結び目や３次元多様体の量子不変量を用いて、低次元、すなわち２次元、３次元の幾何学の離散量子化の構成を目指した。そのため、カラードジョーンズ不変量だけでなく、カラードアレキサンダー不変量、ヘニングス不変量、対数型不変量といった多様な量子不変量とそれらの関係について調べ、また、空間グラフの量子不変量についても研究を行い、対応する幾何的な構造との関係を調べた。とくに、幾何構造から定まる双曲体積については上で述べた多くの量子不変量で対応がつくことを明らかにできた

量子群でその量子パラーメータ q が１の冪根の場合に，必ずしも半単純とはならない射影的な表現についてその性質を調べ，この表現と対応する結び目や３次元多様体の量子不変量を構成し，その性質を調べた．通常の結び目に対する不変量は以前に logarithmic 不変量として構成していたが，新たに３次元多様体中の結び目に対する不変量を logarithmic 不変量を拡張したものとして構成し，さらに，体積予想の新しいバージョンとして，対応する双曲多様体の体積との関係についても明らかにした

一変数のモジュラー形式について，そのフーリエ級数の合同式，微分方程式との関連から，楕円曲線に付随するヘッケ形式でエータ積で書けるようなものを取り出すこと，また周期多項式と二重ゼータ値との関係，アフィン頂点作用素代数への応用，などの成果を得た．また多重ゼータ値については，高さが 1 の多重ゼータ値を，1を指数に含まない多重ゼータ値で明示的に書き表す公式，荒川金子ゼータ関数の補完的類似物の発見とその諸性質，そして，有限多重ゼータ値についての基本的性質および，対象多重ゼータ値を定義しての主予想の提示，などを行った

KZ方程式のモノドロミー表現として記述される組みひも群の量子表現と，ホモロジー表現との関係を明らかにした．リーマン球面上の共形場理論における共形ブロックの空間の多変数超幾何関数の積分表示を，積分サイクルの構造も込めて明らかにし，KZ接続がGauss-Manin接続とみなせることを証明した．また，対数微分形式の反復積分を用いたChenのホモロジー接続の概念を発展させて，配置空間のホモトピー・パス亜群の高次の圏としての表現により，組みひも群の量子表現の高次の圏への拡張を構成した

結び目・3次元多様体の量子不変量の幾何的および数論的な性質に関する研究を行った。特に色つきジョーンズ多項式の双曲幾何との関係、またトーラス結び目の場合についてはモジュラー形式との関連について研究を行った。また、ラマヌジャンのモックテータ函数理論を超対称共形代数に応用し、モックテータ函数のフーリエ係数と有限群の既約表現次数との関連を示すムーンシャイン現象に関する研究を行った

本研究では、量子群Uq(sl2) に関連する量子不変量と結び目補空間の双曲体積との関係を示す「体積予想」に注目し、関連する研究を行うとともに、この量子群の半単純ではない表現に注目し、この表現と対応する結び目の量子不変量についての研究を進めてきた。そして、体積予想を応用して結び目補空間の幾何構造や、定曲率空間中の多面体の体積に関する公式を得るとともに、半単純ではない表現に対応する、3次元多様体中の結び目に関する新たな不変量を構成した

結び目や絡み目の量子不変量と,結び目補空間の双曲体積との関係を予想した体積予想について研究を進めた.その中で,横田により明らかにされたカシャエフ不変量と結び目補空間の幾何的構造との対応をカラードジョーンズ多項式に拡張し,ノイマン-ジッカートによる単体分割から双曲体積やチャーン-サイモンズ不変量を調べる研究との関係を明らかにすることができた.これにより,双曲体積のみならず,チャーン-サイモンズ不変量についても,量子不変量との幾何的な対応関係を明らかにすることができた.これらの不変量が量子不変量のある極限として現れるというのが体積予想であり,このこと自体はまだ証明されていないのであるが,量子不変量からポテンシャル関数と呼ばれる関数を構成すると,その按点が幾何構造と対応し,そこでのポテンシャル関数の値(複素数)の実部が双曲体積で虚部がチャーン-サイモンズ不変量となるのである.量子不変量から双曲体積だけでなく,チャーン-サイモンズ不変量も出てくるということは,実例による計算では予想されていたのであるが,本研究により,具体的な対応のメカニズムが初めて明らかになった.さらに,横田による単体分割をより一般的な形に再構成しなおすことで,量子不変量から定義されるポテンシャル関数の按点と,結び目や絡み目の補空間の基本群のSL(2,C)表現との関係についても研究の道を開くことができた.SL(2,C)表現の特性多様体と按点全体のなす空間とが対応し,ポテンシャル関数の研究が基本群のSL(2,C)表現の研究においても大変重要なことがわかった.

本研究においては,与えられた有限群Gの,代数的数を係数とする多変数有理関数体のクレモナ変換作用に関するネーター問題を研究し,所期の研究成果を得た.その成果を現在総合的に取りまとめる作業を行っているが,完成までにまだ多少の時間が必要である.また,本課題研究の一環として,研究集会「ガロア理論とその周辺」を山形大(2007),徳島大(2008),金沢(2007)において開催するとともに,各年度末に早稲田大学理工学部において整数論研究集会を開催し,海外の研究者を交えた講演と討論を通じて本課題研究の進展と今後の研究の進め方などについて討議した.これらの研究集会のいくつかについては報告集の冊子が印刷・配布されている.

ふたつの双曲ピースに分解される絡み目を構成し、その色つきジョーンズ多項式の極限を正確に計算し、一般化された体積予想が成立する例を初めて発見しました。この方法を使うと、一般化された体積予想が成立する例を無限個構成することもできます。また、双曲結び目の色つきジョーンズ多項式の極限に現れるポテンシャル関数が、体積だけでなく、チャーン・サイモンズ不変量を与えることを証明しました。同時に、ポテンシャル関数の変数の幾何学的な意味が明らかになったことで、ジッカートの公式が示唆している未知の量子6j記号が発見、四面体分割を通じた三次元多様体の新しい量子不変量の構成、体積予想の定式化に向けて、新しい方向性が見えてきました。

この研究の目的は、結び目の体積予想に代表される、三次元多様体の幾何構造と量子不変量の関係を明らかにすることにあります。ここでいう結び目の体積予想とは、有名なジョーンズ多項式の漸近挙動が結び目の補空間の単体的体積を決定するという予想ですが、予想を証明する方針として、(1)結び目のジョーンズ多項式を高次元トーラス上の積分として書き下し、(2)モース理論を用いて鞍点法を適用し、漸近挙動の解析を行う、という立場でジュネーブ大学のカシャエフ氏と共同研究を行い、積分路の分割方法や非主要項の絶対値の評価など、解析的な問題点をクリアしていきました。現在、結び目・絡み目の図式から、体積やチャーン・サイモンズ関数を含むノイマン・ザギエ関数を導く方法に関する論文、任意の結び目について上記(1)を実現するアルゴリズムを解説する論文、いくつかの結び目について上記(2)が実行可能であることを示す論文を同時に執筆中です。また、共同研究者の村上順氏により、ホワイトヘッド絡み目とボロミアン絡み目の阿久津・出口・大槻不変量の漸近挙動が、それらを特異点に持つ錐多様体の体積とチャーン・サイモンズ不変量を与えることが示されました。これは、グコフ氏、村上斉氏らによって提唱された、結び目の体積予想の一般化を、さらに絡み目に拡張する試みです

本研究補助費の援助によって研究代表者が主催者となり開催した,研究集会に於いて多くの講演・討論が活発に行われ,直接・間接の両面で数多くの成果が挙げられた.特に,研究上で共通の課題をもち,近年著しい研究成果を挙げつつあることを鑑みて,海外から7名の研究者を招聘した.これによって互いの研究に大きな進展が得られたのみならず,今後の協力体制を確立できたことは大変有意義であった.
本研究の主要課題である「生成的」多項式族の構成について,第一の成果は,5次の可移な置換群である5個の有限群S_5,A_5,F_5,D_5,C_5に対して,2個のパラメータを持つ生成的多項式族を具体的に構成したことである.更にこの研究の応用として最終年度においては長年の懸案であった,A.Brumerによる3助変数をもつ6次のA_5多項式族のがQ上生成的であることが証明できたことは特筆に値する.
また,Noether問題に関しては,例えば8次巡回群については答は否定的であることが知られているが,8を法とする1次元有限アフィン変換群の位数16の非可換部分群Gで8次巡回群を含むものすべてに対して4次元線型Noether問題を考察し,その肯定的な解答と最適と思われる生成系を具体的に与えた.応用として,4次巡回拡大が8次巡回拡大に埋蔵され得るための極めて簡明な必要十分条件を与えた.また,基礎体をいろいろ変化させた場合にversalな8次巡回多項式の助変数を4から3に下げられる為の条件についても考察をし,簡明な必要十分条件を与えた.

