尾崎 学 (オザキ マナブ)

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所属

理工学術院 基幹理工学部

職名

教授

兼担 【 表示 / 非表示

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等 【 表示 / 非表示

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位 【 表示 / 非表示

  • 早稲田大学   博士(理学)

所属学協会 【 表示 / 非表示

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野 【 表示 / 非表示

  • 代数学

論文 【 表示 / 非表示

  • Z_p-拡大の非アーベル岩澤理論―概説と展望

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B64   313 - 330  2017年03月  [査読有り]

  • A GCD and LCM-like inequality for multiplicative lattices

    Daniel D. Anderson, Takashi Aoki, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    Tamkang Journal of Mathematics   47 ( 3 ) 261 - 270  2016年09月

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    Let A1, . . . , An (n ≥ 2) be elements of an commutative multiplicative lattice. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the joins (resp., meets) of k of the elements. Then we show that L(n)G(2)G(4) ���G(2[n/2]) ≤ G(1)G(3) ���G(2[n/2]-1). In particular this holds for the lattice of ideals of a commutative ring. We also consider the relationship between G(n)L(2)L(4) ���L(2[n/2]) and L(1)L(3) ���L(2[n/2]-1) and show that any inequality relationships are possible.

    DOI

  • GCD and LCM-like identities for ideals in commutative rings

    D. D. Anderson, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    JOURNAL OF ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS   15 ( 1 )  2016年02月  [査読有り]

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    Let A(1), ... , A(n) (n >= 2) be ideals of a commutative ring R. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the sums (resp., intersections) of k of the ideals. Then we have
    L(n) G(2) G(4) ... G(2left perpendicularn/2right perpendicular) subset of G(1) G(3) ... G(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    In the case R is an arithmetical ring we have equality. In the case R is a Prufer ring, the equality holds if at least n - 1 of the ideals A(1), ... , A(n) are regular. In these two cases we also have
    G(n) L(2) L(4) ... L(2left perpendicularn/2right perpendicular) - L(1) L(3) ... L(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    Related equalities are given for Prufer v-multiplication domains and formulas relating GCD's and LCM's in a GCD domain generalizing gcd(a(1), a(2))lcm(a(1), a(2)) = a(1)a(2) are given.

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  • On the Iwasawa λ-invariant of the cyclotomic Z_2-extension of Q(√p), III

    Fukuda, Takashi, Komatsu, Keiichi, Ozaki, Manabu, Tsuji, Takae

    Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici   54 ( 1 ) 7 - 17  2016年  [査読有り]

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    In the preceding papers, two of authors developed criteria for Greenberg conjecture of the cyclotomic Z2-extension of k = Q(√p ) with prime number p. Criteria and numerical algorithm in [5], [3] and [6] enable us to show λ2(k) = 0 for all p less than 105 except p =13841; 67073. All the known criteria at present can not handle p = 13841; 67073. In this paper, we develop another criterion for λ2(k) = 0 using cyclotomic units and Iwasawa polynomials, which is considered a slight modification of the method of Ichimura and Sumida. Our new criterion fits the numerical examination and quickly shows that λ2(Q(√p )) = 0 for p = 13841; 67073. So we announce here that λ2(Q(√p)) = 0 for all prime numbers p less that 105.

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  • Characterization of arithmetical equivalence of number fields by galois groups with restricted ramification

    Mitsui Tohkailin, Manabu Ozaki

    Tokyo Journal of Mathematics   36 ( 2 ) 347 - 354  2013年12月

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    We will give a characterization of arithmetical equivalence of number fields in terms of certain associated families of Galois groups with restricted ramification.

