Updated on 2022/05/25

写真a

 
HASHIMOTO, Kiichiro
 
Affiliation
Faculty of Science and Engineering
Job title
Professor Emeritus

Degree

  • 理学博士

Professional Memberships

  •  
     
     

    日本数学会, AMS(American Mathematical Society)

 

Research Areas

  • Algebra

Research Interests

  • Galois Theory, Generic Polynomial, Arithmetic Geometry

Papers

  • Geometric generalization of gaussian period relations with application to noether’s problem for meta-cyclic groups

    Ki-Ichiro Hashimoto, Akinari Hoshi

    Tokyo Journal of Mathematics   28 ( 1 ) 13 - 32  2005

     View Summary

    We study Noether’s problem over Q for meta-cyclic groups. This paper is an extension of the previous work [2], which was concerned with the cyclic group Cn of order n. We shall give a simple description of the action of the normalizer of Cn in Sn to the function field Q(x1,…, xn), in terms of the generators of the fixed field of Cn given in [2]. Using this, we settle Noether’s problem for the dihedral group of order 2n (n ≤ 6) and the Frobenius group of order 20 with explicit construction of independent generators of the fixed fields. We shall also reconstruct some simple one-parameter families of cyclic and dihedral polynomials. © 2005 International Academic Printing Co. Ltd. All rights reserved.

    DOI

  • Families of cyclic polynomials obtained from geometric generalization of Gaussian period relations

    KI Hashimoto, A Hoshi

    MATHEMATICS OF COMPUTATION   74 ( 251 ) 1519 - 1530  2005  [Refereed]

     View Summary

    A general method of constructing families of cyclic polynomials over Q with more than one parameter will be discussed, which may be called a geometric generalization of the Gaussian period relations. Using this, we obtain explicit multi-parametric families of cyclic polynomials over Q of degree 3 <= e <= 7. We also give a simple family of cyclic polynomials with one parameter in each case, by specializing our parameters.

  • Q-curves of rational j-invaritants and Jacobian surfaces of GL2-type

    Galoas Theory and Modular Forms,DEVM 11, Kluwer Acad. Publ.   11  2003  [Refereed]

  • Galoas Theory and Modular Forms

    Ki-ichiro Hashimoto, Katsuya Miyake, Hiroaki Nakamula

    Developments in Mathematics, Kluwer Acad. Publ.   11  2003

  • Generic polynomials over Q with two parameters for the transitive groups of degree five

    Ki-ichiro Hashimoto, Hiroshi Tsunogai

    Proceedings of Japan Academy   79A ( 9 ) 148 - 151  2003  [Refereed]

Research Projects

  • Explicit study on automorphic structure in algebra and zeta functions.

    Project Year :

    2001
    -
    2004
     

     View Summary

    In these four years, the principal researcher of this subject organized a conference at Oberwol-fach, three Spring Confecences, two Autumn Workshops (one of which is Japan-Germany Seminar supported by JSPS), Mini-workshop on Number Theory, and Meeting on Modular Forms and Zeta Functions, hence 8 conferences in total, and studied effectively with many foreign researchers and cooperative researchers in Japan, In particular, in Spring Conference, we focused to communicate with wide areas arround modular forms, and took Graded rings of modular forms, Vertex operator algebras in first and second one, and more mixed areas in the third one. We published five Proceedings of 970 total pages. More concretely, the principal researcher proposed a conjecture on Shimura type correspondence between Siegel modular forms of integral and half integral weight, studied structures of scalar valued and vector valued Siegel modular forms and differential operators, Borcherds product expression, holonomic system coming from differential operators on modular forms, positivity of eta products, Koecher-Maass series of forms obtained by lifting, modular forms of rational weight. As it can be seen from the list of their papers, the other researchers of our project also actively studied on conformal field theory, spherical and Whittaker functions, prehomogenous vector spaces, modular forms on unitary groups, elliptic root systems, p-adic modular forms, L-packet, adele geometry, converse theorem, vertex operator algebras, combinatorial designs, weakly spherical spaces, inverse Galois problem and CAP forms.

  • 統計的漸近理論の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1986
    -
    1987
     

     View Summary

    1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

  • 統計的漸近理論の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    Project Year :

    1986
    -
    1987
     

     View Summary

    1.確率過程における母数推測問題は今年度はとくに重点的にとりくみ,エルゴディックモデルおよび非エルゴディックモデルにおける母数の有効推定量,最良検定の存在と構成についてしらべた。いくつかの成果もえられ現在はその整理段階である。2.非正則統計モデルにおける推測については,確率解析の応用により見通しのよい議論ができることが予想されるが,現在の段階ではいくつかの個別モデルにおける応用がみられる程度で,今後の研究課題である。さらに非正則モデルにおいては,正則モデルにおける場合と異なり漸近有効推定量,漸近十分統計量の構成については統一的な結果は得られてなく,今年度においては主としてこれまでの成果と問題点の整理がなされた。3.統計的実験の比較の理論は大きくわけて2つの方向から研究されている。一つは,非常に一般的な構造である非支配的構造をもつ二つの実験を比較する問題であり,他の一つは,Σ>0を正の定数としたとき,許容度Σの範囲でそれらを比較するいわゆる“Σー比較"の議論である。前者は数学基礎論とも関連し,非常に精緻な議論を必要とし,後者は抽象Lー空間,Mー空間,transition,projection等の概念を通して関数解析とも密接に結びつけている。これらは現在積極的に研究されつつある

