As we started to investigate coarse geometry from the viewpoint of asymptotic dimension theory, we faced an important problem related to embedding problems. Namely, we investigated the problem what kind of n-dimensional compact metric spaces can be embedded into a product of n one-dimensional compact metric spaces. First, we tried to determine a class of n-dimensional topological and generalized manifolds which can be embedded into a product of n one-dimensional compact metric spaces by using geometric structures and the rank of 1-dimensional cohomology groups. Next, we applied this method to arbitrary n-dimensional compact metric spaces to determine embeddability and succeeded to give a criterion by using the triviality of n-dimensional Cech cohomology groups and the rank of 1-dimensional Cech cohomology groups

We investigate coarse geometric properties of unbounded metric spaces that contains asymptotic dimension, colorings for maps, and topological properties of remainders of Higson and Smirnov compactifications. We prove that all proper CAT(0) spaces that are homeomorphic to the plane have asymptotic 2-dimension. This result is the first one step of the solution of a question "Does every CAT(0) group have finite asymptotic dimension?"

We have studied the following four themes from 2004 to 2006. 1. Jorgensen groups. 2. The Whitehead link group. 3. Jorgensen numbers. 4. Classical Schottky groups.1. Jorgensen groups. A Jorgensen group is a non-elementary two-generator discrete group whose Jorgensen number is one. There are two types-parabolic type and elliptic type-for Jorgensen groups. Here we considered of parabolic type. There are three types for Jorgensen groups of parabolic type (finite type, countably infinite type and uncountably infinite type). We found all Jorgensen groups during 2004, and 2006. The results were talked at the Mathematical Society of Japan, the RIMS, Kyoto university and the International congress of Mathematicians in Joensuu, Finland. Furthermore, they were published from Osaka J. Math. Kodai Math. J. and Comput Methods Funct. Theory.2. The Whitehead link group. We proved that the Jorgensen number of the Whitehead link is two. Therefore the Whitehead link is not a Jorgensen group. This result was published at Boletin de Soc. Mat. Mex.3. Jorgensen numbers. We showed that for every natural number and every real number greater than four there exists a classical Schottky group whose Jorgensen number is the number.4. Classical Schottky groups. We did not obtain any meaningful results.We are planning the following : (1) To study structures of 3-manifolds represented by Jorgensen groups (2) To find all Jorgensen groups of elliptic type (3) To find Jorgensen numbers of (classical) Schottky groups and (4) To study a uniformization of a Riemann surfaces by classical Schottky groups

By SP^n(X) we denote the n-fold symmetric product of a topological space X. We have investigated the problem what kind of n-dimensional compact metric spaces can be embedded into the n-fold symmetric product SP^n(X) of a one-dimensional continuum X. Our result is the following :Theorem 1. The n-dimensional sphere S^n cannot be embedded into the n-fold symmetric product of any one-dimensional continuum X.In order to prove Theorem we have calculated the n-dimensional cohomology group of the bouquet of the 1-sphere S^1. In fact, we showed that the n-fold symmetric product of the bouquet of the 1-sphere S^1 can be embedded into the Cartesian product of the n-fold symmetric products of 1-sphere S^1. Moreover the embedding image is the retract of the product space. Therefore we can calculate cohomology group of the symmetric product as follows :Theorem 2. H^n(SP^n(vS^1)) is isomorphic to the direct sum of the n-dimensional cohomology groups of the n-dimensional tori.Theorem 1 follows from Theorem 1 by Dydak-Koyama(Bull. Polish Academy of Sciences, 2000, 48(1), 51-56).We have another notion of symmetric products. Namely, for a topological space X let F_n(X) be the set of all nonempty subsets of X whose cardinalities are at most n. We often call F_n(X) endowed the Hausdorff metric the n-fold symmetric product of X. In general, F_2n(X) is equal to SP^2(X), but if n > 2, F_n(X) is different from SP^n(X). However, as those product have similarities, we have the same problem what kind of n-dimensional compact metric spaces can be embedded into the n-fold symmetric product F_n(X) of a one-dimensional continuum X. As a folhlore we know Borsuk-Bott Theorem: F_3(S^1) is isomorphic to the 3-dimensional sphere S^3. We also investigate this theorem and give a modern proof and a generalizations

