The aim of this research is to construct discretized quantum geometry for 2 and 3 dimensional case. To do this, various quantum invariants and their relations are studied. For example, we study the colored Jones invariant, the colored Alexander invariant, the Hennings invariant and the logarithmic invariant. Quantum invariants for knotted graphs and its relation to the geometric structure is also studied. Especially, we get the relation between quantum invariants and hyperbolic volume determined by the geometric structure for various quantum invariants

Quantum groups whose quantum parameter q are roots of unity have projective representations which is not always semisimple. In this research, properties of such representations are studied, invariants of knots and 3-maniolfds related to such representations are constructed, and properties of such invariants are studied. Such invariant for knot is already constructed as the logarithmic invariant, and it is extended in this research to invariants of knots in 3-manifolds. The relation of logarithmic invariant and its generalization to the hyperbolic volume of the corresponding manifold is also given, which is a version of the volume conjecture of quantum invariants

For modular forms of one variable, we obtained some congruence results on Fourier coefficients of certain meromorphic modular forms, constructed newforms associated to elliptic curves over the rationals which can be written as eta products via differential equations satisfied by modular forms, and found relations between period polynomials of modular forms and double zeta values of level 2. This last result creates a bridge between modular forms and multiple zeta values. For multiple zeta values proper, we obtained a formula for the height one MZV in terms of MZVs of maximal height, defined and studied a kind of sibling function of the so called Arakawa-Kaneko zeta function, and studied basic properties of finite multiple zeta values. Notably, by introducing symmetric multiple zeta values, we proposed an astonishing main conjecture in the theory of finite multiple zeta values

本研究においては，まず２次の特殊線形群に対応する量子展開環において，その１の冪根における半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量についての研究を行った．３次元球面中の結び目に対しては，以前 logarithmic 不変量と呼ぶものを表現の根基に対応する中心の元をもちいて構成しており，本研究の中で，この不変量を任意の向き付け可能な３次元閉多様体中の結び目の不変量に拡張した．この拡張された不変量の中には，Kashaev が双曲体積との関係を見いだした不変量を３次元閉多様体中の結び目に拡張したものも含んでいるが，この拡張された Kashaev の不変量について，数値計算により，その補空間の双曲体積との関係を調べ，３次元球面中の結び目に対して予想されている体積予想と同様の関係がいくつかの場合で成り立つことを確かめた．
また，３次元球面中の結び目に対する Logarithmic 不変量に対し，これまで知られていた colored Alexander 不変量を用いた公式に加え，colored Jones 不変量を用いた公式を新たに得た．この公式では，葉廣による colored Jones 不変量の公式を用いて，最高ウェイトに対応するパラメータに関する微分を行うことで logarithmic 不変量が得られる．さらに，この公式を活用して， Logarithmic 不変量と双曲体積の関係を８の字結び目に対して調べ，８の字結び目に沿ったコーン多様体の双曲体積との間に，体積予想と同様の関係が成り立つことを数値計算で確認し，また，特別の場合については証明も与えた．
さらに，ハンドル体結び目に対する量子不変量の構成や，Costantino-Murakami 不変量のグラフの埋め込みに対する拡張を行い，これらと双曲体積との関係を調べた．

We clarified the relation between quantum representations of braid groups appearing as the monodromy representations of KZ equations and homological representations of braid groups. We gave an expression for the basis of the space of conformal blocks in conformal field theory on Riemann sphere by means of mlti-variable hypergeometric functions by specifying integration cycles. We showed that the KZ connection in conformal field theory can be regarded as a Gauss-Maninconnection. By developing the notion of Chen's formal homology connection and iterated integrals of logarithmic forms, we constructed higher category extensions of quantum representaitons of braid groups as representations of homotopy path groupoids of configuration spaces as higher categories

Quantum invariants of knots and 3-manifolds has been developed since Jones and Witten. We have studied a geometric aspect of the colored Jones polynomial. Some of the colored Jones polynomial was shown to have a nearly-modular property.We have applied a method of the Ramanujan mock theta function to the superconformal algebra. We have studied "moonshine" phenomena which suggests a strange relationship between Fourier coefficients of mock theta function and irreducible representation of finite groups

量子展開環のパラメータを１の冪根にしたものに関する，半単純でない表現について，２次の特殊線形群に対応する量子展開環については，Feigin らの研究を土台として，最高ウェイトが整でない表現からの極限としての構成法を以前構成した．これをもとにして，３次の特殊線形群に対応する量子展開環でパラメータを１の冪根にしたものについて，整でないウェイトに対応する表現の構造を調べた．
この整でないウェイトに対応する表現からは，２次の特殊線形群に対応する場合と同じように，結び目の不変量の構成や，量子 6j 記号の構成が可能となるので，現在その準備を進めている．また，３次の特殊線形群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現の構成法から，より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現についても，その構成法の概略を知ることができた．
これらの成果をもとに，２次の特殊線形群の場合にできている，半単純でない表現を整でないウェイトに対応する表現から構成する手法を，より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環に対して拡張する研究を行っている．そして，２次の特殊線形群に対応する場合に半単純でない表現とそれに対応する結び目の量子不変量から双曲構造やその量子化についての情報が得られたように，より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の，半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量と幾何構造の量子化との関係についても研究を進めている．

We did research rerated to the ‘Volume Conjecture’ which gives a relation between the quantum invariant related to the quantum group Uq(sl2), and, by noticing the non-semisimple representation of it, such representations and the related knot invariants were studied. By applying the volume conjecture, the geometric structure of a knot complement and the volumes of polyhedrons in a three space with a constant curvature were studied. Moreover, new invariants of knots in a three manifolds were constructed from the non-semisimple representations

結び目や絡み目の量子不変量と,結び目補空間の双曲体積との関係を予想した体積予想について研究を進めた.その中で,横田により明らかにされたカシャエフ不変量と結び目補空間の幾何的構造との対応をカラードジョーンズ多項式に拡張し,ノイマン-ジッカートによる単体分割から双曲体積やチャーン-サイモンズ不変量を調べる研究との関係を明らかにすることができた.これにより,双曲体積のみならず,チャーン-サイモンズ不変量についても,量子不変量との幾何的な対応関係を明らかにすることができた.これらの不変量が量子不変量のある極限として現れるというのが体積予想であり,このこと自体はまだ証明されていないのであるが,量子不変量からポテンシャル関数と呼ばれる関数を構成すると,その按点が幾何構造と対応し,そこでのポテンシャル関数の値(複素数)の実部が双曲体積で虚部がチャーン-サイモンズ不変量となるのである.量子不変量から双曲体積だけでなく,チャーン-サイモンズ不変量も出てくるということは,実例による計算では予想されていたのであるが,本研究により,具体的な対応のメカニズムが初めて明らかになった.さらに,横田による単体分割をより一般的な形に再構成しなおすことで,量子不変量から定義されるポテンシャル関数の按点と,結び目や絡み目の補空間の基本群のSL(2,C)表現との関係についても研究の道を開くことができた.SL(2,C)表現の特性多様体と按点全体のなす空間とが対応し,ポテンシャル関数の研究が基本群のSL(2,C)表現の研究においても大変重要なことがわかった.

We studied the Noether's Problem, which asks the rationality of the fixed field of the rational function field of several variables over a given field, with respect to a given finite subgroup G of the Cremona group. We solved this problem affirmatively in the case where G is one of the transitive permutation groups of degree six, and obtained the explicit description of the fixed field as expected. The results are now being collected and prepared in some papers, although it will take some time before the completion. During the period of the research, we had in each year a workshop entitled as "Galois theory and related topics", and discussed the various related problems.. They were held in the university of Yamagata (2007), Tokushima (2008), and Kanazawa (2009). We also had a conference on number theory each year at Waseda university and communicated with many experts of this subject, including those from foreign countries.

