Coarse幾何学における次元論を主にasymptotic次元論の立場で研究を進めたが、埋蔵問題の重要性に行き着き、「どのようなn次元コンパクト距離空間がn個の1次元コンパクト距離空間の積空間へ埋蔵することが可能か」を様々な角度から研究を進め、埋蔵可能なn次元多様体及び一般多様体の幾何的構造をそ1次元コホモロジー群の整数加群としての階数から決定することを試みた。また、一般のn次元コンパクト距離空間Xについても、その判定条件をn次元チェックコホモロジー群の自明性と1次元チェックコホモロジー群の階数の関連から研究した

有界でない距離空間の大域的な位相的・幾何的性質で重要なasympototic次元、それと関係があると思われる写像のカラーリング、さらに、距離に依存するコンパクト化としてHigson・Smirnovコンパクト化の剰余の位相的性質について研究を行った。主結果として、2次元ユークリッド空間に同相なCAT(0)空間のasymptotic次元は2であることが得られた。これは「すべてのCAT(0)群のasymptotic次元は有限か?」の問題の解決の最初の一歩となる

幾何学において, 多様体(局所的にユークリッド座標系を持つ空間)は最も重要な研究対象となっている. 多様体Mの連続変換全体は同相群と呼ばれ, その性質の解明は多様体Mの幾何的性質の理解にとって重要である. 本研究では, 特に, ユークリッド空間のように無限に伸びた開多様体の場合に, 体積を保つ変換全体のなす同相群を中心に考察し, その性質を解明した

平成16-18年度行った研究としては次の4つの分野を挙げることが餌来る.1.ヨルゲンセン群の研究.2.ホワイトヘッドリンク群の研究.ヨルゲンセン数の研究.4.古典的ショットキイ群の研究.1.ヨルゲンセン群の研究.ヨルゲンセン数が1となる非初等的2元生成離散群をヨルゲンセン群という.ヨルゲンセン群には放物型と楕円型があるが,ここでは放物型について考察した.放物型には3っのタイブ(有限型、可算無限型、非可算無限型)があるが、この研究期間中にすべての放物型ヨルゲンセン群を婚見した.その結果は、日本数学会、京都大学数理解析研究所、複素解析国際会議およびフィンランドにおける困際会議において発表された.また、論文としてOsaka J.、Math.Kodai Matu.J.及びComput.Methods Funct.Tkeoryから出版された.2.ホワイトヘッドリンク群の研究.ホワイトヘッドリンク群のヨルゲンセン数が2であることを発見した.したがって,ホワイトヘッドリンク群はヨルゲンセン群でないことが分かった.この絡果は2004年メキシコ数学会の特別号から出版された.3.ヨルゲンセン数の研究.自然数及び4以上の実数γに対しヨルゲンセン数が7となる離数群が存在することをホワイトヘッドリンク群の研究で用いた方法と古典的ショットキイ空間の結果を用いて示した.この結果は2006年の日本数学会、ベトナムでの複素解析国際会議で発表した.また、京都大学数理解析研究所の講究録において結果のみ出版された.4.古典的ショットキイ群の研究.特に目立った結果は得られなかった.今後の目標は、1.放物型ヨルゲンセン群が表す3次元双曲多様体の構造を調べること、2.楕円型ヨルゲンセン群をすべて見つけること、3.(古典的)ショットキイ群のヨルゲンセン数を求めること、4.古典的ショットキイ群によるリーマン面の一意化が可能か否かを調べること

