2024/02/28 更新

写真a

クトウ コウスケ
久藤 衡介
所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授
学位
修士(理学) ( 早稲田大学 )
博士(理学) ( 早稲田大学 )
ホームページ

経歴

  • 2019年04月
    -
    継続中

    早稲田大学   理工学術院   教授

  • 2016年04月
    -
    2019年03月

    電気通信大学   情報理工学域   教授

  • 2010年10月
    -
    2016年03月

    電気通信大学   情報理工学部   准教授

  • 2007年04月
    -
    2010年09月

    福岡工業大学   工学部   准教授

  • 2005年04月
    -
    2007年03月

    福岡工業大学   工学部   講師

  • 2004年04月
    -
    2005年03月

    早稲田大学   理工学部   助手

  • 2000年04月
    -
    2003年03月

    日本学術振興会   特別研究員(DC1)

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学歴

  • 2000年04月
    -
    2003年07月

    早稲田大学   理工学研究科   数理科学専攻  

所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

  •  
     
     

    日本応用数理学会

研究分野

  • 基礎解析学 / 数理解析学

研究キーワード

  • degree

  • singular limit

  • spiky solution

  • transition layer

  • bifurcation

  • reaction diffusion equations

  • nonlinear diffusion

  • 写像度

  • 特異摂動

  • スパイク解

  • 遷移層

  • 分岐

  • 反応拡散方程式

  • 非線形拡散

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論文

  • Coexistence-segregation dichotomy in the full cross-diffusion limit of the stationary SKT model

    Jumpei Inoue, Kousuke Kuto, Homare Sato

    Journal of Differential Equations   373   48 - 107  2023年11月  [査読有り]

    DOI

    Scopus

  • Global structure of steady-states to the full cross-diffusion limit in the Shigesada-Kawasaki-Teramoto model

    Kousuke Kuto

    Journal of Differential Equations   333   103 - 143  2022年10月  [査読有り]

    DOI

    Scopus

    3
    被引用数
    (Scopus)
  • Bifurcation structure of coexistence states for a prey–predator model with large population flux by attractive transition

    Kousuke Kuto, Kazuhiro Oeda

    Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics   152 ( 4 ) 965 - 988  2022年08月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with a prey–predator model with population flux by attractive transition. Our previous paper (Oeda and Kuto, 2018, Nonlinear Anal. RWA, 44, 589–615) obtained a bifurcation branch (connected set) of coexistence steady states which connects two semitrivial solutions. In Oeda and Kuto (2018, Nonlinear Anal. RWA, 44, 589–615), we also showed that any positive steady-state approaches a positive solution of either of two limiting systems, and moreover, one of the limiting systems is an equal diffusive competition model. This paper obtains the bifurcation structure of positive solutions to the other limiting system. Moreover, this paper implies that the global bifurcation branch of coexistence states consists of two parts, one of which is a simple curve running in a tubular domain near the set of positive solutions to the equal diffusive competition model, the other of which is a connected set characterized by positive solutions to the other limiting system.

    DOI

    Scopus

  • Full cross-diffusion limit in the stationary Shigesada-Kawasaki-Teramoto model

    Kousuke Kuto

    Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire   38 ( 6 ) 1943 - 1959  2021年12月  [査読有り]

    DOI

    Scopus

    6
    被引用数
    (Scopus)
  • On the unboundedness of the ratio of species and resources for the diffusive logistic equation

    Jumpei Inoue, Kousuke Kuto

    Discrete & Continuous Dynamical Systems - B   26 ( 5 ) 2441 - 2450  2021年05月  [査読有り]

    DOI

    Scopus

    13
    被引用数
    (Scopus)
  • Impact of Regional Difference in Recovery Rate on the Total Population of Infected for a Diffusive SIS Model

    Jumpei Inoue, Kousuke Kuto

    Mathematics   9 ( 8 ) 888 - 888  2021年04月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with an SIS epidemic reaction-diffusion model. The purpose of this paper is to derive some effects of the spatial heterogeneity of the recovery rate on the total population of infected and the reproduction number. The proof is based on an application of our previous result on the unboundedness of the ratio of the species to the resource for a diffusive logistic equation. Our pure mathematical result can be epidemically interpreted as that a regional difference in the recovery rate can make the infected population grow in the case when the reproduction number is slightly larger than one.

    DOI

    Scopus

  • Representation formulas of solutions and bifurcation sheets to a nonlocal Allen-Cahn equation

    Tatsuki Mori, Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa, Shoji Yotsutani

    Discrete & Continuous Dynamical Systems - A   40 ( 8 ) 4907 - 4925  2020年  [査読有り]

    DOI

    Scopus

    2
    被引用数
    (Scopus)
  • Positive steady states for a prey-predator model with population flux by attractive transition

    Kazuhiro Oeda, Kousuke Kuto

    Nonlinear Analysis: Real World Applications   44   589 - 615  2018年07月  [査読有り]

  • Global solution branches for a nonlocal Allen-Cahn equation

    Kousuke Kuto, Tatsuki Mori, Tohru Tsujikawa, Shoji Yotsutani

    Journal of Differential Equations   264 ( 9 ) 5928 - 5949  2018年02月  [査読有り]

  • Bifurcation structure of stationary solutions for a chemotaxis system with bistable growth

    Hirofumi Izuhara, Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics   Online First Articles   1 - 35  2018年01月  [査読有り]

  • Concentration profile of endemic equilibrium of a reaction-diffusion-advection SIS epidemic model

    Kousuke Kuto, Hiroshi Matsuzawa, Rui Peng

    Calculus of Variations and Partial Differential Equations   56 ( Article No. 112 ) 28 - pages  2017年07月  [査読有り]

  • Secondary bifurcation for a nonlocal Allen-Cahn equation

    Kousuke Kuto, Tatsuki Mori, Tohru Tsujikawa, Shoji Yotsutani

    Journal of Differential Equations   263 ( 5 ) 2687 - 2714  2017年04月  [査読有り]

  • EXACT MULTIPLICITY OF STATIONARY LIMITING PROBLEMS OF A CELL POLARIZATION MODEL

    Tatsuki Mori, Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa, Shoji Yotsutani

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS   36 ( 10 ) 5627 - 5655  2016年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We show existence, nonexistence, and exact multiplicity for stationary limiting problems of a cell polarization model proposed by Y. Mori, A. Jilkine and L. Edelstein-Keshet. It is a nonlinear boundary value problem with total mass constraint. We obtain exact multiplicity results by investigating a global bifurcation sheet which we constructed by using complete elliptic integrals in a previous paper.

