We study the spectral analysis of Stokes equations based on the recent development of the real analysis, Fourier analysis and functional analysis and its application to the Naveir-Stokes equations in several different situations arising from the mathematical physics.
1) We studied an inncompressible viscous flow past a rigid body, which is mathematically described by Oseen equations. We studied the decay properties of the Oseen semigroup in the exterior domain and showed global in time stability Navier-Stokes flow past a rigid body
2) We studied an inncompressible viscous flow in a perturbed half-space which describes for example flow past high buildings. We studied an optimal decay properties of solutions to the Stokes equations in a perturbed half-space and proved a global in time unique existence of solutions to the Navier-Stokes equations in a perturbed half-space with small initial data.
3) We proved the maximal regularity of solutions to the Stokes equation with the Neumann boundry condition in a bonded domain. We use some recent development of the operator-valued Fourier analysis by Weis and Denk-Hieber-Pruss. Our method is very simple compared with previous results and seems to be applicable to linear evoulution equations of parabolic type. Moreover, we proved local in time unique existence of strong solutions with arbitrary initial data and global in time unique existence of strong solutions with some small initial data of the free boundary problem of Navier Stokes equations which describes the transient motion of an isolated volume of viscous incompressible fluid
4) We studied an inncompressible viscous flow past a rotating rigid body. This problem was already studied by Galdi and Galdi and Silvestre in the L_2 framework. Our main contribution is to show the decay estimate of the continuous semigroup associated with linearized problem. The main difficulty comes from first order differential system with polynomially growing coefficients which is not subordinated by the Laplacian. We developed new technique to investigate the high frequency part of the spectrum.

In a joint work with Yoshihiro Shibata, we obtained a sufficient condition on time-independent external forces for the unique existence of a stationary solution in a certain class of the Navier-Stokes equation in exterior domains of dimension n greater than or equal to 3 by using the duality between the Lorentz spaces and real interpolation. Our class is a natural generalization of the so-called physically reasonable solutions, and our suffirient condition gives a unified view for the case with zero velocity at infinity and the case with non-zero velocity at infinity.
Next, in a joint work with Yuko Enomoto and Yoshihiro Shibata, we verified the stability in the weak-Ln space of the stationary solution above for time-evolution under small initial perturbation in the weak-Ln space, and showed that the smallness above can be taken uniformly in the velocity at infinity of the stationary solution.
Furthermore, by using real interpolation for sublinear operators, we generalized these results for time-dependent external forces, and obtained a sufficient condition for the unique existence of the corresponding time-periodic or almost periodic solutions. We also showed the stability of these solutions in weak-Ln spaces under perturbations on the external forces and initial data uniform in the velocity at infinity of the solutions.
On the other hand, as a preparation for generalized the results above for general unbounded domains, we generalized the Lp-theory on the boundary value problem for the Stokes equation in a layer domain, in a joint work with Takayuki Abe for higher-order Sobolev spaces and Besov spaces, and obtained a sufficient condition on the external forces for the unique existence of the solution of the boundary value problem. In particular, we showed that the uniqueness of the solution fails in the case p=infinity, and that the Poiseuille flow can be characterized as the solution with zero as the external forces and boundary values.

1.Stability of the Oseen flow in the n-dimensional exterior domain (n>2).
2.Stability of the Couette flow and the Poiseuille flow in the infinite layer.
3.Rate of convergence of the non-stationary flow to the stationary flow of compressible viscous fluid.
4.Resolvent estimate of solutions to the Stokes equation with Neumann boundary condition.

For a set A, a clone on A is a set of multi-variable functions which is closed under composition. Denote by L_A the set of all clones on A. In this reseach, for the set M_A of all monoids consisting of unary functions on A, we considered a naturally defined Galois connection between M_A and L_A. For a monoid M, the centralizer M^* of M is the set of all multi-variable functions which 'commutes' with every unary function in M.1. <Some fundamental properties of the Galois connection> : (i) We showed that all centralizers of monoids are contained in some particular maximal clones. (ii) Also, we showed that for every pair of distinct monoids their centralizers are always distinct.2. <Characterization of the centralizers of the symmetric group and the alternating group> : We established the characterization of the centralizers of both the symmetric group and the alternating group, the latter being more complex than the former.3. <Classification of the centralizers for a sequence of monoids which contain the symmetric group> : A typical sequence {N_i} of monoids containing the symmetric group was defined. The centralizers of all N_i's have been determined. Most of them coincide with the least clone.4. <Monoids whose centralizer is the least done> : It is 'natural' to think that under a Galois connection a small monoid corresponds to a big monoid. However, against this naive intuition, some small monoids have been discovered whose centralizer is the least clone.5. <Application of the Kuznetsov criterion> : The power of the criterion established by Kuznetsov was shown to be quite useful in our study

