Updated on 2022/05/25

写真a

 
MURAKAMI, Jun
 
Affiliation
Faculty of Science and Engineering, School of Fundamental Science and Engineering
Job title
Professor

Concurrent Post

  • Faculty of Commerce   School of Commerce

  • Faculty of Science and Engineering   Graduate School of Fundamental Science and Engineering

Research Institute

  • 2020
    -
    2022

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

Education

  •  
    -
    1982

    University of Tokyo   Graduate School, Division of Science   Mathematics  

  •  
    -
    1982

    University of Tokyo   Graduate School, Division of Science   Mathematics  

  •  
    -
    1980

    University of Tokyo   Faculty of Science   Department of Mathematics  

  •  
    -
    1980

    University of Tokyo   Faculty of Science   Department of Mathematics  

Degree

  • University of Tokyo   Master of Science

  • Osaka University   Doctor of Science

Research Experience

  • 2001
    -
     

    Waseda Unviersity, Professor

  • 1993
    -
    2001

    Osaka University, Associate Professor

  • 1992
    -
    1993

    Max-Plank Institute for Mathematics (Bonn, Germany), Researcher

  • 1990
    -
    1993

    Osaka University, Lecturer

  • 1991
    -
    1992

    Institute for Advanced Studies (Princeton, USA), Member

  • 1982
    -
    1989

    Osaka University, Research Assistant

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Professional Memberships

  •  
     
     

    The Mathematical Society of Japan

 

Research Areas

  • Mathematical analysis

  • Geometry

  • Algebra

Research Interests

  • 3-manifold, knot theory, quantum invariant, representation theory

Papers

  • Combinatorial Decompositions, Kirillov–Reshetikhin Invariants, and the Volume Conjecture for Hyperbolic Polyhedra

    Kolpakov, Alexander, Murakami, Jun

    Experimental Mathematics     197 - 203  2018.06

     View Summary

    © 2017 Taylor & FrancisWe suggest a method of computing volume for a simple polytope P in three-dimensional hyperbolic space (Formula presented.). This method combines the combinatorial reduction of P as a trivalent graph Γ (the 1-skeleton of P) by I–H, or Whitehead, moves (together with shrinking of triangular faces) aligned with its geometric splitting into generalized tetrahedra. With each decomposition (under some conditions), we associate a potential function Φ such that the volume of P can be expressed through a critical values of Φ. The results of our numeric experiments with this method suggest that one may associate the above-mentioned sequence of combinatorial moves with the sequence of moves required for computing the Kirillov–Reshetikhin invariants of the trivalent graph Γ. Then the corresponding geometric decomposition of P might be used in order to establish a link between the volume of P and the asymptotic behavior of the Kirillov–Reshetikhin invariants of Γ, which is colloquially known as the Volume Conjecture.

    DOI

  • Reidemeister transformations of the potential function and the solution

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   26 ( 12 )  2017.10  [Refereed]

     View Summary

    The potential function of the optimistic limit of the colored Jones polynomial and the construction of the solution of the hyperbolicity equations were defined in the authors' previous papers. In this paper, we define the Reidemeister transformations of the potential function and the solution by the changes of them under the Reidemeister moves of the link diagram and show the explicit formulas. These two formulas enable us to see the changes of the complex volume formula under the Reidemeister moves. As an application, we can simply specify the discrete faithful representation of the link group by showing a link diagram and one geometric solution.

    DOI

  • Generalized kashaev invariants for knots in three manifolds

    Jun Murakami

    Quantum Topology   8 ( 1 ) 35 - 73  2017

     View Summary

    Kashaev’s invariants for a knot in a three sphere are generalized to invariants of a knot in a three manifold. A relation between the newly constructed invariants and the hyperbolic volume of the knot complement is observed for some knots in lens spaces.

    DOI

  • Yokota type invariants derived from non-integral highest weight representations of U-q(sl(2))

    Atsuhiko Mizusawa, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   25 ( 10 )  2016.09  [Refereed]

     View Summary

    We define invariants for colored oriented spatial graphs by generalizing CM invariants [F. Costantino and J. Murakami, On SL(2, C) quantum 6j-symbols and their relation to the hyperbolic volume, Quantum Topol. 4 (2013) 303-351], which were defined via non-integral highest weight representations of U-q(sl(2)). We apply the same method used to define Yokota's invariants, and we call these invariants Yokota type invariants. Then, we propose a volume conjecture of the Yokota type invariants of plane graphs, which relates to volumes of hyperbolic polyhedra corresponding to the graphs, and check it numerically for some square pyramids and pentagonal pyramids.

    DOI

  • The Dual Jacobian of a Generalised Hyperbolic Tetrahedron, and Volumes of Prisms

    Alexander Kolpakov, Jun Murakami

    TOKYO JOURNAL OF MATHEMATICS   39 ( 1 ) 45 - 67  2016.06  [Refereed]

     View Summary

    We derive an analytic formula for the dual Jacobian matrix of a generalised hyperbolic tetrahedron. Two cases are considered: a mildly truncated and a prism truncated tetrahedron. The Jacobian for the latter arises as an analytic continuation of the former, that falls in line with a similar behaviour of the corresponding volume formulae.
    Also, we obtain a volume formula for a hyperbolic n-gonal prism: the proof requires the above mentioned Jacobian, employed in the analysis of the edge lengths behaviour of such a prism, needed later for the Schldfli formula.

  • INVARIANTS OF HANDLEBODY-KNOTS VIA YOKOTA'S INVARIANTS

    Atsuhiko Mizusawa, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   22 ( 11 ) 1350068  2013.10  [Refereed]

     View Summary

    We construct quantum U-q(sl(2)) type invariants for handlebody-knots in the 3-sphere S-3. A handlebody-knot is an embedding of a handlebody in a 3-manifold. These invariants are linear sums of Yokota's invariants for colored spatial graphs which are defined by using the Kauffman bracket. We give a table of calculations of our invariants for genus 2 handlebody-knots up to six crossings. We also show our invariants are identified with special cases of the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants.

    DOI

  • Volume of a doubly truncated hyperbolic tetrahedron

    Alexander Kolpakov, Jun Murakami

    AEQUATIONES MATHEMATICAE   85 ( 3 ) 449 - 463  2013.06  [Refereed]

     View Summary

    The present paper regards the volume function of a doubly truncated hyperbolic tetrahedron. Starting from the earlier results of J. Murakami, U. Yano and A. Ushijima, we have developed a unified approach to express the volume in different geometric cases by dilogarithm functions and to treat properly the many analytic strata of the latter. Finally, several numeric examples are given.

    DOI

  • Logarithmic invariants for knots in three manifolds (Hopf algebras and quantum groups : their possible applications)

    Murakami Jun

    RIMS Kokyuroku   1840   43 - 66  2013.06

    CiNii

  • On SL(2, C) quantum 6j-symbol and its relation to the hyperbolic volume

    Francesco Costantino, Jun Murakami

    Quantum Topology   4 ( 3 ) 303 - 351  2013

    DOI

  • Optimistic limits of the colored Jones polynomials

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    Bulletin of the Korean Mathematical Society   50 ( 3 ) 641 - 693  2013

     View Summary

    We show that the optimistic limits of the colored Jones polynomials of the hyperbolic knots coincide with the optimistic limits of the Kashaev invariants modulo 4π2. © 2013 The Korean Mathematical Society.

    DOI

  • The volume formulas for a spherical tetrahedron

    Jun Murakami

    Proc. Amer. Math. Soc.   140 ( 9 ) 3289 - 3295  2012  [Refereed]

  • THE COMPLEX VOLUMES OF TWIST KNOTS VIA COLORED JONES POLYNOMIALS

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   19 ( 11 ) 1401 - 1421  2010.11  [Refereed]

     View Summary

    For a hyperbolic knot, an ideal triangulation of the knot complement corresponding to the colored Jones polynomial was introduced by Thurston. Considering this triangulation of a twist knot, we find a function which gives the hyperbolicity equations and the complex volume of the knot complement, using Zickert's theory of the extended Bloch group and the complex volume.
    We also consider a formal approximation of the colored Jones polynomial. Following Ohnuki's theory of 2-bridge knots, we define another function which comes from the approximation. We show that this function is essentially the same as the previous function, and therefore it also gives the same hyperbolicity equations and the complex volume.
    Finally we compare this result with our previous one which dealt with Yokota theory, and, as an application to Yokota theory, present a refined formula of the complex volumes for any twist knots.

    DOI

  • SOME APPLICATIONS OF THE COLORED ALEXANDER INVARIANT (Quantum groups and quantum topology)

    Jun Murakami

    RIMS Kokyuroku   1714   105 - 126  2010.09

    CiNii

  • THE COMPLEX VOLUMES OF TWIST KNOTS

    Jinseok Cho, Jun Murakami, Yoshiyuki Yokota

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   137 ( 10 ) 3533 - 3541  2009.10  [Refereed]

     View Summary

    For a given hyperbolic knot, the third author defined a function whose imaginary part gives the hyperbolic volume of the knot complement. We show that, for a twist knot, the function actually gives the complex volume of the knot complement using Zickert's and Neumann's theory of the extended Bloch groups and the complex volumes.

  • SOME LIMITS OF THE COLORED ALEXANDER INVARIANT OF THE FIGURE-EIGHT KNOT AND THE VOLUME OF HYPERBOLIC ORBIFOLDS

    Jinseok Cho, Jun Murakami

    JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS   18 ( 9 ) 1271 - 1286  2009.09  [Refereed]

     View Summary

    We calculate certain limits of the colored Alexander invariant of the figure-eight knot for some cases and show that this limit is related to the volume of hyperbolic orbifolds whose singular set is the figure-eight knot.

    DOI

  • LOGARITHMIC KNOT INVARIANTS ARISING FROM RESTRICTED QUANTUM GROUPS

    Jun Murakami, Kiyokazu Nagatomo

    INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS   19 ( 10 ) 1203 - 1213  2008.11  [Refereed]

     View Summary

    We construct knot invariants from the radical part of projective modules of the restricted quantum group (U) over bar (q)(sl(2)) at q = exp(pi root-1/p), and we also show a relation between these invariants and the colored Alexander invariants. These projective modules are related to logarithmic conformal field theories.

  • Colored Alexander invariants and cone-manifolds

    Jun Murakami

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   45 ( 2 ) 541 - 564  2008.06  [Refereed]

     View Summary

    In this paper, we reconstruct the link invariant of framed links introduced in I I by the universal R-matrix of Uq(sl(2)) and name it the colored Alexander invariant. We check that the optimistic limit o-lim of this invariant is determined by the volume of the knot and link cone-manifold for figure eight knot, Whitehead link and Borromean rings. We also propose the A-polynomials of these examples obtained from the colored Alexander invariant.

  • A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths

    Jun Murakami, Akira Ushijima

    Journal of Geometry   83 ( 1-2 ) 153 - 163  2005.12

     View Summary

    We give a closed formula for volumes of generic hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths. The cue of our formula is by the volume conjecture for the Turaev-Viro invariant of closed 3-manifolds, which is defined from the quantum 6j -symbols. This formula contains the dilogarithm functions, and we specify the adequate branch to get the actual value of the volumes. © Birkhäuser Verlag, Basel, 2005.

    DOI

  • On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron

    J Murakami, M Yano

    COMMUNICATIONS IN ANALYSIS AND GEOMETRY   13 ( 2 ) 379 - 400  2005.03  [Refereed]

     View Summary

    A new formula for the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron is obtained from the quantum 6j-symbol. This formula is of symmetric form with respect to the symmetry of the tetrahedron.

  • Actual computation for the coplexified hyperbolic volume conjecture

    Jun Murakami

    Volume Conjecture とその周辺,数理解析研究所講究録   1279   67 - 85  2002.08

  • Generalized volume and geometric structure of 3-manifolds

    Jun Murakami

    明日の低次元トポロジー、京都大学数理解析研究所   1272   91 - 113  2002.06

  • 量子 6j-symbol の漸近挙動と双曲4面体の体積

    村上 順

    結び目のトポロジー IV(大阪市立大学、2001年12月17日〜20日)     103 - 112  2002.02

  • Kashaev's conjecture and the Chern-Simons invariants of knots and links

    Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Miyuki Okamoto, Toshie Takata, Yoshiyuki Yokota

    Experimental Mathematics   11 ( 3 ) 447 - 455  2002  [Refereed]

  • The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot

    H Murakami, J Murakami

    ACTA MATHEMATICA   186 ( 1 ) 85 - 104  2001  [Refereed]

  • On web diagmrams

    Jun Murakami

    研究集会報告集「結び目の数理」(1998年10月26日〜29日,関西セミナーハウス)作間誠編     46 - 65  1999.02

  • Finite-type invariants detecting the mutant knots

    Jun Murakami

    Knot Theory - Dedicated to Professor Kunio Murasugi for hits 70th birthday -     46 - 65  1999.02

  • A three-manifold invariant via the Kontsevich integral

    Thang T. Q. Le, Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Tomotada Ohtsuki

    Osaka Journal of Mathematics   36   365 - 396  1999  [Refereed]

  • Heisenberg algebraによるコード図の表現について

    村上 順

    「代数群と量子群の表現論」研究集会(2000年6月30日〜7月2日)報告集     133 - 144  1998.11

  • On a universal perturbative invariant of 3-manifolds

    TTQ Le, J Murakami, T Ohtsuki

    TOPOLOGY   37 ( 3 ) 539 - 574  1998.05  [Refereed]

  • Parallel version of the universal Vassiliev-Kontsevich invariant

    TTQ Le, J Murakami

    JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA   121 ( 3 ) 271 - 291  1997.10  [Refereed]

     View Summary

    Let (Z) over cap(f) be the universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed links in [13], which is a generalization of Kontsevich's invariant in [10, 1]. Let K be a framed knot and K-(r) be its r-parallel. Then we show (Z) over cap(f)(K-(r)) = Delta((r))((Z) over cap(f)(K)), where Delta((r)) is an operation of chord diagrams which replace the Wilson loop by r copies. We calculate the values of (Z) over cap(f) of the Hopf links and the change of (Z) over cap(f) under the Kirby moves. An explicit formula of an important normalization factor, which is the value of the trivial knot, in the universal enveloping algebra U(g) of any Lie algebra is given. (C) 1997 Elsevier Science B.V.

