実解析的方法を駆使,L_p空間におけるStokes方程式のスペクトル解析とそのNavier-Stokes方程式への応用についての研究を行った.主な成果つ次のようなものである.
1.非圧縮性粘性流体が一つの物体を通り過ぎるような場合を数学的に記述するOseen方程式に対応する線形化問題のスペクトル解析により,解析半群の生成とその時間無限遠での漸近挙動を示し,それを応用し対応するNavier-Stokes方程式の小さな初期値に対する時間大域解の存在を示した.
2.ビルなどを通り抜ける風の運動などを数学的に定式化したperturbed half spaceにおけるNavier-Stokes方程式の線形化問題として得られるStokes問題の解析半群の生成と時間無限遠での漸近挙動を示した.またそれを応用し対応するNavier-Stokes方程式の小さな初期値に対する時間大域解の存在を示した.
3.有界領域におけるStokes方程式のNeumann問題に対する解の最大正則性原理の証明に成功した.本研究ではWeisのFourier multiplierに関する最新の結果を用いこれまでの研究より簡潔でしかもシャープな結果を得た.この研究で得られた方法論は放物発展方程式の最大正則性原理の証明に広く応用できる画期的なものである.さらにこの原理を応用して表面張力を考えなくて良い場合の自由境界をもつNavier-Stokes流の時間大域的一意存在定理を初期値が小さい場合に示した.
4.無限遠方での流速が零の場合の回転する物体の外側を流れるNavier-Stokes流の数学的解析において,その線形化問題のスペクトル解析を行い,特に解の時間大域的なLp-Lq評価を示した.我々の結果は非常に画期的で有り,この方面の研究を格段に進歩させた.研究方法の特徴的なところは,局所減衰定理を示したところにある.この定理の証明の一つのポイントは,対応するレゾルベント問題の高周波の部分の解析において,作用素を周波数に関して展開し主要部分はセクトリアル作用素になっているということを示したことにある.この解析は従来の研究にはまったく見られない斬新なアイデアであり,7年以上にわたる研究の成果といえる.
5.その他Robinやslip境界条件の下でのStokes方程式のスペクトル解析と対応するNavier-Stokes方程式の解析も行った.また,圧縮性粘性流体に関する拡張も多少を行った.しかし圧縮性粘性流体についての研究の多くは今後の課題である.

柴田良弘教授との共同研究によって、n次元空間の外部領域におけるNavier-Stokes方程式のphysically reasonable solutionの自然な拡張となる定常解が一意的に存在するための、時間に依存しない外力に関する十分条件で、流体の無限遠方での速度が0である場合と0と異なる場合とを統一的に扱えるものを、Lorentz空間の双対性および実補間の理論を用いて、3以上のすべての整数nに対して与えた。
また、柴田教授および榎本裕子助手との共同研究によって、上で得た定常解は、弱Ln-空間に属する初期摂動を加えたとき、時間発展について弱Ln-空間において安定であることを示し、さらにこの摂動の大きさは、流体の無限遠方での速度について一様であることを示した。
さらに、定常解についてのこれらの結果を、外力が時間に依存する場合に拡張し、対応する時間周期解、あるいは概周期解の一意存在のための外力に関する十分条件を、劣線型作用素に対する実補間を用いて得た。またこれらの解の初期摂動および外力の摂動に関する、流体の無限遠方での速度について一様な、弱Ln-空間における安定性を示した。
一方、外部領域に関するこれらの結果をより一般の非有界領域に拡張するための準備として、阿部孝之大学院生との共同研究によって、平行平板間におけるStokes方程式の境界値問題についてのLp-理論を、高階のSobolev空間およびBesov空間に拡張し、これらの空間に属するStokes方程式の解が一意的に存在するための、外力に関る十分条件を得た。特にpが無限大の場合には解の一意性が成立せず、外力及び境界値が0に対する解としてPoiseuille流が特徴づけられることを示した。

1.無限遠方に流速がある場合の非圧縮性粘性流体の安定性に関して次の成果を得た.
(a)外部領域でのOseen方程式の定常問題をローレンツ空間で考察し,解の一意存在を示しさらに,解の評価が無限遠方の流速に依存しないことを示した.これを用いて非線形問題の定常解の存在と流速が0に収束にするときの定常解の弱位相での収束を示した.
(b)外部領域でのOseen semigroupの時間に関するdecay評価を無限遠方での流速に独立な形で求めた.これを応用して定常解の初期値に関する安定性を示した.これらの研究は空間時限が3次元以上の仮定のもとで行われた.
2.平行平板中の非圧縮性粘性流体の流れの安定性に関し次の成果を得た.
(a)ストークス作用素に対するレゾルベント問題を領域Ω=R^<n-1>×(0,1)で考えそのL^p理論(l<p<∞)を構築した,X_n方向が有限であることからλ=0もレゾルベント集合に入る事を示した.特にストークス半群は指数安定である事を示した.
(b)(a)の結果を用い平行平板中のクエット流やポアズイ流の初期値の摂動に関する安定性を示した.
3.圧縮性粘性流体の定常流とその安定性に関する数学的解析に関して次の事を示した.
(a)外力が空間変数に依存する場合の定常解を求め,その空間無限遠方での挙動を求めた.
(b)上記定常解からの摂動問題として非定常問題を捉え,初期値のH^3ノルムが小である場合に初期値問題を解いた.さらに対応する線形化問題の解のローレンツ空間での評価を求め,これを応用して非定常問題の解の定常解への時間無限での収束のオーダーを求めた.以上の解析は全空間で行った.
4.ストークス作用素に対するNeumann境界値問題の研究に関して次の結果を得た.
(a)レゾルベント問題を考えL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた.
(b)同様の手法を用いてストークス作用素の2相問題に対するレゾルベント問題のL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた,これらの研究はナヴィエ・ストークス方程式の自由境界値問題を半群の理論を用いて研究をするための出発点となる研究である.