位相空間Xのn次対称積をSP^n(X)と表す。一般に「どんなn次元コンパクト距離空間がある1次元連続体Xのn次元対称積SP^n(X)に埋め込むことができるかどうか?」の考察を行って次の結果を得た。定理1:n次元球面S^nはどんな1次元連続体Xのn次対称積SP^n(X)にも埋め込むことができない。このために、本質的に、1次元球面(=円周S^1)のk個のウェッジ∨S^1のn次元コホモロジー群を決定することが必要である。実際、ウェッジ∨S^1の対称積SP^n(∨S^1)が円周S^1の対称積SP^n(S^1)のk個の直積空間に埋め込むことができ,その像が直積空間のレトラクトであることを示した。したがって、次のことが計算できた。定理2:H^n(SP^n(∨S^1))=H^n(n次元トーラス)の直和、ただし、直和はk個の円周からn個の円周を選ぶすべての選び方を動く。定理2からDydak-小山(Bull.Polish Academy of Sciences,2000,vol.48,51-56)を適用すると、定理1が得られる。一方、位相空間Xの高々n個の元からなる空でない部分集合全体からなる集合にハウスドルフ距離を導入して得られる距離空間F_n(X)もまたXのn次対称積とよぶ。,F_2(X)=SP^n(X)であるが、n>2ならば一般には異なる空間である。しかし、類似性を感じさせる空間なので、同様に問題「どんなn次元コンパクト距離空間がある1次元連続体Xのn次対称積F_n(X)にも埋め込むことができるか、あるいはできないか」が提起される。この問題に関連した古典的な結果として、Bott(-Borsuk)の定理「F_3(S^1)=S^3」がある。我々はこの定理に対して現代的なアプローチを導入して別証明を与えるとともに一般化を図った

服部は、V.Chatyrko(研究協力者)との共同研究において、可分距離空間における閉集合の和をとることによる,大コンパクト次数Cmpと大超限帰納的次元trIndの振る舞いについて考察した。Kをある位相空間のクラスとし、α,βをβ<αである順序数、XをdX=αであるKに属する空間とする。ここで、dは閉集合に対してmonotonicである次元関数とする。m(X,d,β,α)=min{k:Xがk-個の閉集合X1,…,Xk with d(Xk)≦βの和となる},mK(d,β,α)=min{m(X,d,β,α):X is in K}とし、MK(d,β,α)=sup{m(X,d,β,α):X is in K}とする。順序数αに対してα=λ(α)+n(α),ただし、λ(α)は極限順序数、n(α)は自然数と表す.順序数β<αに対して、p(β,α)=(n(α)+1)/(n(β)+1)とし、q(β,α)をp(β,α)より小さくない最小の自然数とおく.このとき、次が成り立つ:(1)Pを完備可分距離空間のクラスとし、α,βをβ<αなる自然数とするとき、mP(Cmp,β,α)=q(β,α)、MP(Cmp,β,α)=∞となる。(2)α、βが無限順序数でβ<αのとき,λ(β)=λ(α)ならば、mP(trInd,β,α)=q(β,α),MP(trInd,β,α)=∞であり、λ(β)≠λ(α)ならば、mP(trInd,β,α)とMP(trInd,β,α)は存在しない。また、コンパクト距離空間のクラスを法とする超限コンパクト次数trcmpについても考察し、距離空間のクラスにおいてはtrcmpの上限が存在しないことを示した。また、服部と立木は、距離空間(X,d)に対する形式的球体集合BX=X×R_+のドメイン構造と位相構造について考察し、次を得た:(1)(X,d)が全有界ならば、直積位相とLawson位相は一致する。(2)ヒルベルト空間lp(P>1)に対して、直積位相とLawson位相は一致する。(3)単位区間上の実連続関数空間、およびl1においては、直積位相とLawson位相は一致しない。横井は、W.Parryにより導入されたグラフ自己写像に対する推移性と強推移性について考察した。小山は、コホモロジー次元論に帰納的次元の考え方を導入し,可分ANR距離空間や有限次元距離空間において、コホモロジー次元との関連を調べた。また、前田と木村は微分幾何学的側面、そして、古用は微分方程式側面の研究を行った

