Updated on 2024/04/19

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OZAKI, Manabu
 
Affiliation
Faculty of Science and Engineering, School of Fundamental Science and Engineering
Job title
Professor
Degree
博士(理学) ( 早稲田大学 )

Professional Memberships

  • 　
    　
    　

    日本数学会

Research Areas

  • Algebra
 

Papers

  • Non-abelian Iwasawa theory of Z_p-extensions--Overview and outlook

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B64   313 - 330  2017.03  [Refereed]

  • A GCD and LCM-like inequality for multiplicative lattices

    Daniel D. Anderson, Takashi Aoki, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    Tamkang Journal of Mathematics   47 ( 3 ) 261 - 270  2016.09

    　View Summary

    Let A1, . . . , An (n ≥ 2) be elements of an commutative multiplicative lattice. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the joins (resp., meets) of k of the elements. Then we show that L(n)G(2)G(4) ���G(2[n/2]) ≤ G(1)G(3) ���G(2[n/2]-1). In particular this holds for the lattice of ideals of a commutative ring. We also consider the relationship between G(n)L(2)L(4) ���L(2[n/2]) and L(1)L(3) ���L(2[n/2]-1) and show that any inequality relationships are possible.

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  • GCD and LCM-like identities for ideals in commutative rings

    D. D. Anderson, Shuzo Izumi, Yasuo Ohno, Manabu Ozaki

    JOURNAL OF ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS   15 ( 1 )  2016.02  [Refereed]

    　View Summary

    Let A(1), ... , A(n) (n >= 2) be ideals of a commutative ring R. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the sums (resp., intersections) of k of the ideals. Then we have
    L(n) G(2) G(4) ... G(2left perpendicularn/2right perpendicular) subset of G(1) G(3) ... G(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    In the case R is an arithmetical ring we have equality. In the case R is a Prufer ring, the equality holds if at least n - 1 of the ideals A(1), ... , A(n) are regular. In these two cases we also have
    G(n) L(2) L(4) ... L(2left perpendicularn/2right perpendicular) - L(1) L(3) ... L(2inverted left perpendicularn/2inverted right perpendicular - 1).
    Related equalities are given for Prufer v-multiplication domains and formulas relating GCD's and LCM's in a GCD domain generalizing gcd(a(1), a(2))lcm(a(1), a(2)) = a(1)a(2) are given.

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    5
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    (Scopus)

  • On the Iwasawa λ-invariant of the cyclotomic Z2-extension of Q(√p), III

    Takashi Fukuda, Keiichi Komatsu, Manabu Ozaki, Takae Tsuji

    Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici   54 ( 1 ) 7 - 17  2016  [Refereed]

    　View Summary

    In the preceding papers, two of authors developed criteria for Greenberg conjecture of the cyclotomic Z2-extension of k = Q(√p ) with prime number p. Criteria and numerical algorithm in [5], [3] and [6] enable us to show λ2(k) = 0 for all p less than 105 except p =13841
    67073. All the known criteria at present can not handle p = 13841
    67073. In this paper, we develop another criterion for λ2(k) = 0 using cyclotomic units and Iwasawa polynomials, which is considered a slight modification of the method of Ichimura and Sumida. Our new criterion fits the numerical examination and quickly shows that λ2(Q(√p )) = 0 for p = 13841
    67073. So we announce here that λ2(Q(√p)) = 0 for all prime numbers p less that 105.

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    1
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  • Characterization of arithmetical equivalence of number fields by galois groups with restricted ramification

    Mitsui Tohkailin, Manabu Ozaki

    Tokyo Journal of Mathematics   36 ( 2 ) 347 - 354  2013.12

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    We will give a characterization of arithmetical equivalence of number fields in terms of certain associated families of Galois groups with restricted ramification.

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  • ON THE Z(p)-RANKS OF TAMELY RAMIFIED IWASAWA MODULES

    Tsuyoshi Itoh, Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    INTERNATIONAL JOURNAL OF NUMBER THEORY   9 ( 6 ) 1491 - 1503  2013.09  [Refereed]

    　View Summary

    For a finite set S of prime numbers, we consider the S-ramified Iwasawa module which is the Galois group of the maximal abelian pro-p-extension unramified outside S over the cyclotomic Z(p)-extension of a number field k. In the case where S does not contain p and k is the rational number field or an imaginary quadratic field, we give the explicit formulae of the Z(p)-ranks of the S-ramified Iwasawa modules by using Brumer's p-adic version of Baker's theorem on the linear independence of logarithms of algebraic numbers.

