The main subject of our research project is the constructive sapect of the Inverse Galois theory, and our aim is to develop the systematic method to construct the family of abelian equations, which has been one of the central problems in number theory. In this research work we focused our interests to the case of cyclic equations. We proposed a new idea to make a geometric generalization of the so called Gaussian period relations in the theory of cyclotomy. Namely making use of the mechanism by which a cyclotomic polynomials give rise as irreducible polynomials of Gaussian periods, we introduced e independent variables y_0,【triple bond】y_<e-1> and constructed e^2 rational functions u_<ij> of y's, in the similar way as the cyclotomic numbers are defined. Then we proved that Q(y_0【triple bond】y_<e-1>) is a cyclic extension of Q(u'_<ij>s). By this way, we have succeeded to construct small degree e a parametric family of cyclic polynomials of degree e ; especially for e=7, we found, a simple family whose coefficients are integral polynomials in our parameter n with constant term n^7. This gives an essentially new development in the so called Lehmer project. We remark that this result gives also a partial answer to the famous 12th problem of Hilbert's, which requires to construct abelian extensions over given number field

1. The head investigator organized two workshops in 1999, and jointly organized two research meetings in 2000. With these preparations he co-organized an International Conference "Galois Theory and Modular Forms" in the final year, 2001. The proceedings is now under preparation for publication in the DEVM Series of Kluwer Acad. Publ. The purpose of the conference is to collect informations and techniques in various related fields and to announce the results of this research project. During the three years of the project, 14 foreign mathematicians were invited, including the invited speakers of the meetings, whose supports on the research project were fruitful.2. The head investigator obtained the following results on the inverse problem of Galois : (1) for a cyclic group of odd order n he constructed simple and clear generic family of polynomials with one parameter over the maximal real sub field of the nth cylotomic field by utilizing linear fractional transformation representations. Then he generalized the results also for a dihedral group of order 2n with K. Hashimoto ; (2) in case of n=3, he could construct such a family of cubic polynomials with two integral parameters which parametrizes all of the quadratic fields with class numbers divisible by three and all of unramified cyclic cubic extensions of them ; (3) he also prepared a historical exposition on interactions between algebraic number theory and analytic number theory in the final year of the research project.3. The 15 Investigators prepared 73 research papers for the three years. Among them 10 preprints are selected and attached as Appendix II to the main body of the research report

In 1998, we have obtained the following ;We constructed normal bases in the first layer of a Zp-extension of a certain abelian extension of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions. We used the Jacobian variety with a principal polalization of the curve y^2=1-x^5.In 1999, we have obtained the following ;We constructed Minkowshi units in the ray class field of (]SU.[) modulo 6 by special velues of Siegel modular functions. We constructed also a unit group in the ray class field of (]SU.[) modulo 18 by special values of Siegel modular functions.In 2000, we have obtained the following ;We constructed all unies in the ray class field of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions

The modularity conjecture (Serre-Ribet) states that an abelian variety of GLィイD22ィエD2-type over Q is isogenous (over QィイD4-ィエD4) to a Q-simple factor of the jacobian variety of the modular courve XィイD21ィエD2 (N) for some integer N. We study this conjecture. Applying the deformation theory of Galois representation of Wiles, Taylor, Diamond and Gonrad, we proved this conjecture for the objects which have the extra twistings under some conditions. For a given prime ideal, if the objects has potentially "ordinary" reduction, we could improve the condition of modularity, using the results of Skinner-Wiles. If the objects has potentially good reduction of height 2, we proved the modularity under (natural) condition, using the results of Conrad-Diamond-Taylor.We also got the moduli of the abelian varieties of GLィイD22ィエD2-type over Q (up to isogeny). We made use of the quotient of Shimura varieties of GLィイD22ィエD2-type bye some group of automorphsms (over QィイD4-ィエD4). We generalized the local tree of Elkies, and combined it with the descent up to isogeny of Ribet-Pyle. Further, we studies the arithmetic geometry of the moduli space (over Z). Using these results, we can apply the modularity conditions

