2025/04/05 更新

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サカタ ヒロシ
坂田 裕
所属
附属機関・学校 高等学院
職名
教諭
学位
理学博士(数学) ( 早稲田大学 )

経歴

  • 1996年04月
    -
     

    早稲田大学高等学院   数学科   教諭

学歴

  • 1994年04月
    -
    1996年03月

    東北大学   大学院理学研究科   博士課程後期数学専攻  

  • 1992年04月
    -
    1994年03月

    東北大学   大学院理学研究科   博士課程前期数学専攻  

  • 1988年04月
    -
    1992年03月

    静岡大学   理学部   数学科  

委員歴

  • 2024年03月
     
     

    2024早稲田整数論研究集会 主催者

  • 2023年03月
     
     

    2023早稲田整数論研究集会 主催者

  • 2022年03月
     
     

    2022早稲田整数論研究集会 主催者

  • 2021年03月
     
     

    2021早稲田整数論研究集会 主催者

  • 2019年03月
     
     

    2019 Number Theory Workshop of Waseda University  organizer

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所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

研究分野

  • 代数学

研究キーワード

  • 整数論

 

論文

  • On Siegel’s product formulas for quadratic forms over algebraic number fields in higher dimensional cases

    Hisashi Kojima, Hiroshi Sakata

    Journal of Analysis    2025年01月  [査読有り]

    担当区分:責任著者

     概要を見る

    The product formula for the measure of representations of a quadratic form over the rational number field was found by Siegel, and were generalized by Fractman to the higher-dimensional case over totally real algebraic number fields. We prove product formulas for quadratic forms over arbitrary algebraic number fields and generalize formulas given by Siegel and Fractman to the case of arbitrary algebraic number fields.

    DOI

    Scopus

  • On calculations of the Fourier coefficients of cusp forms of half-integral weight given by the Shintani lift

    Hisashi Kojima, Hiroshi Sakata

    Indian Journal of Pure and Applied Mathematics    2023年09月  [査読有り]

    担当区分:責任著者

     概要を見る

    Shintani constructed the inverse mapping Ψ of Shimura correspondence Φ from a cusp form F(z) of half-integral weight to the cusp form f(z) of integral weight. The Fourier coefficients of the cusp form Ff(z) = Ψ (f(z)) are explicitly expressed in terms of periods of a cusp form f(z). Using the reduction theory of integral binary quadratic forms and calculations of periods of f(z), we shall decide an effective algorithm of a calculation of the Fourier coefficients of Ff(z) lifted by an cusp form f(z) of small level. Moreover, when f(z) is a cusp form of level 2 and of weight 8, we shall prove that Ff(z) is a certain product of some classical theta series of level 4 and of weight 1/2 and certain Dedekind eta functions.

    DOI

    Scopus

  • On the Petersson norm of the Hilbert-Siegel cusp form under the Ikeda lift

    Kojima Hisashi, Sakata Hiroshi

    SUT Journal of Mathematics   58 ( 1 ) 91 - 96  2022年06月  [査読有り]

    担当区分:責任著者

    DOI

    Scopus

  • On the modular forms of weight 1/2 over algebraic number fields

    Hisashi Kojima, Hiroshi Sakata

    Journal of Number Theory   229   364 - 385  2021年12月  [査読有り]

    担当区分:責任著者

    DOI

    Scopus

  • Trace formula for Jacobi forms of odd squarefree level

    Hiroshi Sakata

    JOURNAL OF NUMBER THEORY   182   57 - 82  2018年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We study the traces of Hecke operators acting on the space of Jacobi forms and give the trace formula in the case of general odd squarefree level N by using results of Skoruppa and Zagier. As an application, we obtain some trace relations of them, and construct an isomorphism map from the space of all Jacobi cusp new forms of level N and index 1 having the eigenvalue +1 with respect to any Atkin-Lehner operator on the level to the space of all Jacobi cusp new forms of level 1 and index N whose eigenvalue with respect to any Atkin-Lehner operator on the index is equal to +1. (C) 2017 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

    Scopus

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書籍等出版物

  • 早稲田大学整数論研究集会2012報告集

    坂田 裕( 担当: 分担執筆)