    DOI

    Scopus

    7
    被引用数
    (Scopus)
  • Global bifurcation sheet and diagrams of wave-pinning in a reaction-diffusion model for cell polarization

    Tatsuki Mori, Kousuke Kuto, Masaharu Nagayama, Tohru Tsujikawa, Shoji Yotsutani

    Discrete and Continuous Dynamical Systems   Special Issue   861 - 877  2015年11月  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • STATIONARY SOLUTIONS FOR SOME SHADOW SYSTEM OF THE KELLER-SEGEL MODEL WITH LOGISTIC GROWTH

    Tohru Tsujikawa, Kousuke Kuto, Yasuhito Miyamoto, Hirofumi Izuhara

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES S   8 ( 5 ) 1023 - 1034  2015年10月  [査読有り]

     概要を見る

    From a viewpoint of the pattern formation, the Keller-Segel system with the growth term is studied. This model exhibited various static and dynamic patterns caused by the combination of three effects, chemotaxis, diffusion and growth. In a special case when chemotaxis effect is very strong, some numerical experiment in [1],[22] showed static and chaotic patterns. In this paper we consider the logistic source for the growth and a shadow system in the limiting case that a diffusion coefficient and chemotactic intensity grow to infinity. We obtain the global structure of stationary solutions of the shadow system in the one-dimensional case. Our proof is based on the bifurcation, singular perturbation and a level set analysis. Moreover, we show some numerical results on the global bifurcation branch of solutions by using AUTO package.

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    3
    被引用数
    (Scopus)
  • Limiting structure of steady-states to the Lotka-Volterra competition model with large diffusion and advection

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   258 ( 5 ) 1801 - 1858  2015年03月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with the Neumann problem of a stationary Lotka-Volterra competition model with diffusion and advection. First we obtain some sufficient conditions of the existence of nonconstant solutions by the Leray-Schauder degree theory. Next we derive a limiting system as diffusion and advection of one of the species tend to infinity. The limiting system can be reduced to a semilinear elliptic equation with nonlocal constraint. In the simplified 1D case, the global bifurcation structure of nonconstant solutions of the limiting system can be classified depending on the coefficients. For example, this structure involves a global bifurcation curve which connects two different singularly perturbed states (boundary layer solutions and internal layer solutions). Our proof employs a levelset analysis for the associate integral mapping. (C) 2014 Elsevier Inc. All rights reserved.

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    25
    被引用数
    (Scopus)
  • LIMITING STRUCTURE OF SHRINKING SOLUTIONS TO THE STATIONARY SHIGESADA-KAWASAKI-TERAMOTO MODEL WITH LARGE CROSS-DIFFUSION

    Kousuke Kuto

    SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS   47 ( 5 ) 3993 - 4024  2015年  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with the limiting behavior of coexistence steady states of the Lotka-Volterra competition model as a cross-diffusion term tends to infinity. Under the Neumann boundary condition, Lou and Ni [J. Differential Equations, 154 (1999), pp. 157-190] derived a couple of limiting systems, which characterize the limiting behavior of coexistence steady states. One of two limiting systems characterizing the segregation of the competing species has been studied by Lou, Ni, and Yotsutani [Discrete Contin. Dyn. Syst., 10 (2004), pp. 435-458], and their work revealed the detailed bifurcation structure for the one-dimensional (1D) case. This paper focuses on the other limiting system characterizing the shrinkage of the species which is not endowed with the cross-diffusion effect. The bifurcation structure of positive solutions to the limiting system is stated. In particular, for the 1D case, we obtain a global connected set of solutions that bifurcates from a point on the line of constant solutions and blows up where the birth rate of the species is equal to the least positive eigenvalue of -Delta subject to the homogeneous Neumann boundary condition.

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    22
    被引用数
    (Scopus)
  • Bifurcation structure of steady-states for bistable equations with nonlocal constraint

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    Discrete and Continuous Dynamical Systems   Suppl. Vol.   455 - 464  2013年11月  [査読有り]

  • Bifurcation structure of stationary layers for generalized Allen-Cahn equations with nonlocal constraint

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1838   102 - 115  2013年06月

    CiNii

  • Stationary patterns for an adsorbate-induced phase transition model: II. Shadow system

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    Nonlinearity   26 ( 5 ) 1313 - 1343  2013年05月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with stationary solutions of a reaction-diffusion- advection system arising in surface chemistry. Hildebrand et al (2003 New J. Phys. 5 61) have constructed stationary stripe (or spot) solutions of the system in the singular perturbation case and shown a numerical result that the set of stripe (or spot) solutions forms a saddle-node bifurcation curve with respect to a diffusion coefficient. In this paper, we introduce a shadow system in the limiting case that another diffusion and an advection coefficient tend to infinity. Furthermore we obtain the bifurcation structure of stationary solutions of the shadow systems in the one-dimensional case. This structure involves saddle-node bifurcation curves which support the above numerical result in Hildebrand et al (2003 New J. Phys. 5 61, figure 9). Our proof is based on the combination of the bifurcation, the singular perturbation and a level set analysis. © 2013 IOP Publishing Ltd &amp
    London Mathematical Society.