The volume conjecture of knots states that the asymptotic behavior of the colored Jones polynomial determines the simplicial volume of the knot complement. This conjecture was first proposed by R.Kashaev for hyperbolic knots, and generalized by H.Murakami and J.Murakami for general knots. This conjecture was further generalized to involve the Chern-Simons invariant through computer experiments made by H.Murakami, J.Murakami, M.Okamoto, T.Takata and Y.Yokota. Finally, S.Gukov and ft Murakami conjectured that various limit of the colored Jones polynomial dominates not only the volume of the knot complement but also the volumes of the closed 3-manifolds obtained by Dehn surgeries, or the Neumann-Zagier function on the deformation space of the knot complement. Our strategy to prove the hyperbolic volume conjecture, the first one proposed by Kashaev, is :(1) express the colored Jones polynomial as an integral over a torus(2) apply the saddle point method by using Morse theoryAlong this strategy, with Kashaev at University of Geneva, we achieved (1) for any knot, and (2) for some knots. We have reported these in many workshops abroad, and I am writing a paper on the Neumann-Zagier function of knot complements, which is necessary to connect the limit of the colored Jones polynomial with the volume, a paper to describe the algorithm to realize (1) for any knot and a paper on (2) for some knots simulteneoualy. On the other hand, the co-researcher J. Murakami observed that the asymptotic behavior of the Akutsu-Deguchi-Ohtsuki invariant of Whitehead link and Borromean rings gives the volumes of the orbifolds they define. This is an interesting generalization of the conjecture made by S.Gukov and H.Murakami

First I tried to make correspondence, via Mellin transforms and inverse Mellin transforms, between linear relations held among multiple zeta values and connection relations held among multiple polylogarithms of one variable. I was succeeded in clarifying the correspondence between Ohno relations for multiple zeta values and the connection formula for multiple polylogarithms with respect to z→z-1. This result was published as the paper "Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004), 537-564".
Motivated by this research, I tried to study symmetry of the formal Knizhinik-Zamolodchikov(KZ) equation of one variable, in which the coefficients of the equation are regarded as noncommutative variables. Here the symmetry of the equation means transformation theory of fundamental solutions normalized at the singular points. The most universal generating function of multiple polylogarithms is a fundamental solution normalized at z=0. The connection matrices of these fundamental solutions are given by the so called Drinfeld associator, and the connection relations yield the duality relation and the hexagon relation for the Drinfeld associator. This result was published as the paper "The Sum Formula of Multiple Zeta Values and Connection Problem of the Formal Knizhinik-Zamolodchikov Equation, Development in Mathematics 14, Zeta Functions, Topology and Quantum Physics ed. Be T. Aoki et al., Springer (2005),145-170.
Furthermore, I have been trying to generalize the symmetry theory in the formal KZ equation of many variables. I expect that, from this theory, the connection formulas for multiple polylogarithms of many variables. So far, I established the decomposition theorem, and the analycity theorem for normalized fundamental solutions of the KZ equation, from which one can deduce the pentagon relation for the Drinfeld associator. I proposed a conjecture that the harmonic product relations(or the series shuffle relations) of multiple polylogarithms are equivalent to the decomposition theorem. This result is announced in an invited project lecture in the autumn conference of MSJ at Osaka City University, 2006 September.

Thanks to the current Grant-in-Aid, we were able to organize seven research workshops inviting the most active mathematicians on this field, through which we had many discussions on our subjects.
This enabled us to make a considerable developments along our reseach project on Galois theory.
As for the main theme of constructing generic polynomials with given finite groups over Q, our first result is the construction of concrete and simple families of quintic polynomials with two parameters for each of the five transitive permutation groups of degree 5. As a remarkable application we have established the proof of the genericity of the famous family of A_5 polynomials of degree 6 found by A.Bumer, in connection with algebraic curves of genus two whose Jacobian have real multiplication of discriminant 5.
Our second result is concerned with the Noethers' Problem for the meta abelian groups of exponent 8 which are subgroups of the affine transformation group over Z/8Z. We have proved the affirmative answer for the linear representation of degree 4 for each of them, in contrast with the negative answer for cyclic group of order 8. As a biproduct of this result, we obtained a simple criterion for a cyclic extension L/K of degree 4 to be embedded into a cyclic extension of degree 8.

We investigated the algebraic structure of the homology of the loop spaces of configuration spaces and clarified its relation to finite type topological invariants for braids. Especially, we studied the homology of the loop spaces of configuration spaces and finite type topological invariants. We focused on the homology of the loop spaces of orbit configuration spaces associated with the action of Fuchsian groups on the complex upper half plane. We showed that the total homology of such loop space is isomorphic to the algebra of horizontal chord diagrams on the quotient surface. We introduced a structure of a Poisson algebra for the homology of the iterated loop space of the orbit configuration space based on the Browder operation.We gave a complete description of the space of conformal blocks for the conformal field theory on the Riemann sphere in terms of hypergeometric integrals. In particular, we clarified the integration cycles as the regularizable cycles in the homology of locally finite chains with coefficients in a certain local system defined over the complement a disrciminantal arrangement.Morita investigated the structure of various moduli spaces as well as their associated modular groups, such as the moduli space of Riemann surface -mapping class groups and the moduli space of graphs -outer automorphism group of free groups. Murakami gave a new point of view on a conjecture concerning the asymptotics of the Jones invariants for knots, the hyperbolic volume of the knot complement, and the geometric structure of 3-manifolds

2001年度:京都大学数理解析研究所においてプロジェクト研究「21世紀の低次元トポロジー」を開催した.
このプロジェクトは1年間にわたるもので,数理研に国内外から低次元トポロジーの研究者を集め集中的に研究を行った.海外からの参加者は50名程度であり多くの講演と活発な討論が行なわれた.これによって,低次元トポロジーにおける種々の分野,特に3次元多様体の組み合わせ的な研究,4次元空間内の曲面結び目の研究,結び目や3次元多様体の量子不変量の研究に新たな見地を見出した.
2002年度:主に2001年度に得られた研究成果を発表するとともに情報交換を行ない,我々の結果を広く理解してもらうとともに今後の研究の目標を立てることができた.
4月に研究代表者と村上順は,カナダ・ケベック大学モントリオール校で開かれた体積予想に関する研究集会に招待され講演を行なった.体積予想というのは,R.Kashaevの予想を村上順と研究代表者が一般化したものであり,Jones多項式を初めとする量子不変量と幾何構造を結びつけるという意味から多くの研究者の注目を集めている.また,小林は7月に韓国高等高等理工学研究所に招かれて,3次元多様体論についての連続講義を行ない,谷山は8月に中国西安で開かれた,国際数学者会議のサテライト会議「Geometric Topology」においてグラフの成す絡み目に関する招待講演を行なった.大槻はこれまでに得られた量子不変量に関する成果を専門書「Quantum invariants,-A study of knots,3-manifolds, and their sets」の形にまとめた.

Below, we state our main results on (1) affine Lie algebras, (2) Hecke algebras, (3) finite Chevalley groups, (4) complex reflection groups, and (5) quantum groups.
(1) T.Tanisaki (jointly with M.Kashiwara) completely determined the characters of irreducible modules with non-critical highest weight over affine Lie algebras. This was done by reducing, using Jantzen's trick, the problem to the case of rational weights, the case already treated previously by Tanisaki and Kashiwara.
(2) K.Uno conjectured, in 1992, the condition under which the number of equivalence Classes of indecomposable Hecke algebra modules is finite. S.Ariki settled this Uno conjecture affirmatively in the classical cases. The remaining exceptional cases also seem to be within our reach.
(3) T.Shoji gave a combinatorial method by which one can construct Green functions of finite classical groups. This generalizes the wellknown result of Green for finite general linear groups. It is interesting to note that the same procedure makes sense for certain complex reflection groups.
(4) N.Kawanaka introduced new invariants for the irreducible characters of finite complex reflection groups, and calculated them explicitly in the imprimiteve cases. Gyoja and others calculated the same invariants for any finite Weyl groups, and observed a strange relation with Lusztig's notion of two-sided cells.
(5) J.Murakami (jointly with H.Murakami) showed the Kashaev knot-invariant is nothing but a specialization of colored Jones invariant defined using quantum R-matrices corresponding to irreducible representations of quantum groups U_q (sl_2), and, using this, generarlzed the Kashaev conjecture, stating a connection of this invariant with hyperbolic volumes of complements of hyperbolic knots, to the case of general knots.

