楕円型方程式、放物型方程式の解の形状解析、漸近解析を発展・融合させ、解の冪凹性や爆発現象等の特異現象の解析を行った。さらに、分数冪熱方程式へ適応可能な新しい漸近解析理論の構築等を行った。研究成果の主なものは以下の通り：
(1) 解の冪凹性 (2) 動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性 (3)非線形拡散方程式の解の初期条件の特徴付け (4) 非線形熱方程式系等の爆発集合の特徴付け (5) ポテンシャル項付き熱方程式の漸近解析とその応用 (6) 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開理論の構築

当研究では、ラグランジュ部分多様体芽の間のラグランジュ同値と対応するグラフ型波面のある種の幾何学的同値関係が同じものである事を示した。その結果、ラグランジュ特異点論の様々な応用が見つかった。例えば、古典的微分幾何学への応用、双曲幾何学への応用、時空の幾何学への応用等の他に特異点を持つ曲面や写像の微分幾何学的研究への応用が含まれる。これらとは別に、この研究を通して、特異点論の量子力学への応用が新たに発見され、現在発展中である。

ハミルトン・ヤコビ方程式と粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間漸近挙動， 割引消去問題等の偏微分方程式の漸近問題を扱い，粘性解の漸近挙動と一般理論に関する重要な新知見の獲得等の多くの成果を挙げた．また，特異拡散方程式や積分微分方程式について解の存在，一意性等の基礎理論を整備した．ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解を解析し，最小化大偏差確率の時間大域的評価，非完備な市場モデルにおける最適消費・投資問題に対する強検証定理の証明，確率最適輸送問題への研究法の開発等で成果を挙げた．

超線形増大の一階微分項を持つ退化楕円型方程式の非有界粘性解に対する比較原理を得た。アイザックス型微積分方程式の粘性解の表現公式を与えた。一階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式のLp粘性解に対する局所最大値原理を構築した。強圧的一階微分項を持つ微積分方程式の粘性解の正則性と時間大域的挙動を議論した。超線形増大の一階微分項を持つ完全非線形楕円型方程式の全域解の存在と一意性を得た。両側障害物を持つ平均曲率流方程式の粘性解のリプシッツ連続性を示した。

放物型方程式の解の漸近解析及び形状解析の議論を発展させ、ポテンシャル項付き熱方程式の解の最大点挙動を分類し、また、その応用として、対応する熱半群のルベーグ空間における減衰の最適評価を求めた。また、積分核の定数倍のように振舞う非線形放物型方程式の解の高次漸近展開理論の構築を行った。さらに、爆発時間直前の解の形状を調べることによって、半線形熱方程式の爆発集合の位置に研究を行い、特に、解が境界で爆発しないための新しい十分条件を与えた。

ローレンツ空間形内の空間的部分多様体に対して、「光錐ガウス写像」を導入し光的曲率と言う不変量を構成た。その不変量を用いて、空間的部分多様体に沿った「光的超曲面」の特異点の記述をルジャンドル特異点論を応用することにより行った。さらに、相対性理論やブレーン宇宙論で重要な「世界面」に対して「焦点集合」を記述する幾何学的枠組みを構成し、「グラフ型ルジャンドル開折」の理論を用いて「波面の伝播」との関係を明らかにした。

物理現象を記述するモデル方程式として、場の古典論、流体力学、プラズマ物理をはじめ様々な分野に現れる重要な非線型楕円型偏微分方程式について、今まで個別に用いられることの多かった変分解析、非線型常微分方程式、粘性解理論の手法を総合的に駆使することにより、定在波の安定性や爆発現象を深く説明する方法論を確立し、さまざまな応用を見出した。

平面閉曲線の曲げエネルギーに閉曲線の長さと閉曲線が囲む面積を指定した変分問題は、Helfrich変分問題と呼ばれる。この変分問題は、次元の高い曲面や超曲面でも考えられる。対応する勾配流(Helfruch流)の挙動を解析する。一般次元のHelfrich流の存在を示し、一意性についても議論した。また、Helfrich流の挙動の解析に有益であると考えられる一般化された回転超曲面の大域的存在についても新しい事実を証明した。

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

数理ファイナンスの分野における期待効用最大化に関連したポートフォリオ最適化問題や、デリバティブの価値評価に関わる問題を、一般的な市場モデルにおける確率制御問題として考察し、フィルタリング理論や動的計画原理に基づく解析を展開した。特に、ダウンサイドリスク最小化問題を新たな視点で考察した大偏差確率制御問題に関して、双対性定理等の著しい成果を得た。

非線形シュレディンガー方程式の定在波解の不安定性に関する標準理論の改良を行った。特に、安定性と不安定性の境目にあたる場合の不安定性に関する新しい結果を証明した。また、その抽象理論をプラズマ中のラマン増幅現象に関連した非線形シュレディンガー方程式系に適用した。さらに、一般的な条件の下で、線形不安定性から非線形不安定性が導かれることを証明した。

完全非線形2階楕円型偏微分方程式の粘性解の基礎理論を研究した。一様楕円型方程式が1階微分項に非有界係数がある場合に、Lp粘性解に対し、弱ハルナック不等式が成立することが証明された。その応用として、強最大値原理、非有界領域での最大値原理、Phragmen-Lindelof定理など、Lp粘性解の定性的性質が示された。
また、退化楕円型方程式が1階微分項に関して一次以上の増大度がある場合に、粘性解が属する適切な関数空間を設定し、その下で粘性解の比較原理を証明した。