点の配置の空間のループ空間のホモロジーの代数構造を研究し,組みひも群などの対象の有限型位相不変量との関係を明らかにした。とくに,複素上半平面へのFuchs群の作用について軌道配置空間のループ空間のホモロジーの構造を研究し,これが対応する曲面上の水平コード図の代数と同型であることを証明した.また,反復ループ空間のホモロジーにBrowder作用を用いてPoisson代数の構造を導入した.Riemann球面上の共形場理論における共形ブロックの空間の超幾何積分による完全な表示を与えた.とに積分サイクルの構造をある種の超平面配置の補空間上の局所系係数のホモロジーの中で正規化可能なものとして特徴付けた.森田により,さまざまなモジュライ空間とそれに附随するモジュラー群の構造の研究が深められた.とくに,Riemann面のモジュライ空間と写像類群,グラフのモジュライ空間と自由群の外部自己同型群およびそれらの間の関係についての研究が進められた.また,村上により,結び目のJones不変量の漸近挙動と補集合の双曲体積についての予想,および3次元多様体の幾何構造との関連について新たな知見がもたらされた

2001年度:京都大学数理解析研究所においてプロジェクト研究「21世紀の低次元トポロジー」を開催した.
このプロジェクトは1年間にわたるもので,数理研に国内外から低次元トポロジーの研究者を集め集中的に研究を行った.海外からの参加者は50名程度であり多くの講演と活発な討論が行なわれた.これによって,低次元トポロジーにおける種々の分野,特に3次元多様体の組み合わせ的な研究,4次元空間内の曲面結び目の研究,結び目や3次元多様体の量子不変量の研究に新たな見地を見出した.
2002年度:主に2001年度に得られた研究成果を発表するとともに情報交換を行ない,我々の結果を広く理解してもらうとともに今後の研究の目標を立てることができた.
4月に研究代表者と村上順は,カナダ・ケベック大学モントリオール校で開かれた体積予想に関する研究集会に招待され講演を行なった.体積予想というのは,R.Kashaevの予想を村上順と研究代表者が一般化したものであり,Jones多項式を初めとする量子不変量と幾何構造を結びつけるという意味から多くの研究者の注目を集めている.また,小林は7月に韓国高等高等理工学研究所に招かれて,3次元多様体論についての連続講義を行ない,谷山は8月に中国西安で開かれた,国際数学者会議のサテライト会議「Geometric Topology」においてグラフの成す絡み目に関する招待講演を行なった.大槻はこれまでに得られた量子不変量に関する成果を専門書「Quantum invariants,-A study of knots,3-manifolds, and their sets」の形にまとめた.

本研究の対象を,便宜上(1)アフィン・リー代数,(2)ヘッケ環,(3)有限シュヴァレー群,(4)複素鏡映群,(5)量子群,の5つに分け,おのおのに関する成果の概要を以下に述べる。
(1)谷崎俊之(柏原正樹氏との共同研究)は,アフィン・リー代数の既約最高ウェイト加群のうち,最高ウェイトが臨界レベルを持たないものに対して,その指標を完全に決定した。最高ウェイトが有理的な場合は,これまでの柏原氏との共同研究で解決していたが,Jantzen氏による論法を用いることにより,一般の場合を上の場合に帰着させた.
(2)宇野勝博は,1992年の論文において,ヘッケ代数の直既約加群の同型類が有限個となる為の条件を予想したが,有木進がこの「宇野予想」を古典型の場合に解決した。例外型の場合も含めた完全な解決も時間の問題と思われる.
(3)庄司俊明は,有限シュヴァレー群の表現論で基本的なグリーン関数を,古典群の場合に組合せ論的に構成する方法を与えた.これは一般線型群の場合のGreenの理論の直接的拡張である.同じ構成法はワイル群をある種の複素鏡映群に置き換えても可能である.
(4)川中宣明は,複素鏡映群の既約表現に対する不変量を新たに定義し,imprimitiveな場合に具体的に計算した.行者明彦らは,この不変量をすべてのワイル群の場合に具体的に計算し,それがLusztig氏の「両側セル」の概念と不思議な関係を持つことを観察した.
(5)村上順(村上斉氏との共同研究)は,Kashaev氏が構成し,双曲結び目の補空間の双曲体積との関係を予想した結び目不変量が,量子群U^q(sl^2)のが既約表現についての量子R行列から作られるcolorede Jones不変量の特殊化であることを示し,このことを用いてKashaev予想を任意の結び目についての予想に一般化した.

共形場理論における写像類群の表現の性質について研究した。とくに、吉田朋好による、共形場理論のアーベル化の方法を援用して、共形ブロックの空間の基底をテータ関数を用いて記述しそこへの写像類群の作用を記述した。
Vassiliev不変量の空間をループのホモトピー類のみのよる対数微分形式の、K.T.Chenの意味の反復積分全体としてもとらえることにより、位相不変量を多重ゼータ関数の特殊値として表すことができる。このような視点から得られる多重ゼータ関数の特殊値の間の関係式を系統的に研究した。また、Hodge理論をも用いて、多重ゼータ関数の特殊値のはる空間の次元についてのいくつかの予想に対して部分的な結果を得た。
組みひものVassiliev不変量の空間は、3次元空間内の互いに異なる点の配置の空間のループ空問のコホモロジーと同型であることを示した。より正確には、上のループ空間のコホモロジーは、Vassiliev不変量のウェイト系と対応していて、位相不変量は、組みひもから構成される、ループ空間のあるホモロジー類とのペアリングによって与えられる。さらに、一般に、従来グラフの空間に値をとるものとして定式化されてきた、有限型位相不変量に対して、これを、点の配置の空間のループ空間のホモロジー類としてとらえるという新たな視点を展開した。

本年は京都大学数理解析研究所でプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」が行われ,組織委員の一人として参加した。テーマの一つとして量子不変量があげられており,内外の多数の研究者が集まって活発に交流が行われ,本研究にも多大の貢献があった。本年の成果をまとめると次のようになる。
1.代数的側面について
プロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」に参加したD.Thurstonは,ウェブ図のなす代数系に対して「微分」(derivation)を導入し,自明な結び目に対応する元についての非常に基本的な表記法を得た。また,これに附随してこの代数の二種類の積構造から定義される二種類の環構造についての同型対応を構成した。これについて京都大学数理解析研究所での短期共同研究「多重ゼータ値の諸相」で紹介し,その際に,多重ゼータ値の研究でのシャッフル積と調和積の間の関係と対応することが明かとなった。これを受け,多重ゼータ値の理論との関係について研究を開始した。
また,「21世紀の低次元トポロジー」の参加者とウェブ図のなす代数系の呼称について話し合い,今後はヤコビ(Jacobi)図と呼ぶことで合意した。
2.幾何的側面について
ウェブ図と深く関係する量子不変量に対し,「体積予想」と呼ばれる問題がある。これは双曲構造が入る3次元多様体に対し,その体積が量子不変量からある方法で決まるのではないかという予想である。量子不変量には様々な側面があるが,量子6j-記号と呼ばれるものに注目し,体積予想から推察して双曲四面体の体積が量子6j-記号から得られると考え,研究を進めた結果,双曲四面体の体積を表す新たな公式を得た。