集合A上のクローン(A上の多変数関数の集合で関数の合成に関して閉じているもの)の全体をA上のクローン束といい,L_Aと表す。本研究では,A上の1変数関数からなるモノイドの全体M_Aを考え,M_AからL_Aの中への自然なガロア対応を考察した。モノイドMに対し,Mに属すすべての1変数関数と'可換'な多変数関数の全体M^*をMのcentralizerという。1.ガロア対応に関する基本的性質の研究(i)Centralizerの全体がクローン束L_Aのどの辺りに位置するかを調べ,centralizerはすべてある特定の極大クローンに含まれることを示した。(ii)一般に,相異なるモノイドに対しそれらのcentralizerが同じクローンになる場合が多いが,置換群に関しては状況が異なり,相異なる置換群のcentralizerは常に相異なることを示した。2.対称群と交代群のcentralizerの特徴づけ対称群と交代群の各々についてcentralizerの特徴づけを与えた。対称群の場合にくらべ,交代群のcentralizerはかなり複雑なクローンになることがわかった。3.対称群を含むモノイドに対応するクローンの特徴づけと分類対称群を含むモノイドのうち特徴的なものからなる1つの系列N_iを考え,それらのcentralizer(N_i)^*をすべて決定した。それらの多くが最小クローンであることがわかった。4.最小クローンをcentralizerとするモノイドの研究ガロア対応では,比較的小さいモノイドは比較的大きいクローンに対応するのが「自然」である。しかし,その直観に反して,比較的小さいモノイドでそのcentralizerが最小クローンになる例をいくつか見出した。5.Kuznetsov criterionの応用Kuznetsovによって提唱されたcriterionについて,その応用の可能性を考察し,有効に利用できることを示した

一般に,κ値論理関数からなるクローン(合成に関して閉じている集合)の全体L_kをκ次クローン束という。2次クローン束についてはすでに構造が完全に解明されているが,3次以上のクローン束についてはまだその構造がほとんどわかっていない。高次クローン束L_k(κ【greater than or equal】3)の構造の解明を主たる目標として本研究を行い,次のような成果をあげた。1.距離空間としてのL_3の構造の研究クローン束L_kに距離を導入し,L_kがコンパクト距離空間となることを示した。さらに,L_3におけるmeetの演算を基にしてL_3からL_2への連続写像を構成し,そのような連続写像のもとで,L_3における極大クローンや集積点をなすクローンがどのようにL_2に写像されるかを調べた。2.L_kの極小クローンおよびそれに関連する研究極小クローンの分類がまだ完成していない現状では,極小クローンに関する種々の性質の研究は重要である。本研究では,極小クローンの対(C_1,C_2)について,和集合C_1∪C_2が関数全体を生成するとき(C_1,C_2)をgigantic pairと名づけ,gigantic pairを特徴付ける定理を与えるとともに,ほとんどのκに対しgigantic pairが存在することを示した。一方,それを拡張する形で,いくつかの極小クローンのjoinとして表わされるクローンについての研究を始めた。3.超クローンの研究最近I.G.Rosenbergによって導入された超クローン(hyperclone)について,その濃度に関する研究を行い,集合{0,1}上の超クローンの濃度は連続濃度であることを証明した。これは,通常のクローンの場合,2値のクローンの濃度が可算無限であることと対比すると興味深い結果である。4.部分関数からなる部分クローン束の構造の研究部分クローン束について,(1)meetが射影関数だけからなるクローンになる極大部分クローンの族の濃度と(2)joinが部分関数全体になる極小部分クローンの族の濃度についてそれぞれ研究を行った。これは,L.Haddad,I.G.Rosenberg両教授との共同研究である

