We study the geometry of Teichmuller space through the identification with the moduli space of flat metrics on a surface with cone singularities and aim to clarify the properties of its topological dynamics. As a result, we obtain the description of the signature of the area form by the cone angle data in the case of Riemann sphere to show the existence of the family of quasi-Hermite metrics on the moduli space of flat metrics with cone singularities of any positive or negative cone angles

(1) Joint work with Donghi Lee: We established a variation of McShane’s identity for 2-bridge links. Moreover, we introduced the Heckoid orbifolds and proved that they are hyperbolic, and gave a systematic construction of epimorphisms from 2-bridge link groups onto Heckoid groups. Furthermore, we proved that these are the only upper-meridian pair preserving epimorphisms onto even Heckoid groups.(2) Joint work with Ken’ichi Ohshika: We proved that for a Heegarrd surface S of a 3-manifold M with high Hempel distance, a certain natural mapping class group associated with S has a natural free decomposition. We also proved that if S is of bounded combinatorics then there is a nonempty open set U of the projective measured lamination space of S, such that any simple loop in U is not null-homntopic in M and that any two distinct simple loops in U are not homotopic in M

We formulated the condition for the existence of n-noids of genus 1 in the Euclidian 3-space whose complete system of representatives of poles of Gauss map and that of ends coincide with each other. Moreover, we constructed new examples of such n-noids. We also decided the indices and nullities of n-noids of genes 0 under the condition that n is 4, or n is greater than 4 and the n-noid is symmetric in a sense. Moreover, we got a result on the relation between flux and nullity of n-noids. We also constructed a 1-parameter family of n-noids defined on punctured projective planes under the condition that n is an even number greater than or equal to 4, and that all of the ends of the surface is catenoidal type. It should be remarked here that only known examples of n-noids defined on punctured projective planes have odd number of planer ends

Except Riemann surfaces conformal to Riemann spheres minus disks and one or two points, I showed that Teichmuller spaces of RIemann surfaces of topologically finite types can be realized as polyhedron in finite dimensional real projective spaces by means of length functions of suitable choices of simple closed geodesics. Thurston boundaries of Teichmuller spaces were also considered. I also constructed degenerate families of Riemann surfaces over tori explicitly, and determined their singular fibers and holomorphic sections

We estimate the Teichmuller distance between Riemann surfaces X and Y which is obtained from X byθ-grafting along a simple closed geodesic C. As anapplication we estimate the Teichmuller distance between the conformal boundary andthe convex core boundary of some regular b-groups of type (1,1) one of which gives acounterexample of K=2 conjecture. Also by means of geodesic length functions, werealize Teichmuller spaces of dimension 2 and 3 as convex polyhedron in real projective spaces

The space of equivalence classes of complex structures on a surface is called Teichmuller space whose geometry is known to be very complicated. We study Teichmuller space through Euclidean cone-structures on a surface and try to show the one-to-one correspondence between Teichmuller space and the space of similarity classes of Euclidean polygons. As a result, we show an isomorphism between the Teichmuller space of one-pointed torus and the space of similarity classes of Euclidean quadrilaterals. Moreover we get a geometric structure induced by the area form on the polygons

Applying Teichmuller space, we studied Diophantine problem over function fields and holomorphic familes of Riemann surfaces, and we obtained the following results :(1)We determined all the holomorphic sections of holomorphic families of closed Riemann surfaces of genus 2 induced by certain Kodaira surfaces. Using elliptic functions, we got defining equations of these families, and so obtained all the solutions of the Diophantine problem for these defining equations.(2)For a hyperbolic Riemann surface S of type (g,n), let B={(x,y)∈S×S|x≠y}, M={(x,y,z)∈S×S×S|x≠y,y≠z,z≠x}, and π:M→B the canonical projection. We determined completely types of Bers for elements of monodromy of the holomorphic family (M,π,B).(3)For a holomorphic family (M,π,R) over a Riemann surface R, we studied complex analytic properties of the universal covering space of M.(4)For a given pseudo-periodic map f of negative type, we constructed a holomorphic family (M,π,Δ^*) over the punctured unit disc Δ^* with monodromy f. This is an alternative proof for a theorem due to Matsumoto and Montesinos, and gives a systematic method to construct these holomorphic families

