2022/12/09 更新

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オザキ マナブ
尾崎 学
Scopus 論文情報  
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Citation Countは当該年に発表した論文の被引用数

所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授

他学部・他研究科等兼任情報

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所・附属機関兼任歴

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位

  • 早稲田大学   博士(理学)

所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野

  • 代数学

論文

  • Z_p-拡大の非アーベル岩澤理論―概説と展望

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B64   313 - 330  2017年03月  [査読有り]

  • A GCD and LCM-like inequality for multiplicative lattices

    Daniel D. Anderson, Takashi Aoki, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    Tamkang Journal of Mathematics   47 ( 3 ) 261 - 270  2016年09月

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    Let A1, . . . , An (n ≥ 2) be elements of an commutative multiplicative lattice. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the joins (resp., meets) of k of the elements. Then we show that L(n)G(2)G(4) ���G(2[n/2]) ≤ G(1)G(3) ���G(2[n/2]-1). In particular this holds for the lattice of ideals of a commutative ring. We also consider the relationship between G(n)L(2)L(4) ���L(2[n/2]) and L(1)L(3) ���L(2[n/2]-1) and show that any inequality relationships are possible.

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  • GCD and LCM-like identities for ideals in commutative rings

    D. D. Anderson, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    JOURNAL OF ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS   15 ( 1 )  2016年02月  [査読有り]

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    Let A(1), ... , A(n) (n >= 2) be ideals of a commutative ring R. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the sums (resp., intersections) of k of the ideals. Then we have
    L(n) G(2) G(4) ... G(2left perpendicularn/2right perpendicular) subset of G(1) G(3) ... G(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    In the case R is an arithmetical ring we have equality. In the case R is a Prufer ring, the equality holds if at least n - 1 of the ideals A(1), ... , A(n) are regular. In these two cases we also have
    G(n) L(2) L(4) ... L(2left perpendicularn/2right perpendicular) - L(1) L(3) ... L(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    Related equalities are given for Prufer v-multiplication domains and formulas relating GCD's and LCM's in a GCD domain generalizing gcd(a(1), a(2))lcm(a(1), a(2)) = a(1)a(2) are given.

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    4
    被引用数
    (Scopus)
  • On the Iwasawa λ-invariant of the cyclotomic Z_2-extension of Q(√p), III

    Fukuda, Takashi, Komatsu, Keiichi, Ozaki, Manabu, Tsuji, Takae

    Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici   54 ( 1 ) 7 - 17  2016年  [査読有り]

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    In the preceding papers, two of authors developed criteria for Greenberg conjecture of the cyclotomic Z2-extension of k = Q(√p ) with prime number p. Criteria and numerical algorithm in [5], [3] and [6] enable us to show λ2(k) = 0 for all p less than 105 except p =13841; 67073. All the known criteria at present can not handle p = 13841; 67073. In this paper, we develop another criterion for λ2(k) = 0 using cyclotomic units and Iwasawa polynomials, which is considered a slight modification of the method of Ichimura and Sumida. Our new criterion fits the numerical examination and quickly shows that λ2(Q(√p )) = 0 for p = 13841; 67073. So we announce here that λ2(Q(√p)) = 0 for all prime numbers p less that 105.

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    1
    被引用数
    (Scopus)
  • Characterization of arithmetical equivalence of number fields by galois groups with restricted ramification

    Mitsui Tohkailin, Manabu Ozaki

    Tokyo Journal of Mathematics   36 ( 2 ) 347 - 354  2013年12月

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    We will give a characterization of arithmetical equivalence of number fields in terms of certain associated families of Galois groups with restricted ramification.

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  • ON THE Z(p)-RANKS OF TAMELY RAMIFIED IWASAWA MODULES

    Tsuyoshi Itoh, Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    INTERNATIONAL JOURNAL OF NUMBER THEORY   9 ( 6 ) 1491 - 1503  2013年09月  [査読有り]

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    For a finite set S of prime numbers, we consider the S-ramified Iwasawa module which is the Galois group of the maximal abelian pro-p-extension unramified outside S over the cyclotomic Z(p)-extension of a number field k. In the case where S does not contain p and k is the rational number field or an imaginary quadratic field, we give the explicit formulae of the Z(p)-ranks of the S-ramified Iwasawa modules by using Brumer's p-adic version of Baker's theorem on the linear independence of logarithms of algebraic numbers.

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    11
    被引用数
    (Scopus)
  • On tame pro-p Galois groups over basic Zp-extensions

    Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT   273 ( 3-4 ) 1161 - 1173  2013年04月  [査読有り]

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    For a prime number p and a finite set S of prime numbers congruent to 1 modulo p, we consider the Galois group of the maximal pro-p-extension unramified outside S over the -extension of the rational number field. In this paper, we give a family of S for which the Galois group is a metacyclic pro-p group with an application to Greenberg's conjecture.