最大従属確率変数列の列の結合分布関数の最大値と最大解,その応用を与えた.Knothe-Rozenblatt Rearrangement (KRR)の一般化とその確率過程版Knothe-Rozenblatt proces (KRP)を定義し, それらの存在, 一意性, 双対定理,微小パラメタを持ったある種の変分問題の最小解の極限としての特徴付けを与えた.KRPの確率流のランダムな確率密度関数の表現定理を与えた. このランダムな確率密度関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均が凸性を持つことを示した

この研究を通して、微分幾何学、シンプレクテイック幾何学、非線形偏微分方程式などの数学内部の対象へ特異点論を応用し、様々な結果を得たばかりではなく宇宙物理学など、周辺科学と関連性のある結果を得た。特に、特異点論を様々な種類の空間形の部分多様体に応用することにより、様々な幾何学(ホロ球面的幾何学、斜傾幾何学)を構成し、その不変量の導入とその幾何学的意味を明らかにした。その結果、ブレーン宇宙論や一般相対性理論におけるモデル空間に現れるブラックホールなどの事象の地平線の形状やその特異点の幾何学的意味付けなどを得ることができた。

微分方程式の粘性解理論とその応用の研究に関して、境界値問題の粘性解、弱KAM理論、粘性解の正則性、最適化問題、微分方程式の種々の漸近問題、曲率流や界面の時間発展、質量輸送の問題、工学・経済の問題を研究した。本研究組織のこれまでの研究の蓄積の上に、個々の課題に対して多くの新しい知見を得ることが出来た。特に、弱KAM理論におけるオーブリ集合の研究とその漸近問題への応用での貢献は大きい。

第一にある線形群のSU(2, 1)上の保形式の空間の表現の跡を具体的に決定した。第二に楕円モジュラ形式からヒルベルトモジュラ形式の持ち上げの内積の比の代数性を証明した。第三にマース波動形式fから次数2n+1のジーゲルモジュラ形式Fの持ち上げを構成し、Fの標準的ゼータ関数をfの標準的ゼータ関数で表示した

消散項をもつ非線形シュレディンガー方程式の爆発問題に関して、テネシー大学のGrozdena Todorova 氏と共同研究を行った。また、湯川型相互作用をもつ空間3次元のクライン・ゴルドン・シュレディンガー方程式系の定在波解の安定性について、菊池弘明氏と共同研究を行った。さらに、3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系の孤立波解の安定性に関して、ボルドー大学の Mathieu Colin 氏、Thierry Colin氏と共同研究を行った

本研究では、幾何学的発展方程式として、曲面や曲線の族に定義される汎関数に対する制約条件付勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面の形状は、何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って、勾配流の収束先は、エネルギー的に安定なものであると考えられる。
長澤と高坂は、汎関数として曲面に対するウィルモア汎関数に、曲面の面積と曲面が囲む領域の堆積を指定した制限付極値問題(ヘルフリッヒ変分問題)に対する勾配流をラグランジュの未定乗数は未知の定数として、構成した。球面の近傍の中心多様鯛について解析した。定常解については、球面からの分岐解についてモード2,4,6,8のものを求めた。分岐方程式を群同変性を用いて変形するが、群同変性分岐理論におけるequivariant branching lemmaは用いていない。従って、同lemmaでは得られない解の存在も示す事が出来た。また長澤は、曲面に対するヘルフリッヒ変分問題の勾配流も考察した。こちらは、特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え、近似パラメータに関する一様有界性を示し、更に、その特異極限の存在を証明した。
勾配流方程式は、偏微分方程式の分類でいえば、放物型になる事が多い。小池は、非線形放物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し、論文として公表した。太田は、双曲型偏微分方程式で記述される発展方程式の解の安定性について研究し、論文として公表した。阪本は、CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い、CR幾何に適したEinstein性を定義し、その性質を調べた。高坂は、境界条件を伴う表面拡散方程式の定常解の非線型安定性を調べ、論文に著した。掲載は決定済みである。幾何学の変分問題の解は、非線形方程式の弱解であるが、その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は、不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究した。

・無限時間範囲べき型期待効用最大化問題を、取引費用透考慮に入れて考察した。対応する、"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式を導いた。"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式の解は、ある関数と定数の組からなるが、その関数を用いて最適戦略の構成を行い、また、その定数が最適値を与えることを示した
・インサイダ取引のモデルに対して均衡価格の問題を研究した。また、作ったモデルでインサイダは株価格に影響しても安定な均衡価格が存在する事を証明した。
・ハミルトン・ヤコビ方程式の解の時間無限大における振舞いについて研究し,一般次元ユークリッド空間上において漸近解への収束することを比較的一般な仮定の下で証明した.
・半連続$L^p$粘性解の概念を導入し、修正版Perronの方法による$L^p$粘性解の存在を示した。また、方程式が一様楕円性を持つ時、この粘性解がヘルダー連続になることを示した。
・数理ファイナンスに現れるobstacle問題の粘性解の微分可能性を高めることで、フィードバック最適制御を構成した。
・非完備な市場モデルである線形ガウス型市場モデルを取り上げ、資産増加率が予め定めた値を超えない確率(ダウンサイドリスク)、を最小化する問題を考察し、その時間大域的挙動が、リスク鋭感的ポートフォリオ最大化問題の双対として特徴付けられることを示した。