山根はアフィン超リー代数をシュバレー生成元と定義関係式で書き下すセール型の定理を与えた。そのアフイン量子超代数についても同様のことを行った。さらにA型アフイン超リー代数についてはそれをドリンフェルド生成元と定義関係式でも書き下した。アフィンリー代数のときとは違ってアフイン超リー代数の定義関係式はかなり複雑である。しかしながらアフィン超リー代数とアフィン量子超代数の定義関係式をくらべることによってアフィン超リー代数とアフィン量子超代数のヴァーマ加群のウェイト空間の次元が同じであることがわかる。R=C[s^<±1>,t^<±1>]を2変数ローラン多項式環とする。Dをsl(2|2)の普遍中心拡大とする。dimD/sl(2|2)=2である。D(R)=D【cross product】R【symmetry】Ω_R/dRがsl(2|2)【cross product】Rの普遍中心拡大である。D(R)有限個の生成元{E_<±α>, E_<±α^*>|α∈П'}と有限個の定義関係式で書きくだすことが出来た。このことをおこなった過程においてD型アファインスーパーリー代数D^<(1)>=D【cross product】C[t^<±1>]+Ccを有限個の生成元{E_<±α>|α∈П'}と有限個の定義関係式で書きくだすことが出来た。自然な写像D(R)→sl(212)(R)の核の基底を生成元{E_<±α>,E_<±α>士。*|α∈II'}で記述するのは容易でありこのことよりsl(2|2)(R)を有限個の生成元{E_<±α>, E_<±α^*>|α∈П'}と無限個の定義関係式で書きくだすことが出来る。
永友は頂点作用素代数の表現論を展開し,その応用として共形場理論に関わる問題の研究をおこなった.研究成果の一つである共役電荷オービフォールド模型の既約表現の分類は,中心電荷が1以上の共形場理論の発展に重要な寄与をする.また,そのほかの研究成果である保型形式,あるいは擬保型形式を構成する相関関数の方法は,保型形式の専門家からの注目を集めている.

本研究では,曲面の写像類群とリーマン面のモジュライ空間の幾何学について,研究期間の3年間にわたって,主として位相幾何学の観点からの研究を行った.得られた結果を具体的に記すと,つぎのようになる.
1.曲面の写像類群の有理係数のコホモロジー代数において,Mumford-Morita類達の生成する部分代数をtautological代数と呼ぶ.このtautological代数の位相的研究には,大きく言って三つのアプローチがある.第一は,分担者の河澄響矢氏の導入したねじれMumford-Morita類によるもの,第二はtrivalentグラフの不変量によるもの,そして第三はシンプレクティック群の表現論によるものである.本研究において,これまでの成果を集大成する形で,これらの三つのアプローチが,互いに完全に関連していることを証明した.
2.曲面の写像類群,あるいはリーマン面のモジュライ空間の二次特性類の理論は,創始されたばかりで,未知のことが多い.しかし本研究において,第一のものを除く二次特性類はすべてトレリ群のべき零完備化では捉えられない深い構造をもつことが証明できた.これにより,今後はトレリ群のsemi-simpleな構造を反映する研究が極めて重要になることが示された.
3.リーマン面の族について,位相幾何学および代数幾何学の観点からの研究,さらにはそれらの間の関連の研究が進んだ.とくに,シンプレクティック・ファイバー空間の特異ファイバーの回りのモノドロミーについて興味深い結果が得られた.

リーマン面の量子構造という観点から低次元位相幾何に関する新しい統一的方法をあみ出すことを目的に,主に幾何的側面と代数的側面とに分かれて研究を進めた。そのなかで,結び目の量子不変量から結び目穂空間の双曲体積と呼ばれる計量的不変量が導かれることがあきらかとなった。さらに,双曲構造がはいる3次元多様体の双曲体積も量子不変量から導かれることがわかってきた。これらの事実は,量子不変量が,単に結び目や3次元多様体を分類するための指標となるばかりでなく,様々な幾何的情報までも含む不変量であることを示唆しており,量子不変量を用いて幾何的性質を調べる新たな手法を与えることに成功した。
また,量子不変量のある種の展開をあらわす有限型不変量や,有限型不変量を統一的に捕らえるウェブ図についても研究し,その新しい性質をいくつか明らかにした。
量子不変量は,共型場理論や,q-変型の理論などと密接に関係しているが,これらについても新しい知見を得ることができた。一つは頂点作用素代数の研究で,特に共形場理論のおける相関関数を厳密に決定する問題に深く関わる保型形式との理論との関係を解明した。また,q-変型の理論と関係する有限群のモデュラー表現について,projective indecomposable modulesのいわゆるheart(radicalをsocleで割ったもの)を調べ、heartがindecomposableでない場合を決定した。さらに,複素鏡映群のフロベニウス・シューア指数のq-変型を定義し,対称群およびimprimitiveな複素鏡映群の場合に具体的に計算した。

(1)錐角π以上の錐多様体の研究.
Jorgensenの方法を用いることにより(代表的なGenus 1,1-bridge knotである)(-2,3,7)型Pretzel結び目補空間を底空間にもち,その解消トンネルを錐軸とする双曲的コーン多様体の連続族を錐角が0から2πの範囲で具体的に構成した.錐角がπ以下の錐多様体については,都合の良い様々な性質が成立することが証明されており,それらを用いることによりThurstonの軌道体幾何化定理が証明されていた.しかしながら錐角がπ以上となった時にどのような現象が起こるのかまだ殆ど何もわかっていない状況であるので,この具体例を手掛かりに錐角π以上の錐多様体に対する一般論を展開するのが今後の課題である.
(2)3次元多様体上の向き保存周期写像の手術表示.
向き保存周期写像fを持つ任意の有向閉3次元多様体Mは周期的絡み目Lのデーン手術により構成され,しかも周期写像fはLの周期性を与える周期写像が自然に誘導するものと共役であることを証明した.これは,任意の有向閉3次元多様体は3次元球面内の絡み輪のデーン手術により得られると言うWallaceとLickorishによる古典的結果の同変版といえる.この結果の応用として9交点以下の双曲的2成分絡み目補空間の全ての等長写像を"視覚化" した.

この研究プロジェクトにより、我々は、共形場理論、有限型位相不変量、曲面のモジュライ空間、周期積分の理論などにおいて、いくつかの結果を得ることができた。村上順は大槻知忠らと共同で、3次元多様体の普遍的な有限型位相不変量を構成することに成功した。この不変量は、ファインマングラフの空間に値をとるものとして、組み合わせ的に定義されるものであるが、河野俊丈らの研究により、有限型位相不変量と点の配置の空間のループ空間のコホモロジーとの関係が明らかにされた。森田茂之は、曲面のモジュライ空間の幾何学を位相的な観点から研究した。とくに、写像類群の重要な部分群であるトレリ群についての研究を遂行した。共形場理論は幾何学的には、曲面のモジュライ空間の上のベクトル束とその可積分接続の理論として定式化される。河野は、この接続のホロノミーとしてあらわれる写像類群の表現の構造を詳しく調べ3次元多様体の研究に応用した。また、清水勇二は、この接続を具体的に記述する方法を開発した。齋藤恭司による周期積分の理論は、位相的場の理論の立場から新た脚光をあびた。齋藤は、楕円形ルート系の理論を構築することにより、周期積分の理論をさらに発展させた。

3次元多様体のヘガード分解の研究は、3次元多様体論の最も重要なテーマの一つである。"non-hyperbolike"多様体のヘガード分解に関してはこれまでに十分深い知見が得られているが、双曲多様体のヘガード分解に関しては残念ながらまだほんの少しの知見しか得られていない。特に双曲構造とヘガード分解の関係に関しては、我々が知る限り、殆ど何もわかっていなかった。
この研究プロジェクトでは、2橋結び目補空間の完備双曲構造と、(一種ヘガード分解である)橋構造との間には密接な関係があることを発見した。実際、我々は2橋結び目の2橋構造を用いることにより、2橋結び目補空間の完備双曲構造を具体的に構成した。もっと正確に言うと、2橋結び目補空間上の錐多様体構造の連続族で、上トンネルと下トンネルに沿って特異点を持ち、錐角が0から2πまで変化するものを構成した。錐角0の時の錐多様体構造は、擬フッ楠一点穴開きトーラス空間の有理的境界群に対応し、錐角2πの時の錐多様体構造は2橋結び目補空間の完備双曲構造を与える。この証明のために、我々はJorgensenによりアナウンスされていた擬フックス一点穴開きトーラス群に関する理論(の一部)を整備し、更にそれを擬フックス一点穴開きトーラス空間の外部に適用できるように一般化した。このプロジェクトのために和田昌昭が開発したコンピュータソフト「OPTI」は、このプロジェクトにとって必要不可欠な道具であっただけでなく、今やタイヒミュラー空間論の研究にとっても重要な道具として様々な研究者により愛用されている。上述の研究成果は、3次元多様体の双曲構造とへガード分解の関係の研究の始まりであると信じている。