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

(1)非線形移流項をもつ特異摂動問題とε→οとしたとき得られる問題に対する一般的理論を整理しその発展を試みた。とくに数値解析に重点を置いてE-scheme等差分schemeの特長を調べた。(2)自然科学における現象を記述するモデルの非線形微分方程式に対し、理論的解析および有効な計算法の開発をめざした。(3)各種微分方程式の特性を利用したadaptiveな数値計算法の開発てめざした。そのため、対象の微分方程式の性質を数理解析的にもとらえ直しを試みた。(1)と(2)については必要な研究の基礎はつかまえたがまだ部分的な解決に留っており、今後も継続した研究が必要である。(3)については一定の成果を得ることができた。とくに、計算法と誤差解析との関連がより明確化できた。結果は順次整理して発表する予定である

1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した

2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田

類体論はア-ベル拡大論の理論であるが,その中心はアルチンの相互法則である。高木が類体論を完成し,アルチンが相互法則をその画竜点晴として加えた。現在類体論の証明は相互法則の証明を直接目指し,その系として高木の同型定理・分解定理などを証明する。筆者はこういう証明方法の不透明さ,非直観性を指摘し,歴史的段階に従って同型定理分解定理を証明して後,相互法則を証明する道筋をより直観性に富むと考え,その方針で証明を簡易化した。今迄の証明法の非直観性はアルチン写像4:Ck→Gal(J/k)を直接定義せず,その逆写像を定義することに由来すると思われる。そのような方法になる理由はコホモロジカルな証明を用いるからである。同型定理・分解法則の接接証明を目指するとき,ネックとなるのは存在定理を用いるところにある。その存在定理の証明ま大変困難で,相互法則を用いると大変簡単になるのが問題点である。筆者は,同型定理‥分解法則の証明に用いられる存在定理は実は限定された種類のものであることを指摘し,限定された存在定理はごく簡単に証明できることを示した。かくして「高木の等式」⇒「高木の類体論」⇒「相互法則」⇒「存在定理」のル-トが確立し,見通しのよい証明法が得られたと確信する。なおこの証明構成は津田塾大学でひらかれた研究会で報告し,論文集も4月には発行されるが,その成度にのっとった類体論の証明を単行書として日本評論社から評行の予定である

当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである

1有理数体上の正定値四元数環をB,その判別式をqとする.qと素な自然数Nに対して,level(q,N)のsplit order(極大と限らない整数環)が定義される。その同型類の個数(Type number)T(q,N)及び左(右)イデアル類数H(q,N),は有限でq,Nのみで決まる重要なBの不変量である.類数H(q,N)はlevel qN,重さ2の保型形式の空間の次元と一致し,その空間のBrandt行列及びtheta級数による正確な記述が知られている。これより,保型形式やモジュラー曲線,楕円曲線に関する各種の性質および,これらと関連する諸問題が四元数環のEichler orderの数論に翻訳され,前者の研究の重要な手段を与える。(1)申請者は今回の研究によって,一般のsplit orderに対してType number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-Lehnerによるinvolution W_p(P|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた。Eichler型orderの場合には,この結果は,Heck環の表現の分解を調べることにより,理論的な解釈を与えることが出来た。(2)さらに,これらの結果を応用して,theta級数による保型形式の構成を利用して,モジュラー曲線の自己同型群による商として得られる曲線が超楕円的になるものを分類する問題について,Nが平方因子を持たない場合の完全な解決を得た