    DOI

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共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 / 非表示

  • 非アーベル岩澤理論の新展開

    研究期間:

    2019年04月
    -
    2022年03月
     

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    本研究の主要課題は非自由予想と分岐予想である.非自由予想に関しては,最近研究代表者が開発した新しい手法をさらに発展させることによって更なる前進を図る.また,分岐予想は有限次代数体上に p 上の素点のみが実際に分岐する非アーベル p-拡大を構成する問題に帰着される.この種の構成にはある種の特別なアーベル多様体の等分点から来るガロワ表現が応用できる可能性があるので,それを視野に入れた研究を行う.今年度得られた研究成果は以下の通りである:Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ,古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である.高次岩澤加群のZ_p-階数(高次岩澤λ不変量)は極めて重要で興味深い数論的対象であるが,その性質は未だ解明されておらず実例も殆ど知られていない.報告者の従前研究で3次以下の高次岩澤λ不変量λ^(i) (i=1,2,3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功したのみであった.しかし本研究によって任意に指定されたi≧1についてλ^(i)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した.今後の課題はすべてのi≧1について同時にλ^(i)が随意に大きくなるようなZ_p拡大を構成することである.2次体に対する非自由予想に重点を置いて研究しているが,非常な困難に遭遇しており,新たな立脚点が必要であるから.今後はZ_p^拡大体の非自由予想が成立するような特別な代数体の族を構成することに重点を置いて研究を行う

  • 代数体の絶対ガロワ群への岩澤理論によるアプローチ

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2019年03月
     

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    今年度得られた研究成果は,有限体上の一変数代数函数体と代数体の類似を表す以下の定理である:定理 kを有理数体Qの総虚な有限次Galois拡大で,Qの円分的Z^-拡大Q~(Z^はZの副有限完備化)との共通部分がQであるものとする.そしてk~:=kQ~として,L/k~を最大不分岐Abel拡大とする.このとき,X(k)=Gal(L/k~)のGal(k~/k)-加群としての構造がkを完全に特徴付ける.すなわち,k_1,k_2が有理数体の総虚な有限次Galois拡大であり,X(k_1)とX(k_2)がGal(Q~/Q)-加群として同型であればk_1=k_2が成立する.ここでGal(k~_1/k_1)およびGal(k~_2/k_2)は自然にGal(Q~/Q)と同一視しておく.円分的Z^-拡大の有限体上の1変数代数函数体Fにおける類似は係数体の代数閉包までの係数拡大F~,X(k)の類似物はFの標数と異なる素数lに関するl-Tate加群T_l(F)であり,この定理はTateの定理「T_l(F)のGal(F~/F)-加群構造がFに付随するJacobi多様体J(F)の同種類を決定する」の類似と見なせる.一変数代数函数体においてはF~の最大不分岐Abel拡大の素数l-部分T_l(F)の情報のみでJ(F)の同種類が復元されるが,代数体においてはそれでは不十分で,すべての素数部分の情報が復元に必要である.その理由の本質的究明が代数的整数論の深い理解に繋がると考えられる

  • 代数体の非アーベル制限分岐拡大の研究

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2016年03月
     

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    本研究によって得られた研究成果は概ね以下の3つである:1.Neukirch-Uchidaの定理の無限次代数体への一般化,2.制限分岐岩澤加群による算術的同値性の判定条件,3.ある種のZ_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のAbel性の判定条件.上記3つの研究成果はいずれも代数体の制限分岐拡大,言い換えれば絶対ガロワ群中の各素数に対する惰性部分群の入り方の深遠さの一端を反映しているものである

  • 岩澤理論を基軸とする非アーベル的数論の発展的研究

    研究期間:

    2009年04月
    -
    2013年03月
     

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    本研究によって代数体の非アーベル拡大の数論に関連して以下のような新たな知見が得られた : (1)基本Z_p-拡大上の馴分岐岩澤加群のZ_p-階数の公式(2)代数体のイデアル類群上のWeil ペアリングの類似物の基本性質(3)代数体の単数群のガロワコホモロジー群の同型類(4)代数体のデデキントゼータ函数の制限分岐拡大のGalois 群による特徴付

  • 代数曲線とヤコビ多様体の数論研究

    基盤研究(C)