    DOI

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    6
    被引用数
    (Scopus)
  • ON LIMIT SYSTEMS FOR SOME POPULATION MODELS WITH CROSS-DIFFUSION

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B   17 ( 8 ) 2745 - 2769  2012年11月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper deals with the following reaction-diffusion system
    (SP) {Delta[(1 + alpha nu)u] + u(a - u - cv) = 0
    Delta[(1 + beta u)v] + v(b - du - v) = 0
    in a bounded domain of R-N with homogeneous Neumann boundary conditions or Dirichlet boundary conditions. Our main purpose is to understand the structure of positive solutions of (SP) and know the effects of cross-diffusion coefficients alpha and beta. For this purpose, our strategy is to study limiting behavior of positive solutions when alpha or beta goes to infinity and derive the corresponding limit systems. We will obtain a priori estimates of u and v independently of beta (resp. alpha) with small alpha >= 0 (resp. beta >=> 0) in case 1 <= N <= 3 under Neumann boundary conditions, while we will obtain a priori estimates of u and v independently of alpha and beta in case 1 <= N <= 5 under Dirichlet boundary conditions. These a priori estimates allow us to investigate limiting behavior of positive solutions. When alpha = 0 and beta -> infinity, we can derive two limit systems for Neumann conditions and one limit system for Dirichlet conditions. We will also give some results on the structure of positive solutions for such limit systems.

    DOI

    Scopus

    18
    被引用数
    (Scopus)
  • Spatial pattern formation in a chemotaxis-diffusion-growth model

    Kousuke Kuto, Koichi Osaki, Tatsunari Sakurai, Tohru Tsujikawa

    PHYSICA D-NONLINEAR PHENOMENA   241 ( 19 ) 1629 - 1639  2012年10月  [査読有り]

     概要を見る

    Minima and one of the authors (1996) proposed a mathematical model for the pattern dynamics of aggregating regions of biological individuals possessing the property of chemotaxis. For this model, Tello and Winkler (2007) [22] obtained infinitely many local branches of nonconstant stationary solutions bifurcating from a positive constant solution, while Kurata et al. (2008) numerically showed several spatio-temporal patterns in a rectangle. Motivated by their work, we consider some qualitative behaviors of stationary solutions from global and local (bifurcation) viewpoints in the present paper. First we study the asymptotic behavior of stationary solutions as the chemotactic intensity grows to infinity. Next we construct local bifurcation branches of stripe and hexagonal stationary solutions in the special case when the habitat domain is a rectangle. For this case, the directions of the branches near the bifurcation points are also obtained. Finally, we exhibit several numerical results for the stationary and oscillating patterns. (C) 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

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    68
    被引用数
    (Scopus)
  • Universal bound for stationary patterns of an adsorbate-induced phase transition model

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    Journal of Math-for-Industry   3 ( C-9 ) 69 - 72  2011年12月  [査読有り]

     概要を見る

    In the catalytic oxidation of carbon monoxide molecules (CO) on platinum surface (Pt), various pattern formations of densities of CO molecules have attracted many chemists and mathematicians since the great contributions by Ertl (e.g., [15]). Hildebrand [2] has proposed a reaction-diffusion-advection system to give mathematical understand for such pattern formations from macroscopic point of view. In a previous paper [6], we obtain sufficient conditions of the existence (or nonexistence) of stationary patterns of the system. However, the L^∞-boundedness for all stationary patterns have not yet been obtained. In this paper, we show that all stationary patterns of the system possess a universal L^∞ bound. This result yields a validity of the system from the modelling point of view.

    CiNii

  • STATIONARY PATTERNS FOR AN ADSORBATE-INDUCED PHASE TRANSITION MODEL I: EXISTENCE

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B   14 ( 3 ) 1105 - 1117  2010年10月  [査読有り]

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    We are concerned with a reaction-diffusion-advection system proposed by Hildebrand [4]. This system is a phase transition model arising in surface chemistry. For this model, several stationary patterns have been shown by the numerical simulations (e. g., [15]). In the present paper, we obtain sufficient conditions for the existence (or nonexistence) of nonconstant stationary solutions. Our proof is based on the Leray-Schauder degree theory. Some a priori estimates for solutions play an important role in the proof.

    DOI

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    5
    被引用数
    (Scopus)
  • Positive solutions for Lotka-Volterra competition systems with large cross-diffusion

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    APPLICABLE ANALYSIS   89 ( 7 ) 1037 - 1066  2010年  [査読有り]

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    This paper discusses the stationary problem for the Lotka-Volterra competition systems with cross-diffusion under homogeneous Dirichlet boundary conditions. Although some sufficient conditions for the existence of positive solutions are known, the information for their structure is far from complete. In order to get better understanding of the competition system with cross-diffusion, we study the effects of large cross-diffusion on the structure of positive solutions and focus on the limiting behaviour of positive solutions by letting one of the cross-diffusion coefficients to infinity. Especially, it will be shown that positive solutions of the competition system converge to a positive solution of a suitable limiting system. We will also derive some satisfactory results on positive solutions for this limiting system. These results give us important information on the structure of positive solutions for the competition system when one of the cross-diffusion coefficients is sufficiently large.

