W. Kohnen - D. Zagierが与えた結果とその後の進展についての紹介

レベル1，平方因子を持たない奇数指数Nの，アトキン・レーナー作用素で不変な(新形式とは限らない)固有形式の空間からレベルN，指数1のヤコビ形式への非自明なヘッケ同型写像を構成した．さらに，このヘッケ同型写像が非自明な写像として構成出来るための条件について考察し，アトキン・レーナー作用素の性質の一部を解明した．次にレベル１，指数2のヤコビ形式上の非自明なヘッケ同型写像の非存在を，岩堀ヘッケ環の表現論を用いて示した．さらに，平方因子を持たない奇数指数Nでレベル1を持つアトキン・レーナー作用素の固有ヤコビ新形式から二次指標付きヤコビ形式を与えるヘッケ同型写像を構成し，その簡易な存在条件を与えた．

自明指標のヤコビ形式から2次指標付きヤコビ形式を与える写像を具体的に構成し，それが非自明な同型写像になるための空間条件を書き出してその一部を簡易化した．また，ヘッケ環の表現論を用いてこの非自明な同型写像を定義することが出来ない空間の具体例も与えた．次に中等教育でも扱える教材開発を目的として，数論的量を含むヤコビ形式のフーリエ係数の解析を行った．より具体的に述べれば，保型形式のフーリエ係数に関する先行研究の結果を用いて，ある条件をみたすヤコビ形式のフーリエ係数の2項の積の有限和の漸近挙動を調べ，(ある種のL関数を通じて)そこから取り出すことの出来る様々な情報について多面的に考察した．

　ヤコビ形式上で定義される２種類の持ち上げ写像を組み合わせることで，自明指標を持つアトキン・レーナー作用素の固有ヤコビ形式から半整数ウエイトのスカラー値保型形式を経由して(その固有値から定まる)二次指標付きヤコビ形式を具体的に構成した．具体的に述べれば，ヤコビ形式の持ち上げ理論と楕円保型形式に関する跡公式を用いることで，自明指標を持つアトキン・レーナー作用素の固有ヤコビ新形式全体のなす空間と二次指標付きヤコビ新形式全体のなす空間上においてそれぞれ同じヘッケ固有システムを持つ固有形式で張られる部分空間を人工的に構成し，これらの部分空間の間で目標とする持ち上げ写像を具体的に構成した．

自明指標を持つアトキン・レーナー作用素の固有ヤコビ新形式全体のなす空間と二次指標付きヤコビ新形式全体のなす空間上においてそれぞれ同じヘッケ固有システムを持つ固有形式で張られる部分空間を人工的に構成し，ヴェイユ表現上の議論や跡公式等を用いて(ヤコビ形式上で定義される)２種類の持ち上げ写像を組み合わせることで，これらの部分空間の間で定義される持ち上げ写像を具体的に構成した．また，教材化研究としては，幾何的に構成した一般レベルの指標付きジーゲル保型形式をフーリエ・ヤコビ展開することによって，指標付きヤコビ形式を具体的に構成し，そのフーリエ係数の実装計算を通じて類数等の教材化を行っている．

自明指標のヤコビ形式から2次指標付きヤコビ形式への持ち上げ写像を，(ヤコビ形式に対応する)半整数ウエイトの保型形式上の算術的作用素を用いて具体的に構成することを目指した．具体的に述べれば，ヤコビ形式に直に対応する半整数ウエイトの保型形式上で定義されたアトキン・レーナー作用素やツイスティング作用素を幾つかの算術的作用素の積に分解して，そこに現れる算術的作用素を個々に(自明指標を持つ)ヤコビ形式上の作用素として再定義し，それらの作用素で移したヤコビ形式の像の性質をそれぞれ調べた．そして，それらを組み合わせることで，(レベルや指数構造を変える)上記の持ち上げ写像を構成した．