共形場理論における写像類群の表現の性質について研究した。とくに、吉田朋好による、共形場理論のアーベル化の方法を援用して、共形ブロックの空間の基底をテータ関数を用いて記述しそこへの写像類群の作用を記述した。
Vassiliev不変量の空間をループのホモトピー類のみのよる対数微分形式の、K.T.Chenの意味の反復積分全体としてもとらえることにより、位相不変量を多重ゼータ関数の特殊値として表すことができる。このような視点から得られる多重ゼータ関数の特殊値の間の関係式を系統的に研究した。また、Hodge理論をも用いて、多重ゼータ関数の特殊値のはる空間の次元についてのいくつかの予想に対して部分的な結果を得た。
組みひものVassiliev不変量の空間は、3次元空間内の互いに異なる点の配置の空間のループ空問のコホモロジーと同型であることを示した。より正確には、上のループ空間のコホモロジーは、Vassiliev不変量のウェイト系と対応していて、位相不変量は、組みひもから構成される、ループ空間のあるホモロジー類とのペアリングによって与えられる。さらに、一般に、従来グラフの空間に値をとるものとして定式化されてきた、有限型位相不変量に対して、これを、点の配置の空間のループ空間のホモロジー類としてとらえるという新たな視点を展開した。

本年は京都大学数理解析研究所でプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」が行われ,組織委員の一人として参加した。テーマの一つとして量子不変量があげられており,内外の多数の研究者が集まって活発に交流が行われ,本研究にも多大の貢献があった。本年の成果をまとめると次のようになる。
1.代数的側面について
プロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」に参加したD.Thurstonは,ウェブ図のなす代数系に対して「微分」(derivation)を導入し,自明な結び目に対応する元についての非常に基本的な表記法を得た。また,これに附随してこの代数の二種類の積構造から定義される二種類の環構造についての同型対応を構成した。これについて京都大学数理解析研究所での短期共同研究「多重ゼータ値の諸相」で紹介し,その際に,多重ゼータ値の研究でのシャッフル積と調和積の間の関係と対応することが明かとなった。これを受け,多重ゼータ値の理論との関係について研究を開始した。
また,「21世紀の低次元トポロジー」の参加者とウェブ図のなす代数系の呼称について話し合い,今後はヤコビ(Jacobi)図と呼ぶことで合意した。
2.幾何的側面について
ウェブ図と深く関係する量子不変量に対し,「体積予想」と呼ばれる問題がある。これは双曲構造が入る3次元多様体に対し,その体積が量子不変量からある方法で決まるのではないかという予想である。量子不変量には様々な側面があるが,量子6j-記号と呼ばれるものに注目し,体積予想から推察して双曲四面体の体積が量子6j-記号から得られると考え,研究を進めた結果,双曲四面体の体積を表す新たな公式を得た。

Yamane gave a Serre type theorem for the affine Lie superalgebras G, namely he gave a presentation of G by the Chevalley generators and defining relations satisfied by them. He also gave a similar result for the affine quantised superalgebras U_qG. He alos gave a a presentation of U_qG of type A(M|N)^<(1)> by the Drinfeld generators and defining relations satisfied by them, and defining relations satisfied by them. Dnlike the non-super case, the defining relations are very complicate. However, by comparing the defining relations of G with the ones of U_qG, we can find out the coincidense of the dimensions of the weight sapaces of the Verma modules of G with the ones of U_qG. Let R = C[s^<±1>,t^<±1>] be the two variable Laurent polynomials ring. Let D be the universal central extention of sl(2|2). Then dim D/sl(2|2) = 2., and D(R) = D 【cross product】 R 【symmetry】 Ω_R/dR is the universal central extention of sl(2|2) 【cross product】 R. He gave a presentation of D(R) by the finite Chevalley generators and finite definig relations, and also did the same thing for the D type affine Lie superalgebra D^<(1)> = D 【cross product】 C[t^<±1>] + Cc. It is easy to describe the kernel of the natural map D(R)→ sl(2|2)(R) by using the generators. By the fact, we can also give a presentation of sl(2|2)(R) by the finite Chevalley generators and infinite definig relations.
Yamane gave a Serre type theorem for the affine Lie superalgebras G, namely he gave a presentation of G by the Chevalley generators and defining relations satisfied by them. He also gave a similar result for the affine quantised superalgebras U_qG. He alos gave a a presentation of U_qG of type A(M|N)^<(1)> by the Drinfeld generators and defining relations satisfied by them. Unlike the non-super case, the defining relations are very complicate. However, by comparing the defining relations of G with the ones of U_qG, we can find out the coincidence of the dimensions of the weight sapaces of the Verma modules of G with the ones of U_qG. Let R = C[s^<±1>,t^<±1>] be the two variable Laurent polynomial ring. Let D be the universal central extension of sl(2|2). Then dim D|sl(2|2) = 2., and D(R) = D 【cross product】 R 【symmetry】 Ω_R/dR is the universal central extension of sl(2|2) 【cross product】 R. He gave a presentation of D(R) by the finite Chevalley generators and finite defining relations, and also did the same thing for the D type affine Lie superalgebra D^<(1)> = D 【cross product】 C[t^<±1>] + Cc. It is easy to describe the kernel of the natural map D(R) → sl(2|2)(R) by using the generators. By the fact, we can also give a presentation of sl(2|2)(R) by the finite Chevalley generators and infinite defining relations.
Nagatomo has developed the representation theory of vertex operator algebras, and has applied it to problems arising from conformal field theory. One of the important results is the classification of simple modules for the charge conjugation orbifold model, which opened a way to study conformal field theories with central charge more than or equal to one. On the other hand he applied the systematic study for correlation functions to a construction of modular forms and quasi-modular forms, which attracts much attention of those who work on the theory of modular forms.

We have investigated the structure of the mapping class group of surfaces as well as the geometry of moduli space of Riemann surfaces mainly from the viewpoints of topology. The main results we obtained are as follows.
(i) The subalgebra of the rational cohomology algebra of the mapping class group of surfaces generated by the Mumford-Morita classes is called the tautological algebra. There have been three approaches to the study of this tautological algebra. The first is based on the twisted Mumford-Morita classes introduced by Kawazumi, the second is in terms of invariants for trivalent graphs and the third is through symplectic representation theory. Summarizing previous results, we found that the above three approaches correspond exactly to each others.
(ii) The theory of secondary characteristic classes of the mapping class group is still a largely unknown area. However, in this research, we proved that these secondary characteristic classes have deep structures that cannot be detected by the nilpotent completion of the Torelli group. It seems highly likely that the solvable or semi-simple structure of the Torelli group will become more and more important in the future.
(iii) We made significant progress in understanding the algebro-geometrical as well as the topological structure of families of Riemann surfaces. In particular, we obtained many results concerning the monodromies of symplectic fibrations.

The aim of this research is to construct a new unifying method to study low dimensional topology from a view point of the quantum structure of Riemann surfaces. To do this, research was done for two areas. One is geometric aspect and the other is algebraic aspect. It is revealed that the volume of the complement of a hyperbolic knot is given by quantum invariants of the knot. Moreover, there is some indication that the volume of a hyperbolic three-manifold is also given by the quantum invariants of the manifold. These facts suggest that the quantum invariants of knots and three-manifolds include various geometric information, and efficiency of the method to study geometric properties from quantum invariants are pointed out.
We also study about the finite-type invariants and the web diagrams, which are related to certain expansion of quantum invariants, and get some new properties of them.
Quantum invariants are closely related to conformal field theory and theory of q-deformation, and some results for these theories are obtained. In the study of vertex operator algebras, the relation between modular forms and the correlation functions in conformal field theory is given. In the study of the theory of q-deformation, modular representations of finite groups are studied. The heart (quotient of the radical by the socle) of projective indecomposable modules are investigated, and the case that the heart is not indecomposable is determined. Moreover, q-deformation of a Frobenius-Schur character of complex reflection groups is defined and computed actually for the symmetric groups and imprimitive complex reflection groups.

(1)錐角π以上の錐多様体の研究.
Jorgensenの方法を用いることにより(代表的なGenus 1,1-bridge knotである)(-2,3,7)型Pretzel結び目補空間を底空間にもち,その解消トンネルを錐軸とする双曲的コーン多様体の連続族を錐角が0から2πの範囲で具体的に構成した.錐角がπ以下の錐多様体については,都合の良い様々な性質が成立することが証明されており,それらを用いることによりThurstonの軌道体幾何化定理が証明されていた.しかしながら錐角がπ以上となった時にどのような現象が起こるのかまだ殆ど何もわかっていない状況であるので,この具体例を手掛かりに錐角π以上の錐多様体に対する一般論を展開するのが今後の課題である.
(2)3次元多様体上の向き保存周期写像の手術表示.
向き保存周期写像fを持つ任意の有向閉3次元多様体Mは周期的絡み目Lのデーン手術により構成され,しかも周期写像fはLの周期性を与える周期写像が自然に誘導するものと共役であることを証明した.これは,任意の有向閉3次元多様体は3次元球面内の絡み輪のデーン手術により得られると言うWallaceとLickorishによる古典的結果の同変版といえる.この結果の応用として9交点以下の双曲的2成分絡み目補空間の全ての等長写像を"視覚化" した.

We have made the following progress in conformal field theory, field theory, finite type topological invariants, moduli space of surfaces and the theory of period integrals. J. Murakami constructed a universal finite type invariant for 3-manifold in collaboration with T. Ohtsuki and others. Moreover, we discovered a relationship between such finite type invariants and the cohomology of the loop spaces of configuration spaces (T. Kohno). S. Morita investigated the geometry of the moduli space of compact Riemann surfaces as well as the structure of the mapping class group of surfaces mainly from the point of view of topology and established important results on the Torelli group. Y. Shimizu found an explecit description of the projectively flat connection for the conformal fieldtheory of Riemann surfaces of higher genera. The theory of elliptic root system due to K. Saito shead new lights on the study of primitive integrals in relation with topological field theory.