研究代表者は研究分担者の増田佳代と協力して、アフィン空間上に作用する無限位数の自己同型写像が部分多様体を点毎に固定するとき、その自己同型写像と部分多様体の可能性を余次元が小さいときに研究した。その副産物として3次元アフィン空間の乗法群を用いた代数的特徴付けを得た。また、タタ研究所のR.V.Gurjarと協力して、ジャコビアン予想をアフィン空間からQ-ホモロジー平面に拡張して、対数的小平次元が1のときは一般化されたジャコビアン予想が成立することを示した。対数的小平次元が0,-∞のときも大半の場合に予想が成立する。この課題研究の期間において、研究代表者はこれまでの開代数曲面に関する結果をまとめた本を書き、アメリカ数学会から出版することになった。
日比孝之は有限グラフを研究し、関連して定義されるイデアルの性質を調べた。単体に付随する環のBetti数などを調べることによって、非常に豊富な情報が得られ、組み合わせ論、可環境論、代数幾何学などを結びつける強力な手法となってきている。
藤木明はHopf曲面上のツイスター空間のalgebraic reductionを研究して興味ある結果を得た。ツイスター空間は射影空間束に近いものであり、代数多様体と複素多様体の違いと相似性を明らかにできる。
並河良典は複素多様体の変形理論を使ってCalabi-Yau多様体に関する研究を進めた。また、高次元代数多様体の双有理写像として現れるflopを変形理論を通して再構成した。
村上順はThang T.Q.Le等と協力して、平行化された結び目に対するKontsevich不変量の性質を調べて、Kontsevich不変量を3次元多様体の不変量に拡張する際に重要な役割を果たす公式を得た。
柳川浩二はE.Ballicoと協力して、標数pの体上に定義されたCohen-Macaulay整域に関連して定まるPoincare列のh-vectorについて研究を行った。

不確実な知識を確率を用いて表現し、何らかの推論を進めていく際に、Bayesian networkが頻繁に適用され、最近では、経営診断、医療診断、故障診断といった、分析診断型の問題に多くの実績を残している。Bayesian networkは、各属性データをノードで、その因果関係をノード間を結ぶ有向アークで示す、いわゆるDAG(directed acyclic graph)として表現される。特に、各ノードAの属性データx_Aは、有向アーク(A←B_i)を介して親にあたるノードB_iの属性データの値xB_i,i=1,2,・・・,m,を前提にした条件付値率P(x_A|x_B_1,,x_B_2,・・・,x_B_m)に基づいて生成されるという仮定がおかれる。すなわち、ノードの集合が事前に与えられれば、有向アークをどのように結ぶか(構造の決定)と、条件付確率をいかに設定するか(パラメータの推定)を検討して、Bayesian networkが決定される。Bayesian networkの推論は、一部のノードに事実として具体的な属性データを与えておき、他のノードの属性データの値をBayes統計学でいう事後確率最大の基準で推定する(未知属性データのおこりうる各値の確率を付与する推論も可能である。)処理に相当する。
本研究では、推論を行なう前にBayesian networkを最初にいかに獲得するか、特にその構造の決定について議論をすすめた。Bayesian networkは視覚的に表現されるので、エキスパートがその知識を直接Bayesian networkの形式で記述してもよい。しかし、大規模なnetworkでは、その作業量が膨大になることと、エキスパートの潜在意識にある知識が表現されないことなどから、トレーニングデータからの自動学習が検討されるに至っている。本研究では、この問題についてminimum description length(MDL)原理に基づいて解決する方法を示した。一般に、MDL原理は、トレーニングデータを、知識の記述と、その知識に基づいたトレーニングデータの記述の2段階で記述し、その合計の記述長(ビット数)を最小にする知識を採択する。MDL原理は、前者を知識の記述長(知識の簡潔さを表す)、後者をその知識では説明できない例外の記述長(データの知識への適合性を表す)とみなせば、データ圧縮の立場からその両者について最もバランスのとれた知識を真の知識とみなす学習原理であるということができる。
特に、構造決定の探索に分岐限定法を用いて、効率良く最適解を求める方法を見い出した。この結果は、電子情報通信学会論文誌英文誌分冊D(1999年2月)に掲載された。

研究代表者が中心になって行ってきたOnsager代数の商の構造の決定に関しては,台湾の中央研究院数学研究所のS.S.Roan氏との共同研究により,Onsager代数の,そのイデアルによる商が中心を持たない場合に関しては,その構造を完全に決定することができた.これによりOnsager代数のイデアルによる商の構造はほぼ完全に決定できたことになる.従来から未決定として残っていた場合については,冪零リー環の分類をKac-Moodyリー環の冪零部分のイデアルの分類と関連付けて行おうとする研究の方向ともつながりを持って,解決できた.その際にイデアルを特徴付ける多項式の次数が小さい場合に計算機上の数式処理を用いて例を調べてみることによりその方向の研究との対応を見較べて研究を効率よくすすめることができた.
Onsager代数はアフィンリー環A^<(1)>_1の冪零部分のリー環としての変形とみることもできる.A^<(1)>_1を通常のカレント代数の中心拡大の中に実現したものとみると,Onsager代数はA^<(1)>_1のある対合に関して不変な部分リー環となっている.この実現を通してOnsager代数のイデアルの構造などを見通しよく調べることができた.一方で従来から未解決であった部分の構造を決定する際には,A^<(1)>_1のprincipal realizationを考えかつその完備化のなかで考えることにより決定できた.このようなprincipal realizationも併せて考えることは共形場理論との関係で他のタイプのアフィンリー環の冪零部分の変形を考える際にも有効ではないかと考えている.この結果に関しては現在原稿を準備中である.
また各分担者は,ランダムポテンシャルを持った一次元Schrodinger作用素のスペクトル理論の研究,Schur函数の関係する恒等式の研究,準楕円型偏微分方程式の正値解の研究,三次元多様体の普遍摂動不変量の研究,自由フェルミ場型の頂点作用素代数の既約表現の分類,量子逆散乱法におけるL operatorとアフィン量子展開環のDrinfeldgeneratorの関係の研究等で成果を挙げた.

コンツェビッチは,量子不変量や有限型不変量を含む結び目のコンツェピッチ不変量を構成するにあたり,ファインマン図にいくつかの数学的条件を課したウェブ図を用いた。さらに,コンツェビッチ不変量は,Le,大槻,村上により3次元多様体の普遍摂動不変量に拡張された。さらに,境界付きの3次元多様体の普遍摂動不変量から,曲面の写像類群の,ウェブ図の空間への表現(ウェブ表現)が得られる。曲面は物理の弦理論でも中心的な研究対象であり,ウェブ図は,写像類群の表現ばかりでなく,数理物理で用いられる様々な無限次元の代数の表現論とも関連することが期待され,この研究を行った。
まず,写像類群のウェブ表現について研究した。ウェブ図とは,ある種のグラフであり,グラフとしての様々な不変量がある。研究の結果,これらの不変量のうち,2種類の不変量(頂点の数及びオイラー数)が写像類群の性質に反映されることがわかった。頂点の数に対応する写像類群の性質はすでに知られているが,オイラー数がこれまでの研究の何に対応するものかはまだ明らでない。しかし,写像類群は,複雑で豊かな構造を持つことが知られており,このオイラー数に対応する不変量は,写像類群の性質を記述する新たなパラメータとなるのである。
さらに,写像類群と曲面論との関係から,ウェブ図のオイラー数に対応する不変量は,曲面の変型全体を考えあわせた空間(モジュラー空間)の構造をあらわす新たなパラメ一夕であることが期待され,また,共形場理論にも関連があるはずなのだが,これらのことに関してはこれからの課題として残された。