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    11
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  • On tame pro-p Galois groups over basic Zp-extensions

    Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT   273 ( 3-4 ) 1161 - 1173  2013.04  [Refereed]

    　View Summary

    For a prime number p and a finite set S of prime numbers congruent to 1 modulo p, we consider the Galois group of the maximal pro-p-extension unramified outside S over the -extension of the rational number field. In this paper, we give a family of S for which the Galois group is a metacyclic pro-p group with an application to Greenberg's conjecture.

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    7
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    (Scopus)

  • Construction of maximal unramified p-extensions with prescribed Galois groups

    Manabu Ozaki

    INVENTIONES MATHEMATICAE   183 ( 3 ) 649 - 680  2011.03  [Refereed]

    DOI

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    12
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  • Abelian 2-class field towers over the cyclotomic Z(2)-extensions of imaginary quadratic fields

    Yasushi Mizusawa, Manabu Ozaki

    MATHEMATISCHE ANNALEN   347 ( 2 ) 437 - 453  2010.06  [Refereed]

    　View Summary

    For the cyclotomic Z(2)-extension k(infinity) of an imaginary quadratic field k, we consider whether the Galois group G(k(infinity)) of the maximal unramified pro-2-extension over k(infinity) is abelian or not. The group G(k(infinity)) is abelian if and only if the nth layer of the Z(2)-extension has abelian 2-class field tower for all n >= 1. The purpose of this paper is to classify all such imaginary quadratic fields k in part by using Iwasawa polynomials.

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    8
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    (Scopus)

  • Remark on the Iwasawa invariants of p-extensions of a totally real number field

    Interdiscip. Inform. Sci.   16   67 - 70  2010

  • Non-abelian Iwasawa theory of Z(p)-extensions

    Manabu Ozaki

    JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK   602   59 - 94  2007.01  [Refereed]

    DOI

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    21
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    (Scopus)

  • Construction of $Z_p$-extensions with prescribed Iwasawa invariants

    S. Fujii, Y. Ohgi, M.Ozaki

    J. Number Theory   118   200 - 2007  2006  [Refereed]

  • Construction of Z(p)-extensions with prescribed Iwasawa modules

    M Ozaki

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   56 ( 3 ) 787 - 801  2004.07  [Refereed]

    　View Summary

    We construct Z(p)-extensions whose Iwasawa modules have prescribed structure. Specifically, we give a Z(p)-extension with prescribed finite Iwasawa module. Also we show that there exists a Z(p)-extension with arbitrarily given Iwasawa mu-invariant. We apply the construction of such Z(p)-extensions to a certain capitulation problem.

  • An application of Iwasawa theory to constructing fields Q(zeta(n) plus zeta(-1)(n)) which have class group with large p-rank

    M Ozaki

    NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL   169   179 - 190  2003.03  [Refereed]

    　View Summary

    Let p be an odd prime number. By using Iwasawa theory, we shall construct cyclotomic fields whose maximal real subfields have class group with arbitrarily large p-rank and conductor with only four prime factors.

  • Iwasawa invariants of Z_p-extensions over an imaginary quadratic field

    OZAKI M.

    ASPM of Math. Soc. Japan   30   387 - 399  2001

    CiNii

  • Iwasawa lambda_3-invariants of certain cubic fields

    M. Ozaki, G. Yamamoto

    Acta Arith.   87   387 - 398  2001  [Refereed]

  • A note on the Iwasawa lambda-invariants of real abelian number fields

    M. Ozaki, H.Taya

    Interdiscip. Inform. Sci.   4   109 - 116  1998

    　View Summary

    Let k be a real abelian number field with Galois group Δ and p an odd prime number. Assume that the order of Δ is not divisible by p. Let Ψ be an irreducible Qp-character of Δ. Denote by λp(Ψ ) the Ψ-component of the λ-invariant associated to the cyclotomic Zp-extension of k. Then Greenberg conjecture for the Ψ-components states that λp(Ψ ) is always zero for any Ψ and p. Although some efficient criteria for the conjecture to be true are given, very little is known about it except for k =Q or the trivial character case.<BR>  There is another λ-invariant. Denote by λp*(Ψ ) the λ-invariant associated to the p -adic L-function related to Ψ. One can know λp*(Ψ ) by computing the Iwasawa power series attached to Ψ. The Iwasawa main conjecture proved by Mazur and Wiles says that the inequality λp(Ψ ) ≤ λp*(Ψ ) holds. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for this inequality to be strict in terms of special values of p -adic L-functions. This result enables us to obtain a criterion for Greenberg's conjecture for Ψ-components to be true when the corresponding Iwasawa power series is irreducible.

