小山 晃 (コヤマ アキラ)

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所属

理工学術院 基幹理工学部

職名

教授

兼担 【 表示 / 非表示

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等 【 表示 / 非表示

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学歴 【 表示 / 非表示

  •  
    -
    1977年

    東京教育大学   理学研究科   数学専攻  

  •  
     
     

    東京教育大学   理学部   数学科  

学位 【 表示 / 非表示

  • 筑波大学   理学博士

所属学協会 【 表示 / 非表示

  •  
     
     

    アメリカ数学会

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野 【 表示 / 非表示

  • 幾何学

研究キーワード 【 表示 / 非表示

  • 幾何学的トポロジー、次元論、連続体理論

論文 【 表示 / 非表示

  • Surfaces in products of two curves

    A. Koyama, J. Krasinkiwicz, S. Spiez

    Topology Appl.   169   618 - 640  2015年  [査読有り]

  • Embeddings into products and symmetric products—an algebraic approach

    A. Koyama, J. Krasinkiewicz, S. Spiez

    Houston J. Math.   38 ( 2 ) 611 - 641  2012年  [査読有り]

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    In this article we mostly study algebraic properties of n-dimensional "cyclic" compacta lying either in products of n curves or in the nth symmetric product of a curve. The basic results have been obtained for compacta admitting essential maps into the n-sphere S-n. One of the main results asserts that if a compactum X admits such a mapping and X embeds in a product of n curves then there exists an algebraically essential map X -> T-n into the n-torus; the same conclusion holds for X embeddable in the nth symmetric product of a curve. The existence of analgebraically essential mapping X -> T-n is equivalent to the existence of some elements a(1), . . . ,a(n) is an element of H-1 (X) whose cup product a(1)boolean OR . . . boolean OR a(n) is an element of H-n (X) is not zero, and implies that rank H-1(X) >= n and cat X > n. In particular, it follows that S-n, n >= 2, is not embeddable in the nth symmetric product of any curve. The case n = 2 answers in the negative a question of Illanes and Nadler.

  • Generalized manifolds in products of curves

    A. Koyama, J. Krasinkiewicz, S. Spiez

    Trans. Amer. Math. Soc.   363 ( 3 ) 1509 - 1523  2011年  [査読有り]

  • CONTINUOUS LINEAR EXTENSION OF FUNCTIONS

    A. Koyama, I. Stasyuk, E. D. Tymchatyn, A. Zagorodnyuk

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   138 ( 11 ) 4149 - 4155  2010年11月  [査読有り]

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    Let (X, d) be a complete metric space. We prove that there is a continuous, linear, regular extension operator from the space C*(b) of all partial, continuous, real-valued, bounded functions with closed, bounded domains in X to the space C*(X) of all continuous, bounded, real-valued functions on X with the topology of uniform convergence on compact sets. This is a variant of a result of Kunzi and Shapiro for continuous functions with compact, variable domains.

  • On the symmetric hyperspace of the circle

    Naotsugu Chinen, Akira Koyama

    TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS   157 ( 17 ) 2613 - 2621  2010年11月  [査読有り]

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    By X(n), n >= 1, we denote the n-th symmetric hyperspace of a metric space X as the space of non-empty finite subsets of X with at most n elements endowed with the Hausdorff metric. In this paper we shall describe the n-th symmetric hyperspace S(1) (n) as a compactification of an open cone over Sigma D(n-2), here D(n-2) is the higher-dimensional dunce hat introduced by Andersen, Marjanovic and Schori (1993) [2] if is is even, and D(n-2) has the homotopy type of S(n-2) if is is odd (see Andersen et al. (1993) [2]). Then we can determine the homotopy type of S' (n) and detect several topological properties of S(1)(n). (C) 2010 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