  • Topological quantum field theory for the universal quantum invariant

    J Murakami, T Ohtsuki

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   188 ( 3 ) 501 - 520  1997.10  [Refereed]

     View Summary

    We extend the universal quantum invariant defined in [15] to an invariant of 3-manifolds with boundaries, and show that the invariant satisfies modified axioms of TQFT.

  • Kontsevich's integral for the Kauffman polynomial

    TTQ Le, J Murakami

    NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL   142   39 - 65  1996.06  [Refereed]

  • The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links

    Thang T. Q. Le, Jun Murakami

    Compositio Mathematica   102   42 - 64  1996  [Refereed]

  • 反復積分を用いた結び目の不変量と多重ゼータ関数への応用

    村上 順

    第39回代数学シンポジウム報告集     73 - 79  1995.07

  • 反復積分を用いた結び目の不変量からできる3次元多様体の不変量

    村上 順

    研究集会「Art of Low Dimensional Topology」報告集     1 - 11  1995.05

  • REPRESENTATION OF THE CATEGORY OF TANGLES BY KONTSEVICHS ITERATED INTEGRAL

    LTQ THANG, J MURAKAMI

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   168 ( 3 ) 535 - 562  1995.04  [Refereed]

     View Summary

    Applying Kontsevich's iterated integral for tangles, we get an isotopy invariant of tangles. We give a method to compute the integral of a tangle combinatorially from modified integrals of some simple tangles. We localize the integral by moving the end points of the tangle to an extreme configuration, and modify the integral so that it is convergent. By using a similar technique, we generalize Kontsevich's invariant to a framed tangle.

  • KONTSEVICHS INTEGRAL FOR THE HOMFLY POLYNOMIAL AND RELATIONS BETWEEN VALUES OF MULTIPLE ZETA-FUNCTIONS

    TQT LE, J MURAKAMI

    TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS   62 ( 2 ) 193 - 206  1995.03  [Refereed]

     View Summary

    Kontsevich's integral for the Homfly polynomial is studied by using representations of the chord diagram algebras via classical r-matrices for sl(N) and via a Kauffman type state model. We compute the actual value of the image of W(gamma) by these representations, where gamma is the normalization factor to construct an invariant from the integral. This formula implies relations between values of multiple zeta functions.

  • A three-manifold invariant derived from the universal Vassiliev-Kontsevich invariant

    Thang T. Q. Le, Hitoshi Murakami, Jun Murakami, Tomotada Ohtsuki

    Proceedings of the Japan Academy, Series A   71   125 - 127  1995  [Refereed]

  • SUBGRAPHS OF W-GRAPHS AND THE 3-PARALLEL VERSION POLYNOMIAL INVARIANTS OF LINKS

    M OCHIAI, J MURAKAMI

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   70 ( 8 ) 267 - 270  1994.10  [Refereed]

  • Kontsevich's integral for the HOMFLY polynomial and its applications

    Jun Murakami

    無限可積分系の幾何的側面,数理解析研究所講究録   883   134 - 147  1994.08

  • Centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group Uq(gl(n, C))

    Masashi Kosuda, Jun Murakami

    Osaka Journal of Mathematic   30   475 - 507  1994

  • 結び目のVassiliev-Kontsevich不変量とその応用

    村上 順

    研究集会「位相不変量とその関連」(1993年10月24日〜27日)報告集     23 - 36  1994.01

  • THE YAMADA POLYNOMIAL OF SPATIAL GRAPHS AND KNIT ALGEBRAS

    J MURAKAMI

    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS   155 ( 3 ) 511 - 522  1993.08  [Refereed]

     View Summary

    The Yamada polynomial for embeddings of graphs is widely generalized by using knit semigroups and polytangles. To construct and investigate them, we use a diagrammatic method combined with the theory of algebras H(N,M)(a,q), which are quotients of knit semigroups and are generalizations of Iwahori-Hecke algebras H(n)(q). Our invariants are versions of Turaev-Reshetikhin's invariants for ribbon graphs, but our construction is more specific and computable.

  • A STATE MODEL FOR THE MULTIVARIABLE ALEXANDER POLYNOMIAL

    J MURAKAMI

    PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS   157 ( 1 ) 109 - 135  1993.01  [Refereed]

     View Summary

    We construct a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable (non-reduced) Alexander polynomial. Our model is a colored version of the 6-vertex free fermion model. To show the correspondence of our model and the multi-variable Alexander polynomial, we introduce colored braid groups and their Magnus representations. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained.

  • The centralizer algebras of the mixed tensor representations of quantum group Uq(gl(n, c)) and the HOMFLY polynomial of links

    Masashi Kosuda, Jun Murakami

    Proceedings of the Japan Academy, Series A   68   148 - 151  1992  [Refereed]

  • THE REPRESENTATIONS OF THE Q-ANALOG OF BRAUER CENTRALIZER ALGEBRAS AND THE KAUFFMAN POLYNOMIAL OF LINKS

    J MURAKAMI

    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES   26 ( 6 ) 935 - 945  1990.12  [Refereed]

  • Yang-Baxter 方程式と表現論

    Jun Murakami

    表現論とその物理的応用,数理解析研究所講究録   700   48 - 63  1989.08

  • Invariant of rigit 4-vartex graphs in S^3

    Jun Murakami

    結び目の構造の多様性とその応用     221 - 233  1989.05

  • THE PARALLEL VERSION OF POLYNOMIAL INVARIANTS OF LINKS

    J MURAKAMI

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   26 ( 1 ) 1 - 55  1989.03  [Refereed]

  • CYCLOTOMIC INVARIANTS FOR LINKS

    T KOBAYASHI, H MURAKAMI, J MURAKAMI

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   64 ( 7 ) 235 - 238  1988.09  [Refereed]

  • Brauerのcentralizer algebraのq-analogue表現の構成

    村上 順

    組み合わせ論とその周辺の研究,数理解析研究所講究録   670   251 - 257  1988.09

  • THE KAUFFMAN POLYNOMIAL OF LINKS AND REPRESENTATION-THEORY

    J MURAKAMI

    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS   24 ( 4 ) 745 - 758  1987.12  [Refereed]

  • 数理物理とリンクの多項式不変量

    村上 順

    低次元トポロジーの諸問題と最近の成果,数理解析研究所講究録   636   141 - 152  1987.12

  • Iwahori(Hecke)algebraとlinkの多項式不変量

    村上 順

    第33回代数学シンポジウム(1987年7月27日〜30日,福井大学)報告集     305 - 318  1987.10

  • リンクの不変量のパラレルバージョンについて

    村上 順

    「低次元トポロジーの幾何と代数」研究集会報告集,数理解析研究所講究録   624   7 - 17  1987.05

  • ソリッドトーラス中の絡み目とaffine Weyl群のHecke環

    村上 順

    群論, 数理解析研究所講究録   580   70 - 76  1986.02

  • Solid Torus の Link の Polynomial Invariant

    村上 順

    低次元多様体の幾何学的諸相     57 - 60  1985.12

  • Linkの2変数多項式のmuSIMP/muMATHによる計算

    村上 順

    コンピューターを用いた低次元トポロジーの研究, 数理解析研究所講究録   561   136 - 141  1985.05

  • Q<SUB>p</SUB>上の概均質ベクトル空間の相対不変式の複素べきの Fourier 変換について

    村上 順

    概均質ベクトル空間の展望, 数理解析研究所講究録   555   85 - 92  1985.03

  • 対称群の表現の新しい構成法について

    Jun Murakami

    代数群とその周辺,数理解析研究所講究録   512   22 - 39  1984.02

  • Lobachevsky 空間の discrete group について - Vinberg の一連の仕事の紹介(III) ー

    Jun Murakami

    リー環,代数群とその周辺,数理解析研究所講究録   394   138 - 149  1980.08

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Books and Other Publications

  • 結び目と量子群

    村上 順

    朝倉書店  2000

  • 量子不変量

    大槻 知忠

    日本評論社  1999

  • 現代数学序説 2

    宮西 正宜, 川久保, 勝夫

    大阪大学出版会  1998.10

  • Representation of mapping class groups via the universal perturbative invariant

    Jun Murakami

    Proceedings of Knots 96, ed. S. Suzuki, World Scientific  1997

  • The Casson invariant for a knot in a 3-manifold

    Jun Murakami

    Geomatry and Physics (Ed. Anderson, Dupont Pedersen and Swan), Lecture notes in pure and applied mathematics  1996

  • The Casson invariant for a knot in a 3-manifold

    Jun Murakami

    Geometry and Physics (Ed. Anderson, Dupont, Pedersen and Swan), Lecture notes in pure and applied mathematics  1996

  • On local relations to determine the multi-variable Alexander polynomial of colored links

    Jun Murakami

    Knot 90 (Osaka, 1990), de Gruyter  1992

  • The multi-variable Alexander polynomial and a one-parameter family of representations of Uq(sl(n, C)) at q2=1

    Jun Murakami

    Quantum groups (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Mathematics, Springer  1992

  • Invariants of spatial graphs

    Jun Murakami

    Aspects of Low Dimensional Manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics  1992

  • On local relations to determine the multi-variable Alexander polynomial of colored links

    Jun Murakami

    Knot 90 (Osaka 1990), de Gruyter  1992

  • Invariants of spatial graphs

    Jun Murakami

    Aspects of Low Dimensional Manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics  1992

  • The free-fermion model in presence of field related to the quantum group Uq(sl2) of affine type and the multi-variable Alexander polynomial of links

    Jun Murakami

    Infinite analysis, Advanced Series in Mathematical Physics  1991

  • The free-fermion model in presence of field related to the quantum group Uq(sl2) of affine type and the multi-variable Alexander polynomial of links

    Jun Murakami

    Infinite analysis, Advanced Series in Mathematical Physics  1991

  • 結び目理論

    河内 明夫

    シュプリンガー・フェアラーク東京  1990.06

  • Solvable lattice models and algebras of face operators

    Jun Murakami

    Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, Advanced Studies in Pure Mathematics, Academic Press  1989

  • Solvable lattice models and algebras of face operators

    Jun Murakami

    Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, Advanced Studies in Pure Mathematics, Academic Press  1989

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Other

  • 最近,量子 6j-記...

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    最近,量子 6j-記号が3次元重力理論において注目されている.結び目や3次元多様体の量子不変量と,体積や幾何構造との関係を研究することは3次元重力理論における幾何構造を研究することにもつながり,幾何学や代数学ばかりでなく,数理物理学にとっても大変興味深い.

Research Projects

  • Study of the geometric structure of three manifolds by using quantum invariants

    Project Year :

    2020.04
    -
    2025.03
     

  • Research on a complexification of hyperbolic tetrahedra

    Project Year :

    2020.07
    -
    2023.03
     

  • Diagramatic construction of non-semisimple TQFT

    Project Year :

    2019.11
    -
    2022.03
     

  • Quantization of the fundamental group by dual quantum group

    Project Year :

    2017.06
    -
    2020.03
     

  • 双対量子群による基本群の量子化

    日本学術振興会  科学研究費

    Project Year :

    2017.06
    -
    2020.03
     

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    組み紐型の量子群を用いて結び目の基本群の SL(2) 表現の量子化を構成し、対応する Cheeger-Chern-Simons 類をみることで双曲体積や Chern-Simons 不変量の量子化を構成する。

  • Discrete quantization of low-dimensional geometry with quantum invariants

    Project Year :

    2013.04
    -
    2017.03
     

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    The aim of this research is to construct discretized quantum geometry for 2 and 3 dimensional case. To do this, various quantum invariants and their relations are studied. For example, we study the colored Jones invariant, the colored Alexander invariant, the Hennings invariant and the logarithmic invariant. Quantum invariants for knotted graphs and its relation to the geometric structure is also studied. Especially, we get the relation between quantum invariants and hyperbolic volume determined by the geometric structure for various quantum invariants

  • Study in phantom of the quantum groups

    Project Year :

    2013.04
    -
    2016.03
     

     View Summary

    Quantum groups whose quantum parameter q are roots of unity have projective representations which is not always semisimple. In this research, properties of such representations are studied, invariants of knots and 3-maniolfds related to such representations are constructed, and properties of such invariants are studied. Such invariant for knot is already constructed as the logarithmic invariant, and it is extended in this research to invariants of knots in 3-manifolds. The relation of logarithmic invariant and its generalization to the hyperbolic volume of the corresponding manifold is also given, which is a version of the volume conjecture of quantum invariants

  • Study of modular/quasimodular forms and multiple zeta values appearing in various aspects of mathematics and physics

    Project Year :

    2011.04
    -
    2016.03
     

     View Summary

    For modular forms of one variable, we obtained some congruence results on Fourier coefficients of certain meromorphic modular forms, constructed newforms associated to elliptic curves over the rationals which can be written as eta products via differential equations satisfied by modular forms, and found relations between period polynomials of modular forms and double zeta values of level 2. This last result creates a bridge between modular forms and multiple zeta values. For multiple zeta values proper, we obtained a formula for the height one MZV in terms of MZVs of maximal height, defined and studied a kind of sibling function of the so called Arakawa-Kaneko zeta function, and studied basic properties of finite multiple zeta values. Notably, by introducing symmetric multiple zeta values, we proposed an astonishing main conjecture in the theory of finite multiple zeta values

  • 量子不変量を用いた低次元幾何学の離散量子化の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    Project Year :

    2013
    -
    2016
     

     View Summary

    本研究においては,まず2次の特殊線形群に対応する量子展開環において,その1の冪根における半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量についての研究を行った.3次元球面中の結び目に対しては,以前 logarithmic 不変量と呼ぶものを表現の根基に対応する中心の元をもちいて構成しており,本研究の中で,この不変量を任意の向き付け可能な3次元閉多様体中の結び目の不変量に拡張した.この拡張された不変量の中には,Kashaev が双曲体積との関係を見いだした不変量を3次元閉多様体中の結び目に拡張したものも含んでいるが,この拡張された Kashaev の不変量について,数値計算により,その補空間の双曲体積との関係を調べ,3次元球面中の結び目に対して予想されている体積予想と同様の関係がいくつかの場合で成り立つことを確かめた.
    また,3次元球面中の結び目に対する Logarithmic 不変量に対し,これまで知られていた colored Alexander 不変量を用いた公式に加え,colored Jones 不変量を用いた公式を新たに得た.この公式では,葉廣による colored Jones 不変量の公式を用いて,最高ウェイトに対応するパラメータに関する微分を行うことで logarithmic 不変量が得られる.さらに,この公式を活用して, Logarithmic 不変量と双曲体積の関係を8の字結び目に対して調べ,8の字結び目に沿ったコーン多様体の双曲体積との間に,体積予想と同様の関係が成り立つことを数値計算で確認し,また,特別の場合については証明も与えた.
    さらに,ハンドル体結び目に対する量子不変量の構成や,Costantino-Murakami 不変量のグラフの埋め込みに対する拡張を行い,これらと双曲体積との関係を調べた.