    DOI CiNii

  • Greenberg予想について

    数理解析研究所講究録 1026「代数的整数論とその周辺」/京都大学    1997.10

  • On the cyclotomic unit group and the ideal class group of a real abelian number field II

    Journal of Number Theory/Academic Press   64;2  1997.06

  • On the cyclotomic unit group and the ideal class group of a real abelian number field II

    Journal of Number Theory/Academic Press   64;2  1997.06  [Refereed]

  • The class group of Z_p-extensions over totally real number fields

    T&ocirc;hoku Math. Journal/東北大学   49;3  1997  [Refereed]

  • On the cyclotomic unit group and the p-ideal class group of a real abelian number field

    Tokyo Journal of Math./紀伊国屋   20;2  1997  [Refereed]

  • On the Iwasawa λ_2-invariant of certain families of real quadratic field

    Manuscripta Math./Springer-Verlag   94;4  1997  [Refereed]

  • On Iwasawa λ_p-invariants of relative real cyclic extensions of degree p

    Tokyo Journal of Math./紀伊国屋   20;2  1997  [Refereed]

  • Kummer's lemma for Z_p-extensions over totally real number fields

    Acta Arithmetica/Polish Acad. Sci., Inst. Math.   81;1  1997  [Refereed]

  • A note on the capitulation in Z_p-extensions

    Proc. Japan Acad./日本学士院   71;A;9  1995.12  [Refereed]

  • A note on Greenberg's conjecture for real abelian number fields

    Manuscripta Mathematica/Springer-Verlag   88  1995.12

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Research Projects

  • 非アーベル岩澤理論の新展開

    Project Year :

    2019.04
    -
    2022.03
     

    　View Summary

    本研究の主要課題は非自由予想と分岐予想である．非自由予想に関しては，最近研究代表者が開発した新しい手法をさらに発展させることによって更なる前進を図る．また，分岐予想は有限次代数体上に p 上の素点のみが実際に分岐する非アーベル p-拡大を構成する問題に帰着される．この種の構成にはある種の特別なアーベル多様体の等分点から来るガロワ表現が応用できる可能性があるので，それを視野に入れた研究を行う．今年度得られた研究成果は以下の通りである：Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ，古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である．高次岩澤加群のZ_p-階数（高次岩澤λ不変量）は極めて重要で興味深い数論的対象であるが，その性質は未だ解明されておらず実例も殆ど知られていない．報告者の従前研究で3次以下の高次岩澤λ不変量λ^(i) (i=1,2,3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功したのみであった．しかし本研究によって任意に指定されたi≧1についてλ^(i)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した．今後の課題はすべてのi≧1について同時にλ^(i)が随意に大きくなるようなZ_p拡大を構成することである．2次体に対する非自由予想に重点を置いて研究しているが，非常な困難に遭遇しており，新たな立脚点が必要であるから．今後はZ_p^拡大体の非自由予想が成立するような特別な代数体の族を構成することに重点を置いて研究を行う

  • Iwasawa theoretic approach to the absolute Galois groups of number fields

    Project Year :

    2016.04
    -
    2019.03
     

  • Non-abelian extensions of number fields with restricted ramification

    Project Year :

    2013.04
    -
    2016.03
     

    　View Summary

    In this research project, we obtain the followoing results: 1.A generalization of the Neukirch-Uchida Theorem to number fields of infinite degree, 2.Criterion of arithmetically equivalence in terms of Iwasawa modules with restricted ramification, 3. Criterion for commutativity of maximal unramified p-extensionsover Z_p-extension fields

  • Study of non-abelian number theory based on Iwasawa theory

    Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

    Project Year :

    2009.04
    -
    2013.03
     

    OZAKI Manabu, MIZUSAWA Yasushi, ITOH Tsuyoshi, TOHKAILIN Mitsul, FUJII Satoshi, OKANO Keiji, MAIRE Christian, ABBAS Chazad Movahhedi, BRUNO Angles

    　View Summary

    In this research project, I have obtained results on (1) a formula describing Z_p-rank of tamely ramified Iwasawa modules of the basic Z_p-extension, (2) an analogy of Weil paring for ideal class groups of number fields, (3) the isomorphism classes of Galois cohomology groups of global unit groups, and (4) a characterization of the Dedekind zeta functions in terms of a family of the Galois groups of restricted ramified extensions

  • Research on the arithmetic of algebraic curves and jacobian varieties

    Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

    Project Year :

    1997
    -
    1999
     

    HASHIMOTO Kiichiro, HASEGAWA Yuji, ADACHI Norio, KOMATSU Keiichi, KAGAWA Takaaki, OZAKI Manabu