一般に、k値論理関数(k≧2)の集合で合成に関して閉じているものをクローンとよぶ。各kに対し、クローンの全体L_kは束の構造をもつ。現在のところ、2値論理関数、すなわち、ブール関数の場合を除き、L_k(k≧3)の構造はまだほとんど解明されていない。
われわれは以前より、L_kの構造の解明を目標として、クローンに対して有限近似という概念を導入し、研究を進めてきた。クローンの全体が可算無限(k≧2)または非可算無限(k≧3)であるのに対し、クローンの有限近似の全体は有限集合である点に際立った特徴がある。
クローンの有限近似を媒介として2つのクローンの間に距離を定義することができ、それによってL_kが距離空間になることをすでに指摘していたが、本研究では、L_kの距離空間としての性質をさらに継続して調べたほか、このように距離空間を構成する手法はもっと広い対象に対しても一般化可能であることを示した。
一方、与えられたクローンが有限生成であるかどうかを問う問題は、普遍代数(universal algebra)の研究者からも注目されている基本的な問題である。クローンが距離空間として見たクローン空間の中で孤立点になることは、そのクローンが有限生成であることと密接な関係があるが、本研究では、クローンが孤立点であることを普遍代数の方で用いられている。“collapsing"という概念によって特徴づけることができた。
このような普遍代数との間の関係についてさらに研究を深めていくことは、今後の重要な研究課題であるといえよう。
なお、これと別の観点から見た有限論理や特殊な代数に関する研究も並行して行ない、それぞれについて新しい結果を得た。

半線型熱方程式及び^1Navier-Stokes方程式に対して、通常の函数より一般的なRadon測度等を初期値とした場合の初期値問題は最近多くの人々の関心を集め、主にMorrey型の測度の空間及びBesov空間に初期値をとる場合が研究されてきた。筆者と小薗英雄氏は、Morrey空間を基礎としてBesov空間を構成するのと同様の手法によって新しい関数空間を2種類構成し、それぞれが上記の方程式の時間局所的解及び時間大域的解が一意的に存在するような初期値の空間になっていることを示した。この結果はこれまでに多くの人々によって得られていた結果の統一的説明になっている上に、これまでに知られていなかった、Radon測度以外の超函数を初期値として上の方程式が時間大域的な一意解を持つ場合があることを示した。
また、外部領域におけるNavier-Stokes方程式を考える際にとるべき関数空間としては弱L^n-空間が最適であることが、最近のBorchers,宮川鉄朗両氏の研究によって明らかにされつつある。筆者は小薗英雄氏と共同で、外力がない場合のNavier-Stokes外部初期値問題を研究した。その結果時間局所解及び時間大域解の一意存在については概ねこれまで多く研究されてきたL^n-空間の場合と同様の結果が成りたつが、得られた時間大域解の漸近挙動については、L^n-空間の場合と本質的に重なるものがあることがわかった。

研究代表者は、主にC.I.Rモデルと呼ばれるデリヴァディブ(金融派生商品)の価格決定理論の研究を行った。これは、Cox,Ingersol,Rossが1985年に発表したstochastic volatilityを持ちさらに、解の具体的表現が得られるモデルで、現在においても、理論面、実務面の両方の見地から見ても重要なモデルである。代表者は、発表予定の論文(ストカスティック ヴオラティリティを持つモデルとその周辺)において、C.I.Rモデルを数学的に整理し、その応用について調べ、また、その自然な拡張となるモデルを提唱し、その価格決定解析を行った。これらは、最近の金融業界の情勢から見ても緊急かつ重要なテーマであると思われる。
また、代表者は、第2論文において、ある多次元連分数アルゴリズムるついての指数収束の評価の研究を行った。
分担者の町田元は、クローンのなす空間の距離構造とその有限近似についての研究を行った。
分担者の宮地晶彦は、一般の開集合上のソボレフ空間に属する関数のアトム分解について調べた。
分担者の山崎昌男は、Morrey空間に属する初期値について、全空間におけるNavier-Stokes方程式に対する初期値問題が一意的に解けることを示した。

一般に、k値論理関数(k≧2)の集合で合成に関して閉じているものをクローンとよぶ。各kに対し、クローンの全体L_kは束の構造をもつ。現在のところ、2値論理関数、すなわち、ブール関数の場合を除き、L_k(k.≧3)の構造はまだほとんど何もわかっていない。
われわれの研究では、L_kの構造の解明を目標として、クローンに対する有限近似という概念を導入した。クローンの全体が可算無限(k≧2)または非可算無限(k≧3)であるのに対し、クローンの有限近似の全体は有限集合である。本研究では、2値の場合について有限近似をすべて決定し、有限近似の集合が、実際、L_2の良い近似を与えることを見い出した。これは今後、L_k(k≧3)の構造の研究を進める上で有力な手がかりを与えるものである。
次に、クローンの有限近似を媒介として2つのクローンの間に距離を定義することができ、それによってL_kが距離空間になることをすでに示していたが、本研究では、L_kが距離空間として完全、可分、コンパクトなどの性質をもつことを示した。
本研究では、また、クローンの空間に距離を導入する手法の一般化を与えた。この手法は、ω-言語の理論においてω-語の間に距離を導入する方法の一般化にもなっている。
町田らは以前より、L_kにおける極小クローンおよび本質的極小クローンの研究を進めてきたが、L_kを距離空間とみたときのこれらのクローンの性質についても、まだ発表の段階ではないが、多少の知見を得ている。
なお、Sobolev空間やMorey空間に関する研究やJacobi-Perronアルゴリズムに関する研究も並行して行ない、それぞれ新しい結果を得た。