  • Iterated integrals, geometric structures of configuration spaces and applications to quantum topological invariants

    Project Year :

    2011.04
    -
    2015.03
     

     View Summary

    We clarified the relation between quantum representations of braid groups appearing as the monodromy representations of KZ equations and homological representations of braid groups. We gave an expression for the basis of the space of conformal blocks in conformal field theory on Riemann sphere by means of mlti-variable hypergeometric functions by specifying integration cycles. We showed that the KZ connection in conformal field theory can be regarded as a Gauss-Maninconnection. By developing the notion of Chen's formal homology connection and iterated integrals of logarithmic forms, we constructed higher category extensions of quantum representaitons of braid groups as representations of homotopy path groupoids of configuration spaces as higher categories

  • Quantum Topology and Modular Forms in Mathematical Physics

    Project Year :

    2011.04
    -
    2015.03
     

     View Summary

    Quantum invariants of knots and 3-manifolds has been developed since Jones and Witten. We have studied a geometric aspect of the colored Jones polynomial. Some of the colored Jones polynomial was shown to have a nearly-modular property.We have applied a method of the Ramanujan mock theta function to the superconformal algebra. We have studied "moonshine" phenomena which suggests a strange relationship between Fourier coefficients of mock theta function and irreducible representation of finite groups

  • 量子群の幻影の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(挑戦的萌芽研究)

    Project Year :

    2013
    -
    2015
     

     View Summary

    量子展開環のパラメータを1の冪根にしたものに関する,半単純でない表現について,2次の特殊線形群に対応する量子展開環については,Feigin らの研究を土台として,最高ウェイトが整でない表現からの極限としての構成法を以前構成した.これをもとにして,3次の特殊線形群に対応する量子展開環でパラメータを1の冪根にしたものについて,整でないウェイトに対応する表現の構造を調べた.
    この整でないウェイトに対応する表現からは,2次の特殊線形群に対応する場合と同じように,結び目の不変量の構成や,量子 6j 記号の構成が可能となるので,現在その準備を進めている.また,3次の特殊線形群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現の構成法から,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の整でないウェイトに対応する表現についても,その構成法の概略を知ることができた.
    これらの成果をもとに,2次の特殊線形群の場合にできている,半単純でない表現を整でないウェイトに対応する表現から構成する手法を,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環に対して拡張する研究を行っている.そして,2次の特殊線形群に対応する場合に半単純でない表現とそれに対応する結び目の量子不変量から双曲構造やその量子化についての情報が得られたように,より一般の階数の高いリー群に対応する量子展開環の,半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量と幾何構造の量子化との関係についても研究を進めている.

  • Representations of the quantum groups at roots of unity and its application to knot theory

    Project Year :

    2010.04
    -
    2013.03
     

     View Summary

    We did research rerated to the ‘Volume Conjecture’ which gives a relation between the quantum invariant related to the quantum group Uq(sl2), and, by noticing the non-semisimple representation of it, such representations and the related knot invariants were studied. By applying the volume conjecture, the geometric structure of a knot complement and the volumes of polyhedrons in a three space with a constant curvature were studied. Moreover, new invariants of knots in a three manifolds were constructed from the non-semisimple representations

  • Noether's Problem for Cremona Groups over algebraic number fields and its application to Number theory

    Project Year :

    2007
    -
    2009
     

     View Summary

    We studied the Noether's Problem, which asks the rationality of the fixed field of the rational function field of several variables over a given field, with respect to a given finite subgroup G of the Cremona group. We solved this problem affirmatively in the case where G is one of the transitive permutation groups of degree six, and obtained the explicit description of the fixed field as expected. The results are now being collected and prepared in some papers, although it will take some time before the completion. During the period of the research, we had in each year a workshop entitled as "Galois theory and related topics", and discussed the various related problems.. They were held in the university of Yamagata (2007), Tokushima (2008), and Kanazawa (2009). We also had a conference on number theory each year at Waseda university and communicated with many experts of this subject, including those from foreign countries.

  • Algebro-analytical study on special functions appeared in number theory

    Project Year :

    2003
    -
    2006
     

     View Summary

    First I tried to make correspondence, via Mellin transforms and inverse Mellin transforms, between linear relations held among multiple zeta values and connection relations held among multiple polylogarithms of one variable. I was succeeded in clarifying the correspondence between Ohno relations for multiple zeta values and the connection formula for multiple polylogarithms with respect to z→z-1. This result was published as the paper "Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004), 537-564".
    Motivated by this research, I tried to study symmetry of the formal Knizhinik-Zamolodchikov(KZ) equation of one variable, in which the coefficients of the equation are regarded as noncommutative variables. Here the symmetry of the equation means transformation theory of fundamental solutions normalized at the singular points. The most universal generating function of multiple polylogarithms is a fundamental solution normalized at z=0. The connection matrices of these fundamental solutions are given by the so called Drinfeld associator, and the connection relations yield the duality relation and the hexagon relation for the Drinfeld associator. This result was published as the paper "The Sum Formula of Multiple Zeta Values and Connection Problem of the Formal Knizhinik-Zamolodchikov Equation, Development in Mathematics 14, Zeta Functions, Topology and Quantum Physics ed. Be T. Aoki et al., Springer (2005),145-170.
    Furthermore, I have been trying to generalize the symmetry theory in the formal KZ equation of many variables. I expect that, from this theory, the connection formulas for multiple polylogarithms of many variables. So far, I established the decomposition theorem, and the analycity theorem for normalized fundamental solutions of the KZ equation, from which one can deduce the pentagon relation for the Drinfeld associator. I proposed a conjecture that the harmonic product relations(or the series shuffle relations) of multiple polylogarithms are equivalent to the decomposition theorem. This result is announced in an invited project lecture in the autumn conference of MSJ at Osaka City University, 2006 September.

  • Construction of Generic Polynomials in Galois Theory and application to Number Theory

    Project Year :

    2003
    -
    2005
     

     View Summary

    Thanks to the current Grant-in-Aid, we were able to organize seven research workshops inviting the most active mathematicians on this field, through which we had many discussions on our subjects.
    This enabled us to make a considerable developments along our reseach project on Galois theory.
    As for the main theme of constructing generic polynomials with given finite groups over Q, our first result is the construction of concrete and simple families of quintic polynomials with two parameters for each of the five transitive permutation groups of degree 5. As a remarkable application we have established the proof of the genericity of the famous family of A_5 polynomials of degree 6 found by A.Bumer, in connection with algebraic curves of genus two whose Jacobian have real multiplication of discriminant 5.
    Our second result is concerned with the Noethers' Problem for the meta abelian groups of exponent 8 which are subgroups of the affine transformation group over Z/8Z. We have proved the affirmative answer for the linear representation of degree 4 for each of them, in contrast with the negative answer for cyclic group of order 8. As a biproduct of this result, we obtained a simple criterion for a cyclic extension L/K of degree 4 to be embedded into a cyclic extension of degree 8.

  • 低次元トポロジーの総合的研究

    科学研究費助成事業(東京工業大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    Project Year :

    2001
    -
    2002
     

     View Summary

    2001年度:京都大学数理解析研究所においてプロジェクト研究「21世紀の低次元トポロジー」を開催した.
    このプロジェクトは1年間にわたるもので,数理研に国内外から低次元トポロジーの研究者を集め集中的に研究を行った.海外からの参加者は50名程度であり多くの講演と活発な討論が行なわれた.これによって,低次元トポロジーにおける種々の分野,特に3次元多様体の組み合わせ的な研究,4次元空間内の曲面結び目の研究,結び目や3次元多様体の量子不変量の研究に新たな見地を見出した.
    2002年度:主に2001年度に得られた研究成果を発表するとともに情報交換を行ない,我々の結果を広く理解してもらうとともに今後の研究の目標を立てることができた.
    4月に研究代表者と村上順は,カナダ・ケベック大学モントリオール校で開かれた体積予想に関する研究集会に招待され講演を行なった.体積予想というのは,R.Kashaevの予想を村上順と研究代表者が一般化したものであり,Jones多項式を初めとする量子不変量と幾何構造を結びつけるという意味から多くの研究者の注目を集めている.また,小林は7月に韓国高等高等理工学研究所に招かれて,3次元多様体論についての連続講義を行ない,谷山は8月に中国西安で開かれた,国際数学者会議のサテライト会議「Geometric Topology」においてグラフの成す絡み目に関する招待講演を行なった.大槻はこれまでに得られた量子不変量に関する成果を専門書「Quantum invariants,-A study of knots,3-manifolds, and their sets」の形にまとめた.

  • Representation theory of Algebraic Groups and Quantum Groups

    Project Year :

    2000
    -
    2001
     

     View Summary

    Below, we state our main results on (1) affine Lie algebras, (2) Hecke algebras, (3) finite Chevalley groups, (4) complex reflection groups, and (5) quantum groups.
    (1) T.Tanisaki (jointly with M.Kashiwara) completely determined the characters of irreducible modules with non-critical highest weight over affine Lie algebras. This was done by reducing, using Jantzen's trick, the problem to the case of rational weights, the case already treated previously by Tanisaki and Kashiwara.
    (2) K.Uno conjectured, in 1992, the condition under which the number of equivalence Classes of indecomposable Hecke algebra modules is finite. S.Ariki settled this Uno conjecture affirmatively in the classical cases. The remaining exceptional cases also seem to be within our reach.
    (3) T.Shoji gave a combinatorial method by which one can construct Green functions of finite classical groups. This generalizes the wellknown result of Green for finite general linear groups. It is interesting to note that the same procedure makes sense for certain complex reflection groups.
    (4) N.Kawanaka introduced new invariants for the irreducible characters of finite complex reflection groups, and calculated them explicitly in the imprimiteve cases. Gyoja and others calculated the same invariants for any finite Weyl groups, and observed a strange relation with Lusztig's notion of two-sided cells.
    (5) J.Murakami (jointly with H.Murakami) showed the Kashaev knot-invariant is nothing but a specialization of colored Jones invariant defined using quantum R-matrices corresponding to irreducible representations of quantum groups U_q (sl_2), and, using this, generarlzed the Kashaev conjecture, stating a connection of this invariant with hyperbolic volumes of complements of hyperbolic knots, to the case of general knots.

  • 共形場理論におけるモノドロミーのガロア表現への応用

    科学研究費助成事業(東京大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1999
    -
    2001
     

     View Summary

    共形場理論における写像類群の表現の性質について研究した。とくに、吉田朋好による、共形場理論のアーベル化の方法を援用して、共形ブロックの空間の基底をテータ関数を用いて記述しそこへの写像類群の作用を記述した。
    Vassiliev不変量の空間をループのホモトピー類のみのよる対数微分形式の、K.T.Chenの意味の反復積分全体としてもとらえることにより、位相不変量を多重ゼータ関数の特殊値として表すことができる。このような視点から得られる多重ゼータ関数の特殊値の間の関係式を系統的に研究した。また、Hodge理論をも用いて、多重ゼータ関数の特殊値のはる空間の次元についてのいくつかの予想に対して部分的な結果を得た。
    組みひものVassiliev不変量の空間は、3次元空間内の互いに異なる点の配置の空間のループ空問のコホモロジーと同型であることを示した。より正確には、上のループ空間のコホモロジーは、Vassiliev不変量のウェイト系と対応していて、位相不変量は、組みひもから構成される、ループ空間のあるホモロジー類とのペアリングによって与えられる。さらに、一般に、従来グラフの空間に値をとるものとして定式化されてきた、有限型位相不変量に対して、これを、点の配置の空間のループ空間のホモロジー類としてとらえるという新たな視点を展開した。

  • ウェブ図の代数的研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1999
    -
    2001
     

