2022/05/19 更新

写真a

ムラカミ ジュン
村上 順
所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授

兼担

  • 商学学術院   商学部

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学歴

  •  
    -
    1982年

    東京大学   理学系研究科   数学  

  •  
    -
    1982年

    東京大学   理学系研究科   数学  

  •  
    -
    1980年

    東京大学   理学部   数学  

  •  
    -
    1980年

    東京大学   理学部   数学  

学位

  • 東京大学   理学修士

  • 大阪大学   理学博士

経歴

  • 2001年
    -
     

    早稲田大学教授

  • 1993年
    -
    2001年

    大阪大学助教授

  • 1992年
    -
    1993年

    ドイツ・ボン・マックスプランク数学研究所客員研究員

  • 1990年
    -
    1993年

    大阪大学講師

  • 1991年
    -
    1992年

    アメリカ・プリンストン高等研究所客員研究員

  • 1982年
    -
    1989年

    大阪大学助手

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所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野

  • 数理解析学

  • 代数学

  • 幾何学

研究キーワード

  • 3次元多様体、結び目理論、量子不変量、表現論

論文

  • Combinatorial Decompositions, Kirillov–Reshetikhin Invariants, and the Volume Conjecture for Hyperbolic Polyhedra

    Kolpakov, Alexander, Murakami, Jun

    Experimental Mathematics     197 - 203  2018年06月

     概要を見る

    © 2017 Taylor & FrancisWe suggest a method of computing volume for a simple polytope P in three-dimensional hyperbolic space (Formula presented.). This method combines the combinatorial reduction of P as a trivalent graph Γ (the 1-skeleton of P) by I–H, or Whitehead, moves (together with shrinking of triangular faces) aligned with its geometric splitting into generalized tetrahedra. With each decomposition (under some conditions), we associate a potential function Φ such that the volume of P can be expressed through a critical values of Φ. The results of our numeric experiments with this method suggest that one may associate the above-mentioned sequence of combinatorial moves with the sequence of moves required for computing the Kirillov–Reshetikhin invariants of the trivalent graph Γ. Then the corresponding geometric decomposition of P might be used in order to establish a link between the volume of P and the asymptotic behavior of the Kirillov–Reshetikhin invariants of Γ, which is colloquially known as the Volume Conjecture.

    DOI

  • Reidemeister transformations of the potential function and the solution

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   26 ( 12 )  2017年10月  [査読有り]

     概要を見る

    The potential function of the optimistic limit of the colored Jones polynomial and the construction of the solution of the hyperbolicity equations were defined in the authors' previous papers. In this paper, we define the Reidemeister transformations of the potential function and the solution by the changes of them under the Reidemeister moves of the link diagram and show the explicit formulas. These two formulas enable us to see the changes of the complex volume formula under the Reidemeister moves. As an application, we can simply specify the discrete faithful representation of the link group by showing a link diagram and one geometric solution.

    DOI

  • Generalized kashaev invariants for knots in three manifolds

    Jun Murakami

    Quantum Topology   8 ( 1 ) 35 - 73  2017年

     概要を見る

    Kashaev’s invariants for a knot in a three sphere are generalized to invariants of a knot in a three manifold. A relation between the newly constructed invariants and the hyperbolic volume of the knot complement is observed for some knots in lens spaces.

    DOI

  • Yokota type invariants derived from non-integral highest weight representations of U-q(sl(2))

    Atsuhiko Mizusawa, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   25 ( 10 )  2016年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We define invariants for colored oriented spatial graphs by generalizing CM invariants [F. Costantino and J. Murakami, On SL(2, C) quantum 6j-symbols and their relation to the hyperbolic volume, Quantum Topol. 4 (2013) 303-351], which were defined via non-integral highest weight representations of U-q(sl(2)). We apply the same method used to define Yokota's invariants, and we call these invariants Yokota type invariants. Then, we propose a volume conjecture of the Yokota type invariants of plane graphs, which relates to volumes of hyperbolic polyhedra corresponding to the graphs, and check it numerically for some square pyramids and pentagonal pyramids.

    DOI

  • The Dual Jacobian of a Generalised Hyperbolic Tetrahedron, and Volumes of Prisms

    Alexander Kolpakov, Jun Murakami

    TOKYO JOURNAL OF MATHEMATICS   39 ( 1 ) 45 - 67  2016年06月  [査読有り]

     概要を見る

    We derive an analytic formula for the dual Jacobian matrix of a generalised hyperbolic tetrahedron. Two cases are considered: a mildly truncated and a prism truncated tetrahedron. The Jacobian for the latter arises as an analytic continuation of the former, that falls in line with a similar behaviour of the corresponding volume formulae.
    Also, we obtain a volume formula for a hyperbolic n-gonal prism: the proof requires the above mentioned Jacobian, employed in the analysis of the edge lengths behaviour of such a prism, needed later for the Schldfli formula.

  • INVARIANTS OF HANDLEBODY-KNOTS VIA YOKOTA'S INVARIANTS

    Atsuhiko Mizusawa, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   22 ( 11 ) 1350068  2013年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We construct quantum U-q(sl(2)) type invariants for handlebody-knots in the 3-sphere S-3. A handlebody-knot is an embedding of a handlebody in a 3-manifold. These invariants are linear sums of Yokota's invariants for colored spatial graphs which are defined by using the Kauffman bracket. We give a table of calculations of our invariants for genus 2 handlebody-knots up to six crossings. We also show our invariants are identified with special cases of the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants.

    DOI

  • Volume of a doubly truncated hyperbolic tetrahedron

    Alexander Kolpakov, Jun Murakami

    AEQUATIONES MATHEMATICAE   85 ( 3 ) 449 - 463  2013年06月  [査読有り]

     概要を見る

    The present paper regards the volume function of a doubly truncated hyperbolic tetrahedron. Starting from the earlier results of J. Murakami, U. Yano and A. Ushijima, we have developed a unified approach to express the volume in different geometric cases by dilogarithm functions and to treat properly the many analytic strata of the latter. Finally, several numeric examples are given.

    DOI

  • Logarithmic invariants for knots in three manifolds (ホップ代数と量子群 : 応用の可能性 : RIMS研究集会報告集)

    村上 順

    数理解析研究所講究録   1840   43 - 66  2013年06月

    CiNii

  • On SL(2, C) quantum 6j-symbol and its relation to the hyperbolic volume

    Francesco Costantino, Jun Murakami

    Quantum Topology   4 ( 3 ) 303 - 351  2013年

    DOI

  • Optimistic limits of the colored Jones polynomials

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    Bulletin of the Korean Mathematical Society   50 ( 3 ) 641 - 693  2013年

     概要を見る

    We show that the optimistic limits of the colored Jones polynomials of the hyperbolic knots coincide with the optimistic limits of the Kashaev invariants modulo 4π2. © 2013 The Korean Mathematical Society.

    DOI

  • The volume formulas for a spherical tetrahedron

    Jun Murakami

    Proc. Amer. Math. Soc.   140 ( 9 ) 3289 - 3295  2012年  [査読有り]

  • THE COMPLEX VOLUMES OF TWIST KNOTS VIA COLORED JONES POLYNOMIALS

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   19 ( 11 ) 1401 - 1421  2010年11月  [査読有り]

     概要を見る

    For a hyperbolic knot, an ideal triangulation of the knot complement corresponding to the colored Jones polynomial was introduced by Thurston. Considering this triangulation of a twist knot, we find a function which gives the hyperbolicity equations and the complex volume of the knot complement, using Zickert's theory of the extended Bloch group and the complex volume.
    We also consider a formal approximation of the colored Jones polynomial. Following Ohnuki's theory of 2-bridge knots, we define another function which comes from the approximation. We show that this function is essentially the same as the previous function, and therefore it also gives the same hyperbolicity equations and the complex volume.
    Finally we compare this result with our previous one which dealt with Yokota theory, and, as an application to Yokota theory, present a refined formula of the complex volumes for any twist knots.

    DOI

  • SOME APPLICATIONS OF THE COLORED ALEXANDER INVARIANT (Quantum groups and quantum topology)

    村上 順

    数理解析研究所講究録   1714   105 - 126  2010年09月

    CiNii

  • THE COMPLEX VOLUMES OF TWIST KNOTS

    Jinseok Cho, Jun Murakami, Yoshiyuki Yokota

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   137 ( 10 ) 3533 - 3541  2009年10月  [査読有り]

     概要を見る

    For a given hyperbolic knot, the third author defined a function whose imaginary part gives the hyperbolic volume of the knot complement. We show that, for a twist knot, the function actually gives the complex volume of the knot complement using Zickert's and Neumann's theory of the extended Bloch groups and the complex volumes.

  • SOME LIMITS OF THE COLORED ALEXANDER INVARIANT OF THE FIGURE-EIGHT KNOT AND THE VOLUME OF HYPERBOLIC ORBIFOLDS

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   18 ( 9 ) 1271 - 1286  2009年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We calculate certain limits of the colored Alexander invariant of the figure-eight knot for some cases and show that this limit is related to the volume of hyperbolic orbifolds whose singular set is the figure-eight knot.

    DOI

  • LOGARITHMIC KNOT INVARIANTS ARISING FROM RESTRICTED QUANTUM GROUPS

    Jun Murakami, Kiyokazu Nagatomo

    INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS   19 ( 10 ) 1203 - 1213  2008年11月  [査読有り]

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    We construct knot invariants from the radical part of projective modules of the restricted quantum group (U) over bar (q)(sl(2)) at q = exp(pi root-1/p), and we also show a relation between these invariants and the colored Alexander invariants. These projective modules are related to logarithmic conformal field theories.

  • Colored Alexander invariants and cone-manifolds

    Jun Murakami

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   45 ( 2 ) 541 - 564  2008年06月  [査読有り]

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    In this paper, we reconstruct the link invariant of framed links introduced in I I by the universal R-matrix of Uq(sl(2)) and name it the colored Alexander invariant. We check that the optimistic limit o-lim of this invariant is determined by the volume of the knot and link cone-manifold for figure eight knot, Whitehead link and Borromean rings. We also propose the A-polynomials of these examples obtained from the colored Alexander invariant.

  • A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths

    Jun Murakami, Akira Ushijima

    Journal of Geometry   83 ( 1-2 ) 153 - 163  2005年12月

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    We give a closed formula for volumes of generic hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths. The cue of our formula is by the volume conjecture for the Turaev-Viro invariant of closed 3-manifolds, which is defined from the quantum 6j -symbols. This formula contains the dilogarithm functions, and we specify the adequate branch to get the actual value of the volumes. © Birkhäuser Verlag, Basel, 2005.

    DOI

  • On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron

    J Murakami, M Yano

    COMMUNICATIONS IN ANALYSIS AND GEOMETRY   13 ( 2 ) 379 - 400  2005年03月  [査読有り]

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    A new formula for the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron is obtained from the quantum 6j-symbol. This formula is of symmetric form with respect to the symmetry of the tetrahedron.

  • Actual computation for the coplexified hyperbolic volume conjecture

    Jun Murakami

    Volume Conjecture とその周辺,数理解析研究所講究録   1279   67 - 85  2002年08月

  • Generalized volume and geometric structure of 3-manifolds

    Jun Murakami

    明日の低次元トポロジー、京都大学数理解析研究所   1272   91 - 113  2002年06月

  • 量子 6j-symbol の漸近挙動と双曲4面体の体積

    村上 順

    結び目のトポロジー IV(大阪市立大学、2001年12月17日〜20日)     103 - 112  2002年02月

  • Kashaev's conjecture and the Chern-Simons invariants of knots and links

    Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Miyuki Okamoto, Toshie Takata, Yoshiyuki Yokota

    Experimental Mathematics   11 ( 3 ) 447 - 455  2002年  [査読有り]

  • The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot

    H Murakami, J Murakami

    ACTA MATHEMATICA   186 ( 1 ) 85 - 104  2001年  [査読有り]

  • On web diagmrams

    Jun Murakami

    研究集会報告集「結び目の数理」(1998年10月26日〜29日,関西セミナーハウス)作間誠編     46 - 65  1999年02月

  • Finite-type invariants detecting the mutant knots

    Jun Murakami

    Knot Theory - Dedicated to Professor Kunio Murasugi for hits 70th birthday -     46 - 65  1999年02月

  • A three-manifold invariant via the Kontsevich integral

    Thang T. Q. Le, Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Tomotada Ohtsuki

    Osaka Journal of Mathematics   36   365 - 396  1999年  [査読有り]

  • Heisenberg algebraによるコード図の表現について

    村上 順

    「代数群と量子群の表現論」研究集会(2000年6月30日〜7月2日)報告集     133 - 144  1998年11月

  • On a universal perturbative invariant of 3-manifolds

    TTQ Le, J Murakami, T Ohtsuki

    TOPOLOGY   37 ( 3 ) 539 - 574  1998年05月  [査読有り]

  • Parallel version of the universal Vassiliev-Kontsevich invariant

    TTQ Le, J Murakami

    JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA   121 ( 3 ) 271 - 291  1997年10月  [査読有り]

     概要を見る

    Let (Z) over cap(f) be the universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed links in [13], which is a generalization of Kontsevich's invariant in [10, 1]. Let K be a framed knot and K-(r) be its r-parallel. Then we show (Z) over cap(f)(K-(r)) = Delta((r))((Z) over cap(f)(K)), where Delta((r)) is an operation of chord diagrams which replace the Wilson loop by r copies. We calculate the values of (Z) over cap(f) of the Hopf links and the change of (Z) over cap(f) under the Kirby moves. An explicit formula of an important normalization factor, which is the value of the trivial knot, in the universal enveloping algebra U(g) of any Lie algebra is given. (C) 1997 Elsevier Science B.V.

  • Topological quantum field theory for the universal quantum invariant

    J Murakami, T Ohtsuki

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   188 ( 3 ) 501 - 520  1997年10月  [査読有り]

     概要を見る

    We extend the universal quantum invariant defined in [15] to an invariant of 3-manifolds with boundaries, and show that the invariant satisfies modified axioms of TQFT.

  • Kontsevich's integral for the Kauffman polynomial

    TTQ Le, J Murakami

    NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL   142   39 - 65  1996年06月  [査読有り]

  • The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links

    Thang T. Q. Le, Jun Murakami

    Compositio Mathematica   102   42 - 64  1996年  [査読有り]

  • 反復積分を用いた結び目の不変量と多重ゼータ関数への応用

    村上 順

    第39回代数学シンポジウム報告集     73 - 79  1995年07月

  • 反復積分を用いた結び目の不変量からできる3次元多様体の不変量

    村上 順

    研究集会「Art of Low Dimensional Topology」報告集     1 - 11  1995年05月

  • REPRESENTATION OF THE CATEGORY OF TANGLES BY KONTSEVICHS ITERATED INTEGRAL

    LTQ THANG, J MURAKAMI

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   168 ( 3 ) 535 - 562  1995年04月  [査読有り]

     概要を見る

    Applying Kontsevich's iterated integral for tangles, we get an isotopy invariant of tangles. We give a method to compute the integral of a tangle combinatorially from modified integrals of some simple tangles. We localize the integral by moving the end points of the tangle to an extreme configuration, and modify the integral so that it is convergent. By using a similar technique, we generalize Kontsevich's invariant to a framed tangle.