The study of Heegaard splittings of 3-manifolds has been one of the most important themes in 3-manifold theory, and we already have deep understanding of the Heegaard splittings of "non-hyperbolike" 3-manifolds. However, our understanding of those of hyperbolic manifolds is far from satisfaction. In particular, as far as we know, no relationship between the hyperbolic structures and the Heegaard splittigs had been known.
In this project we have proved that the hyperbolic structure of a 2-bridge knot complement is intimately related with its bridge structure, which is a kind of Heegaard splitting. In fact, we have given a concrete construction of the hyperbolic structure of a 2-bridge knot complement by using the 2-bridge structure. To be more precise, we have constructed a continuous family of hyperbolic cone-manifold structures on a 2-bridge knot complement which have singularities along the upper and lower tunnels, where the cone angle varies from 0 to 2π. The cone-manifold structure with cone angle 0 corresponds to a rational boundary group of the quasi-Fuchsian once-punctured torus space and that with cone angle 2π gives the hyperbolic structure of the 2-bridge knot complement. To establish this result, we have given an explicit formulation and a full proof to (a part of) the theory announced by Jorgensen on the quasi-Fuchsian once-punctured torus groups, and generalized the theory to that for the groups outside the quasi-Fuchsian once-punctured space. The computer program "OPTI" developed by Masaaki Wada for this project visualizes Jorgensen's theory and its generalization, and it has been an indispensable tool not only for this project but also for the study of Teichmuller spaces. We hope the result we have obtained in this project is the beginning of the study of the relationship between the hyperbolic structures and the Heegaard splittings of 3-manifolds.

1. The head investigator, Masayoshi Miyanishi, investigated jointly with Kayo Masuda, an automorphism of infinite order of the affine space such that the automorpism fixes pointwise a subvariety and that the codimension of the subvariety is small. As a by-product, they obtained an algebro-geometric characterization of the affine 3-space in terms of GィイD2mィエD2-actions. The head investigator also worked out, jointly with R.V.Gurjar of the Tata Institute, a generalization of the Jacobian Conjecture to the Q-homology planes and proved that the conjecture holds true if the logarihmic Kodaira dimension is l and in the most cases if the logarithmic Kodaira dimension is 0 or -∞. A major work of the head investigator during this period of research under the above title is to have written down a book on open algebraic surfaces which is to be published from the American Mathematical Society.
2. Takayuki Hibi investigate finite graphs via the algebras associated to such graphs and the ideals of the algebras. Study of the Betti numbers of the algebras associated to various simplical complexes provides us with abundant imformations and has become an effective tool which combines combinatorics, commutative algebras and algebraic geometry.
3. Akira Fujiki obtained interesting results via an investigation of algebraic reduction of the twistor spaces on Hopf surfaces. Twistor space is a notion which is close to projective space bundle and expected to clarify differences between algebraic varieties and complex manifolds.
4. Yoshinori Namikawa investigated Calabi-Yau manifolds via deformation theory. He also reconstructed flops via deformation theory which appear in the study of birational mappings of higher dimensional algebraic varieties.
5. Jun Murakami constructed a new invariant for three-dimensional manifolds which is based on the Kontsevich invariant for the knots and studied its properties. He constructed a topological quantum theory by making use of this invariant, and a family of mapping groups of surfaces as its application.
6. Koji Yanagawa made a joint research with E.Ballico on h-vectors of the Poincare series which are defined by Cohen-Macaulay domains over a field of characteristic ρ.

In this study, the computational issue in the problem of learning Bayesian belief networks (BBNs) based on the minimum description length (MDL) principle is addressed.Based on an asymptotic formula of description length, we apply the branch and bound technique to finding true network structures.The resulting algorithm searches considerably saves the computation yet successfully searches the network structure with the minimum value of the formula.Thus far, there has been no search algorithm that finds the optimal solution for examples of practical size and a set of network structures in the sense of the maximum posterior probability, and heuristic searches such as K2 and K3 trap in local optima due to the greedy nature even when the sample size is large.The proposed algorithm, since it minimizes the description length, eventually selects the true network structure as the sample size goes to infinity.

In a collaboration with Professor S.S.Roan of Academia Sinica (Taipei), the head investigator of this research project has determined the structure of quotient of the Onsager algebra by ideals of it in the case when the quotients do not have central elements. This almost determines the structure of quotients of the Onsager algebra. In particular the case not determined in the previous researches are fixed by finding a relation with the project of classifying nilpotent Lie algebras by classifying the ideals in the nilpotent part of Kac-Moody Lie algebras. To find such relationship computer algebra system on a workstation was very helpful and indispensable, especially in computing examples. The Onsager algebra can be viewed as a Lie algebra deformation of the nilpotent part of the affine Lie algebra A^<(1)>_1. If we identify A^<(1)>_1 with a central extension of the current algebra, the Onsager algebra is a fixed point set of an involution. By using this presentation we can study the structures of ideals of the Onsager algebra. In order to fix the remining case, we used the principal (twisted) realization of A^<(1)>_1. We think that this kind of principal realization will play some important role in the study of deformation of nilpotent parts of other affine Lie algebras in connection with conformal field theory. We are preparing manuscript on this result. Other investigators in this research project have obtained new results in the study of spectrum of one dimensional Schrodinger operator with a random potential, an identity involving Schur functions, positive solutions of sernilinear elliptic partial differential equations, classification of irreducible representations of vertex operator algebras related with free fermions, relationship of L operators in quantum inverse scattering method and Drinfeld's genarators in affine quantum enveloping algebras and other areas.

コンツェビッチは,量子不変量や有限型不変量を含む結び目のコンツェピッチ不変量を構成するにあたり,ファインマン図にいくつかの数学的条件を課したウェブ図を用いた。さらに,コンツェビッチ不変量は,Le,大槻,村上により3次元多様体の普遍摂動不変量に拡張された。さらに,境界付きの3次元多様体の普遍摂動不変量から,曲面の写像類群の,ウェブ図の空間への表現(ウェブ表現)が得られる。曲面は物理の弦理論でも中心的な研究対象であり,ウェブ図は,写像類群の表現ばかりでなく,数理物理で用いられる様々な無限次元の代数の表現論とも関連することが期待され,この研究を行った。
まず,写像類群のウェブ表現について研究した。ウェブ図とは,ある種のグラフであり,グラフとしての様々な不変量がある。研究の結果,これらの不変量のうち,2種類の不変量(頂点の数及びオイラー数)が写像類群の性質に反映されることがわかった。頂点の数に対応する写像類群の性質はすでに知られているが,オイラー数がこれまでの研究の何に対応するものかはまだ明らでない。しかし,写像類群は,複雑で豊かな構造を持つことが知られており,このオイラー数に対応する不変量は,写像類群の性質を記述する新たなパラメータとなるのである。
さらに,写像類群と曲面論との関係から,ウェブ図のオイラー数に対応する不変量は,曲面の変型全体を考えあわせた空間(モジュラー空間)の構造をあらわす新たなパラメ一夕であることが期待され,また,共形場理論にも関連があるはずなのだが,これらのことに関してはこれからの課題として残された。

We worked, by usisng softwares for the computer algebra, manily in the fields of arithmetics, algebraic geometry, automorphic functions, Riemann surfaces and cryptosystems and gots many interesting results, some of them are as follows :
1. Algebraic Number Thoery : (1) Computation of classnumbers and fundamental units of number fields. (2) Relations between certain residule class groups of real quadratic fields and class groups of imaginary quadratic fields. (3) Numerical computations of Kronecker's limit-formula of real quadratic fields. (4) Group structures of the unit groups of Dihedral extensions over the rational number field.
2. Arithmetics in elliptic curves defined over the rational field : (1) Existence of the canonical parameters and canonical power series solutions, (2) Uniformizaton of elliptic curves by automorphic functions. (3) Algorithmic Computation of canonical power series and the global zeta-function over the ring of rational integers. (4) Existence of canonical arithmetic-structures in elliptic curves.
3. Application of 3D-graphical representation of complex functions : (1) Represatations of Riemann surfaces by Complex Plot commands. (2) Investigating periodical properties of complex functions given by power series. (3) Automorphic properties of canonical power seires of elliptic curves.