     View Summary

    本年は京都大学数理解析研究所でプロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」が行われ,組織委員の一人として参加した。テーマの一つとして量子不変量があげられており,内外の多数の研究者が集まって活発に交流が行われ,本研究にも多大の貢献があった。本年の成果をまとめると次のようになる。
    1.代数的側面について
    プロジェクト「21世紀の低次元トポロジー」に参加したD.Thurstonは,ウェブ図のなす代数系に対して「微分」(derivation)を導入し,自明な結び目に対応する元についての非常に基本的な表記法を得た。また,これに附随してこの代数の二種類の積構造から定義される二種類の環構造についての同型対応を構成した。これについて京都大学数理解析研究所での短期共同研究「多重ゼータ値の諸相」で紹介し,その際に,多重ゼータ値の研究でのシャッフル積と調和積の間の関係と対応することが明かとなった。これを受け,多重ゼータ値の理論との関係について研究を開始した。
    また,「21世紀の低次元トポロジー」の参加者とウェブ図のなす代数系の呼称について話し合い,今後はヤコビ(Jacobi)図と呼ぶことで合意した。
    2.幾何的側面について
    ウェブ図と深く関係する量子不変量に対し,「体積予想」と呼ばれる問題がある。これは双曲構造が入る3次元多様体に対し,その体積が量子不変量からある方法で決まるのではないかという予想である。量子不変量には様々な側面があるが,量子6j-記号と呼ばれるものに注目し,体積予想から推察して双曲四面体の体積が量子6j-記号から得られると考え,研究を進めた結果,双曲四面体の体積を表す新たな公式を得た。

  • Representation theory of the quantized enveloping algebras and the quantized enveloping superalgebras

    Project Year :

    1998
    -
    2001
     

     View Summary

    Yamane gave a Serre type theorem for the affine Lie superalgebras G, namely he gave a presentation of G by the Chevalley generators and defining relations satisfied by them. He also gave a similar result for the affine quantised superalgebras U_qG. He alos gave a a presentation of U_qG of type A(M|N)^<(1)> by the Drinfeld generators and defining relations satisfied by them, and defining relations satisfied by them. Dnlike the non-super case, the defining relations are very complicate. However, by comparing the defining relations of G with the ones of U_qG, we can find out the coincidense of the dimensions of the weight sapaces of the Verma modules of G with the ones of U_qG. Let R = C[s^<±1>,t^<±1>] be the two variable Laurent polynomials ring. Let D be the universal central extention of sl(2|2). Then dim D/sl(2|2) = 2., and D(R) = D 【cross product】 R 【symmetry】 Ω_R/dR is the universal central extention of sl(2|2) 【cross product】 R. He gave a presentation of D(R) by the finite Chevalley generators and finite definig relations, and also did the same thing for the D type affine Lie superalgebra D^<(1)> = D 【cross product】 C[t^<±1>] + Cc. It is easy to describe the kernel of the natural map D(R)→ sl(2|2)(R) by using the generators. By the fact, we can also give a presentation of sl(2|2)(R) by the finite Chevalley generators and infinite definig relations.
    Yamane gave a Serre type theorem for the affine Lie superalgebras G, namely he gave a presentation of G by the Chevalley generators and defining relations satisfied by them. He also gave a similar result for the affine quantised superalgebras U_qG. He alos gave a a presentation of U_qG of type A(M|N)^<(1)> by the Drinfeld generators and defining relations satisfied by them. Unlike the non-super case, the defining relations are very complicate. However, by comparing the defining relations of G with the ones of U_qG, we can find out the coincidence of the dimensions of the weight sapaces of the Verma modules of G with the ones of U_qG. Let R = C[s^<±1>,t^<±1>] be the two variable Laurent polynomial ring. Let D be the universal central extension of sl(2|2). Then dim D|sl(2|2) = 2., and D(R) = D 【cross product】 R 【symmetry】 Ω_R/dR is the universal central extension of sl(2|2) 【cross product】 R. He gave a presentation of D(R) by the finite Chevalley generators and finite defining relations, and also did the same thing for the D type affine Lie superalgebra D^<(1)> = D 【cross product】 C[t^<±1>] + Cc. It is easy to describe the kernel of the natural map D(R) → sl(2|2)(R) by using the generators. By the fact, we can also give a presentation of sl(2|2)(R) by the finite Chevalley generators and infinite defining relations.
    Nagatomo has developed the representation theory of vertex operator algebras, and has applied it to problems arising from conformal field theory. One of the important results is the classification of simple modules for the charge conjugation orbifold model, which opened a way to study conformal field theories with central charge more than or equal to one. On the other hand he applied the systematic study for correlation functions to a construction of modular forms and quasi-modular forms, which attracts much attention of those who work on the theory of modular forms.

  • STRUCTURE OF THE MAPPING CLASS GROUP AND GEOMETRY OF THE MODULI SPACE OF RIEMANN SURFACES

    Project Year :

    1998
    -
    2000
     

     View Summary

    We have investigated the structure of the mapping class group of surfaces as well as the geometry of moduli space of Riemann surfaces mainly from the viewpoints of topology. The main results we obtained are as follows.
    (i) The subalgebra of the rational cohomology algebra of the mapping class group of surfaces generated by the Mumford-Morita classes is called the tautological algebra. There have been three approaches to the study of this tautological algebra. The first is based on the twisted Mumford-Morita classes introduced by Kawazumi, the second is in terms of invariants for trivalent graphs and the third is through symplectic representation theory. Summarizing previous results, we found that the above three approaches correspond exactly to each others.
    (ii) The theory of secondary characteristic classes of the mapping class group is still a largely unknown area. However, in this research, we proved that these secondary characteristic classes have deep structures that cannot be detected by the nilpotent completion of the Torelli group. It seems highly likely that the solvable or semi-simple structure of the Torelli group will become more and more important in the future.
    (iii) We made significant progress in understanding the algebro-geometrical as well as the topological structure of families of Riemann surfaces. In particular, we obtained many results concerning the monodromies of symplectic fibrations.

  • Quantum structure of Riemann surfaces and its application to low-climensional topology

    Project Year :

    1998
    -
    2000
     

     View Summary

    The aim of this research is to construct a new unifying method to study low dimensional topology from a view point of the quantum structure of Riemann surfaces. To do this, research was done for two areas. One is geometric aspect and the other is algebraic aspect. It is revealed that the volume of the complement of a hyperbolic knot is given by quantum invariants of the knot. Moreover, there is some indication that the volume of a hyperbolic three-manifold is also given by the quantum invariants of the manifold. These facts suggest that the quantum invariants of knots and three-manifolds include various geometric information, and efficiency of the method to study geometric properties from quantum invariants are pointed out.
    We also study about the finite-type invariants and the web diagrams, which are related to certain expansion of quantum invariants, and get some new properties of them.
    Quantum invariants are closely related to conformal field theory and theory of q-deformation, and some results for these theories are obtained. In the study of vertex operator algebras, the relation between modular forms and the correlation functions in conformal field theory is given. In the study of the theory of q-deformation, modular representations of finite groups are studied. The heart (quotient of the radical by the socle) of projective indecomposable modules are investigated, and the case that the heart is not indecomposable is determined. Moreover, q-deformation of a Frobenius-Schur character of complex reflection groups is defined and computed actually for the symmetric groups and imprimitive complex reflection groups.

  • 結び目の解消トンネルと双曲構造

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1998
    -
    2000
     

     View Summary

    (1)錐角π以上の錐多様体の研究.
    Jorgensenの方法を用いることにより(代表的なGenus 1,1-bridge knotである)(-2,3,7)型Pretzel結び目補空間を底空間にもち,その解消トンネルを錐軸とする双曲的コーン多様体の連続族を錐角が0から2πの範囲で具体的に構成した.錐角がπ以下の錐多様体については,都合の良い様々な性質が成立することが証明されており,それらを用いることによりThurstonの軌道体幾何化定理が証明されていた.しかしながら錐角がπ以上となった時にどのような現象が起こるのかまだ殆ど何もわかっていない状況であるので,この具体例を手掛かりに錐角π以上の錐多様体に対する一般論を展開するのが今後の課題である.
    (2)3次元多様体上の向き保存周期写像の手術表示.
    向き保存周期写像fを持つ任意の有向閉3次元多様体Mは周期的絡み目Lのデーン手術により構成され,しかも周期写像fはLの周期性を与える周期写像が自然に誘導するものと共役であることを証明した.これは,任意の有向閉3次元多様体は3次元球面内の絡み輪のデーン手術により得られると言うWallaceとLickorishによる古典的結果の同変版といえる.この結果の応用として9交点以下の双曲的2成分絡み目補空間の全ての等長写像を"視覚化" した.

  • Topological Field Theory and Related Geometry

    Project Year :

    1997
    -
    1999
     

     View Summary

    We have made the following progress in conformal field theory, field theory, finite type topological invariants, moduli space of surfaces and the theory of period integrals. J. Murakami constructed a universal finite type invariant for 3-manifold in collaboration with T. Ohtsuki and others. Moreover, we discovered a relationship between such finite type invariants and the cohomology of the loop spaces of configuration spaces (T. Kohno). S. Morita investigated the geometry of the moduli space of compact Riemann surfaces as well as the structure of the mapping class group of surfaces mainly from the point of view of topology and established important results on the Torelli group. Y. Shimizu found an explecit description of the projectively flat connection for the conformal fieldtheory of Riemann surfaces of higher genera. The theory of elliptic root system due to K. Saito shead new lights on the study of primitive integrals in relation with topological field theory.

  • Heegaand spliffings and hyperbolic structures of 3-manifolds

    Project Year :

    1997
    -
    1999
     

     View Summary

    The study of Heegaard splittings of 3-manifolds has been one of the most important themes in 3-manifold theory, and we already have deep understanding of the Heegaard splittings of "non-hyperbolike" 3-manifolds. However, our understanding of those of hyperbolic manifolds is far from satisfaction. In particular, as far as we know, no relationship between the hyperbolic structures and the Heegaard splittigs had been known.
    In this project we have proved that the hyperbolic structure of a 2-bridge knot complement is intimately related with its bridge structure, which is a kind of Heegaard splitting. In fact, we have given a concrete construction of the hyperbolic structure of a 2-bridge knot complement by using the 2-bridge structure. To be more precise, we have constructed a continuous family of hyperbolic cone-manifold structures on a 2-bridge knot complement which have singularities along the upper and lower tunnels, where the cone angle varies from 0 to 2π. The cone-manifold structure with cone angle 0 corresponds to a rational boundary group of the quasi-Fuchsian once-punctured torus space and that with cone angle 2π gives the hyperbolic structure of the 2-bridge knot complement. To establish this result, we have given an explicit formulation and a full proof to (a part of) the theory announced by Jorgensen on the quasi-Fuchsian once-punctured torus groups, and generalized the theory to that for the groups outside the quasi-Fuchsian once-punctured space. The computer program "OPTI" developed by Masaaki Wada for this project visualizes Jorgensen's theory and its generalization, and it has been an indispensable tool not only for this project but also for the study of Teichmuller spaces. We hope the result we have obtained in this project is the beginning of the study of the relationship between the hyperbolic structures and the Heegaard splittings of 3-manifolds.

  • Rational Curves on Algebraic Varieties

    Project Year :

    1997
    -
    1999
     

     View Summary

    1. The head investigator, Masayoshi Miyanishi, investigated jointly with Kayo Masuda, an automorphism of infinite order of the affine space such that the automorpism fixes pointwise a subvariety and that the codimension of the subvariety is small. As a by-product, they obtained an algebro-geometric characterization of the affine 3-space in terms of GィイD2mィエD2-actions. The head investigator also worked out, jointly with R.V.Gurjar of the Tata Institute, a generalization of the Jacobian Conjecture to the Q-homology planes and proved that the conjecture holds true if the logarihmic Kodaira dimension is l and in the most cases if the logarithmic Kodaira dimension is 0 or -∞. A major work of the head investigator during this period of research under the above title is to have written down a book on open algebraic surfaces which is to be published from the American Mathematical Society.
    2. Takayuki Hibi investigate finite graphs via the algebras associated to such graphs and the ideals of the algebras. Study of the Betti numbers of the algebras associated to various simplical complexes provides us with abundant imformations and has become an effective tool which combines combinatorics, commutative algebras and algebraic geometry.
    3. Akira Fujiki obtained interesting results via an investigation of algebraic reduction of the twistor spaces on Hopf surfaces. Twistor space is a notion which is close to projective space bundle and expected to clarify differences between algebraic varieties and complex manifolds.
    4. Yoshinori Namikawa investigated Calabi-Yau manifolds via deformation theory. He also reconstructed flops via deformation theory which appear in the study of birational mappings of higher dimensional algebraic varieties.
    5. Jun Murakami constructed a new invariant for three-dimensional manifolds which is based on the Kontsevich invariant for the knots and studied its properties. He constructed a topological quantum theory by making use of this invariant, and a family of mapping groups of surfaces as its application.
    6. Koji Yanagawa made a joint research with E.Ballico on h-vectors of the Poincare series which are defined by Cohen-Macaulay domains over a field of characteristic ρ.

  • Learning Baysian Networks based on the MDL principle

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

     View Summary

    In this study, the computational issue in the problem of learning Bayesian belief networks (BBNs) based on the minimum description length (MDL) principle is addressed.Based on an asymptotic formula of description length, we apply the branch and bound technique to finding true network structures.The resulting algorithm searches considerably saves the computation yet successfully searches the network structure with the minimum value of the formula.Thus far, there has been no search algorithm that finds the optimal solution for examples of practical size and a set of network structures in the sense of the maximum posterior probability, and heuristic searches such as K2 and K3 trap in local optima due to the greedy nature even when the sample size is large.The proposed algorithm, since it minimizes the description length, eventually selects the true network structure as the sample size goes to infinity.

  • Completely integrable systema and representation theory of infinite dimen-sional algebras

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

     View Summary

    In a collaboration with Professor S.S.Roan of Academia Sinica (Taipei), the head investigator of this research project has determined the structure of quotient of the Onsager algebra by ideals of it in the case when the quotients do not have central elements. This almost determines the structure of quotients of the Onsager algebra. In particular the case not determined in the previous researches are fixed by finding a relation with the project of classifying nilpotent Lie algebras by classifying the ideals in the nilpotent part of Kac-Moody Lie algebras. To find such relationship computer algebra system on a workstation was very helpful and indispensable, especially in computing examples. The Onsager algebra can be viewed as a Lie algebra deformation of the nilpotent part of the affine Lie algebra A^<(1)>_1. If we identify A^<(1)>_1 with a central extension of the current algebra, the Onsager algebra is a fixed point set of an involution. By using this presentation we can study the structures of ideals of the Onsager algebra. In order to fix the remining case, we used the principal (twisted) realization of A^<(1)>_1. We think that this kind of principal realization will play some important role in the study of deformation of nilpotent parts of other affine Lie algebras in connection with conformal field theory. We are preparing manuscript on this result. Other investigators in this research project have obtained new results in the study of spectrum of one dimensional Schrodinger operator with a random potential, an identity involving Schur functions, positive solutions of sernilinear elliptic partial differential equations, classification of irreducible representations of vertex operator algebras related with free fermions, relationship of L operators in quantum inverse scattering method and Drinfeld's genarators in affine quantum enveloping algebras and other areas.