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

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    1994年にWiles-Taylorにより有理数体上の楕円曲線の「谷山-志村予想」が半安定な場合に解決され, 応用としてフェルマーの最終定理(予想)が証明されたことは整数論の歴史に輝く画期的な展開であった. 本研究に先立ち我々は, ある種のQ上のアーベル多様体にWiles等の結果を拡張し, その応用として代数体上のQ-curveや, 四元数乗法をもつ(QM型)種数2の代数曲線について, 「谷山-志村予想」を証明した.
    本研究は, 上記の結果を適用できる代数曲線を具体的に構成し, その数論的性質を調べるという課題を組織的に遂行したものであるが, 十分に満足のいく成果が得られたと信ずる。主要な結果を数点挙げると
    ・Q上の種数2の代数曲線Cでそのヤコビ多様体が非自明な自己準同型を持つものの族をいくつか構成し, GL(2)-型となるものを多数見い出し, それ等に対して「谷山-志村予想」を検証した.
    ・逆に, 重さ2の保型(尖点)形式(new form) f(z)でそのFourier係数の生成する体が2次体Kであるものに対して, 対応する志村のアーベル曲面A(f)/Qについて, Q上の種数2の代数曲線でヤコビ多様体がA(f)とQ^-上同種なものを具体的に求める, という問題を研究し, K=Q(√<-5>), Q(√<-1>)となることが知られている11個の例について解答を得た.
    ・楕円曲線の二重被覆をなす種数2の曲線の最も一般的な方程式を, 7個の自由パラメータを持つ族として得た. この特殊化により, 曲線属C(j)で, そのコビ多様体が2次体Q(√<j-12^3>)上ではj-不変量がjに等しい楕円曲線(Q-曲線)の積に分解するものを具体的に構成し「谷山-志村予想」を検証した.

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特定課題研究 【 表示 / 非表示

  • 全円分拡大の数論の新展開

    2018年  

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    本年度に得られた研究成果は以下の通りである:&nbsp;1.「有限次代数体kの円分的Z_p-拡大体K上の最大不分岐p-拡大のGalois群は,非可換自由pro-p-群にはならないであろう」という非自由予想は代数体の非アーベル不分岐拡大を対象とする非アーベル岩澤理論における重要な問題である.本研究ではこの予想にに取り組み部分的な成果を得た.具体的にはp=2, kが虚2次体の場合に非自由予想が正しいことを示すことに成功した.さらにp=2の場合に,kで2が完全分解していてかつkの2-イデアル類群が非自明であるならば,非自由予想が正しいことも証明することに成功した.今後はpが奇素数の場合にも非自由予想が成立するための条件を求めることを目標とする.&nbsp;2.Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ,古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である.高次岩澤加群のZ_p-階数(高次岩澤λ不変量)は極めて重要で興味深い数論的対象であるが,その性質は未だ解明されておらず,実例も殆ど知られていない.例えば3次以上の高次岩澤λ不変量λ^(i)についてはそれらが正になるZ_p拡大が存在するかどうかすら判っていなかった.しかし本研究によってλ^(3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した.今後は4次以上の高次岩澤λ不変量についても同様の構成を行うことが目標である.

  • 絶対ガロワ群の岩澤理論的な手法による研究

    2017年  

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    本研究は代数体の絶対Galois群という数学における最も深遠な対象の一つに対して,岩澤理論に基づく新しい手法でアプローチするものである.本研究によって絶対Galois群に関して以下のような新たな知見が齎された:1.有理数体Q上の巨大な無限次拡大体の絶対Galois群の外部自己同型群の構造2.有限次代数体の算術的同値類の絶対Galois群の比較的小さな商による特徴付け