主として数式処理のソフトウェアを用いて,数論・代数幾何学・保型関数・リーマン面・暗号理論の基本計算を実行するプログラムの作成を行った.とくに実効速度が要求されるものについてはC言語によるプログラムも作成した.それらのプログラムを用いて多くの数学実験を行い,いくつかの非常に興味ある結果が得られた.
1.代数的整数論に関して:(1)代数体の類数及び単数の計算(2)実二次体に関して,イデアル類群の特定のイデアル類で生成される部分群による剰余群と虚二次体の類群との類似(3)実二次体のクロネッカーの極限公式の数値計算(4)有理数体上の二面体群をガロワ群にもつ拡大体の単数群の構成,など.実二次体上の極限公式の精密な数値的計算により,ゼータ関数の特殊値による基本単数の決定・類体の構成などの問題がかなり具体的に実験できるようになった.
2.楕円曲線の整数論に関して:有理数体上定義される楕円曲線に対して,標準的なべき級数解の存在を示した.谷山-志村予想が成り立つ場合,そのべき級数により,楕円曲線が保型関数により一意化される.標準的べき級数は構成的アルゴリズムにより与えられる副作用として,合同ゼータ関数の計算なしに,楕円曲線のゼータ関数が得られる.これは,Wilesの方法以外で谷山-志村予想の解決の可能性を示唆している.さらに,標準的べき級数は楕円曲線における自然な整数論的構造をもつことが観察されている.
3.数式処理における複素関数の表示の実現と応用に関して:すでにMathematicaやMapleで実現されていた複素関数の表現は,一般にあまり注目されていなかったが,グラフを用いて,リーマン面の具体的表示,複素べき級数や各種の複素関数の幾何学的性質(例えば,周期性)の研究が具体的に行えるようになった.その応用として,楕円曲線について上記の標準的べき級数解のみたすべき保型性が実験的に予測できるようになった.

当該研究においては,有限半順序集合の組合せ論に現代代数学の抽象論を多角的に応用する際の,基礎となる理論を構築することを目的とし,有限半順序集合の理論において,伝統的かつ主流な話題である(1)鎖の数え上げ理論および(2)比較可能グラフの離散構造を,抽象代数の現代的理論を武器として探究した.当該研究の顕著な成果は,「階数d-1の有限モジュラー束が階数3の原子部分束を含むとき,その比較可能グラフはd-連結である」を証明したことである.我々の証明を遂行する際の鍵は,(あ)単体的複体のホモロジー論を経由することで,有限半順序集合の比較可能グラフがd-連結であるか否かは,付随するStanley-Reisner環の次数付ベッチ数列の最後の項の情報で判定できるという事実とともに,(い)有限モジュラー束Lに付随するStanley-Reisner環のベッチ数列の最後の項は,Lのメビウス函数を使って表示することが可能であるという点である.その他,当該研究では,トーリック多様体の幾何における周知の事実を巧妙に使って,比較的単純な組合せ論的構造を有する有限分配束のh-列が単峰数列であることを示した.現代代数学の昨今の動向から判断すると,鎖の数え上げ理論,あるいは比較可能グラフの研究等に抽象代数の現代的理論が有効であることに疑問の余地はないものの,研究を推進させるための基本的な骨格が整備されているとは言い難かった.当該研究では,多項式環のイデアル論における最近の成果を踏まえ,代数的な視点から有限半順序集合の概念を捕え,古典的な組合せ論では到底得られなかった著しい結果に到達し,将来に展望を齎す一歩を得た.

頂点代数の最も基本的な例である自由ボゾン場のなす頂点代数の共形ベクトルの分類を実行した.頂点代数と共形ベクトルの対は一つの共形場理論を与えるので,自由ボゾン場に由来する共形場理論の分類が実現されたことになる.また,この研究の過程で一般の頂点代数を定義する公理系に関する新しい視点が開かれた.(永友,佐竹,和久井)
共形ベクトルの分類はより基本的な対象であるハイセンベルグベクトルを分類することにより実行されたが,そこでの主要な方法はWickの定理である.Wickの定理を複雑に利用することによりHeisenbergベクトルの分類が可能になった.Heisenbergベクトルの決定は,そのほかにも自由ボゾン頂点代数の自己同型群の決定を可能にした.実際,この分類結果を用いて自己同型群が完全に決定される.(永友,宇野)
また,頂点作用素代数は共形場理論を通して低次元多様体の位相不変量と関連しており,有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKontsevich不変量を用いて,3次元多様体の不変量を構成し,その性質を研究し,また,この不変量に対し,位相的場の量子論を構成するとともに,その応用として,曲面の写像類群の族を構成した.(村上,山根)

ジョーンズ多項式などの量子不変量と,バシリフによって提唱された有限型の不変量両方に対して普遍的な結び目のコンツェビッチ不変量についての研究をおこなった。コンツェピッチ不変量は,反復積分を用いて定義されるが,この積分の値はゼータ関数やその一般化を用いて書き表せ,このことから,結び目不変量の値が,ゼータ関数などの値と関係することが明らかとなった。
さらに,コンツェビッチ不変量を用いて,3次元多様体の摂動的不変量を構成し,その性質を研究した。特に,ウィッテンによって提唱された3次元多様体の量子不変量との関係や,大槻によって提唱された3次元多様体の有限型不変量との関係を調べた。その結果,ここで構成された摂動的不変量は,もっとも簡単な部分がホモロジー群の位数を表し,次に簡単な部分が,キャッソン不変量を表していることがわかった。このことより,摂動的不変量は,キャッソン不変量を一般化したような多くの不変量を記述すると期待されている。
また,コンツェビッチ不変量と,ここで構成した3次元多様体の摂動的不変量とを用いて,3次元多様体中の結び目に対する摂動的不変量を構成した。さらに,これを一般の境界つきの3次元多様体の摂動的不変量に拡張し,位相的場の量子論を構成した。位相的場の量子論において,境界にその曲面の写像類群を作用させると,写像類群の表現が得られるので,この手法を摂動的不変量に適用することにより,曲面の写像類群の表現の族を構成した。

1.研究代表者の宮西正宜は、まずAbhyankar-Mohの定理とLin-Zaidenbergの定理を開代数曲面の 分類論の立場から再証明を与えた。さらに、無限遠点に1座点をもつアフィン平面上の代数曲線の最小次数の埋め込みを 曲線の種数によって分類した。また、Hilbertの第14問題について考察し、P. Robertsの反例の証明を簡略化した。
2.藤木 明は、ある種の超ケーラー商空間として得られる超ケーラー多様体を四元数多様体として自然に部分的にコンパクト化する方法を見いだし、そのコンパクト化の性質を調べた。また、同変コホモロジー群を用いてモーメント写像によるケーラー商空間のVariationを調べた。
3.臼井三平は、Log幾何学を使って消滅サイクルの回復ができることを証明した。応用として、退化したHodge構造の変形のZ構造およびモノドロミ-の記述を明確にした。
4.村上 順は、有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKhontsevich不変量を用いて、3次元多様体の不変量を構成し、その性質を研究した。また、この不変量に対し、位相的場の量子論を構成するとともに、その応用として、曲面の写像類群の族を構成した。
5.今野一宏は、代数曲面の非楕円的なペンシルにフォードインデックスを定義し、傾きの下限を調べる一般的な方法を定義した。併せて退化ファイバーの堀川インデックスも定義した。
6.山根宏之は、Ramの論文で与えてあるBMW代数の指標を計算する技術を獲得した。