  • 表現論における新手法の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

     View Summary

    コンツェビッチは,量子不変量や有限型不変量を含む結び目のコンツェピッチ不変量を構成するにあたり,ファインマン図にいくつかの数学的条件を課したウェブ図を用いた。さらに,コンツェビッチ不変量は,Le,大槻,村上により3次元多様体の普遍摂動不変量に拡張された。さらに,境界付きの3次元多様体の普遍摂動不変量から,曲面の写像類群の,ウェブ図の空間への表現(ウェブ表現)が得られる。曲面は物理の弦理論でも中心的な研究対象であり,ウェブ図は,写像類群の表現ばかりでなく,数理物理で用いられる様々な無限次元の代数の表現論とも関連することが期待され,この研究を行った。
    まず,写像類群のウェブ表現について研究した。ウェブ図とは,ある種のグラフであり,グラフとしての様々な不変量がある。研究の結果,これらの不変量のうち,2種類の不変量(頂点の数及びオイラー数)が写像類群の性質に反映されることがわかった。頂点の数に対応する写像類群の性質はすでに知られているが,オイラー数がこれまでの研究の何に対応するものかはまだ明らでない。しかし,写像類群は,複雑で豊かな構造を持つことが知られており,このオイラー数に対応する不変量は,写像類群の性質を記述する新たなパラメータとなるのである。
    さらに,写像類群と曲面論との関係から,ウェブ図のオイラー数に対応する不変量は,曲面の変型全体を考えあわせた空間(モジュラー空間)の構造をあらわす新たなパラメ一夕であることが期待され,また,共形場理論にも関連があるはずなのだが,これらのことに関してはこれからの課題として残された。

  • Experimental Method of Mathematics

    Project Year :

    1996
    -
    1997
     

     View Summary

    We worked, by usisng softwares for the computer algebra, manily in the fields of arithmetics, algebraic geometry, automorphic functions, Riemann surfaces and cryptosystems and gots many interesting results, some of them are as follows :
    1. Algebraic Number Thoery : (1) Computation of classnumbers and fundamental units of number fields. (2) Relations between certain residule class groups of real quadratic fields and class groups of imaginary quadratic fields. (3) Numerical computations of Kronecker's limit-formula of real quadratic fields. (4) Group structures of the unit groups of Dihedral extensions over the rational number field.
    2. Arithmetics in elliptic curves defined over the rational field : (1) Existence of the canonical parameters and canonical power series solutions, (2) Uniformizaton of elliptic curves by automorphic functions. (3) Algorithmic Computation of canonical power series and the global zeta-function over the ring of rational integers. (4) Existence of canonical arithmetic-structures in elliptic curves.
    3. Application of 3D-graphical representation of complex functions : (1) Represatations of Riemann surfaces by Complex Plot commands. (2) Investigating periodical properties of complex functions given by power series. (3) Automorphic properties of canonical power seires of elliptic curves.

  • 有限半順序集合の組合せ論における代数的基礎理論の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    Project Year :

    1996
     
     
     

     View Summary

    当該研究においては,有限半順序集合の組合せ論に現代代数学の抽象論を多角的に応用する際の,基礎となる理論を構築することを目的とし,有限半順序集合の理論において,伝統的かつ主流な話題である(1)鎖の数え上げ理論および(2)比較可能グラフの離散構造を,抽象代数の現代的理論を武器として探究した.当該研究の顕著な成果は,「階数d-1の有限モジュラー束が階数3の原子部分束を含むとき,その比較可能グラフはd-連結である」を証明したことである.我々の証明を遂行する際の鍵は,(あ)単体的複体のホモロジー論を経由することで,有限半順序集合の比較可能グラフがd-連結であるか否かは,付随するStanley-Reisner環の次数付ベッチ数列の最後の項の情報で判定できるという事実とともに,(い)有限モジュラー束Lに付随するStanley-Reisner環のベッチ数列の最後の項は,Lのメビウス函数を使って表示することが可能であるという点である.その他,当該研究では,トーリック多様体の幾何における周知の事実を巧妙に使って,比較的単純な組合せ論的構造を有する有限分配束のh-列が単峰数列であることを示した.現代代数学の昨今の動向から判断すると,鎖の数え上げ理論,あるいは比較可能グラフの研究等に抽象代数の現代的理論が有効であることに疑問の余地はないものの,研究を推進させるための基本的な骨格が整備されているとは言い難かった.当該研究では,多項式環のイデアル論における最近の成果を踏まえ,代数的な視点から有限半順序集合の概念を捕え,古典的な組合せ論では到底得られなかった著しい結果に到達し,将来に展望を齎す一歩を得た.

  • 頂点作用素代数の数理物理学への応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    Project Year :

    1996
     
     
     

     View Summary

    頂点代数の最も基本的な例である自由ボゾン場のなす頂点代数の共形ベクトルの分類を実行した.頂点代数と共形ベクトルの対は一つの共形場理論を与えるので,自由ボゾン場に由来する共形場理論の分類が実現されたことになる.また,この研究の過程で一般の頂点代数を定義する公理系に関する新しい視点が開かれた.(永友,佐竹,和久井)
    共形ベクトルの分類はより基本的な対象であるハイセンベルグベクトルを分類することにより実行されたが,そこでの主要な方法はWickの定理である.Wickの定理を複雑に利用することによりHeisenbergベクトルの分類が可能になった.Heisenbergベクトルの決定は,そのほかにも自由ボゾン頂点代数の自己同型群の決定を可能にした.実際,この分類結果を用いて自己同型群が完全に決定される.(永友,宇野)
    また,頂点作用素代数は共形場理論を通して低次元多様体の位相不変量と関連しており,有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKontsevich不変量を用いて,3次元多様体の不変量を構成し,その性質を研究し,また,この不変量に対し,位相的場の量子論を構成するとともに,その応用として,曲面の写像類群の族を構成した.(村上,山根)

  • ファインマン図を用いた幾何や数理物理の新しい手法とその応用

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(萌芽的研究)

    Project Year :

    1996
     
     
     

     View Summary

    ジョーンズ多項式などの量子不変量と,バシリフによって提唱された有限型の不変量両方に対して普遍的な結び目のコンツェビッチ不変量についての研究をおこなった。コンツェピッチ不変量は,反復積分を用いて定義されるが,この積分の値はゼータ関数やその一般化を用いて書き表せ,このことから,結び目不変量の値が,ゼータ関数などの値と関係することが明らかとなった。
    さらに,コンツェビッチ不変量を用いて,3次元多様体の摂動的不変量を構成し,その性質を研究した。特に,ウィッテンによって提唱された3次元多様体の量子不変量との関係や,大槻によって提唱された3次元多様体の有限型不変量との関係を調べた。その結果,ここで構成された摂動的不変量は,もっとも簡単な部分がホモロジー群の位数を表し,次に簡単な部分が,キャッソン不変量を表していることがわかった。このことより,摂動的不変量は,キャッソン不変量を一般化したような多くの不変量を記述すると期待されている。
    また,コンツェビッチ不変量と,ここで構成した3次元多様体の摂動的不変量とを用いて,3次元多様体中の結び目に対する摂動的不変量を構成した。さらに,これを一般の境界つきの3次元多様体の摂動的不変量に拡張し,位相的場の量子論を構成した。位相的場の量子論において,境界にその曲面の写像類群を作用させると,写像類群の表現が得られるので,この手法を摂動的不変量に適用することにより,曲面の写像類群の表現の族を構成した。

  • Geometric Study of Algebraic Systems

    Project Year :

    1995
    -
    1996
     

     View Summary

    1.The head investigator, Masayoshi Miyanishi, gave new proofs to the Abhyankar-Moh Theorem and the Lin-Zaidenberg Theorem which are based on the classification theory of open algebraic surfaces. He considered the embeddings of affine curves with one-place points at infinity into the affine plane and classified such embeddings of possibly minimal degree when the genus is low. He, furthermore, simplified a proof in P.Roberts' counterexample to the fourteenth problem of Hilbert.
    2.Akira Fujiki found a natural partial compactification of hyper kahler manifolds as quaternionic manifolds which are obtained as hyper Kahler quotinet spaces of certain kinds. He also investigated the variation via moment maps of Kahler quotient spaces by making use of equivariant cohomology groups.
    3.Sanpei Usui proved that one can recover vanishing cycles by using log geometry. As applications of this result, he clarified the Z-structure of the variation of Hodge structures and the description of monodromies.
    4.Jun Murakami constructed a new invariant for three-dimensional manifolds which is based on the Kontsevich invariant for the knots and studied its properties. He constructed a topological quantum theory by making use of this invariant, and a family of mapping groups of surfaces as its application.
    5.Kazuhiro Konno defined a new index for surfaces with non-hyperelliptic pencils and found some general method to investigate the lower bound of the slopes of surfaces. He also an index, called the Horikawa index, for degenerate fibers.
    6.Hiroyuki Yamane obtained a new technique to calculate the index of the BMW algebras which are defined in a paper of Rham.

  • 結び目や3次元多様体の表現論的な手法を用いた分類

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    Project Year :

    1995
     
     
     

     View Summary

    まず、Thang T.Q.Le氏とともに、結び目やタングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量について研究した。そして、タングルのある紐を平行化したときの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量を求めるための公式を導いた。また、タングルの普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量が“グループライク"という性質を持つことを示した。
    次に、大槻知忠氏、Thang T.Q.Le氏、及び村上斉氏とともに、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量の3次元多様体の不変量への一般化を試みた。先に求めた平行化の公式をもちい、普通ジシリフ・コンツェビッチ不変量で使われているコード図の空間をさらにある3項関係式で割って、さらに適当に正規化したものが、カ-ビ-変形で不変となることが、さきにもとめた平行化の公式などからわかる。従ってこれが3次元多様体の不変量となる。この不変量は2次元線型空間に値をとり、3次元多様体の1次のホモロジー群の位数と、キャッソン・ウォーカ-不変量とで張られる。
    さらに、さきの3項関係式を一般化することを試み、3次元多様体の不変量の族を構成することができ、普遍バシリフ・コンツェビッチ不変量がグループライクであることを用いてこの族を統一的に記述することができた。これを3次元多様体の普遍量子不変量と呼ぶ。Le氏により、普遍量子不変量は大槻-ガルファリディスの意味での有限型の不変量をすべて具体的に実現するものであることが示された。さらに、普遍量子不変量は、量子不変量の漸近展開の様子を統一的に記述していると期待されており、また、境界付きの3次元多様体の不変量に拡張することにより、量子不変量に関連した位相的場の理論を統一的に記述するものと期待されるが、これらは、今後の研究課題である。

  • 単項式イデアルの極小自由分解の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1995
     
     
     

     View Summary

    多項式環AのイデアルIがあったとき,剰余環A/Iの有限自由分解にはIの代数的情報のすべてが含まれている.従って,A/Iの有限自由分解の構造を解析することは,可換環論における究極的な課題である.我々は,計算代数および組合せ論との相互関係から,square-freeな単項式が生成するイデアルに着目し,その有限自由分解の基礎理論を多角的に築くことを目的とした研究を進展させ,次のような研究成果を得た.第1に,凸多面体の上限定理に現れる巡回凸多面体の境界複体に付随するイデアルを考察し,その極小自由分解のベッチ数列を計算可能な式で表示した.第2に,単体的複体Δに付随するイデアルI_Δの極小自由分解が純,あるいは線型となる類の組合せ論的な特徴付けを探究し,I_Δの極小自由分解が純となる旗複体Δを分類した.第3に,整数d,q,eで1≦q-1≦e≦dを満たすものが任意に与えられたとき、square-freeな単項式が生成するイデアルIで,剰余環A/Iの次元がd,深さがe,更に,A/Iの極小自由分解がq-線型となるものを構成せよ,という懸案の問題を研究する過程において,square-freeなlexsegmentイデアル,およびsquare-free安定イデアルの概念に到達し,square-free安定イデアルの極小自由分解を具体的に構成することに成功するとともに,所期の問題についての明快な解答を得た.第4に,有限半順序集合の比較可能なグラフの連結度に関する研究に,有限自由分解の構造理論、特に,Cohen-Macaulay型の計算公式が極めて有益であることを発見し,階数d-1のモジュラー束Lが階数3の原子的閉区間を含むならば,Lの比較可能グラフの連結度は,少なくともdであることを証明した.第5に,計算代数におけるグレブナ-基底の理論を,外積代数で展開することで、極値集合論の古典理論におけるKruskal-Katonaの定理の一般化となるベッチ数列についての不等式を導くことに成功した.

  • Arithmetics on Jacobian Varieties

    Project Year :

    1994
    -
    1995
     

     View Summary

    1. Classification of Jacobian varieties of hyperelliptic curves defined over finite fields : We tried to (1) classify hyperelliptic cureves of genus g defined overfinite field of order q then (2) classify Jacobian varieties of curves classifyed by (1) in specific cases. In case q = 3,5 all hyperelliptic curves of genus 2 are classified and get isogeny classes by computing congruence zeta fanction of each curve. Then we determied the endmorphism rings of each Jacobians.
    2. Construction of abelian varieties of with a rational point of large order : (1) Orders of specific points on Jacobian varieties of hperelliptic curves can be given by the periods of continued fractional expansion of corrsponding functions on the curves. (2) We found a series of hyperelliptic curves of geneus 2 over the rationalfield, whose Jacobian varieties have a point of order 23.
    3. Computation of Galois groups of the n-division fields of abelian varieties : For the Jacobian varieties of hyperelliptic curves of gunus 2,2 and 3-division equations are determied by computational-procession.
    4. Construction of algebraic curves with many ration points : We got some series of algebraic curves over funcion fields with many rational points, by using the n-division equation of Jacobian varieties.