    　View Summary

    In 1994 Wiles and Taylor have settled the proof of Taniyama-Shimura conjecture for (semistable) elliptic curves over Q. This, with its application to the proof of Fermat's Last Theorem, was one of the greatest achievment in this century. In our previous research, we extended the result of Wiles-Taylor proving the modularity of certain abelian varieties over Q, including Q-curves over number fields, and jacobians of QM-curves of GL (2) -type. The aim of the present research has been to provide as many as possible the concrete examples of algebraic curves over Q, for which our modularity criterion for their jacobian can be applied, as well as to investigate various arithmetic properties of such curves. Some of our main results are :
    ・ We obtained some families of genus 2 curves over Q whose jacobian varieties are of GL (2) -type, and checked their modularity numerically and theoretically.
    ・ Conversely, for each cusp f (z) of weight 2 whose Fourier coefficients generate a quadratic field K, we tried to find an algebraic curve over QィイD4-ィエD4 shose jacobian variety is isogenous to the Shimura's abelian surface AィイD2fィエD2 attached to f. We have settled this problem in all known cases for K = Q(ィイD8-5ィエD8), Q (ィイD8-1ィエD8). There are 11 such f.
    ・ We constructed the most general family with 7 free parameters, of genus 2 curves over Q which form a double cuver of a family of elliptic curves. Among them we found a generic family of the covering C (j) → E (j) where E (j) is the Tate's model of elliptic curve with j (E (j) ) = j. Then the simple factor of JacC (j) is shown to be a Q-curve over quadratic field Q (ィイD8j-12ィイD13ィエD1ィエD8).

  • Combinatorial semigroup theory and its applications

    Japan Society for the Promotion of Science  Grants-in-Aid for Scientific Research

    Project Year :

    1997
    -
    1998
     

    UEDA Akira, KAMIYA Noriaki, KIKKAWA Michihiko, MIWA Takuo, ENDO Michiro, IMAOKA Teruo

    　View Summary

    (1) There is no solution of the problem whether or not there exists an algorithm to decide if a finite semigroup is an amalgamation base for all semigroups. On the other hand, it is known that a semigroup which is an amalgamation base for all semigroups always has the representation extension property. In this project, we prove that there exists an algorithm to decide if a finite semigroup has the representation extension property. Also, it is known that a completely 0-simplesemigroup with the representation extension property is an amalgamation base for all semigroups. However, we can construct by the software "Mathematic" an example of a finite regular semigroup with the representation extension property and without being an amalgamation base for all semigroups. Moreover, we prove that there exists an algorithm to decide if a finite semigroup is left absolutely flat. The result will appear in a forthcoming paper. (2) We prove that a finite semigroup which is an amalgamation for all finite semigroups has the representation extension property. As a consequence, we decide the structure of finite bands which is an amalgamation for all finite semigroups. (3) We give another proof of Okininski and Putcha's theorem on finite inverse semigroup, which is a natural extension of B.Neumann's result on group. (4) We show that the construction of λ μ-models can be given by the use of a fixed point operator and the Godel-Gentzen translation. (5) We study the fibrewise homotopy, fibrewise fibration and fibrewise cofibration. (6) Let p be an odd prime number. By using Iwasawa theory we construct cyclotopic fields whose maximal real subfields have class group with arbitrarily large p-rank and a conductor with only four prime factors

  • 有理数体の総実p-拡大体に対するGreenberg予想の研究

    　View Summary

    平成11年度に本研究科で得られた研究成果を以下に列挙する:1.素数pに対するGreenberg予想が成立していて,かつ岩澤の類数公式における類数の安定化が随意に遅くなるような総実代数体が存在することを証明した.kを代数体,pを素数,knをkの円分的Z_<p->拡大のn-th Iayerとし,A_nでk_nのイデアル類群のp-Sylow部分群を表すことにすると,岩澤の類数公式より,定数λ_p,μ_p,ν_pが存在して,十分大きいすべてのnに対して♯A_n=p^<λ_pn+μ_pp^n+ν_p>が成立する.もしもkがpに対するGreenberg予想が成立しているような総実代数体ならば,λ_p=μ_p=0となるから,十分大きいすべてのnに対して♯A_nは一定となるが,任意の与えられた自然数N>0に対して♯A_0<♯A_1<♯A_2<・・・<♯A_Nと♯A_nの安定化が随意に遅れるようなkが存在する.2.k/Qを有限次Galois拡大,pを素数とし,K/kをK/QがGalois拡大になるようなZ_p-拡大で,X_<finite>をK/kに付随する岩澤加群の最大有限部分加群とする.このときp*[k:Q]でK/kが適当な条件(例えばK/kが円分的)を満たせば,X^<Gal(K/k)>_<finite>が単生成Z_p[Gal(k/Q)]-加群であることを証明した.この応用として,特にp≠2,kが総実代数体でpが完全分解して,Leopoldt予想が(k,p)に対して成立しているとき,Gal(M(K)/L(K))が単生成Z_p[[Gal(K/Q)]]-加群であることが分かった.ここにL(K)/K,M(K)/Kはそれぞれ最大不分岐pro-pアーベル拡大,最大p-分岐pro-pアーベル拡大である