There are five main results.1.We investigated how a delta move influences the first HOMFLY coefficient polynomials of a link. Then we generalized this to a Cn-move.2.We studied the Links-Gould (LG) polynomial, which is a quantum invariant. Using a skein relation discovered by Ishii, we found a way to construct knots or links sharing the same LG polynomial. Then we gave arbitrarily many 2-bridge knots and links with the same LG polynomial. These 2-bridge knots and links also share the same HOMFLY, Kauffman, and 2-variable Alexander (in case of links) polynomials.3.We give formulas for the first four coefficient polynomials of the Kauffman's link polynomial involving linking numbers and the coefficient polynomials of the Kauffman polynomials of the one- and two-component sublinks.4.Giving a presentation of the group of a 2-braid virtual knot or link, we consider the groups of certain special families of 2-braid virtual knots. It is known that the collection of the virtual knot groups is the same as that of the ribbon torus-knot groups. Using our examples we discuss the relationship among the virtual knot groups and other knot groups such as ribbon 2-sphere-knot groups, 2-sphere-knot groups, torus-knot groups, and 3-sphere-knot groups.5.We give a skein relation for the HOMFLYPT polynomials of 2 cable links. Using this, we have shown that the collection of 2-bridge knots or links mentioned in part 2 also share the same 2-cable HOMFLY polynomial

The head investigator Sakan published jointly with the foreign joint worker D.Partyka "On pseudo-metrics on the space of generalized quasisymmetric automorphisms of a Jordan curve" and "On Heinz's inequality ". In the former paper they introduced, with no use of quasiconformal mappings, some pseudo-metrics into the space of generalized quasisymmetric automorphisms of a Jordan curve, and discussed some applications to topological properties of the Teichmiuller pseudo-metric. In the latter paper they generalized the Heinz's result on one-to-one harmonic mappings F of the unit disc onto itself in the case where F is the Poisson integral of a sense-preserving homeomorphic self-mapping of the unit circle. As an application they inferred a version of Heinz's inequality for harmonic and quasiconformal self-mappings of the unit disc. In a paper to be. submitted, they show an asymptotically sharp variant of Heinz's inequality for harmonic and quasiconformal self-mappings of the unit disc.For the analysis of quasisymmetry, it is important to analyze the representations of maximal dilatations and so on in terms of harmonic measure and crossratio. Furthermore, it turned out that boundary dilatations, conjugate functions and Cauchy singular integrals are deeply related to the quasiconformality of harmonic extensions. Sakan has discussed about these analyses, with investigators Nishio and Yoshida from the viewpoint of potential and probability theory. Further, on extremal extensions which are quite related to boundary dilatations Sakan has contacted foreign joint workers Y.Shen, S.Wu and investigators Ohtake and Sugawa. Moreover, Sakan has discussed with investigators Imayoshi, Komori and Nakanishi about the relation of their researches on Teichmuller space and our research project

(1)Fundamental groups and branched coverings. M.Namba gave with H.Tsuchihashi a method for concrete computations of fundamental groups of the compliments of curves in the complex projective plane and finite branched Galois coverings branching along the curves, and gave a new example of Zariski pair using the method.
(2)Generaliztion of Epsein-Penner decomposition. H.Akiyoshi and M.Sakuma gave a generalization of the Epstein-Penner decompositions of cusped hyperbol manifolds of finite volume to those of infinite volume, and studied relation with the convex cores. They collaborated with M.Wada and Y.Yamashita and gave partial answer and experimental evidences to their conjecture that the pleating loci would determine the generalized Epstein-Pener decompositions for punctured torus groups.
(3)H.Akiyoshi, M.Miyachi and M.Sakuma have established a variation of McShane's identity for punctued surface bundles over a circle, which expresses the modulus of cusptori in terms of the complex translation lengths of essential simple loops of the fiber surfaces.
(4)Drawing the 3D slices of the quasifuchsian punctured torus space. M.Wada and Y.Yamashita developed a software to draw (real) 3-dimensional slices of the quasifuchsian punctured torus space