  • KONTSEVICHS INTEGRAL FOR THE HOMFLY POLYNOMIAL AND RELATIONS BETWEEN VALUES OF MULTIPLE ZETA-FUNCTIONS

    TQT LE, J MURAKAMI

    TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS   62 ( 2 ) 193 - 206  1995年03月  [査読有り]

     概要を見る

    Kontsevich's integral for the Homfly polynomial is studied by using representations of the chord diagram algebras via classical r-matrices for sl(N) and via a Kauffman type state model. We compute the actual value of the image of W(gamma) by these representations, where gamma is the normalization factor to construct an invariant from the integral. This formula implies relations between values of multiple zeta functions.

  • A three-manifold invariant derived from the universal Vassiliev-Kontsevich invariant

    Thang T. Q. Le, Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Tomotada Ohtsuki

    Proceedings of the Japan Academy, Series A   71   125 - 127  1995年  [査読有り]

  • SUBGRAPHS OF W-GRAPHS AND THE 3-PARALLEL VERSION POLYNOMIAL INVARIANTS OF LINKS

    M OCHIAI, J MURAKAMI

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   70 ( 8 ) 267 - 270  1994年10月  [査読有り]

  • Kontsevich's integral for the HOMFLY polynomial and its applications

    Jun Murakami

    無限可積分系の幾何的側面,数理解析研究所講究録   883   134 - 147  1994年08月

  • Centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group Uq(gl(n, C))

    Masashi Kosuda, Jun Murakami

    Osaka Journal of Mathematic   30   475 - 507  1994年

  • 結び目のVassiliev-Kontsevich不変量とその応用

    村上 順

    研究集会「位相不変量とその関連」(1993年10月24日〜27日)報告集     23 - 36  1994年01月

  • THE YAMADA POLYNOMIAL OF SPATIAL GRAPHS AND KNIT ALGEBRAS

    J MURAKAMI

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   155 ( 3 ) 511 - 522  1993年08月  [査読有り]

     概要を見る

    The Yamada polynomial for embeddings of graphs is widely generalized by using knit semigroups and polytangles. To construct and investigate them, we use a diagrammatic method combined with the theory of algebras H(N,M)(a,q), which are quotients of knit semigroups and are generalizations of Iwahori-Hecke algebras H(n)(q). Our invariants are versions of Turaev-Reshetikhin's invariants for ribbon graphs, but our construction is more specific and computable.

  • A STATE MODEL FOR THE MULTIVARIABLE ALEXANDER POLYNOMIAL

    J MURAKAMI

    PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS   157 ( 1 ) 109 - 135  1993年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We construct a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable (non-reduced) Alexander polynomial. Our model is a colored version of the 6-vertex free fermion model. To show the correspondence of our model and the multi-variable Alexander polynomial, we introduce colored braid groups and their Magnus representations. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained.

  • The centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group Uq(gl(n, c)) and the HOMFLY polynomial of links

    Masashi Kosuda, Jun Murakami

    Proceedings of the Japan Academy, Series A   68   148 - 151  1992年  [査読有り]

  • THE REPRESENTATIONS OF THE Q-ANALOG OF BRAUER CENTRALIZER ALGEBRAS AND THE KAUFFMAN POLYNOMIAL OF LINKS

    J MURAKAMI

    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   26 ( 6 ) 935 - 945  1990年12月  [査読有り]

  • Yang-Baxter 方程式と表現論

    Jun Murakami

    表現論とその物理的応用,数理解析研究所講究録   700   48 - 63  1989年08月

  • Invariant of rigit 4-vartex graphs in S^3

    Jun Murakami

    結び目の構造の多様性とその応用     221 - 233  1989年05月

  • THE PARALLEL VERSION OF POLYNOMIAL INVARIANTS OF LINKS

    J MURAKAMI

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   26 ( 1 ) 1 - 55  1989年03月  [査読有り]

  • CYCLOTOMIC INVARIANTS FOR LINKS

    T KOBAYASHI, H MURAKAMI, J MURAKAMI

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   64 ( 7 ) 235 - 238  1988年09月  [査読有り]

  • Brauerのcentralizer algebraのq-analogue表現の構成

    村上 順

    組み合わせ論とその周辺の研究,数理解析研究所講究録   670   251 - 257  1988年09月

  • THE KAUFFMAN POLYNOMIAL OF LINKS AND REPRESENTATION-THEORY

    J MURAKAMI

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   24 ( 4 ) 745 - 758  1987年12月  [査読有り]

  • 数理物理とリンクの多項式不変量

    村上 順

    低次元トポロジーの諸問題と最近の成果,数理解析研究所講究録   636   141 - 152  1987年12月

  • Iwahori(Hecke)algebraとlinkの多項式不変量

    村上 順

    第33回代数学シンポジウム(1987年7月27日〜30日,福井大学)報告集     305 - 318  1987年10月

  • リンクの不変量のパラレルバージョンについて

    村上 順

    「低次元トポロジーの幾何と代数」研究集会報告集,数理解析研究所講究録   624   7 - 17  1987年05月

  • ソリッドトーラス中の絡み目とaffine Weyl群のHecke環

    村上 順

    群論, 数理解析研究所講究録   580   70 - 76  1986年02月

  • Solid Torus の Link の Polynomial Invariant

    村上 順

    低次元多様体の幾何学的諸相     57 - 60  1985年12月

  • Linkの2変数多項式のmuSIMP/muMATHによる計算

    村上 順

    コンピューターを用いた低次元トポロジーの研究, 数理解析研究所講究録   561   136 - 141  1985年05月

  • Q<SUB>p</SUB>上の概均質ベクトル空間の相対不変式の複素べきの Fourier 変換について

    村上 順

    概均質ベクトル空間の展望, 数理解析研究所講究録   555   85 - 92  1985年03月

  • 対称群の表現の新しい構成法について

    Jun Murakami

    代数群とその周辺,数理解析研究所講究録   512   22 - 39  1984年02月

  • Lobachevsky 空間の discrete group について − Vinberg の一連の仕事の紹介(III) ー

    Jun Murakami

    リー環,代数群とその周辺,数理解析研究所講究録   394   138 - 149  1980年08月

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書籍等出版物

  • 結び目と量子群

    村上 順

    朝倉書店  2000年

  • 量子不変量

    大槻 知忠

    日本評論社  1999年

  • 現代数学序説 2

    宮西 正宜, 川久保, 勝夫

    大阪大学出版会  1998年10月

  • Representation of mapping class groups via the universal perturbative invariant

    Jun Murakami

    Proceedings of Knots 96, ed. S. Suzuki, World Scientific  1997年

  • The Casson invariant for a knot in a 3-manifold

    Jun Murakami

    Geomatry and Physics (Ed. Anderson, Dupont Pedersen and Swan), Lecture notes in pure and applied mathematics  1996年

  • The Casson invariant for a knot in a 3-manifold

    Jun Murakami

    Geometry and Physics (Ed. Anderson, Dupont, Pedersen and Swan), Lecture notes in pure and applied mathematics  1996年

  • On local relations to determine the multi-variable Alexander polynomial of colored links

    Jun Murakami

    Knot 90 (Osaka, 1990), de Gruyter  1992年

  • The multi-variable Alexander polynomial and a one-parameter family of representations of Uq(sl(n, C)) at q2=1

    Jun Murakami

    Quantum groups (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Mathematics, Springer  1992年

  • Invariants of spatial graphs

    Jun Murakami

    Aspects of Low Dimensional Manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics  1992年

  • On local relations to determine the multi-variable Alexander polynomial of colored links

    Jun Murakami

    Knot 90 (Osaka 1990), de Gruyter  1992年

  • Invariants of spatial graphs

    Jun Murakami

    Aspects of Low Dimensional Manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics  1992年

  • The free-fermion model in presence of field related to the quantum group Uq(sl2) of affine type and the multi-variable Alexander polynomial of links

    Jun Murakami

    Infinite analysis, Advanced Series in Mathematical Physics  1991年

  • The free-fermion model in presence of field related to the quantum group Uq(sl2) of affine type and the multi-variable Alexander polynomial of links

    Jun Murakami

    Infinite analysis, Advanced Series in Mathematical Physics  1991年

  • 結び目理論

    河内 明夫

    シュプリンガー・フェアラーク東京  1990年06月

  • Solvable lattice models and algebras of face operators

    Jun Murakami

    Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, Advanced Studies in Pure Mathematics, Academic Press  1989年

  • Solvable lattice models and algebras of face operators

    Jun Murakami

    Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, Advanced Studies in Pure Mathematics, Academic Press  1989年

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その他

  • 最近,量子 6j-記...

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    最近,量子 6j-記号が3次元重力理論において注目されている.結び目や3次元多様体の量子不変量と,体積や幾何構造との関係を研究することは3次元重力理論における幾何構造を研究することにもつながり,幾何学や代数学ばかりでなく,数理物理学にとっても大変興味深い.

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 量子不変量から見た3次元多様体の幾何構造の研究

    研究期間:

    2020年04月
    -
    2025年03月
     

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    本研究では体積予想を軸として量子不変量と結び目や3次元多様体の幾何学的性質の関係を研究するのであるが,そのために次の3つの問題に対して研究を進める。1.体積予想は正しいか?2.体積予想の背景にある表現論はなにか?3.量子不変量そのものと対応する量子化された幾何構造とは何か?これらの問いを明らかにするため、低次元トポロジーの研究、双曲幾何学などの幾何構造の研究、それにリー環や量子群の表現論の研究を進め、これら3分野の研究を体積予想を軸に統合する

  • 双曲四面体の複素化の研究

    研究期間:

    2020年07月
    -
    2023年03月
     

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    双曲空間中の四面体は,辺の長さや2つの面が辺でなす角度によりその形が決まっている。この四面体に対する体積の公式を見るとこれらの長さや角度に関するパラメータについて解析的であり,また,長さを実数,角度を純虚数と見ることで,対称的な式となっている。このことから,これらのパラメータを複素化したものに対応する幾何学的対象物があると期待されるので,これを「複素化された四面体」と呼び,その実体を明らかにする

  • 半単純でない位相的場の理論のダイヤグラムによる構成

    研究期間:

    2019年11月
    -
    2022年03月
     

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    My research focuses on the construction and characterization of Topological Quantum Field Theories (TQFTs) in dimension 3. More precisely, I am interested in recent developments brought about by non-semisimple techniques, which have substantially generalized the standard approach of Witten, Reshetikhin, and Turaev to the theory. The main tools my work is based on come from the theory of modified traces, developed my collaborators Nathan Geer and Bertrand Patureau, which allow for the extraction of crucial topological information in settings where standard traces are too degenerate.In collaboration with Christian Blanchet and Jun Murakami, we gave a diagrammatic description of the monoidal category generated by the fundamental representation of the small quantum group of sl(2) at a root of unity q of odd order. More precisely, we defined an extended version of the Temperley-Lieb category of parameter -q-1/q obtained by adding generators and relations at the level of morphisms. This extension is inspired by crucial differences between the category of representations of small quantum sl(2) and that of Lusztig’s divided power version, which corresponds directly to the standard Temperley-Lieb category. The definition is based on a generalized version of Jones-Wenzl idempotents which realizes projectors on indecomposable projective representations. We proved there exists a full monoidal functor from the extended Temperley-Lieb category to the category of representations of small quantum sl(2) which sends the monoidal generator to the fundamental representation.In parallel, in collaboration with Azat Gainutdinov, Nathan Geer, Bertrand Patureau, and Ingo Runkel, we defined a renormalized version of Lyubashenko’s non-semisimple quantum invariants of closed 3-manifolds, which we extended to TQFTs. Our construction uses the theory modified traces to define a quantum invariant for each finite, non-degenerate, unimodular ribbon category. Using the universal construction, we were able to extend the renormalized Lyubashenko invariant associated with a finite factorizable ribbon category to a symmetric monoidal functor on the category of admissible cobordisms.In collaboration with Christian Blanchet and Jun Murakami, we are currently extending the graphical calculus derived from Kauffman’s bracket polynomial in a bichrome sense, by analogy with the algebraic approach. In order to do this, we are using the diagrammatic description of the monoidal category generated by the fundamental representation of small quantum sl(2) we previously obtained in terms of the extended Temperley-Lieb category. A key step of the project consists in figuring out a diagrammatic translation of the very rich structure of a crucial object of the category of representation of small quantum sl(2), called the coend, which is embodied by the adjoint representation. The construction of a family of quantum invariants of closed 3-manifolds will naturally be based on a decomposition of the symmetrized integral, another fundamental ingredient form the algebraic viewpoint, in terms of traces and pseudo-traces, as well as on the theory of modified traces. The extension to a family of non-semisimple TQFTs will then be done in the usual way, through the universal construction. The idea is to obtain a diagrammatic construction of non-semisimple quantum invariants and TQFTs associated with small quantum sl(2) which does not require any knowledge of its representation theory.In parallel, in collaboration with Azat Gainutdinov, Nathan Geer, Bertrand Patureau, and Ingo Runkel, we are proving the mapping class group representations issued by our TQFT construction are equivalent to Lyubashenko’s one.In the coming months, I plan to complete the diagrammatic construction of non-semisimple quantum invariants of closed 3-manifolds associated with small quantum sl(2), as well as their extension to TQFTs, as explained above.In a second moment, my goal is to use this model for the study of associated geometric problems. For example, this combinatorial construction would naturally induce actions of skein algebras on non-semisimple state spaces of closed surfaces. Representations of these algebraic structures have a geometric interest, and they already attracted considerable attention in the semi-simple case. A combinatorial model for non-semisimple TQFTs would then immediately induce new families of representations of skein algebras. The diagrammatic approach would also be interesting in order to generalize Witten’s asymptotic conjecture, which connects Witten-Reshetikhin-Turaev invariants, and in particular their asymptotic behavior with respect to the order of the root of the unity, with gauge theoretical quantities like the Chern-Simons invariant and the Reidemeister torsion. In the semisimple case, the skein module of a 3-manifold can be obtained as a deformation of the coordinate ring of its SL(2)-character variety. An analogous interpretation in the non-semisimple case would allow us to look for asymptotic relations between actions of mapping class groups of different nature: quantum ones (on non-semisimple skein modules) on one side, and geometric ones (on spaces of square-integrable functions associated with character varieties) on the other

  • 双対量子群による基本群の量子化

    研究期間:

    2017年06月
    -
    2020年03月
     

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    この研究では,結び目補空間の基本群の線形表現を、線形群上の関数空間がなすホップ代数の視点から見直すことで,線形表現の量子化にあたるものの構成を目指した.量子化を得るためには線形群上の関数空間がなすホップ代数の量子化を考える必要があるが,これに対しては,S. Majid により構成された組紐型の量子群を用いるというのが主たるアイデアである.最初の成果として,組紐型のホップ代数から組紐群の表現が得られることがわかった.ホップ代数については知られている結果だが,組紐型のホップ代数でも同じようにして組紐群の表現が得られることが示せ,この表現をもとに,結び目にのみよる数学的なオブジェクトの構成を目指した.線形表現の場合,基本群からその線形群への準同型写像全体のなす空間の同型類が,結び目によって一通りに決まり,結び目のこの線形群に対応する表現空間と呼ばれている.この構成をホップ代数の視点から見直し,組紐型のホップ代数に拡張するのであるが.このとき,組紐型のホップ代数が「組紐型の交換関係」を満たせば、対応する表現空間の同型類が結び目から一通りに決まることを示した.古典型の線形群に対しては対応する組紐型のホップ代数があり,これらはみな組紐型の交換関係を満たすので,結び目群の古典型の線形群への線形表現から,対応する組紐型のホップ代数の表現空間が構成できることがわかり,これを表現の量子化と呼んでいる.このようにして組紐型のホップ代数から構成された表現空間は,非可換な代数的なスキームと呼ばれるものにになるが,組紐型の交換関係があることにより,非可換スキームとしてこれまでにない特徴を持つことがわかり,非可換代数幾何に対する新たな興味深い例の族を与えることができた.表現空間から指標多様体が構成されるが,この指標多様体にあたるものの量子化がまだ構成できていない。基本群の通常の表現に対しては,表現空間から指標多様体が構成されるであるが,この指標多様体にあたるものの量子化がまだ構成できていない。そこで,この指標多様体の量子化の構成を目指すとともに,結び目の A-多項式との関係や他の普遍流王との関係についても明らかにする

  • 双対量子群による基本群の量子化

    日本学術振興会  科学研究費

    研究期間:

    2017年06月
    -
    2020年03月
     

     概要を見る

    組み紐型の量子群を用いて結び目の基本群の SL(2) 表現の量子化を構成し、対応する Cheeger-Chern-Simons 類をみることで双曲体積や Chern-Simons 不変量の量子化を構成する。

  • 量子不変量を用いた低次元幾何学の離散量子化の研究

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2017年03月
     

     概要を見る

    結び目や3次元多様体の量子不変量を用いて、低次元、すなわち2次元、3次元の幾何学の離散量子化の構成を目指した。そのため、カラードジョーンズ不変量だけでなく、カラードアレキサンダー不変量、ヘニングス不変量、対数型不変量といった多様な量子不変量とそれらの関係について調べ、また、空間グラフの量子不変量についても研究を行い、対応する幾何的な構造との関係を調べた。とくに、幾何構造から定まる双曲体積については上で述べた多くの量子不変量で対応がつくことを明らかにできた

  • 量子群の幻影の研究

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2016年03月
     

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    量子群でその量子パラーメータ q が1の冪根の場合に,必ずしも半単純とはならない射影的な表現についてその性質を調べ,この表現と対応する結び目や3次元多様体の量子不変量を構成し,その性質を調べた.通常の結び目に対する不変量は以前に logarithmic 不変量として構成していたが,新たに3次元多様体中の結び目に対する不変量を logarithmic 不変量を拡張したものとして構成し,さらに,体積予想の新しいバージョンとして,対応する双曲多様体の体積との関係についても明らかにした

  • 数学・物理学の様々な局面に現れるモジュラー・準モジュラー形式と多重ゼータ値の研究

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

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    一変数のモジュラー形式について,そのフーリエ級数の合同式,微分方程式との関連から,楕円曲線に付随するヘッケ形式でエータ積で書けるようなものを取り出すこと,また周期多項式と二重ゼータ値との関係,アフィン頂点作用素代数への応用,などの成果を得た.また多重ゼータ値については,高さが 1 の多重ゼータ値を,1を指数に含まない多重ゼータ値で明示的に書き表す公式,荒川金子ゼータ関数の補完的類似物の発見とその諸性質,そして,有限多重ゼータ値についての基本的性質および,対象多重ゼータ値を定義しての主予想の提示,などを行った

  • 量子不変量を用いた低次元幾何学の離散量子化の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    2013年
    -
    2016年
     

     概要を見る

    本研究においては,まず2次の特殊線形群に対応する量子展開環において,その1の冪根における半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量についての研究を行った.3次元球面中の結び目に対しては,以前 logarithmic 不変量と呼ぶものを表現の根基に対応する中心の元をもちいて構成しており,本研究の中で,この不変量を任意の向き付け可能な3次元閉多様体中の結び目の不変量に拡張した.この拡張された不変量の中には,Kashaev が双曲体積との関係を見いだした不変量を3次元閉多様体中の結び目に拡張したものも含んでいるが,この拡張された Kashaev の不変量について,数値計算により,その補空間の双曲体積との関係を調べ,3次元球面中の結び目に対して予想されている体積予想と同様の関係がいくつかの場合で成り立つことを確かめた.
    また,3次元球面中の結び目に対する Logarithmic 不変量に対し,これまで知られていた colored Alexander 不変量を用いた公式に加え,colored Jones 不変量を用いた公式を新たに得た.この公式では,葉廣による colored Jones 不変量の公式を用いて,最高ウェイトに対応するパラメータに関する微分を行うことで logarithmic 不変量が得られる.さらに,この公式を活用して, Logarithmic 不変量と双曲体積の関係を8の字結び目に対して調べ,8の字結び目に沿ったコーン多様体の双曲体積との間に,体積予想と同様の関係が成り立つことを数値計算で確認し,また,特別の場合については証明も与えた.
    さらに,ハンドル体結び目に対する量子不変量の構成や,Costantino-Murakami 不変量のグラフの埋め込みに対する拡張を行い,これらと双曲体積との関係を調べた.

  • 反復積分と配置空間の幾何構造および量子位相不変量への応用

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2015年03月
     

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    KZ方程式のモノドロミー表現として記述される組みひも群の量子表現と,ホモロジー表現との関係を明らかにした.リーマン球面上の共形場理論における共形ブロックの空間の多変数超幾何関数の積分表示を,積分サイクルの構造も込めて明らかにし,KZ接続がGauss-Manin接続とみなせることを証明した.また,対数微分形式の反復積分を用いたChenのホモロジー接続の概念を発展させて,配置空間のホモトピー・パス亜群の高次の圏としての表現により,組みひも群の量子表現の高次の圏への拡張を構成した

  • 数理物理学における量子トポロジーとモジュラー形式の総合的研究

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2015年03月
     

     概要を見る

    結び目・3次元多様体の量子不変量の幾何的および数論的な性質に関する研究を行った。特に色つきジョーンズ多項式の双曲幾何との関係、またトーラス結び目の場合についてはモジュラー形式との関連について研究を行った。また、ラマヌジャンのモックテータ函数理論を超対称共形代数に応用し、モックテータ函数のフーリエ係数と有限群の既約表現次数との関連を示すムーンシャイン現象に関する研究を行った

  • 量子群の幻影の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(挑戦的萌芽研究)

    研究期間:

    2013年
    -
    2015年
     

     概要を見る

    量子展開環のパラメータを1の冪根にしたものに関する,半単純でない表現について,2次の特殊線形群に対応する量子展開環については,Feigin らの研究を土台として,最高ウェイトが整でない表現からの極限としての構成法を以前構成した.これをもとにして,3次の特殊線形群に対応する量子展開環でパラメータを1の冪根にしたものについて,整でないウェイトに対応する表現の構造を調べた.
    この整でないウェイトに対応する表現からは,2次の特殊線形群に対応する場合と同じように,結び目の不変量の構成や,量子 6j 記号の構成が可能となるので,現在その準備を進めている.また,3次の特殊線形群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現の構成法から,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現についても,その構成法の概略を知ることができた.
    これらの成果をもとに,2次の特殊線形群の場合にできている,半単純でない表現を整でないウェイトに対応する表現から構成する手法を,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環に対して拡張する研究を行っている.そして,2次の特殊線形群に対応する場合に半単純でない表現とそれに対応する結び目の量子不変量から双曲構造やその量子化についての情報が得られたように,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の,半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量と幾何構造の量子化との関係についても研究を進めている.

  • 量子群の1の冪根における表現とその結び目などへの応用

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2013年03月
     

     概要を見る

    本研究では、量子群Uq(sl2) に関連する量子不変量と結び目補空間の双曲体積との関係を示す「体積予想」に注目し、関連する研究を行うとともに、この量子群の半単純ではない表現に注目し、この表現と対応する結び目の量子不変量についての研究を進めてきた。そして、体積予想を応用して結び目補空間の幾何構造や、定曲率空間中の多面体の体積に関する公式を得るとともに、半単純ではない表現に対応する、3次元多様体中の結び目に関する新たな不変量を構成した

  • 代数体上の有限クレモナ変換群に対するネーター問題と数論への応用

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    2007年
    -
    2009年
     

     概要を見る

    本研究においては,与えられた有限群Gの,代数的数を係数とする多変数有理関数体のクレモナ変換作用に関するネーター問題を研究し,所期の研究成果を得た.その成果を現在総合的に取りまとめる作業を行っているが,完成までにまだ多少の時間が必要である.また,本課題研究の一環として,研究集会「ガロア理論とその周辺」を山形大(2007),徳島大(2008),金沢(2007)において開催するとともに,各年度末に早稲田大学理工学部において整数論研究集会を開催し,海外の研究者を交えた講演と討論を通じて本課題研究の進展と今後の研究の進め方などについて討議した.これらの研究集会のいくつかについては報告集の冊子が印刷・配布されている.

  • 整数論にあらわれる特殊関数の代数解析的研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    2003年
    -
    2006年
     

     概要を見る

    研究の初期の段階においては,多重ゼータ値の間に成立する種々の関係式と1変数多重対数関数のみたす接続関係をMellin変換と逆Mellin変換により対応付けすることを試みた.これにより多重ゼータ値の線型関係式のクラスとしては最も大きいと目される「多重ゼータ値に関する大野関係式」と「1変数多重対数関数の接続関係式(z→1-zとしたときの接続関係式)」の対応が明らかになった.このような具体的なレベルにおける1多重ゼータ値の関係式と多重対数関数の対称性との関係が明らかにされたことは大変意義深い,この結果は、論文「Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms, Pub1. RIMS, Kyoto Univ. 40(2004),537-564」として出版された.
    この研究を契機として,1変数多重対数関数のみたす1変数KZ方程式の対称性(z=0,1,∞の特異点において正規化された基本解の間の変換理論=3次の対称群に同型)を形式的な水準(これは方程式の係数行列を単なる非可換変数と見倣して方程式を解析することを意味する)で記述することを試みた.各特異点近傍における正規化された基本解は,いわゆる,DrinfeldAssociatorにより接続され,基本解同士の接続関係からDrinfeldAsscoiatorのみたす双対関係式と6角形関係式が導かれる.この結果は「The Sum Formula of Multiple Zeta Values and Connection Problem of the Formal Knizhinik-Zamolodchikov Equation, Zeta Functions, Topology and Quantum Physics ed. by T. Aoki et al. Developments in Mathematics 14, Springer(2005)145-170」において公表された.
    この論文の発表の後,研究の中心は多変数多重対数関数の接続関係を多変数KZ方程式の対称性(正規化された基本解同士の間の変換理論)から導くことを試みている.現在まで,2変数KZ方程式の対称性を一般的な水準で記述することに半ば成功している(基本解についての分解定理,解析性定理,また,Drinfeld Associatorが5角形関係式をみたすことなどを示すことができている.)一つの予想は,「基本解の分解定理から多重対数関数の調和積の関係式が導かれる」である.これらの結果は,2006年9月の日本数学会の秋季総合分科会(於大坂市立大学)における企画特別講演の予稿集で公表されている.

  • ガロア理論における生成的多項式族の構成とその数論研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    2003年
    -
    2005年
     

     概要を見る

    本研究補助費の援助によって研究代表者が主催者となり開催した,研究集会に於いて多くの講演・討論が活発に行われ,直接・間接の両面で数多くの成果が挙げられた.特に,研究上で共通の課題をもち,近年著しい研究成果を挙げつつあることを鑑みて,海外から7名の研究者を招聘した.これによって互いの研究に大きな進展が得られたのみならず,今後の協力体制を確立できたことは大変有意義であった.
    本研究の主要課題である「生成的」多項式族の構成について,第一の成果は,5次の可移な置換群である5個の有限群S_5,A_5,F_5,D_5,C_5に対して,2個のパラメータを持つ生成的多項式族を具体的に構成したことである.更にこの研究の応用として最終年度においては長年の懸案であった,A.Brumerによる3助変数をもつ6次のA_5多項式族のがQ上生成的であることが証明できたことは特筆に値する.
    また,Noether問題に関しては,例えば8次巡回群については答は否定的であることが知られているが,8を法とする1次元有限アフィン変換群の位数16の非可換部分群Gで8次巡回群を含むものすべてに対して4次元線型Noether問題を考察し,その肯定的な解答と最適と思われる生成系を具体的に与えた.応用として,4次巡回拡大が8次巡回拡大に埋蔵され得るための極めて簡明な必要十分条件を与えた.また,基礎体をいろいろ変化させた場合にversalな8次巡回多項式の助変数を4から3に下げられる為の条件についても考察をし,簡明な必要十分条件を与えた.

  • 低次元トポロジーの総合的研究

    科学研究費助成事業(東京工業大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    2001年
    -
    2002年
     

     概要を見る

    2001年度:京都大学数理解析研究所においてプロジェクト研究「21世紀の低次元トポロジー」を開催した.
    このプロジェクトは1年間にわたるもので,数理研に国内外から低次元トポロジーの研究者を集め集中的に研究を行った.海外からの参加者は50名程度であり多くの講演と活発な討論が行なわれた.これによって,低次元トポロジーにおける種々の分野,特に3次元多様体の組み合わせ的な研究,4次元空間内の曲面結び目の研究,結び目や3次元多様体の量子不変量の研究に新たな見地を見出した.
    2002年度:主に2001年度に得られた研究成果を発表するとともに情報交換を行ない,我々の結果を広く理解してもらうとともに今後の研究の目標を立てることができた.
    4月に研究代表者と村上順は,カナダ・ケベック大学モントリオール校で開かれた体積予想に関する研究集会に招待され講演を行なった.体積予想というのは,R.Kashaevの予想を村上順と研究代表者が一般化したものであり,Jones多項式を初めとする量子不変量と幾何構造を結びつけるという意味から多くの研究者の注目を集めている.また,小林は7月に韓国高等高等理工学研究所に招かれて,3次元多様体論についての連続講義を行ない,谷山は8月に中国西安で開かれた,国際数学者会議のサテライト会議「Geometric Topology」においてグラフの成す絡み目に関する招待講演を行なった.大槻はこれまでに得られた量子不変量に関する成果を専門書「Quantum invariants,-A study of knots,3-manifolds, and their sets」の形にまとめた.