研究代表者藤田岳彦は以下について調べた。複素多様体上では等角不変な拡散過程が存在しholomorphic diffusionと呼ばれている。論文では.複素次元が2の場合にケーラー性と対称なholomorphic diffusionの存在性が同値であることを示し.また.対称なholomorphic diffusionが存在しないような多様体の例を挙げた.また.同様の問題を複素次元が3以上の場合について調べた。これらの研究は等角構造とフラクタルの関連を調べるうえにおいても基本的な結果であると思われる。
分担者の山崎昌男は.Morrey空間とBesov空間の両方の考え方を組み合わせて.Morrey空間を基礎とするBesov空間というものを構成し.その性質を調べ.その結果をNuvier-Stokes方程式に応用した。これらを名古屋大学の小薗英雄氏との共同研究として.C.R.Sci.Acad.Parisに発表した。
分担者の宮地晶彦は.主にCp^αという関数空間の性質を研究した。与えられた関数を2つの関数の積に分解する因数分解の問題やC^α_P(Ω)の関数をC^α_P(R^n)の関数に延長することに関する結果をMathematica Japonicaに発表した。
分担者の永島孝は主に第1階古典述語論理系およびそれを拡張した一種の無限述語論理系についての研究を行った。古典述語論理については.函数概念の扱いを研究し.その成果の一つとしてスコーレムの定理の新しい証明をHitotsubashi J.Arts Sci.に発表した。

研究代表者は,主にCp^αという関数空間の性質を研究した.これは,以前から何人かの研究者によって考えられていたシャープ最大関数を用いて定義される関数空間で,基本的な性質はDeVoreとSharpleyによって調べられていたものである.我々の研究の特色は最大関数を用いた実関数論的な方法を徹底して用いることである.我々の方法のひとつの長所は,ユークリッド空間R^nの任意の開集合Ω上のCp^α=Cp^α(Ω)について(Ωに全く制限を付けずに),結果が得られることである.まず,Cp^α(Ω)のアトム分解についての結果を得た.ΩがR^n全体でないときには,関数のアトム分解の伴って関数のgenetic part(と我々は呼ぶ)という滑らかな関数が現れるが,このgenetic partの評価を詳しく調べた.次に,この結果を利用して,Cp^α(Ω)の関数たちの各点毎の積を作る掛け算と,その逆に,与えられた関数を2つの関数の積に分解する因数分解の問題とについて,結果を得た.掛け算と因数分解に関する結果は,よく知られたSobolev空間に対しても新しい事実を教えるものである.これらの結果は現在,論文にまとめている.また,Cp^α(Ω)の関数をCp^α(R^n)の関数に延長することに関する結果をMathematica Japonicaに発表した.
分担者の山崎昌男は,Morrey空間とBesov空間の両方の孝え方を組み合わせてMorrey空間を基礎とするBesov空間というものを構成し,その性質を調べ,その結果をNavier-Stokes方程式に応用した.これは,名古屋大学の小薗英雄氏も共同した研究で,C.R.Sci.Acad.Parisに発表された.
担者の藤田岳彦は正則(holomorphic)拡散過程の性質を調べ,結果をHitotsubashi Journal of Arts and Sciencesに発表した.

P=NP問題などいくつかの重要な未解決問題の解決には計算量の下界を求める強力な手法の開発が不可決である。ナップザック問題、クリーク問題などNP完全な離散的問題を対象として、計算量の下界を求める研究を従来から行ってきたが、今年度もこれらについてさらに考察を深めた。とくに、これらの問題に対応するブール関数列の素子計算量を調べるため、n変数ブール関数に関する演算をn次元超立方体上の集合演算に置きかえて、計算量を超立方体の部分集合で特徴づける試みについて基礎的な研究を行った。これらの成果についてはまだ雑誌等に発表する段階に至ってはないが、いくつかの新しい知見が得られており、今後さらに研究を続ける予定である。
ブール関数の拡張である多値論理関数についても、とくにクローン (clone)の分類について研究を行い、いくつかの成果をおさめた。クローンの分類にとって重要な役割を果たすと思われる「本質的極小クローン」という概念を数年前に町田が導入したが、この本質的極小クローンについて今年度2つの論文を発表した。1つは、無限集合上の本質的極小クローンの中に2変数関数をすでに無限個含むものが存在すること、すなわち、本質的極小クローンの中には大きなクローンが存在することを示したものである。もう1つの論文では、有限集合上の本質的極小クローンで2変数関数によって生成されるものを研究対象とし、これらをすべて決定することを試みた。この決定にはいくつかの場合分けが必要になり、そのうちの極めて難しい1,2の場合についてはまだ分類が完成していない。今後、残された場合の分類の完成に努めるとともに、3変数以上の関数で生成される本質的極小クローンについても分類の研究を試みる予定である。