可分距離空間Xに帰納的なコホモロジー次元を導入することに成功した.すなわち,自明でない可換群Gについて(1)Ind_GX=-1⇔X=0,(2)Ind_GX=-1⇔任意の閉集合Kと開集合U,K⊂U,に対して,K⊂V⊂Cl(V)⊂,かつdim_G∂V【less than or equal】n-1である開集合γが存在する,ここでdim_Gは通常の意味の係数群Gに関するコホモロジー次元とする.と定義する.このとき,一般に"Ind_GX【less than or equal】dim_GX【less than or equal】Ind_GX+1"が成立するが,これらの不等式に関連して以下のことを示した.(1)可分距離空間XがANRならば,任意の自明でない可換群Gについて,Ind_GX=dim_GXが成り立つ,(2)可分距離空間Xが有限次元ならば,任意の自明でない可算可換群Gについて,Ind_GX=dim_GXが成り立つ,(3)dim_ZX=2である任意の無限次元コンパクト距離空間Xについて,Ind_ZX=3である,(4)任意の素数pに対して,dim_<Z_<(p)>>X=2<3=Ind_<Z_<(p)>>Xであるコンパクト距離空間Xが存在する,(5)任意の可分距離空間Xと任意の自明でない可換群Gについて,Ind_G(X×I)=dim_GX+1が成り立つ,(6)任意の可分距離空間Xについて,Ind_QX=dim_QXが成り立つ,ただし,Qは有理数体とする

Riemann多様体にはいくつかの無限遠の定義が試みられている。中でもGromovによる理想境界は距離構造にのみ依存した汎用性を持った無限遠の定義として高く評価されている。その唯一の問題点は、連続関数からなる空間を介した定義のため、幾何学的な意味付けが明確でないことにある。そのため、無限遠の形状が具体的に解明されているのはごく限られた場合でしかなかった。本研究においては、理想境界の幾何学的な意味付けを得るために、3次元以上の具体的な空間の理想境界の形状を分析することを課題としていたが、次の内容を解明することができた。1 Euclid空間の中の2次曲面はLiouville多様体としての定式化が知られている。それを利用して、n+1次元Euclid空間の中のn次元楕円放物面の測地線の定義方程式を具体的に計算した結果,高次元でも測地線は同一の挙動を示すことが分かり,無限遠に発散する点列の到達する先は、(Liouville多様体としての二つの)特異集合からの距離の差の極限が規定している。すなわち理想境界は閉区間で、その両端はBusemann関数であることが示された。2 双曲空間中の2次曲面についても同様な手法が有効であることがわかった。特に二葉双曲面は、無限遠での膨張に関する前田の定数が有限で、測地線の方程式は、Euclid空間の中の楕円放物面と類似の表現をもつことが示された。また、低次元では測地線の挙動や無限遠の構造に関してもに類似性が確認された。すなわち、理想境界は閉区間で、その両端はBusemann関数であることが示さた

ウェーブレット解析の特徴は,ディジタルフィルタリングという数値計算により,信号や画像などの自然界に存在する各種のデータを少ない情報で効率よく近似できることと,とりわけデータの特異点の検出に優れていることである.一方,擬微分作用素と共に発展した超局所解析は,局所フーリエ解析とも言える手法であり,偏微分方程式の解の特異性の伝搬などの解析に有効であった.この2種類の解析の発想は同じであるが,違いは超局所解析が偏微分方程式の解であることを使っていることと数値計算が使われていないことである.こういった現状をふまえ,本研究課題は,ウェーブレット解析のディジタルフィルタリングという数値解析による超局所解析を目的とし,その結果として,以下の成果を得た.研究初年度には理論的部分(1),(2)を主として行い,次年度には数値解析的部分(3),(4)を行った.(1)超局所解析のできる多次元のマルチウェーブレットを構成した.(2)この多次元マルチウェーブレットによるフィルタリングのアルゴリズムを設計した.(3)このアルゴリズムによる超局所フィルタリングを画像処理等に適用した.(4)超局所フィルタリングが超局所成分を分離できるかどうかを検証した.(5)日本の研究者のみならず,カナダ,ドイツ,中国,アメリカ,インド等の研究者たちともレビューを受けたり共同研究をするなどの研究交流を行った