Mainly we studied the following three themes :
1. By using Bers-Thurston classification of elements of mapping class groups, we determined types of elements of monodormy groups of holomorphic families of Riemann surfaces, especially induced by Kodaira surfaces.
2. We gived a condition for harmonic maps between compact hyperbolic Riemann surfaces so that they are holomorphi or anti-holomorphic.
3. We gave an estimate of the number of non-constant holomorphic maps between compact hyperbolic Riemann surfaces by topological data.

1. The head investigator Sakan obtained jointly with Partyka and Zajac the following results in three published paper.(1) They gave necessary and sufficient conditions on sense-preserving homeomorphisms of the unit circle for the quasiconformality of their harmonic extensions. In particular, the case where the harmonic extension is not quasiconformal was studied. In consequence, suitable examples were constructed.(2) Suppose that the harmonic extension of a sense-preserving homeomorphism of the unit circle is quasiconformal. All such homeomorphisms with a bounded derivative were well characterized. In consequence, a generalization of Martio's result was obtained.(3) By the use of the extension operators, a unified summary on harmonic and quasiconformal extensions was given.2. Sakan and an investigator Sugawa attended the 12th Conference on Analytic Functions (August30〜September 5, 1998 at Lublin, Poland) and gave lectures. The papers of the results were published. Sakan expressed the Beurling-Ahlfors condition on quasisymmetry in terms of harmonic measure and cross ration. In consequence, Sakan introduced a generalized conformally invariant dilatation on quasisymmetry and discussed its properties. By an application of holomorphic families of univalent functions, Sugawa obtained some results on quasiconformal extendability of univalent functions.3. Sakan attended the Second ISAAC Conference (August 16〜21, 1999 at Fukuoka Institute of Technology) and Korea-Japan Seminar on Complex Analysis (October 18〜20, 1999 at Yeungnam University, Korea) and gave lectures. The result will soon appear in the Proceedings. On the space of all quasisymmetric automorphisms of a given Jordan curve, a conformally invariant pseudo-metric which is equivalent to the Teichmuller pseudo-metric was introduced with no use of quasiconformal extensions

We proved the fundamental lemma for the unit element in the Hecke algebra for two relative trace formulas for GSp(4). Our ultimate goal is to prove Bocherer's conjecture on the central critical values of the quadratic twists of the spinor L-functions associated to holomorphic Siegel eigen cusp forms of degree two. The announcements of the fundamental lemma have been published in C. R. Acad. Sci. Paris and the details of the proof will appear elsewhere.
In the course of the proof of the fundamental lemma, we evaluated certain matrix argument Kloosterman sums explicitly in terms of the classical GL(2) Kloosterman sums. We remark that our Kloosterman sum is a special case of the generalized Kloosterman sum which appears in the Fourier coefficients of the Poincare series for the Siegel modular group. Our result on the Kloosterman sum may be of some independent interest, since it is rare that such generalized Kloosterman is evaluated explicitly.
Our second conjectural trace formula is related to the quadratic base charge for GSp (4). Our result suggests that the Jacquet-Ye criterion for the quadratic base change for GL(2) generalizes to GSp(4). This clearly deserves some further investigation. Finally our result implies that it is important to study the whole L-packet when we study the special values of automorphic L-functions. It seems very interesting to clarify the relationship between the period part of the special value expected by our result and Deligne's conjecture.