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    8
    被引用数
    (Scopus)
  • Construction of maximal unramified p-extensions with prescribed Galois groups

    Manabu Ozaki

    INVENTIONES MATHEMATICAE   183 ( 3 ) 649 - 680  2011年03月  [査読有り]

    DOI

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    10
    被引用数
    (Scopus)
  • Abelian 2-class field towers over the cyclotomic Z(2)-extensions of imaginary quadratic fields

    Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    MATHEMATISCHE ANNALEN   347 ( 2 ) 437 - 453  2010年06月  [査読有り]

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    For the cyclotomic Z(2)-extension k(infinity) of an imaginary quadratic field k, we consider whether the Galois group G(k(infinity)) of the maximal unramified pro-2-extension over k(infinity) is abelian or not. The group G(k(infinity)) is abelian if and only if the nth layer of the Z(2)-extension has abelian 2-class field tower for all n >= 1. The purpose of this paper is to classify all such imaginary quadratic fields k in part by using Iwasawa polynomials.

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    8
    被引用数
    (Scopus)
  • Remark on the Iwasawa invariants of p-extensions of a totally real number field

    Interdiscip. Inform. Sci.   16   67 - 70  2010年

  • Non-abelian Iwasawa theory of Z(p)-extensions

    Manabu Ozaki

    JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK   602   59 - 94  2007年01月  [査読有り]

    DOI

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    21
    被引用数
    (Scopus)
  • Construction of $Z_p$-extensions with prescribed Iwasawa invariants

    S. Fujii, Y. Ohgi, M.Ozaki

    J. Number Theory   118   200 - 2007  2006年  [査読有り]

  • Construction of Z(p)-extensions with prescribed Iwasawa modules

    M Ozaki

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   56 ( 3 ) 787 - 801  2004年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We construct Z(p)-extensions whose Iwasawa modules have prescribed structure. Specifically, we give a Z(p)-extension with prescribed finite Iwasawa module. Also we show that there exists a Z(p)-extension with arbitrarily given Iwasawa mu-invariant. We apply the construction of such Z(p)-extensions to a certain capitulation problem.

  • An application of Iwasawa theory to constructing fields Q(zeta(n) plus zeta(-1)(n)) which have class group with large p-rank

    M Ozaki

    NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL   169   179 - 190  2003年03月  [査読有り]

     概要を見る

    Let p be an odd prime number. By using Iwasawa theory, we shall construct cyclotomic fields whose maximal real subfields have class group with arbitrarily large p-rank and conductor with only four prime factors.

  • Iwasawa invariants of Z_p-extensions over an imaginary quadratic field

    OZAKI M.

    ASPM of Math. Soc. Japan   30   387 - 399  2001年

    CiNii

  • Iwasawa lambda_3-invariants of certain cubic fields

    M. Ozaki, G. Yamamoto

    Acta Arith.   87   387 - 398  2001年  [査読有り]

  • A note on the Iwasawa lambda-invariants of real abelian number fields

    M. Ozaki, H.Taya

    Interdiscip. Inform. Sci.   4   109 - 116  1998年

     概要を見る

    Let k be a real abelian number field with Galois group Δ and p an odd prime number. Assume that the order of Δ is not divisible by p. Let Ψ be an irreducible Qp-character of Δ. Denote by λp(Ψ?) the Ψ-component of the λ-invariant associated to the cyclotomic Zp-extension of k. Then Greenberg conjecture for the Ψ-components states that λp(Ψ?) is always zero for any Ψ and p. Although some efficient criteria for the conjecture to be true are given, very little is known about it except for k?=Q or the trivial character case. There is another λ-invariant. Denote by λp*(Ψ?) the λ-invariant associated to the p?-adic L-function related to Ψ. One can know λp*(Ψ?) by computing the Iwasawa power series attached to Ψ. The Iwasawa main conjecture proved by Mazur and Wiles says that the inequality λp(Ψ?)???λp*(Ψ?) holds. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for this inequality to be strict in terms of special values of p?-adic L-functions. This result enables us to obtain a criterion for Greenberg's conjecture for Ψ-components to be true when the corresponding Iwasawa power series is irreducible.

    DOI CiNii

  • Greenberg予想について

    数理解析研究所講究録 1026「代数的整数論とその周辺」/京都大学    1997年10月

  • On the cyclotomic unit group and the ideal class group of a real abelian number field II

    Journal of Number Theory/Academic Press   64;2  1997年06月

  • On the cyclotomic unit group and the ideal class group of a real abelian number field II

    Journal of Number Theory/Academic Press   64;2  1997年06月  [査読有り]

  • The class group of Z_p-extensions over totally real number fields

    Tôhoku Math. Journal/東北大学   49;3  1997年  [査読有り]

  • On the cyclotomic unit group and the p-ideal class group of a real abelian number field

    Tokyo Journal of Math./紀伊国屋   20;2  1997年  [査読有り]

  • On the Iwasawa λ_2-invariant of certain families of real quadratic field

    Manuscripta Math./Springer-Verlag   94;4  1997年  [査読有り]