  • ブレイド群の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1994
     
     
     

     View Summary

    結び目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量と呼ばれる様々な不変量を含む不変量を3次元多様体の不変量に拡張した。3次元多様体の不変量を構成する一つの方法は、枠付きの絡み目の不変量から、カ-ビーム-ブと呼ばれる変形で不変なものを取り出すことである。我々はこの方法を普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量に対して適用した。そのために、まず、もともと結び目に対して定義されていた普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量を、枠付きの絡み目の不変量に拡張した。また、タングルに対しても拡張し、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の、組合せ論的構成法を与えた。この構成法を用いることにより、複雑な積分を計算することなく、代数的に普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が計算できるようになった。さらに、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量とカ-ビーム-ブとの関係を調べるため、普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量が、結び目などの紐の平行化に対してどうなるかを調べた。その結果普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量がカ-ビーム-ブについて大変よい性質を持つことがわかった。枠付き絡み目の普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量から、カ-ビーム-ブで不変なものを取り出したものが3次元多様体の不変量であるわけだが、このことを普遍バシリエフ・コンツェビッチ不変量の値の空間での性質に言い換えることができ、3次元多様体の不変量の構成法がわかった。この不変量は、ジョーンズ・ビッテン不変量を含むと共に、ホモロジー群の位数や、キャッソンの不変量を含むなど、大変普遍的な性質を持つ3次元多様体の不変量である。

  • Fixed point theorems and cobordism

    Project Year :

    1993
    -
    1994
     

     View Summary

    Kawakubo constructed G-manifolds which are G-s-cobordant, but are not G-homeomorphic for arbitrary compact Lie groups G.Nagasaki computed the structure of the LH groups which are introduced for the purpose of investigating the linearity of homotopy representations of finite groups. As an application, he determined the set of finite groups whose homotopy representations are always linear. Murakami constructed a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable Alexander polynomial. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained. He also determined the structure of the centralizer algebra of the mixed tensor representations of the quantum group U_q (gl (n, c) ). This algebra can be considered as a generalization of the Iwahori Hecke algebra of type A.Using this algebra, he generalized the Yamada polynomial, which is an invariant of embeddings of a spatial graph in S^3. He also investigated representations of the category of tangles using Kontsevich's iterated integral, and succeeded in giving a combinatorial description of Kontsevich's integrals of knots, links and tangles.

  • Representations of Groups, Lie Algebras, and Algebras

    Project Year :

    1992
    -
    1993
     

     View Summary

    Nagatomo constructed infinitely many rational solutions of the Ernst equation in general relativity. Murakami constructed a vertex type state model in Turaev's sense for the multi-variable Alexander polynomial. By using this model, a new set of axioms for the multi-variable Alexander polynomial is obtained. Murakami also determined the structure of the centralizer algebra of the mixed tensor representations of the quantum group U_q(gl(n, c)). This algebra can be considered as a generalization of the lwahori Hecke algebra of type A.Using this algebra, Murakami generalized the Yamada polynomial, which is an invariant of embeddings of a spatial graph in S^3. Murakami also investigated representations of the category of tangles using Kontsevich's interated integral, and succeeded in giving a combinatorial description of Kontsevich's integrals of knots, links and tangles. Satake investigated the simple elliptic singularity of type E6^^^, and constructed explicitly the flat theta invariants in the sense of K.Saito. Yamane constructed a new quasi-triangular Hopf algebra by quantizing the enveloping algebras of simple Lie superalgebras. He defined this Hopt algebra by generators and relations similarly as Drinfeld and Jimbo did for simple Lie algebras. His main contribution is the descovery of new kinds of defining relations which have no connterpart in the case of simple Lie algebras. Even for the enveloping algebras of simple Lie superalgebra, these relations were not known in this precise form. Yamane's results will have applications in mathematical physics and low dimensional topology. For example, he gave a formula for the universal R-matrix of his quasi-triangular Hopt algebra, and using this formula he found a representation theoretic interpretation for the R-matrix of Perk and Schultz.

  • 環境の動的構造を学習する神経回路網の研究

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    Project Year :

    1991
     
     
     

     View Summary

    環境構年として有限オ-トマン構造を設定し、それを神経系がどのように学習するかを研究することが当研究課題の目的であった。本年度の研究の早い段階で本課題の目的そのものに関わる根本的な点に問題があることが明確になった。以下この問題点の説明と、これまで得られた知見の概略を報告する。
    1.その問題点は「オ-トマン構造を神経系が知っている」ということの意味についてである。当初「オ-トマトンの相空間が神経系内に表現され、オ-トマンの遷移規則が神経系の状態遷移規則として実現されている」ことがその意味であるとしていた。しかしこれは次の点で不十分であり不適切でもあることが明らかになった:(1)神経系が、複雑な環境の状態をすべて内部に表現することは不可能である。(2)しかし神経等は自分に価値のある側面だけを学べば良い。(3)行動生成の際にリアルタイムな内的シミュレ-ションを可能にするような様式で、環境オ-トマトンについての知識が実現されていなければならない。(4)現実の神経系では明確には区別出来ない「状態と状態遷移」と峻別する問題設定は好ましくない。
    2.これまでの研究で得た部分的な知見を以下述べる。(1)(1.4に関して)分散システムの理論で用いられているシステムの概念が、神経系のように隠れた変数を多く持つ系の定式化として適していられる。これにより「知識」のある側面を明確に取り扱えるようになる。(2)(1.2、1.3に関して)環境の事象の「メタレベル表現」の導入により環境と接触中にも内的シミュレ-ションが可能になり、「メタレベルの評価系」と組み合わせることにより、妥当な行動生成をリアルタイムに行い、より適切な行動を同時に学んでいくモデルを考えることができる。しかもメタレベルの表現の導入は、環境構造について「オフライン」で学ぶことを可能とする。

  • 動的パタ-ンの神経回路網による認識と学習の機構

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(重点領域研究)

    Project Year :

    1990
     
     
     

     View Summary

    本研究では、当初「動的パタ-ンを学習する・認識する」とはどういうことかを明確にすることに重点を置いたが、その過程で、環境自身の動的構造をも考慮する必要性を認識し、次のような数学的に簡明な定式化を設定した:神経系をオ-トマトン(別名、入力を持つ力学系)として、環境は離散力学系として、環境からの影響は環境の状態空間から神経系の入力信号空間への写像とする。この定式化の下では、入力信号列の動的パタ-ンを「学習する」とは、入力信号列を予測するのに必要な範囲で環境の発展法則を知ることとしてとらえられる。これを可能にするのは環境と神経系とが成す力学系のアトラクタである、ということがポイントである。また、入力信号列の動的パタ-ンを「認識する」とは、それ以降の入力信号を予測出来るようになることとしてとらえられる。従って、認識過程はアトラクタへ入るまでの過渡的な状態として力学的に把握出来る
    この定式化に基づいて簡単なシミュレ-ションを行ったところ、環境の状態が神経系の状態を決めるとは限らない(自律性の存在)・環境が特定の状態にある時だけ神経系は次の入力を予測出来る場合がある・環境の発展法則については正確に知っていても環境の状態を特定出来ない事もある、等々が観察された。
    環境は神経系からの働きかけで変化する。神経系が学習しなければならない事は、神経系の働きかけに対して環境はどのように応対するかということにある。今後は上述の定式化を一般化して環境も神経系と同様にオ-トマトンとして定式化し、オ-トマンとしての環境の構造について持つ神経系の「知識」をどの様にとらえたらよいかをまず考察したい。また、「評価系」・出力信号列の生成(行動計画)をどのように理解したら良いか、等の基本的かつ困難な問題を考察して行きたい。

  • 同変Sーコボルディズム理論と誘導定理

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1990
     
     
     

     View Summary

    ホワイトヘッド群Wh(G)に対して誘導準同型を導入し,これに関してドレス型の誘導定理を得た。また幾何学的にもこの準同型に対応するものを導入し,両者の関係を明らかにした(川久保による成果)。続いて有限群の既約表現について古くから知られているフロベニウス・シュア-の不変量を一般化し,重複自由な置換表現への応用を与えた(川中により成果)。またコンパクトゲ-ラ-アインシュタイン多様体で,正のリッチ曲率をもつものについて,現在までに知られている結果を要約し二木不変量,板東,満渕による一意性定理,小磯,坂根によるケ-ラ-アインシュタイン多様体の例などについて解釈を与えた(坂根による成果)。そしてブラウア-の中心化環やそのgーanalogeと呼ばれる代数の既約表現を具体的に決定すると共に,これらとKauffman多項式と呼ばれる結び目の不変量との関係を明らかにした。さらに3次元空間へのグラフの埋め込みに関する不変量を組み紐群の表現論から構成する方法を与えた。そして絡み目の多変数Alexander多項式を定義するに十分な絡み目の射影図に関する局所的な関係式を与えた(村上順による成果)。また結び目Kに関しては,Kの二つの結ばれていないトンネルt_1,t_2が与えられた時,それらがイソトピックかどうかをKの非圧縮なザイフェルト曲面を用いて判定する方法を与え,その応用として3_L4_Lと異なる非自明な2橋結び目に対して,新しい(今までに知られていない)アンノットなトンネルを見つけた(小林による成果)。また谷口は動枠法の考え方を基に複素空間形のケ-ラ-部分多様体の合同類とほぼ同値なS_Cー構造を導入し、これを用いて,複素空間形のケ-ラ-部分多様体が筆質になるための条件を求めた。そして山根は非可換・非余可換なホップ代数U_g(F)の多変数化U_<g,θ>(F)を定義し,FがアフィンA型のとき,R_gの拡張となっているYangーBaxter方程式の解を得た。

  • 楕円曲線の整数論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1990
     
     
     

     View Summary

    1.虚数乗法を持つ楕円曲線の不変量を与える類方程式を数式処理システムにより計算した.その結果より、有理数体上に定義された虚数乗法を持たない楕円曲線についてその等分点の体のガロワ群におけるフロベニウス自己同型写像を決定するアルゴリズムが見つかった.特に、素点が完全分解するための必要十分条件が得られた.この結果は山本により整数論シンポジウムで発表された.
    2.3.特定の形をした楕円曲線でその有理点群の階数が4より大きいものが無数に存在することがわかった.また、有理点群の階数と二次体のイデアル類群の3ー部分群の階数との関係についていくつかの事実が得られた.この結果より、二次体の理論を用いて、階数の十分大きな楕円曲線の構成の可能性が見えてきた.この方向で、今後数式処理を用いて具体的に計算を実行ことにより適当な例を構成したい.
    4.二次体Q(√<-3>),Q(√<-1>)の整環を虚数乗法に持つ楕円曲線については、階数はかなり評価することができる.それとBirchーSwinnerton Dyerの予想を組み合わせることによりゼ-タ関数のs=1におけるべき級数展開の最初の項の係数の近似値は計算できたがその値の整数論的性質がわかる程精密な数値計算はできなかった.今後この計算に数式処理的方法を取り入れることを考えたい.
    5.種数2の代数曲線のヤコビ多様体として得られる2次元のア-ベル多様体についていくつかの実験ができた.特に自己準同型環についてはゼ-タ関数の零点を用いてほぼ完全に予想できる.そのことから、等分点の体のガロワ群がわかる.
    6.上記の多くの場合に数式処理が使えた.特に数式処理的手法の有効性が実証された.

  • ヘッケ環の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1989
     
     
     

     View Summary

    1.有限体上の一般線型群とそのシムプレクティック部分群とから決まるヘック環の既約表現の完全な記述を与えた。
    2.有限群の指標のフロベニウス・シュア-不変量を対合的同型を持つ有限群の場合へ一般化し、可換または、ほとんど可換なヘッケ環の表現論への応用を与えた。特に有限古典群とその部分体部分群から決まるヘッケ環について、既約表現の分類を得た。またそれらの表現次数も求めた。
    3.古典型リ-環の自然表現に対応する頂点型および面型の可解格子模型に対して、それらのRー行列の生成する多元環の構造を調べ、それらが古典型リ-環の自然表現に対応する中心化多元環のgー変形になることを示した。
    4.群環のアウスランダ-・ライテン列のヴァ-テックスが、その列に現れる直既約可群のヴァ-テックスの中で最大のものに一致することを示した。
    5.ある種の性質を持つ半線型Gー球面で生成されるホモトピ-表現群の部分群と線型Gー球面から生成される部分群とは、同型な群であるが、一般には異なる部分群となることを示した。
    6.コンパクトで正の次元を持つリ-群G、または位数2か3の巡回群を持つ有限群Gに対して、一般には、Gーsコボルディズム定理は成立せず反例が存在することを示した。
    以上の研究を遂行するにあたり、補助金で購入した文献は、非常に役に立った。また研究集会で他大学の研究者と交流したことも大変参考になった。今後の展望としては、現在進行中のヘッケ環のモジュラ-表現の理論が多元環の分解不能表現の良い例を与えていること、2.の方法がコンパクトなP進群にも適用できそうであることの2点をつけ加える。

  • 有限群と代数群の表現論

    科学研究費助成事業(大阪大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1987
    -
    1988
     

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    1.次数づけられた半単純リー環の斉次なべき零軌道を, 重みのついた, ディンキン図形を用いて分類する方法を見出した. これにより, べき零元の中心化群の詳しい構造なども, 対応するディンキン図形から比較的容易に計算できるようになった.
    2.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現を研究し, 有限体上の半単純代数群の指標の理論に応用した. 特に, 例外型の単純群のべき単指標の値を計算した.
    3.一般化されたゲルファンド・グラエフ表現は, 局所体上の半単純代数群に対しても定義できる. 有限体の場合に得られた結果を分析することにより, 局所体上の場合に得られることが期待される結果についての予想を発表した.
    4.ヘッケ環やそれに類似の環の表現論を研究し, 結び目・絡み目の理論に応用した. 特にカオフマン多項式の表現論的意味を明らかにし, 多項式不変量の平行化の組織的研究を行った.
    5.ブラウアーの中心化多元環のqー類似を構成し, その表現論を展開した.