We studied on the existence of smooth densities of transition probabilities of Markov processes with jumps which are solutions to d-dimensional stochastic integro-differential equations:
dxィイD2tィエD2 = aィイD20ィエD2(xィイD2tィエD2)dt + ΣィイD6m(/)k=1ィエD6aィイD2kィエD2(xィイD2tィエD2)・dβィイD1kィエD1(t) + ∫b(xィイD2t-ィエD2,θ)J(dtdθ),
where β(t) = (βィイD1kィエD1(t)) is an m-dimensional Brownian motion and J(dtdθ) is a Poisson random measure with E[J(dtdθ)] = π(dθ)dt. The existence of smooth densities is equivalent to the hypoellipticity of the parabolic pseudo-differential operator
ィイD7∂(/)∂tィエD7 + (AィイD20ィエD2 + ィイD71(/)2ィエD7ΣィイD6m(/)k=1ィエD6(AィイD2kィエD2)ィイD12ィエD1 + ∫(BィイD2θィエD2 - I)π(dθ)),
where AィイD2kィエD2 = aィイD2kィエD2(x)・∂ィイD2xィエD2 and BィイD2θィエD2 are operators defined by BィイD2θィエD2φ(x) = φ(x + b(x,θ)).
A similar problem for continuous Markov processes was studied in the course of the Malliavin calculus, and the Hormander condition is well-known as a sufficient condition for the hypoellipticity. We carried out the variation for jump type Markov processes by Girzanov transforms of Levy processes, and proved special necessary formulas of integration by parts on the cad-lag space. We also faced the problem to show the exponential decay of the Laplace transform of the distribution of a specific functional associated with the Malliavin covariance. So far, the exponential decay was proved by long complicated arguments. We showed it by a new method where the key lemma is an estimate for general semimartingales. And we proved the smoothness of transition densities of Markov processes with jumps under certain conditions which are weaker than Hormander type conditions in the previous sense. This method also gives a quite simple proof to the Hormander theorem for usual parabolic differential operators.

研究代表者は、リーマン面の間の調和写像が正則になるための必要十分条件を求めた。それは「双曲型の閉リーマン面間の定数でない写像が正則、または反正則になるための必要十分条件はPoincare計量とBergman計量の両方に関して調和である」ことである。証明のアイディアは、調和写像の特徴付けを正則2次微分に関連させれことにある。
リーマン面の正則族のモノドロミーの元は、写像類群の元であるが、それはタイヒミュラー・モデュラー群の元とも見なすことができる。その元のタイプをNielsen-Thuston-Bersの観点から、タイヒミュラー空間と双曲幾何の手法を用いて分類することを研究した。特に、この正則族が小平曲面から定まるものであるとき、その分類を完全に行うことができた。この研究成果は、1999年3月の日本数学会年会で発表の予定である。また、その論文を執筆中である。
小森は、1次元タイヒミュラー空間のRiley sliceとEarle sliceの形状を詳細に考察した。佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき、それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った。西尾は熱方程式との関連で多重温度と云う概念を導入し。その平均値の性質を考察した。さらに,研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,結び目理論、微分幾何、確率過程、エルゴード理論などに関して多くの成果が得られた。

The head investigator has been studying geometric and analytic objects on complex manifolds, especially on Riemann surfaces and Teichmuller spaces. In particular, using complex analysis, Kleinian groups, Teichmuller spaces, he studied Douady spaces of holomorphic maps between complex manifolds, estimates of numbers of holomorphic maps, relations between harmonic maps and holomorbhic maps, and so on. Let Hol (R,S) be the set of all non-constant holomorphic maps of a closed Riemann surface R of genus g to a closed Riemann surface S of genus g' with g', (2<less than or equal>g'<less than or equal>g'). Then an estimate of the number of elements in Hol (R,S) is obtained by topological data g and g'. Its method of proof is an area estimate by using hyperbolic geometry, Kleinian groups, and complex analysis. So this method is also applicable to the case of open Riemann surfaces of hyperbolic type. Harmonic maps between Riemann surfaces and holomorphic quadratic differentials are closely related. From this point of view, relations between harmonic maps and holomorphic maps between Riemann surfaces are considered. It is proved that harmonic maps become holomorphic or anti-holomorphic under a certai
Komori studied semialgebraic description of Teichmuller space. Okumura obtained global real analytic angle parameters for Teichmuller spaces. Sakan considered non-quasiconformal harmonic extention. Taniguchi proved that Bloch topology of the universal Teichmuller space is equivalent to the geometric convergence in the sense of Caratheodory. Kamiya studied discrete subgroups of PSU (1,2, C)with Heisenberg translations. Masaoka obtained some important results on harmonic dimension of covering surfaces. Maitani considered ploblems on optimal embedding of Riemann surfaces.
Noguchi obtained the second main theorem of Cartan-Nevalinna theorem over function fields and its application to finiteness theorem for rational points. Toda obtained the fundamental inequality for non-degenerate holomorhic curves. Mori constructed some important examples for meromorphic maps of C^n into P^n (C) in the value distribution theorem. Nishio got a mean value property for polytemperatures.