Swiechとの共同研究で、完全非線形2階楕円型・放物型方程式が1階微分に関して1次以上の増大度があり、非有界係数・非斉次項のある場合に、ABP型最大値原理が成立する条件を与えた。また、一般には成立しない反例を与えた。そのため、"逐次比較関数法"を最初に導入した。ここでは、最大値評価の係数や非斉次項に関する依存性も詳しく解析した。特に放物型方程式の場合は1階微分に関し1次以上の増大度があっても、係数が有界であれば、ABP型最大値原理が無条件で成立していることが証明され、楕円型方程式との明確な相違点を明らかにした。
L^p粘性解においては、通常の粘性解における強力な存在定理であるペロンの方法を最初に適用した。そのため、半連続L^p粘性解を初めて導入した。更に、危険鋭敏的最適制御に現われる偏微分方程式の強解の存在を示した。
分担者・森本および、森本・坂口茂(愛媛大学)との共同研究では、数理ファイナンスに現われる幾つかの最適停止時刻問題に関して、近似方程式の粘性解の微分可能性を高めることによって、最適ポリシーを構成した。

ジェット空間内のThom-Bordman多様体$Sigma^{i,j}$(のザリスキ閉包)に着目し,それらがいつCohen-Macaulay性(と呼ばれる代数的に良い性質,代数的交点数を考える立場からはCohen-Macaulay性であるか否かを決定するのは重要な問題である)を持ち得るかを議論した。またRonga氏による特異点解消を考察することにより$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡に台をもつ複体を構成している。これは写像芽$(C^n,0)to(C^2.0)$の微小摂動に現れるカスプ($A_2$特異点)の個数にかかわるもので,特に,ジェット空間内の丁度$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡(の閉包)で零となる式を明示的に記述できる,n=2,3,4の場合は、カスプの個数の公式の明示的形を与えている。(次ページ最初の論文)
次に特異点論的問題意識から、古典的な微分幾何学とそこから派生する微分方程式を論じている。
前節で問題となった、Thom-Boardman特異点集合の解析が鍵の役割を果たす。ユークリッド空間の部分多様体の、平坦さや丸さを、それら特異点の言葉を用いて定義し、より平坦な(または丸い)点での指数を定義している。さらに主方向の微分方程式の特異点論的立場からの導出や、R^3内の特異点を持つ場合の曲面の指数の計算可能性などを示しLowner予想の類似(階数1のときは指数は1以下と予想)を提出している。また、曲率線の微分方程式の一般化として2変数の微分方程式を捉え、総実と言う概念を定義しその指数とその性質、孤立特異点の分類、等を論じた。(次ページ第3の論文)
関数を別の関数のレベル曲面に制限したときその関数の振舞を記述するのは興味ある問題であるが、前者の関数のレベルが平行化可能であれば、平行化を与えるベクトル場を使って、自然にある写像が定義でき、その写像度が正点軌跡と負点軌跡のオイラー標数の差であることを示している。この文脈では、いつ関数のレベル曲面が平行化可能であるか、またそのとき平行化を与えるベクトル場を具体的に与える事が重要であるが、前者の問題には必要十分条件を、後者の問題には、複素構造、4元数構造、ケーリー構造との関連等を論じた。(次ページ第4の論文)
その他、弧解析的写像に関する逆写像定理(次ページ第2の論文)、ブロー解析的写像の理論の進展(次ページ第6の論文)などの成果がある。

我々の研究は次の2点に要約できる。第1の研究について説明する。池田氏は,楕円モジユラ形式のHecke固有関数fからHecke固有関数になる次数2nのSiegelモジュラ形式Fを構成することに成功した。一方,W.Kohnenは,池田持ち上げをKohnen空間SからSiegelモジュラ形式の空間S(2n)への線形写像I(k,n)の形で再定式化し,次数2nのSiegelモジュラ形式のMaass空間M(2n)の定義をSiegelモジュラ形式のFourier係数の間のある種の線形な関係式として与えた。彼はまた同時に,池田持ち上げの像I(k,n)(S)がM(2n)と一致するというKohnen予想を提出した。斎藤-黒川持ち上げ及びMaass空間を一般の次数のSiegelモジュラ形式に拡張することは,従来より,Siegelモジュラ形式の持ち上げの研究の中で中心的な懸案の課題であつた。一般的に保型形式の持ち上げ理論においては,構成と共にその核と像に特徴付けを与えることが重要な課題である。
私はW.Kohnen氏との共同研究で,池田持ち上げの像I(k,n)(S)はMaass空間M(2n)と一致することを証明し,Kohnenの予想を肯定的に解決した。論文はCompositio Math.に出版された。
第2に我々は,一般代数体上の半整数の重さのモジュラ形式fから偶数の重さのモジュラ形式Fへの志村対応Pを,テータ級数を核とする積分作用素で表示した。また像F=P(f)のフーリエ係数を,fのフーリエ係数を用いて具体的に求めた。一般代数体上の半整数の重さのモジュラ形式fの平方因子が無い整数におけるFourier係数の平方を,fの志村対応による像F=P(f)に付随するゼータ関数の特殊値を用いて,具体的に表示した。