We considered the behavior of (transfinite) dimension functions on finite (and countable) unions of closed subsets in separable metrizable spaces. Let K be a class of spaces, α,β ordinal numbers with β<α and X be a space belonging to K with dX=α, where d denotes a dimension function monotonic for closed subspaces. Put m(X,d,β,α)=min{k:X is a union of k-many closed subspaces X1,…, Xk with d(Xk)≦β}, mK(d,β,α)=min(m(X,d,β,α):X is in K} and MK(d,β,α)=sup{m(X,d,β,α):X is in K}. Every ordinal number α can be represented as α=λ(α)+n(α),where λ(α) is a limit ordinal and n(α) is a natural number. For ordinal numbers β<α we put p(β,α)=(n(α)+1)/(n(β)+1) and q(β,α)=the smallest integer ≧p(β,α). Then we have the following : (1)Let P be the class of separable completely metrizable spaces. If a and B are finite ordinals with β<α, then mP(Cmp, β,α)=q(β,α) and MP(Cmp,β,α)=∞. (2)If α and β are infinite ordinals with β<α, then mP(trInd,β,α)=q(β,α) if λ (β) =λ(α), mP(trInd,β,α) does not exist if λ(β)≠λ(α) and MP(trInd,β,α)=∞ if λ(β)=λ(α), MP(trInd,β,α) does not exist if λ(β)≠(α). We also proved that there is no upper bound of trcmp in metrizable spaces. Concern with the theoretical computer science, we proved that the Lawson topology of the space of formal balls in the Hilbert space coincides with the product topology, but the Lawson topology of the space of formal balls in the space of real-valued functions on the closed interval does not coincide with the product topology. We also have several results about topological dyanamics, cohomological dimension of compact metric spaces, ordinal differential equations, and geometry

We introduced a new cohomological dimension to the class of separable metric spaces by an inductive way as large inductive dimension. By nd_GX we denote our strong cohomological dimension of a separable metric space X with respect to an abelian group G. The following inequalities are clearly hold : "Ind_GX 【less than or equal】 dim_GX 【less than or equal】 Ind_GX + 1," here dim_G means the usual cohomological dimension with resprect to G. Relate to the fundamental properties we showed the following.(1) If a separable metric space X is an ANR, Ind_GX = dim_G X for every abelian group G,(2) If a separable metric space X is finite-dimensional and an abelian group G is countable, Ind_GX = dim_G X,(3) For every infinite-dimensional compact metric space X with dim_Z X = 2, Ind_ZX = 3,(4) For a given prime number p, there exists a compact metric space X such that dim_Z_<(p)> X = 2 < 3 = Ind_Z_<(p)> X,(5) For every separable metric space X and every abelian group G, Ind_G(X × I) = dim_G X + 1,(6) For every separable metric space X, Ind_QX = dim_Q X, here Q is the ring of all rational sumbers

For a Riemannian manifold there are several definitions of points at infinity. Gromov defined points at infinity using only the metric structure of the Riemannian manifold and named it ideal boundary.Although his definition is abstract and universal, the relation between the global Riemannian structure and the ideal boundary is not clear. And it is hard to determine the ideal boundary for each Riemannian manifold. In fact, in the global study of Hadamard manifolds, he did not essentially make use of the idea of the ideal boundary.In this research, in order to study the geometry of the ideal boundary, we tried to determine the ideal boundary for some Riemannian manifolds.The quadratic surfaces in Euclidean space are Liouville manifolds. Making use of their classical coordinates, we studied the differential equation of their geodesies and see that the points at infinity of elliptic paraboloids are determined by the limit of the distance between two singular sets as Liouville manifolds.For the quadratic surfaces in hyperbolic space, we can use the analogous method in low dimensions. Hyperboloids of two sheets has finite Maeda constant and the same geodesic structure with elliptic paraboloids in Euclidean spaces and their points at infinity are also determined by the limit of the distance between two singular sets as Liouville manifolds

