(1)有限半群が融合基であるかどうかを判定するアルゴリズムの存在問題は未解決である。表現拡張性は半群が融合基であるための必要条件である。有限半群が表現拡張性を持つかどうかを判定するアルゴリズムの存在を示した。有限拡張性をもつ完全単純0-半群が融合基であることが知られている。表現拡張性をもつ正則半群が融合基であるかという問題に対して否定的な解答を与える有限正則半群を数式処理ソフトMathmaticaを使って構成した。さらに、有限半群が左絶対平坦性をもつかどうかを判定するアルゴリズムが存在する問題を解決し、論文を準備している。(2)T. E. Tall, J. Okniski, M. S. Putch有限半群のクラスの融合基を決定する問題と取り組んだ。まず、有限半群に対して、すべての半群のクラスの融合基であると有限半群のクラスの融合基であることが同値であるかどうかを調べた。有限半群のクラスの融合基である有限半群は表現拡張性をもつことを示した。この結果を用いて、有限半群のクラスの融合基である有限帯の代数構造を完全に決定できた。J. Okiniski, M. S. Putchaは有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。彼らの証明方法は半群環上の加群論を用いている。我々は半群の作用する集合の同型性に帰着させる方法で、有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。これは群の場合のB. Neumannの方法の自然な拡張と考えることができる。(3)自由λμ-calucus理論を適用し、任意なλ-モデルはλμ-モデルを生じることを示した。また、λμ-モデルは不動点作用とゲーデル-ゲンツエン変換を用いて構成できることを得た。(4)ファイバー・ホモトピーを研究し、写像カテゴリーに双対ファイバ化を導入した。さらに、連続写像カテゴリーに絶対レクラクト、可縮性を研究した。(5)奇素数に対して,極大実部分体が単に四つの素因子をもつconductorと任意に大きなp-階数をもつクラス群をもつ巡回的拡大体を岩沢理論を用いて構成した

平成11年度に本研究科で得られた研究成果を以下に列挙する:1.素数pに対するGreenberg予想が成立していて,かつ岩澤の類数公式における類数の安定化が随意に遅くなるような総実代数体が存在することを証明した.kを代数体,pを素数,knをkの円分的Z_<p->拡大のn-th Iayerとし,A_nでk_nのイデアル類群のp-Sylow部分群を表すことにすると,岩澤の類数公式より,定数λ_p,μ_p,ν_pが存在して,十分大きいすべてのnに対して♯A_n=p^<λ_pn+μ_pp^n+ν_p>が成立する.もしもkがpに対するGreenberg予想が成立しているような総実代数体ならば,λ_p=μ_p=0となるから,十分大きいすべてのnに対して♯A_nは一定となるが,任意の与えられた自然数N>0に対して♯A_0<♯A_1<♯A_2<・・・<♯A_Nと♯A_nの安定化が随意に遅れるようなkが存在する.2.k/Qを有限次Galois拡大,pを素数とし,K/kをK/QがGalois拡大になるようなZ_p-拡大で,X_<finite>をK/kに付随する岩澤加群の最大有限部分加群とする.このときp*[k:Q]でK/kが適当な条件(例えばK/kが円分的)を満たせば,X^<Gal(K/k)>_<finite>が単生成Z_p[Gal(k/Q)]-加群であることを証明した.この応用として,特にp≠2,kが総実代数体でpが完全分解して,Leopoldt予想が(k,p)に対して成立しているとき,Gal(M(K)/L(K))が単生成Z_p[[Gal(K/Q)]]-加群であることが分かった.ここにL(K)/K,M(K)/Kはそれぞれ最大不分岐pro-pアーベル拡大,最大p-分岐pro-pアーベル拡大である