A clone is a set of k-valued logical functions which is closed under composition and contains all the projections. The set of all clones consisting of k-valued logical functions is denoted by LィイD2kィエD2. Whereas the structure of LィイD22ィエD2 is completely determined, our knowledge about the structure of LィイD2kィエD2 for k > 2 at present is very little. The main objective of this research is to clarify the structure of LィイD2kィエD2 and we have obtained the following results.1. The structure of LィイD23ィエD2 as a metric spaceWe have introduced a metric into the lattice LィイD2kィエD2 of clones and showed that LィイD2kィエD2 is a compact metric space. Moreover, we constructed continuous mappings, based on the meet operation, from LィイD23ィエD2 onto LィイD22ィエD2 and studied the images of maximal clones in LィイD23ィエD2 and those of some clones being accumulation points under such mappings.2. Minimal clones in LィイD2kィエD2 and related topicsSince the classification of minimal clones is far from complete, the study of various properties of minimal clones are very important. We have studied a particular problem concerning minimal clones: Given a pair (CィイD21ィエD2, CィイD22ィエD2) of minimal clones, we call it gigantic pair if the union CィイD21ィエD2∪CィイD22ィエD2 generates the whole set of functions. We proved a characterization theorem of gigantic pairs and showed that gigantic pairs exist for most k's.3. Study of hyperclonesRecently, I. G. Rosenberg initiated the study of hyperclones. We continued his work and proved the following: The cardinality of the lattice of all hyperclones on the set {0,1} is of continuum. This is interesting as the cardinality of the lattice of all (ordinary) clones on {0, 1} is countable.4. Study of partial clones consisting of partial functionsWe investigated the following problems on partial clones : (1) The minimal number of maximal partial clones whose meet is the trivial partial clone. (2) The minimal number of minimal partial clones whose join is the clone of all partial operations. This is a joint work with Professors L. Haddad and I.G. Rosenberg

一般に、k値論理関数(k≧2)の集合で合成に関して閉じているものをクローンとよぶ。各kに対し、クローンの全体L_kは束の構造をもつ。現在のところ、2値論理関数、すなわち、ブール関数の場合を除き、L_k(k≧3)の構造はまだほとんど解明されていない。
われわれは以前より、L_kの構造の解明を目標として、クローンに対して有限近似という概念を導入し、研究を進めてきた。クローンの全体が可算無限(k≧2)または非可算無限(k≧3)であるのに対し、クローンの有限近似の全体は有限集合である点に際立った特徴がある。
クローンの有限近似を媒介として2つのクローンの間に距離を定義することができ、それによってL_kが距離空間になることをすでに指摘していたが、本研究では、L_kの距離空間としての性質をさらに継続して調べたほか、このように距離空間を構成する手法はもっと広い対象に対しても一般化可能であることを示した。
一方、与えられたクローンが有限生成であるかどうかを問う問題は、普遍代数(universal algebra)の研究者からも注目されている基本的な問題である。クローンが距離空間として見たクローン空間の中で孤立点になることは、そのクローンが有限生成であることと密接な関係があるが、本研究では、クローンが孤立点であることを普遍代数の方で用いられている。“collapsing"という概念によって特徴づけることができた。
このような普遍代数との間の関係についてさらに研究を深めていくことは、今後の重要な研究課題であるといえよう。
なお、これと別の観点から見た有限論理や特殊な代数に関する研究も並行して行ない、それぞれについて新しい結果を得た。

半線型熱方程式及び^1Navier-Stokes方程式に対して、通常の函数より一般的なRadon測度等を初期値とした場合の初期値問題は最近多くの人々の関心を集め、主にMorrey型の測度の空間及びBesov空間に初期値をとる場合が研究されてきた。筆者と小薗英雄氏は、Morrey空間を基礎としてBesov空間を構成するのと同様の手法によって新しい関数空間を2種類構成し、それぞれが上記の方程式の時間局所的解及び時間大域的解が一意的に存在するような初期値の空間になっていることを示した。この結果はこれまでに多くの人々によって得られていた結果の統一的説明になっている上に、これまでに知られていなかった、Radon測度以外の超函数を初期値として上の方程式が時間大域的な一意解を持つ場合があることを示した。
また、外部領域におけるNavier-Stokes方程式を考える際にとるべき関数空間としては弱L^n-空間が最適であることが、最近のBorchers,宮川鉄朗両氏の研究によって明らかにされつつある。筆者は小薗英雄氏と共同で、外力がない場合のNavier-Stokes外部初期値問題を研究した。その結果時間局所解及び時間大域解の一意存在については概ねこれまで多く研究されてきたL^n-空間の場合と同様の結果が成りたつが、得られた時間大域解の漸近挙動については、L^n-空間の場合と本質的に重なるものがあることがわかった。