Hyperfunctions in R^n are intuitively considered as sums of boundary values of holomorphic functions defined in infinitesimal wedges in C^n. Microlocal analysis corresponds the direction of analyticity of hyperfunctions to the direction of exponential decay of their Fourier transforms. Orthonormal multiwavelets, which are a generalization of orthonormal single wavelets, generate a multiresolution analysis by means of several scaling functions. Filtering is one of numerical methods and play central roles in digital image processing. We propose a multiwavelet system adapted to microlocal filtering. The main results are the following.A rough estimate of the microlocal content of functions or signals is obtained from their multiwavelet expansions.A fast algorithm for multiwavelet microlocal filtering is presented.Several numerical examples in digital image processing are considered

Comparing various compactifications of Riernannian manifolds, we mainly studied the most natural compactification due to Gromov by means of the distance function induced from the Riemannian metric. He called the set of points added in his compactification an ideal boundary. We determined the structure of the ideal boundary of the following spaces.1. The compactification of an elliptic paraboloid is a 2-sphere. Its ideal boundary is an interval whose ends are Busemann functions.2. The compactification of a cone consists of n-flat pieces in 2-plane bounded by two parabolas is an n-gon whose edges are Busemann functions.3. The compactification of the double of a domain bounded by a paraboloid of revolution is a 3-sphere. Its ideal boundary is an interval whose ends are Busemannfunctions.Results above suggested that Busemann functions play key role in the ideal boundary. Then we proved that Busernann functions determine the size of the ideal boundary.The cut locus of a point at infinity should be defined by means of Busemann functions determined by the rays which are gradient flows of the point

距離空間の重要な特微付けの1つとしては-locally finite open baseを有することである。この観点から任意の開被覆がlocally finiteな開細分を持つ空間は大変重要な位置を占めている(この空間はparacompact空間と呼ばれている)。この空間族は2つの積に対しても閉じていない。しかしながら各因子空間がperfect,paracompactな空間であれば、それらの可算積はparacompact spaceであることが判明した。この事実はparacompactを一般化した空間族にたいしても成立することも解った。
またparacompact spaceのもう1つの重要な拡張概念として、単調開被覆の単調縮小性を持つ空間(B-propertyを有する空間と言う)はここ10年でかなり明確に研究されてきたが、「どの様な付加性質を有するときに既存の空間族に一致するか」という問題に関してlocally Lindelofが大きな役割をすることも解明された。
他方、距離空間Xのフリー アーベリアン位相群A(X)の構造は殆ど解っていない。その構造を調べるためには各自然数nにたいしてAn(X)を研究することが十分条件である場合が多い(たとへば第1可算公理を満たす空間や、k-space)ことが証明された。さらに驚くべき事は各An(X)(n=1,2,3,...)を調べるのにA3(X)だけを調べればよいことも判明した。
A(X)のtightnessに関して公表された未解決な問題があるが、或条件下で肯定的に解決された。即ちt(A(X))=t(w(X))ということである。

科研費は主に研究分担者による他大学との資料収集及び共同研究にあて、それらをもとに本学においては、ゼミナ-ル等討論,情報交換に多くの時間を費やした。一つの目的として確率空間の位相的性質を調べ,それを自由位相群の構造の解明に応用することを試みた。これは分担者横山良三,山田耕三を中心に議論を進めた。この結果として山田耕三は、「距離空間Xの自由可換位相群A(X)のすべての長さn以下の語から成る部分空間An(X)がkー空間である必要十分条件はA_4(X)がkー空間であることである。」
を証明した。これを中心にkー空間の安定性について論文をまとめ発表する予定である(裏面参照)。
また、代表者及び分担者菅原邦雄はPL多様体の極小近似の研究を進めAlexandropf widthのコホモロジ-次元的接近を試みた。これについて係数群が無限巡回群IIまたは位数Pの巡回群IIpの場合は一定の成果を得た。すなわち、
「コンパクト距離空間XのG係数コホモロジ-次元,ただしGはIIまたはIIp,がn以下である必要十分条件はG係数Alexandropf width Gーa^<n+1>_n(X)が零であることである。」
が得られた。この結果は今春の日本数学会年会トポロジ-分科会で発表する予定である。
具体的な実績は上述のようなものであるが、科研費を利用して共同研究が進み、今後の問題,課題が明らかになってきた。これからこの芽が大きくなればより大きな実績と成り得るだろう。