ヤコビ形式から指標付きヤコビ形式を構成する写像を具体的に構成し，それを用いて中等教育でも扱える教材開発を行うことを目指した．写像についてはヤコビ形式をテータ関数の有限線形和で記述し直し，その係数ベクトルからなるベクトル値保型形式を指標で捻った上でヤコビ形式に引き戻すことで構成した．そして，得られた指標付きヤコビ形式の構造を (テータ関数上で実現される)ヴェイユ表現の性質を詳細に調べることで表現論的に分析した．一方，教材化に向けた構成写像の応用研究も行うために，幾つかの2次形式や2次形式の類数からヤコビ形式を具体的に構成し，数式処理システムを用いてそれらのフーリエ係数の実装計算を行っている。

素数の偶数冪レベルで指数1のヤコビ尖点形式に作用するヘッケ作用素とアトキン・レーナー作用素からなる算術的作用素の跡公式と，同レベルの楕円尖点形式空間に作用するそれらの作用素の跡公式の間の関係式について，偶数冪の増大に伴う各寄与項の変化の規則性を明示することで完全に記述した．また，平方因子を持たない奇数Ｍを指数に持つヤコビ尖点形式の空間にヘッケ同型なレベルＭのヤコビ尖点形式の空間を，ニューフォーム空間より広い範囲で具体的に構成して，そのアトキン・レーナー作用素による固有部分空間の一部の特徴付けも与えた． 

素数の奇数冪レベルで指数１のヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式を構成する各寄与項（楕円項・双曲項・放物項・スカラー項）を計算して整理し直した。次に素数の偶数冪レベルで指数1のヤコビ形式上の跡公式を構成する各寄与項を同様の手法で完全に計算して、その跡公式と偶数冪レベルの楕円保型形式上の跡公式の間に成り立つ一般的な関係式を導き出した。そして、偶数冪レベルの場合の跡公式と奇数冪レベルの場合の跡公式の間の差を計算して、奇数冪レベルで指数1のヤコビ形式の空間の中からニューフォーム部分空間を具体的に取り出した。また、併せて偶数冪レベルで指数1のヤコビ形式の空間構造の一部も分析した。

年度当初に計画した通り，素数レベルと素数指数を持つヤコビ形式上に作用するヘッケ作用素の跡公式の楕円項の計算を行った．ただ，それを構成する2次形式の類数上でレベル構造からの寄与と指数構造からの寄与が同時に現れて混じり合うために，楕円項を十分に整理された明示式で記述するところまでは到達出来なかった．そこで，（同じ様に分岐表現で記述される）素数冪レベルで指数1を持つヤコビ形式上の跡公式の楕円項が元の楕円項と類似の構造を持つことを予想し，素数冪レベルで指数1を持つ場合の楕円項を精密に計算することでその明示式を与え（これは前年度までに得ていた研究成果をより精密に計算して整理・簡略化することで与えた），そこから元の楕円項の式構造を推測した．なお，その結果と併せて，次の結果も与えることが出来た；(1) 　素数の奇数冪レベルで指数1を持つヤコビ形式上の跡公式の楕円項とその素数の偶数冪レベルで指数1を持つヤコビ形式上の　　　跡公式の楕円項の間に成り立つある種の美しい関係式を発見し，その関係式が双曲項，放物項，スカラー項上でもそれぞれ　　　成り立つことを証明した．また，その関係式の中に現れる項の一部分を，楕円保型形式に作用するヘッケ作用素とアトキン・　　　レーナー作用素の跡公式を用いてより明示的に表現することも出来た．これらの成果から導かれる現象の一部は，半整数の　　　重さを持つ保型形式上の跡公式の中でも見られる現象と類似なものであり，結果としてヤコビ形式と半整数の重さを持つ保　　　型形式が持つ共通の構造を跡公式から浮かび上がらせることになった．(2)　 (1)で与えられた成果を用いて，レベル-指数変換写像が定義出来る素数の奇数冪レベルで指数1を持つヤコビ形式の空間を　　　実現し，その上でその変換写像を具体的に構成した．この空間はある種のヤコビ・オールドフォームからなる空間の補空間　　　（ヤコビ・ニューフォームからなる空間）として定義することも出来る．また，(1)の成果を分析することにより，素数の　　　偶数冪レベルで指数1を持つヤコビ形式上では，この様な変換写像が定義される空間を同様の手法で実現することは出来　　　ないことも確認した．以上の様に本特定課題研究では（当初の目的までは未だ到達していないもののその過程で）非常に本質的な幾つかの結果を導き出すことが出来た．これらの成果は下記の研究講演の中で順次発表してきており、（論文化に向けて）より一般化すべく取り組んでいるところである．