  • Combinatorial semigroup theory and its applications

    　View Summary

    (1) There is no solution of the problem whether or not there exists an algorithm to decide if a finite semigroup is an amalgamation base for all semigroups. On the other hand, it is known that a semigroup which is an amalgamation base for all semigroups always has the representation extension property. In this project, we prove that there exists an algorithm to decide if a finite semigroup has the representation extension property. Also, it is known that a completely 0-simplesemigroup with the representation extension property is an amalgamation base for all semigroups. However, we can construct by the software "Mathematic" an example of a finite regular semigroup with the representation extension property and without being an amalgamation base for all semigroups. Moreover, we prove that there exists an algorithm to decide if a finite semigroup is left absolutely flat. The result will appear in a forthcoming paper. (2) We prove that a finite semigroup which is an amalgamation for all finite semigroups has the representation extension property. As a consequence, we decide the structure of finite bands which is an amalgamation for all finite semigroups. (3) We give another proof of Okininski and Putcha's theorem on finite inverse semigroup, which is a natural extension of B.Neumann's result on group. (4) We show that the construction of λ μ-models can be given by the use of a fixed point operator and the Godel-Gentzen translation. (5) We study the fibrewise homotopy, fibrewise fibration and fibrewise cofibration. (6) Let p be an odd prime number. By using Iwasawa theory we construct cyclotopic fields whose maximal real subfields have class group with arbitrarily large p-rank and a conductor with only four prime factors

  • 代数体の岩澤理論の非アーベルp-拡大の手法による研究

    　View Summary

    本年度得られた研究成果を列挙する:1.非アーベル的な手法を用いて円分体Q(μ_p^n)(p:素数)の最大不分岐p-拡大のガロワ群G_nの構造を研究し、Vandiver予想の下でその降中心列商X^<(i)>_n=C_i(G_n)/C_<i+1>(G_n)(C_1(G_n)=G_n, C_<i+1>(G_n)=[G_n, C_i(G_n)])の構造をi<N_pについて(N_pはpにのみに依存するある定数)完全に決定した。特に岩澤類数公式の非アーベル類似がこれらのX^<(i)>_nについて成立していることを示すことに成功した。2.岩澤理論と非アーベル的な手法を用いて、円分体Q(μ_p^2)(p:素数)上の最大不分岐p-拡大(p-類体塔)が無限であるための必要十分条件が、Vandiver予想の下でQ(μ_p^2)のイデアル類群のp-階数が2以上であることを証明した。Vandiver予想を仮定してはいるものの、イデアル類群のp-階数のみで最大不分岐p-拡大の無限性が判定される例は、これが最初であると思われる。3.1で触れた岩澤類数公式の非アーベル類似よりも少し弱い主張が、任意のZ_p-拡大で成立することを証明した

  • 非アーベル岩澤理論の研究

    　View Summary

    本年度得られた最大の研究成果は、μ-不変量が正であるようなある種のZ_p-拡大に対して、その各layer上の羃零類2の最大不分岐p-拡大の次数を与える非アーベル岩澤公式を与えたことである。従来の岩澤理論では岩澤代数Λ上有限生成な加群のみが考察されてきたが、本研究主題の非アーベル岩澤理論に於いては、μ-不変量が正の場合にはΛ上無限生成の岩澤加群が自然に現れる。従って、上述の公式を示すにはこの無限生成Λ加群を考察する必要があるため、非常は困難を伴う。そのため従来はμ-不変量が正の場合にはλ-不変量が0であるような非常に特殊な形の岩澤加群を持つZ_p-拡大に対してのみ公式が与えられていた。今回の成果に於いては、λ-不変量が正である場合も含む、より広いクラスのZ_p-拡大に対して公式が与えられ、その手法も一般の場合を解決する道を拓くものと思われるので、今後の研究成果にも期待が持てる。また、従来の公式に現れていた新しい不変量であるκ-不変量の群論的な特徴付けも今回の成果でより鮮明になった