  • 代数群と量子群の表現の総合的研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(A))

    研究期間:

    2000年
    -
    2001年
     

     概要を見る

    本研究の対象を,便宜上(1)アフィン・リー代数,(2)ヘッケ環,(3)有限シュヴァレー群,(4)複素鏡映群,(5)量子群,の5つに分け,おのおのに関する成果の概要を以下に述べる。
    (1)谷崎俊之(柏原正樹氏との共同研究)は,アフィン・リー代数の既約最高ウェイト加群のうち,最高ウェイトが臨界レベルを持たないものに対して,その指標を完全に決定した。最高ウェイトが有理的な場合は,これまでの柏原氏との共同研究で解決していたが,Jantzen氏による論法を用いることにより,一般の場合を上の場合に帰着させた.
    (2)宇野勝博は,1992年の論文において,ヘッケ代数の直既約加群の同型類が有限個となる為の条件を予想したが,有木進がこの「宇野予想」を古典型の場合に解決した。例外型の場合も含めた完全な解決も時間の問題と思われる.
    (3)庄司俊明は,有限シュヴァレー群の表現論で基本的なグリーン関数を,古典群の場合に組合せ論的に構成する方法を与えた.これは一般線型群の場合のGreenの理論の直接的拡張である.同じ構成法はワイル群をある種の複素鏡映群に置き換えても可能である.
    (4)川中宣明は,複素鏡映群の既約表現に対する不変量を新たに定義し,imprimitiveな場合に具体的に計算した.行者明彦らは,この不変量をすべてのワイル群の場合に具体的に計算し,それがLusztig氏の「両側セル」の概念と不思議な関係を持つことを観察した.
    (5)村上順(村上斉氏との共同研究)は,Kashaev氏が構成し,双曲結び目の補空間の双曲体積との関係を予想した結び目不変量が,量子群U^q(sl^2)のが既約表現についての量子R行列から作られるcolorede Jones不変量の特殊化であることを示し,このことを用いてKashaev予想を任意の結び目についての予想に一般化した.

  • 共形場理論におけるモノドロミーのガロア表現への応用

    科学研究費助成事業(東京大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    研究期間:

    1999年
    -
    2001年
     

     概要を見る

    共形場理論における写像類群の表現の性質について研究した。とくに、吉田朋好による、共形場理論のアーベル化の方法を援用して、共形ブロックの空間の基底をテータ関数を用いて記述しそこへの写像類群の作用を記述した。
    Vassiliev不変量の空間をループのホモトピー類のみのよる対数微分形式の、K.T.Chenの意味の反復積分全体としてもとらえることにより、位相不変量を多重ゼータ関数の特殊値として表すことができる。このような視点から得られる多重ゼータ関数の特殊値の間の関係式を系統的に研究した。また、Hodge理論をも用いて、多重ゼータ関数の特殊値のはる空間の次元についてのいくつかの予想に対して部分的な結果を得た。
    組みひものVassiliev不変量の空間は、3次元空間内の互いに異なる点の配置の空間のループ空問のコホモロジーと同型であることを示した。より正確には、上のループ空間のコホモロジーは、Vassiliev不変量のウェイト系と対応していて、位相不変量は、組みひもから構成される、ループ空間のあるホモロジー類とのペアリングによって与えられる。さらに、一般に、従来グラフの空間に値をとるものとして定式化されてきた、有限型位相不変量に対して、これを、点の配置の空間のループ空間のホモロジー類としてとらえるという新たな視点を展開した。

  • ウェブ図の代数的研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    研究期間:

    1999年
    -
    2001年
     

     概要を見る

    本年は京都大学数理解析研究所でプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」が行われ,組織委員の一人として参加した。テーマの一つとして量子不変量があげられており,内外の多数の研究者が集まって活発に交流が行われ,本研究にも多大の貢献があった。本年の成果をまとめると次のようになる。
    1.代数的側面について
    プロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」に参加したD.Thurstonは,ウェブ図のなす代数系に対して「微分」(derivation)を導入し,自明な結び目に対応する元についての非常に基本的な表記法を得た。また,これに附随してこの代数の二種類の積構造から定義される二種類の環構造についての同型対応を構成した。これについて京都大学数理解析研究所での短期共同研究「多重ゼータ値の諸相」で紹介し,その際に,多重ゼータ値の研究でのシャッフル積と調和積の間の関係と対応することが明かとなった。これを受け,多重ゼータ値の理論との関係について研究を開始した。
    また,「21世紀の低次元トポロジー」の参加者とウェブ図のなす代数系の呼称について話し合い,今後はヤコビ(Jacobi)図と呼ぶことで合意した。
    2.幾何的側面について
    ウェブ図と深く関係する量子不変量に対し,「体積予想」と呼ばれる問題がある。これは双曲構造が入る3次元多様体に対し,その体積が量子不変量からある方法で決まるのではないかという予想である。量子不変量には様々な側面があるが,量子6j-記号と呼ばれるものに注目し,体積予想から推察して双曲四面体の体積が量子6j-記号から得られると考え,研究を進めた結果,双曲四面体の体積を表す新たな公式を得た。

  • 量子包絡代数と量子包絡超代数の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    1998年
    -
    2001年
     

     概要を見る

    山根はアフィン超リー代数をシュバレー生成元と定義関係式で書き下すセール型の定理を与えた。そのアフイン量子超代数についても同様のことを行った。さらにA型アフイン超リー代数についてはそれをドリンフェルド生成元と定義関係式でも書き下した。アフィンリー代数のときとは違ってアフイン超リー代数の定義関係式はかなり複雑である。しかしながらアフィン超リー代数とアフィン量子超代数の定義関係式をくらべることによってアフィン超リー代数とアフィン量子超代数のヴァーマ加群のウェイト空間の次元が同じであることがわかる。R=C[s^<±1>,t^<±1>]を2変数ローラン多項式環とする。Dをsl(2|2)の普遍中心拡大とする。dimD/sl(2|2)=2である。D(R)=D【cross product】R【symmetry】Ω_R/dRがsl(2|2)【cross product】Rの普遍中心拡大である。D(R)有限個の生成元{E_<±α>, E_<±α^*>|α∈П'}と有限個の定義関係式で書きくだすことが出来た。このことをおこなった過程においてD型アファインスーパーリー代数D^<(1)>=D【cross product】C[t^<±1>]+Ccを有限個の生成元{E_<±α>|α∈П'}と有限個の定義関係式で書きくだすことが出来た。自然な写像D(R)→sl(212)(R)の核の基底を生成元{E_<±α>,E_<±α>士。*|α∈II'}で記述するのは容易でありこのことよりsl(2|2)(R)を有限個の生成元{E_<±α>, E_<±α^*>|α∈П'}と無限個の定義関係式で書きくだすことが出来る。
    永友は頂点作用素代数の表現論を展開し,その応用として共形場理論に関わる問題の研究をおこなった.研究成果の一つである共役電荷オービフォールド模型の既約表現の分類は,中心電荷が1以上の共形場理論の発展に重要な寄与をする.また,そのほかの研究成果である保型形式,あるいは擬保型形式を構成する相関関数の方法は,保型形式の専門家からの注目を集めている.

  • 写像類群の構造とリーマン面のモジュライ空間の幾何学

    科学研究費助成事業(東京大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    1998年
    -
    2000年
     

     概要を見る

    本研究では,曲面の写像類群とリーマン面のモジュライ空間の幾何学について,研究期間の3年間にわたって,主として位相幾何学の観点からの研究を行った.得られた結果を具体的に記すと,つぎのようになる.
    1.曲面の写像類群の有理係数のコホモロジー代数において,Mumford-Morita類達の生成する部分代数をtautological代数と呼ぶ.このtautological代数の位相的研究には,大きく言って三つのアプローチがある.第一は,分担者の河澄響矢氏の導入したねじれMumford-Morita類によるもの,第二はtrivalentグラフの不変量によるもの,そして第三はシンプレクティック群の表現論によるものである.本研究において,これまでの成果を集大成する形で,これらの三つのアプローチが,互いに完全に関連していることを証明した.
    2.曲面の写像類群,あるいはリーマン面のモジュライ空間の二次特性類の理論は,創始されたばかりで,未知のことが多い.しかし本研究において,第一のものを除く二次特性類はすべてトレリ群のべき零完備化では捉えられない深い構造をもつことが証明できた.これにより,今後はトレリ群のsemi-simpleな構造を反映する研究が極めて重要になることが示された.
    3.リーマン面の族について,位相幾何学および代数幾何学の観点からの研究,さらにはそれらの間の関連の研究が進んだ.とくに,シンプレクティック・ファイバー空間の特異ファイバーの回りのモノドロミーについて興味深い結果が得られた.

  • リーマン面の量子構造とその低次元位相幾何への応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    1998年
    -
    2000年
     

     概要を見る

    リーマン面の量子構造という観点から低次元位相幾何に関する新しい統一的方法をあみ出すことを目的に,主に幾何的側面と代数的側面とに分かれて研究を進めた。そのなかで,結び目の量子不変量から結び目穂空間の双曲体積と呼ばれる計量的不変量が導かれることがあきらかとなった。さらに,双曲構造がはいる3次元多様体の双曲体積も量子不変量から導かれることがわかってきた。これらの事実は,量子不変量が,単に結び目や3次元多様体を分類するための指標となるばかりでなく,様々な幾何的情報までも含む不変量であることを示唆しており,量子不変量を用いて幾何的性質を調べる新たな手法を与えることに成功した。
    また,量子不変量のある種の展開をあらわす有限型不変量や,有限型不変量を統一的に捕らえるウェブ図についても研究し,その新しい性質をいくつか明らかにした。
    量子不変量は,共型場理論や,q-変型の理論などと密接に関係しているが,これらについても新しい知見を得ることができた。一つは頂点作用素代数の研究で,特に共形場理論のおける相関関数を厳密に決定する問題に深く関わる保型形式との理論との関係を解明した。また,q-変型の理論と関係する有限群のモデュラー表現について,projective indecomposable modulesのいわゆるheart(radicalをsocleで割ったもの)を調べ、heartがindecomposableでない場合を決定した。さらに,複素鏡映群のフロベニウス・シューア指数のq-変型を定義し,対称群およびimprimitiveな複素鏡映群の場合に具体的に計算した。

  • 結び目の解消トンネルと双曲構造

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    研究期間:

    1998年
    -
    2000年
     

     概要を見る

    (1)錐角π以上の錐多様体の研究.
    Jorgensenの方法を用いることにより(代表的なGenus 1,1-bridge knotである)(-2,3,7)型Pretzel結び目補空間を底空間にもち,その解消トンネルを錐軸とする双曲的コーン多様体の連続族を錐角が0から2πの範囲で具体的に構成した.錐角がπ以下の錐多様体については,都合の良い様々な性質が成立することが証明されており,それらを用いることによりThurstonの軌道体幾何化定理が証明されていた.しかしながら錐角がπ以上となった時にどのような現象が起こるのかまだ殆ど何もわかっていない状況であるので,この具体例を手掛かりに錐角π以上の錐多様体に対する一般論を展開するのが今後の課題である.
    (2)3次元多様体上の向き保存周期写像の手術表示.
    向き保存周期写像fを持つ任意の有向閉3次元多様体Mは周期的絡み目Lのデーン手術により構成され,しかも周期写像fはLの周期性を与える周期写像が自然に誘導するものと共役であることを証明した.これは,任意の有向閉3次元多様体は3次元球面内の絡み輪のデーン手術により得られると言うWallaceとLickorishによる古典的結果の同変版といえる.この結果の応用として9交点以下の双曲的2成分絡み目補空間の全ての等長写像を"視覚化" した.

  • 位相的場の理論と関連する幾何学

    科学研究費助成事業(東京大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(A))

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

     概要を見る

    この研究プロジェクトにより、我々は、共形場理論、有限型位相不変量、曲面のモジュライ空間、周期積分の理論などにおいて、いくつかの結果を得ることができた。村上順は大槻知忠らと共同で、3次元多様体の普遍的な有限型位相不変量を構成することに成功した。この不変量は、ファインマングラフの空間に値をとるものとして、組み合わせ的に定義されるものであるが、河野俊丈らの研究により、有限型位相不変量と点の配置の空間のループ空間のコホモロジーとの関係が明らかにされた。森田茂之は、曲面のモジュライ空間の幾何学を位相的な観点から研究した。とくに、写像類群の重要な部分群であるトレリ群についての研究を遂行した。共形場理論は幾何学的には、曲面のモジュライ空間の上のベクトル束とその可積分接続の理論として定式化される。河野は、この接続のホロノミーとしてあらわれる写像類群の表現の構造を詳しく調べ3次元多様体の研究に応用した。また、清水勇二は、この接続を具体的に記述する方法を開発した。齋藤恭司による周期積分の理論は、位相的場の理論の立場から新た脚光をあびた。齋藤は、楕円形ルート系の理論を構築することにより、周期積分の理論をさらに発展させた。

  • 3次元多様体のヘガード分解と双曲構造

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

     概要を見る

    3次元多様体のヘガード分解の研究は、3次元多様体論の最も重要なテーマの一つである。"non-hyperbolike"多様体のヘガード分解に関してはこれまでに十分深い知見が得られているが、双曲多様体のヘガード分解に関しては残念ながらまだほんの少しの知見しか得られていない。特に双曲構造とヘガード分解の関係に関しては、我々が知る限り、殆ど何もわかっていなかった。
    この研究プロジェクトでは、2橋結び目補空間の完備双曲構造と、(一種ヘガード分解である)橋構造との間には密接な関係があることを発見した。実際、我々は2橋結び目の2橋構造を用いることにより、2橋結び目補空間の完備双曲構造を具体的に構成した。もっと正確に言うと、2橋結び目補空間上の錐多様体構造の連続族で、上トンネルと下トンネルに沿って特異点を持ち、錐角が0から2πまで変化するものを構成した。錐角0の時の錐多様体構造は、擬フッ楠一点穴開きトーラス空間の有理的境界群に対応し、錐角2πの時の錐多様体構造は2橋結び目補空間の完備双曲構造を与える。この証明のために、我々はJorgensenによりアナウンスされていた擬フックス一点穴開きトーラス群に関する理論(の一部)を整備し、更にそれを擬フックス一点穴開きトーラス空間の外部に適用できるように一般化した。このプロジェクトのために和田昌昭が開発したコンピュータソフト「OPTI」は、このプロジェクトにとって必要不可欠な道具であっただけでなく、今やタイヒミュラー空間論の研究にとっても重要な道具として様々な研究者により愛用されている。上述の研究成果は、3次元多様体の双曲構造とへガード分解の関係の研究の始まりであると信じている。

  • 代数多様体上の有理曲線

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

     概要を見る

    研究代表者は研究分担者の増田佳代と協力して、アフィン空間上に作用する無限位数の自己同型写像が部分多様体を点毎に固定するとき、その自己同型写像と部分多様体の可能性を余次元が小さいときに研究した。その副産物として3次元アフィン空間の乗法群を用いた代数的特徴付けを得た。また、タタ研究所のR.V.Gurjarと協力して、ジャコビアン予想をアフィン空間からQ-ホモロジー平面に拡張して、対数的小平次元が1のときは一般化されたジャコビアン予想が成立することを示した。対数的小平次元が0,-∞のときも大半の場合に予想が成立する。この課題研究の期間において、研究代表者はこれまでの開代数曲面に関する結果をまとめた本を書き、アメリカ数学会から出版することになった。
    日比孝之は有限グラフを研究し、関連して定義されるイデアルの性質を調べた。単体に付随する環のBetti数などを調べることによって、非常に豊富な情報が得られ、組み合わせ論、可環境論、代数幾何学などを結びつける強力な手法となってきている。
    藤木明はHopf曲面上のツイスター空間のalgebraic reductionを研究して興味ある結果を得た。ツイスター空間は射影空間束に近いものであり、代数多様体と複素多様体の違いと相似性を明らかにできる。
    並河良典は複素多様体の変形理論を使ってCalabi-Yau多様体に関する研究を進めた。また、高次元代数多様体の双有理写像として現れるflopを変形理論を通して再構成した。
    村上順はThang T.Q.Le等と協力して、平行化された結び目に対するKontsevich不変量の性質を調べて、Kontsevich不変量を3次元多様体の不変量に拡張する際に重要な役割を果たす公式を得た。
    柳川浩二はE.Ballicoと協力して、標数pの体上に定義されたCohen-Macaulay整域に関連して定まるPoincare列のh-vectorについて研究を行った。