　本特定課題研究では，昨年度特定課題研究から継続して進めてきたある種の算術的作用素の跡公式を用いてヤコビ形式からなる空間の分解を行った．さらに，本研究を多角的に推進する目的で，2012年度では様々な研究集会に参加して，本研究課題について多様な分野の研究者と様々な角度から研究討論も行ってきた．特に国際研究集会 ”Automorphic Forms and L-Functions”(Darmstadt 工科大学2013年3月17～19日)では各研究講演・討論に参加すると共に，本課題研究を表現論的立場からサポートする N.Skoruppa 氏(Siegen 大学)との共同研究を進めることも出来た(この研究成果の一部は本研究集会での N.Skoruppa 氏(同上)の講演において紹介されることになった). 本課題研究の成果については(当初想定していた以上に様々な技術的問題が噴出したために)未整備な部分が多々残されているものの，関連分野の研究者からは熱心な質疑やコメントが寄せられており，この方面での研究に一定の影響を与えることが出来たといえよう．この様に継続的な取り組みと様々な研究者との白熱した研究討論を続けることで，本課題研究では以下の成果を残すことが出来た：１）素数冪レベルのヤコビ形式上に作用する Hecke 作用素の跡公式を完全に記述した，また，それを用いてある条件下において素数冪　　レベルのヤコビ形式全体のなす空間を( Hecke 加群として)分解した．この分解は素数の偶数冪レベルのヤコビ形式からなる部分空　　間の系列を用いて表わされており，そこから重複度1条件を満たす部分空間を具体的に取り出すために必要となる算術的作用素も幾　　つか構成した．２）ヤコビ形式を与える有限二次加群の表現がベクトル値保型形式上のヴェイユ表現に含まれることを示すことで，上記跡公式から直接　　導かれる跡関係式やヤコビ形式間の同型対応が存在するための表現論的裏付けを与えることが出来た(N.Skoruppa 氏(同上)，青木宏　　樹氏(東京理科大)との共同研究)．３）他の保型形式の構造(特に Eisenstein 級数と theta級数の間の具体的関係性)も同時に調べることでヤコビ形式の構造を多角的に分　　析し，本課題研究を進める上での一助とした．なお，この部分の成果は一般化した形で論文発表も行った(小嶋久祉氏(埼玉大)，三　　浦康秀氏(岩手大)，徳能康氏（宮城高専）との共同研究)．　本特定課題研究では，様々な研究者らとの研究討論や情報交換を通して２）や３）の様な共同研究も同時に進めることで，(部分的ではあるが)当初の研究目的であった１）の成果を得ることが出来た．なお，２）については現在，更なる精密化を求めて共同研究者達と共同研究を進めている．