まず、Thang T.Q.Le氏とともに、結び目やタングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量について研究した。そして、タングルのある紐を平行化したときの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量を求めるための公式を導いた。また、タングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量が“グループライク"という性質を持つことを示した。
次に、大槻知忠氏、Thang T.Q.Le氏、及び村上斉氏とともに、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量の3次元多様体の不変量への一般化を試みた。先に求めた平行化の公式をもちい、普通ジシリフ・コンツェビッチ不変量で使われているコード図の空間をさらにある3項関係式で割って、さらに適当に正規化したものが、カ-ビ-変形で不変となることが、さきにもとめた平行化の公式などからわかる。従ってこれが3次元多様体の不変量となる。この不変量は2次元線型空間に値をとり、3次元多様体の1次のホモロジー群の位数と、キャッソン・ウォーカ-不変量とで張られる。
さらに、さきの3項関係式を一般化することを試み、3次元多様体の不変量の族を構成することができ、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量がグループライクであることを用いてこの族を統一的に記述することができた。これを3次元多様体の普遍量子不変量と呼ぶ。Le氏により、普遍量子不変量は大槻-ガルファリディスの意味での有限型の不変量をすべて具体的に実現するものであることが示された。さらに、普遍量子不変量は、量子不変量の漸近展開の様子を統一的に記述していると期待されており、また、境界付きの3次元多様体の不変量に拡張することにより、量子不変量に関連した位相的場の理論を統一的に記述するものと期待されるが、これらは、今後の研究課題である。

多項式環AのイデアルIがあったとき,剰余環A/Iの有限自由分解にはIの代数的情報のすべてが含まれている.従って,A/Iの有限自由分解の構造を解析することは,可換環論における究極的な課題である.我々は,計算代数および組合せ論との相互関係から,square-freeな単項式が生成するイデアルに着目し,その有限自由分解の基礎理論を多角的に築くことを目的とした研究を進展させ,次のような研究成果を得た.第1に,凸多面体の上限定理に現れる巡回凸多面体の境界複体に付随するイデアルを考察し,その極小自由分解のベッチ数列を計算可能な式で表示した.第2に,単体的複体Δに付随するイデアルI_Δの極小自由分解が純,あるいは線型となる類の組合せ論的な特徴付けを探究し,I_Δの極小自由分解が純となる旗複体Δを分類した.第3に,整数d,q,eで1≦q-1≦e≦dを満たすものが任意に与えられたとき、square-freeな単項式が生成するイデアルIで,剰余環A/Iの次元がd,深さがe,更に,A/Iの極小自由分解がq-線型となるものを構成せよ,という懸案の問題を研究する過程において,square-freeなlexsegmentイデアル,およびsquare-free安定イデアルの概念に到達し,square-free安定イデアルの極小自由分解を具体的に構成することに成功するとともに,所期の問題についての明快な解答を得た.第4に,有限半順序集合の比較可能なグラフの連結度に関する研究に,有限自由分解の構造理論、特に,Cohen-Macaulay型の計算公式が極めて有益であることを発見し,階数d-1のモジュラー束Lが階数3の原子的閉区間を含むならば,Lの比較可能グラフの連結度は,少なくともdであることを証明した.第5に,計算代数におけるグレブナ-基底の理論を,外積代数で展開することで、極値集合論の古典理論におけるKruskal-Katonaの定理の一般化となるベッチ数列についての不等式を導くことに成功した.

1.有限体上に定義された超楕円曲線のヤコビ多様体の分類について
有限体の上に定義される種数gの超楕円曲線は有限個であるので,それらを同型類に分類すること,および,そのヤコビ多様体の分類を試みた.有限体として標数3の素体をとり,その上の種数2の超楕円曲線はすべて求まっているので,そのヤコビ多様体を,まず曲線の合同ゼータ関数の計算により同種なものに大きく分類してから,自己準同型群の計算により,同型類を調べた.偏極の問題との関連もあり,同型写像を具体的に求めることが今後の課題として残った.
2.位数の大きい有理点をもつ有理数体上のアーベル多様体の構成
有理数体上の1次元アーベル多様体の有限位数の有理点位数は高々12であることが知られている.2次元以上の場合の位数の上限についてはあまり知られていないが,今回,単純な2次元アーベル多様体で位数23の有理点を持つものが無数にあることを示すことができた.
3.等分体のガロワ群の計算
有理数体上定義される代数曲線のヤコビ多様体のn等分点の作る拡大体のガロワ群を決定する問題は,種数1の場合にはゼータ関数の計算と不変数jによりかなり詳しく調べることができる.種数が2以上の場合には,ゼータ関数以外によい不変量が見つかっていないが,種数2の曲線のヤコビ多様体について,数式処理により,n=2,3に対して,n等分方程式を具体的に求めることができた.
4.有理点を多くもつ代数曲線の構成
代数曲線Cのヤコビ多様体の等分点を,リーマン・ロッホの定理を用いて具体的に計算することにより,多くの有理(関数)点をもつような有理関数体上定義される代数曲線Dが得られる.Cが種数2の場合には3等分点の計算よりDは楕円曲線となる.

結び目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量と呼ばれる様々な不変量を含む不変量を3次元多様体の不変量に拡張した。3次元多様体の不変量を構成する一つの方法は、枠付きの絡み目の不変量から、カ-ビーム-ブと呼ばれる変形で不変なものを取り出すことである。我々はこの方法を普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量に対して適用した。そのために、まず、もともと結び目に対して定義されていた普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量を、枠付きの絡み目の不変量に拡張した。また、タングルに対しても拡張し、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の、組合せ論的構成法を与えた。この構成法を用いることにより、複雑な積分を計算することなく、代数的に普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が計算できるようになった。さらに、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量とカ-ビーム-ブとの関係を調べるため、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が、結び目などの紐の平行化に対してどうなるかを調べた。その結果普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量がカ-ビーム-ブについて大変よい性質を持つことがわかった。枠付き絡み目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量から、カ-ビーム-ブで不変なものを取り出したものが3次元多様体の不変量であるわけだが、このことを普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の値の空間での性質に言い換えることができ、3次元多様体の不変量の構成法がわかった。この不変量は、ジョーンズ・ビッテン不変量を含むと共に、ホモロジー群の位数や、キャッソンの不変量を含むなど、大変普遍的な性質を持つ3次元多様体の不変量である。

川久保は、任意のコンパクト・リー群Gに対して、G-sコボルダントな二つのG多様体であって、G同相にはならないような例が常に構成されることを、不動点定理を用いて示した。この結果、変換群のカテゴリーの多様体の分類問題は、変換群無しのカテゴリーのそれとは本質的に異なる様相を呈することが判明した。
長崎は、有限群Gのホモトピー表現の線型性を調べるために導入されたLH群についてその計算を実行し、応用としてすべてのホモトピー表現が線型となる有限群を完全に決定した。
宮西は、Jacobian予想と関連して、VFD上の導分δの性質と分類を、δ-integral elementとδ-integral factorの概念を導入して、δ'-integralelmentのなす環を用いて調べた。
村上は、結び目の位相的不変量としてよく知られている多変数アレクサンダー多項式を、統計力学的に定義することに成功し、これを用いて多変数アレクサンダー多項式を定める公理系で局所的条件のみからなるものを構成した。村上は、また、一般線型群の量子化として得られる量子群の混合テンソル表現の中心化環の生成元と基本関係式を求め、すべての既約表現を構成した。こうして得られる多元環は、岩堀・ヘッケ環の一般化になっている。村上は、この一般化されたヘッケ環を用いて、空間グラフの埋め込み不変量である山田多項式の一般化にも成功した。村上は、さらに、コントセビッチの重複積分によるダングルの不変量の研究も行い、結び目、絡み目、タングルのコントセビッチ積分の組み合わせ的記述を与えた。

永友は、定常かつ軸対称な重力場を記述する方程式であるエルンスト方程式の無限に多くの有理関数解を構成した。村上は、結び目の位相的不変量としてよく知られている多変数アレクサンダー多項式を、統計力学的に定義することに成功し、それを用いて多変数アレクサンダー多項式を定める公理系で局所的条件のみからなるものを構成した。村上は、また、一般線形群の量子化として得られる量子群の混合テンソル表現の中心化環の生成元と基本関係式を求め、すべての既約表現を構成した。こうして得られる多元環は、岩堀・ヘッケ環の一般化になっている。村上は、この一般化されたヘッケ環を用いて、空間グラフの埋め込み不変量である山田多項式の一般化にも成功した。村上は、さらに、コントセビッチの重複積分によるタングルの不変量の研究も行い、結び目、絡み目、タングルのコントセビッチ積分の組み合わせ的記述を与えた。佐竹は、E_6型の拡大アファイン・ルート系に対応する単純楕円型特異点を研究し、斎藤恭司の意味での平坦構造をテータ関数を用いて具体的に記述した。山根は、単純超リー代数の普偏包絡環を量子化することにより、新しい準三角型ホップ代数を構成しその普遍R行列を、ルート・ベクトルを用いて記述した。このとき、量子包絡環の定義関係式として、セール型でないものが現れる点が注目に価する。これらの関係式は、量子化される以前の包絡環の場合においてすら、これまで正確には、認識されていなかったものである。