研究代表者は、主にC.I.Rモデルと呼ばれるデリヴァディブ(金融派生商品)の価格決定理論の研究を行った。これは、Cox,Ingersol,Rossが1985年に発表したstochastic volatilityを持ちさらに、解の具体的表現が得られるモデルで、現在においても、理論面、実務面の両方の見地から見ても重要なモデルである。代表者は、発表予定の論文(ストカスティック ヴオラティリティを持つモデルとその周辺)において、C.I.Rモデルを数学的に整理し、その応用について調べ、また、その自然な拡張となるモデルを提唱し、その価格決定解析を行った。これらは、最近の金融業界の情勢から見ても緊急かつ重要なテーマであると思われる。
また、代表者は、第2論文において、ある多次元連分数アルゴリズムるついての指数収束の評価の研究を行った。
分担者の町田元は、クローンのなす空間の距離構造とその有限近似についての研究を行った。
分担者の宮地晶彦は、一般の開集合上のソボレフ空間に属する関数のアトム分解について調べた。
分担者の山崎昌男は、Morrey空間に属する初期値について、全空間におけるNavier-Stokes方程式に対する初期値問題が一意的に解けることを示した。

一般に、k値論理関数(k≧2)の集合で合成に関して閉じているものをクローンとよぶ。各kに対し、クローンの全体L_kは束の構造をもつ。現在のところ、2値論理関数、すなわち、ブール関数の場合を除き、L_k(k.≧3)の構造はまだほとんど何もわかっていない。
われわれの研究では、L_kの構造の解明を目標として、クローンに対する有限近似という概念を導入した。クローンの全体が可算無限(k≧2)または非可算無限(k≧3)であるのに対し、クローンの有限近似の全体は有限集合である。本研究では、2値の場合について有限近似をすべて決定し、有限近似の集合が、実際、L_2の良い近似を与えることを見い出した。これは今後、L_k(k≧3)の構造の研究を進める上で有力な手がかりを与えるものである。
次に、クローンの有限近似を媒介として2つのクローンの間に距離を定義することができ、それによってL_kが距離空間になることをすでに示していたが、本研究では、L_kが距離空間として完全、可分、コンパクトなどの性質をもつことを示した。
本研究では、また、クローンの空間に距離を導入する手法の一般化を与えた。この手法は、ω-言語の理論においてω-語の間に距離を導入する方法の一般化にもなっている。
町田らは以前より、L_kにおける極小クローンおよび本質的極小クローンの研究を進めてきたが、L_kを距離空間とみたときのこれらのクローンの性質についても、まだ発表の段階ではないが、多少の知見を得ている。
なお、Sobolev空間やMorey空間に関する研究やJacobi-Perronアルゴリズムに関する研究も並行して行ない、それぞれ新しい結果を得た。

研究代表者藤田岳彦は以下について調べた。複素多様体上では等角不変な拡散過程が存在しholomorphic diffusionと呼ばれている。論文では.複素次元が2の場合にケーラー性と対称なholomorphic diffusionの存在性が同値であることを示し.また.対称なholomorphic diffusionが存在しないような多様体の例を挙げた.また.同様の問題を複素次元が3以上の場合について調べた。これらの研究は等角構造とフラクタルの関連を調べるうえにおいても基本的な結果であると思われる。
分担者の山崎昌男は.Morrey空間とBesov空間の両方の考え方を組み合わせて.Morrey空間を基礎とするBesov空間というものを構成し.その性質を調べ.その結果をNuvier-Stokes方程式に応用した。これらを名古屋大学の小薗英雄氏との共同研究として.C.R.Sci.Acad.Parisに発表した。
分担者の宮地晶彦は.主にCp^αという関数空間の性質を研究した。与えられた関数を2つの関数の積に分解する因数分解の問題やC^α_P(Ω)の関数をC^α_P(R^n)の関数に延長することに関する結果をMathematica Japonicaに発表した。
分担者の永島孝は主に第1階古典述語論理系およびそれを拡張した一種の無限述語論理系についての研究を行った。古典述語論理については.函数概念の扱いを研究し.その成果の一つとしてスコーレムの定理の新しい証明をHitotsubashi J.Arts Sci.に発表した。