当該研究においては,有限半順序集合の組合せ論に現代代数学の抽象論を多角的に応用する際の,基礎となる理論を構築することを目的とし,有限半順序集合の理論において,伝統的かつ主流な話題である(1)鎖の数え上げ理論および(2)比較可能グラフの離散構造を,抽象代数の現代的理論を武器として探究した.当該研究の顕著な成果は,「階数d-1の有限モジュラー束が階数3の原子部分束を含むとき,その比較可能グラフはd-連結である」を証明したことである.我々の証明を遂行する際の鍵は,(あ)単体的複体のホモロジー論を経由することで,有限半順序集合の比較可能グラフがd-連結であるか否かは,付随するStanley-Reisner環の次数付ベッチ数列の最後の項の情報で判定できるという事実とともに,(い)有限モジュラー束Lに付随するStanley-Reisner環のベッチ数列の最後の項は,Lのメビウス函数を使って表示することが可能であるという点である.その他,当該研究では,トーリック多様体の幾何における周知の事実を巧妙に使って,比較的単純な組合せ論的構造を有する有限分配束のh-列が単峰数列であることを示した.現代代数学の昨今の動向から判断すると,鎖の数え上げ理論,あるいは比較可能グラフの研究等に抽象代数の現代的理論が有効であることに疑問の余地はないものの,研究を推進させるための基本的な骨格が整備されているとは言い難かった.当該研究では,多項式環のイデアル論における最近の成果を踏まえ,代数的な視点から有限半順序集合の概念を捕え,古典的な組合せ論では到底得られなかった著しい結果に到達し,将来に展望を齎す一歩を得た.

頂点代数の最も基本的な例である自由ボゾン場のなす頂点代数の共形ベクトルの分類を実行した.頂点代数と共形ベクトルの対は一つの共形場理論を与えるので,自由ボゾン場に由来する共形場理論の分類が実現されたことになる.また,この研究の過程で一般の頂点代数を定義する公理系に関する新しい視点が開かれた.(永友,佐竹,和久井)
共形ベクトルの分類はより基本的な対象であるハイセンベルグベクトルを分類することにより実行されたが,そこでの主要な方法はWickの定理である.Wickの定理を複雑に利用することによりHeisenbergベクトルの分類が可能になった.Heisenbergベクトルの決定は,そのほかにも自由ボゾン頂点代数の自己同型群の決定を可能にした.実際,この分類結果を用いて自己同型群が完全に決定される.(永友,宇野)
また,頂点作用素代数は共形場理論を通して低次元多様体の位相不変量と関連しており,有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKontsevich不変量を用いて,3次元多様体の不変量を構成し,その性質を研究し,また,この不変量に対し,位相的場の量子論を構成するとともに,その応用として,曲面の写像類群の族を構成した.(村上,山根)

ジョーンズ多項式などの量子不変量と,バシリフによって提唱された有限型の不変量両方に対して普遍的な結び目のコンツェビッチ不変量についての研究をおこなった。コンツェピッチ不変量は,反復積分を用いて定義されるが,この積分の値はゼータ関数やその一般化を用いて書き表せ,このことから,結び目不変量の値が,ゼータ関数などの値と関係することが明らかとなった。
さらに,コンツェビッチ不変量を用いて,3次元多様体の摂動的不変量を構成し,その性質を研究した。特に,ウィッテンによって提唱された3次元多様体の量子不変量との関係や,大槻によって提唱された3次元多様体の有限型不変量との関係を調べた。その結果,ここで構成された摂動的不変量は,もっとも簡単な部分がホモロジー群の位数を表し,次に簡単な部分が,キャッソン不変量を表していることがわかった。このことより,摂動的不変量は,キャッソン不変量を一般化したような多くの不変量を記述すると期待されている。
また,コンツェビッチ不変量と,ここで構成した3次元多様体の摂動的不変量とを用いて,3次元多様体中の結び目に対する摂動的不変量を構成した。さらに,これを一般の境界つきの3次元多様体の摂動的不変量に拡張し,位相的場の量子論を構成した。位相的場の量子論において,境界にその曲面の写像類群を作用させると,写像類群の表現が得られるので,この手法を摂動的不変量に適用することにより,曲面の写像類群の表現の族を構成した。

1.The head investigator, Masayoshi Miyanishi, gave new proofs to the Abhyankar-Moh Theorem and the Lin-Zaidenberg Theorem which are based on the classification theory of open algebraic surfaces. He considered the embeddings of affine curves with one-place points at infinity into the affine plane and classified such embeddings of possibly minimal degree when the genus is low. He, furthermore, simplified a proof in P.Roberts' counterexample to the fourteenth problem of Hilbert.
2.Akira Fujiki found a natural partial compactification of hyper kahler manifolds as quaternionic manifolds which are obtained as hyper Kahler quotinet spaces of certain kinds. He also investigated the variation via moment maps of Kahler quotient spaces by making use of equivariant cohomology groups.
3.Sanpei Usui proved that one can recover vanishing cycles by using log geometry. As applications of this result, he clarified the Z-structure of the variation of Hodge structures and the description of monodromies.
4.Jun Murakami constructed a new invariant for three-dimensional manifolds which is based on the Kontsevich invariant for the knots and studied its properties. He constructed a topological quantum theory by making use of this invariant, and a family of mapping groups of surfaces as its application.
5.Kazuhiro Konno defined a new index for surfaces with non-hyperelliptic pencils and found some general method to investigate the lower bound of the slopes of surfaces. He also an index, called the Horikawa index, for degenerate fibers.
6.Hiroyuki Yamane obtained a new technique to calculate the index of the BMW algebras which are defined in a paper of Rham.

まず、Thang T.Q.Le氏とともに、結び目やタングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量について研究した。そして、タングルのある紐を平行化したときの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量を求めるための公式を導いた。また、タングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量が“グループライク"という性質を持つことを示した。
次に、大槻知忠氏、Thang T.Q.Le氏、及び村上斉氏とともに、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量の3次元多様体の不変量への一般化を試みた。先に求めた平行化の公式をもちい、普通ジシリフ・コンツェビッチ不変量で使われているコード図の空間をさらにある3項関係式で割って、さらに適当に正規化したものが、カ-ビ-変形で不変となることが、さきにもとめた平行化の公式などからわかる。従ってこれが3次元多様体の不変量となる。この不変量は2次元線型空間に値をとり、3次元多様体の1次のホモロジー群の位数と、キャッソン・ウォーカ-不変量とで張られる。
さらに、さきの3項関係式を一般化することを試み、3次元多様体の不変量の族を構成することができ、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量がグループライクであることを用いてこの族を統一的に記述することができた。これを3次元多様体の普遍量子不変量と呼ぶ。Le氏により、普遍量子不変量は大槻-ガルファリディスの意味での有限型の不変量をすべて具体的に実現するものであることが示された。さらに、普遍量子不変量は、量子不変量の漸近展開の様子を統一的に記述していると期待されており、また、境界付きの3次元多様体の不変量に拡張することにより、量子不変量に関連した位相的場の理論を統一的に記述するものと期待されるが、これらは、今後の研究課題である。

多項式環AのイデアルIがあったとき,剰余環A/Iの有限自由分解にはIの代数的情報のすべてが含まれている.従って,A/Iの有限自由分解の構造を解析することは,可換環論における究極的な課題である.我々は,計算代数および組合せ論との相互関係から,square-freeな単項式が生成するイデアルに着目し,その有限自由分解の基礎理論を多角的に築くことを目的とした研究を進展させ,次のような研究成果を得た.第1に,凸多面体の上限定理に現れる巡回凸多面体の境界複体に付随するイデアルを考察し,その極小自由分解のベッチ数列を計算可能な式で表示した.第2に,単体的複体Δに付随するイデアルI_Δの極小自由分解が純,あるいは線型となる類の組合せ論的な特徴付けを探究し,I_Δの極小自由分解が純となる旗複体Δを分類した.第3に,整数d,q,eで1≦q-1≦e≦dを満たすものが任意に与えられたとき、square-freeな単項式が生成するイデアルIで,剰余環A/Iの次元がd,深さがe,更に,A/Iの極小自由分解がq-線型となるものを構成せよ,という懸案の問題を研究する過程において,square-freeなlexsegmentイデアル,およびsquare-free安定イデアルの概念に到達し,square-free安定イデアルの極小自由分解を具体的に構成することに成功するとともに,所期の問題についての明快な解答を得た.第4に,有限半順序集合の比較可能なグラフの連結度に関する研究に,有限自由分解の構造理論、特に,Cohen-Macaulay型の計算公式が極めて有益であることを発見し,階数d-1のモジュラー束Lが階数3の原子的閉区間を含むならば,Lの比較可能グラフの連結度は,少なくともdであることを証明した.第5に,計算代数におけるグレブナ-基底の理論を,外積代数で展開することで、極値集合論の古典理論におけるKruskal-Katonaの定理の一般化となるベッチ数列についての不等式を導くことに成功した.