主要な結果を列挙する.適正粘性解の定義と関連して,1階偏微分方程式の解を等高面法アプローチにおいて垂直方向の特異拡散が有用であることを提唱し,この方法の基礎を確立した.
大値原理の研究では,極小曲面方程式を含むような完全非線形楕円型方程式の粘性解に対する強比較原理を確立した.Lp粘性解に対して最大値の原理が成立しない例を構成するとともに,これを排除するような適切な条件下で最大値原理・ヘルダー連続性・ディリクレ問題の可解性を得た.磨耗過程の数学的モデルとして,凸化ガウス曲率流を提唱し,その一般化である非左方的凸化ガウス曲率流を等高面法により定式化し,その偏微分方程式の粘性解の存在と一意性を示した.非等方的凸化ガウス曲率流の確率近似モデルを提唱し,その確率収束を示した.糸晶の形が円柱の場合に,ベルグ効果の発現を数学的に証明した.BMOアルゴリズムについて,収束の新証明と収束の速さについて最良評価を導いた.異方的平均曲率流をうすい膜の中で考え,膜の厚さをゼロとした時の極限の存在とその特徴づけを行った.オルンシュタイン・ウーレンベック作用素を持つ半線形放物型方程式の解の時間無限大での漸近解への収束を証明した.一様楕円型方程式の周期均質化において楕円性の消滅と均質化が同時に起こる状況の解析に成功した.調和経路過程のゼロ雑音極限の存在と一意性を示し,コスト関数が2次関数の場合のモンジュ・カントロビッチ問題の解の存在と一意性を示した.数理ファイナンスに関して,有界な制御を持つ最適停止時刻問題の最適ポリシーの構成,ファクターモデルと呼ばれる市場モデルの期待効用最大化問題の最適戦略の構成,部分情報下で期待効用最大化問題の最適戦略に対する必要条件の導出を行った.p-ラプラス方程式のpを無限大にする極限での,比較的一般的な状況における,解の漸近挙動を解析した.

本研究では、超曲面の族に定義される汎関数に対する勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。問題を解析するにあたっては、汎関数の性質の解析が欠かせない。
ウィルモア汎関数に、超曲面の面積とそれが囲む領域の体積の指定した制限付極値問題は、赤血球の形状を決定するモデルの一つで、ヘルフリッヒ変分問題と呼ばれる。対応する勾配流をヘルフリッヒ流という。簡単な計算で球面が定常解になる事が分かる。長澤と高坂は、ヘルフリッヒ流に関して、1.任意の初期曲面に対する時間局所解の存在と一意性、2.球面に近い初期曲面に対する時間大域解の存在、3.球面近傍の中心多様体の存在と次元の評価、の結果を得て、論文にまとめ投稿した。長澤と高木は球面からの分岐解の研究を行った。本研究以前に、軸対称分岐解の存在とその安定性について結果を既に得ていた。非軸対称分岐解の存在の有無を調べるための既約分岐方程式を導いた。さらに、その標準形を決定し、モードが2または4の場合の既約分岐方程式の解をすべて決定した。これらを摂動することで分岐方程式の解が構成できる。
阪本は、多様体の埋め込みから決まる法曲率テンソルの二乗積分で定義される汎関数の変分公式を導き、その停留点の構造を調べた。ウィルモア汎関数はその特別な場合である。柳田は、3種の物質の相境界を記述する曲線が満たす幾何学流を考察し、その定常解の安定性の判定条件を見出した。立川は、幾何学的変分問題から導かれる方程式の弱解の研究を行い、特に、フィンスラー多様体への調和写像の正則性に関する結果を得た。小池と有澤は、幾何学的発展方程式の粘性解による取り扱いについて検討した。太田・下川は解の爆発の研究を行った。

1.線形ガウス型ファクターモデルおよび一般的なファクターモデルのリスク鋭感的ポートフォリオ最適化問題について、無限時間範囲の場合の問題を考察した。エルゴード型ベルマン方程式の解の存在を示し、その解から最適戦略を明示的に構成する結果を得た。線形線形ガウス型ファクターモデルの場合には証券価格の過去の情報のみを用いる部分情報の場合についても、最適戦略を明示的に構成する結果を得た。
2.証券価格の過去の情報のみを用いてポートフォリオを構成する部分情報下の問題に関して、有限時間範囲の場合に最適戦略の満たすべき必要条件を逆向き確率偏微分方程式を用いて最大値原理の形で求めた。
3.同じく部分情報下の問題で、条件付ガウス型の場合に係数が退化したベルマン方程式の解により最適戦略が明示的に構成できることを示した。
4.Wiener空間上のシュレーディンガー作用素の最低固有値の準古典的振舞が有限次元のときと同様にとらえられることを示した。同様なアイデアを用いることにより、リーマン多様体上の(Pinnedされない)道の空間上の作用素の最低固有値についても荒い下からの評価が成立することを示した。また、リー群上のpinnedされた道の空間上での準古典的極限を考えることにより、奇数次元の調和形式の消滅が示唆されることを示した。
5.曲率が遠方で十分早く減衰するようなリーマン多様体上で熱核の対数微分の評価を研究し、道の空間上で対数ソボレフ不等式を示した。また、Brownian rough pathと弱ポアンカレ不等式の関連を研究した。
6.数理ファイナンスに於ける最適化問題:指数ヘッジ問題について研究した。特に小さなパラメータεが存在している状況で後退確率微分方程式のパラメータに関する漸近展開を計算し、最適解/制御の漸近展開式を得た。
7.数理ファイナンスに現れる幾つかの非線形偏微分方程式の解の微分可能性を高める事によって最適制御(ポートフォリオ)を構成した。
8.数理ファイナンスにおける最適化問題を凸双対法を用いて解くことに興味を持ち、部分情報下への適用、ポートフォリオデルタに制限を加えた中での優複製法などの研究を行ない、既存の結果を拡張した。
9.位相的に同値な汎関数の最小化問題の最小元の特異極限の満たすオイラー方程式を導き、粘性解の存在と一意性を得た。また、一階微分に関してsuperlinearな増大度を持った完全非線形一様楕円型方程式のL_p粘性解のヘルダー連続評価を得た。
10.壁上の界面モデルの流体力学極限を論じ,発展的変分不等式を導出した。またピンニングのある界面モデルの平衡系に対し大偏差原理を示すことによりAlt-Caffarelliの変分問題を導いた。