  • Combinatorial semigroup theory and its applications

    　View Summary

    (1)Amalgamation problems for groups are strongly connected with word problems for groups, Especially, through amalgamation products of groups。 Consequently, many word problems for groups have been solved and many nice results have been brought by making use of amalgamation products of groups。However, it is not too much to say that the situation for semigroups changes totally。 Actually, amalgams of groups are always embeddable in a group。 But amalgams of semigroups are not always embeddable in a semigroup。 M.Sapir proved negatively the amalgamation problem of semigroups asking fo "Does there exist an algorithm to decide whether or not an amalgam of finite semigroups are embeddable in a finite semigroup"。 Moreover、M.Sapir and T.E.Hall study the decidability pr@blem of "Does there exist an algorithm to decide whether or not a finite semigroup is an amalgamation base for all the semigroups. However, it is left unsolved. Investing the problem, we obtained another proof of Okninski and Putcha's theorem for finite inverse semigroups. Furthermore、we give a sufficient condition for regular semigorups to be an amalgamation base for all the semigroups.(2)From a point view of topology, we construct frame work of fiber homotopy groups of continuous mapping and study fibre ANR property of mappings between stratifirable spaces(3)From a point view of mathematical logic, we investigate rewriting systems and translations of λμ-calculus. From a point view of Utility computation modeling, we show the existence of exterior modeling for free λμ-calculus and study confluence of free λμ-calculus and relationship between free λμ-calculus and C-monoids. From a point view of algebraic algorithm, we study R-ideals of Dubrovin valuation rings with central finite dimensional Simple Artinian ring as a quotient ring. To clarify relationship between Iwasawa modules and computations of Galois groups, we investigate relationship between Z_p-extensions and Galois groups and obtain a generalization of Iwasawa theorem and some results on Greenberg's conjecture

  • Development of non-abelian Iwasawa theory

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Syllabus

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Sub-affiliation

  • Faculty of Science and Engineering   Graduate School of Fundamental Science and Engineering

Research Institute

  • 2022
    -
    2024

    Waseda Research Institute for Science and Engineering   Concurrent Researcher

Internal Special Research Projects

  • 全円分拡大の数論の新展開

    2018  

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    本年度に得られた研究成果は以下の通りである：&nbsp;１．「有限次代数体kの円分的Z_p-拡大体K上の最大不分岐p-拡大のGalois群は，非可換自由pro-p-群にはならないであろう」という非自由予想は代数体の非アーベル不分岐拡大を対象とする非アーベル岩澤理論における重要な問題である．本研究ではこの予想にに取り組み部分的な成果を得た．具体的にはp=2, kが虚2次体の場合に非自由予想が正しいことを示すことに成功した．さらにp=2の場合に，kで2が完全分解していてかつkの2-イデアル類群が非自明であるならば，非自由予想が正しいことも証明することに成功した．今後はpが奇素数の場合にも非自由予想が成立するための条件を求めることを目標とする．&nbsp;２．Z_p-拡大体上の最大不分岐p-拡大のGalois群の降中心列の隣接商は高次岩澤加群と呼ばれ，古典的岩澤理論における岩澤加群の非アーベル的な一般化である．高次岩澤加群のZ_p-階数（高次岩澤λ不変量）は極めて重要で興味深い数論的対象であるが，その性質は未だ解明されておらず，実例も殆ど知られていない．例えば３次以上の高次岩澤λ不変量λ^(i)についてはそれらが正になるZ_p拡大が存在するかどうかすら判っていなかった．しかし本研究によってλ^(3)が随意に大きいZ_p-拡大を構成することに成功した．今後は4次以上の高次岩澤λ不変量についても同様の構成を行うことが目標である.

  • 絶対ガロワ群の岩澤理論的な手法による研究

    2017  

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    本研究は代数体の絶対Galois群という数学における最も深遠な対象の一つに対して，岩澤理論に基づく新しい手法でアプローチするものである．本研究によって絶対Galois群に関して以下のような新たな知見が齎された：１．有理数体Q上の巨大な無限次拡大体の絶対Galois群の外部自己同型群の構造２．有限次代数体の算術的同値類の絶対Galois群の比較的小さな商による特徴付け

  • 非アーベル岩澤主予想の研究

    2016  

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    本研究は，代数体の算術とゼータ関数との深遠な関係である岩澤主予想を非アーベル拡大に対して拡張することを目的としたものである。pを素数，K/kを有限次総実代数体k上の円分的Z_p-拡大体，Sをkの素点の有限集合でp上の素点をすべて含むものとする。このときK上の最大S-分岐アーベルp-拡大のガロワ群X_Sは自然に完備群環Λ＝Z_p[[Gal(K/k)]]上の有限生成ねじれ加群の自然な構造を持つ．従来の岩澤主予想（Wilesの定理）は「X_SのΛ加群構造不変量である特性イデアルの生成元がkのp進sゼータ函数ζ_p(S,kから得られる」という，算術的対象であるガロワ群X_Sと解析対象ζ_p(s,k)の間の深遠な関係を示すものである．本研究ではこの古典的岩澤主予想の設定のアーベル拡大のガロワ群X_SをK上の最大S-分岐p-拡大のガロワ群G_Sにした場合を考察した．岩澤によりG_Sは「μ=0予想」の下では有限生成自由pro-p群になることが知られているので，この状況での岩澤主予想は大雑把には「Gal(K/k)の生成元γの引き起こすG_Sの外部自己同型群Out G_Sの元が何らかのゼータ函数と結びつくであろう」と言うことができる．この非アーベル的な状況での岩澤朱予想は現時点では数学的に定式化することすら困難な状況であるが，本研究においては算術側のΦの群論的不変量を定式化することに成功した．この不変量はアーベル的な不変量を積み重ねて定義されるものなので，古典的岩澤主予想を積み重ねることでゼータ函数と結びつきやすいものになっている．今後の課題は解析側の「ゼータ函数」を正しく定式化して，非アーベル岩澤主予想を証明することである．．