    早稲田大学数学応用数学研究所  2012年11月

  • 2011年度第19回整数論サマースクール報告集「保型形式のリフティング」

    坂田 裕( 担当: 分担執筆)

    第19回整数論サマースクール(20110905-0909)  2011年09月

  • 2004数論セミナー静岡 報告集

    坂田 裕( 担当: 分担執筆)

    2004数論セミナー静岡  2004年08月

  • 2003 数論セミナー静岡 報告集

    坂田 裕( 担当: 分担執筆)

    2003 数論セミナー静岡  2004年02月

  • 早稲田大学整数論研究集会2003報告集

    坂田 裕( 担当: 分担執筆)

    早稲田大学数学研究所  2003年05月

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講演・口頭発表等

  • Atkin-Lehner 作用素の固有関数である Jacobi cusp form の Fourier 係数の符号変化について

    坂田 裕  [招待有り]

    第1回大分数論研究集会   (大分県大分市大分大学)  寺井伸浩 (大分大学)  

    発表年月: 2019年08月

  • On certain level-index changing operators on Jacobi cusp forms

    Hiroshi SAKATA  [招待有り]

    Oberseminar, Institut für Mathematik, Universität Mannheim   (Institut für Mathematik, Universität Mannheim)  Prof. Dr. Siegfried Böcherer, Institut für Mathematik, Universität Mannheim  

    発表年月: 2019年01月

  • On certain level-index changing operators on Jacobi cusp forms

    Hiroshi SAKATA  [招待有り]

    Hauptseminar Modulformen,Mathematisches Institut, Ruprecht-Karls-Uni.Heidelberg   (Mathematisches Institut, Ruprecht-Karls-Uni.Heidelberg)  Prof. Dr. Winfried Kohnen, Mathematisches Institut, Ruprecht-Karls-Uni.Heidelberg  

    発表年月: 2019年01月

  • ヤコビ形式上で定義されるレベル・指数交換写像に関する諸注意

    坂田 裕

    静岡複素解析幾何セミナー   (静岡県立大学経営情報学部)  静岡複素解析幾何セミナー  

    発表年月: 2018年07月

  • A certain level-index changing operator on Jacobi cusp new forms

    坂田 裕

    Work Shop 2018 `Automorphic forms/representaions on covering groups'   (岡山大学 理学部)  Yoshihiro Ishikawa (The Faculty of Science, Okayama University)  

    発表年月: 2018年03月

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 総実代数体上の高次ヒルベルト-ジーゲル尖点形式のフーリエ係数の漸近挙動の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2023年04月
    -
    2024年03月
     

    坂田 裕

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    パラレルウエイトを持つ総実代数体上のヒルベルト尖点形式が二次形式に付随する球関数付きテータ関数の線形結合で表わされることを示すことで,このフーリエ係数の漸近挙動を調べた.また,ある特定の楕円尖点形式の新谷対応による像もテータ関数で具体的に明示した.さらにヒルベルト-ジーゲル-アイゼンシュタイン級数の関数等式を用いて狭義類数1の総実代数体上の高次ヒルベルト-ジーゲル尖点形式のフーリエ係数の漸近挙動も分析した.