  • 非アーベル岩澤主予想の研究

    2016年  

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    本研究は,代数体の算術とゼータ関数との深遠な関係である岩澤主予想を非アーベル拡大に対して拡張することを目的としたものである。pを素数,K/kを有限次総実代数体k上の円分的Z_p-拡大体,Sをkの素点の有限集合でp上の素点をすべて含むものとする。このときK上の最大S-分岐アーベルp-拡大のガロワ群X_Sは自然に完備群環Λ=Z_p[[Gal(K/k)]]上の有限生成ねじれ加群の自然な構造を持つ.従来の岩澤主予想(Wilesの定理)は「X_SのΛ加群構造不変量である特性イデアルの生成元がkのp進sゼータ函数ζ_p(S,kから得られる」という,算術的対象であるガロワ群X_Sと解析対象ζ_p(s,k)の間の深遠な関係を示すものである.本研究ではこの古典的岩澤主予想の設定のアーベル拡大のガロワ群X_SをK上の最大S-分岐p-拡大のガロワ群G_Sにした場合を考察した.岩澤によりG_Sは「μ=0予想」の下では有限生成自由pro-p群になることが知られているので,この状況での岩澤主予想は大雑把には「Gal(K/k)の生成元γの引き起こすG_Sの外部自己同型群Out G_Sの元が何らかのゼータ函数と結びつくであろう」と言うことができる.この非アーベル的な状況での岩澤朱予想は現時点では数学的に定式化することすら困難な状況であるが,本研究においては算術側のΦの群論的不変量を定式化することに成功した.この不変量はアーベル的な不変量を積み重ねて定義されるものなので,古典的岩澤主予想を積み重ねることでゼータ函数と結びつきやすいものになっている.今後の課題は解析側の「ゼータ函数」を正しく定式化して,非アーベル岩澤主予想を証明することである..

  • 数論とトポロジーの相互応用の探求

    2015年  

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    本研究の目標は,(1)数論へのトポロジーの応用,(2)トポロジーへの数論の応用を探求し,数論とトポロジーの相互の発展を新たな枠組みで刺激する端緒となることである.(1)に関しては,結び目理論を応用して数論の基本定理である平方剰余の相互法則の別証明を得ることに成功した。(2)に関しては,ある種の周期的結び目のアレキサンダー多項式の特徴付けを数論を応用して行った.

  • 代数体の絶対ガロワ群とゼータ函数の研究

    2013年  

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    本研究は数学に於いて最も深遠な対象である,絶対ガロワ群の構造の解明を目的とするものである.得られた研究成果は以下のとおりである.1.無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理Neukirch-内田の定理(1970年代初頭)は有限次代数体の構造がその絶対ガロワ群によって完全に特徴付けられることを主張している.詳しく述べると,有限次代数体k_1, k_2の絶対ガロワ群G_1, G_2の間に位相群としての同型φ: G_1→G_2が存在するならば,φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元σによるG_0の内部自己同型から誘導される,すなわち,φ(x)=σxσ^{-1}が成立する.特にσ(k_1)=k_2なので,k_1とk_2は体として同型である.Neukirch-内田の定理はGrothendieckの遠アーベル予想の最も基本的な実例であり,その後の遠アーベル幾何の発展の端緒ともなった非常に重要な結果である.例えば,F.Popは有限次代数体のみならず,より一般に素体上有限生成な体についてもNeukirch-内田型の定理が成立することを示している.しかし,無限次代数体のような素体上有限生成ではない体についてNeukirch-内田型の定理が成立するかどうかについては殆ど知られていなかった.このような状況の中で,本研究はある種の無限次代数体についてNeukirch-内田型の定理が成立することを明らかにした:Kを有限次代数体上の円分的Z_p-拡大,Fを有限次代数体のGalois拡大体とする.もしもKとFの絶対ガロワ群G_KとG_Fの間に位相同型φ: G_K→G_Fが存在するならば,φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元によるG_0の内部自己同型から誘導される.特にKとFは体として同型である.2. 円分的Z_S-拡大体の絶対ガロワ群の自己同型1の研究成果の手法の応用として,有限次代数体の円分的Z_S-拡大体K(S : 素数の有限集合)の絶対ガロワ群G_Kの外部自己同型群Out(G)を決定した:Out(G)はKの体としての自己同型群Aut(K)と自然に同型である.

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現在担当している科目 【 表示 / 非表示

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