    DOI

    Scopus

    38
    被引用数
    (Scopus)
  • Coexistence problem for a prey-predator model with density-dependent diffusion

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   71 ( 12 ) E2223 - E2232  2009年12月  [査読有り]

     概要を見る

    We study a prey-predator model with nonlinear diffusions. In a case when the spatial dimension is less than 5, a universal bound for coexistence steady-states is found. By using the bound and the bifurcation theory, we obtain the bounded continuum of coexistence steady-states. (C) 2009 Elsevier Ltd. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

    21
    被引用数
    (Scopus)
  • LIMITING CHARACTERIZATION OF STATIONARY SOLUTIONS FOR A PREY-PREDATOR MODEL WITH NONLINEAR DIFFUSION OF FRACTIONAL TYPE

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS   22 ( 7-8 ) 725 - 752  2009年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We consider the following quasilinear elliptic system:
    {Delta u + u(a - u - cv) = 0 in Omega, Delta[(1 + gamma/1+beta u)v] + v(b + du - v) = 0 in Omega, u = v = 0 on partial derivative Omega,
    where Omega is a bounded domain in R(N). This system is a stationary problem of a prey-predator model with non-linear diffusion Delta(v/1 + beta u) and u (respectively v) denotes the population density of the prey (respectively the predator). Kuto [15] has studied this system for large beta under the restriction b > (1 + gamma)lambda(1), where lambda(1) is the least eigenvalue of -Delta with homogeneous Dirichlet boundary condition. The present paper studies two shadow systems and gives the complete limiting characterization of positive solutions as beta -> infinity without any restriction on b.

  • STABILITY AND HOPF BIFURCATION OF COEXISTENCE STEADY-STATES TO AN SKT MODEL IN SPATIALLY HETEROGENEOUS ENVIRONMENT

    Kousuke Kuto

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS   24 ( 2 ) 489 - 509  2009年06月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with the following Lotka-Volterra cross-diffusion system
    ut = Delta[(1 + k rho(x)v)u] + u(a - u - c(x)v) in Omega x (0, infinity),
    tau v(t) = Delta v + v(b + d(x)u - v) in Omega x (0, infinity)
    in a bounded domain Omega subset of R(N) with Neumann boundary conditions partial derivative(nu)v = 0 on partial derivative Omega. In the previous paper [18], the author has proved that the set of positive stationary solutions forms a fishhook shaped branch Gamma under a segregation of rho(x) and d(x). In the present paper, we give some criteria on the stability of solutions on Gamma. We prove that the stability of solutions changes only at every turning point of Gamma if tau is large enough. In a different case that c(x) > 0 is large enough, we find a parameter range such that multiple Hopf bifurcation points appear on Gamma.

    DOI

    Scopus

    14
    被引用数
    (Scopus)
  • Bifurcation branch of stationary solutions for a Lotka-Volterra cross-diffusion system in a spatially heterogeneous environment

    Kousuke Kuto

    NONLINEAR ANALYSIS-REAL WORLD APPLICATIONS   10 ( 2 ) 943 - 965  2009年04月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with the following Lotka-Volterra cross-diffusion system in a spatially heterogeneous environment
    (SP) {Delta[(1+k rho(x)v)u] + u(a - u - c(x)v) = 0 in Omega,
    Delta v + v(b + d(x)u - v) = 0 in Omega,
    partial derivative(v)u = partial derivative(v)u = 0 on partial derivative Omega.
    Here Omega is a bounded domain in R(N)(N <= 3), a and k are positive constants, b is a real constant, c(x) > 0 and d(x) >= 0 are continuous functions and rho(x) > 0 is a smooth function with partial derivative(v)rho = 0 on partial derivative Omega. From a viewpoint of the mathematical ecology, unknown functions u and v, respectively, represent stationary population densities of prey and predator which interact and migrate in Omega. Hence, the set Gamma(rho) of positive solutions (with bifurcation parameter b) forms a bounded line in a spatially homogeneous case that rho, c and d are constant. This paper proves that if a and |b| are small and k is large, a spatial segregation of rho(x) and d(x) causes Gamma(rho) to form a subset of-shaped curve with respect to b. A crucial aspect of the proof involves the solving of a suitable limiting systent as a, |b| -> 0 and k -> infinity by using the bifurcation theory and the Lyapunov-Schmidt reduction. (C) 2007 Elsevier Ltd. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

    36
    被引用数
    (Scopus)
  • Shadow system for adsorbate-induced phase transition model

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B15   1 - 14  2009年  [査読有り]

  • Bifurcation structure of steady-states for an adsorbate-induced phase transition model

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1640   129 - 143  2009年

    CiNii

  • Bifurcation phenomena of pattern solution to Mimura-Tsujikawa model in one dimension

    Naoko Kurata, Kousuke Kuto, Koichi Osaki, Tohru Tsujikawa, Tatsunari Sakurai

    GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications   29   265 - 278  2008年  [査読有り]

    CiNii

  • A strongly coupled diffusion effect on the stationary solution set of a prey-predator model

    Kousuke Kuto

    Advances in Differential Equations   12 ( 2 ) 145 - 172  2007年  [査読有り]

  • Pattern formation for adsorbate-induced phase transition model

    Kousuke Kuto, Tohru Tsujikawa

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu   B3   43 - 58  2007年  [査読有り]

  • A Lotka-Volterra cross-diffusion model in spatially heterogeneous environments

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1542   41 - 57  2007年

    CiNii

  • Positive steady states for a prey-predator model with some nonlinear diffusion terms

    Tomohito Kadota, Kousuke Kuto

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   323 ( 2 ) 1387 - 1401  2006年11月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper discusses a prey-predator system with strongly coupled nonlinear diffusion terms. We give a sufficient condition for the existence of positive steady state solutions. Our proof is based on the bifurcation theory. Some a priori estimates for steady state solutions will play an important role in the proof. (c) 2005 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

    52
    被引用数
    (Scopus)
  • Numerical analysis of optical waveguides based on periodic Fourier transform

    K. Watanabe, K. Kuto

    PROGRESS IN ELECTROMAGNETICS RESEARCH-PIER   64   1 - 21  2006年  [査読有り]

     概要を見る

    Periodic Fourier transform is formally introduced to analyses of the electromagnetic wave propagation in optical waveguides. The transform make the field components periodic and they are then expanded in Fourier series without introducing an approximation of artificial periodic boundary. The proposed formulation is applied to two-dimensional slab waveguide structures, and the numerical results evaluate the validity and show some properties of convergence.