本特定課題研究では，昨年度奨励研究で用いた数々の理論や手法を引き継いで跡公式の定式化と(その応用を含めた)理論構成を地道に進めてきた．さらに，本研究の意義を多方面に周知させ，同時に本研究を多角的に推進する目的で，2011年度では下記６箇所において研究講演を実施し，本研究課題について多くの研究者と様々な角度から研究討論・研究打ち合わせも行ってきた．特に2012早稲田整数論研究集会（３月1９日（月）～３月21日（水）於　早稲田大学理工学部）では研究講演を行うだけでなく，研究集会代表者の一人として主催・運営にも積極的に当たった．この研究集会は本特定課題研究の支援の下，本研究の中核をなす「算術的作用素の跡公式」とその周辺分野を主に扱う国際研究集会として企画したため，本課題研究のみならず関連分野の研究にも様々な影響を与えることが出来たといえよう．この様に地道な取り組みと（研究講演を通じた）様々な研究者との白熱した研究討論を続けることで，本課題研究をさらに深化・発展させることが出来，結果として以下の成果が得られた：１）平方因子を持たないレベルのヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式を完全に記述した．また，その成果の一部を拡張　　・一般化することで，素数冪レベルのヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式の主要項を完全に記述した．その結果，　　素数冪レベルのヤコビ形式全体のなす空間の分解に必要な写像の特性が判明した．２）平方因子を持たないレベルのヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式を用いて構成したヤコビ新形式間のリフティング　　写像(レベルと指数を入れ替えるヘッケ対応写像)を，ヤコビ形式間の場合に拡張・定義した（東京理科大・青木宏樹氏との共　　同研究）．なお，新形式間での写像でない場合，この写像は単射な写像にしかならないことも判明した．３）３）で与えたリフティング写像をベクトル値保型形式上のヴェイユ表現を用いて再定義し，その結果を用いて格子指数を持つ　　ヤコビ形式間での上記リフティング写像が存在するために必要な理論の枠組みを与えた（ジーゲン大・ N.P.Skoruppa 氏，東　　京理科大・青木宏樹氏との共同研究）．４）ヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式と上記リフティング写像の構成理論を通じて，レベルと指数それぞれに関する　　アトキン・レーナー作用素の固有ヤコビ形式全体のなす空間の構造を調べた．本特定課題研究では，当初の研究予定であった１）や４）の成果を得るだけでなく，著名な研究者らとの研究討論や情報交換を通して２）や３）の様な共同研究も新たに生み出し，本研究課題を急速に発展させることが出来た．なお，２），３）の成果については現在，共同研究者達と共同で論文にまとめる作業を進めている．

2009年度当初からの研究によって、素数レベルで指数1を持つヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式と、楕円保型形式上に作用する作用素のそれとの間の関係式（跡関係式）を、スコルッパ－ザギヤの理論を拡張した上で用いることにより、詳細に計算・記述することが出来た。また、その結果を用いて、ある条件をみたす素数レベルで指数1のヤコビ形式の空間と素数指数を持つレベル1のヤコビ新形式の空間が同型であることを示した。さらに、その同型性を用いて、この条件を満たす（素数レベルで指数1の）ヤコビ形式のレベルと指数を入れ替える持ち上げ写像を具体的に構成することに成功した。次に、素数レベルで素数指数を持つ場合のヤコビ形式上に作用する作用素の跡公式についてもある条件下でほぼ完全に記述して、レベルと指数を入れ替える写像がこの様な場合にも（ある条件下に限り）存在することを予想した（ただ、写像の具体的構成までには未だ踏み込めていない）。さらに、Weil表現と有限モジュラー群の表現論を駆使することで、ある条件を満たすスクエアーフリーレベルで指数1を持つヤコビ形式の空間と、スクエアーフリー指数でレベル1を持つヤコビ新形式の空間が同型になることを示すことにも成功した。また、この結果を基にして、上記で構成した持ち上げ写像をこの場合に一般化することも出来た。なお、この（与えることの出来た）同型性と写像の数論的性質から、これらの空間上に作用する算術的作用素の跡公式間の関係式を間接的に導くことが出来ることについても注意されたい。他方、こうして与えられた跡関係式の各共役類の寄与を個々に観察することによって、これら各項に現れる数々の数論関数の性質を幾つか見つけることが出来た。これらの中には既知なものも多く含まれているが、複数の数論関数の諸性質を（跡公式から）体系的に見る視点は新しいものといえるのではなかろうか。なお、この結果については数学教材としてまとめることを前提に、現在整理しているところである。

