体を Coxeter 多面体という。Coxeter 多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は H^n に等長的に作用する離散群で、双曲 Coxeter 群と呼ばれ、もとの Coxeter 多面体はこの群の基本領域となる。この群を G、各面に関する鏡映変換からなる生成系を S としたとき、G の元 g の S による最短表示を&#8467;_S(g) とし、a_n を&#8467;_S(g)=n となるような G の元 g の個数とする。このとき、Coxeter 系 (G,S) の growth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。この growth function の性質を調べることは、離散群 G の幾何的性質を調べることに直結する。例えばもとの Coxeter 多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで H^n 全体に広がっているかを測ることができる。この growth function の収束半径の逆数は growth rate と呼ばれ、2次元と3次元の cocompact な双曲 Coxeter 群については代数的整数、特に Salem 数であることが知られており、同様の数論的考察を non-compact な双曲 Coxeter 群で行うことが本研究の主テーマであった。本研究と前後して研究代表者は学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で3次元の non-compact な双曲 Coxeter 単体の場合に、その growth rate が Perron 数という代数的整数になることを示した ([1])。そして本年度の研究により3次元の non-compact な双曲 Coxeter pyramid についても同様の結果を得ることができ、現在論文を準備中である ([2])。またこの結果は今年度7月にスウェーデンのミッタグ・レフラー研究所で開催される国際会議「Growth and Mahler measures in geometry and topology」における招待講演で発表する予定である ([3])。現在3次元の non-compact な双曲 Coxeter prism について調べている最中であり、これが終われば3次元の場合については面の数が4または5の non-compact な双曲 Coxeter 多面体すべてについて結果が得られたことになる。引き続き面の数が6の non-compact な双曲 Coxeter 多面体、例えば双曲 cube について研究を行いたい。

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Overseas Activities

  • タイヒミュラー・モジュラー群と幾何学的コクセター群の研究

    2017.10
    -
    2018.03

    スイス   フリブール大学

 

Syllabus

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