1. Classification of Jacobian varieties of hyperelliptic curves defined over finite fields : We tried to (1) classify hyperelliptic cureves of genus g defined overfinite field of order q then (2) classify Jacobian varieties of curves classifyed by (1) in specific cases. In case q = 3,5 all hyperelliptic curves of genus 2 are classified and get isogeny classes by computing congruence zeta fanction of each curve. Then we determied the endmorphism rings of each Jacobians.
2. Construction of abelian varieties of with a rational point of large order : (1) Orders of specific points on Jacobian varieties of hperelliptic curves can be given by the periods of continued fractional expansion of corrsponding functions on the curves. (2) We found a series of hyperelliptic curves of geneus 2 over the rationalfield, whose Jacobian varieties have a point of order 23.
3. Computation of Galois groups of the n-division fields of abelian varieties : For the Jacobian varieties of hyperelliptic curves of gunus 2,2 and 3-division equations are determied by computational-procession.
4. Construction of algebraic curves with many ration points : We got some series of algebraic curves over funcion fields with many rational points, by using the n-division equation of Jacobian varieties.

結び目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量と呼ばれる様々な不変量を含む不変量を3次元多様体の不変量に拡張した。3次元多様体の不変量を構成する一つの方法は、枠付きの絡み目の不変量から、カ-ビーム-ブと呼ばれる変形で不変なものを取り出すことである。我々はこの方法を普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量に対して適用した。そのために、まず、もともと結び目に対して定義されていた普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量を、枠付きの絡み目の不変量に拡張した。また、タングルに対しても拡張し、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の、組合せ論的構成法を与えた。この構成法を用いることにより、複雑な積分を計算することなく、代数的に普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が計算できるようになった。さらに、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量とカ-ビーム-ブとの関係を調べるため、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が、結び目などの紐の平行化に対してどうなるかを調べた。その結果普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量がカ-ビーム-ブについて大変よい性質を持つことがわかった。枠付き絡み目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量から、カ-ビーム-ブで不変なものを取り出したものが3次元多様体の不変量であるわけだが、このことを普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の値の空間での性質に言い換えることができ、3次元多様体の不変量の構成法がわかった。この不変量は、ジョーンズ・ビッテン不変量を含むと共に、ホモロジー群の位数や、キャッソンの不変量を含むなど、大変普遍的な性質を持つ3次元多様体の不変量である。

Kawakubo constructed G-manifolds which are G-s-cobordant, but are not G-homeomorphic for arbitrary compact Lie groups G.Nagasaki computed the structure of the LH groups which are introduced for the purpose of investigating the linearity of homotopy representations of finite groups. As an application, he determined the set of finite groups whose homotopy representations are always linear. Murakami constructed a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable Alexander polynomial. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained. He also determined the structure of the centralizer algebra of the mixed tensor representations of the quantum group U_q (gl (n, c) ). This algebra can be considered as a generalization of the Iwahori Hecke algebra of type A.Using this algebra, he generalized the Yamada polynomial, which is an invariant of embeddings of a spatial graph in S^3. He also investigated representations of the category of tangles using Kontsevich's iterated integral, and succeeded in giving a combinatorial description of Kontsevich's integrals of knots, links and tangles.

Nagatomo constructed infinitely many rational solutions of the Ernst equation in general relativity. Murakami constructed a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable Alexander polynomial. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained. Murakami also determined the structure of the centralizer algebra of the mixed tensor representations of the quantum group U_q(gl(n, c)). This algebra can be considered as a generalization of the lwahori Hecke algebra of type A.Using this algebra, Murakami generalized the Yamada polynomial, which is an invariant of embeddings of a spatial graph in S^3. Murakami also investigated representations of the category of tangles using Kontsevich's interated integral, and succeeded in giving a combinatorial description of Kontsevich's integrals of knots, links and tangles. Satake investigated the simple elliptic singularity of type E6^^^, and constructed explicitly the flat theta invariants in the sense of K.Saito. Yamane constructed a new quasi-triangular Hopf algebra by quantizing the enveloping algebras of simple Lie superalgebras. He defined this Hopt algebra by generators and relations similarly as Drinfeld and Jimbo did for simple Lie algebras. His main contribution is the descovery of new kinds of defining relations which have no connterpart in the case of simple Lie algebras. Even for the enveloping algebras of simple Lie superalgebra, these relations were not known in this precise form. Yamane's results will have applications in mathematical physics and low dimensional topology. For example, he gave a formula for the universal R-matrix of his quasi-triangular Hopt algebra, and using this formula he found a representation theoretic interpretation for the R-matrix of Perk and Schultz.

環境構年として有限オ-トマン構造を設定し、それを神経系がどのように学習するかを研究することが当研究課題の目的であった。本年度の研究の早い段階で本課題の目的そのものに関わる根本的な点に問題があることが明確になった。以下この問題点の説明と、これまで得られた知見の概略を報告する。
1.その問題点は「オ-トマン構造を神経系が知っている」ということの意味についてである。当初「オ-トマトンの相空間が神経系内に表現され、オ-トマンの遷移規則が神経系の状態遷移規則として実現されている」ことがその意味であるとしていた。しかしこれは次の点で不十分であり不適切でもあることが明らかになった:(1)神経系が、複雑な環境の状態をすべて内部に表現することは不可能である。(2)しかし神経等は自分に価値のある側面だけを学べば良い。(3)行動生成の際にリアルタイムな内的シミュレ-ションを可能にするような様式で、環境オ-トマトンについての知識が実現されていなければならない。(4)現実の神経系では明確には区別出来ない「状態と状態遷移」と峻別する問題設定は好ましくない。
2.これまでの研究で得た部分的な知見を以下述べる。(1)(1.4に関して)分散システムの理論で用いられているシステムの概念が、神経系のように隠れた変数を多く持つ系の定式化として適していられる。これにより「知識」のある側面を明確に取り扱えるようになる。(2)(1.2、1.3に関して)環境の事象の「メタレベル表現」の導入により環境と接触中にも内的シミュレ-ションが可能になり、「メタレベルの評価系」と組み合わせることにより、妥当な行動生成をリアルタイムに行い、より適切な行動を同時に学んでいくモデルを考えることができる。しかもメタレベルの表現の導入は、環境構造について「オフライン」で学ぶことを可能とする。

本研究では、当初「動的パタ-ンを学習する・認識する」とはどういうことかを明確にすることに重点を置いたが、その過程で、環境自身の動的構造をも考慮する必要性を認識し、次のような数学的に簡明な定式化を設定した:神経系をオ-トマトン(別名、入力を持つ力学系)として、環境は離散力学系として、環境からの影響は環境の状態空間から神経系の入力信号空間への写像とする。この定式化の下では、入力信号列の動的パタ-ンを「学習する」とは、入力信号列を予測するのに必要な範囲で環境の発展法則を知ることとしてとらえられる。これを可能にするのは環境と神経系とが成す力学系のアトラクタである、ということがポイントである。また、入力信号列の動的パタ-ンを「認識する」とは、それ以降の入力信号を予測出来るようになることとしてとらえられる。従って、認識過程はアトラクタへ入るまでの過渡的な状態として力学的に把握出来る
この定式化に基づいて簡単なシミュレ-ションを行ったところ、環境の状態が神経系の状態を決めるとは限らない(自律性の存在)・環境が特定の状態にある時だけ神経系は次の入力を予測出来る場合がある・環境の発展法則については正確に知っていても環境の状態を特定出来ない事もある、等々が観察された。
環境は神経系からの働きかけで変化する。神経系が学習しなければならない事は、神経系の働きかけに対して環境はどのように応対するかということにある。今後は上述の定式化を一般化して環境も神経系と同様にオ-トマトンとして定式化し、オ-トマンとしての環境の構造について持つ神経系の「知識」をどの様にとらえたらよいかをまず考察したい。また、「評価系」・出力信号列の生成(行動計画)をどのように理解したら良いか、等の基本的かつ困難な問題を考察して行きたい。