Riemann多様体の各種コンパクト化の比較検討を行った.その中でRiemann幾何の観点からもっとも自然なコンパクト化として,距離関数を利用したGromovのコンパクト化を主に分析した.Gromovはコンパクト化した際に付加される部分を理想境界と読んでいる.本研究では,以下の空間の理想境界の構造を決定した.1. 楕円放物面のコンパクト化は2次元球面で,理想境界は閉区間である.その両端はBusemann関数である.2. 2本の放物線で囲まれた平面領域n枚(【greater than or equal】3)からなる曲面のコンパクト化はn角形領域で,理想境界はBusemann関数を頂点とするn角形である.(n=2がMar3. 回転放物面で囲まれた3次元領域のダブルとしてできるAlexandrov空間のコンパクト化は3次元球面で,その理想境界は閉区間である.その両端はBusemann関数である.上記の分析から,理想境界ではBusemann関数がその骨格をなすのではないかとの予想を得た.ところで,理想境界の点(無限遠点)は関数として実現されているので,2点間の距離として関数の差のノルムを考えることができる.このノルムの意味でBusemann関数が理想境界の最大直径を実現していることが認められた.また,有限の位置にある点からは,無限遠点に対応した関数の勾配ベクトル場から決まるrayが出ている.これが通常の最短測地線に相当するものと見なされる.この意味で理想境界上の点の最小跡を分析すると,上のrayとそのBusemann関数との対応付けにおいて連続性の崩れる部分を最小跡と見なすのが自然であるとの結論に至った.この定義の正当性の分析が今後に残された課題である

距離空間の重要な特微付けの1つとしては-locally finite open baseを有することである。この観点から任意の開被覆がlocally finiteな開細分を持つ空間は大変重要な位置を占めている(この空間はparacompact空間と呼ばれている)。この空間族は2つの積に対しても閉じていない。しかしながら各因子空間がperfect,paracompactな空間であれば、それらの可算積はparacompact spaceであることが判明した。この事実はparacompactを一般化した空間族にたいしても成立することも解った。
またparacompact spaceのもう1つの重要な拡張概念として、単調開被覆の単調縮小性を持つ空間(B-propertyを有する空間と言う)はここ10年でかなり明確に研究されてきたが、「どの様な付加性質を有するときに既存の空間族に一致するか」という問題に関してlocally Lindelofが大きな役割をすることも解明された。
他方、距離空間Xのフリー アーベリアン位相群A(X)の構造は殆ど解っていない。その構造を調べるためには各自然数nにたいしてAn(X)を研究することが十分条件である場合が多い(たとへば第1可算公理を満たす空間や、k-space)ことが証明された。さらに驚くべき事は各An(X)(n=1,2,3,...)を調べるのにA3(X)だけを調べればよいことも判明した。
A(X)のtightnessに関して公表された未解決な問題があるが、或条件下で肯定的に解決された。即ちt(A(X))=t(w(X))ということである。

科研費は主に研究分担者による他大学との資料収集及び共同研究にあて、それらをもとに本学においては、ゼミナ-ル等討論,情報交換に多くの時間を費やした。一つの目的として確率空間の位相的性質を調べ,それを自由位相群の構造の解明に応用することを試みた。これは分担者横山良三,山田耕三を中心に議論を進めた。この結果として山田耕三は、「距離空間Xの自由可換位相群A(X)のすべての長さn以下の語から成る部分空間An(X)がkー空間である必要十分条件はA_4(X)がkー空間であることである。」
を証明した。これを中心にkー空間の安定性について論文をまとめ発表する予定である(裏面参照)。
また、代表者及び分担者菅原邦雄はPL多様体の極小近似の研究を進めAlexandropf widthのコホモロジ-次元的接近を試みた。これについて係数群が無限巡回群IIまたは位数Pの巡回群IIpの場合は一定の成果を得た。すなわち、
「コンパクト距離空間XのG係数コホモロジ-次元,ただしGはIIまたはIIp,がn以下である必要十分条件はG係数Alexandropf width Gーa^<n+1>_n(X)が零であることである。」
が得られた。この結果は今春の日本数学会年会トポロジ-分科会で発表する予定である。
具体的な実績は上述のようなものであるが、科研費を利用して共同研究が進み、今後の問題,課題が明らかになってきた。これからこの芽が大きくなればより大きな実績と成り得るだろう。