本研究により,次のような成果を得た.(1)海岸で波に洗われる石の磨耗の数学的モデルとして,1974年にW.Fireyはガウス曲率流を提唱した.これを一般化して石が凸でない場合を考え,その磨耗のモデルとして非局所的ガウス曲率流(凸化ガウス曲率流)を導入し,この凸化ガウス曲率流に対する等高面法を確立した.(2)この凸化ガウス曲率流に対する弱解を定義し,その一意性を証明し,さらにその存在を離散確率近似により証明した.(3)確率制御における状態拘束問題を研究し,これまでに知られていた条件に較べてより自然でかつ弱い仮定のもとで,その値関数のリプシッツ連続性,ヘルダー連続性,値関数が対応するベルマン方程式の粘性解であること,この方程式の状態拘束問題の粘性解が一意に存在することを証明した.(3)バーガース方程式に代表される解がショック現象を起こす1階の偏微分方程式に対して,適正粘性解の概念を導入し,発散型とは限らない1階の方程式の大域的な不連続解の一意存在を確立し,さらに粘性消滅法による近似解のグラフのハウスドルフ距離における適正粘性解への収束を確立した.(4)解の勾配に関しての増大度が2次であるような一様楕円型方程式のL^P粘性解に対するヘルダー連続性評価を,L^∞評価成立の仮定の下で,証明した.(5)Capillary型の境界条件の下での平均曲率流に対する等高面法において現れる特異放物型偏微分方程式とその一般化に対する粘性解の比較定理を確立し,粘性解の一意存在とCapillary型境界条件下での平均曲率流の一意存在を確立した.(6)積分項を持つハミルトン・ヤコビ方程式に対して,積分論における単調関数族の議論により,方程式がボレル可測関数で与えられる場合に粘性解の存在を示し,一般的な粘性解の存在定理を確立した.

(1)Dirichlet型の境界条件と状態拘束型の境界条件の同値性を宗すことで、最短到達時刻問題の値関数(value function)の一意的な特徴づけ、及び解の表現公式を与えた。また、半連続粘性解と動的計画原理の同値性を初めて証明した。
(2)典型的な微分ゲーム「追跡・逃避」問題の状態拘束問題を定式化し、値関数の一意的な特徴づけを行った。また、時間離散近似した値関数の収束性を導いた。
(3)状態拘束問題において、(半離散近似を用いず)Hamilton-Jacobi方程式自体から直接、近似最適制御を初めて構成した。
(4)1階微分に関して一次以上の増大度を持った完全非線形二階一様楕円型方程式で、係数や非斉次項に不連続性がある場合を研究した。増大度が2次未満の場合、Holder連続性は、Alexandrov-Bakelman-Pucciの(ABPと略す)最大値原理とCaffarelliの方法による、Harnackの不等式が成立することを示した。二次の増大度を持つ場合、ABP最大値原理が成立しない例を構成し、一方、ABP最大値原理が成立するための十分条件を導き、その条件下でL^p-粘性解のDirichlet境界値問題の存在を示した。
(5)様々な位相同値なエネルギーから導かれる異なるタイプのP-ラプラシアンを含む方程式の完全不連続な極限方程式を粘性解で特徴付けた。
(6)数理ファイナンスに現れる、障害(obstacle)問題の解の二階微分が局所有界であることを示し、一次元の場合の伊藤の公式を用いて最適ポリシーを構成した。

(1)平成12年度研究代表者は、オイラー・ベルヌイ梁で繋がれたシステムをその繋ぎ目で制御する問題を研究した。可制性問題はヒルベルト問題におけるモーメント問題に帰着される。この方法をモーメント問題法という。研究代表者の究極の問題はいくつかの繋がれたシステムの可制御性にあるが、対応するモーメント問題法は、複雑であり、問題の解決に有効ではない。平成13年度および平成14年度には、特異境界条件付きは発展方程式の可制御に方向を転じた。発展方程式における境界条件が特異であるとは、空間方向の微分の階数が該当方程式の同方向の微分階数に等しいことをいう。研究代表者は、十数年来、特異境界条件つき、オイラー・ペルヌイおよび波動方程式の可制御性を研究してきた。ここでいう可制御性問題とは、次のような集合Гを特徴付片ることである。すなわち、Гから出発した任意の解が、制御関数を適当に選ぶことにより、与えられた時刻に、与えられた、状態に、到達させ得るかという問題である。この結果は、修士課程学生鄭仁芬の修士論文として、提出した。さらに一般化した後、学術誌に発表す
(2)波動方程式およびオイラー・ベルヌイ方程式はいずれも発展方程式であり、時間方向の係数作用素係はそれぞれ2階および4階微分作用素である。この作用素の固有値の漸近分布の性質により、可制御性は波動方程式の場合は素の可制御性に応用することが出来る。波動およびオイラー・ベルヌイ方程式はいずれも時間発展方程式と考えられ、係数作用素はそれぞれ、2階および4階微分作用素となる、この作用素の固有値分布の性質より、可制御性は波動方程式の場合は、時間に依存し、オイラー・ベルヌイ方程式の場合は、時間に依存しない。物理学的には、波動の有限伝播速度と関係がある。
3)研究分担者小池は数理ファイナンスに現れるいくつかの最適停止時間について、その解を研究し、最適ポリシーを特徴付けた。