  • On Iwasawa λ_p-invariants of relative real cyclic extensions of degree p

    Tokyo Journal of Math./紀伊国屋   20;2  1997年  [査読有り]

  • Kummer's lemma for Z_p-extensions over totally real number fields

    Acta Arithmetica/Polish Acad. Sci., Inst. Math.   81;1  1997年  [査読有り]

  • A note on the capitulation in Z_p-extensions

    Proc. Japan Acad./日本学士院   71;A;9  1995年12月  [査読有り]

  • A note on Greenberg's conjecture for real abelian number fields

    Manuscripta Mathematica/Springer-Verlag   88  1995年12月

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 非アーベル岩澤理論の新展開

    研究期間:

    2019年04月
    -
    2022年03月
     

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    本研究の主要課題は非自由予想と分岐予想である.非自由予想に関しては,最近研究代表者が開発した新しい手法をさらに発展させることによって更なる前進を図る.また,分岐予想は有限次代数体上に p 上の素点のみが実際に分岐する非アーベル p-拡大を構成する問題に帰着される.この種の構成にはある種の特別なアーベル多様体の等分点から来るガロワ表現が応用できる可能性があるので,それを視野に入れた研究を行う.今年度得られた研究成果は以下の通りである:Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ,古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である.高次岩澤加群のZ_p-階数(高次岩澤λ不変量)は極めて重要で興味深い数論的対象であるが,その性質は未だ解明されておらず実例も殆ど知られていない.報告者の従前研究で3次以下の高次岩澤λ不変量λ^(i) (i=1,2,3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功したのみであった.しかし本研究によって任意に指定されたi≧1についてλ^(i)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した.今後の課題はすべてのi≧1について同時にλ^(i)が随意に大きくなるようなZ_p拡大を構成することである.2次体に対する非自由予想に重点を置いて研究しているが,非常な困難に遭遇しており,新たな立脚点が必要であるから.今後はZ_p^拡大体の非自由予想が成立するような特別な代数体の族を構成することに重点を置いて研究を行う

  • 代数体の絶対ガロワ群への岩澤理論によるアプローチ

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2019年03月
     

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    今年度得られた研究成果は,有限体上の一変数代数函数体と代数体の類似を表す以下の定理である:定理 kを有理数体Qの総虚な有限次Galois拡大で,Qの円分的Z^-拡大Q~(Z^はZの副有限完備化)との共通部分がQであるものとする.そしてk~:=kQ~として,L/k~を最大不分岐Abel拡大とする.このとき,X(k)=Gal(L/k~)のGal(k~/k)-加群としての構造がkを完全に特徴付ける.すなわち,k_1,k_2が有理数体の総虚な有限次Galois拡大であり,X(k_1)とX(k_2)がGal(Q~/Q)-加群として同型であればk_1=k_2が成立する.ここでGal(k~_1/k_1)およびGal(k~_2/k_2)は自然にGal(Q~/Q)と同一視しておく.円分的Z^-拡大の有限体上の1変数代数函数体Fにおける類似は係数体の代数閉包までの係数拡大F~,X(k)の類似物はFの標数と異なる素数lに関するl-Tate加群T_l(F)であり,この定理はTateの定理「T_l(F)のGal(F~/F)-加群構造がFに付随するJacobi多様体J(F)の同種類を決定する」の類似と見なせる.一変数代数函数体においてはF~の最大不分岐Abel拡大の素数l-部分T_l(F)の情報のみでJ(F)の同種類が復元されるが,代数体においてはそれでは不十分で,すべての素数部分の情報が復元に必要である.その理由の本質的究明が代数的整数論の深い理解に繋がると考えられる

  • 代数体の非アーベル制限分岐拡大の研究

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2016年03月
     

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    本研究によって得られた研究成果は概ね以下の3つである:1.Neukirch-Uchidaの定理の無限次代数体への一般化,2.制限分岐岩澤加群による算術的同値性の判定条件,3.ある種のZ_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のAbel性の判定条件.上記3つの研究成果はいずれも代数体の制限分岐拡大,言い換えれば絶対ガロワ群中の各素数に対する惰性部分群の入り方の深遠さの一端を反映しているものである

  • 岩澤理論を基軸とする非アーベル的数論の発展的研究

    研究期間:

    2009年04月
    -
    2013年03月
     

     概要を見る

    本研究によって代数体の非アーベル拡大の数論に関連して以下のような新たな知見が得られた : (1)基本Z_p-拡大上の馴分岐岩澤加群のZ_p-階数の公式(2)代数体のイデアル類群上のWeil ペアリングの類似物の基本性質(3)代数体の単数群のガロワコホモロジー群の同型類(4)代数体のデデキントゼータ函数の制限分岐拡大のGalois 群による特徴付