研究代表者はタイヒミュラー空間論,クライン群,複素解析,および双曲三角法を応用して、種数2以上のコンパクトなリーマン面の非定数正則写像の個数を具体的に評価した。この方法は,コンパクトでない双曲的なリーマン面の間の非定数正則写像の個数評価にも適用可能であり,その研究成果を執筆中である.この研究はSeveriの定理,リーマン面の正則族、代数関数体におけるGrauert・Maninの定理やParshin・Arakerovの定理との関連も含めて今後さらに続けられる予定である.
小森は,タイヒミュラー空間論を応用して,実3次写像の位相的エントロピーの単調性を証明した.これは,ミルナ-の実2次写像の場合の研究を発展させるものである.佐官は単位円周上の位相写像を単位円板内に複素数値の調和関数によって拡張したとき,それが擬等角写像になるかどうかの研究を行った.これは,タイヒミュラー空間を単位円周上の写像でとらえる観点に関連するものである.西尾は,熱方程式との関連で多重温度と言う概念を導入し,その平均値の性質を考察した.
また研究分担者達によって、上記の内容に直積的あるいは間接的に関係する形でタイヒミュラー空間,擬等角写像,ポテンシャル論,トポロジー,確率過程,エルゴード理論,偏微分方程式などに関して多くの成果が得られた.

実多項式を、実数から実数への写像と思い、その合成に関する力学系的性質を研究した。特に実3次多項式について、次の2つの結果を得ることができ、現在論文にまとめている。
1)2つのcritical pointsのうちの一方を、与えられた有限型のkneading列で束縛して得られる、実3次多項式族の1パラメーター族の上では、kneading dataが単調に変化することを示した。このことにより、位相的エントロピーも単調に変化することがわかる。この結果は2次多項式族におけるMilnor-Thurstonの結果の自然な拡張になっている。用いる道具としては、kneading理論における中間値の定理と、critically tiniteな有理写像に関するThurstonのrigidity定理がある。ともに2次の時に使われた道具で、これらを3次の時にも使えるように改良したところが今年度の結果である。この仕事は、城西大理学部の西沢清子助教授との共同研究による。
2)実3次多項式族の中で、少なくとも一方のcritical pointの軌道が無限遠点に向かうような写像全体の上では、位相エントロピーが一定な集合は単連結であることを示した。これは「3次多項式族の上では、位相エントロピーのレベル集合は連結であろう」というMilnorの予想に対し、部分的な解答を与えている。用いる道具としては、2つのcritical pointsの軌道がともに有界な写像全体の境界における、位相エントロピーの単調性を1)の手法で示し、そしてBranner-Hubbardによる複素3次多項式写像族の構造定理を、実3次多項式族の場合に書き直すことである。