  • Heegaad splittings of 3-dimensional manifolds and geometric structures

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    (1)Fundamental groups and branched coverings. M.Namba gave with H.Tsuchihashi a method for concrete computations of fundamental groups of the compliments of curves in the complex projective plane and finite branched Galois coverings branching along the curves, and gave a new example of Zariski pair using the method.(2)Generaliztion of Epsein-Penner decomposition. H.Akiyoshi and M.Sakuma gave a generalization of the Epstein-Penner decompositions of cusped hyperbol manifolds of finite volume to those of infinite volume, and studied relation with the convex cores. They collaborated with M.Wada and Y.Yamashita and gave partial answer and experimental evidences to their conjecture that the pleating loci would determine the generalized Epstein-Pener decompositions for punctured torus groups.(3)H.Akiyoshi, M.Miyachi and M.Sakuma have established a variation of McShane's identity for punctued surface bundles over a circle, which expresses the modulus of cusptori in terms of the complex translation lengths of essential simple loops of the fiber surfaces.(4)Drawing the 3D slices of the quasifuchsian punctured torus space. M.Wada and Y.Yamashita developed a software to draw (real) 3-dimensional slices of the quasifuchsian punctured torus spac

  • De Rham Theory of Loop Spaces and Quantum Topological Invariants

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    We investigated the algebraic structure of the homology of the loop spaces of configuration spaces and clarified its relation to finite type topological invariants for braids. Especially, we studied the homology of the loop spaces of configuration spaces and finite type topological invariants. We focused on the homology of the loop spaces of orbit configuration spaces associated with the action of Fuchsian groups on the complex upper half plane. We showed that the total homology of such loop space is isomorphic to the algebra of horizontal chord diagrams on the quotient surface. We introduced a structure of a Poisson algebra for the homology of the iterated loop space of the orbit configuration space based on the Browder operation.We gave a complete description of the space of conformal blocks for the conformal field theory on the Riemann sphere in terms of hypergeometric integrals. In particular, we clarified the integration cycles as the regularizable cycles in the homology of locally finite chains with coefficients in a certain local system defined over the complement a disrciminantal arrangement.Morita investigated the structure of various moduli spaces as well as their associated modular groups, such as the moduli space of Riemann surface -mapping class groups and the moduli space of graphs -outer automorphism group of free groups. Murakami gave a new point of view on a conjecture concerning the asymptotics of the Jones invariants for knots, the hyperbolic volume of the knot complement, and the geometric structure of 3-manifolds

  • Topology related to invariants of knots and 3-manifolds

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    By the support of the grant-in-aid I organized the workshop and seminars "Invariants of Knots and 3-Manifolds" at the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), Kyoto University in September 2001, as activities of the 2001 RIMS research project "Low-Dimensional Topology in the Twenty-First Century". We had 70 domestic participants and 26 foreign participants.Historically speaking, this research area is a relatively new area based on the enormous number of invariants, called quantum invariants, of knots and 3-manifolds, which have been derived from the Chern-Simons field theory in the 1980s. I think the topological reconstruction of these invariants has almost been completed by various works of these decades.An aim of the workshop and seminars was to discuss future directions for this area.To discuss these matters fully, I planned 1 month of activities, relatively longer than usual.Further, to encourage discussions among the participants, we arranged a short problem session after each talk, and requested the speaker to give his/her open problems there.Many interesting problems were presented in these problem sessions and, based on them, we had valuable discussions in and between seminars and the workshop.I edited open problems discussed there into a problem list, which, I hope, will clarify the present frontier of this area and assist readers when considering future directions.The proceedings of the workshop was published in the online journal "Geometry and Topology Monographs".The problem list will also be published as a part of the proceedings

  • Mapping Class Group of Surfaces and Geometry of Moduli Spaces

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    In this project, we focussed on the study of the structure of the mapping class group of surfaces (m.c.g. for short) as well as the moduli space of compact Riemann surfaces, together with various problems closely related with this. They include the following thema : cohomology group of m.c.g., the theory of the Floer homotopy types, topological invariants based on gauge theory, construction of the harmonic Magnus expansion of m.c.g., structure of the Grothendieck-Teichm\"uller group, the volume conjecture, non-commutative geometry in dimensions 3,4, finite subgroups of m.c.g., the Jones representation of m.c.g., relation between m.c.g. with 4-dimensional topology. From the interactions of these thema, we found new directions of research such as the relation between the geometry of m.c.g. and the symplectic topology as well as the comparaison between m.c.g. and the outer automorphism group of free groups

  • GEOMETRY OF 3-MANIFOLDS AND QUANTUM INVARIANTS

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    The volume conjecture of knots states that the asymptotic behavior of the colored Jones polynomial, a genaralization of the famous Jones polynomial, determines the simplicial volume of the knot complement. This conjecture was first proposed by R. Kashaev for hyperbolic knots, and generalized by H. Murakami and J. Murakami for general knots. This conjecture is further generalized to involve the Chern-Simons invariants through a computer experiment made by H. Murakami, J. Murakami, M. Okamoto, T. Takata and the author. Now, many geometers and topologists are interested in this problem. The purpose of this research is to investigate the relationship between the geometry of 3-manifolds and the quantum invariants, motivated by the volume conjecture which suggests a relationship between the geometry of knot complements and the colored Jones polynomial.In 2003, with H. Murakami, we proved that, for the figure eight knot, certain limit of the colored Jones polynomial dominates not only the volume of the complement but also the volumes of the closed 3-manifolds obtained by Dehn surgeries, which corrects the conjecture proposed by S. Gukov, and we proposed a new genaralization of the volume conjecture, which also explains the unexpected relationship between the recursive formula of the colored Jones polynomial and the A-polynomial of knots. We reported this result in the international workshops held at Edinburgh and Geneva in 2003 together with a newest result concerning the relationship between quantum 6j-symbols and volumes of hyperbolic tetrahedra. The author further confirmed that the argument for the figure eight knot is also available for so-called twist knots, and reported this result in the international workshop held at Potsdam in 2004.On the other hand, when the author visited the University of Geneva in 2004, R. Kashaev and the author proved that the colored Jones polynomial of knots can be expressed by simple integrals over higher dimensional tori by using quantum dilogarithm functions whose asymptotic behaviors are well-known. We consider this result is a big progress toward the solution of the volume conjecture, because we may estimate the asymptotic behavior of such integrals over tori, a well-known compact manifold, by using the saddle point method together with the Morse theoretic argument. We have already reported this result in the meeting of American Mathematical Society held at Atlanta in early 2005

  • General research of the volume conjecture of knots

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    The volume conjecture of knots states that the asymptotic behavior of the colored Jones polynomial determines the simplicial volume of the knot complement. This conjecture was first proposed by R.Kashaev for hyperbolic knots, and generalized by H.Murakami and J.Murakami for general knots. This conjecture was further generalized to involve the Chern-Simons invariant through computer experiments made by H.Murakami, J.Murakami, M.Okamoto, T.Takata and Y.Yokota. Finally, S.Gukov and ft Murakami conjectured that various limit of the colored Jones polynomial dominates not only the volume of the knot complement but also the volumes of the closed 3-manifolds obtained by Dehn surgeries, or the Neumann-Zagier function on the deformation space of the knot complement. Our strategy to prove the hyperbolic volume conjecture, the first one proposed by Kashaev, is :(1) express the colored Jones polynomial as an integral over a torus(2) apply the saddle point method by using Morse theoryAlong this strategy, with Kashaev at University of Geneva, we achieved (1) for any knot, and (2) for some knots. We have reported these in many workshops abroad, and I am writing a paper on the Neumann-Zagier function of knot complements, which is necessary to connect the limit of the colored Jones polynomial with the volume, a paper to describe the algorithm to realize (1) for any knot and a paper on (2) for some knots simulteneoualy. On the other hand, the co-researcher J. Murakami observed that the asymptotic behavior of the Akutsu-Deguchi-Ohtsuki invariant of Whitehead link and Borromean rings gives the volumes of the orbifolds they define. This is an interesting generalization of the conjecture made by S.Gukov and H.Murakami

  • 共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏

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    共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の相互関係の現状を把握するために,二つの会議を開催し,先端研究者間の連絡を親密する機会を設けた。第一回の会議は9月12日-16日の5日間にわたり,大阪府吹田市千里ライフサイエンスセンターにおいて,共形場理論,作用素環論,低次元多様体の不変量を専門とする研究者が集合し,モジュラーなテンソル圏を機軸とする各分野の現状を解説し,他分野との関連に関する見解を報告した。この会合により,各分野の研究者が連携して今後の研究計画に参画することが確認された。なお,この会議は,土屋昭博(共形場理論),河東泰之(作用素環論),村上順(低次元多様体の不変量),松尾厚,永友清和(全体の統括)により会議の内容および参加者の選択などの準備が行われた。第2回の会議は,12月16日-18日の三日間,同じく,千里ライフサイエンスセンターにおいて,研究代表者が主に担当する共形場理論に不可欠な複素多様体の変形と複素構造のモジュライ空間,ミラー対称性に焦点をしぼり,国内の先端の研究者が参集し,討論を実施した。この会議は,企画を大阪大学大学院理学研究科の後藤竜司氏に依託し,研究代表者は情報の収集に務めた。以上,2回の会議により,企画調査の目的としていた共形場理論,作用素環論とモジュラーなテンソル圏の現状の把握が実現され,多くの研究対象を新たに発見することができた。この成果は,今後,境界横断的な新しい研究分野の育成に多大な貢献をするものと期待される

  • Geometry of Groups and Moduli Spaces (2)

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    The moduli space of Riemann surfaces and the moduli space of graphs, as well as their associated modular groups such as the mapping class groups of surfaces and the automorphism groups of free groups, are among the most important research subjects of diverse branches of mathematics including algebraic geometry, complex analysis, differential geometry, topology and mathematical physics. The present project investigated these moduli spaces and modular groups, mainly form the point of view of topology, and obtained many interesting results. Furthermore, we obtained new results as well as conjectures in the closely related theories of 3 and 4 dimensional manifolds and transversely symplectic foliations. We also proposed a deep problem towards new directions of our research including number theory

  • Study on geometry of knots and three manifolds by using representation theory of quantum groups

     View Summary

    The volume conjecture for the quantum invariants of knots is studied from the view point of the colored Alexander invariant, and the logarithmic invariants and SL (2, C) quantum 6j symbols are constructed. The relation between these and the hyperbolic volume is given

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Presentations

  • Volume conjecture for the logarithmic invariant

    Jun Murakami

    Volume Conjecture in Tokyo  (Tokyo) 

    Presentation date: 2018.08

  • On a q-deformation of PSL(2) representation of knot groups

    Jun Murakami

    Low dimensional topology and number theory X  (Fukuoka) 

    Presentation date: 2018.03

  • Presentation of knots by a braided Hopf algebra

    Jun Murakami

    Modular Forms and Quantum Knot Invariants  (Banff)  Banff International Research Station

    Presentation date: 2018.03

  • Braided Wirtinger presentation of knots

    Jun MUrakami

    Representation Spaces, Teichmüller Theory, and their Relationship with 3-manifolds from the Classical and Quantum Viewpoints  (Marseille)  Centre International de Rencontres Mathemiques

    Presentation date: 2018.02

  • On the volume conjecture of quantum knot invariants

    Jun Murakami

    Low-dimensional Topology and Number Theory  (Oberwolfach)  Oberwolfach Research Institute for Mathematics

    Presentation date: 2017.08

  • On the asymptotics of quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    Invariants in low dimensional geometry & topology  (Toulouse) 

    Presentation date: 2017.05

  • On the volume conjecture for quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    Workshop on Teichmüller and Grothendieck-Teichmüller theories  (Tianjin)  Chern Institute of Mathematics

    Presentation date: 2016.07

  • On the volume conjecture of various SO(3) invariants

    Jun Murakami

    Topology and Analysis of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces  (Kyoto)  Research Institute for Matheatical Sciences, Kyoto University

    Presentation date: 2016.06

  • Volume conjecture for quantum 6j symvols

    Jun Murakami

    Mini workshop "Growth3"  (Tokyo) 

    Presentation date: 2016.04

  • Volume formula for hyperbolic and spherical polyhedron

    Jun Murakami

    PMI Quantum Topology Seminar  (Pohan) 

    Presentation date: 2015.12

  • Volume conjecture for quantum 6j symbols

    Jun Murakami

    PMI Quantum Topology Seminar  (Pohan) 

    Presentation date: 2015.12

  • Logarithmic invariant of knots and its applications

    Jun Murakami

    Braids, Configuration Spaces, and Quantum Topology  (Tokyo) 

    Presentation date: 2015.09

  • Logarithmic invariants of knots in a three manifold

    Jun Murakami

    New Developments in TQFT  (Aarhus)  Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces

    Presentation date: 2015.07

  • Volumes of hyperbolic an spherical polyhedrons

    Jun Murakami

    Japan Mathematical Society 2015 annual meeting 

    Presentation date: 2015.03

  • Volumes of hyperbolic an spherical polyhedrons

    Jun Murakami

    8th Australia New Zealand Mathematics Convention  (Merbobourne) 

    Presentation date: 2014.12

  • Logarithmic invariants of links

    Jun Murakami

    Quantum Topology and Physics 2014 in Fukuoka 

    Presentation date: 2014.09

  • Logarithmic invariant of knots

    Jun Murakami  [Invited]