  • MDL原理に基づくBayesian Networkの学習-事前知識の導入による探索の効率化-

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    1997年
    -
    1998年
     

     概要を見る

    不確実な知識を確率を用いて表現し、何らかの推論を進めていく際に、Bayesian networkが頻繁に適用され、最近では、経営診断、医療診断、故障診断といった、分析診断型の問題に多くの実績を残している。Bayesian networkは、各属性データをノードで、その因果関係をノード間を結ぶ有向アークで示す、いわゆるDAG(directed acyclic graph)として表現される。特に、各ノードAの属性データx_Aは、有向アーク(A←B_i)を介して親にあたるノードB_iの属性データの値xB_i,i=1,2,・・・,m,を前提にした条件付値率P(x_A|x_B_1,,x_B_2,・・・,x_B_m)に基づいて生成されるという仮定がおかれる。すなわち、ノードの集合が事前に与えられれば、有向アークをどのように結ぶか(構造の決定)と、条件付確率をいかに設定するか(パラメータの推定)を検討して、Bayesian networkが決定される。Bayesian networkの推論は、一部のノードに事実として具体的な属性データを与えておき、他のノードの属性データの値をBayes統計学でいう事後確率最大の基準で推定する(未知属性データのおこりうる各値の確率を付与する推論も可能である。)処理に相当する。
    本研究では、推論を行なう前にBayesian networkを最初にいかに獲得するか、特にその構造の決定について議論をすすめた。Bayesian networkは視覚的に表現されるので、エキスパートがその知識を直接Bayesian networkの形式で記述してもよい。しかし、大規模なnetworkでは、その作業量が膨大になることと、エキスパートの潜在意識にある知識が表現されないことなどから、トレーニングデータからの自動学習が検討されるに至っている。本研究では、この問題についてminimum description length(MDL)原理に基づいて解決する方法を示した。一般に、MDL原理は、トレーニングデータを、知識の記述と、その知識に基づいたトレーニングデータの記述の2段階で記述し、その合計の記述長(ビット数)を最小にする知識を採択する。MDL原理は、前者を知識の記述長(知識の簡潔さを表す)、後者をその知識では説明できない例外の記述長(データの知識への適合性を表す)とみなせば、データ圧縮の立場からその両者について最もバランスのとれた知識を真の知識とみなす学習原理であるということができる。
    特に、構造決定の探索に分岐限定法を用いて、効率良く最適解を求める方法を見い出した。この結果は、電子情報通信学会論文誌英文誌分冊D(1999年2月)に掲載された。

  • 完全積分可能系と無限次元代数の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    1997年
    -
    1998年
     

     概要を見る

    研究代表者が中心になって行ってきたOnsager代数の商の構造の決定に関しては,台湾の中央研究院数学研究所のS.S.Roan氏との共同研究により,Onsager代数の,そのイデアルによる商が中心を持たない場合に関しては,その構造を完全に決定することができた.これによりOnsager代数のイデアルによる商の構造はほぼ完全に決定できたことになる.従来から未決定として残っていた場合については,冪零リー環の分類をKac-Moodyリー環の冪零部分のイデアルの分類と関連付けて行おうとする研究の方向ともつながりを持って,解決できた.その際にイデアルを特徴付ける多項式の次数が小さい場合に計算機上の数式処理を用いて例を調べてみることによりその方向の研究との対応を見較べて研究を効率よくすすめることができた.
    Onsager代数はアフィンリー環A^<(1)>_1の冪零部分のリー環としての変形とみることもできる.A^<(1)>_1を通常のカレント代数の中心拡大の中に実現したものとみると,Onsager代数はA^<(1)>_1のある対合に関して不変な部分リー環となっている.この実現を通してOnsager代数のイデアルの構造などを見通しよく調べることができた.一方で従来から未解決であった部分の構造を決定する際には,A^<(1)>_1のprincipal realizationを考えかつその完備化のなかで考えることにより決定できた.このようなprincipal realizationも併せて考えることは共形場理論との関係で他のタイプのアフィンリー環の冪零部分の変形を考える際にも有効ではないかと考えている.この結果に関しては現在原稿を準備中である.
    また各分担者は,ランダムポテンシャルを持った一次元Schrodinger作用素のスペクトル理論の研究,Schur函数の関係する恒等式の研究,準楕円型偏微分方程式の正値解の研究,三次元多様体の普遍摂動不変量の研究,自由フェルミ場型の頂点作用素代数の既約表現の分類,量子逆散乱法におけるL operatorとアフィン量子展開環のDrinfeldgeneratorの関係の研究等で成果を挙げた.

  • 表現論における新手法の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    研究期間:

    1997年
    -
    1998年
     

     概要を見る

    コンツェビッチは,量子不変量や有限型不変量を含む結び目のコンツェピッチ不変量を構成するにあたり,ファインマン図にいくつかの数学的条件を課したウェブ図を用いた。さらに,コンツェビッチ不変量は,Le,大槻,村上により3次元多様体の普遍摂動不変量に拡張された。さらに,境界付きの3次元多様体の普遍摂動不変量から,曲面の写像類群の,ウェブ図の空間への表現(ウェブ表現)が得られる。曲面は物理の弦理論でも中心的な研究対象であり,ウェブ図は,写像類群の表現ばかりでなく,数理物理で用いられる様々な無限次元の代数の表現論とも関連することが期待され,この研究を行った。
    まず,写像類群のウェブ表現について研究した。ウェブ図とは,ある種のグラフであり,グラフとしての様々な不変量がある。研究の結果,これらの不変量のうち,2種類の不変量(頂点の数及びオイラー数)が写像類群の性質に反映されることがわかった。頂点の数に対応する写像類群の性質はすでに知られているが,オイラー数がこれまでの研究の何に対応するものかはまだ明らでない。しかし,写像類群は,複雑で豊かな構造を持つことが知られており,このオイラー数に対応する不変量は,写像類群の性質を記述する新たなパラメータとなるのである。
    さらに,写像類群と曲面論との関係から,ウェブ図のオイラー数に対応する不変量は,曲面の変型全体を考えあわせた空間(モジュラー空間)の構造をあらわす新たなパラメ一夕であることが期待され,また,共形場理論にも関連があるはずなのだが,これらのことに関してはこれからの課題として残された。

  • 数学研究における実験的手法の開発と応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(A))

    研究期間:

    1996年
    -
    1997年
     

     概要を見る

    主として数式処理のソフトウェアを用いて,数論・代数幾何学・保型関数・リーマン面・暗号理論の基本計算を実行するプログラムの作成を行った.とくに実効速度が要求されるものについてはC言語によるプログラムも作成した.それらのプログラムを用いて多くの数学実験を行い,いくつかの非常に興味ある結果が得られた.
    1.代数的整数論に関して:(1)代数体の類数及び単数の計算(2)実二次体に関して,イデアル類群の特定のイデアル類で生成される部分群による剰余群と虚二次体の類群との類似(3)実二次体のクロネッカーの極限公式の数値計算(4)有理数体上の二面体群をガロワ群にもつ拡大体の単数群の構成,など.実二次体上の極限公式の精密な数値的計算により,ゼータ関数の特殊値による基本単数の決定・類体の構成などの問題がかなり具体的に実験できるようになった.
    2.楕円曲線の整数論に関して:有理数体上定義される楕円曲線に対して,標準的なべき級数解の存在を示した.谷山-志村予想が成り立つ場合,そのべき級数により,楕円曲線が保型関数により一意化される.標準的べき級数は構成的アルゴリズムにより与えられる副作用として,合同ゼータ関数の計算なしに,楕円曲線のゼータ関数が得られる.これは,Wilesの方法以外で谷山-志村予想の解決の可能性を示唆している.さらに,標準的べき級数は楕円曲線における自然な整数論的構造をもつことが観察されている.
    3.数式処理における複素関数の表示の実現と応用に関して:すでにMathematicaやMapleで実現されていた複素関数の表現は,一般にあまり注目されていなかったが,グラフを用いて,リーマン面の具体的表示,複素べき級数や各種の複素関数の幾何学的性質(例えば,周期性)の研究が具体的に行えるようになった.その応用として,楕円曲線について上記の標準的べき級数解のみたすべき保型性が実験的に予測できるようになった.

  • 有限半順序集合の組合せ論における代数的基礎理論の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    1996年
     
     
     

     概要を見る

    当該研究においては,有限半順序集合の組合せ論に現代代数学の抽象論を多角的に応用する際の,基礎となる理論を構築することを目的とし,有限半順序集合の理論において,伝統的かつ主流な話題である(1)鎖の数え上げ理論および(2)比較可能グラフの離散構造を,抽象代数の現代的理論を武器として探究した.当該研究の顕著な成果は,「階数d-1の有限モジュラー束が階数3の原子部分束を含むとき,その比較可能グラフはd-連結である」を証明したことである.我々の証明を遂行する際の鍵は,(あ)単体的複体のホモロジー論を経由することで,有限半順序集合の比較可能グラフがd-連結であるか否かは,付随するStanley-Reisner環の次数付ベッチ数列の最後の項の情報で判定できるという事実とともに,(い)有限モジュラー束Lに付随するStanley-Reisner環のベッチ数列の最後の項は,Lのメビウス函数を使って表示することが可能であるという点である.その他,当該研究では,トーリック多様体の幾何における周知の事実を巧妙に使って,比較的単純な組合せ論的構造を有する有限分配束のh-列が単峰数列であることを示した.現代代数学の昨今の動向から判断すると,鎖の数え上げ理論,あるいは比較可能グラフの研究等に抽象代数の現代的理論が有効であることに疑問の余地はないものの,研究を推進させるための基本的な骨格が整備されているとは言い難かった.当該研究では,多項式環のイデアル論における最近の成果を踏まえ,代数的な視点から有限半順序集合の概念を捕え,古典的な組合せ論では到底得られなかった著しい結果に到達し,将来に展望を齎す一歩を得た.

  • 頂点作用素代数の数理物理学への応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    1996年
     
     
     

     概要を見る

    頂点代数の最も基本的な例である自由ボゾン場のなす頂点代数の共形ベクトルの分類を実行した.頂点代数と共形ベクトルの対は一つの共形場理論を与えるので,自由ボゾン場に由来する共形場理論の分類が実現されたことになる.また,この研究の過程で一般の頂点代数を定義する公理系に関する新しい視点が開かれた.(永友,佐竹,和久井)
    共形ベクトルの分類はより基本的な対象であるハイセンベルグベクトルを分類することにより実行されたが,そこでの主要な方法はWickの定理である.Wickの定理を複雑に利用することによりHeisenbergベクトルの分類が可能になった.Heisenbergベクトルの決定は,そのほかにも自由ボゾン頂点代数の自己同型群の決定を可能にした.実際,この分類結果を用いて自己同型群が完全に決定される.(永友,宇野)
    また,頂点作用素代数は共形場理論を通して低次元多様体の位相不変量と関連しており,有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKontsevich不変量を用いて,3次元多様体の不変量を構成し,その性質を研究し,また,この不変量に対し,位相的場の量子論を構成するとともに,その応用として,曲面の写像類群の族を構成した.(村上,山根)

  • ファインマン図を用いた幾何や数理物理の新しい手法とその応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    研究期間:

    1996年
     
     
     

     概要を見る

    ジョーンズ多項式などの量子不変量と,バシリフによって提唱された有限型の不変量両方に対して普遍的な結び目のコンツェビッチ不変量についての研究をおこなった。コンツェピッチ不変量は,反復積分を用いて定義されるが,この積分の値はゼータ関数やその一般化を用いて書き表せ,このことから,結び目不変量の値が,ゼータ関数などの値と関係することが明らかとなった。
    さらに,コンツェビッチ不変量を用いて,3次元多様体の摂動的不変量を構成し,その性質を研究した。特に,ウィッテンによって提唱された3次元多様体の量子不変量との関係や,大槻によって提唱された3次元多様体の有限型不変量との関係を調べた。その結果,ここで構成された摂動的不変量は,もっとも簡単な部分がホモロジー群の位数を表し,次に簡単な部分が,キャッソン不変量を表していることがわかった。このことより,摂動的不変量は,キャッソン不変量を一般化したような多くの不変量を記述すると期待されている。
    また,コンツェビッチ不変量と,ここで構成した3次元多様体の摂動的不変量とを用いて,3次元多様体中の結び目に対する摂動的不変量を構成した。さらに,これを一般の境界つきの3次元多様体の摂動的不変量に拡張し,位相的場の量子論を構成した。位相的場の量子論において,境界にその曲面の写像類群を作用させると,写像類群の表現が得られるので,この手法を摂動的不変量に適用することにより,曲面の写像類群の表現の族を構成した。

  • 代数系の幾何学的研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(B))

    研究期間:

    1995年
    -
    1996年
     

     概要を見る

    1.研究代表者の宮西正宜は、まずAbhyankar-Mohの定理とLin-Zaidenbergの定理を開代数曲面の 分類論の立場から再証明を与えた。さらに、無限遠点に1座点をもつアフィン平面上の代数曲線の最小次数の埋め込みを 曲線の種数によって分類した。また、Hilbertの第14問題について考察し、P. Robertsの反例の証明を簡略化した。
    2.藤木 明は、ある種の超ケーラー商空間として得られる超ケーラー多様体を四元数多様体として自然に部分的にコンパクト化する方法を見いだし、そのコンパクト化の性質を調べた。また、同変コホモロジー群を用いてモーメント写像によるケーラー商空間のVariationを調べた。
    3.臼井三平は、Log幾何学を使って消滅サイクルの回復ができることを証明した。応用として、退化したHodge構造の変形のZ構造およびモノドロミ-の記述を明確にした。
    4.村上 順は、有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKhontsevich不変量を用いて、3次元多様体の不変量を構成し、その性質を研究した。また、この不変量に対し、位相的場の量子論を構成するとともに、その応用として、曲面の写像類群の族を構成した。
    5.今野一宏は、代数曲面の非楕円的なペンシルにフォードインデックスを定義し、傾きの下限を調べる一般的な方法を定義した。併せて退化ファイバーの堀川インデックスも定義した。
    6.山根宏之は、Ramの論文で与えてあるBMW代数の指標を計算する技術を獲得した。

  • 結び目や3次元多様体の表現論的な手法を用いた分類

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    研究期間:

    1995年
     
     
     

