First I tried to make correspondence, via Mellin transforms and inverse Mellin transforms, between linear relations held among multiple zeta values and connection relations held among multiple polylogarithms of one variable. I was succeeded in clarifying the correspondence between Ohno relations for multiple zeta values and the connection formula for multiple polylogarithms with respect to z→z-1. This result was published as the paper "Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004), 537-564".
Motivated by this research, I tried to study symmetry of the formal Knizhinik-Zamolodchikov(KZ) equation of one variable, in which the coefficients of the equation are regarded as noncommutative variables. Here the symmetry of the equation means transformation theory of fundamental solutions normalized at the singular points. The most universal generating function of multiple polylogarithms is a fundamental solution normalized at z=0. The connection matrices of these fundamental solutions are given by the so called Drinfeld associator, and the connection relations yield the duality relation and the hexagon relation for the Drinfeld associator. This result was published as the paper "The Sum Formula of Multiple Zeta Values and Connection Problem of the Formal Knizhinik-Zamolodchikov Equation, Development in Mathematics 14, Zeta Functions, Topology and Quantum Physics ed. Be T. Aoki et al., Springer (2005),145-170.
Furthermore, I have been trying to generalize the symmetry theory in the formal KZ equation of many variables. I expect that, from this theory, the connection formulas for multiple polylogarithms of many variables. So far, I established the decomposition theorem, and the analycity theorem for normalized fundamental solutions of the KZ equation, from which one can deduce the pentagon relation for the Drinfeld associator. I proposed a conjecture that the harmonic product relations(or the series shuffle relations) of multiple polylogarithms are equivalent to the decomposition theorem. This result is announced in an invited project lecture in the autumn conference of MSJ at Osaka City University, 2006 September.

Through the years from 2000 to 2003, I have been studying "Multiple Zeta Values" (MZVs, for short). I have written two articles on this theme: "New Approach to Ohno Relation for Multiple Zeta Values" (by Jun-ichi Okuda and Kimio Ueno, arXive:math.NT/0106148), "Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms" (by Jun-ichi Okuda and Kimio Ueno, arXive:math.NT/0301277). The latter article is an enlarged version of the former, and I submitted the latter to Publications of RIMS, Kyoto University.In recent progress of study, I revealed that relations satisfied by MZVs can be regarded, via inverse Mellin transform - Mellin transform, as the monodromy problem of the multiple polylogarithms (MPLs, for short). In the article submitted, I showed that the Ohno relations for MZVs are, in a sense, equivalent to the Landen connection formulas for MPLs.To the international conference "Zeta Functions, Topology and Quantum Physics" held at Kinki University, from March 3rd to March 6th (2003), Jun-ichi Okuda, who is a graduate student at Department of Mathematics, Waseda University, and the collaborators of this study, was invited and gave on hour lecture on this theme

(1) T.Kori investigated the theory of the index of a gauge coupled Dirac operator with Grassmannian boundary condition, especially he gave a direct method of calculations not using the Atiyah-Patodi-Singer theory for those problems on the four dimensional hemisphere.
(2) T.Kori.proved a formula about the chiral anomaly of gauge coupled Dirac operators. Here he proved that the index of a gauge coupled Diracoperator on S^4 is equal to the index of the geometric Dirac operator on the hemisphere with a Grassmannian boundary condition comming from the vector potential, that is, the effect by the gauge is absorbed in the boundary condition. This result will be published in the Proceeding of the conference on Geometric Aspects of Partial Differential Equations as one volume of AMS Contemporary Mathematics series.
(3) The problem of extension of spinors from the boundary to the interior or the exterior as zero mode spinors is solved. By this an analogy of the Laurent expansion theorem for zero mode spinors is obtained. Thus the concepts of meromorphic spinors and their residues are introduced. He proved the residue theorem on a domain in S^4. Many theorems that are counterparts of what are known in complex function theory are expected to hold in our framework of spinor analysis. This will be our next project.