    DOI

    Scopus

    13
    被引用数
    (Scopus)
  • Bifurcation structure of the stationary solution set to a strongly coupled diffusion system

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1475   73 - 90  2006年

    CiNii

  • Coexistence states for a prey-predator model with cross-diffusion

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    Discrete and Continuous Dynamical Systems   Suppl. Vol.   536 - 545  2005年  [査読有り]

  • Positive solutions to some cross-diffusion systems in population dynamics

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1416   64 - 84  2005年

  • Multiple coexistence states for a prey-predator system with cross-diffusion

    K Kuto, Y Yamada

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   197 ( 2 ) 315 - 348  2004年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We study the multiple existence of positive solutions for the following strongly coupled elliptic system:
    Delta[(1 + alphaupsilon)u] + u(a - u - cupsilon) = 0 in Omega,
    Delta[(1 + betau)upsilon] + upsilon(b + du - upsilon) = 0 in Omega,
    u = v = 0 on Omega,
    where alpha, beta, a, b, c, d are positive constants and Omega is a bounded domain in R-N. This is the steadystate problem associated with a prey-predator model with cross-diffusion effects and u (resp. upsilon) denotes the population density of preys (resp. predators). In particular, the presence of beta represents the tendency of predators to move away from a large group of preys. Assuming that a is small and that beta is large, we show that the system admits a branch of positive solutions, which is S or D shaped with respect to a bifurcation parameter. So that the system has two or three positive solutions for suitable range of parameters. Our method of analysis uses the idea developed by Du-Lou (J. Differential Equations 144 (1998) 390) and is based on the bifurcation theory and the Lyapunov-Schmidt procedure. (C) 2003 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

    134
    被引用数
    (Scopus)
  • Stability of steady-state solutions to a prey-predator system with cross-diffusion

    K Kuto

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   197 ( 2 ) 293 - 314  2004年03月  [査読有り]

     概要を見る

    This paper is concerned with a cross-diffusion system arising in a prey-predator population model. The main purpose is to discuss the stability analysis for coexistence steady-state solutions obtained by Kuto and Yamada (J. Differential Equations, to appear). We will give some criteria on the stability of these coexistence steady states. Furthermore, we show that the Hopf bifurcation phenomenon occurs on the steady-state solution branch under some conditions. (C) 2003 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

    86
    被引用数
    (Scopus)
  • Multiple existence and stability of steady-states for a prey-predator system with cross-diffusion

    Kousuke Kuto, Yoshio Yamada

    Banach Center Publications   66   536 - 545  2004年  [査読有り]

  • Large-time behavior of solutions of diffusion equations with concave-convex reaction term

    Kousuke Kuto

    Advances in Mathematical Sciences and Applications   12 ( 1 ) 307 - 325  2002年  [査読有り]

  • Stabilization of solutions of the diffusion equation with a non-Lipschitz reaction term

    K Kuto

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   47 ( 2 ) 789 - 800  2001年08月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper we are concerned with the reaction-diffusion equation u(t) = Deltau + f(u) in a ball of RN with Dirichlet boundary condition. We assume that f satisfies the concave-convex condition. A typical example is f (u) = \u \ (q-1)u + \u \ (p-1)u (0 < q < 1 < p < (N+2)/(N-2)). First we obtain the complete structure of positive solutions to the stationary problem; Delta phi + f (phi) = 0. Next we state the relations between this structure and time-depending behaviors of nonnegative solutions (global existence or blow up) to the non-stationary problem.

    DOI

    Scopus

  • Diffusion problems with concave-convex nonliearities

    Kousuke Kuto

    数理解析研究所講究録   1237   83 - 96  2001年

    CiNii

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 交差拡散を伴う数理生物学モデルの近平衡系に対する解析基盤の構築

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2022年04月
    -
    2025年03月
     

    久藤 衡介

  • ロトカ・ボルテラ系における交差拡散極限が導く定常解の多層構造の解明

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2019年04月
    -
    2023年03月
     

    久藤 衡介

     概要を見る

    有界領域において共通の資源を取り合う関係にある2種類の競争種にとって,合理的に資源を摂取するには,競争相手の種が多い場所ほど空間的拡散を促進させた方が好戦略に思われる.この戦略を「交差拡散」とよばれる拡散の相互作用を表す非線形項として,従来のロトカ・ボルテラ系に加味したモデルが,重定,川崎,寺本(1979)によって提唱され,現在では「SKTモデル」とよばれている.SKTモデルにおいては,定常問題の解構造の解明が重要な問題として残されており,本研究課題においては,交差拡散係数を増大させたときの,定常解の大域分岐構造の導出を主目標としてきた.
    前年度までの研究によって,両種の交差拡散係数を同程度に大きくしたとき,ノイマン境界条件の下では,競争種どうしの空間的棲み分けは不完全排他の形で起こることが分かった,すなわち,片方の種の生存地域において,競争相手である他種のが,比較的少ないながらも生存している状況が定常解で再現された.さらに,非定数な定常解の集合は,定数解からのピッチフォーク分岐枝で構成されていることが分かった.
    当該年度においては,ディレクレ境界条件の下で,両種の交差拡散係数を同程度の大きくすると,定常解の大域分岐枝は「競争種どうしの完全排他的な棲み分けを特徴づける部分」と「両種がともに領域の中心付近に小さいピークをとる小丘共存を特徴づける部分」が繋がる形で出現することが分かった.非線形楕円型方程式の解構造の観点では,小丘共存の部分は零解からの1次分岐枝で構成されていて,その枝から対称性を壊す2次分岐もしくは不完全分岐が起こり,完全排他の部分が2次分岐枝で構成されることを明らかにした.
    また,attractive transition 型の非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ共生系の定常解の研究に従事し,非定数定常解が出現するメカニズムを分岐理論の立場で明らかにしている.