1点穴開きトーラス上の単純閉測地線に対応する元が純双曲的かつ長さが一定という条件で、(1,1)型の擬フックス群の空間の正則なスライスをとる。このときフックス群の空間と交わる成分に、所謂ベアス・マスキットスライスが現れる。この成分は、タイヒミュラー空間内で、与えられた単純閉測地線に対応する有理境界点(カスプ)での、与えられた測地線に対応する接円の外部に対応する。ベアス・マスキットスライスのプリーツ座標は、パーカー・パルコネンとキーン・シリーズによって決定されている。本研究では、一走に保つ測地線の長さが十分短いときは、ベアス・マスキットスライスしか現れないのに対し、測地線の長さが十分長いときは、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れることを奈良女子大の山下靖氏との共同研究で示した。実際、山下氏はコンピューターグラフィックでそのスライスの形状を記述することに成功した。現在、ベアス・マスキットスライス以外の成分が現れるような測地線の長さの値、およびその一意性に関して共同研究を継続中である

The main results obtained by this project are as follows.1.Akiyoshi, Sakuma, Wada and Yamashita have completed a preprint (256 pages) which gives a full exposition of Jorgensen's theory for the Ford domains of quasifuchsian punctured torus groups, including a full proof. We plan to write a sequel of the paper to explain our extension of his theory to the outside of the quasifuchsian punctured torus space and to explain the relationship between the bridge structure of a 2-bridge knot and the complete hyperbolic structure of its complement.2.Epstein-Penner has introduced the Euclidean decompositions of finite-volume cusped hyperbolic manifolds through a convex hull construction in the Minkowski space. Akiyoshi-Sakuma has generalized the construction to (possibly) infinite-volume cusped hyperbolic manifolds and introduced EPH-decompositions of these manifolds. Moreover, relation between the EPH-decompositions and the bending laminations of cusped hyper-bolic manifolds were studied by Akiyoshi-Sakuma-Wada Yamashita.3.Akiyoshi-Miyachi-Sakuma have generalized Bowditch's variation of McShane's identity for hyperbolic punctured torus bundles to general hyperbolic punctured surface bundles

プリーツ不変量のタイヒミュラー空間の境界での振る舞いは重要な問題である。これについてはサーストンによるコンパクト化の場合に考察を始めた。具体的にはプリーツ不変量は測地線の長さ関数と関連があるので、測地線の長さ関数を用いて、コンパクト化したタイヒミュラー空間を射影空間に理め込む問題を考えた。実際古典的なフリッケ・クラインの埋め込みの場合はうまくゆくことが、ボン大学のハーメンシュタット教授との共同研究の結果分かった。ハーメンシュタット教授は最小個数の長さ関数による埋め込みを提唱しており、その場合にコンパクト化したタイヒミュラー空間が埋め込めるかを考察した。具体的には1点または2点穴空きトーラスや、4点または5点穴空き球面の場合にいくつかの例を調べた。詳細については今後の課題である。またクライン群のプリーツ不変量の別の応用として、不連続領域への等角な作用と凸閉包の境界への等長な作用のそれぞれから得られるリーマン面の間のタイヒミュラー距離を評価する問題が考えられる。2003年からのCharles Matthewsとの共同研究では、KeenとSeriesが調べた(1,1)型の終端b-群とそのプリーツ不変量を用いると、このタイヒミュラー距離がlog2以上になる例が構成できた。これは長年未解決だったサーストンのK=2予想の反例を与えている。この問題では終端b-群で一意化される1点穴空きトーラスの周期を数値計算する必要があったが、2005年にローザンヌで開催されたネバリンナ・コロキウムにおいてBuserとSilhol両氏と直接議論することで、彼らの超楕円曲線の周期の数値計算の理論が、一般の(g,n)型の終端b-群でサーストンのK=2予想の反例を探す手がかりになることが分かった

We have concentrated on the study of the once-punctured torus, the simplest hyperbolic surface, believing that it would bring us to deep understanding of general hyperbolic surfaces, and obtained the following results. (1) We gave a complete description and proof to Jorgensen's theory on quasifuchsian punctured torus groups. (2) We found an intimate relation between the following two tessellations associated with a punctured torus bundles over the circle ; the Cannon-Thurston-Dicks fractal tessellation and the cusp triangulation induced by the canionical decomposition. We also proposed a conjecture concerning the canonical decompositions of punctured surface bundles over the circle. (3) We gave a complete characterization of those essential simple loops on the bridge sphere of a 2-bridge knot which are null-homotopic in the knot complement