  • 代数曲線とヤコビ多様体の数論研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

     概要を見る

    1994年にWiles-Taylorにより有理数体上の楕円曲線の「谷山-志村予想」が半安定な場合に解決され, 応用としてフェルマーの最終定理(予想)が証明されたことは整数論の歴史に輝く画期的な展開であった. 本研究に先立ち我々は, ある種のQ上のアーベル多様体にWiles等の結果を拡張し, その応用として代数体上のQ-curveや, 四元数乗法をもつ(QM型)種数2の代数曲線について, 「谷山-志村予想」を証明した.
    本研究は, 上記の結果を適用できる代数曲線を具体的に構成し, その数論的性質を調べるという課題を組織的に遂行したものであるが, 十分に満足のいく成果が得られたと信ずる。主要な結果を数点挙げると
    ・Q上の種数2の代数曲線Cでそのヤコビ多様体が非自明な自己準同型を持つものの族をいくつか構成し, GL(2)-型となるものを多数見い出し, それ等に対して「谷山-志村予想」を検証した.
    ・逆に, 重さ2の保型(尖点)形式(new form) f(z)でそのFourier係数の生成する体が2次体Kであるものに対して, 対応する志村のアーベル曲面A(f)/Qについて, Q上の種数2の代数曲線でヤコビ多様体がA(f)とQ^-上同種なものを具体的に求める, という問題を研究し, K=Q(√<-5>), Q(√<-1>)となることが知られている11個の例について解答を得た.
    ・楕円曲線の二重被覆をなす種数2の曲線の最も一般的な方程式を, 7個の自由パラメータを持つ族として得た. この特殊化により, 曲線属C(j)で, そのコビ多様体が2次体Q(√<j-12^3>)上ではj-不変量がjに等しい楕円曲線(Q-曲線)の積に分解するものを具体的に構成し「谷山-志村予想」を検証した.

  • 有理数体の総実p-拡大体に対するGreenberg予想の研究

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    平成11年度に本研究科で得られた研究成果を以下に列挙する:1.素数pに対するGreenberg予想が成立していて,かつ岩澤の類数公式における類数の安定化が随意に遅くなるような総実代数体が存在することを証明した.kを代数体,pを素数,knをkの円分的Z_<p->拡大のn-th Iayerとし,A_nでk_nのイデアル類群のp-Sylow部分群を表すことにすると,岩澤の類数公式より,定数λ_p,μ_p,ν_pが存在して,十分大きいすべてのnに対して♯A_n=p^<λ_pn+μ_pp^n+ν_p>が成立する.もしもkがpに対するGreenberg予想が成立しているような総実代数体ならば,λ_p=μ_p=0となるから,十分大きいすべてのnに対して♯A_nは一定となるが,任意の与えられた自然数N>0に対して♯A_0<♯A_1<♯A_2<・・・<♯A_Nと♯A_nの安定化が随意に遅れるようなkが存在する.2.k/Qを有限次Galois拡大,pを素数とし,K/kをK/QがGalois拡大になるようなZ_p-拡大で,X_<finite>をK/kに付随する岩澤加群の最大有限部分加群とする.このときp*[k:Q]でK/kが適当な条件(例えばK/kが円分的)を満たせば,X^<Gal(K/k)>_<finite>が単生成Z_p[Gal(k/Q)]-加群であることを証明した.この応用として,特にp≠2,kが総実代数体でpが完全分解して,Leopoldt予想が(k,p)に対して成立しているとき,Gal(M(K)/L(K))が単生成Z_p[[Gal(K/Q)]]-加群であることが分かった.ここにL(K)/K,M(K)/Kはそれぞれ最大不分岐pro-pアーベル拡大,最大p-分岐pro-pアーベル拡大である

  • 組合せ半群論とその応用

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    (1)有限半群が融合基であるかどうかを判定するアルゴリズムの存在問題は未解決である。表現拡張性は半群が融合基であるための必要条件である。有限半群が表現拡張性を持つかどうかを判定するアルゴリズムの存在を示した。有限拡張性をもつ完全単純0-半群が融合基であることが知られている。表現拡張性をもつ正則半群が融合基であるかという問題に対して否定的な解答を与える有限正則半群を数式処理ソフトMathmaticaを使って構成した。さらに、有限半群が左絶対平坦性をもつかどうかを判定するアルゴリズムが存在する問題を解決し、論文を準備している。(2)T. E. Tall, J. Okniski, M. S. Putch有限半群のクラスの融合基を決定する問題と取り組んだ。まず、有限半群に対して、すべての半群のクラスの融合基であると有限半群のクラスの融合基であることが同値であるかどうかを調べた。有限半群のクラスの融合基である有限半群は表現拡張性をもつことを示した。この結果を用いて、有限半群のクラスの融合基である有限帯の代数構造を完全に決定できた。J. Okiniski, M. S. Putchaは有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。彼らの証明方法は半群環上の加群論を用いている。我々は半群の作用する集合の同型性に帰着させる方法で、有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。これは群の場合のB. Neumannの方法の自然な拡張と考えることができる。(3)自由λμ-calucus理論を適用し、任意なλ-モデルはλμ-モデルを生じることを示した。また、λμ-モデルは不動点作用とゲーデル-ゲンツエン変換を用いて構成できることを得た。(4)ファイバー・ホモトピーを研究し、写像カテゴリーに双対ファイバ化を導入した。さらに、連続写像カテゴリーに絶対レクラクト、可縮性を研究した。(5)奇素数に対して,極大実部分体が単に四つの素因子をもつconductorと任意に大きなp-階数をもつクラス群をもつ巡回的拡大体を岩沢理論を用いて構成した