  • 各種微分方程式の数理解析的研究

     View Summary

    (1)非線形移流項をもつ特異摂動問題とε→οとしたとき得られる問題に対する一般的理論を整理しその発展を試みた。とくに数値解析に重点を置いてE-scheme等差分schemeの特長を調べた。(2)自然科学における現象を記述するモデルの非線形微分方程式に対し、理論的解析および有効な計算法の開発をめざした。(3)各種微分方程式の特性を利用したadaptiveな数値計算法の開発てめざした。そのため、対象の微分方程式の性質を数理解析的にもとらえ直しを試みた。(1)と(2)については必要な研究の基礎はつかまえたがまだ部分的な解決に留っており、今後も継続した研究が必要である。(3)については一定の成果を得ることができた。とくに、計算法と誤差解析との関連がより明確化できた。結果は順次整理して発表する予定である

  • 代数群上の保型函数論とP-進離散群の研究

     View Summary

    1.ユニタリ-群の類数の研究。虚2次体Kを係数とする正値ユニタリ-形式の類数を求める問題は代数群の数論に於ける一つの基本問題であるが、本研究ではこれをSelbergの跡公式を応用する事により求める事を試みた。この方法は既に四元数環や二次形式の類数の計算で応用され多くの成果が上げられているが、ユニタリ-群(正値エルミ-ト形式)ではこれが最初の成果である。まず一般階数のユニタリ-群の共役類の分類研究をし、次に跡公式の主要項であるMass formulaの具体的表示の初等的証明を与えた。また階数が2、及び3の場合に、unimodular latticeを含む種(genus)の類数に対する具体的公式を与えた。2.P-進離散群のSelberg-Ihara型ゼ-タ関数の研究。伊原氏はLie群の離散群に対するSelbergゼ-タ関数の類似をP-進体K上の二次特殊線形群(PSL(2、K)の離散群に対して考察し著しい結果を得た。本研究では伊原の結果をK-rankが1の線形代数群に一般化する事を試み、所期の成果を収めたものである。主要な成果はゼ-タ関数の有理式表示及び特殊因子(1-u)が商空間の2乗可積分関数空間のスペクトル分解に於いて所謂Steinberg表現に対応し両者の重複度が等しいという結果である。3.有限グラフのゼ-タ関数の研究。上記2の研究を更に一般化したもので、任意の連結有限グラフXとその基本群の有限次ユニタリ-表現pに対してゼ-タ関数Z(X、p;u)を定義し、これに関数行列式としての表示を与え、それより導かれる多くの性質を研究した

  • 場の理論の数学

     View Summary

    2次元共形場理論の出発点は,複素解析的にouカーstateとin stateを記述することにある。4次元共形場理論においても複素解析的手法を適用し,粒子場と反粒子場とが,各々複素平面のはりあわせとして関係していることを示し,共形場理論への出発点を与えることができた。S^4上のディラック作用素と赤道S^3上のハミルトニアンを複素ベクトル場を成分とする行列で具体的に表示することにより,S^4上の調和スピノ-ルの特徴づけを与え,またS^3上のハミルトニアンの固有値および完全固有スピノ-ル系を求めた。一方S^3へのSU(2,D)の左及び右からの作用より得られる最高ウエイメト表現に附随した球函数を2次元複素座標により表示した。これは初等的な結果であるが新しい。この球函数の族が上記固有スピノ-ルを系統的に与えることがわかる。この固有函数系に自然に附随してS^3上の無限次元グラスマン多様体が構成される。このグラスマン多様体の各元はS^4の北半球,南半球のスピノ-ルに境界系件を与えていると考えられる(witten's idea)が,このtransmission問題を考え解訳した。とくにディラック作堂素の指数定理の直接計算による証明が得られた。さらに進んでフェルミオン・フォック空間を導入した。ヴィラソロ代数の4次元の類似を探することが今後の問題となる。(以上 郡)量子群の研究に関しいは,A_< nー1>型のヘッケ代数により量子群Vg(gl(n+1))の表現の指標を訳定する研究が行なわれた(上野)この他,函数解析の基本的定理に関して,Whitteyーschwartzによるdistribntionの特徴づけの定理の精密化が得られた(垣田