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書籍等出版物 【 表示 / 非表示

  • Topics in Dimension Theory - Recent Progress in General Topology III

    J. Dydak, A. Koyama( 担当: 分担執筆)

    Atlantis Press  2014年 ISBN: 9789462390232

共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 / 非表示

  • 次元論および距離空間の埋蔵問題から考察するcoarse幾何学の研究

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2021年03月
     

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    私の研究分野「幾何学的トポロジー」の一つの発祥地であるワルシャワ(ポーランド)で開催された「Geometric Topology - Celebrating the Year of Mathematics in Poland」(the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, 08.09.2019 - 14.09.2019)に出席し、講演を行った。また、力学的挙動の解析をcoarse幾何学に応用しようと考え、前期に加藤久男(筑波大学名誉教授)による講義と後期にはJ. R. Sanjurjo教授(Universidad Compuletense de Madrid, Madrid, Spain)を招聘してConley index theoryの集中講義を行なった。昨年度に引き続き, Vesko Valov教授(Nipissing University, Canada)との共同研究を行なった。主たる課題は「ホモロジー群が局所的に自明な有限次元コンパクト距離空間のホモトピー的あるいはシェイプ的な性質を解明する」である。現在彫られている例は、特異ホモロジー群、スティーンロッド ホモロジー群、チェック ホモロジー群では局所的な自明性が異なる2次元コンパクト距離空間の構成法がある。今後の進展はコホモロジー論のVietoris-Smale型定理が特異ホモロジー論では成り立たない有限次元コンパクト距離空間の例を挙げることにある。これら特異な例は局所的に滑らかではない野生的な空間で構成される。これらはcoarse幾何学では理想境界として現れることが考えられ、種々の問題の反例の構成に有効であることが期待される。Coarse幾何学におけるANR理論を展開することを構想しているが、coarse写像は連続性を持っていないのでホモトピー拡張定理など基本的な性質でも必ずしも上手く展開できない。現在、チェック ホモロジー群や無限生成ホモロージー理論(スティーンロッド ホモロジー群)を用いた特徴付けが有効に働くか検証中である。そのため、当初計画していた埋蔵定理の研究に至っていない。Vesko Valov教授(Nipissing University, Canada)との共同研究を継続し、上記の課題「ホモロジー群が局所的に自明な有限次元コンパクト距離空間のホモトピー的あるいはシェイプ的な性質を解明する」の研究にあたる。これら特異な例は局所的に滑らかではない野生的な空間で構成される。これらはcoarse幾何学では理想境界として現れることが考えられ、種々の問題の反例の構成に有効であることが期待される。また、現状では不透明な部分もあるが本年度に連携研究者J. Dydak教授(University of Tennessee, U.S.A)を招聘してcoarse幾何学の現状と今後の課題に関するワークショップを開催したい

  • Coarse幾何学における埋蔵問題と関連するasymptotic次元の問題

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2016年03月
     

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    Large scale幾何学、特に一般の proper 距離空間のcoarse 幾何学及び CAT(0) 群のHilbert 空間へのcoarse埋蔵問題の研究を開始し、私が研究してきた(対比して)small scale幾何学と呼ばれる従来の位相幾何学の次元論との関わりを明確にすることができた。そこで得られた埋蔵問題の成果をまとめ、主要な幾何的トポロジーの国際研究集会で招待講演を行った。最終年には J. Dydak(アメリカ・テネシー大)、S. Spiez(ポーランド・数学研究所)を招き、早稲田大学でcoarse幾何学を主題とする研究集会を行い、成果のまとめと研究の総括を行った

  • 非正曲率空間のCoarse的解析とコンパクト化による剰余の位相的解析

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2014年03月
     

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    数学的に(特に幾何学的に)重要なコクセター群について研究を行い、コクセター群が幾何的に作用する非正曲率空間あるいは双曲空間の理想境界の位相的性質、具体的にはその境界が位相的にフラクタルの構造をもつ必要十分条件、コクセター群の境界として位相的普遍空間の構成、コクセター群への分解定理の拡張についての研究成果が得られた。また、空間のコンパクト化の剰余の固定点と深い関係がある写像のカラーリングについて調べ、局所有限なグラフ上の同相写像のカラーリング数を決定するための必要かつ十分条件の研究成果が得られた