  • 非線形拡散を伴うSKTモデルに現れる定常パターンの大域分岐構造

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2019年03月
     

    久藤 衡介, 四ツ谷 晶二

     概要を見る

    本研究課題においては、競争関係にある2種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する反応拡散系に関する研究を行った。具体的には、交差拡散項とよばれる非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系(重定・川崎・寺本モデル,1979)に対して、交差拡散項の係数を無限大まで大きくしたときの定常解の漸近挙動を調べた。従来の研究が後れていた「第2極限系」とよばれる近似問題に対して、解の大域分岐構造を明確化した。この研究成果によって、重定・川崎・寺本モデルの定常解集合がサドルノード分岐曲線とよばれる釣り針状の曲線をなすことが明らかになった。

  • 走化性・増殖系に現れる非線形現象とその解析-これまでとこれから-

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2019年03月
     

    大崎 浩一, 鳴海 孝之, 中口 悦史, 辻川 亨, 久藤 衡介, 赤木 剛朗

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    大腸菌分布のパターン形成に対する数理モデルである走化性・増殖系の解の存在とその挙動について研究しました.空間2次元の場合が直接現象に対応しますが,方程式の数理構造を研究する上では,空間次元を2に限定せず,3次元以上の一般次元にまで拡張して,これを深く調べます.本研究では,解の時間大域存在において,次元の影響に加えて,菌の走化性と増殖の強度に関する十分条件も示しました.さらには,解のパターン形成についても研究し,空間2次元ならびに3次元の場合におけるパターン形成に関する成果を得ました.

  • 縮約系を応用した高次元空間にみられる現象の解明と解析的手法の構築

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2018年03月
     

    辻川 亨, 久藤 衡介, 栄 伸一郎, 櫻井 建成

     概要を見る

    反応拡散方程式の研究はパターン形成の解明に重要である。本研究はある種の生物の個体群密度を記述するLotka-Volterra競合系モデルについて、Newmann境界条件のもと方程式の係数をパラメータとした、非定数定常解の大域的解構造を決定することである。非定数定常解の存在のための十分条件をLeray-ScauderのDegree理論を用いて示した。また大域的解構造は数値計算から複雑であると予想され、ある種の縮約系を導入することで、方程式は積分条件付きのスカラー方程式となる。この方程式の解構造は定数解からの分岐理論で十分調べられており、積分条件を等高線解析により解析して大域的解構造を示した。

  • 反応拡散方程式と関連する自由境界問題の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2015年03月
     

    山田 義雄, 大谷 光春, 田中 和永, 廣瀬 宗光, 中島 主恵, 竹内 慎吾, 久藤 衡介, 若狭 徹, 大枝 和浩, 兼子 裕大

     概要を見る

    本研究では反応拡散方程式に対する自由境界問題を解析した。この問題は数理生態学における,外来生物などの生物種の侵入・移動をモデルとしており,種の個体数密度とその生息領域が時間とともにどのように変化するかを調べることが目的である。個体数密度は反応拡散方程式で記述され,生息領域の境界(またはその一部)の運動はステファン型の自由境界条件で支配されるとする。このとき種が絶滅に至るか、あるいは生息領域が無限に拡がるとともに種が存続するか, その挙動のメカニズムを理論的に解明できた。また,生息領域が拡大する際の速度はどのように定まるか?などの問題についても詳細な結果を得ることができた。

  • 非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系に対する数理解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2015年03月
     

    久藤 衡介

     概要を見る

    非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系の定常解の大域構造に対する解析を行った。とりわけ、非線形拡散項の係数を無限大にした際の定常解の漸近挙動を特徴づける極限系に注目して、極限系の非定数解の集合が形成する曲線(大域分岐曲線)を関数空間内に描写した。成果の一例として、交差拡散を無限大とする極限系で、係数パラメーターがラプラス作用素の第2固有値に近づくと、未知関数の一成分が発散することを証明した。

  • 反応拡散方程式系と関連する非線形問題の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2009年
    -
    2011年
     

    山田 義雄, 大谷 光春, 田中 和永, 廣瀬 宗光, 中島 主恵, 竹内 慎吾, 久藤 衡介, 若狭 徹, 大屋 博一, 大枝 和浩, 佐藤 典弘

     概要を見る

    本研究においては、数理生態学分野に登場する2種の競合生物の棲み分け現象や新種の侵入現象などに現れる、種の非均質性の様子を数学的に定式化して考える。このような問題は生物種の個体数密度を未知関数とする反応拡散方程式として表わされる。非線形拡散を伴う2種生物モデルに対する正値定常解集合の構造、および生物の侵入をモデルとする自由境界問題に対する展開の成功と絶滅のメカニズムについて、満足できる成果が得られた。

  • 移流項を伴うロトカ・ボルテラ系の空間パターン解に対する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2009年
    -
    2011年
     

    久藤 衡介

     概要を見る

    非線形拡散を伴うロトカ・ボルテラ系に対して定常解の大域分岐構造に関する数理情報を引き出した。まず、ディレクレ境界条件のロトカ・ボルテラ競争系において、片方の交差拡散項を無限大にした極限系に対して定常解の部分集合が形成する大域分岐枝が得られた。また、ロトカ・ボルテラ系に関連する反応拡散移流系に対して、拡散と移流を無限大とした極限系の定常解の形成する大域分岐構造が得られた。

