本研究の課題は,「ガロアの逆問題に対する構成的方法」の立場からアーベル方程式を構成する一般的メカニズムを得ることを目標とするものであるが,特にガロア群が巡回群である場合に焦点を絞って研究を進めた.2000-2002年度基盤C(一般)「アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究」において,申請者は学院生(修士)星明考君と共同研究で,ガウス周期の関係式の一部を幾何的に一般化し,多変数関数体上の巡回多項式族の構成を行った。本研究はその継続研究であり,ガウス周期の満たすある基本関係式を公理として関数体上で類似物を構成するという幾何的一般化を行ない,これによりガウス周期の既約多項式から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし,パラメータの個数も複数個に増やすことに成功した.すなわちガウス周期y_0,..,y_{e-l}をe個の独立な不定元とみなすと,基本関係式から関数体L=Q(y_0,..,y_(e-l))に成分を持つ行列Cが得られ,これらを全て添加した体K=Q(c_{i, j})は巡回置換によるLの固定体となる.これよりL/Kはe次巡回拡大であり,Cの特性多項式の根体となる.このアイデアに基づいて小さなeに対してパラメータ付きe次巡回多項式族が得られた.特に,この構成から得られた巡回多項式族のパラメータを特殊化し,e=7おいて定数項がn^7である簡単な表示をもつパラメータの族を得た.この結果はLehmerプロジェクトとして知られている研究の一般化を与えるもので,総実代数体の巡回拡大の単数の構成問題などに重要な研究方法を提供するものである.本研究の成果は2002年度春の日本数学会及び早稲田大学整数論シンポジウムを含む幾つかの研究集会で講演発表された.この研究を更に高次の場合に進展させることは重要な課題である

1.研究代表者は本研究初年度の1999年に2回のワーク・ショップを開催,また翌年度に2回の研究集会に参画,それらの準備のもとで最終年度に国際研究集会「Galois Theory and Automorphic Forms」を開催した.現在その「報告集」を編纂しており,Kluwer Acad.Publ.から出版される.目的とするところは,古典的で,しかも多岐に展開された関連諸分野から本研究計画に密接にかかわるものを厳選し,その手法を含む情報を収集するとともに,我々の側の研究成果を発信することであった.本研究期間中にこれらの研究集会での招待講演者を含め,総勢14名の研究者を海外から招聘し,研究の実をあげた.2.特に研究代表者は,(1)二面体群に関するガロアの逆問題について奇数nを位数とする巡回群に対して1次分数変換を利用してただ1個のパラメータを持つ「生成的な多項式族」を簡明な形で提示し,さらに橋本喜一朗とともにこの方法を発展させて位数2n(nは奇数)の二面体群に対しても同様に簡明な生成的多項式族を与えた.(2)またn=3の場合の前項の多項式族を数論へ応用し,類数が3で割れる2次体およびその上の3次不分岐巡回拡大のすべてをパラメトライズする3次多項式の族を与えた.(3)数論における代数的方法と解析的方法の相互関連について,歴史的なアイデアの展開を中心にした総合報告を最終年度にまとめた.森田康夫の指導生椎名建仁はPSL_2(P^2)をガロア群に持つ有理数体上の1変数函数体のガロア拡大体の構成に成功した.また橋本喜一朗は正5角形上の二面体群に関して5有理数体上の2-パラメータの生成的多項式族を構成した.3.研究分担者総勢で研究期間中に73編の研究論文をまとめた.最新のもの10点(総計209ペイジ)を選ぴ,研究報告書に付録IIとして添付する