本研究では,有理数体上の正定値四元数環のlevel(q,N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1.Type number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-LehnerによるinvolutionW_p(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた.2.Brandt行列が各固有部分空間上に以下に作用するかを,数論的に記述子,Brandt行列とHecke作用素の跡を細分して比較する事によりその証明を与えた.3.与えられたlevel(q,N)に対して,Eichler orderの族O(p,s)を二つのパラメーターp,sを用いて構成した.更に,コンピュータを用いて,qN<5000の範囲内では常に族O(p,s)がT(q,N)個のEichler orderの各同型類を尽くす事が確かめられた.4.qN<5000の範囲内で,各(q,N)に対してT(q,N)個のEichler orderのtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.5.これらのtheta級数のランク(階数)は,保型形式fのうちHecke作用素の固有関数で,L-関数がL(f,1)≠0をみたすものの個数に等しい事が知られている.我々の計算は,s=1に於いてL(f,s)が2位の零点を持つ保型形式fの個数を与える.その様なfのlevel qNに関する分布を調べた結果,著しい一様性を示す事が明らかになった.6.Eichler orderに付随する他の4種類の二次形式付き格子に対してもtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった

1.四元数theta級数について. 今回の研究では,有理数体上の正定値四元数環Bでその判別式 qがq<10000なる素数の場合に,各q毎に(Type number T(q)個存在する)全ての極大整還の同型類の代表を求め,そのtheta級数を計算して,その一次独立性を調べた。これは従来の範囲q<5000を大きく拡大するもので,この結果,新たに90個のlevel q,重さ2の保型形式fで,s=1でのrankが2であるものが発見された(論文を準備中)。2.1.に於ける計算からtheta級数として得られた保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線とそのヤコビ多様体の研究を種々の角度から行った。特に,モジュラー曲線のAtkin-Lehner's involutionの群による商曲線X^*_0(N)のうちで超楕円的曲線になるものをlevel Nがsquare freeの場合に完全に分類した。更に申請者の研究室の助手・大学院生によって,Nが一般の場合や,X_0(N)の部分商なる曲線についても分類が完成された。また,同様に保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線X_0(N)の上に存在するHeckeの代数対応の方程式を多くの例について計算した。これは,ヤコビ多様体の自己準同型を詳しく研究する為に貴重な資料となる。3.「有理数体上の楕円曲線Eはモジュラー曲線X_0(N)のヤコビ多様体のQ-factorである」といういわゆる谷山-志村予想は,1994年にWiles-TaylorによりEが半安定な場合に解決されたが,我々は,ある種のQ上のアーベル多様体にこの結果を拡張し,その応用として代数体上のQ-curveと呼ばれる楕円曲線や,種数2の代数曲線で,ヤコビ多様体が四元数乗法をもつもの(QM-curve)について,谷山-志村予想を証明した。これは,中央大学の百瀬氏等との共同研究で,1996年度の代数学シンポジウムで3時間にわたって報告した

In 1994 Wiles and Taylor have settled the proof of Taniyama-Shimura conjecture for (semistable) elliptic curves over Q. This, with its application to the proof of Fermat's Last Theorem, was one of the greatest achievment in this century. In our previous research, we extended the result of Wiles-Taylor proving the modularity of certain abelian varieties over Q, including Q-curves over number fields, and jacobians of QM-curves of GL (2) -type. The aim of the present research has been to provide as many as possible the concrete examples of algebraic curves over Q, for which our modularity criterion for their jacobian can be applied, as well as to investigate various arithmetic properties of such curves. Some of our main results are :・ We obtained some families of genus 2 curves over Q whose jacobian varieties are of GL (2) -type, and checked their modularity numerically and theoretically.・ Conversely, for each cusp f (z) of weight 2 whose Fourier coefficients generate a quadratic field K, we tried to find an algebraic curve over QィイD4-ィエD4 shose jacobian variety is isogenous to the Shimura's abelian surface AィイD2fィエD2 attached to f. We have settled this problem in all known cases for K = Q(ィイD8-5ィエD8), Q (ィイD8-1ィエD8). There are 11 such f.・ We constructed the most general family with 7 free parameters, of genus 2 curves over Q which form a double cuver of a family of elliptic curves. Among them we found a generic family of the covering C (j) → E (j) where E (j) is the Tate's model of elliptic curve with j (E (j) ) = j. Then the simple factor of JacC (j) is shown to be a Q-curve over quadratic field Q (ィイD8j-12ィイD13ィエD1ィエD8)