  • 非線形拡散方程式系に関する解構造の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    山田 義雄, 大谷 光春, 田中 和永, 中島 主恵, 竹内 慎吾, 久藤 衡介, 大屋 博一, 佐藤 典弘, 若狭 徹, 大谷 光春, 田中 和永, 久藤 衡介, 若狭 徹, 佐藤 典弘, 中島 主恵, 大屋 博一

     概要を見る

    数理生態学に現れる非線形拡散を伴う反応拡散方程式システムを解析した。これは生存競争を行う2種の生物種の棲み分け現象を記述するモデルとして定式化されたものである。正値定常解は2種の生物種の共存状態として生態学的にも意味のある解であり、このような解の構造解明が重要なテーマである。正値定常の存在を示すための理論・技法の開発をおこなった。同時に、非線形拡散係数を無限大とする場合の極限問題と、本来の問題との関係を調べることにより、解構造解明への手がかりをつかむことができた。

  • 相互拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系の解構造に対する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    久藤 衡介

     概要を見る

    相互拡散(cross-diffusion)を伴うロトカ・ボルテラ系に対して定常解の大域分岐構造が得られた。捕食生物と餌となる生物の個体数密度がなす時空的ダイナミクスを記述する系においては、それぞれの生物の空間的拡散や捕食に関する相互作用の地域差に応じて、生物が共存する定常解がなす分岐枝が釣り針状に変形し、解が複数個存在することが判明した。また、分数型の相互拡散を伴う系においては、相互拡散項の増大に応じて、共存定常解が2種類のサイズに分類されることが分かった。

  • 非線形拡散方程式系と関連する楕円型微分方程式系の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2003年
    -
    2005年
     

    山田 義雄, 大谷 光春, 田中 和永, 中島 主恵, 竹内 慎吾, 久藤 衡介, 菱田 俊明

     概要を見る

    本研究では,準線形拡散項を伴う数理生態学モデルの正値定常解集合の構造の解析,および相転移現象を記述する半線形拡散方程式の解集合の構造の解析を主として行なった.
    数理生態学モデルでは拡散項が個体数密度に依存するprey-predatorモデル
    u_t=Δ[ψ(u, v)u]+au(1-u-cv), v_t=Δ[ψ(u, v)v]+bv(1+du-v)
    について同次Dirichlet境界条件の下で正値定常解集合の構造を解析した.この問題においてu, vはそれぞれprey, predatorの個体数密度であり,正値定常解集合が存在するための十分条件は知られており,問題になるのは正値解の形状や個数である.本研究では例えばφ(u, v)=1, φ(u, v)=1-βuとすると, βが大きいならば,適当な条件の下では3組の正値定常解が存在することを示したのみならず,それぞれの解の安定性に関する結果も得ることができた.
    相転移現象モデルとして研究した方程式ほ同次Neumann境界条件下での
    u_t=ε^2u_<xx>+u(1-u)(u-a(x)) (ただし0<a(x)<1)
    である。拡散係数εが非常に小さいときには多種多様な定常解の存在が知られている。とりわけ、関数の値が急激に変化する内部遷移層やスパイクを持つ解が最大の関心の的である。我々の研究グループとAi-Chen-Hastingsのグループが独立に研究しており,内部遷移層が現れる位置はa(x)=1/2となる点xの近傍,スパイクが現れる位置はa(x)が極値を取る点xの近傍に限られることを示した.さらに、多重内部遷移層や多重スパイクが現れる条件や解の安定性(Morse指数)と解の形状についでも詳しい結果を得ることができた.

  • 滑らかでない反応項を伴う非線型放物型方程式及び楕円型方程式の解構造の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 特別研究員奨励費

    研究期間:

    2000年
    -
    2002年
     

    久藤 衡介

     概要を見る

    平成14年度においては、非線形放物型偏微分方程式、および関連する非線形楕円型偏微分方程式に対する解構造の研究に従事した。とりわけ、非線形項を滑らかな関数に限らない点が当該研究の特徴である。滑らかさを欠く非線形項を伴う微分方程式は、被食生物-捕食生物系などの多くの数理現象のモデル方程式に現れうる。一方で、数学的には「滑らかな非線形項を伴う微分方程式」と比べて解析が著しく困難になるケースが多く、未解決問題を多く残しており、その解明のため平成12年度より研究を推進してきた。その環として本年度は、被食生物(プレイ)と捕食生物(プレデター)の個体数密度のダイナミクスを記述する反応拡散方程式の解構造の解明に従事した。本年度の具体的成果として、次の1および2が挙げられる。
    1 正値定常解(関連する非線型楕円型方程式の正値解)が複数個存在することを数学的に証明した。
    2 ホップ分岐現象による時間周期解の存在を証明した。
    3 正値定常解の漸近安定性の判定に成功した。
    1と2は、相互拡散のケースでのみ起こりうる数理現象を示したことに意義がある。この結果は、解のもつ時空的なダイナミクス(被食生物と捕食生物の個体数密度のダイナミクス)が、相互拡散効果の有無によって本質的に異なることを示唆する。3については、局所的な安定性のみを判定しており、解のもつ挙動と共存定常解の大域的関係の解明については、今後の課題となる。

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Misc

  • Hexagonal Pattern Formation in a Chemotaxis-Diffusion-Growth Model

    久藤 衡介, 大﨑 浩一, 櫻井 建成, 辻川 亨, KUTO Kousuke, OSAKI Koichi, SAKURAI Tatsunari, TSUJIKAWA Tohru

    盛岡応用数学小研究集会報告集   2006   1 - 11  2007年01月

     概要を見る

    1990年代中盤に,三村-辻川[7]によって,走化性大腸菌がなす個体群密度の時空的ダイナミクスをモデル化した次の反応拡散方程式系が提唱されている

    CiNii

 

現在担当している科目

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担当経験のある科目(授業)