(1)有限半群が融合基であるかどうかを判定するアルゴリズムの存在問題は未解決である。表現拡張性は半群が融合基であるための必要条件である。有限半群が表現拡張性を持つかどうかを判定するアルゴリズムの存在を示した。有限拡張性をもつ完全単純0-半群が融合基であることが知られている。表現拡張性をもつ正則半群が融合基であるかという問題に対して否定的な解答を与える有限正則半群を数式処理ソフトMathmaticaを使って構成した。さらに、有限半群が左絶対平坦性をもつかどうかを判定するアルゴリズムが存在する問題を解決し、論文を準備している。(2)T. E. Tall, J. Okniski, M. S. Putch有限半群のクラスの融合基を決定する問題と取り組んだ。まず、有限半群に対して、すべての半群のクラスの融合基であると有限半群のクラスの融合基であることが同値であるかどうかを調べた。有限半群のクラスの融合基である有限半群は表現拡張性をもつことを示した。この結果を用いて、有限半群のクラスの融合基である有限帯の代数構造を完全に決定できた。J. Okiniski, M. S. Putchaは有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。彼らの証明方法は半群環上の加群論を用いている。我々は半群の作用する集合の同型性に帰着させる方法で、有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。これは群の場合のB. Neumannの方法の自然な拡張と考えることができる。(3)自由λμ-calucus理論を適用し、任意なλ-モデルはλμ-モデルを生じることを示した。また、λμ-モデルは不動点作用とゲーデル-ゲンツエン変換を用いて構成できることを得た。(4)ファイバー・ホモトピーを研究し、写像カテゴリーに双対ファイバ化を導入した。さらに、連続写像カテゴリーに絶対レクラクト、可縮性を研究した。(5)奇素数に対して,極大実部分体が単に四つの素因子をもつconductorと任意に大きなp-階数をもつクラス群をもつ巡回的拡大体を岩沢理論を用いて構成した

本年度得られた研究成果を列挙する:1.非アーベル的な手法を用いて円分体Q(μ_p^n)(p:素数)の最大不分岐p-拡大のガロワ群G_nの構造を研究し、Vandiver予想の下でその降中心列商X^<(i)>_n=C_i(G_n)/C_<i+1>(G_n)(C_1(G_n)=G_n, C_<i+1>(G_n)=[G_n, C_i(G_n)])の構造をi<N_pについて(N_pはpにのみに依存するある定数)完全に決定した。特に岩澤類数公式の非アーベル類似がこれらのX^<(i)>_nについて成立していることを示すことに成功した。2.岩澤理論と非アーベル的な手法を用いて、円分体Q(μ_p^2)(p:素数)上の最大不分岐p-拡大(p-類体塔)が無限であるための必要十分条件が、Vandiver予想の下でQ(μ_p^2)のイデアル類群のp-階数が2以上であることを証明した。Vandiver予想を仮定してはいるものの、イデアル類群のp-階数のみで最大不分岐p-拡大の無限性が判定される例は、これが最初であると思われる。3.1で触れた岩澤類数公式の非アーベル類似よりも少し弱い主張が、任意のZ_p-拡大で成立することを証明した

本年度得られた最大の研究成果は、μ-不変量が正であるようなある種のZ_p-拡大に対して、その各layer上の羃零類2の最大不分岐p-拡大の次数を与える非アーベル岩澤公式を与えたことである。従来の岩澤理論では岩澤代数Λ上有限生成な加群のみが考察されてきたが、本研究主題の非アーベル岩澤理論に於いては、μ-不変量が正の場合にはΛ上無限生成の岩澤加群が自然に現れる。従って、上述の公式を示すにはこの無限生成Λ加群を考察する必要があるため、非常は困難を伴う。そのため従来はμ-不変量が正の場合にはλ-不変量が0であるような非常に特殊な形の岩澤加群を持つZ_p-拡大に対してのみ公式が与えられていた。今回の成果に於いては、λ-不変量が正である場合も含む、より広いクラスのZ_p-拡大に対して公式が与えられ、その手法も一般の場合を解決する道を拓くものと思われるので、今後の研究成果にも期待が持てる。また、従来の公式に現れていた新しい不変量であるκ-不変量の群論的な特徴付けも今回の成果でより鮮明になった