ホワイトヘッド群Wh(G)に対して誘導準同型を導入し,これに関してドレス型の誘導定理を得た。また幾何学的にもこの準同型に対応するものを導入し,両者の関係を明らかにした(川久保による成果)。続いて有限群の既約表現について古くから知られているフロベニウス・シュア-の不変量を一般化し,重複自由な置換表現への応用を与えた(川中により成果)。またコンパクトゲ-ラ-アインシュタイン多様体で,正のリッチ曲率をもつものについて,現在までに知られている結果を要約し二木不変量,板東,満渕による一意性定理,小磯,坂根によるケ-ラ-アインシュタイン多様体の例などについて解釈を与えた(坂根による成果)。そしてブラウア-の中心化環やそのgーanalogeと呼ばれる代数の既約表現を具体的に決定すると共に,これらとKauffman多項式と呼ばれる結び目の不変量との関係を明らかにした。さらに3次元空間へのグラフの埋め込みに関する不変量を組み紐群の表現論から構成する方法を与えた。そして絡み目の多変数Alexander多項式を定義するに十分な絡み目の射影図に関する局所的な関係式を与えた(村上順による成果)。また結び目Kに関しては,Kの二つの結ばれていないトンネルt_1,t_2が与えられた時,それらがイソトピックかどうかをKの非圧縮なザイフェルト曲面を用いて判定する方法を与え,その応用として3_L4_Lと異なる非自明な2橋結び目に対して,新しい(今までに知られていない)アンノットなトンネルを見つけた(小林による成果)。また谷口は動枠法の考え方を基に複素空間形のケ-ラ-部分多様体の合同類とほぼ同値なS_Cー構造を導入し、これを用いて,複素空間形のケ-ラ-部分多様体が筆質になるための条件を求めた。そして山根は非可換・非余可換なホップ代数U_g(F)の多変数化U_<g,θ>(F)を定義し,FがアフィンA型のとき,R_gの拡張となっているYangーBaxter方程式の解を得た。

1.虚数乗法を持つ楕円曲線の不変量を与える類方程式を数式処理システムにより計算した.その結果より、有理数体上に定義された虚数乗法を持たない楕円曲線についてその等分点の体のガロワ群におけるフロベニウス自己同型写像を決定するアルゴリズムが見つかった.特に、素点が完全分解するための必要十分条件が得られた.この結果は山本により整数論シンポジウムで発表された.
2.3.特定の形をした楕円曲線でその有理点群の階数が4より大きいものが無数に存在することがわかった.また、有理点群の階数と二次体のイデアル類群の3ー部分群の階数との関係についていくつかの事実が得られた.この結果より、二次体の理論を用いて、階数の十分大きな楕円曲線の構成の可能性が見えてきた.この方向で、今後数式処理を用いて具体的に計算を実行ことにより適当な例を構成したい.
4.二次体Q(√<-3>),Q(√<-1>)の整環を虚数乗法に持つ楕円曲線については、階数はかなり評価することができる.それとBirchーSwinnerton Dyerの予想を組み合わせることによりゼ-タ関数のs=1におけるべき級数展開の最初の項の係数の近似値は計算できたがその値の整数論的性質がわかる程精密な数値計算はできなかった.今後この計算に数式処理的方法を取り入れることを考えたい.
5.種数2の代数曲線のヤコビ多様体として得られる2次元のア-ベル多様体についていくつかの実験ができた.特に自己準同型環についてはゼ-タ関数の零点を用いてほぼ完全に予想できる.そのことから、等分点の体のガロワ群がわかる.
6.上記の多くの場合に数式処理が使えた.特に数式処理的手法の有効性が実証された.

1.有限体上の一般線型群とそのシムプレクティック部分群とから決まるヘック環の既約表現の完全な記述を与えた。
2.有限群の指標のフロベニウス・シュア-不変量を対合的同型を持つ有限群の場合へ一般化し、可換または、ほとんど可換なヘッケ環の表現論への応用を与えた。特に有限古典群とその部分体部分群から決まるヘッケ環について、既約表現の分類を得た。またそれらの表現次数も求めた。
3.古典型リ-環の自然表現に対応する頂点型および面型の可解格子模型に対して、それらのRー行列の生成する多元環の構造を調べ、それらが古典型リ-環の自然表現に対応する中心化多元環のgー変形になることを示した。
4.群環のアウスランダ-・ライテン列のヴァ-テックスが、その列に現れる直既約可群のヴァ-テックスの中で最大のものに一致することを示した。
5.ある種の性質を持つ半線型Gー球面で生成されるホモトピ-表現群の部分群と線型Gー球面から生成される部分群とは、同型な群であるが、一般には異なる部分群となることを示した。
6.コンパクトで正の次元を持つリ-群G、または位数2か3の巡回群を持つ有限群Gに対して、一般には、Gーsコボルディズム定理は成立せず反例が存在することを示した。
以上の研究を遂行するにあたり、補助金で購入した文献は、非常に役に立った。また研究集会で他大学の研究者と交流したことも大変参考になった。今後の展望としては、現在進行中のヘッケ環のモジュラ-表現の理論が多元環の分解不能表現の良い例を与えていること、2.の方法がコンパクトなP進群にも適用できそうであることの2点をつけ加える。

1.次数づけられた半単純リー環の斉次なべき零軌道を, 重みのついた, ディンキン図形を用いて分類する方法を見出した. これにより, べき零元の中心化群の詳しい構造なども, 対応するディンキン図形から比較的容易に計算できるようになった.
2.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現を研究し, 有限体上の半単純代数群の指標の理論に応用した. 特に, 例外型の単純群のべき単指標の値を計算した.
3.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現は, 局所体上の半単純代数群に対しても定義できる. 有限体の場合に得られた結果を分析することにより, 局所体上の場合に得られることが期待される結果についての予想を発表した.
4.ヘッケ環やそれに類似の環の表現論を研究し, 結び目・絡み目の理論に応用した. 特にカオフマン多項式の表現論的意味を明らかにし, 多項式不変量の平行化の組織的研究を行った.
5.ブラウアーの中心化多元環のqー類似を構成し, その表現論を展開した.

(1)Fundamental groups and branched coverings. M.Namba gave with H.Tsuchihashi a method for concrete computations of fundamental groups of the compliments of curves in the complex projective plane and finite branched Galois coverings branching along the curves, and gave a new example of Zariski pair using the method.(2)Generaliztion of Epsein-Penner decomposition. H.Akiyoshi and M.Sakuma gave a generalization of the Epstein-Penner decompositions of cusped hyperbol manifolds of finite volume to those of infinite volume, and studied relation with the convex cores. They collaborated with M.Wada and Y.Yamashita and gave partial answer and experimental evidences to their conjecture that the pleating loci would determine the generalized Epstein-Pener decompositions for punctured torus groups.(3)H.Akiyoshi, M.Miyachi and M.Sakuma have established a variation of McShane's identity for punctued surface bundles over a circle, which expresses the modulus of cusptori in terms of the complex translation lengths of essential simple loops of the fiber surfaces.(4)Drawing the 3D slices of the quasifuchsian punctured torus space. M.Wada and Y.Yamashita developed a software to draw (real) 3-dimensional slices of the quasifuchsian punctured torus spac

By the support of the grant-in-aid I organized the workshop and seminars "Invariants of Knots and 3-Manifolds" at the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), Kyoto University in September 2001, as activities of the 2001 RIMS research project "Low-Dimensional Topology in the Twenty-First Century". We had 70 domestic participants and 26 foreign participants.Historically speaking, this research area is a relatively new area based on the enormous number of invariants, called quantum invariants, of knots and 3-manifolds, which have been derived from the Chern-Simons field theory in the 1980s. I think the topological reconstruction of these invariants has almost been completed by various works of these decades.An aim of the workshop and seminars was to discuss future directions for this area.To discuss these matters fully, I planned 1 month of activities, relatively longer than usual.Further, to encourage discussions among the participants, we arranged a short problem session after each talk, and requested the speaker to give his/her open problems there.Many interesting problems were presented in these problem sessions and, based on them, we had valuable discussions in and between seminars and the workshop.I edited open problems discussed there into a problem list, which, I hope, will clarify the present frontier of this area and assist readers when considering future directions.The proceedings of the workshop was published in the online journal "Geometry and Topology Monographs".The problem list will also be published as a part of the proceedings

In this project, we focussed on the study of the structure of the mapping class group of surfaces (m.c.g. for short) as well as the moduli space of compact Riemann surfaces, together with various problems closely related with this. They include the following thema : cohomology group of m.c.g., the theory of the Floer homotopy types, topological invariants based on gauge theory, construction of the harmonic Magnus expansion of m.c.g., structure of the Grothendieck-Teichm＼"uller group, the volume conjecture, non-commutative geometry in dimensions 3,4, finite subgroups of m.c.g., the Jones representation of m.c.g., relation between m.c.g. with 4-dimensional topology. From the interactions of these thema, we found new directions of research such as the relation between the geometry of m.c.g. and the symplectic topology as well as the comparaison between m.c.g. and the outer automorphism group of free groups