  • 組合せ半群論とその応用

     概要を見る

    (1)有限半群が融合基であるかどうかを判定するアルゴリズムの存在問題は未解決である。表現拡張性は半群が融合基であるための必要条件である。有限半群が表現拡張性を持つかどうかを判定するアルゴリズムの存在を示した。有限拡張性をもつ完全単純0-半群が融合基であることが知られている。表現拡張性をもつ正則半群が融合基であるかという問題に対して否定的な解答を与える有限正則半群を数式処理ソフトMathmaticaを使って構成した。さらに、有限半群が左絶対平坦性をもつかどうかを判定するアルゴリズムが存在する問題を解決し、論文を準備している。(2)T. E. Tall, J. Okniski, M. S. Putch有限半群のクラスの融合基を決定する問題と取り組んだ。まず、有限半群に対して、すべての半群のクラスの融合基であると有限半群のクラスの融合基であることが同値であるかどうかを調べた。有限半群のクラスの融合基である有限半群は表現拡張性をもつことを示した。この結果を用いて、有限半群のクラスの融合基である有限帯の代数構造を完全に決定できた。J. Okiniski, M. S. Putchaは有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。彼らの証明方法は半群環上の加群論を用いている。我々は半群の作用する集合の同型性に帰着させる方法で、有限逆半群は有限半群のクラスの融合基であることを証明した。これは群の場合のB. Neumannの方法の自然な拡張と考えることができる。(3)自由λμ-calucus理論を適用し、任意なλ-モデルはλμ-モデルを生じることを示した。また、λμ-モデルは不動点作用とゲーデル-ゲンツエン変換を用いて構成できることを得た。(4)ファイバー・ホモトピーを研究し、写像カテゴリーに双対ファイバ化を導入した。さらに、連続写像カテゴリーに絶対レクラクト、可縮性を研究した。(5)奇素数に対して,極大実部分体が単に四つの素因子をもつconductorと任意に大きなp-階数をもつクラス群をもつ巡回的拡大体を岩沢理論を用いて構成した

  • 代数体の岩澤理論の非アーベルp-拡大の手法による研究

     概要を見る

    本年度得られた研究成果を列挙する:1.非アーベル的な手法を用いて円分体Q(μ_p^n)(p:素数)の最大不分岐p-拡大のガロワ群G_nの構造を研究し、Vandiver予想の下でその降中心列商X^<(i)>_n=C_i(G_n)/C_<i+1>(G_n)(C_1(G_n)=G_n, C_<i+1>(G_n)=[G_n, C_i(G_n)])の構造をi<N_pについて(N_pはpにのみに依存するある定数)完全に決定した。特に岩澤類数公式の非アーベル類似がこれらのX^<(i)>_nについて成立していることを示すことに成功した。2.岩澤理論と非アーベル的な手法を用いて、円分体Q(μ_p^2)(p:素数)上の最大不分岐p-拡大(p-類体塔)が無限であるための必要十分条件が、Vandiver予想の下でQ(μ_p^2)のイデアル類群のp-階数が2以上であることを証明した。Vandiver予想を仮定してはいるものの、イデアル類群のp-階数のみで最大不分岐p-拡大の無限性が判定される例は、これが最初であると思われる。3.1で触れた岩澤類数公式の非アーベル類似よりも少し弱い主張が、任意のZ_p-拡大で成立することを証明した

  • 非アーベル岩澤理論の研究

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    本年度得られた最大の研究成果は、μ-不変量が正であるようなある種のZ_p-拡大に対して、その各layer上の羃零類2の最大不分岐p-拡大の次数を与える非アーベル岩澤公式を与えたことである。従来の岩澤理論では岩澤代数Λ上有限生成な加群のみが考察されてきたが、本研究主題の非アーベル岩澤理論に於いては、μ-不変量が正の場合にはΛ上無限生成の岩澤加群が自然に現れる。従って、上述の公式を示すにはこの無限生成Λ加群を考察する必要があるため、非常は困難を伴う。そのため従来はμ-不変量が正の場合にはλ-不変量が0であるような非常に特殊な形の岩澤加群を持つZ_p-拡大に対してのみ公式が与えられていた。今回の成果に於いては、λ-不変量が正である場合も含む、より広いクラスのZ_p-拡大に対して公式が与えられ、その手法も一般の場合を解決する道を拓くものと思われるので、今後の研究成果にも期待が持てる。また、従来の公式に現れていた新しい不変量であるκ-不変量の群論的な特徴付けも今回の成果でより鮮明になった