環境構年として有限オ-トマン構造を設定し、それを神経系がどのように学習するかを研究することが当研究課題の目的であった。本年度の研究の早い段階で本課題の目的そのものに関わる根本的な点に問題があることが明確になった。以下この問題点の説明と、これまで得られた知見の概略を報告する。
1.その問題点は「オ-トマン構造を神経系が知っている」ということの意味についてである。当初「オ-トマトンの相空間が神経系内に表現され、オ-トマンの遷移規則が神経系の状態遷移規則として実現されている」ことがその意味であるとしていた。しかしこれは次の点で不十分であり不適切でもあることが明らかになった:(1)神経系が、複雑な環境の状態をすべて内部に表現することは不可能である。(2)しかし神経等は自分に価値のある側面だけを学べば良い。(3)行動生成の際にリアルタイムな内的シミュレ-ションを可能にするような様式で、環境オ-トマトンについての知識が実現されていなければならない。(4)現実の神経系では明確には区別出来ない「状態と状態遷移」と峻別する問題設定は好ましくない。
2.これまでの研究で得た部分的な知見を以下述べる。(1)(1.4に関して)分散システムの理論で用いられているシステムの概念が、神経系のように隠れた変数を多く持つ系の定式化として適していられる。これにより「知識」のある側面を明確に取り扱えるようになる。(2)(1.2、1.3に関して)環境の事象の「メタレベル表現」の導入により環境と接触中にも内的シミュレ-ションが可能になり、「メタレベルの評価系」と組み合わせることにより、妥当な行動生成をリアルタイムに行い、より適切な行動を同時に学んでいくモデルを考えることができる。しかもメタレベルの表現の導入は、環境構造について「オフライン」で学ぶことを可能とする。

本研究では、当初「動的パタ-ンを学習する・認識する」とはどういうことかを明確にすることに重点を置いたが、その過程で、環境自身の動的構造をも考慮する必要性を認識し、次のような数学的に簡明な定式化を設定した:神経系をオ-トマトン(別名、入力を持つ力学系)として、環境は離散力学系として、環境からの影響は環境の状態空間から神経系の入力信号空間への写像とする。この定式化の下では、入力信号列の動的パタ-ンを「学習する」とは、入力信号列を予測するのに必要な範囲で環境の発展法則を知ることとしてとらえられる。これを可能にするのは環境と神経系とが成す力学系のアトラクタである、ということがポイントである。また、入力信号列の動的パタ-ンを「認識する」とは、それ以降の入力信号を予測出来るようになることとしてとらえられる。従って、認識過程はアトラクタへ入るまでの過渡的な状態として力学的に把握出来る
この定式化に基づいて簡単なシミュレ-ションを行ったところ、環境の状態が神経系の状態を決めるとは限らない(自律性の存在)・環境が特定の状態にある時だけ神経系は次の入力を予測出来る場合がある・環境の発展法則については正確に知っていても環境の状態を特定出来ない事もある、等々が観察された。
環境は神経系からの働きかけで変化する。神経系が学習しなければならない事は、神経系の働きかけに対して環境はどのように応対するかということにある。今後は上述の定式化を一般化して環境も神経系と同様にオ-トマトンとして定式化し、オ-トマンとしての環境の構造について持つ神経系の「知識」をどの様にとらえたらよいかをまず考察したい。また、「評価系」・出力信号列の生成(行動計画)をどのように理解したら良いか、等の基本的かつ困難な問題を考察して行きたい。

ホワイトヘッド群Wh(G)に対して誘導準同型を導入し,これに関してドレス型の誘導定理を得た。また幾何学的にもこの準同型に対応するものを導入し,両者の関係を明らかにした(川久保による成果)。続いて有限群の既約表現について古くから知られているフロベニウス・シュア-の不変量を一般化し,重複自由な置換表現への応用を与えた(川中により成果)。またコンパクトゲ-ラ-アインシュタイン多様体で,正のリッチ曲率をもつものについて,現在までに知られている結果を要約し二木不変量,板東,満渕による一意性定理,小磯,坂根によるケ-ラ-アインシュタイン多様体の例などについて解釈を与えた(坂根による成果)。そしてブラウア-の中心化環やそのgーanalogeと呼ばれる代数の既約表現を具体的に決定すると共に,これらとKauffman多項式と呼ばれる結び目の不変量との関係を明らかにした。さらに3次元空間へのグラフの埋め込みに関する不変量を組み紐群の表現論から構成する方法を与えた。そして絡み目の多変数Alexander多項式を定義するに十分な絡み目の射影図に関する局所的な関係式を与えた(村上順による成果)。また結び目Kに関しては,Kの二つの結ばれていないトンネルt_1,t_2が与えられた時,それらがイソトピックかどうかをKの非圧縮なザイフェルト曲面を用いて判定する方法を与え,その応用として3_L4_Lと異なる非自明な2橋結び目に対して,新しい(今までに知られていない)アンノットなトンネルを見つけた(小林による成果)。また谷口は動枠法の考え方を基に複素空間形のケ-ラ-部分多様体の合同類とほぼ同値なS_Cー構造を導入し、これを用いて,複素空間形のケ-ラ-部分多様体が筆質になるための条件を求めた。そして山根は非可換・非余可換なホップ代数U_g(F)の多変数化U_<g,θ>(F)を定義し,FがアフィンA型のとき,R_gの拡張となっているYangーBaxter方程式の解を得た。

1.虚数乗法を持つ楕円曲線の不変量を与える類方程式を数式処理システムにより計算した.その結果より、有理数体上に定義された虚数乗法を持たない楕円曲線についてその等分点の体のガロワ群におけるフロベニウス自己同型写像を決定するアルゴリズムが見つかった.特に、素点が完全分解するための必要十分条件が得られた.この結果は山本により整数論シンポジウムで発表された.
2.3.特定の形をした楕円曲線でその有理点群の階数が4より大きいものが無数に存在することがわかった.また、有理点群の階数と二次体のイデアル類群の3ー部分群の階数との関係についていくつかの事実が得られた.この結果より、二次体の理論を用いて、階数の十分大きな楕円曲線の構成の可能性が見えてきた.この方向で、今後数式処理を用いて具体的に計算を実行ことにより適当な例を構成したい.
4.二次体Q(√<-3>),Q(√<-1>)の整環を虚数乗法に持つ楕円曲線については、階数はかなり評価することができる.それとBirchーSwinnerton Dyerの予想を組み合わせることによりゼ-タ関数のs=1におけるべき級数展開の最初の項の係数の近似値は計算できたがその値の整数論的性質がわかる程精密な数値計算はできなかった.今後この計算に数式処理的方法を取り入れることを考えたい.
5.種数2の代数曲線のヤコビ多様体として得られる2次元のア-ベル多様体についていくつかの実験ができた.特に自己準同型環についてはゼ-タ関数の零点を用いてほぼ完全に予想できる.そのことから、等分点の体のガロワ群がわかる.
6.上記の多くの場合に数式処理が使えた.特に数式処理的手法の有効性が実証された.