1.研究代表者岩崎は,5つのMathieu群のそれぞれに付随する幾何である5つの(Mathieu-)Wittシステムをできるだけ自然かつ初等的統一的に把握する研究の一環として,今年度は3つの大きなシステム W_<24>,W_<23>,W_<22>の存在の一意性の新しい初等的統一的な証明を与えることができた.すなわち,これら3つのシステムの一意性ーーこれら3つと同一のパラメーターをもつSteinerシステムはそれぞれ同型である ーーを,初等的で単純な同一の方法ーー問題になっているパラメーターをもつ3つのSteinerシステムに対し,ある一定の方法に従って,全ての点に適当な名前をつけることができるという点の命名法と全てのブロックを明示することができるというブロックの書き上げ法を具体的に提示したーーで証明した.またこの証明は,3つのシステムの存在・構成をも与えている.
2.分担者山崎昌男は,ある発展方程式の初期値問題に関する興味深い結果を得た.すなわち,主部が楕円型とは限らない定数係数擬微分作用素と非有界なポテンシャルの和の形に書ける作用素を発展作用素とする発展方程式の初期値問題がL^2(IR^n)-空間で適切になるための,擬微分作用素のシンボルとポテンシャルの増大度に関する精密な十分条件ーー必要条件にかなり近いーーを得た.この条件は,シュレーディンガー方程式など物理における重要な方程式にも適用できるものである.
3.ごく簡単に述べるにとどめるが,分担者町田は本質的極小クローンと亜群に関して,分担者宮地はある種の関数空間における関数の延長に関して,それぞれ興味深い成果をあげた.
4.今回の科研費の援助により,代表者・分担者はそれぞれの専攻分野に関する研究集会に参加して,研究を発表し,有益な研究交流を行った.

宮地は,ユ-クリッド空間IR^n開集含Ω上のCp^αという関数空間について,Ωが(ε,δ)領域であればCp^a(Ω)の関数はCp^α(IR^n)の関数に拡張できる,という結果を得た。(ε,δ)領域は以前にP.W.Jonesが導入したもので,JonesはΩが(ε,δ)領域ならば,Ω上のBMO空間やSobolev空間の関数がIR^n上の対応する関数空間の関数に拡張できる,という結果を示していた。関数空間Cp^αはR.A.DeVoreとR.C.Sharpleyとが導入した関数空間で,DeVoreとSharpleyは,ΩがLipschitz領域ならば,Cp^α(Ω)の関数はCp^a(IR^n)の関数に拡張できる,という結果を出していた。(ε,δ)領域はLipschitz領域より一般的であり,Cp^α空間は Sobolev空間を特殊の場合として含んでいるので,今年度の宮地の結果はJonesやDeVoreーSharpleyの結果の一般化・精密化となっている。この結果は一部を論文として今年度に出版し,残りは現在,論文を準備中である。
山崎昌男は,主部が楕円型でなく,またポテンシャルが有界でないシンボルに対して,対応するワイル型の擬微分作用素がL^Z(IR^n)上で本質的自己共役になるための十分条件を得た。また,山崎は,(2×2)型の双曲型保存微分方程式系(非線型)について研究し,連続な大域解の存在を示す結果を得た。
藤田は,自己相似的スピ-ド測度をもつ1次元拡散過程の大偏差原理について結果を出した。
永島は,Skolemの定理に有限の立場での証明を与えた。
町田は,N上の関数からなるクロ-ン(clone,合成に関して閉じた集合)について考察し,2変数関数を可算無限個ふくむ本質的極小クロ-ンが存在することを示した。これは,本質的極小クロ-ンという小さいと思われるクロ-ンの中に,或る意味で大きなクロ-ンがあることを示した先駆的な仕事である。

代数的組合せ論の基礎を与えるアソシエ-ションスキ-ムの指標表は、ある種の直交関係をみたし,直交多項式と密接に関係している。研究代表者は,従来よりシュバレ-群とその部分群から得られるアソシエ-ションスキ-ムについて考察を続け,特に指標表の目盛りに相当するsubーdegreeを計算するのに,置換指標のMackey分解と部分群との関係に注目することが,小さい群についてはしばしば有効であることを示してきた。今年度は,大きな群の代表であるGLn(z)とその部分群から定義されるアソシエ-ションスキ-ムに対して,この方法を適用してsubdegreeを計算することを目ざしてきた。今回は結果を発表するまでには至らなかったが,現在も研究は継続中である。この方法が,置換表現と部分群との関係に対する理解を深める上で役に立つものと期待している。
アソシエ-ションスキ-ムの指標表の意味については,直交多項式との関係が明らかにされている小数の例外を除いて,ほとんと理解されていない。今後の研究が待たれるところである。また,従来のようにケ-スバイク-スの計算にたよるのではなく,ある程度は統一的なアプロ-チが必要である。このようなアプロ-チが直交多項式の立場から可能なのかどうか,今後の研究課題としたい。
今年度の科学研究費補助金により,研究分担者はそれぞれの専攻分野において,各地の研究者と活発な研究交流を行い,成果をあげることができた。詳細は省略するが,裏面の研究発表の欄に,発表された論文をまとめておく。