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    まず、Thang T.Q.Le氏とともに、結び目やタングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量について研究した。そして、タングルのある紐を平行化したときの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量を求めるための公式を導いた。また、タングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量が“グループライク"という性質を持つことを示した。
    次に、大槻知忠氏、Thang T.Q.Le氏、及び村上斉氏とともに、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量の3次元多様体の不変量への一般化を試みた。先に求めた平行化の公式をもちい、普通ジシリフ・コンツェビッチ不変量で使われているコード図の空間をさらにある3項関係式で割って、さらに適当に正規化したものが、カ-ビ-変形で不変となることが、さきにもとめた平行化の公式などからわかる。従ってこれが3次元多様体の不変量となる。この不変量は2次元線型空間に値をとり、3次元多様体の1次のホモロジー群の位数と、キャッソン・ウォーカ-不変量とで張られる。
    さらに、さきの3項関係式を一般化することを試み、3次元多様体の不変量の族を構成することができ、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量がグループライクであることを用いてこの族を統一的に記述することができた。これを3次元多様体の普遍量子不変量と呼ぶ。Le氏により、普遍量子不変量は大槻-ガルファリディスの意味での有限型の不変量をすべて具体的に実現するものであることが示された。さらに、普遍量子不変量は、量子不変量の漸近展開の様子を統一的に記述していると期待されており、また、境界付きの3次元多様体の不変量に拡張することにより、量子不変量に関連した位相的場の理論を統一的に記述するものと期待されるが、これらは、今後の研究課題である。

  • 単項式イデアルの極小自由分解の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1995年
     
     
     

     概要を見る

    多項式環AのイデアルIがあったとき,剰余環A/Iの有限自由分解にはIの代数的情報のすべてが含まれている.従って,A/Iの有限自由分解の構造を解析することは,可換環論における究極的な課題である.我々は,計算代数および組合せ論との相互関係から,square-freeな単項式が生成するイデアルに着目し,その有限自由分解の基礎理論を多角的に築くことを目的とした研究を進展させ,次のような研究成果を得た.第1に,凸多面体の上限定理に現れる巡回凸多面体の境界複体に付随するイデアルを考察し,その極小自由分解のベッチ数列を計算可能な式で表示した.第2に,単体的複体Δに付随するイデアルI_Δの極小自由分解が純,あるいは線型となる類の組合せ論的な特徴付けを探究し,I_Δの極小自由分解が純となる旗複体Δを分類した.第3に,整数d,q,eで1≦q-1≦e≦dを満たすものが任意に与えられたとき、square-freeな単項式が生成するイデアルIで,剰余環A/Iの次元がd,深さがe,更に,A/Iの極小自由分解がq-線型となるものを構成せよ,という懸案の問題を研究する過程において,square-freeなlexsegmentイデアル,およびsquare-free安定イデアルの概念に到達し,square-free安定イデアルの極小自由分解を具体的に構成することに成功するとともに,所期の問題についての明快な解答を得た.第4に,有限半順序集合の比較可能なグラフの連結度に関する研究に,有限自由分解の構造理論、特に,Cohen-Macaulay型の計算公式が極めて有益であることを発見し,階数d-1のモジュラー束Lが階数3の原子的閉区間を含むならば,Lの比較可能グラフの連結度は,少なくともdであることを証明した.第5に,計算代数におけるグレブナ-基底の理論を,外積代数で展開することで、極値集合論の古典理論におけるKruskal-Katonaの定理の一般化となるベッチ数列についての不等式を導くことに成功した.

  • ヤコビ多様体の整数論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(B))

    研究期間:

    1994年
    -
    1995年
     

     概要を見る

    1.有限体上に定義された超楕円曲線のヤコビ多様体の分類について
    有限体の上に定義される種数gの超楕円曲線は有限個であるので,それらを同型類に分類すること,および,そのヤコビ多様体の分類を試みた.有限体として標数3の素体をとり,その上の種数2の超楕円曲線はすべて求まっているので,そのヤコビ多様体を,まず曲線の合同ゼータ関数の計算により同種なものに大きく分類してから,自己準同型群の計算により,同型類を調べた.偏極の問題との関連もあり,同型写像を具体的に求めることが今後の課題として残った.
    2.位数の大きい有理点をもつ有理数体上のアーベル多様体の構成
    有理数体上の1次元アーベル多様体の有限位数の有理点位数は高々12であることが知られている.2次元以上の場合の位数の上限についてはあまり知られていないが,今回,単純な2次元アーベル多様体で位数23の有理点を持つものが無数にあることを示すことができた.
    3.等分体のガロワ群の計算
    有理数体上定義される代数曲線のヤコビ多様体のn等分点の作る拡大体のガロワ群を決定する問題は,種数1の場合にはゼータ関数の計算と不変数jによりかなり詳しく調べることができる.種数が2以上の場合には,ゼータ関数以外によい不変量が見つかっていないが,種数2の曲線のヤコビ多様体について,数式処理により,n=2,3に対して,n等分方程式を具体的に求めることができた.
    4.有理点を多くもつ代数曲線の構成
    代数曲線Cのヤコビ多様体の等分点を,リーマン・ロッホの定理を用いて具体的に計算することにより,多くの有理(関数)点をもつような有理関数体上定義される代数曲線Dが得られる.Cが種数2の場合には3等分点の計算よりDは楕円曲線となる.

  • ブレイド群の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1994年
     
     
     

     概要を見る

    結び目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量と呼ばれる様々な不変量を含む不変量を3次元多様体の不変量に拡張した。3次元多様体の不変量を構成する一つの方法は、枠付きの絡み目の不変量から、カ-ビーム-ブと呼ばれる変形で不変なものを取り出すことである。我々はこの方法を普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量に対して適用した。そのために、まず、もともと結び目に対して定義されていた普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量を、枠付きの絡み目の不変量に拡張した。また、タングルに対しても拡張し、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の、組合せ論的構成法を与えた。この構成法を用いることにより、複雑な積分を計算することなく、代数的に普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が計算できるようになった。さらに、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量とカ-ビーム-ブとの関係を調べるため、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が、結び目などの紐の平行化に対してどうなるかを調べた。その結果普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量がカ-ビーム-ブについて大変よい性質を持つことがわかった。枠付き絡み目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量から、カ-ビーム-ブで不変なものを取り出したものが3次元多様体の不変量であるわけだが、このことを普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の値の空間での性質に言い換えることができ、3次元多様体の不変量の構成法がわかった。この不変量は、ジョーンズ・ビッテン不変量を含むと共に、ホモロジー群の位数や、キャッソンの不変量を含むなど、大変普遍的な性質を持つ3次元多様体の不変量である。

  • 不動点定理とコボルディズム

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(B))

    研究期間:

    1993年
    -
    1994年
     

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    川久保は、任意のコンパクト・リー群Gに対して、G-sコボルダントな二つのG多様体であって、G同相にはならないような例が常に構成されることを、不動点定理を用いて示した。この結果、変換群のカテゴリーの多様体の分類問題は、変換群無しのカテゴリーのそれとは本質的に異なる様相を呈することが判明した。
    長崎は、有限群Gのホモトピー表現の線型性を調べるために導入されたLH群についてその計算を実行し、応用としてすべてのホモトピー表現が線型となる有限群を完全に決定した。
    宮西は、Jacobian予想と関連して、VFD上の導分δの性質と分類を、δ-integral elementとδ-integral factorの概念を導入して、δ'-integralelmentのなす環を用いて調べた。
    村上は、結び目の位相的不変量としてよく知られている多変数アレクサンダー多項式を、統計力学的に定義することに成功し、これを用いて多変数アレクサンダー多項式を定める公理系で局所的条件のみからなるものを構成した。村上は、また、一般線型群の量子化として得られる量子群の混合テンソル表現の中心化環の生成元と基本関係式を求め、すべての既約表現を構成した。こうして得られる多元環は、岩堀・ヘッケ環の一般化になっている。村上は、この一般化されたヘッケ環を用いて、空間グラフの埋め込み不変量である山田多項式の一般化にも成功した。村上は、さらに、コントセビッチの重複積分によるダングルの不変量の研究も行い、結び目、絡み目、タングルのコントセビッチ積分の組み合わせ的記述を与えた。

  • 群、リー環、多元環の表現

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(B))

    研究期間:

    1992年
    -
    1993年
     

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    永友は、定常かつ軸対称な重力場を記述する方程式であるエルンスト方程式の無限に多くの有理関数解を構成した。村上は、結び目の位相的不変量としてよく知られている多変数アレクサンダー多項式を、統計力学的に定義することに成功し、それを用いて多変数アレクサンダー多項式を定める公理系で局所的条件のみからなるものを構成した。村上は、また、一般線形群の量子化として得られる量子群の混合テンソル表現の中心化環の生成元と基本関係式を求め、すべての既約表現を構成した。こうして得られる多元環は、岩堀・ヘッケ環の一般化になっている。村上は、この一般化されたヘッケ環を用いて、空間グラフの埋め込み不変量である山田多項式の一般化にも成功した。村上は、さらに、コントセビッチの重複積分によるタングルの不変量の研究も行い、結び目、絡み目、タングルのコントセビッチ積分の組み合わせ的記述を与えた。佐竹は、E_6型の拡大アファイン・ルート系に対応する単純楕円型特異点を研究し、斎藤恭司の意味での平坦構造をテータ関数を用いて具体的に記述した。山根は、単純超リー代数の普偏包絡環を量子化することにより、新しい準三角型ホップ代数を構成しその普遍R行列を、ルート・ベクトルを用いて記述した。このとき、量子包絡環の定義関係式として、セール型でないものが現れる点が注目に価する。これらの関係式は、量子化される以前の包絡環の場合においてすら、これまで正確には、認識されていなかったものである。

  • 環境の動的構造を学習する神経回路網の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    研究期間:

    1991年
     
     
     

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    環境構年として有限オ-トマン構造を設定し、それを神経系がどのように学習するかを研究することが当研究課題の目的であった。本年度の研究の早い段階で本課題の目的そのものに関わる根本的な点に問題があることが明確になった。以下この問題点の説明と、これまで得られた知見の概略を報告する。
    1.その問題点は「オ-トマン構造を神経系が知っている」ということの意味についてである。当初「オ-トマトンの相空間が神経系内に表現され、オ-トマンの遷移規則が神経系の状態遷移規則として実現されている」ことがその意味であるとしていた。しかしこれは次の点で不十分であり不適切でもあることが明らかになった:(1)神経系が、複雑な環境の状態をすべて内部に表現することは不可能である。(2)しかし神経等は自分に価値のある側面だけを学べば良い。(3)行動生成の際にリアルタイムな内的シミュレ-ションを可能にするような様式で、環境オ-トマトンについての知識が実現されていなければならない。(4)現実の神経系では明確には区別出来ない「状態と状態遷移」と峻別する問題設定は好ましくない。
    2.これまでの研究で得た部分的な知見を以下述べる。(1)(1.4に関して)分散システムの理論で用いられているシステムの概念が、神経系のように隠れた変数を多く持つ系の定式化として適していられる。これにより「知識」のある側面を明確に取り扱えるようになる。(2)(1.2、1.3に関して)環境の事象の「メタレベル表現」の導入により環境と接触中にも内的シミュレ-ションが可能になり、「メタレベルの評価系」と組み合わせることにより、妥当な行動生成をリアルタイムに行い、より適切な行動を同時に学んでいくモデルを考えることができる。しかもメタレベルの表現の導入は、環境構造について「オフライン」で学ぶことを可能とする。

  • 動的パタ-ンの神経回路網による認識と学習の機構

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    研究期間:

    1990年
     
     
     

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    本研究では、当初「動的パタ-ンを学習する・認識する」とはどういうことかを明確にすることに重点を置いたが、その過程で、環境自身の動的構造をも考慮する必要性を認識し、次のような数学的に簡明な定式化を設定した:神経系をオ-トマトン(別名、入力を持つ力学系)として、環境は離散力学系として、環境からの影響は環境の状態空間から神経系の入力信号空間への写像とする。この定式化の下では、入力信号列の動的パタ-ンを「学習する」とは、入力信号列を予測するのに必要な範囲で環境の発展法則を知ることとしてとらえられる。これを可能にするのは環境と神経系とが成す力学系のアトラクタである、ということがポイントである。また、入力信号列の動的パタ-ンを「認識する」とは、それ以降の入力信号を予測出来るようになることとしてとらえられる。従って、認識過程はアトラクタへ入るまでの過渡的な状態として力学的に把握出来る
    この定式化に基づいて簡単なシミュレ-ションを行ったところ、環境の状態が神経系の状態を決めるとは限らない(自律性の存在)・環境が特定の状態にある時だけ神経系は次の入力を予測出来る場合がある・環境の発展法則については正確に知っていても環境の状態を特定出来ない事もある、等々が観察された。
    環境は神経系からの働きかけで変化する。神経系が学習しなければならない事は、神経系の働きかけに対して環境はどのように応対するかということにある。今後は上述の定式化を一般化して環境も神経系と同様にオ-トマトンとして定式化し、オ-トマンとしての環境の構造について持つ神経系の「知識」をどの様にとらえたらよいかをまず考察したい。また、「評価系」・出力信号列の生成(行動計画)をどのように理解したら良いか、等の基本的かつ困難な問題を考察して行きたい。

  • 同変Sーコボルディズム理論と誘導定理

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1990年
     
     
     

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    ホワイトヘッド群Wh(G)に対して誘導準同型を導入し,これに関してドレス型の誘導定理を得た。また幾何学的にもこの準同型に対応するものを導入し,両者の関係を明らかにした(川久保による成果)。続いて有限群の既約表現について古くから知られているフロベニウス・シュア-の不変量を一般化し,重複自由な置換表現への応用を与えた(川中により成果)。またコンパクトゲ-ラ-アインシュタイン多様体で,正のリッチ曲率をもつものについて,現在までに知られている結果を要約し二木不変量,板東,満渕による一意性定理,小磯,坂根によるケ-ラ-アインシュタイン多様体の例などについて解釈を与えた(坂根による成果)。そしてブラウア-の中心化環やそのgーanalogeと呼ばれる代数の既約表現を具体的に決定すると共に,これらとKauffman多項式と呼ばれる結び目の不変量との関係を明らかにした。さらに3次元空間へのグラフの埋め込みに関する不変量を組み紐群の表現論から構成する方法を与えた。そして絡み目の多変数Alexander多項式を定義するに十分な絡み目の射影図に関する局所的な関係式を与えた(村上順による成果)。また結び目Kに関しては,Kの二つの結ばれていないトンネルt_1,t_2が与えられた時,それらがイソトピックかどうかをKの非圧縮なザイフェルト曲面を用いて判定する方法を与え,その応用として3_L4_Lと異なる非自明な2橋結び目に対して,新しい(今までに知られていない)アンノットなトンネルを見つけた(小林による成果)。また谷口は動枠法の考え方を基に複素空間形のケ-ラ-部分多様体の合同類とほぼ同値なS_Cー構造を導入し、これを用いて,複素空間形のケ-ラ-部分多様体が筆質になるための条件を求めた。そして山根は非可換・非余可換なホップ代数U_g(F)の多変数化U_<g,θ>(F)を定義し,FがアフィンA型のとき,R_gの拡張となっているYangーBaxter方程式の解を得た。

  • 楕円曲線の整数論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1990年
     
     
     

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    1.虚数乗法を持つ楕円曲線の不変量を与える類方程式を数式処理システムにより計算した.その結果より、有理数体上に定義された虚数乗法を持たない楕円曲線についてその等分点の体のガロワ群におけるフロベニウス自己同型写像を決定するアルゴリズムが見つかった.特に、素点が完全分解するための必要十分条件が得られた.この結果は山本により整数論シンポジウムで発表された.
    2.3.特定の形をした楕円曲線でその有理点群の階数が4より大きいものが無数に存在することがわかった.また、有理点群の階数と二次体のイデアル類群の3ー部分群の階数との関係についていくつかの事実が得られた.この結果より、二次体の理論を用いて、階数の十分大きな楕円曲線の構成の可能性が見えてきた.この方向で、今後数式処理を用いて具体的に計算を実行ことにより適当な例を構成したい.
    4.二次体Q(√<-3>),Q(√<-1>)の整環を虚数乗法に持つ楕円曲線については、階数はかなり評価することができる.それとBirchーSwinnerton Dyerの予想を組み合わせることによりゼ-タ関数のs=1におけるべき級数展開の最初の項の係数の近似値は計算できたがその値の整数論的性質がわかる程精密な数値計算はできなかった.今後この計算に数式処理的方法を取り入れることを考えたい.
    5.種数2の代数曲線のヤコビ多様体として得られる2次元のア-ベル多様体についていくつかの実験ができた.特に自己準同型環についてはゼ-タ関数の零点を用いてほぼ完全に予想できる.そのことから、等分点の体のガロワ群がわかる.
    6.上記の多くの場合に数式処理が使えた.特に数式処理的手法の有効性が実証された.