  • 非コンパクト多様体上の測度保存同相群・微分形式保存微分同相群の位相的研究

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2013年03月
     

     概要を見る

    非コンパクト多様体の(微分)同相群のコンパクト-開・Whitney・一様位相の下での位相的性質を研究した。コンパクト-開C∞位相の下で,体積形式に関するMoserの定理のパラメータ版を非コンパクト多様体の場合へ拡張した。また,WhitneyC∞位相に関して,非コンパクトC∞多様体の微分同相群及びコンパクト台を持つ微分同相の成す部分群の組が,1?の加算box積・small box 積の組と局所同相になることを示した。一様位相に関しても,一様埋め込みの空間や一様同相群に対して変形定理を得た

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講演・口頭発表等 【 表示 / 非表示

  • Homological properties of decomposition spaces

    A. Koyama  [招待有り]

    Geometric Topology and Geometry of Banach Spaces   (Eilat)  University of Ben Grion  

    発表年月: 2017年05月

  • Characterizations of n-dimensional compacta in the products of n curves

    A. Koyama  [招待有り]

    Dubrovnik VIII - Geometric Topology, Geometric Group Theory and Dynamical Systems  

    発表年月: 2015年06月

  • On embeddings into products of curves - An algebraic approach

    A. Koyama  [招待有り]

    28th Summer Conference on Topology and its Applications   (Nipissing University)  Nipissing University  

    発表年月: 2013年07月

  • A role of Whyburn factorization theorem for embeddings of n-dimensional continua into products of n curves

    A. Koyama  [招待有り]

    Geometric Topology Conference, in honor of Evgeny Shchepin on the ocassion of his 60th birthday   (Oaxaca)  UNAM  

    発表年月: 2011年10月

特定課題研究 【 表示 / 非表示

  • 野生的空間の計算トポロジーとコンピュータビジョンへの応用

    2015年   江田勝哉, 佐藤尚輪

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    計算トポロジーを野生的空間へ展開するためにはshape理論(チェック型のホモトピー論)が鍵となるという認識で若手の研究者及び大学院生を中心とするshape理論の勉強会を行った。野生的空間のトポロジー研究と関係の深い幾何学的トポロジーのシンポジウムに参加し、研究状況の把握に努めた。現在、計算トポロジー研究の第一人者である平岡裕章(東北大)の研究会に参加し、多くの知見を得ることができた。また彼が主催した大学院生向けのワークショップへ当研究室の大学院生(修士課程1年生)2名を派遣し今後の研究の方向付けを模索した。 さらに下に記述したように国際研究集会へ参加し研究成果の発表及び研究論文発表した。

  • 野生的空間の計算トポロジー

    2014年   小笠原義仁, 高安亮紀, 江田勝哉

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    計算トポロジーを野生的空間へ展開するためにはshape理論(チェック型のホモトピー論)が鍵となるという認識で若手の研究者及び大学院生を中心とするshape理論の勉強会を立ち上げた。野生的空間のトポロジー研究には位相空間論の深い知識が不可欠なので位相空間論シンポジウムに参加し、研究状況の把握に努めた。第7回早稲田幾何学的トポロジー研究集会(2015年3月25日〜27日)において、勉強会の成果報告と野生的空間へ計算的トポロジーの展開の課題提示を行った。連携研究者の小笠原は野生的空間の典型的な例が現れるカオス力学系の研究成果を日本応用数理学会カオス研究部会(2015年3月;明治大学)で発表した。