1.片岡は解析的線形微分方程式に対する混合問題に関する片岡-戸瀬による従来の理論をさらに発展させフランスのLebeauやSjo^¨strandらの回析波の伝播に関する重要な定理に幾何学的な別証を与えることに成功した。この証明によればさらに結果が退化した場合へも自然に拡張される。またそれと関連した第2超局所特異性理論の分野で片岡・戸瀬・岡田はより自然な第2マイクロ函数の理論を構成し,いくつかの基本的性質を導いた。小松はこれらの理論の基礎である佐藤の超函数とミクロ函数を調和函数を用いて新しく定義しなおし,ジュヴレイ族の正則性あるいは特異性をもつ函数及び超函数を超局所解析の立場から特徴付けた。大島はこれらの理論の表現論への応用として,関口と共同で半単純対称空間の普遍被覆空間に対するC-函数を具体的に計算することに成功し,線型とは限らない半単純リ-群の作用する半単純対称空間の場合にもPlancherelの公式が具体的に書けることを明らかにした。
2.岩崎は複素微分方程式に関する研究の中で,任意種数の閉リ-マン面上のフックス型射影接続のモジュライ空間を構成し,その解析空間あるいは複素多様体としての構造を研究した。更に,モジュライ空間上のモノドロミ-保存変形をポアソン幾何の観点から研究した。
3.山崎は超局所エネルギ-法を道具として分散を含む発展方程式の解の時間発展について研究した。まずポテンシャルが有界であるような2階の線型方程式について,初期値のある角領域での減衰から時間発展した後の解の超局所特異性が従うことを示した。また,非有界なポテンシャルを持つような方程式に上の結果を拡張するための準備として,楕円型でない発展作用素を持つ発展方程式がソボレフ空間上適切になるための十分条件を得た。

まず、特長的な非線型問題,とくに、現象の数理に由来する非線型問題に研究の焦点を合せた。その結果、次のように応用上の意義も深く、数学的手法の発展にも寄与する成果が得られた。
1.自由境界問題は支配する方程式が線型であっても領域が重ね合せを許さないため非線型性を呈する。とくに時間発展を追跡する初期値問題は興味が深い。当研究では球体の周りをめぐる流体の自由境界問題を関数解析的方法で精妙に調べると共に、数値的にシミュレートするスキームを開拓しかつ実施した。
2.非線型固有値問題とも言うべきbifurcationの解明にも大きな進歩があった。すなわち、微分幾何に密接な関係がある典型的な方程式
Δu+【λe^u】=0の解の枝について大局的な解析が成功した。
3.非線型方程式の境界値問題の解加複数に存在するための条件が領域の特性との関連で明らかにされた。細い回廊によってつながれた塊状領域における方程式Δu+f(u)=0の解の多様性および安定性の解析がそれである。
4.非線型方程式の解の正則性は事実の多様性および証明の困難さのいずれからも挑戦に値する問題である。これについてパラー微分作用素論の立場から大きな進歩がなされる。
5.古典的なスペクトル逆問題も非線型問題の一種である。これに関し、種々の対称性の仮定のもとにポテンシャルの決定に到る構成的な方法が開発された。

今年度は、全空間及び外部領域におけるNavier-Stokes方程式の解を、通常用いられるL^p-空間より広い空間において求める問題を考察し、以下の結果を得た。まずすでに考察した、外力がない場合の全空間における解をMorrey空間やBesoy空間より広い、新しい函数空間において求める問題を外力がある場合まで含めて考察した結果、空間次元が3以上の時に、あるMorrey空間に属する小さい定常解が存在するための、時間に依存しない外力に対する十分条件を求め、更にその定常解がMorrev空間及び以前に導入したより広い函数空間において安定であることを証明した。その際に有界解析的半群の摂動論を、半群の生成作用素の定義域が半群の作用している函数空間内で稠密でない場合まで拡張する必要があった。次に対応する問題を、より一般的な、有界な障害物を除いた外部領域で、外力が存在しない場合を考察し、解が通常のL^n-空間より少し広いL^<n,∞>-空間に属するための十分条件を求めた。その結果通常のL^n-空間で成り立つ、解の存在のための十分条件が、ほとんどそのままより広いL^<n,∞>-空間で成立するが、時間が無限に大きくなったときの解の漸近的な挙動は、L^n-空間の場合と本質的に異なる場合があることが判明した。外部領域で、外力が存在する場合の考察は、将来の課題として残されている

研究代表者は、第1論文においてある多次元連分数アルゴリズムについての指数収束についての研究を行った。また、第2論文において可変ボラティリティを持つデリバティブモデルの解析についての研究を行った。第3論文においてオプション価格理論から派生したあるブラウン運動の汎関数の分布について調べた。分担者の山田裕理は、カッツ・ムーディー代数の一般化についての研究を行った。分担者の山崎昌男は、ナビエストークス方程式における解をある関数空間において求め、それらの解析を行った。分担者の永島孝は、数理論理学のアプローチによるゲーム理論の研究を行った。分担者の町田元はクローン空間の距離構造についての研究を行った

1.空間1次元における伝播速度無限大の2×2双曲型保存系の連続な大域解の一意性空間1次元における2×2双曲型保存系は,一般には連続な解を持たず,いわゆる弱解の範囲にしか解を持たないことが知られている.この保存系が連続な大域解をただ一つ持つためには,伝播速度が有限の場合には,初期値がある種の単調性をみたすことが必要十分であることが知られているが,伝播速度が無限大の場合の条件は知られていなかった.この論文では伝播速度が無限大の場合には,上の単調性のみでは一般には解は一意的には定まらないことを示し,さらに解が一意的に定まるための,初期速度の増大度に関する必要十分条件を与えた.2.全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題を,Radon速度にならないdistributionを含むような広い函数空間で考え,時間局所的な一意解,および時間大域的な一意解を持つための十分条件を考え,結果としてRadon速度にならないdistributionを初期値とする上の方程式の解が存在することを示した.また,適当なMorrey空間に属するNavier-Stokes方程式の定常解が十分に小さいとき,その定常解はもとのMorrey空間で安定であることを示した.応用として,Navier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の,新たな自己相似解のクラスを構成した