(1)群の融合問題と群論の語の問題とは特に融合積を通して深く結び付いている。実際,群論の語の問題の群の融合を利用した多くの解法と見事な結果がある。半群の場合事情が一変するといても過言ではない。実際,群の融合は常にある群に埋め込むことが可能である。しかし,半群の融合は埋め込め可能とは限らない。半群の融合問題「有限半群の融合が有限半群に埋め込めるかどうかを判定するアルゴリズムがあるか」に対して,Sapir否定的な解答を示した。さらに,SapirとHallは決定問題「有限半群が融合基かどうかを判定するアルゴリズムがあるか」を研究したが,未解決のままである。この問題の研究を進める中で,有限逆半群に対するOkninskiとPutchaの定理の別証明を得た。さらに、その結果を一般化し、より一般的な正則半群に対して、すべての有限半群のクラスの中で融合基であるための十分条件を与えた。(2)位相空間の立場から、連続写像のフィアバー・ホモトピー群を構成するフレームワークを構築し,stratifirable空間の間の写像に対して,ファイバーANRの性質を研究した。(3)数学基礎論の立場から,λμ-計算の書き換え及び変換法を研究した。万能的計算モデルの観点から,自由λ計算でも外延的モデルが存在することを示し,合流性やC-モノイドとの関係について調べた。(4)代数アルゴリズムの立場から、中心体上有限次元単純アルティン環を商環とするDubrovin付値環のR-イデアルを研究し、岩沢加群とガロア群の計算との関連を明らかにするため、Z_p-拡大とガロア群の関係を調べ,岩沢定理の拡張とGreenberg予想に関連する結果を得た

代数体の制限分岐非アーベル拡大に関して,岩澤理論的な手法によって新たな立脚点を与えるような幾つかの研究成果を得た.少し詳しく述べると,Z_p-拡大体上の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群の構造について新たな知見を得ると共に,有限次代数体の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群の構造についても,古典的問題,例えば有限次代数体上の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群としてどのような群が現れるかという問題に対して大きな前進を見た

本研究の主要研究対象は代数体の算術的基本群，即ち，分岐する素点を制限した下での有理数体の代数拡大体上の最大拡大のGalois群である．算術的基本群は数論における基本的な研究対象であり，本研究では以下で説明するような2つの結果を得ることができた：（１）代数体の算術的基本群と算術的同値性２つの有限次代数体に付随するデデキントゼータ函数が一致するとき，その２つの代数体は算術的同値であると言われる．デデキントゼータ函数は，その代数体の数論的性質を深く反映しているが，それによって完全に代数体の同型類を特徴付けできる訳ではない．即ち，互いに算術的同値であるが同型でないような2つの有限次代数体が存在することが知られている．そこで，代数体の如何なる数論的性質がそのデデキントゼータ函数を特徴付けるか，という問題が大いに興味を惹くことになる.本研究ではこの問題に対して，有限次代数体のある種の算術的基本群の族がデデキントゼータ函数を決定し，またその逆も然りであることを示すことに成功した．（２）無限次代数体の絶対ガロワ群による特徴付けNeukirch-内田の定理は，有限次代数体KとLに対して，KとLの絶対ガロワ群G(K)とG(L)が同型であることは，KとLが体として同型であるための必要十分条件であることを主張している．つまり，「有限次代数体の絶対ガロワ群は，その体の同型類を完全に特徴付ける」という定理である．一方，一般の無限次代数体についてはNeukirch-内田の定理は成立しない．それは，代数体が"大きく"なれば，その絶対ガロワ群は"小さく"なるため，持っている情報が少なくなることに起因している．しかし，本研究ではある種の有限次代数体のZ_p-拡大体という比較的"小さな"無限次代数体の族については，その絶対ガロワ群が同型類を決定することを示すことに成功した．これは無限次代数体に対してNeukirch-内田型定理が成立する最初の実例である．