研究代表者は,主にCp^αという関数空間の性質を研究した.これは,以前から何人かの研究者によって考えられていたシャープ最大関数を用いて定義される関数空間で,基本的な性質はDeVoreとSharpleyによって調べられていたものである.我々の研究の特色は最大関数を用いた実関数論的な方法を徹底して用いることである.我々の方法のひとつの長所は,ユークリッド空間R^nの任意の開集合Ω上のCp^α=Cp^α(Ω)について(Ωに全く制限を付けずに),結果が得られることである.まず,Cp^α(Ω)のアトム分解についての結果を得た.ΩがR^n全体でないときには,関数のアトム分解の伴って関数のgenetic part(と我々は呼ぶ)という滑らかな関数が現れるが,このgenetic partの評価を詳しく調べた.次に,この結果を利用して,Cp^α(Ω)の関数たちの各点毎の積を作る掛け算と,その逆に,与えられた関数を2つの関数の積に分解する因数分解の問題とについて,結果を得た.掛け算と因数分解に関する結果は,よく知られたSobolev空間に対しても新しい事実を教えるものである.これらの結果は現在,論文にまとめている.また,Cp^α(Ω)の関数をCp^α(R^n)の関数に延長することに関する結果をMathematica Japonicaに発表した.
分担者の山崎昌男は,Morrey空間とBesov空間の両方の孝え方を組み合わせてMorrey空間を基礎とするBesov空間というものを構成し,その性質を調べ,その結果をNavier-Stokes方程式に応用した.これは,名古屋大学の小薗英雄氏も共同した研究で,C.R.Sci.Acad.Parisに発表された.
担者の藤田岳彦は正則(holomorphic)拡散過程の性質を調べ,結果をHitotsubashi Journal of Arts and Sciencesに発表した.

P=NP問題などいくつかの重要な未解決問題の解決には計算量の下界を求める強力な手法の開発が不可決である。ナップザック問題、クリーク問題などNP完全な離散的問題を対象として、計算量の下界を求める研究を従来から行ってきたが、今年度もこれらについてさらに考察を深めた。とくに、これらの問題に対応するブール関数列の素子計算量を調べるため、n変数ブール関数に関する演算をn次元超立方体上の集合演算に置きかえて、計算量を超立方体の部分集合で特徴づける試みについて基礎的な研究を行った。これらの成果についてはまだ雑誌等に発表する段階に至ってはないが、いくつかの新しい知見が得られており、今後さらに研究を続ける予定である。
ブール関数の拡張である多値論理関数についても、とくにクローン (clone)の分類について研究を行い、いくつかの成果をおさめた。クローンの分類にとって重要な役割を果たすと思われる「本質的極小クローン」という概念を数年前に町田が導入したが、この本質的極小クローンについて今年度2つの論文を発表した。1つは、無限集合上の本質的極小クローンの中に2変数関数をすでに無限個含むものが存在すること、すなわち、本質的極小クローンの中には大きなクローンが存在することを示したものである。もう1つの論文では、有限集合上の本質的極小クローンで2変数関数によって生成されるものを研究対象とし、これらをすべて決定することを試みた。この決定にはいくつかの場合分けが必要になり、そのうちの極めて難しい1,2の場合についてはまだ分類が完成していない。今後、残された場合の分類の完成に努めるとともに、3変数以上の関数で生成される本質的極小クローンについても分類の研究を試みる予定である。

1.研究代表者岩崎は,5つのMathieu群のそれぞれに付随する幾何である5つの(Mathieu-)Wittシステムをできるだけ自然かつ初等的統一的に把握する研究の一環として,今年度は3つの大きなシステム W_<24>,W_<23>,W_<22>の存在の一意性の新しい初等的統一的な証明を与えることができた.すなわち,これら3つのシステムの一意性ーーこれら3つと同一のパラメーターをもつSteinerシステムはそれぞれ同型である ーーを,初等的で単純な同一の方法ーー問題になっているパラメーターをもつ3つのSteinerシステムに対し,ある一定の方法に従って,全ての点に適当な名前をつけることができるという点の命名法と全てのブロックを明示することができるというブロックの書き上げ法を具体的に提示したーーで証明した.またこの証明は,3つのシステムの存在・構成をも与えている.
2.分担者山崎昌男は,ある発展方程式の初期値問題に関する興味深い結果を得た.すなわち,主部が楕円型とは限らない定数係数擬微分作用素と非有界なポテンシャルの和の形に書ける作用素を発展作用素とする発展方程式の初期値問題がL^2(IR^n)-空間で適切になるための,擬微分作用素のシンボルとポテンシャルの増大度に関する精密な十分条件ーー必要条件にかなり近いーーを得た.この条件は,シュレーディンガー方程式など物理における重要な方程式にも適用できるものである.
3.ごく簡単に述べるにとどめるが,分担者町田は本質的極小クローンと亜群に関して,分担者宮地はある種の関数空間における関数の延長に関して,それぞれ興味深い成果をあげた.
4.今回の科研費の援助により,代表者・分担者はそれぞれの専攻分野に関する研究集会に参加して,研究を発表し,有益な研究交流を行った.