流体の運動を記述するモデルであるNavier-Stokes方程式の外部領域における定常解の存在、一意性及び安定性を函数解析的な方法を用いて研究した。これまでの研究では空間次元がnの場合にはn乗可積分函数の空間が用いられていたが、平成9年度の研究で、3次元空間においては3乗可積分な定常解が存在するのは特殊な場合に限り、従って一般にはより広い空間である弱L^3空間を考える必要があることを示した。また、全空間におけるNavier-Stokes方程式については、弱L^n空間より真に広いMorrey空間に属する小さい定常解が一意的に存在するための外力についての十分条件を与え、さらにこの定常解が弱L^n空間より真に広く、さらにRadon測度以外の超函数をも含む函数空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。平成10年度には空間次元nが3以上のときに、弱L^n空間におけるNavier-Stokes外部問題を考え、外力が弱L^<n/2>空間に属する十分小さいポテンシャルの導関数として与えられるという条件の下で、弱L^n空間に属する小さい定常解が一意的に存在し、かつこの定常解は弱L^n空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。この結果はこれまでにしられているポテンシャル論的方法による結果よりもより一般的な外力に対して適用でき、さらに今まで函数解析的な方法では取り扱えなかった3次元の場合にも適用できる

平成9年度では階数2のA型ルート格子から定義される頂点作用素代数の中に位数3の対称性を持つ部分頂点作用素代数が存在することを示し、その性質を詳しく調べた.特にその自己同型群を決定し、またそれの既約表現を分類することができた.この研究で得られた成果は、共著論文Ternary codes and vertex operator algebrasにまとめてある.この研究の続きとして、ここで得られた頂点作用素代数とモンスター加群との関係を研究し、モンスター加群の自己同型群であるモンスターの性質にどのように反映されるかを調べることを、今後の課題としたい.また、平成9年度ではBorwein型の恒等式を頂点作用素代数の立場から研究した.結果を共著論文Borwein identity and vertex operator algebrasにまとめ、現在投稿中である.この成果と上記の結果をもとに、modular不変性と自己同型の関係を今後研究する計画である.今年度は、階数が3以上のA型ルート格子から定義される頂点作用素代数の最高ウエイトベクトルのうちウエイトが2以下のものをすべて決定することができた.最高ウエイトベクトルがすべてわかれば、頂点作用素代数をヴィラソロ頂点作用素代数の既約加群のテンソル積の直和に分解することができて、頂点作用素代数を詳しく調べる手段が得られる.実際、階数2の場合には、上に述べたものとは別のある有理型の部分頂点作用素代数が存在することがわかり、その既約加群を組み合わせることで、位数4の対称性を持つ頂点作用素代数を構成することができた.さらに、最近階数が3の場合に最高ウエイトベクトルをすべて決定することができた.今のところ、階数が4以上の場合にはウエイトが2以下のものだけしかわかっていない.すべての最高ウエイトベクトルを決定することは、重要な課題である

全空間あるいは外部領域におけるNavier-Stokes方程式について、これまでの研究では外力が時間に依存しない場合に、定常解の一意存在及び初期摂動に関する安定性について研究していたが、この研究では外力が時間に依存する場合について、解の一意存在とその摂動についての安定性についての研究を行った。この研究は時間について周期的、あるいは概周期的な外力がある場合に、同じ周期を持つか、あるいは概周期的な解の存在、一意性及び安定性についての研究を一般化したものである。全空間の場合は解の属する空間としてMorrey空間を用い、これまでに小薗英雄氏、中尾慎宏氏、谷内靖氏らによって通常のLp-空間について得られた結果をMorrey空間に拡張することに成功した。外部領域の場合は解の属する空間として弱Lp-空間を用い、これまでの研究で必要だった外力についての仮定を大幅に一般化することに成功するとともに、これまでに得られていなかった空間3次元の外部領域における解の一意存在を証明することに成功した。手法としては、Morrey空間の場合はこれまでに用いた函数解析的な手法をそのまま用いることで可能であったが、弱Lp-空間の場合は、それまでに収束しないと思われていた無限次元空間に値をとる積分が、実は^*-弱位相について収束することを示すことが本質的である。これを示すために弱Lp-空間を一般化したLorentz空間の族を考え、これまでの研究で用いられたLp-Lq型の評価を実補間の理論を用いて精密化し、さらにLorentz空間の双対性を用いた