素数Pに対して,δ_pをしの原始P乗根とする。平成10年度はQ(δ_5)のZ_p-拡大のfirst layerの正規底をSiegel modular functionの特殊値として具体的に構成した。即ち,y^2=1-x^5のprincipal pelazlizationをもったヤコービ多様体にふづいしたCM点でのSiegel modular functionの値として構成した。これは1番目の論文に発表された。Z_p-拡大の正規底の存在はGreenberg予想と関係があるが,Greenberg予想については,Qのmod73のray class fieldの3次の部分体についてZ_3-拡大のλ-不変量が0になることを示した。これは6番目の論文に発表された。さらにQ(δ_5)のmod6のray class fieldの中にfull rankの単数群をSiegel modular functionの特殊値として構成した。これは2番目の論文に発表された。又3月には整数論の研究集会を開いた。平成11年度はQ(δ_5)のmod18のray class fieidの中にrank299の単数群をSiegel modular functionの特殊値として構成した。この結果は4番目の論文とした発表された。さらにQ(δ_5)のmod6のray class fieldの中にSiegel modular functionの特殊値としてMinkowski unitsを構成した。平成12年度には,Q(δ_5)のmod6のray class fieldのすべての単数をSiegel modular functionの特殊値として構成することに成功した。(ただし一般化されたリーマン予想を仮定する。)さらに曲線y^2=x^5-156x^4+10816x^3-421824x^2-8998912x-8042776を用いて,Q(δ_<13>)の4次の部分体のmod6のray class fieldの中にfull rankの単数群をSiegel modular functionの特殊値として構成できた

有機数体上定義されたG2_2型のアーベル多様体が、モジュール曲線のヤコビ多様体の因子に同種であろう、というRibet-Seneによるモジュラリティ予想を研究している。Wiles,Taylor, Diamondによるガロア表現の変形理論を、extra twistinngを持つアーベル多様体に適用することにより、或る条件の下にこの予想の成立をみた。この3年間では特に以下の事を得た。与えられた素イデアルについて、対象のアーベル多様体が潜在的に通常の場合にはWiles-Skinnaの理論を用いて、モジュラリティの条件を簡略化できた。また、潜在的に高さ2の還元を持つ場合には、Conrad,Diamond,Taylorの理論により通常考えられる範囲で、より条件を簡略化出来た。またGL_2型のアーベル多様体の族(/同種)のモジュライをGL_2型の志村多様体の自然な自己同型群による商多様体を用いて記述した。これは、ElkiesのQ曲線の分類におけるローカル・トゥリーの一般化と、Ribet-Ryleのdescent理論を組み合わせることにより得られた。これにより、対象となるアーベル多様体(/同種)がどの位あるかが分る。さらに、このモジュライ空間(/*)の整数論幾何学の研究により、どの位の範囲で、上記のモジュラリティに関する結果が適用されるかが分る

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

(1)非線形移流項をもつ特異摂動問題とε→οとしたとき得られる問題に対する一般的理論を整理しその発展を試みた。とくに数値解析に重点を置いてE-scheme等差分schemeの特長を調べた。(2)自然科学における現象を記述するモデルの非線形微分方程式に対し、理論的解析および有効な計算法の開発をめざした。(3)各種微分方程式の特性を利用したadaptiveな数値計算法の開発てめざした。そのため、対象の微分方程式の性質を数理解析的にもとらえ直しを試みた。(1)と(2)については必要な研究の基礎はつかまえたがまだ部分的な解決に留っており、今後も継続した研究が必要である。(3)については一定の成果を得ることができた。とくに、計算法と誤差解析との関連がより明確化できた。結果は順次整理して発表する予定である

