We determine the birational geometry of O'Grady's six dimensional example over the Donaldson-Uhlenbeck compactification, by looking at the locus of non-locally-free sheaves on the relevant moduli space.

We give a completely explicit description of the fibers of the natural birational morphism from O'Grady's ten dimensional singular moduli space of sheaves on a K3 surface to the corresponding Donaldson-Uhlenbeck compactification.

For a smooth Deligne-Mumford stack over C, we define its associated Kodaira-Spencer differential graded Lie algebra and show that the deformation functor of the stack is isomorphic to the deformation functor of the Kodaira-Spencer algebra if the stack is proper over C. (C) 2008 Elsevier Inc. All rights reserved.

We study the monodromy operators on the Betti cohomologies associated to a good degeneration of irreducible symplectic manifold and we show that the unipotency of the monodromy operator on the middle cohomology is at least the half of the dimension. This implies that the "mildest" singular fiber of a good degeneration with non-trivial monodromy of irreducible symplectic manifolds is quite different from the generic degeneration of abelian varieties or Calabi-Yau manifolds.

We show that the Beauville's integrahle system on a ten dimensional moduli space of sheaves on a K3 surface constricted via a moduli space of stable sheaves on cubic threefolds is algebraically completely integrable, using O'Grady's construction of a symplectic resolution of the moduli space of sheaves on a K3.

In relation to the problem of constructing a good degeneration of irreducible symplectic manifolds, we studied the local structure of a relative Hilbert scheme associated with a semistable family of algebraic surfaces whose singular fiber has no triple point. More precisely, we clarified the structure of singularities, birational modifications and a topological invariant called orbifold cohomology of the relative symmetric product, which is given as a image of the relative Hilbert scheme under the Hilbert-Chow morphism

O’Grady constructed two sporadic examples of compact irreducible symplectic Kahler manifolds using moduli spaces of rank 2 semi-stable coherent sheaves on a K3 surface or an Abelian surface. I studied the locus of non-locally free sheaves in these moduli spaces and clarified some birational-geometric structures on the O’Grady’s examples. In the course of study, I investigated a method to calculate explicitly some invariant rings associated to the moduli problem using classical invariant theory, with the aid of computational algebra

4次元3次超曲面の上の5次正規有理曲線のモジュライについて研究を行い，曲線が3次元射影空間を張るような場合，すなわち，曲線が空間3次曲面上に乗っている場合の軌跡について詳細な研究を行った．大きな開集合上で安定層のモジュライ空間の明示的記述を得ることに成功したが，特殊な曲線上での振る舞いは，当初予期していたよりも複雑であることがわかった．

本課題は．既約シンプレクティック多様体の知られている族のうち，一般Kummer型の多様体の射影モデルの理解を深めることを目的とし，様々な活動を通して海外の研究者との連携・協力関係を強化することも目指したが，COVID-19の流行で当初計画は大きな変更を余儀なくされた．特に，欧州を中心とする海外の研究者との往来は事実上不可能となったが，例年行われてきたシンポジウムをビデオ会議システムに移行して運営するなど一定の成果を上げることができた．一般Kummer 型多様体の研究については今後も鋭意継続していく．

科研費による研究（基盤(C) 17K05212）は，一定の成果を挙げつつも，最終的に満足いく結論に到達せずに課題期間が終了したため，その完成を期してこの特定課題研究費により研究を継続した．海外の研究者との共同研究であるため，研究費を用いて出張・招聘などによる共同作業を予定したが，COVID-19の流行で当初計画は大きな変更を余儀なくされた．それでもビデオ会議システムなどを用いて共同研究を進め，正規でない3次曲面上の一般化された正規有理5次曲線のモジュライ空間の明示的構成問題の理解を大きく前進させることができた．

代数的シンプレクティック多様体の退化の問題を主たる興味の対象として研究を行った．代数的シンプレクティック多様体の退化は，代数的シンプレクティック形式を持つ曲面の退化族の相対的なヒルベルト概形を考えることによって得られる．特に，元の曲面の退化族が半安定である場合，対応するヒルベルト概形の退化族も類似のマイルドな退化になっていることが期待できる．しかし，このようにして得られるヒルベルト概形の退化はそのままでは半安定にはならないことがわかる．現れる特異点は高次元の双有理幾何学との関連を示唆している．双有理幾何学的な観点から見ると，曲面の退化族の相対的な対称積はヒルベルト概形の双有理収縮として得られる代数的シンプレクティック多様体の退化族であり，こちらは対称群の作用による商として現れることから，見方によってはヒルベルト概形よりも捉えやすい対象である．そこで，代数的シンプレクティック曲面の半安定退化に対してその相対的対称積について考察し，その双有理改変について明示的な方法で研究を行った．特に，対称積の次数が2および3の場合についてはトーリック幾何などを用いた計算手法を用いることでそのQ-分解的端末化を具体的にひとつ構成し，さらに対称積上の双有理改変として相対的ヒルベルト概形をえるプロセスを明示的に構成した．　これらの成果については，2013年10月に行われた国際研究集会「Symmetric products of semi-stable degeneration of surfaces, Yasunari Nagai, Symplectic Algebraic Geometry, （於 関西セミナーハウス, 京都）」および「5th Algebraic Geometry in East Asia,（於 Academy of mathematics and systems science, Chinese Academy of Sciences，中国，北京）」の招待講演において発表した．　より次数が高い場合の対称積のQ-分解的端末化の構成問題とその双有理幾何に関する問題は対称群が複雑になるにつれその商として得られる多様体の特異点の構造が複雑になることから，より精密な研究が必要となる．これらについては2014年度より採択された科研費・若手研究(B)・26800025「既約シンプレクティック多様体の退化」において継続する予定であり，まとまった成果が得られ次第出版したいと考えている．

私が以前より興味を持って研究を行ってきた対象である代数的シンプレクティック多様体は，既に知られている例を見る限り，その多くが別の代数多様体の上の対象をパラメータ付けするモジュライ空間として得られている．本研究ではそのようなモジュライ空間のうち，代数曲線上の放物Higgs束と呼ばれる対象のモジュライ空間として得られる代数的シンプレクティック多様体の幾何学，なかんずく，モジュライ理論の立場から自然に引き起こされる双有理変換に注目して研究を行った．最も基本的な場合については M. Thaddeus の研究が知られているのみであるが，その細部を検討すると，彼の手法では予測される結論を得るために代数幾何学的な操作を行う「逆構成的」なものであり，より複雑な双有理変換の記述を得るには適していないことが確認され，異なる考え方でのアプローチが必要であることがわかる．また，幾何学的により面白い双有理変換は，ベキ零軌道閉包の幾何学で現れる双有理変換とのアナロジーを考えれば，一般線形群を変換群としてもつ放物Higgs束だけでなく，別の単純代数群を変換群として持つ放物主Higgs束から得られるであろうことが予測されたが，文献調査を行ったところ，放物主Higgs束については，そのモジュライ空間の構成も含めて基本的な研究がまだ十分行われていないことがわかった．2011年度は，放物Higgs束の放物構造の変化と双有理変換について，次元の低い場合に関して具体例の計算を行った．この場合には一般にA型の向井フロップが現れるであろうことのエビデンスが得られているが，一般的な設定のもとでこれを証明するためにはモジュライ理論の観点からより洗練された記述法が必要になる．また，放物主Higgs束の基本的な性質についても研究を行った．これらの研究はまだ進行の途上にあり，論文にまとめて発表する段階までは至らなかった．これらの課題については今後も継続して研究していく．