    Quantum Curves and Quantum Knot Invariants  Banff International Research Station

    Presentation date: 2014.06

  • Volume conjecture for logarithmic invariant of knots

    Jun Murakami

    Mini-workshop on the Volume conjecture  Korea Institute for Advanced Study (KIAS)

    Presentation date: 2014.06

  • On representations of mapping class groups via the LMO inariant

    Jun Murakami

    Séminaire de Topologie  (Paris)  Institut Mathématiques de Jussieu

    Presentation date: 2014.03

  • Generalized Kashaev invariants for knots in three-manifods

    Modern Trends in Topological Quantum Field Theory, Workshop II 

    Presentation date: 2014.03

  • Knots invariants coming from the small guantum group

    Presentation date: 2013.08

  • Volume formulas for a spherical tetrahedron

    Geometric structures on low-dimensional manifolds 

    Presentation date: 2013.05

  • On the logarithmic knot invariants and the hyperbolic volume

    Low dimensional topology and number theory V 

    Presentation date: 2013.03

  • Logarithmic invariants of knots in three manifolds

    Exact results in SUSY gauge theories and integrable systems 

    Presentation date: 2013.01

  • Quantum 6j-symbols for non-integral highest weight representations of U_q(sl_2) at root of unity

    Jun Murakami

    Presentation date: 2012.09

  • 結び目の量子不変量とその応用

    Summer School 数理物理 2012 結び目の数理と物理 

    Presentation date: 2012.09

  • Logarithmic invariants for knots in three manifolds

    Presentation date: 2012.09

  • Quantum invariants of knots and the hyperbolic volume

    The 29th international colloquium on group-theoretical methods in physics 

    Presentation date: 2012.08

  • 3次元球面内の四面体の体積公式

    日本数学会秋期総合分科会 

    Presentation date: 2011.09

  • On the relation between projective representations of Uq(sl2) and hyperbolic volume

    Diagram algebras and related topics 

    Presentation date: 2010.07

  • Some generalizations of the colored Alexander invariant

    Presentation date: 2010.04

  • On the tensor category of projective modules of the small quantum groups

    Category Theory, Computer Science, and Topology 

    Presentation date: 2009.10

  • Generalized quantum 6j-symbols and the colored Alexander invariant

    Topology seminar 

    Presentation date: 2009.09

  • On the quautum 6j symbols for the non-integral highest weight representations of U_q(sl_2) at root of 1

    Presentation date: 2009.09

  • On logarithmic knot invariant and volume conjecture

    Séminaire de Théorie des Noeuds 

    Presentation date: 2009.03

  • On the extra quantum group U_xi^(r)(sl_2) at root of 1

    Presentation date: 2009.03

  • On logarithmic knot invariant

    Braids in Paris 

    Presentation date: 2008.09

  • 量子不変量の様々な state model, 量子 6j-symbol と双曲四面体の体積, Colored Alexander 不変量と体積予想

    夏の学校「低次元トポロジーにおける未解決問題」 

    Presentation date: 2008.08

  • On branch problem of complex volume

    Topology and Computer 2008 

    Presentation date: 2008.08

  • Beyond the quantum invariants of knots and 3-manifolds

    Topology Seminar 

    Presentation date: 2008.07

  • On the TQFT Coming from the Restricted Quantum Group

    Finite Type Invariants, Fat Graphs and Torelli-Johnson-Morita Theory 

    Presentation date: 2008.04

  • On the invariants of knots and 3-manifolds related to the restricted quantum group

    Topology Friday Seminor 

    Presentation date: 2008.04

  • On representations of mapping class groups related to U_q(sl_2)

    Workshop on linear representations of the mapping class group and related topics 

    Presentation date: 2007.12

  • Colored Alexander invariant and cone manifolds

    Workshop Hyperbolic Volume 2007 

    Presentation date: 2007.07

  • On the colored Alexander polynomials

    Third East Asian School of Knots and Related Topics (February 5-8, 2007 at Osaka City University) 

    Presentation date: 2007.02

  • On the volume conjecture for the colored Jones and Alexander polynomials

    Around the Volume Conjecture 

    Presentation date: 2006.03

  • Quantum 6j-symbols and volumes of hyperbolic tetrahedra

    Towards the quantum geometry of hyperbolic 3-manifolds 

    Presentation date: 2004.06

  • On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariant

    Geometry and physics of three-dimensional quantum gravity 

    Presentation date: 2003.07

  • On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbol

    Geometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA) 

    Presentation date: 2002.08

  • A formula for the volume of a tetrahedron and its application

    Knots in Montreal II 

    Presentation date: 2002.04

  • 量子 6j-symbol の漸近挙動と双曲4面体の体積

    結び目のトポロジー IV(大阪市立大学、2001年12月17日〜20日) 

    Presentation date: 2001.12

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Specific Research

  • 結び目の基本群の量子化の研究

    2019   Roland van der Veen

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    本研究では結び目群,すなわち3次元空間中の結び目の補空間の基本群の SL(2, C) への表現の量子化を試みた.表現は群から群への準同型であるが,これを群環から群環へのホップ代数としての準同型と見直し,このホップ代数を S. Majid の構成した SL(2, C) の変形となっている組み紐型のホップ代数 BSL(2, C) に一般化することで量子化を得た.結び目群のSL(2, C) への表現の全体は表現空間と呼ばれるが,この表現空間が量子化されたのである.SL(2, C) に限らず,半単純な線形群に対しては対応した組み紐型のホップ代数が存在するため,この構成法から結び目群の半単純なリー群への表現も量子化できることがわかった.

  • 多様な量子群の研究

    2018   Alexander KOLPAKOV, Qingtao CHEN, Marco DE RENZI, Roland VAN DER VEEN, Anh TRAN

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    量子群とは,リー環の普遍展開環を「量子化」,すなわち量子化のパラメータ q により1変数変形したもののことである.量子群を用いて3次元空間中の結び目の不変量を構成できるのであるが,この不変量と結び目補空間の幾何構造との間の関係が近年徐々に明らかになってきている.この関係の応用として,3次元双曲空間内の多面体の体積を求める方法を A. Kolpakov とともに開発し,学術雑誌 Experimental Math. に発表した.また,R. van der Veen とともに,組紐型の量子群をもちいて結び目補空間の基本群の SL(2) 表現と呼ばれるものの量子化を構成し,現在論文を投稿中である.

  • 基本群の量子化の研究

    2017   Roland van der VEEN, QIngtao CHEN, Jinseok CHO

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    結び目に注目し、本研究の中心的なテーマである基本群の量子化の研究を Roland van der Veen と行った.基本群の SL(2) 表現と呼ばれるものが結び目の補空間の幾何構造と深く関係するものとして詳しく研究されているのであるが、この SL(2) を Majid による組紐型の量子 SL(2) というものに置き換えることで、通常の SL(2) 表現を量子化することができた.さらに、指標多様体と呼ばれる表現全体を表すような空間についても、幾つかの例で量子化することができた.この研究については現在論文執筆中である.

  • 角度の量子化による低次元量子幾何学の構築

    2017   Qingtao CHEN, Jinseok CHO, Roland van der VEEN

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    3次元幾何学において角度に注目して幾何構造の量子化を考えるために、まず対象の3次元多様体を四面体分割し、それぞれの四面体での角の量子化を構成することを考えた.そのために準古典極限が双曲体積に対応する量子 6j 記号に注目し、その漸近的な性質を Qingtao Chen とともに調べ、その成果を現在投稿中である.通常の 6j 記号はリー環 sl(2) の表現のテンソル積の分解に関連する量で、リー環を量子群に置き換えることで、6j 記号は量子 6j 記号へと一般化される.本研究では、量子 6j 記号の漸近展開において、主要項が体積に対応するだけでなく、主要項の次の展開係数についても、四面体のグラム行列式と呼ばれる幾何学的なデータで表すことができることを示した.

  • 表現論における嶺 (ridge) の研究

    2016   KOLPAKOV, Alexander, CHEN, Qingtao

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    ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や3次元多様体の量子不変量についての研究を行った.特に,3次元球面や一般の3次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や,空間グラフに対する量子不変量の研究を行った.また,平面グラフに対するこれらの不変量と,対応する多面体のの双曲体積や幾何構造との関係も調べた.これにより,ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する3次元多様体の双曲体積との関係から,3次元双曲多面体の体積を求める公式を得ることがをできることが分かった.

  • 結び目不変量の研究

    2016   KOLPAKOV, Alexander

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    ジョーンズ多項式の発見を契機として研究が開始された結び目や3次元多様体の量子不変量についての研究を行った.特に,3次元球面や一般の3次元多様体内の結び目に対する logarighmic 不変量の研究や,ハンドル体結び目に対する量子不変量の研究を行った.また,これらの不変量と,対応する3次元多様体の双曲体積や幾何構造との関係も調べた.これにより,ジョーンズ多項式に対して発見された不変量と対応する3次元多様体の双曲体積との関係が,一般の3次元多様体中の結び目やハンドル体結び目の量子不変量に対して拡張できることを確かめた.

  • 数学にあらわれる多様な量子化,非可換化の統一的理解

    2005   橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 奥田 順一

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    本研究では,代数学や幾何学,さらには理論物理学に潜む表現論的な共通原理を見いだすことを目標としており,以下のアプローチを行った. 一つは,大阪大学の永友清和氏とテンソル圏とモジュラー関手に関する共同研究を進め,これまで数学でよく扱われている半単純な場合についての研究を,必ずしも半単純ではない場合に拡張する一般的な方法について模索した. もう一つは,専門家による交流の場として不定期に開催している早大理工トポロジーセミナーにおいて,様々な研究者の研究成果の講演を通じて,その根底に潜む原理を探るという試みてある.以下の人たちに講演をお願いした.駒澤大学・小沢 誠 氏(結び目理論),UNY at Buffalo・William W. Menasco 氏(組紐群),早稲田大学・塚本 達也 氏(結び目理論),大阪産業大学・市原 一裕 氏(トポロジー),東京工業大学・長郷 文和 氏(量子不変量),琉球大学・小須田 雅 氏(表現論),大阪大学・石井 敦 氏(量子不変量) これらの研究活動を通じて,colored Alexander 不変量と呼ばれる結び目の不変量に対応するテンソル圏が,半単純ではないが半単純に近い性質を持ったよい例であることがわかってきた.

  • 結び目や3次元多様体の電子不変量とその応用

    2005   橋本 喜一朗, 上野 喜三雄, 奥田 順一, 塚本 達也

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    結び目や3次元多様体の量子不変量に関して,特に近年明らかにされたこれらの不変量と幾何的な構造との関係について研究を進めた.このような関係は最初 Kashaev によって予想され,村上らにより体積予想 (volume conjecture) として一般化されたものである. 幾何構造と量子不変量と関係は,これまで colored Jones 多項式に関して詳しく研究されてきたのであるが,本研究では,colored Alexander 不変量と幾何構造との関係について明らかにした.結び目理論においては,Alexander 多項式と呼ばれる代数的な不変量が,基本群との関係もあることからよく研究されてきたが,大槻-出口-阿久津 により,colored Alexander 不変量というものに拡張された.これについて,量子不変量と幾何構造の関係を調べる既知の方法を適用し,従来知られていた対応に対して,その変形理論という形での一般化を与えることに成功した. これらの成果については,コロンビア大学での国際会議 "Arround the Volume Conjecture" で発表したが,論文でも発表する予定である.

  • 量子不変量の諸相

    2004  

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    本研究では,結び目や3次元多様体の量子不変量を様々な観点から研究することを目標としていた.なかでも,最近量子不変量が結び目の補空間や3次元多様体の幾何的性質との関係が明らかになってきたので,このことについて重点的に研究を進めた.その結果,Akutsu-Deguchi-Ohtsuki 不変量と呼ばれる,量子群 Uq(sl2) のq が1の冪根のときの表現の1パラメータ族と対応する結び目の不変量と,対応する補空間の双曲体積などとの関係を明らかにすることができた.

  • 3次元多様体の体積予想と幾何構造

    2003  

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    本研究では3次元多様体の体積予想について研究することと,体積予想に関する研究の成果を生かして3次元多様体の幾何構造について研究することを目的とした. 体積予想とは,結び目や3次元多様体の量子不変量と呼ばれるものと,双曲体積と呼ばれる結び目補空間や多様体の幾何構造から定まる体積との関連を示唆するものである.この予想は,量子 6j-symbol と呼ばれる,重力理論で使われる量が,3次元定曲率空間(双曲空間,または3次元球)の4面体の体積と関係することを示唆しており,このことを用いて,定曲率空間の4面体の体積を表す,非常に対称性の高い新しい公式を得ることができた.これは,三角形の面積を表すヘロンの公式の3次元化に当たるものである.この公式は,最近になってヘリウム原子,リチウム原子の3電子系の研究にも応用されている. 現在は,この公式を幾何構造の決定に応用する研究を推進している. なお,この研究に関連して下記の国際学会にて研究発表を行った.A formula for the volume of a tetrahedron and its applicationKnots in Montreal II (Montreal, CANADA)2002 年 4 月On the relation of the volume of the tetrahedron and the quantum 6j-symbolGeometric Topology - A satellite conference of ICM 2002 (Xi'an, CHINA)2002 年 8 月On the volume conjecture for the Turaev-Viro invariantGeometry & physics of three-dimensional quantum gravity (Edinburg, UK)2003 年 7 月さらに,この研究のため,次の国際研究集会を組織し,4名の海外からの研究者も加わって双曲体積に関して活発に議論された."Workshop on Hyperbolic volumes",December 9 (Tue.) -- December 11 (Thu.), 2003 at Third conference room, Second floor, S55 building Waseda University (Ohkubo campus)http://www.f.waseda.jp/murakami/workshop2003/workshoptop.html

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Syllabus

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