本年度は以下のような成果を得た。連携研究者の河内、金信両氏は日韓の結び目研究集会に参加、講演を行ない、リーマン面の正則族の位相的性質の研究の中心をなす、写像類群についての低次元トポロジーの立場からの研究を行なった。また連携研究者の佐官、西尾両氏は大阪市立大学で複素解析のセミナーを定期的に行ない、研究者および大学院生に最新の研究報告や重要な論文の紹介などを行なった。特に擬等角写像やポテンシャル論に関する話題が中心となった。連携研究者の大仁田、加藤の両氏は大阪市立大学で微分幾何および幾何解析に関するセミナーを定期的に行ない、リーマン面のモジュライと調和写像の関係など、数理物理にも関係した話題を数多く取り扱った。特に12月に大阪市立大学で開催された国際学術シンポジウム「リーマン面,調和写像と可視化」において、リーマン面の離散化など、これまでになかった新たな研究アプローチが内外の研究者から数多く提示され、今後のリーマン面の正則族の研究、および写像類群の研究に画期的な役割を果たす知見を得る事ができたことは有意義であった。また今吉の大学院生の能城と連携研究者の小森との共同研究により、Rieraにより構成された種数2のリーマン面の正則族の正則切断の個数の非常によい評価が得られた。当初は一般には自明な2本の切断のみ存在することを証明しようと試みたが、本年度は切断の可能性があと1本残ってしまった。これが本当に切断かそうでないかは今後の課題として残ったが、本年度に得られた結果を論文として投稿し、2月に受理された。これは昨年度行なった国際集会の報告集を出版できたことと合わせて、今回の科研費による成果の1つである

アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の１つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な２部グラフになるので、マクマレンの結果より２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が８以下なら双曲的で、k が１０以上なら高階数というクラスになることを示した。特に k=10 の場合は２部コクセター元のスペクトル半径は２サラム数になるが、k=18 の場合は再びサラム数になることを示した。

双曲コクセター理想多面体の頂点の１つを選び、双曲空間の無限遠境界へ多面体を射影することにより、平面上の円と直線の幾何学を用いて双曲コクセター理想多面体を調べた。具体的に得られた結果としては以下の通りである。（１）双曲コクセター理想多面体の増大度の集合は上に非有界で、最小値 2.03074 はただ１つの双曲コクセター理想単体で実現される。（２）双曲コクセター理想多面体の増大度はペロン数という代数的整数になる。（３）面の数が n の双曲コクセター理想多面体の増大度は n-3 以上かつ n-1 以下で、増大度が n-3 になるための必要十分条件は、全ての面角が９０度になることである。

曲面上の２組の多重単純閉曲線族によるデーン・ツイストが生成するタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との対応により、生成元のデーン・ツイストの積からなる擬アノソフ写像の拡大率はサラム数になることがマクマレンおよびレイニンガーにより調べられている。そこで本研究ではどのようなサラム数が擬アノソフ写像の拡大率として実現されるか、またサラム数を拡大率として持つ擬アノソフ写像の複素解析的または双曲幾何的性質は何かについて考察した。今回の具体的な成果としてサラム数の一般化である２サラム数が双曲コクセター系Ah_{2n}の２色固有値として現れることを示した。