  • ヘッケ環の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1989年
     
     
     

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    1.有限体上の一般線型群とそのシムプレクティック部分群とから決まるヘック環の既約表現の完全な記述を与えた。
    2.有限群の指標のフロベニウス・シュア-不変量を対合的同型を持つ有限群の場合へ一般化し、可換または、ほとんど可換なヘッケ環の表現論への応用を与えた。特に有限古典群とその部分体部分群から決まるヘッケ環について、既約表現の分類を得た。またそれらの表現次数も求めた。
    3.古典型リ-環の自然表現に対応する頂点型および面型の可解格子模型に対して、それらのRー行列の生成する多元環の構造を調べ、それらが古典型リ-環の自然表現に対応する中心化多元環のgー変形になることを示した。
    4.群環のアウスランダ-・ライテン列のヴァ-テックスが、その列に現れる直既約可群のヴァ-テックスの中で最大のものに一致することを示した。
    5.ある種の性質を持つ半線型Gー球面で生成されるホモトピ-表現群の部分群と線型Gー球面から生成される部分群とは、同型な群であるが、一般には異なる部分群となることを示した。
    6.コンパクトで正の次元を持つリ-群G、または位数2か3の巡回群を持つ有限群Gに対して、一般には、Gーsコボルディズム定理は成立せず反例が存在することを示した。
    以上の研究を遂行するにあたり、補助金で購入した文献は、非常に役に立った。また研究集会で他大学の研究者と交流したことも大変参考になった。今後の展望としては、現在進行中のヘッケ環のモジュラ-表現の理論が多元環の分解不能表現の良い例を与えていること、2.の方法がコンパクトなP進群にも適用できそうであることの2点をつけ加える。

  • 有限群と代数群の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1987年
    -
    1988年
     

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    1.次数づけられた半単純リー環の斉次なべき零軌道を, 重みのついた, ディンキン図形を用いて分類する方法を見出した. これにより, べき零元の中心化群の詳しい構造なども, 対応するディンキン図形から比較的容易に計算できるようになった.
    2.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現を研究し, 有限体上の半単純代数群の指標の理論に応用した. 特に, 例外型の単純群のべき単指標の値を計算した.
    3.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現は, 局所体上の半単純代数群に対しても定義できる. 有限体の場合に得られた結果を分析することにより, 局所体上の場合に得られることが期待される結果についての予想を発表した.
    4.ヘッケ環やそれに類似の環の表現論を研究し, 結び目・絡み目の理論に応用した. 特にカオフマン多項式の表現論的意味を明らかにし, 多項式不変量の平行化の組織的研究を行った.
    5.ブラウアーの中心化多元環のqー類似を構成し, その表現論を展開した.

  • 3次元多様体のヘガード分解と幾何構造

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    (1)基本群と分岐被覆.難波誠は土橋宏康と共に,複素射影平面内の曲線の補空間,およびその曲線で分岐する有限ガロア被覆の基本群の実際的計算に,ひとつの方法をあたえ,それを用いて新しいZariski対の例をあたえた.(2)Epstein-Penner構成の一般化.秋吉宏尚と作間誠は,有限体積カスプ付き双曲多様体に対するものへ一般化し,凸核との関係を調べた.穴あきトーラス群に関しては,折り曲げ線層がEpstein-Penner分解を決定するであろうという予想を立て,和田昌昭,山下靖との共同研究により,いくつかの部分的解答と,コンピュータ実験を行った.(3)秋吉宏尚,宮地秀樹,作間誠は共同研究により,McShaneの等式の類似が穴あき曲面束に対して成立することを証明した.この公式は,カスプトーラスのモジュライをファイバー曲面上の本質的単純閉曲線の複素長を用いて表すものである.(4)穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口の描写.和田昌昭と山下靖は,穴あきトーラス擬フックス空間の実3次元切り口を描くコンピュータソフトを開発した

  • ループ空間のド・ラム理論と量子位相不変量

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    点の配置の空間のループ空間のホモロジーの代数構造を研究し,組みひも群などの対象の有限型位相不変量との関係を明らかにした。とくに,複素上半平面へのFuchs群の作用について軌道配置空間のループ空間のホモロジーの構造を研究し,これが対応する曲面上の水平コード図の代数と同型であることを証明した.また,反復ループ空間のホモロジーにBrowder作用を用いてPoisson代数の構造を導入した.Riemann球面上の共形場理論における共形ブロックの空間の超幾何積分による完全な表示を与えた.とに積分サイクルの構造をある種の超平面配置の補空間上の局所系係数のホモロジーの中で正規化可能なものとして特徴付けた.森田により,さまざまなモジュライ空間とそれに附随するモジュラー群の構造の研究が深められた.とくに,Riemann面のモジュライ空間と写像類群,グラフのモジュライ空間と自由群の外部自己同型群およびそれらの間の関係についての研究が進められた.また,村上により,結び目のJones不変量の漸近挙動と補集合の双曲体積についての予想,および3次元多様体の幾何構造との関連について新たな知見がもたらされた

  • 結び目と3次元多様体の不変量に関連するトポロジー

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    本研究の科学研究費補助金の支援により、国際研究集会「Invariants of knots and 3-manifolds」を、平成13年9月17日〜9月21日の期間、京都大学数理解析研究所において、同研究所の平成13年度プロジェクト研究「21世紀の低次元トポロジー」の一環である同研究所の共同利用計画(短期共同)として、開催した。出席者は96名であり、内26名が国外からの参加であった。また、同じ月の研究集会以外の週は同研究所においてセミナーを開催し、研究討論を行った。歴史的にはこの分野は1980年代にChern-Simons場の理論の相関関数として結び目と3次元多様体の量子不変量という膨大な数の不変量が発見されたことに由来する新しい研究領域である。この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究によりChern-Simons場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解する作業はほぼ完了しつつあり、不変量の研究はその意味で現在転機をむかえているとおもわれる。そのような時期である今、国内外の一線の研究者が本研究集会・セミナーに集まり研究発表・討論できたことは、この分野の研究の今後の展望を考え、参加者で認識をともにする上で、きわめて有意義なことであった。本研究集会のProceedingsはオンラインジャーナルGeometry and Topology Monographsから出版され、本研究集会における具体的な研究成果はここにまとめられた。とくに参加者から提出された数々の未解決問題は、研究集会のproblem sessionにおける討議をへて大槻により編集され、約200ページの未解決問題集としてまとめられた。この未解決問題集もProceedingsの一部として出版される予定である。この分野の今後の動向の指針となることを期待したい

  • 曲面の写像類群とモジュライ空間の幾何学

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    本研究では,曲面の写像類群とリーマン面のモジュライ空間の構造の解明を中心課題とし,それに密接に関連する種々の問題についての研究を行った.具体的には,写像類群のコホモロジー群の研究,Floerホモトピー型の理論の展開,3次元多様体のゲージ理論に基づく位相不変量の研究,写像類群の調和的Magnus展開の理論の建設,Grothendieck-Teichm"uller群の構造の研究,3次元多様体論における体積予想の研究,3・4次元における非可換幾何学の展開,写像類群の有限部分群と特性類の関係に関する研究,写像類群のJohes表現の研究,写像類群と4次元多様体論との関連,等である.このように代表者および各分担者はそれぞれのテーマを追究する一方で,相互啓発により一段高い観点からの研究を目指した.その中から,例えば写像類群の幾何学とシンプレティック幾何学との結びつきや,写像類群と自由群の外部自己同型群の構造の類似点および相違点の解明等の新しい研究の方向も見えてきた

  • 多様体の幾何構造と量子不変量

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    この研究の目的は、結び目の体積予想に代表される、三次元多様体の幾何構造と量子不変量の関係を明らかにすることにあります。ここでいう結び目の体積予想とは、有名なジョーンズ多項式の漸近挙動が結び目の補空間の単体的体積を決定するという予想で、数年前から多くの研究者が注目している研究テーマです。平成15年度の研究において、村上斉氏との共同研究により、ジョーンズ多項式のさまざまな極限が、結び目の補空間からデーン手術を経由して得られる三次元多様体の無限族の体積を決定するという、体積予想の一般化を提唱し、8の字結び目に対して厳密な証明を与えました。この成果は、平成15年にエジンバラ、ジュネーブで行われた研究集会で発表しました。また、平成16年度の研究では、ツイスト結び目に関する体積予想の一般化を考察し、その成果を平成16年にポツダムで行われた研究集会で発表しました。また、双曲四面体の体積と量子6j-記号の関係に関する最新の結果もあわせて発表しました。最後に、平成15年度の研究でも、ジョーンズ多項式の積分表示の可能性に関する成果を報告しましたが、平成16年9月にジュネーブ大学を訪問し、カシャエフ氏との共同研究を行った結果、ジョーンズ多項式を高次元トーラス上の積分として書き下すことに成功し、より洗練された積分表示が可能になりました。今後の研究で、モース理論と鞍点法を用いた積分値の極限の評価が期待できます。この成果は、共同研究者のカシャエフ氏により、平成17年1月にアトランタで開催されたアメリカ数学会で発表されました

  • 結び目の体積予想に関する総合的研究

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    この研究の目的は、結び目の体積予想に代表される、三次元多様体の幾何構造と量子不変量の関係を明らかにすることにあります。ここでいう結び目の体積予想とは、有名なジョーンズ多項式の漸近挙動が結び目の補空間の単体的体積を決定するという予想ですが、予想を証明する方針として、(1)結び目のジョーンズ多項式を高次元トーラス上の積分として書き下し、(2)モース理論を用いて鞍点法を適用し、漸近挙動の解析を行う、という立場でジュネーブ大学のカシャエフ氏と共同研究を行い、積分路の分割方法や非主要項の絶対値の評価など、解析的な問題点をクリアしていきました。現在、結び目・絡み目の図式から、体積やチャーン・サイモンズ関数を含むノイマン・ザギエ関数を導く方法に関する論文、任意の結び目について上記(1)を実現するアルゴリズムを解説する論文、いくつかの結び目について上記(2)が実行可能であることを示す論文を同時に執筆中です。また、共同研究者の村上順氏により、ホワイトヘッド絡み目とボロミアン絡み目の阿久津・出口・大槻不変量の漸近挙動が、それらを特異点に持つ錐多様体の体積とチャーン・サイモンズ不変量を与えることが示されました。これは、グコフ氏、村上斉氏らによって提唱された、結び目の体積予想の一般化を、さらに絡み目に拡張する試みです

  • 共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏

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    共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の相互関係の現状を把握するために,二つの会議を開催し,先端研究者間の連絡を親密する機会を設けた。第一回の会議は9月12日-16日の5日間にわたり,大阪府吹田市千里ライフサイエンスセンターにおいて,共形場理論,作用素環論,低次元多様体の不変量を専門とする研究者が集合し,モジュラーなテンソル圏を機軸とする各分野の現状を解説し,他分野との関連に関する見解を報告した。この会合により,各分野の研究者が連携して今後の研究計画に参画することが確認された。なお,この会議は,土屋昭博(共形場理論),河東泰之(作用素環論),村上順(低次元多様体の不変量),松尾厚,永友清和(全体の統括)により会議の内容および参加者の選択などの準備が行われた。第2回の会議は,12月16日-18日の三日間,同じく,千里ライフサイエンスセンターにおいて,研究代表者が主に担当する共形場理論に不可欠な複素多様体の変形と複素構造のモジュライ空間,ミラー対称性に焦点をしぼり,国内の先端の研究者が参集し,討論を実施した。この会議は,企画を大阪大学大学院理学研究科の後藤竜司氏に依託し,研究代表者は情報の収集に務めた。以上,2回の会議により,企画調査の目的としていた共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の現状の把握が実現され,多くの研究対象を新たに発見することができた。この成果は,今後,境界横断的な新しい研究分野の育成に多大な貢献をするものと期待される

  • 群とモジュライ空間の幾何学(2)

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    リーマン面のモジュライ空間およびグラフのモジュライ空間、そしてそれらに同伴する、曲面の写像類群および自由群の自己同型群等のモジュラー群は、代数幾何学、複素解析学、微分幾何学、位相幾何学、数理物理学等、数学の多くの分野にまたがる極めて重要な研究対象である。本研究では、これらのモジュライ空間およびモジュラー群の、主として位相幾何学の観点からの研究を推進し、多くの成果を挙げた。また、密接に関連する3、4次元多様体論や横断的にシンプレクティックな葉層構造の特性類の理論においても、新しい結果や予想を得た。さらに数論を含む新しい方向への深い問題提起を行った

  • 量子群の表現論を用いた結び目や3次元多様体の幾何

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    結び目の量子不変量に関する体積予想を,カラードアレキサンダー不変量に注目して研究し,logarithmic不変量やSL(2,C)量子6j記号の構成を行った。また,これらと双曲体積との関係を明らかにした

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講演・口頭発表等

  • Volume conjecture for the logarithmic invariant

    Jun Murakami

    Volume Conjecture in Tokyo   (東京) 

    発表年月: 2018年08月

  • On a q-deformation of PSL(2) representation of knot groups

    Jun Murakami

    Low dimensional topology and number theory X   (福岡) 

    発表年月: 2018年03月

  • Presentation of knots by a braided Hopf algebra

    Jun Murakami

    Modular Forms and Quantum Knot Invariants   (バンフ)  Banff International Research Station  

    発表年月: 2018年03月

  • Braided Wirtinger presentation of knots

    Jun Murakami

    Representation Spaces, Teichmüller Theory, and their Relationship with 3-manifolds from the Classical and Quantum Viewpoints   (マルセイユ)  Centre International de Rencontres Mathemiques  

    発表年月: 2018年02月

  • On the volume conjecture of quantum knot invariants

    Jun Murakami

    Low-dimensional Topology and Number Theory   (Oberwolfach)  Oberwolfach Research Institute for Mathematics  

    発表年月: 2017年08月

  • On the asymptotics of quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    Invariants in low dimensional geometry & topology   (トゥールーズ) 

    発表年月: 2017年05月

  • On the volume conjecture for quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    Workshop on Teichmüller and Grothendieck-Teichmüller theories   (天津)  Chern Institute of Mathematics  