従来の数値相対論の方法であるADM形式と比較して,Ashtekar形式の特長の一つに変数の逆数を含まないという利点がある。この利点により縮退点通過の計算が可能になるのではないかと考えた。解析的な研究の結果,縮退点を直接通過しようとする方法では,変数またはその微分の一部が必ず発散することが分かった。そこで,変数を一時的に複素に拡張することで,縮退点を回避しながら計算し,また実領域に戻ってくる方法を考案した。これらについて縮退点通過の判定条件を設定し,実際に数値計算を試みた。その結果,縮退点を直接通過しようとする方法ではやはり計算は適切に機能しないことが分かった。そして,複素拡張による縮退点回避の方法では,その回避の仕方により適切に機能する場合としない場合が混在して存在することが確かめられた。この計算により,Ashtekar形式と複素拡張による縮退点回避のテクニックを組み合わせた方法により,縮退点通過が可能だと結論づけられる。解が離散的になるのは,本来片側にしか課さない境界条件を両側に課したことが原因であろう。どのような回避の仕方の時に計算が適切に機能するかは現在調査検討中である。また同様の試みをADM形式を使って行ってみたところ,解の分布に若干の違いが認められるが,Ashtekar形式による場合と概ね同様に通過が成功するものが発見された。これらの結果より,ここでの縮退点通過のポイントは複素多様体に拡張利用した縮退点回避だと結論づけられる。このような結果をまとめる論文を投稿準備中であるが,離散的に存在する解について,固有値問題特有の保存チャージを見つけることが出来ればさらに価値あるものになると思うので,研究中である

Einstein方程式を数値解析するとき，束縛条件つき時間発展問題となり，束縛条件の破れをより小さく抑える差分方程式が必要である。その作成のためには，まず差分方程式から解析的に束縛条件の破れを評価する必要がある。その方法として Constraint's order of accuracy (COA)という指標を提案した。この指標の示す値と，実際の数値計算のConstraintの破れが強く相関し，連動していることをいろいろな発展方程式とその差分化について確認した。さらにパラメータ付きの差分化を用いて，このCOAが向上するようにパラメータを決め，良いパラメータを選べば，数値計算の際のConstraintの破れを小さい抑えることが出来ることを確かめた。

当研究の目的はEinstein方程式を数値的に解くときに適した離散化の方法を見つけることにある。数値的に解こうとするとき、Einstein方程式の大きな特徴は２つあり、１つは非線形性が強いこと、１つは1st classの束縛条件があることである。前者は数値的な安定性に関係し、後者は束縛条件の破れに関係する。特に後者について、離散化の良し悪しを評価する方法としてConstraint Accuracy Order(CAO)という方法を提案した。学会発表する予定であったが、学会が中止となってしまったので、2020年度以降に成果発表したい。このCAOを用いて、既存の様々な離散化手法に適用・評価し、数値実験でその実用性を確かめることに成功した。

Einstein方程式の数値シミュレーションの精度向上を目指して研究した．今年度は，主に次の2つの方法について調査研究を行った．(1) Einstein方程式を差分方程式にする際に適した差分化の方法を探す．(2) 発展方程式に拘束条件の破れを加えることでより安定的な数値計算を可能にする．(1)について成果は，Einstein方程式の２次摂動まで考慮した数値計算を行う際の，差分化の工夫を行い，精度向上することを確かめた．(2)については，拘束伝搬方程式の係数行列に非平坦な時空を代入してから，数値計算により固有値を求め，その値が数値計算の安定性と密接に関連していることを確かめた．

Einstein方程式の数値シミュレーションの精度向上を目指して研究した．今年度は，主に次の2つの方法について調査研究を行った．(1) Einstein方程式を差分方程式にする際に適した差分化の方法を探す．(2) 発展方程式に拘束条件の破れを加えることでより安定的な数値計算を可能にする．(1)について成果は，Einstein方程式の２次摂動まで考慮した数値計算を行う際の，差分化の工夫を行い，精度向上することを確かめた．(2)については，拘束伝搬方程式の係数行列に非平坦な時空を代入してから，数値計算により固有値を求め，その値が数値計算の安定性と密接に関連していることを確かめた．

Einstein方程式の数値シミュレーションを行う時の，適切な方程式および離散方程式の構築を目的として研究した．束縛条件の破れを抑えるために，時間発展方程式に束縛条件を付加する方法について，従来より汎用的な方法を提案した．これにより，背景時空が非平坦な場合や，近い背景時空が無い場合についても，束縛条件を付加したときの効果が事前に予測できるようになった．これらの成果を挙げて，発表を行った．また束縛条件を離散方程式においても保存する，いわゆる構造保存形にスキームについても研究し，Maxwell方程式を土台として構築し成果を挙げて発表した．