  • 単項化定理と関連する諸題目の研究

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    類体論はア-ベル拡大論の理論であるが,その中心はアルチンの相互法則である。高木が類体論を完成し,アルチンが相互法則をその画竜点晴として加えた。現在類体論の証明は相互法則の証明を直接目指し,その系として高木の同型定理・分解定理などを証明する。筆者はこういう証明方法の不透明さ,非直観性を指摘し,歴史的段階に従って同型定理分解定理を証明して後,相互法則を証明する道筋をより直観性に富むと考え,その方針で証明を簡易化した。今迄の証明法の非直観性はアルチン写像4:Ck→Gal(J/k)を直接定義せず,その逆写像を定義することに由来すると思われる。そのような方法になる理由はコホモロジカルな証明を用いるからである。同型定理・分解法則の接接証明を目指するとき,ネックとなるのは存在定理を用いるところにある。その存在定理の証明ま大変困難で,相互法則を用いると大変簡単になるのが問題点である。筆者は,同型定理‥分解法則の証明に用いられる存在定理は実は限定された種類のものであることを指摘し,限定された存在定理はごく簡単に証明できることを示した。かくして「高木の等式」⇒「高木の類体論」⇒「相互法則」⇒「存在定理」のル-トが確立し,見通しのよい証明法が得られたと確信する。なおこの証明構成は津田塾大学でひらかれた研究会で報告し,論文集も4月には発行されるが,その成度にのっとった類体論の証明を単行書として日本評論社から評行の予定である

  • 無限次元リー群およびリー環の表現とその応用

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    当該年度において上記研究課題の下で、下記の成果および追展があった。Vuiasoro代数の可約Verma加群Vhc((h,C)(〓^2)をパラメータ化する多項式の決定と可約Verma間のInterting作用素を頂点作用素を用いて表示する計算に、特別の場合にではあるが成功した。又、頂点作用素環の定式化と偶二次形式をもつ格子から頂点作用素環の構成に有効な知見を得た。分担者の上野喜三雄はMacdonan-1多項式を統御する量子群が"Upt(ηl∞)"であるべきだとの立場から、Belavinの完全Zm対線行列の概念を更に発展させ完全Z対称R行列の概念を導入し、その方程式をみたしていることを示した。又、Rの有限次元表現も構成している。上野は他に、量子SU(1,1)群のCasimier作用素の不変q-差分作用素のスペクトル解析についての結果も出している。分担者の郡敏昭は、Virasono代数の自然な拡張であるVat(S^3)のある中心拡大代数を把えることに成功した。即ち、多様体上の擬微分作用素環上のコサイクルを利用してVect(S^3)上の非自明なコサイクルを表現論的な計算を通じて具体的に与えたもので、この中心拡大代数は今後この方面の重要な研究対象になると考えている。この他、投稿基準中であるがBowdary Value Proflem for the Dirai Operators on S^4"でDirac作用素の固有関数で張られる無限次元Grassman多様体を用いて、場の量子論の試みを行っている。橋本喜一朗は、有限グラフXの自己同型群Aut(X)のある部分群Gとその有限次元表現Pに付随するArtin型L-関数L(m,p.X,G)を定式化し、これがある線型作用素の行列式で表示できることを証明し、有限グラフのPrime cycleに対する密度定理を巧妙な方法で証明している。この研究は有限グラフのSelfcrag-伊原のξ-関数の研究に連なる重要なものである

  • P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

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    1有理数体上の正定値四元数環をB,その判別式をqとする.qと素な自然数Nに対して,level(q,N)のsplit order(極大と限らない整数環)が定義される。その同型類の個数(Type number)T(q,N)及び左(右)イデアル類数H(q,N),は有限でq,Nのみで決まる重要なBの不変量である.類数H(q,N)はlevel qN,重さ2の保型形式の空間の次元と一致し,その空間のBrandt行列及びtheta級数による正確な記述が知られている。これより,保型形式やモジュラー曲線,楕円曲線に関する各種の性質および,これらと関連する諸問題が四元数環のEichler orderの数論に翻訳され,前者の研究の重要な手段を与える。(1)申請者は今回の研究によって,一般のsplit orderに対してType number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-Lehnerによるinvolution W_p(P|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた。Eichler型orderの場合には,この結果は,Heck環の表現の分解を調べることにより,理論的な解釈を与えることが出来た。(2)さらに,これらの結果を応用して,theta級数による保型形式の構成を利用して,モジュラー曲線の自己同型群による商として得られる曲線が超楕円的になるものを分類する問題について,Nが平方因子を持たない場合の完全な解決を得た

  • P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

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    本研究では,有理数体上の正定値四元数環のlevel(q,N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1.Type number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-LehnerによるinvolutionW_p(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた.2.Brandt行列が各固有部分空間上に以下に作用するかを,数論的に記述子,Brandt行列とHecke作用素の跡を細分して比較する事によりその証明を与えた.3.与えられたlevel(q,N)に対して,Eichler orderの族O(p,s)を二つのパラメーターp,sを用いて構成した.更に,コンピュータを用いて,qN<5000の範囲内では常に族O(p,s)がT(q,N)個のEichler orderの各同型類を尽くす事が確かめられた.4.qN<5000の範囲内で,各(q,N)に対してT(q,N)個のEichler orderのtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.5.これらのtheta級数のランク(階数)は,保型形式fのうちHecke作用素の固有関数で,L-関数がL(f,1)≠0をみたすものの個数に等しい事が知られている.我々の計算は,s=1に於いてL(f,s)が2位の零点を持つ保型形式fの個数を与える.その様なfのlevel qNに関する分布を調べた結果,著しい一様性を示す事が明らかになった.6.Eichler orderに付随する他の4種類の二次形式付き格子に対してもtheta級数を計算し,その一次独立性を調べた.その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった

  • 四元数theta級数とモジュラー曲線のヤコビ多様体の数論研究

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    1.四元数theta級数について. 今回の研究では,有理数体上の正定値四元数環Bでその判別式 qがq<10000なる素数の場合に,各q毎に(Type number T(q)個存在する)全ての極大整還の同型類の代表を求め,そのtheta級数を計算して,その一次独立性を調べた。これは従来の範囲q<5000を大きく拡大するもので,この結果,新たに90個のlevel q,重さ2の保型形式fで,s=1でのrankが2であるものが発見された(論文を準備中)。2.1.に於ける計算からtheta級数として得られた保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線とそのヤコビ多様体の研究を種々の角度から行った。特に,モジュラー曲線のAtkin-Lehner's involutionの群による商曲線X^*_0(N)のうちで超楕円的曲線になるものをlevel Nがsquare freeの場合に完全に分類した。更に申請者の研究室の助手・大学院生によって,Nが一般の場合や,X_0(N)の部分商なる曲線についても分類が完成された。また,同様に保型形式のFourier係数を用いて,モジュラー曲線X_0(N)の上に存在するHeckeの代数対応の方程式を多くの例について計算した。これは,ヤコビ多様体の自己準同型を詳しく研究する為に貴重な資料となる。3.「有理数体上の楕円曲線Eはモジュラー曲線X_0(N)のヤコビ多様体のQ-factorである」といういわゆる谷山-志村予想は,1994年にWiles-TaylorによりEが半安定な場合に解決されたが,我々は,ある種のQ上のアーベル多様体にこの結果を拡張し,その応用として代数体上のQ-curveと呼ばれる楕円曲線や,種数2の代数曲線で,ヤコビ多様体が四元数乗法をもつもの(QM-curve)について,谷山-志村予想を証明した。これは,中央大学の百瀬氏等との共同研究で,1996年度の代数学シンポジウムで3時間にわたって報告した

  • Modular Conjecture

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    The modularity conjecture (Serre-Ribet) states that an abelian variety of GLィイD22ィエD2-type over Q is isogenous (over QィイD4-ィエD4) to a Q-simple factor of the jacobian variety of the modular courve XィイD21ィエD2 (N) for some integer N. We study this conjecture. Applying the deformation theory of Galois representation of Wiles, Taylor, Diamond and Gonrad, we proved this conjecture for the objects which have the extra twistings under some conditions. For a given prime ideal, if the objects has potentially "ordinary" reduction, we could improve the condition of modularity, using the results of Skinner-Wiles. If the objects has potentially good reduction of height 2, we proved the modularity under (natural) condition, using the results of Conrad-Diamond-Taylor.We also got the moduli of the abelian varieties of GLィイD22ィエD2-type over Q (up to isogeny). We made use of the quotient of Shimura varieties of GLィイD22ィエD2-type bye some group of automorphsms (over QィイD4-ィエD4). We generalized the local tree of Elkies, and combined it with the descent up to isogeny of Ribet-Pyle. Further, we studies the arithmetic geometry of the moduli space (over Z). Using these results, we can apply the modularity conditions

  • Research on the arithmetic of algebraic curves and jacobian varieties

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    In 1994 Wiles and Taylor have settled the proof of Taniyama-Shimura conjecture for (semistable) elliptic curves over Q. This, with its application to the proof of Fermat's Last Theorem, was one of the greatest achievment in this century. In our previous research, we extended the result of Wiles-Taylor proving the modularity of certain abelian varieties over Q, including Q-curves over number fields, and jacobians of QM-curves of GL (2) -type. The aim of the present research has been to provide as many as possible the concrete examples of algebraic curves over Q, for which our modularity criterion for their jacobian can be applied, as well as to investigate various arithmetic properties of such curves. Some of our main results are :・ We obtained some families of genus 2 curves over Q whose jacobian varieties are of GL (2) -type, and checked their modularity numerically and theoretically.・ Conversely, for each cusp f (z) of weight 2 whose Fourier coefficients generate a quadratic field K, we tried to find an algebraic curve over QィイD4-ィエD4 shose jacobian variety is isogenous to the Shimura's abelian surface AィイD2fィエD2 attached to f. We have settled this problem in all known cases for K = Q(ィイD8-5ィエD8), Q (ィイD8-1ィエD8). There are 11 such f.・ We constructed the most general family with 7 free parameters, of genus 2 curves over Q which form a double cuver of a family of elliptic curves. Among them we found a generic family of the covering C (j) → E (j) where E (j) is the Tate's model of elliptic curve with j (E (j) ) = j. Then the simple factor of JacC (j) is shown to be a Q-curve over quadratic field Q (ィイD8j-12ィイD13ィエD1ィエD8)

  • Construction of normal bases by special values of modular functions

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    In 1998, we have obtained the following ;We constructed normal bases in the first layer of a Zp-extension of a certain abelian extension of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions. We used the Jacobian variety with a principal polalization of the curve y^2=1-x^5.In 1999, we have obtained the following ;We constructed Minkowshi units in the ray class field of (]SU.[) modulo 6 by special velues of Siegel modular functions. We constructed also a unit group in the ray class field of (]SU.[) modulo 18 by special values of Siegel modular functions.In 2000, we have obtained the following ;We constructed all unies in the ray class field of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions

  • THE INVERSE PROBLEM OF GALOIS AND ITS APPLICATION TO NUMBER THEORY

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    1. The head investigator organized two workshops in 1999, and jointly organized two research meetings in 2000. With these preparations he co-organized an International Conference "Galois Theory and Modular Forms" in the final year, 2001. The proceedings is now under preparation for publication in the DEVM Series of Kluwer Acad. Publ. The purpose of the conference is to collect informations and techniques in various related fields and to announce the results of this research project. During the three years of the project, 14 foreign mathematicians were invited, including the invited speakers of the meetings, whose supports on the research project were fruitful.2. The head investigator obtained the following results on the inverse problem of Galois : (1) for a cyclic group of odd order n he constructed simple and clear generic family of polynomials with one parameter over the maximal real sub field of the nth cylotomic field by utilizing linear fractional transformation representations. Then he generalized the results also for a dihedral group of order 2n with K. Hashimoto ; (2) in case of n=3, he could construct such a family of cubic polynomials with two integral parameters which parametrizes all of the quadratic fields with class numbers divisible by three and all of unramified cyclic cubic extensions of them ; (3) he also prepared a historical exposition on interactions between algebraic number theory and analytic number theory in the final year of the research project.3. The 15 Investigators prepared 73 research papers for the three years. Among them 10 preprints are selected and attached as Appendix II to the main body of the research report

  • Construction of abelian equations and study of Gaussian sums

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    The main subject of our research project is the constructive sapect of the Inverse Galois theory, and our aim is to develop the systematic method to construct the family of abelian equations, which has been one of the central problems in number theory. In this research work we focused our interests to the case of cyclic equations. We proposed a new idea to make a geometric generalization of the so called Gaussian period relations in the theory of cyclotomy. Namely making use of the mechanism by which a cyclotomic polynomials give rise as irreducible polynomials of Gaussian periods, we introduced e independent variables y_0,【triple bond】y_<e-1> and constructed e^2 rational functions u_<ij> of y's, in the similar way as the cyclotomic numbers are defined. Then we proved that Q(y_0【triple bond】y_<e-1>) is a cyclic extension of Q(u'_<ij>s). By this way, we have succeeded to construct small degree e a parametric family of cyclic polynomials of degree e ; especially for e=7, we found, a simple family whose coefficients are integral polynomials in our parameter n with constant term n^7. This gives an essentially new development in the so called Lehmer project. We remark that this result gives also a partial answer to the famous 12th problem of Hilbert's, which requires to construct abelian extensions over given number field

  • Units groups generated by special values of Siegel modular functions

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    In 1976, Coates and Wiles gave large improvement to Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for some elliptic curves with complex multiplication by using elliptic units in abelian extensions of imaginary quadratic fields. Main purpose of car investigation is to consider Birch-Swinnerton-Dyer conjecture of the Jacobian variety of some genus-2-curves with complex multiplications.In our investigation, we obtained the following :We put ζ=e^(2πi)/(13) and α=5+5^3+5^9. Then the field k=Q(α) is the CM-fieldcorresponding to the Jacobian variety J(C) of the curve C :y^2=x^5-156x^4+10816x^3-421824x^2+8998912x-8042776.We construct unit groups in abelian extensions of k by special values of Siegel modular functions at a CM-point corresponding to J(C). moreover we write the values of Hecke L-functions associated to the above abelian fields using units given by Siegel modular functions

  • Development of Unexplored Mathematics and Enhancement of Research Publication

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    The main objective of this project was twofold. One was to execute intensive cooperative researches beyond the borders of specific research fields with the aim of laying the foundation of research on unexplored mathematics. The other was to promote the publication of the "Advanced Studies in Pure Mathematics" series (ASPM for short) in order to establish the prompt distribution of research achievements in sophisticated form.As its outcomes, four international conferences and two workshops were organized and accomplished with great success, and the following twelve proceedings of international conferences were edited and published.A.International Conferences :(1)Workshop on Differential Geometry, held at Taikanso, Matsushima in March,2004.(2)Workshop on Geometric Analysis, held at Tohoku University in February,2005.(3)Differential Geometry, Sendai 2006, held at Tohoku University in February,2006.(4)Geometric Analysis, Sendai 2007, held at Sendai International Center in January,2007.B.Workshops :(1)Workshop on Project Euclid, Tohoku University in January,2004.(2)Open Forum on Digital Publication and Digital Library, Tohoku University in January,2005.C.Proceedings :(1)Higher Dimensional Birational Geometry, ASPM Vol.35.(2)Algebraic Geometry 2000,Azumino, ASPM Vol.36.(3)Lie Groups, Geometric Structures and Differential Equations-One Hundred Years after Sophus Lie-ASPM Vol.37.(4)Operator Algebras and Applications, ASPM Vol.38.(5)Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems, ASPM Vol.39.(6)Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups, ASPM Vol.40.(7)Stochastic Analysis and Related Topics in Kyoto, ASPM Vol.41.(8)Complex Analysis in Several Variables-Memorial Conference of Kiyoshi Oka's Centennial Birthday Kyoto/Nara 2001,ASPM Vol.42.(9)Singularity Theory and Its Applications, ASPM Vol.43.(10)Potential Theory in Matsue, ASPM Vol.44.(11)Moduli Spaces and Arithmetic Geometry (Kyoto,2004), ASPM Vol.45.(12)Singularities in Geometry and Topology 2004,ASPM Vol.46.(13)Mathematics in the 21st Century, Unsealed Peaks of Geometry,2004