1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した

2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田

類体論はア-ベル拡大論の理論であるが,その中心はアルチンの相互法則である。高木が類体論を完成し,アルチンが相互法則をその画竜点晴として加えた。現在類体論の証明は相互法則の証明を直接目指し,その系として高木の同型定理・分解定理などを証明する。筆者はこういう証明方法の不透明さ,非直観性を指摘し,歴史的段階に従って同型定理分解定理を証明して後,相互法則を証明する道筋をより直観性に富むと考え,その方針で証明を簡易化した。今迄の証明法の非直観性はアルチン写像4:Ck→Gal(J/k)を直接定義せず,その逆写像を定義することに由来すると思われる。そのような方法になる理由はコホモロジカルな証明を用いるからである。同型定理・分解法則の接接証明を目指するとき,ネックとなるのは存在定理を用いるところにある。その存在定理の証明ま大変困難で,相互法則を用いると大変簡単になるのが問題点である。筆者は,同型定理‥分解法則の証明に用いられる存在定理は実は限定された種類のものであることを指摘し,限定された存在定理はごく簡単に証明できることを示した。かくして「高木の等式」⇒「高木の類体論」⇒「相互法則」⇒「存在定理」のル-トが確立し,見通しのよい証明法が得られたと確信する。なおこの証明構成は津田塾大学でひらかれた研究会で報告し,論文集も4月には発行されるが,その成度にのっとった類体論の証明を単行書として日本評論社から評行の予定である

当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである

1有理数体上の正定値四元数環をB,その判別式をqとする.qと素な自然数Nに対して,level(q,N)のsplit order(極大と限らない整数環)が定義される。その同型類の個数(Type number)T(q,N)及び左(右)イデアル類数H(q,N),は有限でq,Nのみで決まる重要なBの不変量である.類数H(q,N)はlevel qN,重さ2の保型形式の空間の次元と一致し,その空間のBrandt行列及びtheta級数による正確な記述が知られている。これより,保型形式やモジュラー曲線,楕円曲線に関する各種の性質および,これらと関連する諸問題が四元数環のEichler orderの数論に翻訳され,前者の研究の重要な手段を与える。(1)申請者は今回の研究によって,一般のsplit orderに対してType number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-Lehnerによるinvolution W_p(P|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた。Eichler型orderの場合には,この結果は,Heck環の表現の分解を調べることにより,理論的な解釈を与えることが出来た。(2)さらに,これらの結果を応用して,theta級数による保型形式の構成を利用して,モジュラー曲線の自己同型群による商として得られる曲線が超楕円的になるものを分類する問題について,Nが平方因子を持たない場合の完全な解決を得た

本研究では,有理数体上の正定値四元数環のlevel(q,N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1.Type number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-LehnerによるinvolutionW_p(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた.2.Brandt行列が各固有部分空間上に以下に作用するかを,数論的に記述子,Brandt行列とHecke作用素の跡を細分して比較する事によりその証明を与えた.3.与えられたlevel(q,N)に対して,Eichler orderの族O(p,s)を二つのパラメーターp,sを用いて構成した.更に,コンピュータを用いて,qN<5000の範囲内では常に族O(p,s)がT(q,N)個のEichler orderの各同型類を尽くす事が確かめられた.4.qN<5000の範囲内で,各(q,N)に対してT(q,N)個のEichler orderのtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.5.これらのtheta級数のランク(階数)は,保型形式fのうちHecke作用素の固有関数で,L-関数がL(f,1)≠0をみたすものの個数に等しい事が知られている.我々の計算は,s=1に於いてL(f,s)が2位の零点を持つ保型形式fの個数を与える.その様なfのlevel qNに関する分布を調べた結果,著しい一様性を示す事が明らかになった.6.Eichler orderに付随する他の4種類の二次形式付き格子に対してもtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった

1.四元数theta級数について. 今回の研究では,有理数体上の正定値四元数環Bでその判別式 qがq<10000なる素数の場合に,各q毎に(Type number T(q)個存在する)全ての極大整還の同型類の代表を求め,そのtheta級数を計算して,その一次独立性を調べた。これは従来の範囲q<5000を大きく拡大するもので,この結果,新たに90個のlevel q,重さ2の保型形式fで,s=1でのrankが2であるものが発見された(論文を準備中)。2.1.に於ける計算からtheta級数として得られた保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線とそのヤコビ多様体の研究を種々の角度から行った。特に,モジュラー曲線のAtkin-Lehner's involutionの群による商曲線X^*_0(N)のうちで超楕円的曲線になるものをlevel Nがsquare freeの場合に完全に分類した。更に申請者の研究室の助手・大学院生によって,Nが一般の場合や,X_0(N)の部分商なる曲線についても分類が完成された。また,同様に保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線X_0(N)の上に存在するHeckeの代数対応の方程式を多くの例について計算した。これは,ヤコビ多様体の自己準同型を詳しく研究する為に貴重な資料となる。3.「有理数体上の楕円曲線Eはモジュラー曲線X_0(N)のヤコビ多様体のQ-factorである」といういわゆる谷山-志村予想は,1994年にWiles-TaylorによりEが半安定な場合に解決されたが,我々は,ある種のQ上のアーベル多様体にこの結果を拡張し,その応用として代数体上のQ-curveと呼ばれる楕円曲線や,種数2の代数曲線で,ヤコビ多様体が四元数乗法をもつもの(QM-curve)について,谷山-志村予想を証明した。これは,中央大学の百瀬氏等との共同研究で,1996年度の代数学シンポジウムで3時間にわたって報告した

1994年にWiles-Taylorにより有理数体上の楕円曲線の「谷山-志村予想」が半安定な場合に解決され, 応用としてフェルマーの最終定理(予想)が証明されたことは整数論の歴史に輝く画期的な展開であった. 本研究に先立ち我々は, ある種のQ上のアーベル多様体にWiles等の結果を拡張し, その応用として代数体上のQ-curveや, 四元数乗法をもつ(QM型)種数2の代数曲線について, 「谷山-志村予想」を証明した.本研究は, 上記の結果を適用できる代数曲線を具体的に構成し, その数論的性質を調べるという課題を組織的に遂行したものであるが, 十分に満足のいく成果が得られたと信ずる。主要な結果を数点挙げると・Q上の種数2の代数曲線Cでそのヤコビ多様体が非自明な自己準同型を持つものの族をいくつか構成し, GL(2)-型となるものを多数見い出し, それ等に対して「谷山-志村予想」を検証した.・逆に, 重さ2の保型(尖点)形式(new form) f(z)でそのFourier係数の生成する体が2次体Kであるものに対して, 対応する志村のアーベル曲面A(f)/Qについて, Q上の種数2の代数曲線でヤコビ多様体がA(f)とQ^-上同種なものを具体的に求める, という問題を研究し, K=Q(√<-5>), Q(√<-1>)となることが知られている11個の例について解答を得た.・楕円曲線の二重被覆をなす種数2の曲線の最も一般的な方程式を, 7個の自由パラメータを持つ族として得た. この特殊化により, 曲線属C(j)で, そのコビ多様体が2次体Q(√<j-12^3>)上ではj-不変量がjに等しい楕円曲線(Q-曲線)の積に分解するものを具体的に構成し「谷山-志村予想」を検証した

平成16年度と平成17年度は、種数2の具体的な代数曲線で、そのJacobian varietyの自己準同型環の商体が虚の4次巡回体になるもについて研究した。即ち,その4次巡回体をKとするとき,Jacobian varietyの2べき分点をKに附加した体はKomod2べきのray class fieldを含むことを示し,さらにテータ関数の特殊値として得られるKomond2べきのray class fieldの元に表われる素因子がKで完全分解していることを示した。さらにmod4,mod8のray class filedの中にテータ関数の特殊値として単数を構成した。さらに平成17年および平成18年3月に早稲田大学において整数論の研究集会を開いた。平成18年度は,より一般なCM型アーベル多様体について,そのモーデルヴェイユrankとラムダ不変量の関係を調べて。即ち,Kを2d次のQ上ガロア拡大であるCM対とし、QをKの整数環とし、AをQと同型な自己準同型環をもつアーベル多様体とする。AはK上定義されているとし,PをKで完全分解する奇素数とする。AはPの上にあるKのprime でgood reductionをもつとし,Pの上にあるKのprime idealは単項イデアルとし,それを(π)とする。Aのπ-べき分点をすべてKに附加した体Lには岩澤ラムダ不変量が定義されている。AのK-有理点全体のQ-rankをrとするとき,我々は,上記岩澤ラムダ不変量がr-d以上であることを示した。これは岩澤理論がアーベル多様体のBirch-Swinnerton-Dyer予想についても役にたつことを示している。平成19年3月にも,早稲田大学で整数論研究集会を開き,100人以上の参加者を得た