  • 組合せ半群論とその応用

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    (1)群の融合問題と群論の語の問題とは特に融合積を通して深く結び付いている。実際,群論の語の問題の群の融合を利用した多くの解法と見事な結果がある。半群の場合事情が一変するといても過言ではない。実際,群の融合は常にある群に埋め込むことが可能である。しかし,半群の融合は埋め込め可能とは限らない。半群の融合問題「有限半群の融合が有限半群に埋め込めるかどうかを判定するアルゴリズムがあるか」に対して,Sapir否定的な解答を示した。さらに,SapirとHallは決定問題「有限半群が融合基かどうかを判定するアルゴリズムがあるか」を研究したが,未解決のままである。この問題の研究を進める中で,有限逆半群に対するOkninskiとPutchaの定理の別証明を得た。さらに、その結果を一般化し、より一般的な正則半群に対して、すべての有限半群のクラスの中で融合基であるための十分条件を与えた。(2)位相空間の立場から、連続写像のフィアバー・ホモトピー群を構成するフレームワークを構築し,stratifirable空間の間の写像に対して,ファイバーANRの性質を研究した。(3)数学基礎論の立場から,λμ-計算の書き換え及び変換法を研究した。万能的計算モデルの観点から,自由λ計算でも外延的モデルが存在することを示し,合流性やC-モノイドとの関係について調べた。(4)代数アルゴリズムの立場から、中心体上有限次元単純アルティン環を商環とするDubrovin付値環のR-イデアルを研究し、岩沢加群とガロア群の計算との関連を明らかにするため、Z_p-拡大とガロア群の関係を調べ,岩沢定理の拡張とGreenberg予想に関連する結果を得た

  • 非アーベル岩澤理論の展開

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    代数体の制限分岐非アーベル拡大に関して,岩澤理論的な手法によって新たな立脚点を与えるような幾つかの研究成果を得た.少し詳しく述べると,Z_p-拡大体上の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群の構造について新たな知見を得ると共に,有限次代数体の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群の構造についても,古典的問題,例えば有限次代数体上の最大不分岐pro-p-拡大のガロワ群としてどのような群が現れるかという問題に対して大きな前進を見た

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学内研究費(特定課題)

  • 全円分拡大の数論の新展開

    2018年  

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    本年度に得られた研究成果は以下の通りである:&nbsp;1.「有限次代数体kの円分的Z_p-拡大体K上の最大不分岐p-拡大のGalois群は,非可換自由pro-p-群にはならないであろう」という非自由予想は代数体の非アーベル不分岐拡大を対象とする非アーベル岩澤理論における重要な問題である.本研究ではこの予想にに取り組み部分的な成果を得た.具体的にはp=2, kが虚2次体の場合に非自由予想が正しいことを示すことに成功した.さらにp=2の場合に,kで2が完全分解していてかつkの2-イデアル類群が非自明であるならば,非自由予想が正しいことも証明することに成功した.今後はpが奇素数の場合にも非自由予想が成立するための条件を求めることを目標とする.&nbsp;2.Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ,古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である.高次岩澤加群のZ_p-階数(高次岩澤λ不変量)は極めて重要で興味深い数論的対象であるが,その性質は未だ解明されておらず,実例も殆ど知られていない.例えば3次以上の高次岩澤λ不変量λ^(i)についてはそれらが正になるZ_p拡大が存在するかどうかすら判っていなかった.しかし本研究によってλ^(3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した.今後は4次以上の高次岩澤λ不変量についても同様の構成を行うことが目標である.

  • 絶対ガロワ群の岩澤理論的な手法による研究

    2017年  

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    本研究は代数体の絶対Galois群という数学における最も深遠な対象の一つに対して,岩澤理論に基づく新しい手法でアプローチするものである.本研究によって絶対Galois群に関して以下のような新たな知見が齎された:1.有理数体Q上の巨大な無限次拡大体の絶対Galois群の外部自己同型群の構造2.有限次代数体の算術的同値類の絶対Galois群の比較的小さな商による特徴付け