  • Construction of Generic Polynomials in Galois Theory and application to Number Theory

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    Thanks to the current Grant-in-Aid, we were able to organize seven research workshops inviting the most active mathematicians on this field, through which we had many discussions on our subjects.This enabled us to make a considerable developments along our reseach project on Galois theory.As for the main theme of constructing generic polynomials with given finite groups over Q, our first result is the construction of concrete and simple families of quintic polynomials with two parameters for each of the five transitive permutation groups of degree 5. As a remarkable application we have established the proof of the genericity of the famous family of A_5 polynomials of degree 6 found by A.Bumer, in connection with algebraic curves of genus two whose Jacobian have real multiplication of discriminant 5.Our second result is concerned with the Noethers' Problem for the meta abelian groups of exponent 8 which are subgroups of the affine transformation group over Z/8Z. We have proved the affirmative answer for the linear representation of degree 4 for each of them, in contrast with the negative answer for cyclic group of order 8. As a biproduct of this result, we obtained a simple criterion for a cyclic extension L/K of degree 4 to be embedded into a cyclic extension of degree 8

  • Special values of Siegel modular functions and Jacobian variety

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    We construct certain algebraic integers αm as special values of two variable theta functions in the ray class field of a certain quartic field modulo 2m, and study a property of prime i deals which appear in αm in connection to the relationships between cyclotomic units and exponential functions and between elliptic units and elliptic functions, Moreover, we study a relationship between the Mordell-Weil rank of an abelian variety with complex multiplication and the Iwasawa λ-invariant of a certain ZLP-extension

  • Noether's Problem for Cremona Groups over algebraic number fields and its application to Number theory

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    We studied the Noether's Problem, which asks the rationality of the fixed field of the rational function field of several variables over a given field, with respect to a given finite subgroup G of the Cremona group. We solved this problem affirmatively in the case where G is one of the transitive permutation groups of degree six, and obtained the explicit description of the fixed field as expected. The results are now being collected and prepared in some papers, although it will take some time before the completion. During the period of the research, we had in each year a workshop entitled as "Galois theory and related topics", and discussed the various related problems.. They were held in the university of Yamagata (2007), Tokushima (2008), and Kanazawa (2009). We also had a conference on number theory each year at Waseda university and communicated with many experts of this subject, including those from foreign countries

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Specific Research

  • 代数体上の有限クレモナ変換群に対するネーター問題と数論への応用

    2006   小松 啓一

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    (1) 「ネーター問題」の研究に関して, 6 次の可移置換群の有理関数体への 2 種類の作用について, 研究した. 6 次の可移置換群は共役を除いて全部で 16 個存在するが, そのような群 G の各々に対して, (i) 6 個の独立変数の置換作用に関する古典的なネーター問題および, (ii) それらの複比が生成する 3 変数有理関数体 Q(x,y,z)への G のクレモナ変換作用に関するネーター問題を考察し, これまでは未解決であった場合のうち, G=(6T10),(6T11),(6T14)について新手法によって固定体の生成元を構成し, 同問題を肯定的に解決した. (2) 6 次可移置換群のネーター問題と, 種数 2 の代数曲線のヤコビ多様体の 2 等分におけるガロア表現との関連について研究を進め, 2 次のジーゲルモジュラー群のレベル 2 の主合同部分群に対するジーゲル保型形式の次数付き環の商体に自然に引き起こされる商群 PGSp(2)= S_6 の作用が, 本研究と深く関連することを明らかにした. この見地から, とくに可移置換群の作用に関する固定体の幾何学的構造の研究が可能となった. (3) 種数 2 の代数曲線のヤコビ多様体の 3 等分におけるガロア表現についても同様な研究を進めた. 特に, 一般 5 次方程式から定まる種数 2 の代数曲線上の trigonal な関数を特徴付けることに成功し, これを用いてガロア表現の像が PGSp(3)になることを示し, その固定体を生成する40 次多項式を元の方程式の係数から求める簡明な手順を得た. (4) 研究集会「ガロア理論とその周辺」を徳島大学理学部において, 整数論研究集会を早稲田大学理工学部において開催し, この一年間の成果と今後の課題について討論した.

  • アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

    2002  

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    2000-2002 年度 基盤C(一般)「アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究」 において, 申請者の大学院生(修士)星 明考 君と共同研究で, ガウス周期の関係式の一部を幾何的に一般化し, 多変数関数体上の巡回多項式族の構成を行った. ガウス周期の既約多項式については, E.Lehmerによって 次数 e=3,4,5,6,8 の場合に 簡単な表示をもつ 1パラメータの e 次巡回多項式族が知られていたが, 高次のガウス周期の既約多項式に対して同様な巡回多項式族を得ることは困難で, その背後にはガウス周期の情報を与えるヤコビ和が e=7 で本質的に二種類に増えることが起因している. この障害を解決する方法として, 我々はガウス周期の満たす関係式関数体上での類似物を構成するという幾何的一般化を行ない, これによりガウス周期の既約多項式から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし, パラメータの個数も複数個に増やすことに成功した.この構成法は, さらに高い次数の考察及び次数に対する一般化も期待される. この研究は 上記の Lehmer の仕事を拡張する F.Thaine の最近の研究にヒントを得て, それをさらに一般化したものである. また e > 3 に対してある条件を付加することにより, e=4,5,6,7,8 に対して e-[(e-3)/2]個のパラメータがついた e次巡回多項式族が得られることを示した. 特に, この構成から得られた巡回多項式族のパラメータを特殊化し, e=7 において定数項が n^7 である簡単な表示をもつ 1パラメータの族を得た:F_7(n;X)= X^7-(n^3+n^2+5n+6)X^6+3(3n^3+3n^2+8n+4)X^5 +(n^7+n^6+9n^5-5n^4-15n^3-22n^2-36n-8)X^4 -n(n^7+5n^6+12n^5+24n^4-6n^3 +2n^2-20n-16)X^3 + n^2(2n^6+7n^5+19n^4+14n^3+2n^2+8n-8)X^2 -n^4(n^4+4n^3+8n^2+4)X+n^7.  nとして(総実)代数体 K の単数を走らせると,F_7(n;X) が既約であればK の 7次巡回拡大の単数が得られる.これらの研究を更に高次の場合に進展させることは今後の重要な課題である.

  • アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

    2001  

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    「ガロアの逆問題」の最終課題は 与えられた体 k に対して, 与えられた有限群 G をガロア群とするガロア拡大 K/k を全てを求める問題であるが, 簡単な構造を持つ群の場合でも満足な結果は殆ど知られていない. 本研究では, ${\bf Q}$ 上の巡回方程式として基本的である「ガウス周期」の既約方程式を組織的に調べ, ${\ell}$ 次ガウス周期の既約方程式 $F_{\ell}(p;X)$ が, 前世紀半ばに Dickson により研究された「円分数」の行列の固有多項式として把握できることを解明, これを利用して巡回方程式の族を構成することを試みた. すなわち, ガウス周期の満たす性質の一部を公理として関数体上のモデルを構成することにより,このようなガウス周期から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし, これよりガウス周期がみたす種々の代数関係式を「円分数」の関係式性として解釈し, これを公理化して関数体上のモデルを構成することを試みた. その結果, ${\ell}=3,4,5,6,8$ の場合に, 複数個のパラメータ付きの巡回多項式族が比較的 simple な形(代数的整数論などへの応用も期待される)で得ることができた.

  • モジュラー曲線Xo(N)とそのHecke代数対応の数論研究

    2000  

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     有理数体上の楕円曲線に関する「谷山―志村予想(Wilesの定理)」の一般化として、Serre-Ribetにより高次元のアーベル多様体に関して「アーベル多様体A/QがJO(N)のQ-因子と同種となる条件は、AがGL(2)型であることである」という予想が提唱されている。我々は、これまでの研究で、この予想および関連する問題を研究し、代数体上のQ-curveと呼ばれる楕円曲線や、種数2の代数曲線で、ヤコビ多様態が四元数上をもつもの(QM-curve)について、予想を証明した(中央大学の百瀬氏等との共同研究)。さらにGL(2)型の「アーベル多様体A/Qを組織的に構成・分類するという、具体的な研究を行ない、 (i)Jac(C)がGL(2)型となる代数曲線C/Qのパラメータ族の構成、 (ii)2次体上のQ-curveおよび、対応するGL(2)型アーベル曲面(Jac(C))の族を構成、 等々の結果を得た。本研究では、上記予想の一般証明の重要なステップとなる、モジュラー曲線XO(N)のHecke代数対応Hn(n=2,3,4,…)の代数曲線としての定義方程式を求め、合同関係式をXO(N)のmodularityに依存しない形で記述し、そのメカニズムを解明した。この結果の主要部は、理工学部助手の金山直樹氏との共同研究であり、論文にまとめる作業を継続中である。超楕円的なモジュラー曲線の場合に、小さなnにたいするHnの方程式については、1999年秋の日本数学会で発表済みである。 当初の目標はさらに、Hn自身をQ上の代数曲線とみてHasse-Weil L-関数を調べ、その解析接続と関数等式を研究することであったがこの課題については、2、3の特殊な例を扱うに留まった。モジュラー曲線の代数対応に対する、このような視点からの研究はこれまで皆無であり、極めて興味深い結果が期待でき、今後の大きな課題である。