The volume conjecture of knots states that the asymptotic behavior of the colored Jones polynomial, a genaralization of the famous Jones polynomial, determines the simplicial volume of the knot complement. This conjecture was first proposed by R. Kashaev for hyperbolic knots, and generalized by H. Murakami and J. Murakami for general knots. This conjecture is further generalized to involve the Chern-Simons invariants through a computer experiment made by H. Murakami, J. Murakami, M. Okamoto, T. Takata and the author. Now, many geometers and topologists are interested in this problem. The purpose of this research is to investigate the relationship between the geometry of 3-manifolds and the quantum invariants, motivated by the volume conjecture which suggests a relationship between the geometry of knot complements and the colored Jones polynomial.In 2003, with H. Murakami, we proved that, for the figure eight knot, certain limit of the colored Jones polynomial dominates not only the volume of the complement but also the volumes of the closed 3-manifolds obtained by Dehn surgeries, which corrects the conjecture proposed by S. Gukov, and we proposed a new genaralization of the volume conjecture, which also explains the unexpected relationship between the recursive formula of the colored Jones polynomial and the A-polynomial of knots. We reported this result in the international workshops held at Edinburgh and Geneva in 2003 together with a newest result concerning the relationship between quantum 6j-symbols and volumes of hyperbolic tetrahedra. The author further confirmed that the argument for the figure eight knot is also available for so-called twist knots, and reported this result in the international workshop held at Potsdam in 2004.On the other hand, when the author visited the University of Geneva in 2004, R. Kashaev and the author proved that the colored Jones polynomial of knots can be expressed by simple integrals over higher dimensional tori by using quantum dilogarithm functions whose asymptotic behaviors are well-known. We consider this result is a big progress toward the solution of the volume conjecture, because we may estimate the asymptotic behavior of such integrals over tori, a well-known compact manifold, by using the saddle point method together with the Morse theoretic argument. We have already reported this result in the meeting of American Mathematical Society held at Atlanta in early 2005

共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の相互関係の現状を把握するために,二つの会議を開催し,先端研究者間の連絡を親密する機会を設けた。第一回の会議は9月12日-16日の5日間にわたり,大阪府吹田市千里ライフサイエンスセンターにおいて,共形場理論,作用素環論,低次元多様体の不変量を専門とする研究者が集合し,モジュラーなテンソル圏を機軸とする各分野の現状を解説し,他分野との関連に関する見解を報告した。この会合により,各分野の研究者が連携して今後の研究計画に参画することが確認された。なお,この会議は,土屋昭博(共形場理論),河東泰之(作用素環論),村上順(低次元多様体の不変量),松尾厚,永友清和(全体の統括)により会議の内容および参加者の選択などの準備が行われた。第2回の会議は,12月16日-18日の三日間,同じく,千里ライフサイエンスセンターにおいて,研究代表者が主に担当する共形場理論に不可欠な複素多様体の変形と複素構造のモジュライ空間,ミラー対称性に焦点をしぼり,国内の先端の研究者が参集し,討論を実施した。この会議は,企画を大阪大学大学院理学研究科の後藤竜司氏に依託し,研究代表者は情報の収集に務めた。以上,2回の会議により,企画調査の目的としていた共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の現状の把握が実現され,多くの研究対象を新たに発見することができた。この成果は,今後,境界横断的な新しい研究分野の育成に多大な貢献をするものと期待される

The moduli space of Riemann surfaces and the moduli space of graphs, as well as their associated modular groups such as the mapping class groups of surfaces and the automorphism groups of free groups, are among the most important research subjects of diverse branches of mathematics including algebraic geometry, complex analysis, differential geometry, topology and mathematical physics. The present project investigated these moduli spaces and modular groups, mainly form the point of view of topology, and obtained many interesting results. Furthermore, we obtained new results as well as conjectures in the closely related theories of 3 and 4 dimensional manifolds and transversely symplectic foliations. We also proposed a deep problem towards new directions of our research including number theory

The volume conjecture for the quantum invariants of knots is studied from the view point of the colored Alexander invariant, and the logarithmic invariants and SL (2, C) quantum 6j symbols are constructed. The relation between these and the hyperbolic volume is given

ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や３次元多様体の量子不変量についての研究を行った．特に，３次元球面や一般の３次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や，ハンドル体結び目に対する量子不変量の研究を行った．また，これらの不変量と，対応する３次元多様体の双曲体積や幾何構造との関係も調べた．これにより，ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する３次元多様体の双曲体積との関係が，一般の３次元多様体中の結び目やハンドル体結び目の量子不変量に対して拡張できることを確かめた．

本研究では，代数学や幾何学，さらには理論物理学に潜む表現論的な共通原理を見いだすことを目標としており，以下のアプローチを行った．　一つは，大阪大学の永友清和氏とテンソル圏とモジュラー関手に関する共同研究を進め，これまで数学でよく扱われている半単純な場合についての研究を，必ずしも半単純ではない場合に拡張する一般的な方法について模索した．　もう一つは，専門家による交流の場として不定期に開催している早大理工トポロジーセミナーにおいて，様々な研究者の研究成果の講演を通じて，その根底に潜む原理を探るという試みてある．以下の人たちに講演をお願いした．駒澤大学・小沢 誠 氏（結び目理論），UNY at Buffalo・William W. Menasco 氏（組紐群），早稲田大学・塚本 達也 氏（結び目理論），大阪産業大学・市原 一裕 氏（トポロジー），東京工業大学・長郷 文和 氏（量子不変量），琉球大学・小須田 雅 氏（表現論），大阪大学・石井 敦 氏（量子不変量）　これらの研究活動を通じて，colored Alexander 不変量と呼ばれる結び目の不変量に対応するテンソル圏が，半単純ではないが半単純に近い性質を持ったよい例であることがわかってきた．

結び目や３次元多様体の量子不変量に関して，特に近年明らかにされたこれらの不変量と幾何的な構造との関係について研究を進めた．このような関係は最初 Kashaev によって予想され，村上らにより体積予想 (volume conjecture) として一般化されたものである．　幾何構造と量子不変量と関係は，これまで colored Jones 多項式に関して詳しく研究されてきたのであるが，本研究では，colored Alexander 不変量と幾何構造との関係について明らかにした．結び目理論においては，Alexander 多項式と呼ばれる代数的な不変量が，基本群との関係もあることからよく研究されてきたが，大槻-出口-阿久津 により，colored Alexander 不変量というものに拡張された．これについて，量子不変量と幾何構造の関係を調べる既知の方法を適用し，従来知られていた対応に対して，その変形理論という形での一般化を与えることに成功した．　これらの成果については，コロンビア大学での国際会議 "Arround the Volume Conjecture" で発表したが，論文でも発表する予定である．

本研究では，結び目や３次元多様体の量子不変量を様々な観点から研究することを目標としていた．なかでも，最近量子不変量が結び目の補空間や３次元多様体の幾何的性質との関係が明らかになってきたので，このことについて重点的に研究を進めた．その結果，Akutsu-Deguchi-Ohtsuki 不変量と呼ばれる，量子群 Uq(sl2) のq が１の冪根のときの表現の１パラメータ族と対応する結び目の不変量と，対応する補空間の双曲体積などとの関係を明らかにすることができた．

本研究では３次元多様体の体積予想について研究することと，体積予想に関する研究の成果を生かして３次元多様体の幾何構造について研究することを目的とした．　体積予想とは，結び目や３次元多様体の量子不変量と呼ばれるものと，双曲体積と呼ばれる結び目補空間や多様体の幾何構造から定まる体積との関連を示唆するものである．この予想は，量子 6j-symbol と呼ばれる，重力理論で使われる量が，３次元定曲率空間（双曲空間，または３次元球）の４面体の体積と関係することを示唆しており，このことを用いて，定曲率空間の４面体の体積を表す，非常に対称性の高い新しい公式を得ることができた．これは，三角形の面積を表すヘロンの公式の３次元化に当たるものである．この公式は，最近になってヘリウム原子，リチウム原子の３電子系の研究にも応用されている．　現在は，この公式を幾何構造の決定に応用する研究を推進している．　なお，この研究に関連して下記の国際学会にて研究発表を行った．A formula for the volume of a tetrahedron and its applicationKnots in Montreal II (Montreal, CANADA)2002 年 4 月On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbolGeometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA)2002 年 8 月On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariantGeometry & physics of three-dimensional quantum gravity (Edinburg, UK)2003 年 7 月さらに，この研究のため，次の国際研究集会を組織し，４名の海外からの研究者も加わって双曲体積に関して活発に議論された．"Workshop on Hyperbolic volumes",December 9 (Tue.) -- December 11 (Thu.), 2003 at Third conference room, Second floor, S55 building Waseda University (Ohkubo campus)http://www.f.waseda.jp/murakami/workshop2003/workshoptop.html