  • 非アーベル岩澤主予想の研究

    2016年  

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    本研究は,代数体の算術とゼータ関数との深遠な関係である岩澤主予想を非アーベル拡大に対して拡張することを目的としたものである。pを素数,K/kを有限次総実代数体k上の円分的Z_p-拡大体,Sをkの素点の有限集合でp上の素点をすべて含むものとする。このときK上の最大S-分岐アーベルp-拡大のガロワ群X_Sは自然に完備群環Λ=Z_p[[Gal(K/k)]]上の有限生成ねじれ加群の自然な構造を持つ.従来の岩澤主予想(Wilesの定理)は「X_SのΛ加群構造不変量である特性イデアルの生成元がkのp進sゼータ函数ζ_p(S,kから得られる」という,算術的対象であるガロワ群X_Sと解析対象ζ_p(s,k)の間の深遠な関係を示すものである.本研究ではこの古典的岩澤主予想の設定のアーベル拡大のガロワ群X_SをK上の最大S-分岐p-拡大のガロワ群G_Sにした場合を考察した.岩澤によりG_Sは「μ=0予想」の下では有限生成自由pro-p群になることが知られているので,この状況での岩澤主予想は大雑把には「Gal(K/k)の生成元γの引き起こすG_Sの外部自己同型群Out G_Sの元が何らかのゼータ函数と結びつくであろう」と言うことができる.この非アーベル的な状況での岩澤朱予想は現時点では数学的に定式化することすら困難な状況であるが,本研究においては算術側のΦの群論的不変量を定式化することに成功した.この不変量はアーベル的な不変量を積み重ねて定義されるものなので,古典的岩澤主予想を積み重ねることでゼータ函数と結びつきやすいものになっている.今後の課題は解析側の「ゼータ函数」を正しく定式化して,非アーベル岩澤主予想を証明することである..

  • 数論とトポロジーの相互応用の探求

    2015年  

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    本研究の目標は,(1)数論へのトポロジーの応用,(2)トポロジーへの数論の応用を探求し,数論とトポロジーの相互の発展を新たな枠組みで刺激する端緒となることである.(1)に関しては,結び目理論を応用して数論の基本定理である平方剰余の相互法則の別証明を得ることに成功した。(2)に関しては,ある種の周期的結び目のアレキサンダー多項式の特徴付けを数論を応用して行った.

  • 代数体の絶対ガロワ群とゼータ函数の研究

    2013年  

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    本研究は数学に於いて最も深遠な対象である,絶対ガロワ群の構造の解明を目的とするものである.得られた研究成果は以下のとおりである.1.無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理Neukirch-内田の定理(1970年代初頭)は有限次代数体の構造がその絶対ガロワ群によって完全に特徴付けられることを主張している.詳しく述べると,有限次代数体k_1, k_2の絶対ガロワ群G_1, G_2の間に位相群としての同型φ: G_1→G_2が存在するならば,φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元σによるG_0の内部自己同型から誘導される,すなわち,φ(x)=σxσ^{-1}が成立する.特にσ(k_1)=k_2なので,k_1とk_2は体として同型である.Neukirch-内田の定理はGrothendieckの遠アーベル予想の最も基本的な実例であり,その後の遠アーベル幾何の発展の端緒ともなった非常に重要な結果である.例えば,F.Popは有限次代数体のみならず,より一般に素体上有限生成な体についてもNeukirch-内田型の定理が成立することを示している.しかし,無限次代数体のような素体上有限生成ではない体についてNeukirch-内田型の定理が成立するかどうかについては殆ど知られていなかった.このような状況の中で,本研究はある種の無限次代数体についてNeukirch-内田型の定理が成立することを明らかにした:Kを有限次代数体上の円分的Z_p-拡大,Fを有限次代数体のGalois拡大体とする.もしもKとFの絶対ガロワ群G_KとG_Fの間に位相同型φ: G_K→G_Fが存在するならば,φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元によるG_0の内部自己同型から誘導される.特にKとFは体として同型である.2. 円分的Z_S-拡大体の絶対ガロワ群の自己同型1の研究成果の手法の応用として,有限次代数体の円分的Z_S-拡大体K(S : 素数の有限集合)の絶対ガロワ群G_Kの外部自己同型群Out(G)を決定した:Out(G)はKの体としての自己同型群Aut(K)と自然に同型である.

  • 代数体の算術的基本群の研究

    2012年  

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    本研究の主要研究対象は代数体の算術的基本群,即ち,分岐する素点を制限した下での有理数体の代数拡大体上の最大拡大のGalois群である.算術的基本群は数論における基本的な研究対象であり,本研究では以下で説明するような2つの結果を得ることができた:(1)代数体の算術的基本群と算術的同値性2つの有限次代数体に付随するデデキントゼータ函数が一致するとき,その2つの代数体は算術的同値であると言われる.デデキントゼータ函数は,その代数体の数論的性質を深く反映しているが,それによって完全に代数体の同型類を特徴付けできる訳ではない.即ち,互いに算術的同値であるが同型でないような2つの有限次代数体が存在することが知られている.そこで,代数体の如何なる数論的性質がそのデデキントゼータ函数を特徴付けるか,という問題が大いに興味を惹くことになる.本研究ではこの問題に対して,有限次代数体のある種の算術的基本群の族がデデキントゼータ函数を決定し,またその逆も然りであることを示すことに成功した.(2)無限次代数体の絶対ガロワ群による特徴付けNeukirch-内田の定理は,有限次代数体KとLに対して,KとLの絶対ガロワ群G(K)とG(L)が同型であることは,KとLが体として同型であるための必要十分条件であることを主張している.つまり,「有限次代数体の絶対ガロワ群は,その体の同型類を完全に特徴付ける」という定理である.一方,一般の無限次代数体についてはNeukirch-内田の定理は成立しない.それは,代数体が"大きく"なれば,その絶対ガロワ群は"小さく"なるため,持っている情報が少なくなることに起因している.しかし,本研究ではある種の有限次代数体のZ_p-拡大体という比較的"小さな"無限次代数体の族については,その絶対ガロワ群が同型類を決定することを示すことに成功した.これは無限次代数体に対してNeukirch-内田型定理が成立する最初の実例である.