(1)代表者:櫻井は流体の自由表面問題の漸近解析をテーマとして以下の研究を行った.完全琉体の微小振幅波に対する線形化方程式の解は平面波解e^<i(κ・x+W(κ)t)>の重畳で表すことかできるが,分散性があるために波面の形状は初期波形に含まれる波長成分により全く異なった時間発展を見せる.W"(κ)≠Oにおける漸近形は停留位相の方法で求められることが知られているが,W"(κ)=0なる波長成分に対してはAiry関数を用いた漸近形で表せることを証明した.
(2)分担者:小池は状態拘束制御問題において,近似最適制御の構成を行った.従来,状態拘束制御問題では,対応する値関数がみたすHamilton-Jacobi方程式と境界条件を決定し,粘性解としての一意性を示す研究が行われていた.ここでは,制御問題としてより重要なフィードバック最適制御に対応するHamilton-Jacobi方程式から直接導いた.
方法には,領域近似による収束性・inf-軟化子による粘性解の近似・super-diffrentialの単調性分式等,粘性解理論の洗練された技巧が用いられている.
(3)分担者:福井はn次元ユークリッド空間内の曲線について変曲点の一般化としてflattening pointsの概念,及び頂点の一般化としてのrounding pointsの概念を定義し,基本的な性質を解明した.また,それらの指数の概念を定義し,立体射影で指数が変化しないことも示した.

次のような研究成果をあげた。1.最適制御における状態拘束問題に対して、対応するハミルトン・ヤコビ方程式の必ずしも滑らかでない粘性解からフィードバック型の最適制御を構成する問題を考え、近似的最適制御であれば構成できることを証明した。その構成法も与えた。2.BarronとJensenによる半連続粘性解の一意存在定理は最適制御における値関数の特徴づけに、値関数が半連続である場合に基本的であるが、無限次元ヒルベルト空間上での半連続粘性解の一意存在定理を確立した。3.エルゴード制御はそれ自身重要であるが、ハミルトン・ヤコビ方程式の均質化にも関連している。ハミルトン・ヤコビ方程式に対するエルゴード問題を考察し、ある種の値関数を導入し、この関数を通して解の存在の特徴づけを行った。4.凸性のない一階のハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題に関して半連続な初期値に対して時間大域的に一意に解ける解の概念を導入し、従来の解との比較を行った。5.リスク鋭感的確率制御のベルマン方程式の可解性、一意性、解の滑らかさ、を調べ、粘性解の方法を用いて、その特異極限と微分ゲームとの関連を考察した。6.凸体のガウス曲率流は、岩石の磨耗のモデルとして現れる。このガウス曲率流のある幾何学的近似法を提唱し、その収束を証明した。7.制御された確率微分方程式の解の与えられた集合に対する不変性と対応するハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の粘性解のその集合への制限可能性との同値性を証明した。8.ガウス曲率流に関して、平坦部分の待ち時間を研究し、初期曲面の一点において二つの主曲率が0であれば、その点待ち時間は正であることを証明した。さらに、初期曲面が滑らかであっても、平坦部分を持つならばそのガウス曲率流はC^2級ではなくなることを証明した。

(1)状態拘束制御問題において、近似最適制御の構成を行った。
従来、状態拘束制御問題では、対応する値関数(value functio)が満たすHamilton-Jacobi方程式と境界条件を決定し、粘性解としての一意性を研究が主に行われていた。ここでは、制御問題として、より重要なフィードバック(近似)最適制御を対応するHamilon-Jacobi方程式から直接的に導いた。
方法は、領域近似による収束性・inf一軟化子による粘性解の近似・super-differentialの単調性公式等、粘性解理論の洗練された技巧を駆使して行われた。
(2)非発散型完全非線形二階一様楕円型偏微分方程式が1次以上の増大度を持つときの粘性解の(a)比較定理・(b)局所Holder連続性を示した。
(a)係数に関して連続性を仮定しないとき、一般には比較原理は成り立たないが、比較原理が成り立つような自然な十分条件を与えた。これは、Caffarelli,Crandall,Kocan Swiechの最近の結果の拡張である。方法は、二種類の近似とArea公式の巧妙な利用による。
(b)同じく、1次以上の増大度が比較的小さい場合に、粘性解の局所Holder連続性を示した。これは、caffarelliの結果の拡張である。方法は、Alexandroff-Bakelman-Pucciの最大値原理の改良・古典優解の精密な構成・立方体分割法を改良して「爆発論法」が適用できるようにして行う。

既約正則概均質ベクトル空間は分類されており、その多くについてはp進ゼータ関数が決定されている。この決定されていない物として、SL(5)xGL(4)というタイプがある。ゼータ関数の研究の下準備として、このタイプの詳しい研究を行い、結果を発表した。さらに続編が予定されている。また、此の空間のp進ゼータ関数については、分母の幾つかの因子を決定してあるが完全な決定には至っていない。今後の課題としたい。
また、ゼータ関数はまた代数曲線に関しても定義されている。これに関しても分担者酒井によって研究が進められたが。
また、幾何学的側面は長瀬によってSpin構造の研究がおこなわれ、そ3の成果を発表した。
さらに、特異点の方面からの成果は福井によってもたらされた。