宮地は,ユ-クリッド空間IR^n開集含Ω上のCp^αという関数空間について,Ωが(ε,δ)領域であればCp^a(Ω)の関数はCp^α(IR^n)の関数に拡張できる,という結果を得た。(ε,δ)領域は以前にP.W.Jonesが導入したもので,JonesはΩが(ε,δ)領域ならば,Ω上のBMO空間やSobolev空間の関数がIR^n上の対応する関数空間の関数に拡張できる,という結果を示していた。関数空間Cp^αはR.A.DeVoreとR.C.Sharpleyとが導入した関数空間で,DeVoreとSharpleyは,ΩがLipschitz領域ならば,Cp^α(Ω)の関数はCp^a(IR^n)の関数に拡張できる,という結果を出していた。(ε,δ)領域はLipschitz領域より一般的であり,Cp^α空間は Sobolev空間を特殊の場合として含んでいるので,今年度の宮地の結果はJonesやDeVoreーSharpleyの結果の一般化・精密化となっている。この結果は一部を論文として今年度に出版し,残りは現在,論文を準備中である。
山崎昌男は,主部が楕円型でなく,またポテンシャルが有界でないシンボルに対して,対応するワイル型の擬微分作用素がL^Z(IR^n)上で本質的自己共役になるための十分条件を得た。また,山崎は,(2×2)型の双曲型保存微分方程式系(非線型)について研究し,連続な大域解の存在を示す結果を得た。
藤田は,自己相似的スピ-ド測度をもつ1次元拡散過程の大偏差原理について結果を出した。
永島は,Skolemの定理に有限の立場での証明を与えた。
町田は,N上の関数からなるクロ-ン(clone,合成に関して閉じた集合)について考察し,2変数関数を可算無限個ふくむ本質的極小クロ-ンが存在することを示した。これは,本質的極小クロ-ンという小さいと思われるクロ-ンの中に,或る意味で大きなクロ-ンがあることを示した先駆的な仕事である。

代数的組合せ論の基礎を与えるアソシエ-ションスキ-ムの指標表は、ある種の直交関係をみたし,直交多項式と密接に関係している。研究代表者は,従来よりシュバレ-群とその部分群から得られるアソシエ-ションスキ-ムについて考察を続け,特に指標表の目盛りに相当するsubーdegreeを計算するのに,置換指標のMackey分解と部分群との関係に注目することが,小さい群についてはしばしば有効であることを示してきた。今年度は,大きな群の代表であるGLn(z)とその部分群から定義されるアソシエ-ションスキ-ムに対して,この方法を適用してsubdegreeを計算することを目ざしてきた。今回は結果を発表するまでには至らなかったが,現在も研究は継続中である。この方法が,置換表現と部分群との関係に対する理解を深める上で役に立つものと期待している。
アソシエ-ションスキ-ムの指標表の意味については,直交多項式との関係が明らかにされている小数の例外を除いて,ほとんと理解されていない。今後の研究が待たれるところである。また,従来のようにケ-スバイク-スの計算にたよるのではなく,ある程度は統一的なアプロ-チが必要である。このようなアプロ-チが直交多項式の立場から可能なのかどうか,今後の研究課題としたい。
今年度の科学研究費補助金により,研究分担者はそれぞれの専攻分野において,各地の研究者と活発な研究交流を行い,成果をあげることができた。詳細は省略するが,裏面の研究発表の欄に,発表された論文をまとめておく。