一般の(強)定常過程にはエルゴード定理(大数の法則)が成立するが,その収束のスピードは独立確率変数列とは異なり,任意のスピードに対応する定常過程が存在することが知られている。従って重複対数の法則や中心極限定理は一般に成立しない。一方,定常マルチンゲール差列によって生成される定常線形過程は自己回帰,移動平均等統計学の線形システム,とりわけ時系列解析の理論に重要な役割をはたしていると同時に定常過程においてregularと呼ばれる重要なクラスの構成要素でもある。この定常線形過程にはエントロピーなど力学系の理論を適用し,シフトに対して不変な測度のエルゴード分解を通じて,必ずしもエルゴード的でない定常過程に対しても,適当な条件の下で,重複対数の法則や中心極限定理が成立することが研究代表者らによって証明されていたが,更に広い範囲の定常線形過程を含むクラスにも同じ結果が成り立つことが証明された。また,一次元ランダム・ウオークの滞在時間に対して知られている逆正弦法則をカイ2乗検定と組み合わせた検定方法を用いて,代表的な擬似乱数生成法である,線形合同法と最大周期列について統計的検定を行い,ランダム・ウオークのシミュレーションが擬似乱数の統計的検定に有効であることを示した

弧長空間にはRiemann多様体と同様にrayが定義される。弧長空間の1点から出るすべての測地線がrayとして延長できるときにその点を極と言う。Riemann多様体では曲率が下に有界な場合、測地三角形の辺の長さと角の間の関係としてToponogovの比較定理が成立する。弧長空間では逆に、その定理の結論を曲率が下に有界な事の定義に採用し、その性質を満たすものをAlexandrov空間という。本研究で得られた成果は以下のとおりである。1.非負曲率Riemann多様体の無限遠の漸近的な大きさと極の間の距離の関係式は非負曲率Alexandrov空間に対しても成立する。2.曲率がκ(<0)以上のAlexandrov空間に対して、無限遠の漸近的な大きさμ_を、半径tの距離球の大きさの上極限として一般化した。この時、極の間の距離に関して1と類似の評価式が得られた。距離空間の収束に関して、具体例でこれらの値を解析した結果、この評価式は漸近的な意味で最良の評価である事も判明した。3.具体的なAlexandrov局面の測地線と無限遠の分析から、rayに対応するBusemann関数をもとに無限遠点を定義するのが自然であるとの結論を得た。これは、Visibility多様体の場合には、EberleinとO'Neilの定義に一致するが、μ_が有限の時に、彼らより精密に無限遠をとらえている事になっている。この定義から見ると無限遠点の集合と極の集合は双対関係にあるのではないかと予想されるが、これは今後の課題として残された問題である

本研究の主目的であった局所有限なC_3‐型のインシデンス幾何に関するTits予想の解決に対しては、flag‐ransitiveな群の作用を仮定した場合の完全な結果が吉荒により得られた。すなわちこのような幾何は建物であるかA_7‐型幾何と呼ばれる特別な幾何のいずれかとなる。群の作用を仮定しないときに、自由な構成があるかどうかは以後の課題である。更にAssociation schemeの表現論をフルに用いてこうした幾何中に現れるgeneralized quadrangleのパラメーターについてより強い情報を得る試みが伊藤によりなされた。またこうした散在型の幾何とhomotopy colimitの関連が対応する群のコホモロジー計算に有効である可能性のあることが、吉荒・伊藤・小山らにより確認されつつあり、ここでは通常acyclicな部分構造の解析が鍵となる。小山はacyclicなresolutionと関連してある位相空間を特徴づけた。更にインシデンス幾何が与える有限体上のベクトル空間中の様々な構造の検定法への応用については高島・横山により詳しく調べられ、特にGF(2)上のある種の原始多項式の性質に帰着される興味深い予想が高島により得られた。また横山は中心極限定理の面白い応用があることを示した。片山・田沼・木村は上の幾何構造及びそこに作用する群構造を解析的に一般化した見地から様々のアプローチを試みた。例えば片山はfactorという関数解析的な部分群の概念を離散的な群の作用と関連させて調べている