  • ヤコビ形式のレベルと指数を交換する持ち上げ写像の具体的構成

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2010年07月
    -
    2011年03月
     

    坂田 裕

     概要を見る

    ヤコビ形式は、1変数楕円保型形式を多変数ジーゲル保型形式に持ち上げる際に"媒体"の役割を果たすため、整数論のみならず幾何学や表現論等の諸分野において益々重要な役割を果たす様になってきている.本研究では、平方因子を持たないレベルのヤコビ形式を(レベルと指数を入れ換えた)他のヤコビ形式に持ち上げる写像を次の2通りの手法で具体的に構成した.
    1.平方因子を持たないレベルのヤコビ形式に作用する様々な算術的作用素の跡公式の完全な記述を行い、それを基にヤコビ新形式からなる複数の(ヘッケ加群として同型な)空間を与えた.次にこれらの空間の間に存在する持ち上げ写像を、(半整数ウエイトの保型形式の様々な理論を駆使して)構成した.
    2.平方因子を持たないレベルの指標付きヤコビ形式をベクトル値保型形式に対応させ、その指標から誘導される表現の既約分解とそれ上で定義されるヴェイユ表現の既約分解をそれぞれ与えた,次にそれぞれの中から同型な既約成分を具体的に取り出し、その構造を用いてそれらの間に存在する持ち上げ写像を構成した.
    さらに、この2通りの手法で構成したそれぞれの持ち上げ写像の性質を詳細に分析した結果、これらは互いに異なる条件下でのみ与えられることが分かり、ヤコビ形式を表現論的立場で捉えた場合、指標付きヤコビ形式と主指標を持つヤコビ形式は大きく異なる構造を有していることも判明した.これらの構成写像を用いることで、多変数ジーゲル保型形式等、他の保型形式間に存在する様々な持ち上げ写像を具体的に構成することも可能となるため、本研究が(数論幾何や保型表現論を含んだ)多くの分野の研究進展に大きく寄与するものと思われる.
    なお、本研究で跡公式を求めていく際、類数が持つ幾つかの性質を調べることも出来たため、この成果を用いて高次冪レベルのヤコビ形式に作用するヘッケ作用素の跡公式の一部の項も記述出来た.

 

現在担当している科目

 

特別研究期間制度(学内資金)

  • ヤコビ形式の数論的性質から見る保型形式(保型表現)の持ち上げ理論の研究

    2009年04月
    -
    2010年03月

    ドイツ   ジーゲン大学他

他学部・他研究科等兼任情報

  • 人間科学学術院   人間科学部

  • 人間科学学術院   人間科学部通信課程

特定課題制度(学内資金)

  • ヒルベルトーヤコビ形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質の分析

    2024年   小嶋 久祉

     概要を見る

    微分幾何学や数理物理学等で重要な役割を果たす多変数ジーゲル保型形式と,(岩澤理論などの)代数体上の整数論を展開する上で必要不可欠なヒルベルト保型形式の構造を併せ持つ多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式の構造を調べるために、多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式とヒルベルト保型形式との間の仲介的役割を果たすヒルベルト-ヤコビ形式のフーリエ係数の解析を目指した.特にヒルベルト-ヤコビ形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質を調べることを念頭に,狭義類数1の総実代数体上で定義されたヒルベルト-ヤコビ形式のフーリエ係数を,多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式のフーリエ-ヤコビ展開から記述し,その集合を具体的に与えた.ただ,与えたフーリエ係数の集合からヒルベルト-ヤコビ形式の特徴付けを行う過程で,ヒルベルト型ではない(実解析的)ヤコビ形式のフーリエ係数も明示する必要も生じた.この実解析的ヤコビ形式は総実ではない代数体上の多変数ジーゲル保型形式のフーリエ-ヤコビ係数に現れる.そこで,任意代数体上の多変数ジーゲル保型形式のフーリエ係数から(フーリエ-ヤコビ展開を通して)実解析的ヤコビ形式のフーリエ係数を求めることにした.ここでは,志村の高次特殊関数論等を用いて任意代数体上のヴェイユ表現から構成された高次ジーゲル-アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数を求めた.これにより,ヒルベルト-ヤコビアイゼンシュタイン級数と実解析的ヤコビアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の解析的特徴をそれぞれ定式化することが出来,それぞれの特徴付けが得られた.さらに,ジーゲル-ヴェイユの公式を通じて構成した高次ジーゲル-アイゼンシュタイン級数と結び付く高次テータ級数の積分値も精密に求め,与えたフーリエ係数と比較することで,任意代数体上の高次二次形式の(表現数を一般化した)測度を二次形式の局所密度の積で記述することが出来た.