1.片岡は解析的線形微分方程式に対する混合問題に関する片岡-戸瀬による従来の理論をさらに発展させフランスのLebeauやSjo^¨strandらの回析波の伝播に関する重要な定理に幾何学的な別証を与えることに成功した。この証明によればさらに結果が退化した場合へも自然に拡張される。またそれと関連した第2超局所特異性理論の分野で片岡・戸瀬・岡田はより自然な第2マイクロ函数の理論を構成し,いくつかの基本的性質を導いた。小松はこれらの理論の基礎である佐藤の超函数とミクロ函数を調和函数を用いて新しく定義しなおし,ジュヴレイ族の正則性あるいは特異性をもつ函数及び超函数を超局所解析の立場から特徴付けた。大島はこれらの理論の表現論への応用として,関口と共同で半単純対称空間の普遍被覆空間に対するC-函数を具体的に計算することに成功し,線型とは限らない半単純リ-群の作用する半単純対称空間の場合にもPlancherelの公式が具体的に書けることを明らかにした。
2.岩崎は複素微分方程式に関する研究の中で,任意種数の閉リ-マン面上のフックス型射影接続のモジュライ空間を構成し,その解析空間あるいは複素多様体としての構造を研究した。更に,モジュライ空間上のモノドロミ-保存変形をポアソン幾何の観点から研究した。
3.山崎は超局所エネルギ-法を道具として分散を含む発展方程式の解の時間発展について研究した。まずポテンシャルが有界であるような2階の線型方程式について,初期値のある角領域での減衰から時間発展した後の解の超局所特異性が従うことを示した。また,非有界なポテンシャルを持つような方程式に上の結果を拡張するための準備として,楕円型でない発展作用素を持つ発展方程式がソボレフ空間上適切になるための十分条件を得た。

まず、特長的な非線型問題,とくに、現象の数理に由来する非線型問題に研究の焦点を合せた。その結果、次のように応用上の意義も深く、数学的手法の発展にも寄与する成果が得られた。
1.自由境界問題は支配する方程式が線型であっても領域が重ね合せを許さないため非線型性を呈する。とくに時間発展を追跡する初期値問題は興味が深い。当研究では球体の周りをめぐる流体の自由境界問題を関数解析的方法で精妙に調べると共に、数値的にシミュレートするスキームを開拓しかつ実施した。
2.非線型固有値問題とも言うべきbifurcationの解明にも大きな進歩があった。すなわち、微分幾何に密接な関係がある典型的な方程式
Δu+【λe^u】=0の解の枝について大局的な解析が成功した。
3.非線型方程式の境界値問題の解加複数に存在するための条件が領域の特性との関連で明らかにされた。細い回廊によってつながれた塊状領域における方程式Δu+f(u)=0の解の多様性および安定性の解析がそれである。
4.非線型方程式の解の正則性は事実の多様性および証明の困難さのいずれからも挑戦に値する問題である。これについてパラー微分作用素論の立場から大きな進歩がなされる。
5.古典的なスペクトル逆問題も非線型問題の一種である。これに関し、種々の対称性の仮定のもとにポテンシャルの決定に到る構成的な方法が開発された。

今年度は、全空間及び外部領域におけるNavier-Stokes方程式の解を、通常用いられるL^p-空間より広い空間において求める問題を考察し、以下の結果を得た。まずすでに考察した、外力がない場合の全空間における解をMorrey空間やBesoy空間より広い、新しい函数空間において求める問題を外力がある場合まで含めて考察した結果、空間次元が3以上の時に、あるMorrey空間に属する小さい定常解が存在するための、時間に依存しない外力に対する十分条件を求め、更にその定常解がMorrev空間及び以前に導入したより広い函数空間において安定であることを証明した。その際に有界解析的半群の摂動論を、半群の生成作用素の定義域が半群の作用している函数空間内で稠密でない場合まで拡張する必要があった。次に対応する問題を、より一般的な、有界な障害物を除いた外部領域で、外力が存在しない場合を考察し、解が通常のL^n-空間より少し広いL^<n,∞>-空間に属するための十分条件を求めた。その結果通常のL^n-空間で成り立つ、解の存在のための十分条件が、ほとんどそのままより広いL^<n,∞>-空間で成立するが、時間が無限に大きくなったときの解の漸近的な挙動は、L^n-空間の場合と本質的に異なる場合があることが判明した。外部領域で、外力が存在する場合の考察は、将来の課題として残されている

研究代表者は、第1論文においてある多次元連分数アルゴリズムについての指数収束についての研究を行った。また、第2論文において可変ボラティリティを持つデリバティブモデルの解析についての研究を行った。第3論文においてオプション価格理論から派生したあるブラウン運動の汎関数の分布について調べた。分担者の山田裕理は、カッツ・ムーディー代数の一般化についての研究を行った。分担者の山崎昌男は、ナビエストークス方程式における解をある関数空間において求め、それらの解析を行った。分担者の永島孝は、数理論理学のアプローチによるゲーム理論の研究を行った。分担者の町田元はクローン空間の距離構造についての研究を行った