Ricci曲率が下に有界なRiemann多様体に関するBishop-Gromov不等式を、Busemann関数の表す無限遠点に向かうrayのなす錐領域の測度評価に再構成し、その結果を、Ricci曲率が漸近的に非負な多様体に適用して、Busemann関数の各レベルの間の体積の評価を得た。その際、評価の下限を与える微分方程式の解を厳密に決定できたことが鍵となった。これらの結果の応用として、H.Wuが解析的な手段で得た体積増加率の別証明を得た。また、endの個数の有限性について、断面曲率が漸近的に非負な場合と同様に、Ricci曲率が漸近的に非負な場合にも同様な結果が成立することが示唆された。上の研究において理想境界の位相構造の分析が必要であった。この方面では、Marenichが、ある種のAlexandrov空間に対してその構造を決定した以外には具体例がなく不明な点が多かった。本研究では、楕円放物面およびMarenichの例を複雑化した場合に、その理想境界を具体的に決定した。Busemann関数の間の距離が理想境界の大きさを決定しているのではないかという予想に対して、これらの場合には、それが肯定的であることが示された。派生的な結果として、可換群について非輪状なresolutionを許容するコンパクト距離空間の内的特徴づけとして導入したapproximation dimensionの概念が一般の距離空間に対して新しい次元関数となることが導かれた。また、ある種の非等方弾性方程式の基本解の公式を求めた

Topology is the mathematics to study the position and the shape. The development of topology in the last decade was promoted by the interaction between the branches of topology as well as that between differential geometry, algebra, analysis, mathematical physics and topology. In this research, we wish to promote the development much more. We did the researches in the following fields : classifying theory of singularities of mappings and algebraic varieties, various group actions on manifolds and simplicial complexes, the action of the mapping class groups of the surfaces on their Teichmuller spaces, the dynamical study of complex analytic maps, the dynamical study of vector fields on manifolds and foliations, the classifying theory of hyperbolic 3 dimensional manifolds and hyperbolic spaces with singularities, the differentiable structures and symplectic structures on 4 dimensional manifolds, the conformal field theory and invariants of dimensional manifolds, the topology of the moduli spaces of connections of various principal bundles, the Poisson manifolds and contact manifolds, equivariant generalized (co)homology theories and homotopy theories, invariants of knots and links and their classification, general topology theory for wild spaces. These researches were done successfully with their own results. In order to promote the interaction between these researches we held "Topology Symposium" each year as well as many conferences on the above research fields. These are done as Topology Projects in the collaboration with researchers in topology in Japan. In particular, the series of the meetings "Encounter with Mathematics" were held in order to promote the interaction with researchers in other fields as well as graduate students. By these research activities, the direction of new development for the next project became clear

今回の科研費事業の目的の1つであった「かたちの数理科学」フォーラム「次元とは何か-数理が紡ぐサイエンス」を数学、物理学の立場から次元論を考える催しとして、平成21年1月15日、23日に静岡大学理学部C棟309教室で行い、両日共に60名を超える参加者があり、盛況あった。また本科研費の採択をもとに「ひらめき☆ときめきサイエンスーようこそ大学の研究室」(「数学インサイドー数学はどのように使われてきたか」平成20年8月2日)を実施して新領域科目「かたちの数理科学」の有り様を公開して、問うことができた。ポーランド科学アカデミー数学研究所からStanislaw Spiez教授を招き、今日の東欧の数学教育について学と共に、現代の次元論に関係する共同論文の作成を行った。また昨年に続き、メキシコ自治総合大学(ONAM)からRolando Jimenez教授が来日し、「メキシコ及び旧ソビエトにおける大学院教育に関するセミナー」を行っ