  • 数論とトポロジーの相互応用の探求

    2015  

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    本研究の目標は，（１）数論へのトポロジーの応用，（２）トポロジーへの数論の応用を探求し，数論とトポロジーの相互の発展を新たな枠組みで刺激する端緒となることである．（１）に関しては，結び目理論を応用して数論の基本定理である平方剰余の相互法則の別証明を得ることに成功した。（２）に関しては，ある種の周期的結び目のアレキサンダー多項式の特徴付けを数論を応用して行った．

  • 代数体の絶対ガロワ群とゼータ函数の研究

    2013  

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    本研究は数学に於いて最も深遠な対象である，絶対ガロワ群の構造の解明を目的とするものである．得られた研究成果は以下のとおりである．１．無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理Neukirch-内田の定理（1970年代初頭）は有限次代数体の構造がその絶対ガロワ群によって完全に特徴付けられることを主張している．詳しく述べると，有限次代数体k_1, k_2の絶対ガロワ群G_1, G_2の間に位相群としての同型φ: G_1→G_2が存在するならば，φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元σによるG_0の内部自己同型から誘導される，すなわち，φ(x)=σxσ^{-1}が成立する．特にσ(k_1)=k_2なので，k_1とk_2は体として同型である.Neukirch-内田の定理はGrothendieckの遠アーベル予想の最も基本的な実例であり，その後の遠アーベル幾何の発展の端緒ともなった非常に重要な結果である．例えば，F.Popは有限次代数体のみならず，より一般に素体上有限生成な体についてもNeukirch-内田型の定理が成立することを示している．しかし，無限次代数体のような素体上有限生成ではない体についてNeukirch-内田型の定理が成立するかどうかについては殆ど知られていなかった．このような状況の中で，本研究はある種の無限次代数体についてNeukirch-内田型の定理が成立することを明らかにした：Kを有限次代数体上の円分的Z_p-拡大，Fを有限次代数体のGalois拡大体とする．もしもKとFの絶対ガロワ群G_KとG_Fの間に位相同型φ: G_K→G_Fが存在するならば，φは有理数体の絶対ガロワ群G_0のある元によるG_0の内部自己同型から誘導される．特にKとFは体として同型である.2. 円分的Z_S-拡大体の絶対ガロワ群の自己同型１の研究成果の手法の応用として，有限次代数体の円分的Z_S-拡大体K（S : 素数の有限集合）の絶対ガロワ群G_Kの外部自己同型群Out(G)を決定した：Out(G)はKの体としての自己同型群Aut(K)と自然に同型である．

  • 代数体の算術的基本群の研究

    2012  

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    本研究の主要研究対象は代数体の算術的基本群，即ち，分岐する素点を制限した下での有理数体の代数拡大体上の最大拡大のGalois群である．算術的基本群は数論における基本的な研究対象であり，本研究では以下で説明するような2つの結果を得ることができた：（１）代数体の算術的基本群と算術的同値性２つの有限次代数体に付随するデデキントゼータ函数が一致するとき，その２つの代数体は算術的同値であると言われる．デデキントゼータ函数は，その代数体の数論的性質を深く反映しているが，それによって完全に代数体の同型類を特徴付けできる訳ではない．即ち，互いに算術的同値であるが同型でないような2つの有限次代数体が存在することが知られている．そこで，代数体の如何なる数論的性質がそのデデキントゼータ函数を特徴付けるか，という問題が大いに興味を惹くことになる.本研究ではこの問題に対して，有限次代数体のある種の算術的基本群の族がデデキントゼータ函数を決定し，またその逆も然りであることを示すことに成功した．（２）無限次代数体の絶対ガロワ群による特徴付けNeukirch-内田の定理は，有限次代数体KとLに対して，KとLの絶対ガロワ群G(K)とG(L)が同型であることは，KとLが体として同型であるための必要十分条件であることを主張している．つまり，「有限次代数体の絶対ガロワ群は，その体の同型類を完全に特徴付ける」という定理である．一方，一般の無限次代数体についてはNeukirch-内田の定理は成立しない．それは，代数体が"大きく"なれば，その絶対ガロワ群は"小さく"なるため，持っている情報が少なくなることに起因している．しかし，本研究ではある種の有限次代数体のZ_p-拡大体という比較的"小さな"無限次代数体の族については，その絶対ガロワ群が同型類を決定することを示すことに成功した．これは無限次代数体に対してNeukirch-内田型定理が成立する最初の実例である．