1.空間1次元における伝播速度無限大の2×2双曲型保存系の連続な大域解の一意性空間1次元における2×2双曲型保存系は,一般には連続な解を持たず,いわゆる弱解の範囲にしか解を持たないことが知られている.この保存系が連続な大域解をただ一つ持つためには,伝播速度が有限の場合には,初期値がある種の単調性をみたすことが必要十分であることが知られているが,伝播速度が無限大の場合の条件は知られていなかった.この論文では伝播速度が無限大の場合には,上の単調性のみでは一般には解は一意的には定まらないことを示し,さらに解が一意的に定まるための,初期速度の増大度に関する必要十分条件を与えた.2.全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題を,Radon速度にならないdistributionを含むような広い函数空間で考え,時間局所的な一意解,および時間大域的な一意解を持つための十分条件を考え,結果としてRadon速度にならないdistributionを初期値とする上の方程式の解が存在することを示した.また,適当なMorrey空間に属するNavier-Stokes方程式の定常解が十分に小さいとき,その定常解はもとのMorrey空間で安定であることを示した.応用として,Navier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の,新たな自己相似解のクラスを構成した

We studied the existence, the uniqueness and the stability of stationary solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains, which is regarded as a model describing the motion of fluids, by functional analytic methods.For n-dimensional spaces, the function space L^n is mainly employed in previous works on this direction. We showed during the period from April, 1997 to March, 1998 that, when the space dimension is 3, solutions in the function space L^3 exist only in very limited cases, and hence we must consider a some-what larger space L^<3, *> as the function space in which solutions exist. Moreover, for the Navier-Stokes equation in the whole space, we gave a condition on the external forces sufficient for the unique existence of small stationary solutions belonging to the Morrey spaces, which is strictly larger than the space L^<n, *>. We furthermore showed that the stationay solutions above are stable under small initial perturbation in function spaces which contain distributions other than Radon measures.We studied the exterior problem of the Navier-Stokes equations in the space for n<greater than or equal>3 during the period from April, 1998 to March, 1999. We then showed the unique existence of small stationary solutions in the function space under the condition that the external forces are given as the first order derivatives of potentials small in the function space L^<n/2, *>. We also showed that the stationary solutions above are stable under small initial perturbations in the function space L^<n, *>. This result is applicable to external forces more general than those which can be treated by previous results obtained by potential theoretical methods, and is applicable to the 3-dimensional case which could not be treated by functional analytic methods before

In 1997 a subalgebra having order three symmetry of a vertex operator algebra associated with a rank two root lattice of type A was discovered and its properties were studied. In particular its automorphism group was determined and its simple modules were classified. The results were written in a joint paper Ternary codes and vertex operator algebras. Relations between this vertex operator algebra and the Monster module still remain to be studied. Moreover, Borwein type identity was studied from a point of view of vertex operator algebra. The results were written in a joint paper Borwein identity and vertex opertor algebras.In 1998 all highest weight vectors with weight at most two of a vertex operator algebra associated with a root lattice of type A were classified. Highest weight vectors are important, because once they are known then a vertex operator algebra can be decomposed into a direct sum of simple modules for a tensor product of Virasoro vertex operator algebras. Although not all highest weight vectors are known, much information about the structure of the vertex operator algebra can be obtained from highest weight vectors with weight at most two. For example, a vertex operator algebra having a symmetry of order 4 was constructed by using these highest weight vectors. Recently all highest weight vectors were classified in the case of rank three root lattice of type A.In order to generalize this result to a root lattice of arbitrary rank, a new idea would be required

We studied the Navier-Stokes equation on the whole space or on exterior domains. We have already studied the unique existence and the stability under initieal perturbations of stationary solutions with external forces independent of time. In this research we considered the case where external force depends on the time-variable, and studied the unique existence and the stability of solutions. This research generalizes similar researches on time-periodic solutions and solutions almost periodic in time.On the whole space we employ the Morrey spaces as the space of solutions, and succeeded in generalizing the results for usual L^p-spaces obtained by Professors Hideo Kozono, Mitsuhiro Nakao and Yasushi Taniuchi. On exterior domains we employ the weak-L^p spaces as the space of solutions, and we succeeded in relaxing the assumptions on the external forces very much, and firstly obtained conditions sufficient for the unique existence of solutions in 3-dimensional exterior domains.The results for the Morrey spaces can be obtained in a manner similar to that employed in our previous study. On the other hand, in the proof of the results for weak-L^p spaces, it is essential to show that the integral of functions with values in a Banach space converges, where the integral is considered to diverge in general. In order to show this fact, we first consider the family of the Lorentz spaces which generalizes the weak-L^pA spaces, and we improved estimates of L^p-L^q type, which is often employed in previous studies, by using real interpolation, and the we used the duality property between the Lorentz spaces