  • 微積分3, 応用数学6

    Waseda University  

  • Calculus II

    The University of Electro-Communications  

  • Calculus Ⅰ

    The University of Electro-Communications  

  • 微分積分学第一

    電気通信大学  

  • Linear Algebra II

    The University of Electro-Communications  

  • 線形代数学第二

    電気通信大学  

  • 現代数学入門A

    電気通信大学  

  • Mathematics Exercise I

    The University of Electro-Communications  

  • Calculus Ⅱ

    The University of Electro-Communications  

  • 微分積分学第二

    電気通信大学  

  • Exercise in Mathematics I

    The University of Electro-Communications  

  • 数理科学特殊講義VIII(集中講義)

    関西学院大学  

  • 数理科学特殊講義VIII(集中講義)

    関西学院大学  

  • 解析学1A

    早稲田大学  

  • Exercise in Mathematics Ⅱ

    The University of Electro-Communications  

  • Analysis

    The University of Electro-Communications  

  • Exercise in Mathematics Ⅰ

    The University of Electro-Communications  

  • 数学演習第一

    電気通信大学  

  • Linear Algebra I

    The University of Electro-Communications  

  • 線形代数学第一

    電気通信大学  

  • Advanced Topics in Analysis

    The University of Electro-Communications  

  • 解析学特論

    電気通信大学  

  • Exercise in Mathematics II

    The University of Electro-Communications  

  • 数学演習第二

    電気通信大学  

  • Analysis

    The University of Electro-Communications  

  • 解析学

    電気通信大学  

  • Calculus 3, Applied Mathematics 6

    Waseda University  

  • 微積分3, 応用数学6

    早稲田大学  

  • Introductory Linear Algebra Ⅰ

    The University of Electro-Communications  

  • ベクトルと行列第一

    電気通信大学  

  • Introduction to Modern Mathematics A

    The University of Electro-Communications  

  • 現代数学入門A

    電気通信大学  

  • Analysis 1A

    Waseda University  

  • 解析学1A

    早稲田大学  

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他学部・他研究科等兼任情報

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所・附属機関兼任歴

  • 2022年
    -
    2024年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

特定課題制度(学内資金)

  • 相互拡散(cross-diffusion)を伴う反応拡散方程式の解構造に対する研究

    2004年  

     概要を見る

    反応拡散方程式は、非線型解析学において研究が活発な分野のひとつです。特に「相互拡散(cross diffusion)」と呼ばれる非線型項を伴う反応拡散方程式系は、偏微分方程式論における従来の手法が直接的には通用しないケースが多く、更なる理論研究が待たれる状況にあります。私は、博士課程在籍時より「相互拡散を伴う反応拡散方程式」の研究に従事しています。今年度(2004年度)においては、数理生態学のモデルに現れる反応拡散方程式系 (P);Ut=△[(1+αV)U]+U(a-U-cV) in Ω×(0,T),Vt=μ△V+△[V/(1+βU)]+V(b+dU-V) in Ω×(0,T)の研究に力を注ぎました。方程式系(P)は、有界領域Ωの中に棲息する「食う食われるの関係」にある生物の個体数密度の時空的な変化を記述し、未知関数U=U(x,t)とV=V(x,t)はそれぞれ被食生物(prey)と捕食生物(predator)の場所x,時刻tにおける個体数密度を表します。第一式の相互拡散α△(UV)は、predator の個体数密度の高い地域で prey の空間的拡散が促進される状況を記述します。一方、第二式の非線型拡散△[V/(1+βU)] は prey の個体数密度が高い地域では predator の空間的拡散が鈍化する状況を記述します。これらの様な「非線型拡散」に対する解析理論は、国内外で模索中の段階にあり、(P)についても多くの未解決問題が残されています。中でも、(P)の時間的定常解(Ut=Vt=0を満たす解)を求めることは重要な問題です。正値定常解に対する解析は、数理生態学的な「共存定常状態」のみならず、非定常解のもつ時空的ダイナミクスの抽出にも役立ちます。 私は、ディレクレ境界条件の下で定常問題に取り組み「正値定常解が存在する十分条件」を係数パラメーターに与えました。この結果は、正値定常解がなす集合の大域的分岐構造を明らかにしています。例えば、preyの増殖率 a を分岐パラメーターとしたとき、ある分岐点Aを境にして a>A なら正値定常解が存在することが証明されました。また、非線型拡散(α,β)と正値定常解の関係も見出され、概して「αが大きいと正値定常解が存在しにくくなり、βが大きいと正値定常解が存在しやすくなる」ことが判明しました。上記の全ての結果は、門田智仁氏(昨年度修士修了)との共同研究に改良を重ねて得られたものであり、2004年9月に開催された日本数学会秋季総合分科会(於 北海道大学)の一般講演において口頭発表しました。さらに、論文としても完成済みであり、近く非線型解析の学術雑誌に投稿する予定です。 (P)の定常解集合を解析する上で、分数型相互拡散βと分岐構造の関係を解明することに興味がもたれます。そこで私は、前段の研究と併行して、「βが大きいケース」の(P)に対する解析を集中的に取り組みました。このケースでは「(P)でβを無限大に発散させた極限系」からの摂動が有効であることを発見し、正値定常解集合のなす大域分岐構造を詳細に抽出しました。ここで得られた分岐構造により、正値定常解の U 成分は、ある閾値 A’(>A)を境にして急激に増加することが分かりました。概して、大きい分数型相互拡散βの非線型効果により、正値定常解集合のなす分岐枝は、a=A’付近で「曲がる」ことが判明した訳です。ここまでの研究結果は、2004年10月に京都大学RIMSで開催された研究集会「反応拡散系に現れる時・空間パタ-ンのメカニズム」において発表しました。なお、この見地からの(P)の解析には、まだまだ進展の余地があり、現在も精力的に継続しております。