双曲空間における多面体で、面角が π/p (pは２以上の整数または∞) の値を持つ多面体をコクセター多面体という。コクセター多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は、双曲空間に等長的に作用する離散群で、双曲コクセター群と呼ばれ、もとのコクセター多面体はこの群の基本領域となる。この群Gの各面に関する鏡映変換からなる生成系をS としたとき、S による最短表示の長さがnとなるようなGの元 g の個数をa_n をする。このとき、コクセター系 (G,S) のgrowth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。このgrowth functionの性質を調べることは、離散群Gの幾何的性質を調べることに直結する。例えばコクセター多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで双曲空間全体に広がっているかを測ることができる。このgrowth functionの収束半径の逆数はgrowth rateと呼ばれ、２次元と３次元のcocompactな双曲コクセター群については代数的整数、特にSalem 数になることが知られている。現在３次元のcofiniteな双曲コクセター群の場合についてそのgrowth rateの数論的性質を主に研究しているが、その際にVinbergを中心とするロシア・スクールによる、面の数が４と５の３次元コクセター多面体の分類結果を用いてきた。そこで今回の特定課題研究では、この分類の別証明を与え、結果を拡張するために、カスプを持つコクセター多面体を平面幾何を用いて分類することを考察した。具体的にはカスプを無限遠点に置き、そこから多面体の各面を複素平面に射影することで、平面上の円の配置の幾何の問題に置き換えることができる。学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で３次元のcofiniteな双曲コクセター多面体のうち面の数が４と５の分類を行った。具体的にはカスプを持つ四面体とピラミッドの場合に限り、結果を得ることができ現在論文を準備中である。これら２つの場合にうまくいった主な理由は、単位円内の３種類のユークリッド的なコクセター三角形または長方形を、円周とπ/pの角度で位置するような配置の組合せがすべて数え上げられる点にある。またその考察の過程でコクセター多面体どうしに包含関係があれば、それらのgrowth rateの間に大小関係が成立するという新しい現象をみつけることができた。この現象がより複雑なコクセター多面体でも成立するかは興味深い問題と思われる。プリズムに関しては無限系列であることの困難性から今回の研究期間内では最終結果を得ることができなかったが、Kaplinskayaの分類で見落とされているコクセター多面体もあり、別証明を新たに与える必要性を今でも感じている。また分類そのものが未だ未解決である面の数が６以上の３次元コクセター多面体の場合にも貢献できる新しいアイデアとして、今回の平面図形を用いる方法は有用であると思われる。

双曲 n 次元空間 H^n における多面体で、面角が π/p (pは２以上の整数または∞) の値を持つ多面体を Coxeter 多面体という。Coxeter 多面体の各面に関する鏡映変換で生成される群は H^n に等長的に作用する離散群で、双曲 Coxeter 群と呼ばれ、もとの Coxeter 多面体はこの群の基本領域となる。この群を G、各面に関する鏡映変換からなる生成系を S としたとき、G の元 g の S による最短表示を&#8467;_S(g) とし、a_n を&#8467;_S(g)=n となるような G の元 g の個数とする。このとき、Coxeter 系 (G,S) の growth function は a_n の母関数として定義され、常にある有理関数 R(z)=P(z)/Q(z) の原点におけるテイラー級数に一致する。この growth function の性質を調べることは、離散群 G の幾何的性質を調べることに直結する。例えばもとの Coxeter 多面体のG-軌道によるタイル張りが、どれくらいのスピードで H^n 全体に広がっているかを測ることができる。この growth function の収束半径の逆数は growth rate と呼ばれ、２次元と３次元の cocompact な双曲 Coxeter 群については代数的整数、特に Salem 数であることが知られており、同様の数論的考察を non-compact な双曲 Coxeter 群で行うことが本研究の主テーマであった。本研究と前後して研究代表者は学振特別研究員 DC2 の梅本悠莉子との共同研究で３次元の non-compact な双曲 Coxeter 単体の場合に、その growth rate が Perron 数という代数的整数になることを示した ([1])。そして本年度の研究により３次元の non-compact な双曲 Coxeter pyramid についても同様の結果を得ることができ、現在論文を準備中である ([2])。またこの結果は今年度７月にスウェーデンのミッタグ・レフラー研究所で開催される国際会議「Growth and Mahler measures in geometry and topology」における招待講演で発表する予定である ([3])。現在３次元の non-compact な双曲 Coxeter prism について調べている最中であり、これが終われば３次元の場合については面の数が４または５の non-compact な双曲 Coxeter 多面体すべてについて結果が得られたことになる。引き続き面の数が６の non-compact な双曲 Coxeter 多面体、例えば双曲 cube について研究を行いたい。