We have undertaken our research projects mainly on the following two subjects.(1) Results are obtained for the analysis on the structure of solutions to the steady state of the Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation and/or to the Blasius equation. Both equations are related to the fluid dynamics and have the similar third-order differential operator. By use of the monotonicity, the reduction of the third-order equation into the second-order one is performed. In view of this reduction, the existence of blowing-up solutions for the steady state of the KS equation is proved. These kind of solutions have not been mentioned in the literature so far. Moreover, an elementary existence proof of blowing-up solutions for the Blasius equation is also given, which may shed light on the validity of the Blasius equation itself with regard to the Prandtl boundary layer theory.(2) Free boundary problems arise in a wide variety of nonlinear sciences, including one-phase fluid flow problem. Here we are concerned with the pricing of American put option. We present an exact integral formula for the solution

We study the existence and multiplicity of solutions of nonlinear differential equations via variational methods. In particular, we study singular perturbation problems.1.We study the existence and multiplicity of solutions of nonlinear scalar field equations : -Δu+V(x)u=f(u) in R^N. Usually in such a problem global conditions on nonlinearity f(u)(ex.global Ambrosetti-Rabinowitz condition) are required to ensure the existence of solutions. In this study we tried to obtain an existence result without such global assumptions and we find that it is possible if we require sufficiently fast decay of the potential V(x).2.We also study singular perturbation problem : -Δu+λ^2a(x)u=|u|^<p-1>u in R^N, where a(x)【greater than or equal】0. As a limit problem as λ→∞, a Dirichlet boundary value problem -Δu=|u|^<p-1>u, u|_<∂Ω>=0 in Ω≡{x ∈R^N;a(x)=0} appears. We assume Ω consists of several bounded connected components Ω_1,【triple bond】, Ω_κ and for given solutions u_i(x) of the Dirichlet problem in Ω_i, we try to find a solution u_λ(x) in R^N whose limit is u_i(x) in Ω_i (connecting problem). We succeed to find a solution joining Mountain Pass solutions without non-degeneracy conditions. Also we show that there are infinitely many sign-changing solutions that are connectable with Mountain Pass solutions.3.For 1-dimensional Allen-Cahn equations and Schrodinger equaitons, we study the characterization of a family of solutions in the setting of singular perturbation. More precisely, we consider a family of solutios with increasing number of layers or spikes. We give a characterization of such a family using "limit enery function" or "envelop function". Conversely for addmissible patterns we construct corresponding families of solutions via variational methods

We study nonlinear elliptic partial differential equations and Hamiltonian systems via variational meth-ods. We put emphasis on singular perturbation problems.1. We study the existence of high frequency solutions-families of solutions whose numbers of spikes or layers increase to ∞ as the singular perturbation parameter ε goes to 0. We give the existence and the characterization of such families for 1 dimensional elliptic problems including nonlinear Schrodinger equations, Allen-Cahn equations, Fisher equations and Girerer-Meinhardt systems. Especially for Girerer-Meinhardt systems, we introduce and analyze a limit equation using adiabatic invariants. We also give a precise estimate of the number of positive solutions of nonlinear Schrodinger equations.2. We also study a singular perturbation problem for -ε^2△μ+V(χ)μ =g(μ) in R^N. Under very general conditions on g(μ), which is related to the work of Berestycki, Gallouet-Kavian, we prove the existence of a concentrating solution for N=1,2.3. We also study the prescribed energy problem for singular first order Hamiltonian systems. We suc-ceed to obtain the existence of periodic orbit under conditions which generalize the strong force condition of Gordon. We remark that our condition is given as a property of the energy surface S={(q, p);H(q, p) =E} not on the Hamiltonian H(q, p)

We study nonlinear problems via variational approaches. Especially (1) we study singular perturbation problems for nonlinear Schrodinger equations and systems. We introduce a new purely variational method which enables us to construct concentrating solutions in a very general setting. (2) We study nonlinear elliptic equations and systems in various settings. We give a new variational construction of radially symmetric ground states. We also study stability and instability of solutions. (3) We also study highly oscillatory solutions in 1-dimensional singular perturbation problems. We give characterization and existence result