  • Bass予想の幾何学的アプローチ

    2013年  

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    Bass予想を議論するために、J. Dydak(University of Tennessee, USA;期間:8月26日~9月19日)及びR. Jimenez(UNAM, Mexico;期間:9月7日~13日)を招聘して共同研究を行った。主な手法は、シェイプ理論における基点の問題に関すると深く関わるJ. Dydakの反例をも位置いて、Nielsen不動点定理の周辺と群のコホモロジー群の問題を否定的に解決することであった。第一報としてのレポートはまとめる進展は見たが、論文に足りる研究を完結するに至らなかった。これまでもJ. Dydakとは様々な共同研究をして生きた。その中で懸案の共同論文を一編であるが、完成することができた。また、この補助で第6回日本-メキシコ トポロジー合同研究集会に参加し、やはり長年の懸案であった閉曲面の2つのグラフの積空間への埋め込みに関する研究成果の報告を行った。主定理は「2つのグラフ$G_1$と$G_2$の積空間$G_1 \times G_2$に埋め込まれた閉曲面$M$について、(1) $M$の1次元ホモロジー群の階数が3以下ならば、それぞれの因子空間$G_1$と$G_2$への射影は単純閉曲線である。(2) $M$の1次元ホモロジー群の階数が4ならば、それぞれの因子空間$G_1$と$G_2$への射影は$\theta$曲線である。結果として$M$は2つのトーラスの連結和に限る。」である。共著者のJ. Krasinkiewicz及びS. Spiez(いずれもポーランド科学アカデミー数学研究所)とは10年以上にわたってこの埋蔵問題を共同で研究してきたが、これとこれまで我々が行ってきた閉曲面の2つのグラフの積空間への埋め込み問題に関してすべての一覧表が完成した。この報告は現在国際誌に投稿中である。今後の課題として、(1) グラフの2次対称積に埋め込まれた閉曲面を1次元ホモロジー群の階数を用いて如何に特徴付けるか(2) 閉曲面とは対極にある野生的空間が2つのメンガー曲線の積空間へ埋め込み可能となる必要条件をコホモロジー次元論を用いて如何に特徴付けるかがある。

  • 次元論から見るフラクタル幾何学

    2011年  

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     次元論に基づく埋蔵問題を研究した。特に「どのようなn次元コンパクト距離空間がn個の1次元コンパクト距離空間の積空間へ埋蔵することが可能か」を研究した。その際、重要なヒントを与えるフラクタル図形が現れる。その1つが2次元トーラスを単体分割し、その2単体ごとに2次元トーラスとの連結和をとる操作を無限回繰り返して得られる「fractal Riemann surface」と呼ばれる野生的2次元連続体である。これは2つの1次元コンパクト距離空間の積空間に埋め込むことができ、「球面を除くすべての無機付け可能な曲面が2つのグラフの積空間へ埋め込むことができる」という大きな結果の動機付けとなった。また一般にn次元hereditarily indecomposable continuaというきわめて病理的複雑さをもつ連続体(具体例の構成はフラクタル図形と呼んでいよいものが多い)もn個の1次元コンパクト距離空間の積空間へ埋蔵することができる。この事実とその証明を元に上記の研究を進める足がかりを得た。ここで、それらの1次元コホモロジー群は無限生成であることに注意しておく。 これらの例から、埋蔵可能なn次元多様体及び一般多様体の幾何的構造をその1次元コホモロジー群のZ加群としての階数から決定することを試みた。また, 一般のn次元コンパクト距離空間Xについても, 判定条件をn次元コホモロジー群の自明性と1次元コホモロジー群の階数の関連から研究した。 次元論をキーワードとして研究を進めている国内の研究者を集め、「第1回早稲田幾何学的トポロジーセミナー」(2012年2月28日(火)~3月2日(金)於:早稲田大学)を開催した。早稲田大学からの参加者は教員・学生7名他大学からの発表者5名その他参加者5名であった。ここでは私の研究以外にも幅広く次元論をとらえた講演が行われ、興味深い議論を展開することができた。これを機会に早稲田大学を中心とした野生的空間を研究する幾何学的トポロジーの拠点が形成することが期待できる。 

 

現在担当している科目 【 表示 / 非表示

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