  • 非アベール的数論の新展開

    2011  

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    本研究において得られた主たる研究成果について以下で解説する:代数体のガロワ拡大K/kにおける単数群のガロワコホモロジー群H^i(K/k,E_K)は基本的な数論的対象である．例えばK/kが不分岐拡大の場合，H^1(K/k,E_K)とH^2(K/k,E_K)は其々K/kにおけるイデアル類群のcapitulation kernelとcapitulationcokernelと同型になっている．一方，代数体の不分岐ガロワ拡大におけるcapitulationkernelがどのようなアーベル群になるかという問題は古典的な重要問題であり，これについては，Hilbertの定理94やFurtwaenglerの単項化定理という古典的結果や，これらの一般化である鈴木の単項化定理が知られている．これらの結果を踏まえて，GruenbergとWeissは一連の論文で次のような問題を考察した：「Gを有限群とする．このとき代数体の不分岐G-拡大に於けるcapitulation kernelとしてどのようなアーベル群が現れるか？　正確に言えば，K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^1(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_1(G)を決定せよ．」GruenbergとWeissはこの問題の群論版については十分満足すべき解答を与えたが，元々の問題を解決するためには，与えられた群論的状況を実現する不分岐拡大の存在問題が解決されなければならない．私は従前研究に於いてこの存在問題をGが有限p-群の場合に解決しているので，この場合にはGruenbergとWeissの結果と合わせてX_1(G)を決定することができる．さらにGが有限p-群の場合に，K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときのH^i(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_i(G)をi=0,2の場合にも完全に決定することに成功した．証明は問題を同値な群論の問題に帰着させて，それを考察することによって得られる．i=2の場合はさほどの困難はないが，i=0の場合は，ある種のG-加群で，その-2次元コホモロジー群が自明なものが存在するという群論的事実を示すことが鍵となる．そのようなG-加群を数論を用いて構成することによって証明することができた．

  • 有理数体のｐ－拡大体に対するGreenberg予想

    1998  

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    　1998年度はGreenberg予想及びそれに関するテーマについて研究した。以下に研究成果を列挙する：（ⅰ）有理数体の実ｐ次巡回拡大体で、ｐに対するGreenberg予想が成立していて、且つ付随する岩澤加群のｐ－回数が随意に大きいものを構成した。（ⅱ）（ⅰ）を単項化問題に応用して、第数体ｋで、その適当な不分岐ｐ次巡回拡大で、ｋのイデアル類群のp-Sylow部分群が全て単項化して、且つイデアル類群のp－回数が随意に大きいものが存在することを示し、岩澤氏の問題を解決した。（ⅲ）ｋをイデアル類群のp-Sylow部分群が巡回群で、pが分解していない次数がpと素である総実代数体で、pに対するGreenberg予想が成立しているものとする。このような総実第数体ｋ上に無数pに対するGreenberg予想が“遺伝”するようなp次巡回拡大体が存在することを示した。（ⅳ）（山本現氏（早稲田大学）との共同研究）有理数体の素数導手の３次巡回拡大体で、素数３に対するGreenberg予想の成立を確かめる簡潔な判定条件を与え、これを用いて多くの実例について素数３に対するGreenberg予想が成立することを計算機で確認した。

  • 代数体のZ<SUB><I>p</SUB></I>-拡大の研究

    1997  

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    　97年度は昨年度に引続き、 Greenberg予想の研究を中心に行なった。 また虚二次体の岩澤不変量の振舞いについても、 一般化されたGreenberg予想との関係という面から新たに興味深い現象を発見した。　Greenberg予想に関しては、総実代数体の相対p-拡大に於いて基礎体のλp=μp=0が拡大体に“遺伝”するための必要条件を与えた。そして具体的に与えられた素数pに対して、λp=μp=0となる総実代数体のパラメータ付きの無限族を構成した。また今年度は虚二次体の岩澤不変量についても研究した。与えられた素数pと虚二次体に対して、そのZp-拡大の岩澤不変量がどのように振舞うかというのは、興味深い問題である。これに関して、もし虚二次体に対する一般化されたGreenberg予想が成立していれば岩澤不変量の挙動が有限個の例外のZp-拡大を除いて完全に決定できることを発見した。特に類数がpで割れない虚二次体に対しては、そのZp-拡大のλ、μ-不変量を有限個の例外を除いて完全に決定できる。

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