  • GL(2)型の代数曲線の構成と数論研究

    1999  

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    楕円曲線に対する「谷山-志村予想」は昨年完全な解決が得られ、その後の目標は高次元のアーベル多様体に対する予想の一般化に移行した。 Serre-Ribet により「アーベル多様体 A/Q が J_1(N) の Q-因子と同種となる条件は、A が GL(2) 型であることである」という予想がある。本特定研究では GL(2) 型のアーベル多様体を組織的に構成分類するという、基本的なアプローチから研究を進めた。具体的な研究成果は以下の通りである:(1) 2 元 6 次形式 f(X,Y) の空間に於ける PGL(2)作用(対称テンソル表現)を調べ、楕円曲線の二重被覆をなす種数 2 の曲線の最も一般的な方程式族が得られた。この特殊化により、曲線族 C(j)でそのヤコビ多様体が 2 次体上では 不変量が j の Q-曲線の積に分解するものを具体的に構成した。その結果、j が有理数のとき、JacC(j) は 「擬 GL(2)型」なることが判明した。(2) 上記ヤコビ曲面 JacC(j)/Q は殆んどの j に対して modular であることを示し、対応する保型形式の Neben type character を決定した。(3) 以上の研究をモデルとして、有理数を j-不変量に持つ 2 次体 k 上の楕円曲線(Q-曲線)の数論に体する一般理論を構築した。即ち、その minimality および k 上の 2 次 twist に体する sign change という現象を明らかにした。特に、各 j に対して この様な Q-曲線の類と k を含む 4 次巡回体が 1 対 1 に対応することが示された。(4) 非自明な実指標を持つ 尖点形式 f(z)でその Fourier 係数の生成する体が 2 次体が ガウスの数体であるもの(N=37,65,104,157,397,877)に対して、志村のアーベル曲面 A(f)/Q のモデルとして Q上の種数 2 の代数曲線で ヤコビ多様体が A(f) と 代数体上同種なものを具体的に求め、対応する 尖点形式を 4 変数の正定値二次形式のテータ級数として具体的に求めた。(5) Q上の自己準同型環が 判別式 8 の二次体の整数環となる曲線の族を構成した。

  • ガロアの逆問題の計算機による構成的研究

    1998  

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     与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal(K/k)がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難問である。一方、存在が知られている場合に全てを求める問題に関しては、そのガロア群がGと同型な既約多項式をパラメータ付きで構成し、全てのK/kがパラメータを特殊化することによって得られること(genericな多項式)を示すという手法が考えられる。本研究は、比較的簡単な非アーベル群である二面体群に対して、この手法を計算機の数式処理を利用して実行したもので、以下のような成果を得た:Dn:=<α, β|αn=β2=1, βαβ-1=α-1>(位数2nの二面体群;nは奇数)とする。このときcos (2π/n)∈kという条件の下で、cをパラメータとする多項式G (X; c):=Пn-1/j=0(X-ζjζj+1)+c (ζj :=ζ j-ζ-j/ζ-ζ-1)はk (c)上のn次既約多項式であり、そのガロア群はDnと同型になる(ζは1の原始n乗根)。さらに、G(X; c)はk上genericであることが判明した。これは、任意のDn-拡大K/kが以下の様な生成元xを持つ、というそれ自身興味深い定理を示すことにより証明される。α(x)=1/-x+ω' β(x)=1/x' (ω:=ζ+1/ζ).以上の結果はn=3の場合J. P. Serreにより知られていた事実を著しく一般化したものである。また応用として、k上のgenericなn次巡回多項式で極めて単純な形のものが得られる。与えられた代数体k上にアーベル拡大を構成する問題はHilbertの第12問題として知られる難問であるが、本研究はn次巡回拡大という特別な場合の一般解を与えるものである。

  • 四元数環に付随する4種のtheta級数の数論研究

    1997  

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    本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1. 2年前に筆者はType numberT(q, N)をlevelQn、重さ2の保型形式のうち、Atkin Lehner involution Wp(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し、その証明を与えたが、の関係をEichler型ordersのtheta級数によってより具体的に実現する問題を研究した。2. 与えられたlevel(q, N)に対して、Eichler order の族δ(p s)がつねにT(q, N)個のEichler order の各同型類を尽くすであろう」という従来の予想がqN<15000の範囲内で検証された。3. qN<10000の範囲内で、各(q, N)に対してT(q, N)個のEicher orders から得られる4種類のtheta級数を計算し、その一次独立性を調べた。その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった。これらのtheta級数たちが一次独立であることは、N=1、でq(q≡1 mod 4)が素数の場合に北岡の予想と呼ばれていたが、多くの反例があり、かつ一次従属の場合には、L-関数のs=1でのvanishingという興味深い現象と対応している。4. 3で求めたtheta級数の一次結合からNeben characterを持つcusp form f(z)でHecke作用素の同時固有関数となるものを得て、そのFourier係数を使って、jacobian varietyが志村のアーベル曲面Afと同種になる、種数2の代数曲線の方程式を求めた。研究成果の発表1) On modularity conjecture for Q-curves and QM-curves, (with Y. Hasegawa, F.Momose), International J. Math.1999.,to appear2) Q-curves of degree 5 and jacobian surfaces of GL2-type, Manuscripta Math. 1998, to appear.3)  2次体上の楕円曲線とGL(2)型アーベル曲面、1997年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演・企画特別講演アブストラクト、72-81.4)  志村のアーベル曲面と種数2の代数曲線、1998早稲田大学整数論シンポジウム報告集、1998.

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