本研究において得られた主たる研究成果について以下で解説する:代数体のガロワ拡大K/kにおける単数群のガロワコホモロジー群H^i(K/k,E_K)は基本的な数論的対象である．例えばK/kが不分岐拡大の場合，H^1(K/k,E_K)とH^2(K/k,E_K)は其々K/kにおけるイデアル類群のcapitulation kernelとcapitulationcokernelと同型になっている．一方，代数体の不分岐ガロワ拡大におけるcapitulationkernelがどのようなアーベル群になるかという問題は古典的な重要問題であり，これについては，Hilbertの定理94やFurtwaenglerの単項化定理という古典的結果や，これらの一般化である鈴木の単項化定理が知られている．これらの結果を踏まえて，GruenbergとWeissは一連の論文で次のような問題を考察した：「Gを有限群とする．このとき代数体の不分岐G-拡大に於けるcapitulation kernelとしてどのようなアーベル群が現れるか？　正確に言えば，K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^1(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_1(G)を決定せよ．」GruenbergとWeissはこの問題の群論版については十分満足すべき解答を与えたが，元々の問題を解決するためには，与えられた群論的状況を実現する不分岐拡大の存在問題が解決されなければならない．私は従前研究に於いてこの存在問題をGが有限p-群の場合に解決しているので，この場合にはGruenbergとWeissの結果と合わせてX_1(G)を決定することができる．さらにGが有限p-群の場合に，K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^i(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_i(G)をi=0,2の場合にも完全に決定することに成功した．証明は問題を同値な群論の問題に帰着させて，それを考察することによって得られる．i=2の場合はさほどの困難はないが，i=0の場合は，ある種のG-加群で，その-2次元コホモロジー群が自明なものが存在するという群論的事実を示すことが鍵となる．そのようなG-加群を数論を用いて構成することによって証明することができた．

　1998年度はGreenberg予想及びそれに関するテーマについて研究した。以下に研究成果を列挙する：（ⅰ）有理数体の実ｐ次巡回拡大体で、ｐに対するGreenberg予想が成立していて、且つ付随する岩澤加群のｐ－回数が随意に大きいものを構成した。（ⅱ）（ⅰ）を単項化問題に応用して、第数体ｋで、その適当な不分岐ｐ次巡回拡大で、ｋのイデアル類群のp-Sylow部分群が全て単項化して、且つイデアル類群のp－回数が随意に大きいものが存在することを示し、岩澤氏の問題を解決した。（ⅲ）ｋをイデアル類群のp-Sylow部分群が巡回群で、pが分解していない次数がpと素である総実代数体で、pに対するGreenberg予想が成立しているものとする。このような総実第数体ｋ上に無数pに対するGreenberg予想が“遺伝”するようなp次巡回拡大体が存在することを示した。（ⅳ）（山本現氏（早稲田大学）との共同研究）有理数体の素数導手の３次巡回拡大体で、素数３に対するGreenberg予想の成立を確かめる簡潔な判定条件を与え、これを用いて多くの実例について素数３に対するGreenberg予想が成立することを計算機で確認した。

　97年度は昨年度に引続き、 Greenberg予想の研究を中心に行なった。 また虚二次体の岩澤不変量の振舞いについても、 一般化されたGreenberg予想との関係という面から新たに興味深い現象を発見した。　Greenberg予想に関しては、総実代数体の相対p-拡大に於いて基礎体のλp=μp=0が拡大体に“遺伝”するための必要条件を与えた。そして具体的に与えられた素数pに対して、λp=μp=0となる総実代数体のパラメータ付きの無限族を構成した。また今年度は虚二次体の岩澤不変量についても研究した。与えられた素数pと虚二次体に対して、そのZp-拡大の岩澤不変量がどのように振舞うかというのは、興味深い問題である。これに関して、もし虚二次体に対する一般化されたGreenberg予想が成立していれば岩澤不変量の挙動が有限個の例外のZp-拡大を除いて完全に決定できることを発見した。特に類数がpで割れない虚二次体に対しては、そのZp-拡大のλ、μ-不変量を有限個の例外を除いて完全に決定できる。