一般の(強)定常過程にはエルゴード定理(大数の法則)が成立するが,その収束のスピードは独立確率変数列とは異なり,任意のスピードに対応する定常過程が存在することが知られている。従って重複対数の法則や中心極限定理は一般に成立しない。一方,定常マルチンゲール差列によって生成される定常線形過程は自己回帰,移動平均等統計学の線形システム,とりわけ時系列解析の理論に重要な役割をはたしていると同時に定常過程においてregularと呼ばれる重要なクラスの構成要素でもある。この定常線形過程にはエントロピーなど力学系の理論を適用し,シフトに対して不変な測度のエルゴード分解を通じて,必ずしもエルゴード的でない定常過程に対しても,適当な条件の下で,重複対数の法則や中心極限定理が成立することが研究代表者らによって証明されていたが,更に広い範囲の定常線形過程を含むクラスにも同じ結果が成り立つことが証明された。また,一次元ランダム・ウオークの滞在時間に対して知られている逆正弦法則をカイ2乗検定と組み合わせた検定方法を用いて,代表的な擬似乱数生成法である,線形合同法と最大周期列について統計的検定を行い,ランダム・ウオークのシミュレーションが擬似乱数の統計的検定に有効であることを示した

弧長空間にはRiemann多様体と同様にrayが定義される。弧長空間の1点から出るすべての測地線がrayとして延長できるときにその点を極と言う。Riemann多様体では曲率が下に有界な場合、測地三角形の辺の長さと角の間の関係としてToponogovの比較定理が成立する。弧長空間では逆に、その定理の結論を曲率が下に有界な事の定義に採用し、その性質を満たすものをAlexandrov空間という。本研究で得られた成果は以下のとおりである。1.非負曲率Riemann多様体の無限遠の漸近的な大きさと極の間の距離の関係式は非負曲率Alexandrov空間に対しても成立する。2.曲率がκ(<0)以上のAlexandrov空間に対して、無限遠の漸近的な大きさμ_を、半径tの距離球の大きさの上極限として一般化した。この時、極の間の距離に関して1と類似の評価式が得られた。距離空間の収束に関して、具体例でこれらの値を解析した結果、この評価式は漸近的な意味で最良の評価である事も判明した。3.具体的なAlexandrov局面の測地線と無限遠の分析から、rayに対応するBusemann関数をもとに無限遠点を定義するのが自然であるとの結論を得た。これは、Visibility多様体の場合には、EberleinとO'Neilの定義に一致するが、μ_が有限の時に、彼らより精密に無限遠をとらえている事になっている。この定義から見ると無限遠点の集合と極の集合は双対関係にあるのではないかと予想されるが、これは今後の課題として残された問題である

本研究の主目的であった局所有限なC_3‐型のインシデンス幾何に関するTits予想の解決に対しては、flag‐ransitiveな群の作用を仮定した場合の完全な結果が吉荒により得られた。すなわちこのような幾何は建物であるかA_7‐型幾何と呼ばれる特別な幾何のいずれかとなる。群の作用を仮定しないときに、自由な構成があるかどうかは以後の課題である。更にAssociation schemeの表現論をフルに用いてこうした幾何中に現れるgeneralized quadrangleのパラメーターについてより強い情報を得る試みが伊藤によりなされた。またこうした散在型の幾何とhomotopy colimitの関連が対応する群のコホモロジー計算に有効である可能性のあることが、吉荒・伊藤・小山らにより確認されつつあり、ここでは通常acyclicな部分構造の解析が鍵となる。小山はacyclicなresolutionと関連してある位相空間を特徴づけた。更にインシデンス幾何が与える有限体上のベクトル空間中の様々な構造の検定法への応用については高島・横山により詳しく調べられ、特にGF(2)上のある種の原始多項式の性質に帰着される興味深い予想が高島により得られた。また横山は中心極限定理の面白い応用があることを示した。片山・田沼・木村は上の幾何構造及びそこに作用する群構造を解析的に一般化した見地から様々のアプローチを試みた。例えば片山はfactorという関数解析的な部分群の概念を離散的な群の作用と関連させて調べている