  • 非アベール的数論の新展開

    2011年  

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    本研究において得られた主たる研究成果について以下で解説する:代数体のガロワ拡大K/kにおける単数群のガロワコホモロジー群H^i(K/k,E_K)は基本的な数論的対象である.例えばK/kが不分岐拡大の場合,H^1(K/k,E_K)とH^2(K/k,E_K)は其々K/kにおけるイデアル類群のcapitulation kernelとcapitulationcokernelと同型になっている.一方,代数体の不分岐ガロワ拡大におけるcapitulationkernelがどのようなアーベル群になるかという問題は古典的な重要問題であり,これについては,Hilbertの定理94やFurtwaenglerの単項化定理という古典的結果や,これらの一般化である鈴木の単項化定理が知られている.これらの結果を踏まえて,GruenbergとWeissは一連の論文で次のような問題を考察した:「Gを有限群とする.このとき代数体の不分岐G-拡大に於けるcapitulation kernelとしてどのようなアーベル群が現れるか? 正確に言えば,K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^1(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_1(G)を決定せよ.」GruenbergとWeissはこの問題の群論版については十分満足すべき解答を与えたが,元々の問題を解決するためには,与えられた群論的状況を実現する不分岐拡大の存在問題が解決されなければならない.私は従前研究に於いてこの存在問題をGが有限p-群の場合に解決しているので,この場合にはGruenbergとWeissの結果と合わせてX_1(G)を決定することができる.さらにGが有限p-群の場合に,K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^i(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_i(G)をi=0,2の場合にも完全に決定することに成功した.証明は問題を同値な群論の問題に帰着させて,それを考察することによって得られる.i=2の場合はさほどの困難はないが,i=0の場合は,ある種のG-加群で,その-2次元コホモロジー群が自明なものが存在するという群論的事実を示すことが鍵となる.そのようなG-加群を数論を用いて構成することによって証明することができた.

  • 有理数体のp-拡大体に対するGreenberg予想

    1998年  

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     1998年度はGreenberg予想及びそれに関するテーマについて研究した。以下に研究成果を列挙する:(ⅰ)有理数体の実p次巡回拡大体で、pに対するGreenberg予想が成立していて、且つ付随する岩澤加群のp-回数が随意に大きいものを構成した。(ⅱ)(ⅰ)を単項化問題に応用して、第数体kで、その適当な不分岐p次巡回拡大で、kのイデアル類群のp-Sylow部分群が全て単項化して、且つイデアル類群のp-回数が随意に大きいものが存在することを示し、岩澤氏の問題を解決した。(ⅲ)kをイデアル類群のp-Sylow部分群が巡回群で、pが分解していない次数がpと素である総実代数体で、pに対するGreenberg予想が成立しているものとする。このような総実第数体k上に無数pに対するGreenberg予想が“遺伝”するようなp次巡回拡大体が存在することを示した。(ⅳ)(山本現氏(早稲田大学)との共同研究)有理数体の素数導手の3次巡回拡大体で、素数3に対するGreenberg予想の成立を確かめる簡潔な判定条件を与え、これを用いて多くの実例について素数3に対するGreenberg予想が成立することを計算機で確認した。

  • 代数体のZ<SUB><I>p</SUB></I>-拡大の研究

    1997年  

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     97年度は昨年度に引続き、 Greenberg予想の研究を中心に行なった。 また虚二次体の岩澤不変量の振舞いについても、 一般化されたGreenberg予想との関係という面から新たに興味深い現象を発見した。 Greenberg予想に関しては、総実代数体の相対p-拡大に於いて基礎体のλp=μp=0が拡大体に“遺伝”するための必要条件を与えた。そして具体的に与えられた素数pに対して、λp=μp=0となる総実代数体のパラメータ付きの無限族を構成した。また今年度は虚二次体の岩澤不変量についても研究した。与えられた素数pと虚二次体に対して、そのZp-拡大の岩澤不変量がどのように振舞うかというのは、興味深い問題である。これに関して、もし虚二次体に対する一般化されたGreenberg予想が成立していれば岩澤不変量の挙動が有限個の例外のZp-拡大を除いて完全に決定できることを発見した。特に類数がpで割れない虚二次体に対しては、そのZp-拡大のλ、μ-不変量を有限個の例外を除いて完全に決定できる。

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現在担当している科目

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