Einstein方程式の数値シミュレーションを行う時の，適切な方程式および離散方程式の構築を目的として研究した．束縛条件の破れを抑えるために，時間発展方程式に束縛条件を付加する方法について，従来より汎用的な方法を提案した．これにより，背景時空が非平坦な場合や，近い背景時空が無い場合についても，束縛条件を付加したときの効果が事前に予測できるようになった．これらの成果を挙げて，発表を行った．また束縛条件を離散方程式においても保存する，いわゆる構造保存形にスキームについても研究し，Maxwell方程式を土台として構築し成果を挙げて発表した．

Einstein方程式の数値シミュレーションを行う時の，適切な離散式を構築を目的として研究した．同じ束縛条件つき時間発展問題，という意味で同様の構造を持つMaxwell方程式について適切な離散式の構築に成功し，成果発表をした．さらにEinstein方程式について，特に時間発展のみに着目した限定的な意味での適切な離散式の構築に成功し，成果発表を行った．また，Einstein方程式の時間発展式に拘束条件を加える手法についても，従来の研究を推し進め，非平坦背景での拘束伝搬方程式の固有値を求め，数値安定性との一致についての結果を得て，成果発表を行った．

Einstein方程式の数値シミュレーションを行う時の，適切な離散式を構築を目的として研究した．同じ束縛条件つき時間発展問題，という意味で同様の構造を持つMaxwell方程式について適切な離散式の構築に成功し，成果発表をした．さらにEinstein方程式について，特に時間発展のみに着目した限定的な意味での適切な離散式の構築に成功し，成果発表を行った．また，Einstein方程式の時間発展式に拘束条件を加える手法についても，従来の研究を推し進め，非平坦背景での拘束伝搬方程式の固有値を求め，数値安定性との一致についての結果を得て，成果発表を行った．

一般相対性理論の基礎方程式であるアインシュタイン方程式は非線形偏微分方程式なので，特殊な対称性を課さない限り厳密解を得るのは難しい．特に時空のダイナミクスを追うのは，数値シミュレーションに頼るところが多い．この成果は重力波の観測成功などで大きな成果を挙げている．時空の場の方程式であるアインシュタイン方程式を時間と空間に分解したあと，離散化して数値スキームを作成する．そのときに用いられる方法は，他の方程式に特化して作成されたスキームを借用することが多い．そのため，構造保存型になっておらず，時間発展と共に拘束条件の破れが発生してしまう．そこでアインシュタイン方程式を数値シミュレーションをするための，構造保存型スキームの作成を目的として研究した．ハミルトニアンの正準形式を先に離散化し，それから時間発展方程式を求めていくという手法をとる離散変分法が知られている．この離散変分法を用いて，アインシュタイン方程式のスキーム作成に取り組んでいるが，まだ完全なものは得られていない．拘束条件つきの時間発展方程式の類題として，電磁気学の基礎方程式であるマクスウェルの方程式について，離散変分法を用いて構造保存型のスキームの作成に成功した．これは，拘束条件つきの時間発展方程式としては，初めて離散変分法を適用した例である．しかし，単に離散変分法を用いるだけでなく，様々な工夫も必要だということも分かった．これらの成果について，学会発表，論文投稿を行った．これをステップアップし，アインシュタイン方程式のスキーム作成にとりかかっている．だがマクスウェル方程式とアインシュタイン方程式では，ハミルトニアンの段階で，やや異なった構造を持っており，マクスウェル方程式で成功した離散変分法をそのまま適用するだけでは，部分的には成功するものの，完全な構造保存のスキームは出来ないことも分かった．現在その改良に取り組んでいるところである．

一般相対性理論の基礎方程式であるアインシュタイン方程式は非線形偏微分方程式なので，特殊な対称性を課さない限り厳密解を得るのは難しい．特に時空のダイナミクスを追うのは，数値シミュレーションに頼るところが多い．この成果は重力波の観測成功などで大きな成果を挙げている．時空の場の方程式であるアインシュタイン方程式を時間と空間に分解したあと，離散化して数値スキームを作成する．そのときに用いられる方法は，他の方程式に特化して作成されたスキームを借用することが多い．そのため，構造保存型になっておらず，時間発展と共に拘束条件の破れが発生してしまう．そこでアインシュタイン方程式を数値シミュレーションをするための，構造保存型スキームの作成を目的として研究した．ハミルトニアンの正準形式を先に離散化し，それから時間発展方程式を求めていくという手法をとる離散変分法が知られている．この離散変分法を用いて，アインシュタイン方程式のスキーム作成に取り組んでいるが，まだ完全なものは得られていない．拘束条件つきの時間発展方程式の類題として，電磁気学の基礎方程式であるマクスウェルの方程式について，離散変分法を用いて構造保存型のスキームの作成に成功した．これは，拘束条件つきの時間発展方程式としては，初めて離散変分法を適用した例である．しかし，単に離散変分法を用いるだけでなく，様々な工夫も必要だということも分かった．これらの成果について，学会発表，論文投稿を行った．これをステップアップし，アインシュタイン方程式のスキーム作成にとりかかっている．だがマクスウェル方程式とアインシュタイン方程式では，ハミルトニアンの段階で，やや異なった構造を持っており，マクスウェル方程式で成功した離散変分法をそのまま適用するだけでは，部分的には成功するものの，完全な構造保存のスキームは出来ないことも分かった．現在その改良に取り組んでいるところである．