    発表年月: 2016年07月

  • On the volume conjecture of various SO(3) invariants

    Jun Murakami

    Topology and Analysis of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces   (京都)  京都大学数理解析研究所  

    発表年月: 2016年06月

  • Volume conjecture for quantum 6j symvols

    Jun Murakami

    Mini workshop "Growth3"   (東京) 

    発表年月: 2016年04月

  • Volume formula for hyperbolic and spherical polyhedron

    Jun Murakami

    PMI Quantum Topology Seminar   (浦項) 

    発表年月: 2015年12月

  • Volume conjecture for quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    PMI Quantum Topology Seminar   (浦項) 

    発表年月: 2015年12月

  • Logarithmic invariant of knots and its applications

    Jun Murakami

    Braids, Configuration Spaces, and Quantum Topology   (東京) 

    発表年月: 2015年09月

  • Logarithmic invariants of knots in a three manifold

    Jun Murakami

    New Developments in TQFT   (オーフス)  Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces  

    発表年月: 2015年07月

  • Volumes of hyperbolic an spherical polyhedrons

    Jun Murakami

    日本数学会2015年度年会  

    発表年月: 2015年03月

  • Volumes of hyperbolic an spherical polyhedrons

    Jun Murakami

    8th Australia New Zealand Mathematics Convention   (メルボルン) 

    発表年月: 2014年12月

  • Logarithmic invariants of links

    Jun Murakami

    Quantum Topology and Physics 2014 in Fukuoka  

    発表年月: 2014年09月

  • Logarithmic invariant of knots

    Jun Murakami  [招待有り]

    Quantum Curves and Quantum Knot Invariants   Banff International Research Station  

    発表年月: 2014年06月

  • Volume conjecture for logarithmic invariant of knots

    Jun Murakami

    Mini-workshop on the Volume conjecture   Korea Institute for Advanced Study (KIAS)  

    発表年月: 2014年06月

  • On representations of mapping class groups via the LMO inariant

    Jun Murakami

    Séminaire de Topologie   (パリ)  Institut Mathématiques de Jussieu  

    発表年月: 2014年03月

  • Generalized Kashaev invariants for knots in three-manifods

    Modern Trends in Topological Quantum Field Theory, Workshop II  

    発表年月: 2014年03月

  • Knots invariants coming from the small guantum group

    第58回代数学シンポジウム  

    発表年月: 2013年08月

  • Volume formulas for a spherical tetrahedron

    Geometric structures on low-dimensional manifolds  

    発表年月: 2013年05月

  • On the logarithmic knot invariants and the hyperbolic volume

    Low dimensional topology and number theory V  

    発表年月: 2013年03月

  • Logarithmic invariants of knots in three manifolds

    Exact results in SUSY gauge theories and integrable systems  

    発表年月: 2013年01月

  • Quantum 6j-symbols for non-integral highest weight representations of U_q(sl_2) at root of unity

    村上 順

    日本数学会秋期総合分科会  

    発表年月: 2012年09月

  • 結び目の量子不変量とその応用

    Summer School 数理物理 2012 結び目の数理と物理  

    発表年月: 2012年09月

  • Logarithmic invariants for knots in three manifolds

    ホップ代数と量子群 -- 応用の可能性  

    発表年月: 2012年09月

  • Quantum invariants of knots and the hyperbolic volume

    The 29th international colloquium on group-theoretical methods in physics  

    発表年月: 2012年08月

  • 3次元球面内の四面体の体積公式

    日本数学会秋期総合分科会  

    発表年月: 2011年09月

  • On the relation between projective representations of Uq(sl2) and hyperbolic volume

    Diagram algebras and related topics  

    発表年月: 2010年07月

  • Some generalizations of the colored Alexander invariant

    量子群と量子トポロジー  

    発表年月: 2010年04月

  • On the tensor category of projective modules of the small quantum groups

    Category Theory, Computer Science, and Topology  

    発表年月: 2009年10月

  • Generalized quantum 6j-symbols and the colored Alexander invariant

    Topology seminar  

    発表年月: 2009年09月

  • On the quautum 6j symbols for the non-integral highest weight representations of U_q(sl_2) at root of 1

    2009 年度日本数学会秋期総合分科会  

    発表年月: 2009年09月

  • On logarithmic knot invariant and volume conjecture

    Séminaire de Théorie des Noeuds  

    発表年月: 2009年03月

  • On the extra quantum group U_xi^(r)(sl_2) at root of 1

    2009 年度日本数学会年会  

    発表年月: 2009年03月

  • On logarithmic knot invariant

    Braids in Paris  

    発表年月: 2008年09月

  • 量子不変量の様々な state model, 量子 6j-symbol と双曲四面体の体積, Colored Alexander 不変量と体積予想

    夏の学校「低次元トポロジーにおける未解決問題」  

    発表年月: 2008年08月

  • On branch problem of complex volume

    Topology and Computer 2008  

    発表年月: 2008年08月

  • Beyond the quantum invariants of knots and 3-manifolds

    Topology Seminar  

    発表年月: 2008年07月

  • On the TQFT Coming from the Restricted Quantum Group

    Finite Type Invariants, Fat Graphs and Torelli-Johnson-Morita Theory  

    発表年月: 2008年04月

  • On the invariants of knots and 3-manifolds related to the restricted quantum group

    トポロジー火曜セミナー  

    発表年月: 2008年04月

  • On representations of mapping class groups related to U_q(sl_2)

    Workshop on linear representations of the mapping class group and related topics  

    発表年月: 2007年12月

  • Colored Alexander invariant and cone manifolds

    Workshop Hyperbolic Volume 2007  

    発表年月: 2007年07月

  • On the colored Alexander polynomials

    Third East Asian School of Knots and Related Topics (February 5-8, 2007 at Osaka City University)  

    発表年月: 2007年02月

  • On the volume conjecture for the colored Jones and Alexander polynomials

    Around the Volume Conjecture  

    発表年月: 2006年03月

  • Quantum 6j-symbols and volumes of hyperbolic tetrahedra

    Towards the quantum geometry of hyperbolic 3-manifolds  

    発表年月: 2004年06月

  • On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariant

    Geometry and physics of three-dimensional quantum gravity  

    発表年月: 2003年07月

  • On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbol

    Geometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA)  

    発表年月: 2002年08月

  • A formula for the volume of a tetrahedron and its application

    Knots in Montreal II  

    発表年月: 2002年04月

  • 量子 6j-symbol の漸近挙動と双曲4面体の体積

    結び目のトポロジー IV(大阪市立大学、2001年12月17日〜20日)  

    発表年月: 2001年12月

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特定課題研究

  • 結び目の基本群の量子化の研究

    2019年   Roland van der Veen

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    本研究では結び目群,すなわち3次元空間中の結び目の補空間の基本群の SL(2, C) への表現の量子化を試みた.表現は群から群への準同型であるが,これを群環から群環へのホップ代数としての準同型と見直し,このホップ代数を S. Majid の構成した SL(2, C) の変形となっている組み紐型のホップ代数 BSL(2, C) に一般化することで量子化を得た.結び目群のSL(2, C) への表現の全体は表現空間と呼ばれるが,この表現空間が量子化されたのである.SL(2, C) に限らず,半単純な線形群に対しては対応した組み紐型のホップ代数が存在するため,この構成法から結び目群の半単純なリー群への表現も量子化できることがわかった.

  • 多様な量子群の研究

    2018年   Alexander KOLPAKOV, Qingtao CHEN, Marco DE RENZI, Roland VAN DER VEEN, Anh TRAN

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    量子群とは,リー環の普遍展開環を「量子化」,すなわち量子化のパラメータ q により1変数変形したもののことである.量子群を用いて3次元空間中の結び目の不変量を構成できるのであるが,この不変量と結び目補空間の幾何構造との間の関係が近年徐々に明らかになってきている.この関係の応用として,3次元双曲空間内の多面体の体積を求める方法を A. Kolpakov とともに開発し,学術雑誌 Experimental Math. に発表した.また,R. van der Veen とともに,組紐型の量子群をもちいて結び目補空間の基本群の SL(2) 表現と呼ばれるものの量子化を構成し,現在論文を投稿中である.

  • 基本群の量子化の研究

    2017年   Roland van der VEEN, QIngtao CHEN, Jinseok CHO

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    結び目に注目し、本研究の中心的なテーマである基本群の量子化の研究を Roland van der Veen と行った.基本群の SL(2) 表現と呼ばれるものが結び目の補空間の幾何構造と深く関係するものとして詳しく研究されているのであるが、この SL(2) を Majid による組紐型の量子 SL(2) というものに置き換えることで、通常の SL(2) 表現を量子化することができた.さらに、指標多様体と呼ばれる表現全体を表すような空間についても、幾つかの例で量子化することができた.この研究については現在論文執筆中である.

  • 角度の量子化による低次元量子幾何学の構築

    2017年   Qingtao CHEN, Jinseok CHO, Roland van der VEEN

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    3次元幾何学において角度に注目して幾何構造の量子化を考えるために、まず対象の3次元多様体を四面体分割し、それぞれの四面体での角の量子化を構成することを考えた.そのために準古典極限が双曲体積に対応する量子 6j 記号に注目し、その漸近的な性質を Qingtao Chen とともに調べ、その成果を現在投稿中である.通常の 6j 記号はリー環 sl(2) の表現のテンソル積の分解に関連する量で、リー環を量子群に置き換えることで、6j 記号は量子 6j 記号へと一般化される.本研究では、量子 6j 記号の漸近展開において、主要項が体積に対応するだけでなく、主要項の次の展開係数についても、四面体のグラム行列式と呼ばれる幾何学的なデータで表すことができることを示した.

  • 表現論における嶺 (ridge) の研究

    2016年   KOLPAKOV, Alexander, CHEN, Qingtao

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    ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や3次元多様体の量子不変量についての研究を行った.特に,3次元球面や一般の3次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や,空間グラフに対する量子不変量の研究を行った.また,平面グラフに対するこれらの不変量と,対応する多面体のの双曲体積や幾何構造との関係も調べた.これにより,ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する3次元多様体の双曲体積との関係から,3次元双曲多面体の体積を求める公式を得ることがをできることが分かった.

  • 結び目不変量の研究

    2016年   KOLPAKOV, Alexander

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    ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や3次元多様体の量子不変量についての研究を行った.特に,3次元球面や一般の3次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や,ハンドル体結び目に対する量子不変量の研究を行った.また,これらの不変量と,対応する3次元多様体の双曲体積や幾何構造との関係も調べた.これにより,ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する3次元多様体の双曲体積との関係が,一般の3次元多様体中の結び目やハンドル体結び目の量子不変量に対して拡張できることを確かめた.

  • 数学にあらわれる多様な量子化,非可換化の統一的理解

    2005年   橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 奥田 順一

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    本研究では,代数学や幾何学,さらには理論物理学に潜む表現論的な共通原理を見いだすことを目標としており,以下のアプローチを行った. 一つは,大阪大学の永友清和氏とテンソル圏とモジュラー関手に関する共同研究を進め,これまで数学でよく扱われている半単純な場合についての研究を,必ずしも半単純ではない場合に拡張する一般的な方法について模索した. もう一つは,専門家による交流の場として不定期に開催している早大理工トポロジーセミナーにおいて,様々な研究者の研究成果の講演を通じて,その根底に潜む原理を探るという試みてある.以下の人たちに講演をお願いした.駒澤大学・小沢 誠 氏(結び目理論),UNY at Buffalo・William W. Menasco 氏(組紐群),早稲田大学・塚本 達也 氏(結び目理論),大阪産業大学・市原 一裕 氏(トポロジー),東京工業大学・長郷 文和 氏(量子不変量),琉球大学・小須田 雅 氏(表現論),大阪大学・石井 敦 氏(量子不変量) これらの研究活動を通じて,colored Alexander 不変量と呼ばれる結び目の不変量に対応するテンソル圏が,半単純ではないが半単純に近い性質を持ったよい例であることがわかってきた.

  • 結び目や3次元多様体の電子不変量とその応用

    2005年   橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 奥田 順一, 塚本 達也

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    結び目や3次元多様体の量子不変量に関して,特に近年明らかにされたこれらの不変量と幾何的な構造との関係について研究を進めた.このような関係は最初 Kashaev によって予想され,村上らにより体積予想 (volume conjecture) として一般化されたものである. 幾何構造と量子不変量と関係は,これまで colored Jones 多項式に関して詳しく研究されてきたのであるが,本研究では,colored Alexander 不変量と幾何構造との関係について明らかにした.結び目理論においては,Alexander 多項式と呼ばれる代数的な不変量が,基本群との関係もあることからよく研究されてきたが,大槻-出口-阿久津 により,colored Alexander 不変量というものに拡張された.これについて,量子不変量と幾何構造の関係を調べる既知の方法を適用し,従来知られていた対応に対して,その変形理論という形での一般化を与えることに成功した. これらの成果については,コロンビア大学での国際会議 "Arround the Volume Conjecture" で発表したが,論文でも発表する予定である.

  • 量子不変量の諸相

    2004年  

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    本研究では,結び目や3次元多様体の量子不変量を様々な観点から研究することを目標としていた.なかでも,最近量子不変量が結び目の補空間や3次元多様体の幾何的性質との関係が明らかになってきたので,このことについて重点的に研究を進めた.その結果,Akutsu-Deguchi-Ohtsuki 不変量と呼ばれる,量子群 Uq(sl2) のq が1の冪根のときの表現の1パラメータ族と対応する結び目の不変量と,対応する補空間の双曲体積などとの関係を明らかにすることができた.

  • 3次元多様体の体積予想と幾何構造

    2003年  

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    本研究では3次元多様体の体積予想について研究することと,体積予想に関する研究の成果を生かして3次元多様体の幾何構造について研究することを目的とした. 体積予想とは,結び目や3次元多様体の量子不変量と呼ばれるものと,双曲体積と呼ばれる結び目補空間や多様体の幾何構造から定まる体積との関連を示唆するものである.この予想は,量子 6j-symbol と呼ばれる,重力理論で使われる量が,3次元定曲率空間(双曲空間,または3次元球)の4面体の体積と関係することを示唆しており,このことを用いて,定曲率空間の4面体の体積を表す,非常に対称性の高い新しい公式を得ることができた.これは,三角形の面積を表すヘロンの公式の3次元化に当たるものである.この公式は,最近になってヘリウム原子,リチウム原子の3電子系の研究にも応用されている. 現在は,この公式を幾何構造の決定に応用する研究を推進している. なお,この研究に関連して下記の国際学会にて研究発表を行った.A formula for the volume of a tetrahedron and its applicationKnots in Montreal II (Montreal, CANADA)2002 年 4 月On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbolGeometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA)2002 年 8 月On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariantGeometry & physics of three-dimensional quantum gravity (Edinburg, UK)2003 年 7 月さらに,この研究のため,次の国際研究集会を組織し,4名の海外からの研究者も加わって双曲体積に関して活発に議論された."Workshop on Hyperbolic volumes",December 9 (Tue.) -- December 11 (Thu.), 2003 at Third conference room, Second floor, S55 building Waseda University (Ohkubo campus)http://www.f.waseda.jp/murakami/workshop2003/workshoptop.html

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現在担当している科目

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