　与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal（K/k）がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難問である。一方、存在が知られている場合に全てを求める問題に関しては、そのガロア群がGと同型な既約多項式をパラメータ付きで構成し、全てのK/kがパラメータを特殊化することによって得られること（genericな多項式）を示すという手法が考えられる。本研究は、比較的簡単な非アーベル群である二面体群に対して、この手法を計算機の数式処理を利用して実行したもので、以下のような成果を得た：Dn：＝＜α, β｜αn＝β2＝1, βαβ－1＝α－1＞（位数2nの二面体群；nは奇数）とする。このときcos (2π/n)∈kという条件の下で、cをパラメータとする多項式G (X; c)：＝Пn－1／j=0(X－ζjζj+1)+c (ζj :=ζ j－ζ－j／ζ－ζ－1)はk （c）上のn次既約多項式であり、そのガロア群はDnと同型になる（ζは１の原始n乗根）。さらに、G（X; c）はk上genericであることが判明した。これは、任意のDn－拡大K/kが以下の様な生成元xを持つ、というそれ自身興味深い定理を示すことにより証明される。α（x）＝1／－x+ω' β(x)=1／x' (ω:=ζ+1/ζ).以上の結果はn＝3の場合J. P. Serreにより知られていた事実を著しく一般化したものである。また応用として、k上のgenericなn次巡回多項式で極めて単純な形のものが得られる。与えられた代数体k上にアーベル拡大を構成する問題はHilbertの第12問題として知られる難問であるが、本研究はn次巡回拡大という特別な場合の一般解を与えるものである。

本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した：1. ２年前に筆者はType numberT（q, N）をlevelQn、重さ２の保型形式のうち、Atkin Lehner involution Wp（p|qN）の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し、その証明を与えたが、の関係をEichler型ordersのtheta級数によってより具体的に実現する問題を研究した。2. 与えられたlevel（q, N）に対して、Eichler order の族δ（p s）がつねにT（q, N）個のEichler order の各同型類を尽くすであろう」という従来の予想がqN＜15000の範囲内で検証された。3. qN＜10000の範囲内で、各（q, N）に対してT（q, N）個のEicher orders から得られる４種類のtheta級数を計算し、その一次独立性を調べた。その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった。これらのtheta級数たちが一次独立であることは、N＝1、でq（q≡1　mod 4）が素数の場合に北岡の予想と呼ばれていたが、多くの反例があり、かつ一次従属の場合には、L-関数のs＝１でのvanishingという興味深い現象と対応している。4. 3で求めたtheta級数の一次結合からNeben characterを持つcusp form　f（z）でHecke作用素の同時固有関数となるものを得て、そのFourier係数を使って、jacobian varietyが志村のアーベル曲面Afと同種になる、種数２の代数曲線の方程式を求めた。研究成果の発表1) On modularity conjecture for Q-curves and QM-curves, (with Y. Hasegawa, F.Momose), International J. Math.1999.,to appear2) Q-curves of degree 5 and jacobian surfaces of GL2-type, Manuscripta Math. 1998, to appear.3) 　２次体上の楕円曲線とＧＬ(２)型アーベル曲面、1997年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演・企画特別講演アブストラクト、72-81.4) 　志村のアーベル曲面と種数２の代数曲線、1998早稲田大学整数論シンポジウム報告集、1998.