1.有限体上の一般線型群とそのシムプレクティック部分群とから決まるヘック環の既約表現の完全な記述を与えた。
2.有限群の指標のフロベニウス・シュア-不変量を対合的同型を持つ有限群の場合へ一般化し、可換または、ほとんど可換なヘッケ環の表現論への応用を与えた。特に有限古典群とその部分体部分群から決まるヘッケ環について、既約表現の分類を得た。またそれらの表現次数も求めた。
3.古典型リ-環の自然表現に対応する頂点型および面型の可解格子模型に対して、それらのRー行列の生成する多元環の構造を調べ、それらが古典型リ-環の自然表現に対応する中心化多元環のgー変形になることを示した。
4.群環のアウスランダ-・ライテン列のヴァ-テックスが、その列に現れる直既約可群のヴァ-テックスの中で最大のものに一致することを示した。
5.ある種の性質を持つ半線型Gー球面で生成されるホモトピ-表現群の部分群と線型Gー球面から生成される部分群とは、同型な群であるが、一般には異なる部分群となることを示した。
6.コンパクトで正の次元を持つリ-群G、または位数2か3の巡回群を持つ有限群Gに対して、一般には、Gーsコボルディズム定理は成立せず反例が存在することを示した。
以上の研究を遂行するにあたり、補助金で購入した文献は、非常に役に立った。また研究集会で他大学の研究者と交流したことも大変参考になった。今後の展望としては、現在進行中のヘッケ環のモジュラ-表現の理論が多元環の分解不能表現の良い例を与えていること、2.の方法がコンパクトなP進群にも適用できそうであることの2点をつけ加える。

1.次数づけられた半単純リー環の斉次なべき零軌道を, 重みのついた, ディンキン図形を用いて分類する方法を見出した. これにより, べき零元の中心化群の詳しい構造なども, 対応するディンキン図形から比較的容易に計算できるようになった.
2.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現を研究し, 有限体上の半単純代数群の指標の理論に応用した. 特に, 例外型の単純群のべき単指標の値を計算した.
3.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現は, 局所体上の半単純代数群に対しても定義できる. 有限体の場合に得られた結果を分析することにより, 局所体上の場合に得られることが期待される結果についての予想を発表した.
4.ヘッケ環やそれに類似の環の表現論を研究し, 結び目・絡み目の理論に応用した. 特にカオフマン多項式の表現論的意味を明らかにし, 多項式不変量の平行化の組織的研究を行った.
5.ブラウアーの中心化多元環のqー類似を構成し, その表現論を展開した.

本研究では,曲面の写像類群とリーマン面のモジュライ空間の構造の解明を中心課題とし,それに密接に関連する種々の問題についての研究を行った.具体的には,写像類群のコホモロジー群の研究,Floerホモトピー型の理論の展開,3次元多様体のゲージ理論に基づく位相不変量の研究,写像類群の調和的Magnus展開の理論の建設,Grothendieck-Teichm"uller群の構造の研究,3次元多様体論における体積予想の研究,3・4次元における非可換幾何学の展開,写像類群の有限部分群と特性類の関係に関する研究,写像類群のJohes表現の研究,写像類群と4次元多様体論との関連,等である.このように代表者および各分担者はそれぞれのテーマを追究する一方で,相互啓発により一段高い観点からの研究を目指した.その中から,例えば写像類群の幾何学とシンプレティック幾何学との結びつきや,写像類群と自由群の外部自己同型群の構造の類似点および相違点の解明等の新しい研究の方向も見えてきた

リーマン面のモジュライ空間およびグラフのモジュライ空間、そしてそれらに同伴する、曲面の写像類群および自由群の自己同型群等のモジュラー群は、代数幾何学、複素解析学、微分幾何学、位相幾何学、数理物理学等、数学の多くの分野にまたがる極めて重要な研究対象である。本研究では、これらのモジュライ空間およびモジュラー群の、主として位相幾何学の観点からの研究を推進し、多くの成果を挙げた。また、密接に関連する3、4次元多様体論や横断的にシンプレクティックな葉層構造の特性類の理論においても、新しい結果や予想を得た。さらに数論を含む新しい方向への深い問題提起を行った

結び目の量子不変量に関する体積予想を,カラードアレキサンダー不変量に注目して研究し,logarithmic不変量やSL(2,C)量子6j記号の構成を行った。また,これらと双曲体積との関係を明らかにした

ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や３次元多様体の量子不変量についての研究を行った．特に，３次元球面や一般の３次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や，空間グラフに対する量子不変量の研究を行った．また，平面グラフに対するこれらの不変量と，対応する多面体のの双曲体積や幾何構造との関係も調べた．これにより，ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する３次元多様体の双曲体積との関係から，３次元双曲多面体の体積を求める公式を得ることがをできることが分かった．

本研究では，代数学や幾何学，さらには理論物理学に潜む表現論的な共通原理を見いだすことを目標としており，以下のアプローチを行った．　一つは，大阪大学の永友清和氏とテンソル圏とモジュラー関手に関する共同研究を進め，これまで数学でよく扱われている半単純な場合についての研究を，必ずしも半単純ではない場合に拡張する一般的な方法について模索した．　もう一つは，専門家による交流の場として不定期に開催している早大理工トポロジーセミナーにおいて，様々な研究者の研究成果の講演を通じて，その根底に潜む原理を探るという試みてある．以下の人たちに講演をお願いした．駒澤大学・小沢 誠 氏（結び目理論），UNY at Buffalo・William W. Menasco 氏（組紐群），早稲田大学・塚本 達也 氏（結び目理論），大阪産業大学・市原 一裕 氏（トポロジー），東京工業大学・長郷 文和 氏（量子不変量），琉球大学・小須田 雅 氏（表現論），大阪大学・石井 敦 氏（量子不変量）　これらの研究活動を通じて，colored Alexander 不変量と呼ばれる結び目の不変量に対応するテンソル圏が，半単純ではないが半単純に近い性質を持ったよい例であることがわかってきた．

結び目や３次元多様体の量子不変量に関して，特に近年明らかにされたこれらの不変量と幾何的な構造との関係について研究を進めた．このような関係は最初 Kashaev によって予想され，村上らにより体積予想 (volume conjecture) として一般化されたものである．　幾何構造と量子不変量と関係は，これまで colored Jones 多項式に関して詳しく研究されてきたのであるが，本研究では，colored Alexander 不変量と幾何構造との関係について明らかにした．結び目理論においては，Alexander 多項式と呼ばれる代数的な不変量が，基本群との関係もあることからよく研究されてきたが，大槻-出口-阿久津 により，colored Alexander 不変量というものに拡張された．これについて，量子不変量と幾何構造の関係を調べる既知の方法を適用し，従来知られていた対応に対して，その変形理論という形での一般化を与えることに成功した．　これらの成果については，コロンビア大学での国際会議 "Arround the Volume Conjecture" で発表したが，論文でも発表する予定である．

本研究では，結び目や３次元多様体の量子不変量を様々な観点から研究することを目標としていた．なかでも，最近量子不変量が結び目の補空間や３次元多様体の幾何的性質との関係が明らかになってきたので，このことについて重点的に研究を進めた．その結果，Akutsu-Deguchi-Ohtsuki 不変量と呼ばれる，量子群 Uq(sl2) のq が１の冪根のときの表現の１パラメータ族と対応する結び目の不変量と，対応する補空間の双曲体積などとの関係を明らかにすることができた．

本研究では３次元多様体の体積予想について研究することと，体積予想に関する研究の成果を生かして３次元多様体の幾何構造について研究することを目的とした．　体積予想とは，結び目や３次元多様体の量子不変量と呼ばれるものと，双曲体積と呼ばれる結び目補空間や多様体の幾何構造から定まる体積との関連を示唆するものである．この予想は，量子 6j-symbol と呼ばれる，重力理論で使われる量が，３次元定曲率空間（双曲空間，または３次元球）の４面体の体積と関係することを示唆しており，このことを用いて，定曲率空間の４面体の体積を表す，非常に対称性の高い新しい公式を得ることができた．これは，三角形の面積を表すヘロンの公式の３次元化に当たるものである．この公式は，最近になってヘリウム原子，リチウム原子の３電子系の研究にも応用されている．　現在は，この公式を幾何構造の決定に応用する研究を推進している．　なお，この研究に関連して下記の国際学会にて研究発表を行った．A formula for the volume of a tetrahedron and its applicationKnots in Montreal II (Montreal, CANADA)2002 年 4 月On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbolGeometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA)2002 年 8 月On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariantGeometry & physics of three-dimensional quantum gravity (Edinburg, UK)2003 年 7 月さらに，この研究のため，次の国際研究集会を組織し，４名の海外からの研究者も加わって双曲体積に関して活発に議論された．"Workshop on Hyperbolic volumes",December 9 (Tue.) -- December 11 (Thu.), 2003 at Third conference room, Second floor, S55 building Waseda University (Ohkubo campus)http://www.f.waseda.jp/murakami/workshop2003/workshoptop.html