アインシュタイン方程式は時空分解すれば，拘束条件つき時間発展方程式であり，数値シミュレーションする際は，スキームが必要となる．これを構造保存型にすることで数値シミュレーションの安定化を図るのが目的である．離散変分法を用いて，アインシュタイン方程式の構造保存型スキームを得ることに成功した．論文は投稿したが，実効性の検証が不十分だという理由で，差し戻されて改良，実証実験を実行中である．また，離散変分法を用いる際，２階微分の扱いに自由度があり，これがスキームの一意性を阻害していることが分かった．この点を考察，改良しつつ，論文発表，学会発表を計画している．

（Ｎ＋１）次元のＥｉｎｓｔｅｉｎ方程式をＮ次元超平面の時間発展として解析していくためには，数値解析による手法が不可欠である．数値解析をするためには，連続の方程式であるＥｉｎｓｔｅｉｎ方程式を差分方程式に直す必要がある．これには従来ではＣｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ法やＲｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法がよく用いられている．しかしこれらは，他の方程式に対して安定的に数値解析可能なように開発された方法であり，Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程式のために開発されたものではない．ある近似の範囲でＥｉｎｓｔｅｉｎ方程式が有する性質を仮定して有効性が認められるのみである．具体的にはｃｏｎｓｔｒａｉｎｔが保存するという意味で構造保存の性質を有していない．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程式の数値解析が必要とされる一般相対論的が支配的な状況では，強い重力場や長時間の時間発展などを扱う．その場合に上記の近似が無意味になり，数値解析をする時の最大の問題となるのはｃｏｎｓｔｒａｉｎｔの破れである．よって，構造保存の差分方程式を開発することは重要である．そこでＤｉｓｃｒｅｔｅ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　Ｍｅｔｈｏｄ（ＤＶＤＭ）という方法を使って，アインシュタイン方程式の差分化を行った．最初にＨａｍｉｌｔｏｎｉａｎ形式である必要があるので，Ｏｒｉｇｉｎａｌ　Ａｒｎｏｗｉｔｔ－Ｄｅｓｅｒ－Ｍｉｓｎｅｒ形式をベースにした．ＤＶＤＭを用いる例としては，２階微分を含む非線形の方程式では例がないので，それらの扱いを可能にする工夫を要した．その結果，構造保存の性質を持った差分化に成功した．数値解析によりその有効性を実験的に確かめた．また，同様なことをマクスウェルの方程式についても行い，従来の差分方程式と今回作成した差分方程式の違いを明瞭にした．これらの結果を応用数理学会（ＪＳＩＡＭ），日本数学会（ＪＭＳ），一般素体論と重力研究会（ＪＧＲＧ）において発表した．（発表は連携研究者の土屋拓也氏．）また結果をまとめたものを論文投稿中である．

Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程式の数値シミュレーションを行う際には，様々な工夫が必要である．現在の世界の数値相対論では，状況に応じて，様々な工夫を施しながら得たい精度まで達するように試行錯誤するという作戦が主なものである．しかし，なるべく汎用的に，長時間安定的かつ高精度な数値結果を得るためにどのような方法が可能か調査研究と検証を行った．その結果，他の方法に比べ，比較的汎用的に効果のあるｃｏｎｓｔｒａｉｎｔを使用した補正方法に注目した．従来の研究では，定数に固定されていた補正係数を，時間とともに変化するように制御するための，様々な作戦を検討し，実証を行った．ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔの破れ量に対応して，柔軟に補正の大きさをコントロールする方法が数値的安定性に効果の高いことが分かった．具体的にはｃｏｎｓｔｒａｉｎｔの破れが小さいときは補正の大きさをゼロとし，破れが歩いていど大きくになるまでは，指数的に補正も大きくするが，ある程度以上に破れが大きいときは別の補正方法に切り替える作戦である．効果があることは大体わかったが，これを下支えする理論，あるいは系統的にこの作戦を行う処方箋などについては，いまだ未完成であり，これが完成した時点で学会発表，論文投稿したいと考えている．また，ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔの破れ量に応じた制御ではなく，時間発展スキームとも関連した制御方法も検討して，研究実証を行っているところである．本来は双曲型微分方程式である時間発展方程式が，状況によってはそうでなくなり，放物型などに変化することがある．そうなると，Ｃｏｕｒａｎｔ条件などが変わってきてしまうので，数値計算の破綻につながるという可能性がある．それを避けるために，動的に補正係数を変化させたり，時間と空間の刻み幅を変化させたりする方法も検討した．まだ試行錯誤の段階で，発表できるような成果には至っていないが，検討的に研究調査すれば必ず成果が得られそうだという感触を得るまでにいたっている．

Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程式の数値シミュレーションにおける安定性について，全般的に考察，研究した．まず束縛条件の２乗和積分を定義し，それを利用して発展方程式への拘束条件の付加をする方法について，理論的かつ実証的に研究し，有効性が確認できたので，学会発表と論文発表を行った．また有限要素法によるシミュレーションへの応用も検討した．

Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程式の数値シミュレーションを安定させるための方法の1つとして，発展方程式への拘束条件の付加について研究した．その結果，つぎのような利点を持つ方法を開発した．従来の方法では事前評価時に背景を仮定する必要があったが，新しい方法では，背景に依らずに事前評価が可能になった．この方法をＥｉｎｓｔｅｉｎ方程式の数値シミュレーションへ適用する方法を提示し，その効果を実証した．

安定な数値シミュレーションを行うためのEinstein方程式の定式化について，束縛条件発展方程式の固有値解析が有効であることを理論，数値計算両面から確かめた．メキシコで行われた数値相対論の国際会議において成果を講演した．また，高次元数値相対論についての真貝寿昭との共著を執筆し掲載決定した．その概要は以下の通りである．従来の４次元時空モデルより高い次元の時空モデルは，様々な解釈を提供し，かつ異なるダイナミックな面を持っている．そのような最近の興味による高次元時空の数値相対論の研究のために，束縛条件の時間発展における振る舞いの次元の依存を調べる．N+1 Arnowitt-Deser-Misner進化方程式にはNに依存する物質項があります、しかし、束縛条件と束縛条件発展方程式は空間次元に不変の形式を持つ．これは我々が，4次元の場合のそうだったように，N+1次元数値相対論において，安定性，正確さについての問題があることを示唆するものである．しかし同時に，従来の束縛条件発展方程式の解析が，高次元においても有用であることも分かる．

　従来の数値相対論の方法であるＡＤＭ形式と比較して、Ａｓｈｔｅｋａｒ形式の特長の一つに変数の逆数を含まないという利点がある。この利点により縮退点通過の計算が可能になるのではないかと考えた。解析的な研究の結果、縮退点を直接通過しようとする方法では、変数またはその微分の一部が必ず発散することが分かった。そこで、変数を一時的に複素に拡張することで、縮退点を回避しながら計算し、また実領域に戻ってくる方法を考案した。これらについて縮退点通過の判定条件を設定し、実際に数値計算を試みた。その結果、縮退点を直接通過しようとする方法ではやはり計算は適切に機能しないことが分かった。そして、複素拡張による縮退点回避の方法では、その回避の仕方により適切に機能する場合としない場合が混在して存在することが、確かめられた。この計算により、Ａｓｈｔｅｋａｒ形式と複素拡張による縮退点回避のテクニックを組み合わせた方法により、縮退点通過が可能だと結論づけられる。解が離散的になるのは、本来片側にしか課さない境界条件を両側に課したことが原因であろう。どのような回避の仕方の時に計算が適切に機能するかは現在調査検討中である。また、同様の試みをＡＤＭ形式を使って行ってみたところ、解の分布に若干の違いが認められるが、Ａｓｈｔｅｋａｒ形式による場合と概ね同様に通過が成功するものが発見された。これらの結果より、ここでの縮退点通過のポイントは複素拡張による縮退点回避だと結論づけられる。このような結果をまとめる論文を投稿準備中であるが、離散的に存在する解について、固有値問題特有の保存チャージを見つけることが出来れば、さらに価値あるものになると思うので、研究中である。