(1)研究代表者櫻井はSymplecticな特性集合を持つ偏微分方程式の超局所的性質について研究を行なった.Symplecticな特性集合を持つ作用素をHeisenberg群にモデル化し,その上の調和解析の理論を構築することにより方程式の解が持つ特異性について詳細に調べた.具体的には,Sub-elliptic条件をみたす不変作用素のParametricを(1/2,1/2)タイプの擬微分作用素として実現し,そののち,Sub-elliptic条件を満たさない作用素に対して摂動論を展開した.この研究は“Analytic hypoellipticity and local solvability for a class of pseudo-differential operators with symplectic characteristics" (Bnach Center Publications,33,1996,315-335)にまとめられている.
(2)分担者奥村は主に複素射影空間のある種のCR-部分多様体の上でラプラシアンの固有値とスカラー曲率との関係について研究し,Y.W.Choe-M.Okumura:Scalar curvature of a certain CR-submamifold of complex projective space (to appear in Arkev der Math.)に発表した.
(3)分担者小池は決定論的な状態拘束条件下での効用関数の,対応する一階Bellman方程式の境界条件を特徴付け,その下で効用関数が一意的な粘性解であることを示した.(A new formulation of state constraint problems for first-order PDEs,SAIM J.,34(1996))
また,制御集合が状態に依存する場合のBellman方程式の解の一意性のための十分条件を示し,その条件が満たされない場合の例をあげた.

(1)研究代表者酒井文雄は射影平面の巡回被覆の第1ベッチ数に関するザリスキーの定理を代数曲面の巡回被覆で被覆次数が素数べきで、分岐曲線が可約の場合に拡張した。また、奇数次の平面曲線で単純特異点のみを持つものの総ミルナ-数の評価を改良する結果を得た。
(2)研究分担者奥村正文は複素射影空間に埋め込まれたCR次元(n-1)/2のCR-部分多様体のスカラー曲率について調べ、この部分多様体が奇数次元の球2個の直積のS商多様体であるための十分条件をスカラー曲率に関する不等式で与えた。
(3)研究分担者竹内喜佐雄はモジュラー群SL_2(Z)の部分群Γで符号(o;e_1,e_2,e_3)を持つものをすべて分類し、各Γに対して、その標準生成系を具体的に行列の形で与えた。
(4)研究分担者小池茂昭は制御集合が状態に依存する場合のBellman方程式の解の意性のための充分条件を示し、その条件が満たされない場合の反例を挙げた。また、退化した係数を持ったHamilton-Jacobi方程式の半連続粘性解の-意性と表現定理を示した。
(5)研究分担者江頭信二はコンパクト多様体上のC^2級余次元1葉層の拡大度は典型的な増大度しか取らないこと、およびそれは葉のレベルと弾性葉の存在性によって分類されることを示した。

1階非線形偏微分方程式,2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の粘性解について,存在,一意性,基本性質およびその応用について研究した.特に,曲面の時間発展に関するレベルセット・アプローチ,決定系の制御等において応用と基礎理論の両面でいくつかの成果を得た.以下研究成果を箇条書きにして説明する.
1.コンピュータ・チップの製造工程における一つの基本工程として,エッチングが挙げられる.この工学的問題に対して,数学的モデルを定式化し,解析することは重要である.8月のアメリカ合衆国滞在中にこの問題に対するレベルセット・アプローチを研究し,成果を得た.この研究は石井とEvansの共同研究として行われた.10月にフランス国滞在中にこの問題についてLions,Barles等と討論し,この問題が密接に画像処理の数学的取扱いと関連していることが分かった.この点は今後の課題とされる.
2.Allen-Cahn方程式のような半線形放物型方程式について,非線形項がsin関数のような周期関数である場合に適当なスケーリングにより解が,すべての等高面が平均曲率流であるような関数に収束することを示した.関連した結果が最近Jerrardにより得られている.この問題については,8月にアメリカ合衆国滞在中にCarnegie Mellon大学,Wisconsin大学Madison校の数学教室において,講演する(石井)機会をもち,Soner,Souganidis等と研究討論した.さらに,10月にフランス国滞在中にもパリ大学,IXにおいて講演(石井)の機会を得,Lions等とこの問題について討論した.この研究は石井が行った.
3.Bence,Merriman,OsherのアルゴリズムやGriffeath等による閾値ダイナミクッス法を研究し,その一般化による曲面の非等方的平均曲率流の近似スキームの構成とその収束,また曲面の時間発展の速度が曲面の方向の関数であり曲率には依存しない場合に付いても近似スキームの構成と収束を示した.更に,このような曲面の時間発展に対して,対応するWulffクリスタルに漸近的に相似であることを証明した.この研究は石井とSouganidisの共同研究として行われた.
4.Hamilton-Jacobi方程式に対するエルゴード問題あるいは対応する最適制御問題に対するエルゴード問題について,エルゴード・アトラクターの特徴付けを研究し,いくつかの新しい特徴付けに関する結果を得た.有沢と石井の共同研究として行われた.
5.上記エルゴード問題を無限次元空間で研究し,Hamilton-Jacobi方程式に対するエルゴード問題の設定をこれまでの有限次元空間の場合と異なる定式化が必要であることを示した.この研究は有沢,石井,Lionsの共同研究として行われた.
6.微分可能でないような表面エネルギーにより,曲線の時間発展が規定される場合について曲線の時間発展を数学的に定式化し,この数学的問題に対する解の存在と解の比較定理を証明した.この研究ではいかに数学的に定式化をするかが重要であり,従って問題は極めて基本的である.曲面の場合に拡張する問題は今後の課題である.8月のアメリカ合衆国滞在中にCarnegie Mellon大学とWisconsin大学において講演する(儀我)機会を持ち,Soner,Souganidis等と研究討論し,結果を深めることができた.この研究は儀我が行った.
7.微分ゲームが状態制約を持つ場合に,粘性解によるアプローチが有効であることを示した.境界におけるハミロトニヤンをいかに取るかが問題であったが,これを解決し,微分ゲームの値関数が対応するHamilton-Jacobi方程式の解であること,その解が一意であること等を示した.この研究は小池がBardi,Soraviaと共同で研究した.
本研究の遂行にあたり,研究分担者L.C.Evansの都合により予定を変更し,L.C.Evansの招聘は中止とし代わって研究代表者石井をアメリカ合衆国に派遣することとした.この変更による研究遂行上の問題は特になく,上記のような成果を得ることができた.
以上の成果1〜7はすべて粘性解の概念を本質的に使って得られた.今後も粘性解を利用した偏微分方程式の研究が重要であり,特に工学方面への応用が期待される.国際的広がりを持った,視野の広い活発な研究が期待される.