  • 多変数ジーゲルーヒルベルト保型形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質の分析

    2023年   小嶋 久祉

     概要を見る

    微分幾何学や理論物理学等で重要な役割を果たす多変数ジーゲル保型形式の構造と,(岩澤理論等の)代数体上の整数論を展開する上で重要な役割を果たすヒルベルト保型形式の構造を併せ持つ多変数ジーゲル-ヒルベルト保型形式のフーリエ係数の数論的性質に関する分析を行った.最初に,ジャケット-ザギヤの跡公式をベースに構成されたザギヤ・ワルドプルジェの理論を狭義類数1の総実代数体上のヒルベルト尖点形式の場合に拡張し,代数体上の保型形式のヘッケ理論とアトキン・レーナー理論およびジーゲルの主定理を組み合わせることで,ある条件を満たす任意レベルでパラレルウエイトを持つヒルベルト尖点形式をこの代数体上の二次形式に付随する球関数付きテータ関数の線形結合で表わした.証明の鍵は,ヒルベルト尖点形式を生成するヒルベルト尖点新形式をあるディリクレ級数を用いて具体的に構成し,(そのディリクレ級数のオイラー積を二次形式の局所密度の積で書き直すことで) ヒルベルト尖点新形式のフーリエ係数をテータ関数のフーリエ係数で直接表わすところにある(この成果は現在投稿中).この成果により,ヒルベルト尖点形式のフーリエ係数は二次形式(の同値類の代表系)を用いて具体的に記述することが出来る様になったため,その数論的性質もある程度明示的に表わすことが出来る様になったと思われる.次に,この結果を参考にして多変数ジーゲル-ヒルベルト保型形式のフーリエ係数の数論的性質を調べた.多変数ジーゲル-ヒルベルト尖点形式を直接テータ関数の線形結合で表わす基底問題は,プルバック公式や微分作用素理論等を用いた研究が一部で進められているものの,全体解明には未だ大きな壁が幾つも残されている.そこで,ここでは多変数ジーゲル保型形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質を多変数ジーゲル-ヒルベルト保型形式の場合に一般化することに取り組んだ.

  • 楕円尖点形式の周期の効率的な計算法の研究

    2022年   小嶋久祉

     概要を見る

    新谷対応を通して整数ウエイトの楕円尖点形式は半整数ウエイトの楕円尖点形式に持ち上げられ,その各フーリエ係数は(整数ウエイトの)楕円尖点形式の周期で与えられる.そこで,本研究では,これら楕円尖点形式の周期を効率的に計算するアルゴリズムを明示した具体例を構成した.すなわち,特定の楕円尖点形式に関するこれらの周期を(この楕円尖点形式の)基本周期で表わし,基本周期間の関係式を用いてこれらの周期を1つの基本周期で統一的に記述した.さらに,この結果と楕円尖点形式の次元公式を使用して,持ち上げた半整数ウエイトの楕円尖点形式を具体的に特徴付けた.これらの結果は,小嶋久祉氏(埼玉大学)との共同研究の成果である.

  • ヤコビアイゼンシュタイン級数のなす空間上のレベル・指数交換写像の構成

    2021年   小嶋 久祉

     概要を見る

    ヤコビアイゼンシュタイン級数のなす空間上のレベル・指数交換写像の構成を目指して,写像の持つ性質に関係する次の結果を得た;1. 総実代数体上のヒルベルトカスプ形式のペテルソン内積とそのヒルベルトカスプ形式を池田対応で持ち上げたヒルベルト-ジーゲルカスプ形式のペテルソン内積の比の算術性を証明した.これにより,それぞれのヒルベルトカスプ形式の周期比の算術性も示せた.2. ワルジュプルジェ-ジーゲルの理論を一般化して,狭義類数1の任意総実代数体上のヒルベルトカスプ形式が球関数付きテータ関数の一次結合で表わされることを証明した.なお,この2つの結果は共に,小嶋久祉氏(埼玉大学)との共同研究の成果である.

  • フーリエ係数の符号の漸近挙動からみたヤコビ形式の構造研究

    2020年  

     概要を見る

    ヤコビ形式のフーリエ係数の符号変化が生じる範囲の漸近評価とヤコビ形式の構造の間の関係を調べるために,ヤコビ形式と密接な関係を持つ重さ1/2の保型形式の構造を調べた.具体的に述べれば,有理数体上の重さ1/2の保型形式をテータ級数の線形結合で表わすセール・スタークの理論を,ある分岐条件の下で先行研究と志村理論を組み合わせて拡張し,任意代数体上の重さ1/2の保型形式はその体上のテータ級数の線形結合で表わせることを示した.また,高次元二次形式の表現測度に関するジーゲル・フラクトマンの定理を,任意代数体上で一般化した.以上の結果は,小嶋久祉氏(埼玉大学)との共同研究の成果である.

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