1.流体方程式と関連した方程式の爆発解の研究この研究課題においては、まずKuramoto-Sivashinsky (KS)方程式の定常解に関して、その爆発解の存在と爆発の度合いについての知見を得た。周知のようにKS方程式は4階非線形であり、定常解といえども複雑な解構造を持っている。大域単調解の非存在、何種類かの周期解の存在など、現在までにいくつかの結果が知られている。定常解の構造を解明することは、元の方程式の大域挙動に関しての理解に繋がると考えられている。この意味での研究の意義は大きい。爆発解はある地点からは単調となり、その単調性を利用すれば、高階方程式を低階の方程式に変形することができる。この変形の方法を用いれば厳密な解析が可能となった。同様の方法はNavier-Stokes (NS)方程式の境界層方程式として著名なBlasius方程式の爆発解に関しても適用できた。Blasius方程式の場合は既に爆発解の存在は知られていたが、この特殊な変形法を用いることにより、今回その極めて初等的で見通しの良い別証明を与えることが可能となった。2.流体方程式と関連した自由境界問題の研究流体の現象では、その自然な一般化として自由境界を含んでモデル化する。自由境界問題とは、未知関数が定められている領域までも未知として求めようとする非線形問題である。この研究課題においては、流体方程式の研究において培われた解析手法や数値解法を適用することで、難解であるAmerican Put Optionの行使境界の近くにおける解の挙動について複雑な大域挙動の解析を行った。閉じた積分系としての厳密解表示公式を得た

変分的手法により非線型楕円型方程式の解の存在,多重性の研究を行った.特に特異摂動問題の解析に重点を置いた.1.非有界領域における非線型楕円型方程式に関しては,一般的な非線型項f(u)を伴う方程式-Δu+V(x)u=f(u)に関して解の存在証明をmonotonicity method等を用いて与えた.従来ほとんどの存在結果ではglobal Ambrosetti-Rabinowitz条件等のf(u)に対する大域的な条件が設定されていたが,V(x)に対してある種のdecay条件を課すことにより,f(u)に対する大域的な条件を仮定することなく,解の存在を保証することに成功した.2.特異摂動問題としては通常とは異なる形で摂動パラメーターが導入された問題-Δu+λ^2a(x)u=|u|^<p-1>u in R^Nに関して考察を行った.λ→∞とするとき,Ω={x∈R^N;a(x)=0}(有界かつ滑らかと仮定する)を定義域とするDirichlet問題の解が現れる.ここではΩが複数個の連結成分からなる場合に,各成分上Dirichlet問題の解が与えられたとき,その解にλ→∞のときに収束するR^N上の界u_λ(x)が存在するか否か研究を行った(connecting problem).従来,このような問題は極限問題の解の非退化性の仮定の下で議論されることが多いが,ここではp∈Nのとき非退化性を全く仮定せずに論じることに成功した.なお関連する話題として,生物モデルにおけるdisruptedな環境をモデルとした解析を行い,安定解の多重性等を見いだした.3 特異摂動問題に関しては,従来変分的に全く研究されていなかった高エネルギー(振動)を持つ解の族の特徴づけおよび存在問題の研究に取り組み,力学系におけるaveraging theory (theory of adiabatic invariants)と関連する結果を得た.特に,'極限エネルギー関数'を用いた解のパターンの記述,逆にadmissibleなパターンに対してそれを実現する解の族の構成に成功した

特異摂動問題の解析に重点をおき,変分的手法を用いて非線型楕円型方程式,ハミルトン系の研究を行った.1.特異摂動問題においては高振動解(特異摂動パラメーターεが0へ近づくときスパイクあるいは遷移層の数が無限大へと発散する解)の解析と非線型Schrodinger方程式Allen-Cahn方程式,Fisher方程式に対して行い,admissibleなadiabatic invariantに対応する解の族の構成に成功した.またGierer-Meinhardt方程式に対しては,方程式にx依存性がなくとも局所的に高振動解をもつ解が現れることをエネルギー関数等に対する極限方程式を解析することにより示した.なお,1次元Schrodinger方程式に対してはε→0のときの正値解の個数の増加に関する新しい評価を与えることに成功した.2.非線型Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して,非常に一般的な非線型項を許容する条件の下で凝集解の構成に空間次元が1,の場合に成功した.このような試みは数多くされて来たが,今回の結果はBerestycki-Gallouet-Kavianのscalar filed方程式の結果に対応し,既存の結果を包括する.(空間次元が3以上の場合はByeonとJeanjeanにより最近示されていたが,今回空間次元が1,2の場合は未知であった.今回その場合を扱うことにに成功した.)3ハミルトン系に関してはprescribed energy問題を考察し,天体力学に関連したハミルトン系に対して周期軌道の存在証明に成功した.ここで得られた結果の特徴としては次の点があげられる.(a)strong force条件を一般化した条件の下での存在定理であること.(b)等エネルギー曲面S={(q,p)|H(q,p)=E}はノンコンパクト.(c)存在のための条件はハミルトン関数H(q,p)に対する条件ではなく,等エネルギー曲面Sに対する条件として与えられている

非線型問題の研究を変分的手法により行った. 特に(1) 非線型シュレディンガーおよびその連立系に対する特異摂動問題に関して凝集解の変分的構成を行い, 非常に一般的な設定の下でその存在を示した. (2) 非線型楕円型方程式 (系) の解の存在を種々の設定の下で扱い, 解の新しい変分的構成を与えた. また解の安定性, 不安定性の研究を行った. (3) 空間次元 1 の特異摂動問題においては高振動解の特徴付けと存在結果を与えた