制御理論に表れる状態拘束問題を研究した.具体的には,対応する値関数(value function)が満たすべき正しい境界値問題を設定し,値関数が唯一の粘性解であることを示し,これを特徴付けた.
1.状態拘束問題における値関数を特徴付ける境界値問題は,Soner(1996年)により導入され様々な一般化が研究されたが,解の定義に「連続性」の制約が付き一般理論との間にギャップがあった.これを1階Bellman型偏微分方程式に対して,動的計画原理に基づいた正確な定義を与え,解の表現・一意性・微分可能性等を得た.
2.微分ゲームに対しても状態拘束問題を提唱し,対応する境界値問題を与えた.その問題の値関数は制限付き戦略(strategy)を用いて与えられた始めてのものと思われる。更に,同問題において解の表現・一意性等を示し,値関数の特徴付けをした.
3.実際の制御問題では制御が空間の位置によって制御を受けることが重要であり,一般論を展開する必要がある.しかし,その様な問題は,本質的に不連続なHamiltonianを考えることであり,困難が予想される.現在は,制御の制約が比較的緩やかな場合の一般論と急激な制御の変化のある特殊な場合について値関数の特徴付けを研究中である。

本研究は,特異な境界条件を持った偏微分方程式の最適制御理論の数学の各分野からの総合的な共同研究である.
1 ビーム,プレートを支配する偏微分方程式その他いくつかの偏微分方程式に関する最適制御理論については,解の一意存在定理,最適条件,可制御性などが得られており,これらについて特異な境界条件を付して研究することは可能である.
2 ロボットアームの運動の制御問題に関し,線形システムの場合に解の一意存在定理,近似可制御性については,京都大学数理解析研究所の講究録に研究代表者辻岡の得た結果が発表されている.
3 非線形制御理論について
(1)可制御性は不動点定理および,関数解析的なHUM法を用いた研究が盛んで,LIONS学派のLIONS,ZUAZUA,イタリヤのLADIESKA,TRIGGIANI,東大の山本,熊本大の内藤,神戸大の中桐等の研究がある.最適理論については,凸解析の手法が用いられ,中国のYONG,米国のFATTORINIの研究がある.
(2)粘性解の理論について,研究分担者小池およびその共同研究者によって,いくつかの秀れた成果が得られており,専門学術雑誌に発表もしくは発表が決定している.
4 代数学的あるいは幾何学側面からは,研究分担者竹内,酒井,長瀬の結果がありそれぞれ発表予定である.

長瀬“Gauss-Bonnet operator on singular algebraic curves"において特異点を持つ曲線上のGauss-Bonnet作用素D=d+δの(L^2-)指数の考察がなされた。この研究はAtiyah-Singerの指数定理の一つの拡張であった。この研究ののち,その指数定理の出発点となったスピン構造論の拡張に取り組んだ。投稿中のため11.研究発表には記入しなかったが,現在そのスピン構造の四元数ケーラー多様体に適した変形物の導入に成功している(Nagase,Spin^q structures(preprint,1992),q=quaternionic)。AtiyahとSingerはSpin構造の導入と同時に複素多様体に適したそれの変形物,Spin^c構造(c=complex),をも導入している。今回,研究代表者は,最近の四元数ケーラー多様体への関心の高まりに刺激されてそれに適した変形に取り組んだ。Spin^q群の表現,概四元数構造の可く標準的Spin^q構造,Spin^qベクトル束,Dirac作用素,その指数,等,について上述preprintにおいて論じている。いうなればSpin,Spin^Cにおいて論じられた代表的テーマを,Spin^qについても考察してみた。
このSpin^q構造の研究はこれで終わりか?そのことについて,今後の展開をも含めて少々述べて起きたい。一見(Spin^c構造がある意味でそうであるように)Spin^q構造はSpin,Spin^cの類似物でしかないように見える。著者自身の感触も初期の段階ではその程度であった。ところがその後の考察によるとSpin^cとSpin^qはtwistor理論を介して深いつながりを持つことがわかってきている(Spin,Spin^cの間にはない関係)。この点については現在研究が進行中の段階でもあり詳しくは述べられないが,標語だけでもSpin^c,Spin^q,twistor,Diracといったつながりは何かを予感させるものがある。

粘性解の最適制御理論への応用

粘性解理論による数理ファイナンスの基礎理論