We construct certain algebraic integers αm as special values of two variable theta functions in the ray class field of a certain quartic field modulo 2m, and study a property of prime i deals which appear in αm in connection to the relationships between cyclotomic units and exponential functions and between elliptic units and elliptic functions, Moreover, we study a relationship between the Mordell-Weil rank of an abelian variety with complex multiplication and the Iwasawa λ-invariant of a certain ZLP-extension

　与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal（K/k）がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難問である。一方、存在が知られている場合に全てを求める問題に関しては、そのガロア群がGと同型な既約多項式をパラメータ付きで構成し、全てのK/kがパラメータを特殊化することによって得られること（genericな多項式）を示すという手法が考えられる。本研究は、比較的簡単な非アーベル群である二面体群に対して、この手法を計算機の数式処理を利用して実行したもので、以下のような成果を得た：Dn：＝＜α, β｜αn＝β2＝1, βαβ－1＝α－1＞（位数2nの二面体群；nは奇数）とする。このときcos (2π/n)∈kという条件の下で、cをパラメータとする多項式G (X; c)：＝Пn－1／j=0(X－ζjζj+1)+c (ζj :=ζ j－ζ－j／ζ－ζ－1)はk （c）上のn次既約多項式であり、そのガロア群はDnと同型になる（ζは１の原始n乗根）。さらに、G（X; c）はk上genericであることが判明した。これは、任意のDn－拡大K/kが以下の様な生成元xを持つ、というそれ自身興味深い定理を示すことにより証明される。α（x）＝1／－x+ω' β(x)=1／x' (ω:=ζ+1/ζ).以上の結果はn＝3の場合J. P. Serreにより知られていた事実を著しく一般化したものである。また応用として、k上のgenericなn次巡回多項式で極めて単純な形のものが得られる。与えられた代数体k上にアーベル拡大を構成する問題はHilbertの第12問題として知られる難問であるが、本研究はn次巡回拡大という特別な場合の一般解を与えるものである。

本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した：1. ２年前に筆者はType numberT（q, N）をlevelQn、重さ２の保型形式のうち、Atkin Lehner involution Wp（p|qN）の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し、その証明を与えたが、の関係をEichler型ordersのtheta級数によってより具体的に実現する問題を研究した。2. 与えられたlevel（q, N）に対して、Eichler order の族δ（p s）がつねにT（q, N）個のEichler order の各同型類を尽くすであろう」という従来の予想がqN＜15000の範囲内で検証された。3. qN＜10000の範囲内で、各（q, N）に対してT（q, N）個のEicher orders から得られる４種類のtheta級数を計算し、その一次独立性を調べた。その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった。これらのtheta級数たちが一次独立であることは、N＝1、でq（q≡1　mod 4）が素数の場合に北岡の予想と呼ばれていたが、多くの反例があり、かつ一次従属の場合には、L-関数のs＝１でのvanishingという興味深い現象と対応している。4. 3で求めたtheta級数の一次結合からNeben characterを持つcusp form　f（z）でHecke作用素の同時固有関数となるものを得て、そのFourier係数を使って、jacobian varietyが志村のアーベル曲面Afと同種になる、種数２の代数曲線の方程式を求めた。研究成果の発表1) On modularity conjecture for Q-curves and QM-curves, (with Y. Hasegawa, F.Momose), International J. Math.1999.,to appear2) Q-curves of degree 5 and jacobian surfaces of GL2-type, Manuscripta Math. 1998, to appear.3) 　２次体上の楕円曲線とＧＬ(２)型アーベル曲面、1997年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演・企画特別講演アブストラクト、72-81.4) 　志村のアーベル曲面と種数２の代数曲線、1998早稲田大学整数論シンポジウム報告集、1998.