Ricci曲率が下に有界なRiemann多様体に関するBishop-Gromov不等式を、Busemann関数の表す無限遠点に向かうrayのなす錐領域の測度評価に再構成し、その結果を、Ricci曲率が漸近的に非負な多様体に適用して、Busemann関数の各レベルの間の体積の評価を得た。その際、評価の下限を与える微分方程式の解を厳密に決定できたことが鍵となった。これらの結果の応用として、H.Wuが解析的な手段で得た体積増加率の別証明を得た。また、endの個数の有限性について、断面曲率が漸近的に非負な場合と同様に、Ricci曲率が漸近的に非負な場合にも同様な結果が成立することが示唆された。上の研究において理想境界の位相構造の分析が必要であった。この方面では、Marenichが、ある種のAlexandrov空間に対してその構造を決定した以外には具体例がなく不明な点が多かった。本研究では、楕円放物面およびMarenichの例を複雑化した場合に、その理想境界を具体的に決定した。Busemann関数の間の距離が理想境界の大きさを決定しているのではないかという予想に対して、これらの場合には、それが肯定的であることが示された。派生的な結果として、可換群について非輪状なresolutionを許容するコンパクト距離空間の内的特徴づけとして導入したapproximation dimensionの概念が一般の距離空間に対して新しい次元関数となることが導かれた。また、ある種の非等方弾性方程式の基本解の公式を求めた

位相幾何学は位置と形を解析する数学である。この10年間の位相幾何学の飛躍的な発展の大きな推進力となったものは、位相幾何学の諸分野の間および微分幾何学、代数学、解析学、数理物理学と位相幾何学の間の相互交流である。当該研究はこの発展をさらに推し進めるために、写像や代数多様体の特異点の分類理論の研究、多様体あるいは単体的複体への様々な群作用の研究、曲面の写像類群のタイヒミュラー空間への作用の研究、複素解析的写像の力学系理論の研究、微分可能多様体上のベクトル場の力学系理論および葉層構造論の研究、双曲3次元多様体および特異点を持つ双曲空間の分類理論の研究、4次元多様体の微分構造およびシンプレクティク構造の研究、共形場理論と3次元多様体の不変量の研究、主束の様々な接続のモジュライ空間の位相の研究、ポアソン多様体および接触多様体の研究、同変一般(コ)ホモロジー理論とホモトピー論の研究、結び目および絡み目の不変量と分類理論の研究、野生的空間を含む一般位相空間の研究を行い、多くの研究成果を得た。これらの研究の相互の交流を図るために、全国規模のトポロジーシンポジウムを各年度に開催し、また上に掲げた研究課題に対し、多くの研究集会を企画開催した。これらはトポロジープロジェクトとして、全国の位相幾何学研究者との共同作業により行われた。特に、異なる分野の研究者、大学院生等の間の交流を図るためにEncounter with Mathematicsの研究集会が毎年度複数回行われた。これらの研究活動により更なる発展の方向が明らかになった

今回の科研費事業の目的の1つであった「かたちの数理科学」フォーラム「次元とは何か-数理が紡ぐサイエンス」を数学、物理学の立場から次元論を考える催しとして、平成21年1月15日、23日に静岡大学理学部C棟309教室で行い、両日共に60名を超える参加者があり、盛況あった。また本科研費の採択をもとに「ひらめき☆ときめきサイエンスーようこそ大学の研究室」(「数学インサイドー数学はどのように使われてきたか」平成20年8月2日)を実施して新領域科目「かたちの数理科学」の有り様を公開して、問うことができた。ポーランド科学アカデミー数学研究所からStanislaw Spiez教授を招き、今日の東欧の数学教育について学と共に、現代の次元論に関係する共同論文の作成を行った。また昨年に続き、メキシコ自治総合大学(ONAM)からRolando Jimenez教授が来日し、「メキシコ及び旧ソビエトにおける大学院教育に関するセミナー」を行っ