When we analyze data using time series models, there are many steps such as model selection, estimation of parameters, and diagnostic checking. Generally, since these steps are separately implemented, time series data analysis is complicated. Also, interpretation is difficult when the results of these steps are different. Therefore, we propose empirical likelihood methods that can compute these simultaneously, and elucidated that it has excellent properties especially in diagnostic checking. Simulation studies also showed that the proposed method performed equally or better than the usual method in many cases

Mathematical models that describe random phenomena depending on past, present and future are called stochastic processes. In this research we established statistically optimal estimation theory for general stochastic processes, and applied the theoretical results to various fields, e.g., finance, economics, medical sciences, engineering and environment etc., yielding a lot of contributions. We performed the research with many foreign researchers as well as domestic ones, and developed young researchers.

First, we considered the second order power properties of empirical likelihood for stationary processes. Next, we investigated an optimal property of the maximum likelihood estimator of Gaussian locally stationary processes by the second order approximation. To elucidate the effect on zero-coupon bond price valuation when short rate model has non-Gaussian dependent innovations, we derived the approximate bond price formula using higher order asymptotic theory. Moreover we investigated asymptotic distribution of the change point test statistic based on the frequency domain empirical likelihood

セミパラメトリックな高次推定では、時系列回帰モデルにおいて回帰係数の推定に残差スペクトルの非母数的推定量に基づいたHannan推定量の高次のasymptoticsを明らかにした。結果として通常の高次セミパラメトリック推定では、関与の推定量の分布の高次項は非母数推定量のカーネル関数に依存するが、Hannan推定量は、2次までの近似項がカーネル関数に依存しないという結論を得た。これは、従来のこの分野の結果と本質的に異なり、Hannan推定量の特殊性を示している。
非正則モデルの統計解析においては、定常過程のスペクトル密度関数が不連続点を持つ場合のスペクトルのダイナミクス母数と不連続周波点の推測を行った。この結果、不連続周波点の推定量のasymptoticsは従来のそれと異なり、また漸近有効性の面でも、最尤推定量が一般に漸近有効とはならないで、Bayes推定量が漸近有効となることが判明し、従来の推定論と大きく異なることが判明した。
正規過程の共分散関数の推定において、従来は標本共分散を用いるが、標本共分散関数で縮小、拡大項をつけた推定量を提案し、このasymptoticsを明らかにした。従来の標本共分散と新しい推定量は、3次の漸近理論の意味で、差があり、この差を2乗誤差で評価した。自己回帰モデルなどでは、単位根に近いほど、新しい推定量が従来のを改善していることが判明した。
その他、局所定常時系列の判別解析で、理論的結果を得、その応用でも種々の結果を得た。

私は本年度Whittle measureによる高次漸近理論の研究を行い、この研究成果を学会等で発表しました。時系列解析では、従属性をもつデータを扱うので、尤度が大変複雑になります。それ故、推定や検定において、Whittle likelihoodがよく用いられます。これは、対数正規尤度の近似となっており、真の尤度より計算が容易であるという利点があります。また、近年、正規定常過程に対して、Whittle measureのContiguityが示されました。本年度の研究では、正規定常過程に対して、Whittle measureにもとづく検定と正確なmeasureにもとづく検定の高次の性質を議論しました。まず、定常過程の正規性を仮定し、Whittle likelihoodより構成される検定統計量のクラスを考えます。次に、この検定統計量に対して、2次のEdgeworth展開を用いて、Whittle measureと真のmeasureの下でのLeCam's third lemma型の高次の漸布の変換公式を与えています。これにより、検定統計量のWhittle measureの下での検出力から真のmeasureの下での検出力が導き出せます。現在、著書では、時系列の最適推測に基づいた金融工学を発展させつつあります。また、時系列モデルに対するベイズ手法によるアプローチを考え、Whittle likelihoodにもとづく推定量の事後確率の漸近的な性質を研究しています。この研究では、長期記憶過程を含む定常過程において、Whittle measureを用いたBernstein-von Mises theoremを示すことを目標としています。さらに、Nonergodicなモデルに対する上記の定理を得ることも目標としています。

私は、本年度の特定課題研究助成費により、非定常時系列に対する高次漸近理論に関して研究し、この研究成果の学会等での発表を行った。数理統計学において、推定・検定問題は非常に古典的なテーマである。独立標本に対する議論はもとより、様々な時系列モデルに対して最適推測、最適検定、最適判別理論が構築されている。これらの最適性の議論は漸近理論であり、一般的に、最適な推定量や検定統計量は無数に構成できる。それゆえ、１次最適なものの中でより良いものを見つけるために、また、近似の精度を上げるために、高次漸近理論が発展してきた。母数の推定問題に関しては、独立標本、定常時系列モデルでは、漸近中央値不偏推定量になるように修正した最尤推定量が2次最適になることが知られている。しかしながら、実証分析の立場から、現実の多くのデータでは、定常性の仮定は制限的であると思われるので、非定常過程の研究は有用である。私は、局所定常過程という重要な非定常過程に対して、母数の高次の最適推測を構築するために最尤推定量の2次の性質を明らかにした。まず、最尤推定量の分布関数に対する2次までのエッジワース展開を与えた。これにより、一般的に、最尤推定量は漸近中央値不偏推定量ではないことを示し、漸近中央値不偏推定量になるようにバイアス修正した最尤推定量が2次最適となることを明らかにした。さらに、伝達関数が高次の項まで十分に近似できる場合において、初項の時変スペクトルのみに基づく最尤推定量が真の時変スペクトルに基づく最尤推定量と同等になるという高次の頑健性が成り立つ条件を導いた。また、局所定常過程では、スペクトルの構造が時間と共に滑らかに変化するので、最尤推定量の高次の性質が時変量に依存しない十分条件を明らかにし、非定常性の影響を議論した。上記は、母数型推定量に対しての最適性の議論であるが、現在、非母数型推定量の最適性に関しての研究を行っている。