本研究は、２寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式のフーリエ係数を保型Ｌ関数の中心値を用いて具体的に記述することを目的に行ってきた．その手法は、（M.Ueda によって与えられた）２寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式と整数ウエイトの保型形式の間にある（ヘッケ作用素の）トレース関係式と、志村-新谷対応の明示的性質を巧みに組み合わせながら、各ファクターを計算していくものである．その結果、レベル８の２次指標を持つ半整数ウエイト保型形式のフーリエ係数を保型Ｌ関数の中心値を用いて記述することができた．また、レベル２＾ｍ（ｍは４以上の自然数）の半整数ウエイト保型形式の場合についても、それがある数論的条件を満たすことを仮定した上で、そのフーリエ係数を保型Ｌ関数の中心値と（半整数ウエイトの保型形式に対応する）ヤコビ形式の内積を用いて記述することができた（レベル２＾ｍ（ｍは４以上の自然数）の場合は、対応を記述する明示式がかなり複雑なものとなるため、N.Skoruppa-D.Zagier の与えたヤコビ形式のトレース関係式とヤコビ-モジュラー対応を用いて適切な明示を考えた）．　なお、これらの結果を得る過程において、半整数ウエイトの保型形式やヤコビ形式を一意に決める次の様な興味深い決定条件も得ることができた．１．半整数ウエイトの保型形式を一意に決める条件．有理数体上定義された楕円曲線に対応する半整数ウエイトの（ヘッケ固有な）保型形式のうち、その導手が３乗因子を持たない奇数であるものは、最初のフーリエ係数だけで完全に決定されてしまうというものである．これは楕円曲線に対応する保型Ｌ関数の中心値の超越性（H.M.Stark によって発見された）を用いて証明することができ、楕円曲線に対応する保型形式が持つ著しい性質の１つとして捉えることができよう．なお、この結果はその後、保型Ｌ関数の中心値等を用いてフーリエ係数を記述できる（上記の）２寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式の場合においても成り立つことを示すことができた．２．ヤコビ形式を一意に決める条件．２寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式とヤコビ形式の間のトレース関係式を調べている過程において、ヤコビ形式を一意に決める条件についても与えることができた（この様な条件はあまり知られておらず、今後様々な保型対応の性質解明に応用できる可能性があるといえよう）．

　本研究課題である正則ヤコビ形式に対する跡公式について、レベルに直接作用する Atkin-Lehner 作用素を定義し、その後で Hecke 作用素とそれとの結合作用素に関する跡公式を Skoruppa-Zagier および Hijikata-Yamauchi-Miyake それぞれの手法を統合的に用いて直接計算した。その結果、指数1を持つ素数レベルの正則ヤコビ形式の場合におけるそれは、素数指数を持つレベル1の正則ヤコビ形式のそれとほぼ一致することを確かめ、elliptic 保型形式や Siegel 保型形式の跡公式とは構造が多少異なることを見つけた（ただし、一部の term の計算および ウエイトの低い場合についての計算については現在も計算中である）。また、一般レベルの正則ヤコビ形式の場合における跡公式も同様に計算できるが、それは非常に複雑なものになることも判明した。これについては、レベルに作用する Atkin-Lehner 作用素と指数に作用する Atkin-Lehner 作用素を別々に考えて，それら全ての同時固有な Hecke eigen form で張られる空間上の跡公式に限った場合には綺麗な関係式があることが予想できる(これは，素数レベルの場合の跡公式や志村-新谷対応で対応する elliptic 保型形式の空間の構造からある程度確証を持つことができた)ものの，2次形式の還元理論のさらなる精密化や(組み合わせ論的手法による)跡公式が一致する部分空間の構成などの技術的問題が未だ完全には解決出来ておらず，現在その証明に向けてさらなる研究を行っている。　次にコーネン・ザギヤの公式の一般化についてであるが、跡公式の完成に合わせて興味深い1つのある結果を得ることができた。それは，異なる2つのヤコビ形式の Fourier 係数の間の関係式であり，今後様々な応用があるものと期待できる。　以上これらの結果については，まとまり次第順次発表していく予定である。　最後に，本研究課題をサポートする目的で，'(正則ヤコビ形式と密接な関係にある)半整数ウエイトの保型形式を決定するために必要な条件の構成問題’についても精力的に研究を行い，具体的な条件を与えることができたことを付け加えておく(これについては論文としてまとめて投稿すると同時に2004年度日本数学会秋季学会などでも発表を行った)。