2022/07/02 更新

写真a

コイケ シゲアキ
小池 茂昭
所属
理工学術院 先進理工学部
職名
教授

学内研究所等

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学歴

  •  
    -
    1988年03月

    早稲田大学   理工学研究科  

  •  
    -
    1981年03月

    早稲田大学   理工学部   物理学科  

学位

  • 早稲田大学   理学(数学)

経歴

  • 2019年04月
    -
    継続中

    早稲田大学   理工学術院   教授

  • 2012年04月
    -
    2019年03月

    東北大学   教授

  • 2006年04月
    -
    2012年03月

    埼玉大学大学院理工学研究科   教授

  • 1992年04月
    -
    2002年03月

    埼玉大学理学部   助教授

  • 1989年10月
    -
    1992年03月

    東京都立大学理学部   助手

  • 1988年04月
    -
    1989年09月

    早稲田大学理工学部   助手

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所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野

  • 基礎解析学

研究キーワード

  • 粘性解理論

  • 非線形偏微分方程式

論文

  • Regularity of solutions of obstacle problems -old &new-

    Shigeaki Koike

    Springer Proceedings in Mathematics & Statistics   346   205 - 243  2021年05月  [査読有り]  [招待有り]

  • On Lp-viscosity solutions of bilateral obstacles with unbounded ingredients

    Shigeaki Koike, Shota Tateyama

      377 ( 3-4 ) 833 - 910  2020年08月  [査読有り]

  • Weak Harnack inequality for fully nonlinear uniformly parabolic equations with unbounded ingredients and applications

    Shigeaki Koike, Andrzej Swiech, Shota Tateyama

    Nonlinear Analysis   185   264 - 289  2019年08月  [査読有り]

  • On the rate of convergence of solutions in free boundary problems via penalization

    Shigeaki Koike, Takahiro Kosugi, Makoto Naito

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   457 ( 1 ) 436 - 460  2018年01月  [査読有り]

     概要を見る

    The rate of convergence of approximate solutions via penalization for free boundary problems are concerned. A key observation is to obtain global bounds of penalized terms which give necessary estimates on integrations by the nonlinear adjoint method by L.C. Evans. (c) 2017 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • Maximum principle for Pucci equations with sublinear growth in Du and its applications

    Shigeaki Koike, Takahiro Kosugi

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   160   1 - 15  2017年09月  [査読有り]

     概要を見る

    It is obtained that there exist strong solutions of Pucci extremal equations with sublinear growth in Du and measurable ingredients. It is proved that a strong maximum principle holds in a local sense in Lemma 4.1 although even the (weak) maximum principle fails. By using this existence result, it is shown that the ABP type maximum principle and the weak Harnack inequality for viscosity solutions hold true. As an application, the Holder continuity for viscosity solutions of possibly singular, quasilinear equations is established. (C) 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved.

    DOI

  • Remarks on viscosity solutions for mean curvature flow with obstacles

    K. Ishii, H. Kamata, S. Koike

    Springer Proceedings in Mathematics and Statistics   215   83 - 103  2017年  [査読有り]

     概要を見る

    Obstacle problems for mean curvature flow equations are concerned. Existence of Lipschitz continuous viscosity solutions are obtained under several hypotheses. Comparison principle globally in time is also discussed.

    DOI

  • Entire solutions of fully nonlinear elliptic equations with a superlinear gradient term

    G. Galise, S. Koike, O. Ley, A. Vitolo

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   441 ( 1 ) 194 - 210  2016年09月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper we consider second order fully nonlinear operators with an additive superlinear gradient term. Like in the pioneering paper of Brezis for the semilinear case, we obtain the existence of entire viscosity solutions, defined in all the space, without assuming global bounds. A uniqueness result is also obtained for special gradient terms, subject to a convexity/concavity type assumption where superlinearity is essential and has to be handled in a different way from the linear case. (C) 2016 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • Regularity results and large time behavior for integro-differential equations with coercive Hamiltonians

    Guy Barles, Shigeaki Koike, Olivier Ley, Erwin Topp

    CALCULUS OF VARIATIONS AND PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS   54 ( 1 ) 539 - 572  2015年09月  [査読有り]

     概要を見る

    In this paper we obtain regularity results for elliptic integro-differential equations driven by the stronger effect of coercive gradient terms. This feature allows us to construct suitable strict supersolutions from which we conclude Holder estimates for bounded subsolutions. In many interesting situations, this gives way to a priori estimates for subsolutions. We apply this regularity results to obtain the ergodic asymptotic behavior of the associated evolution problem in the case of superlinear equations. One of the surprising features in our proof is that it avoids the key ingredient which are usually necessary to use the strong maximum principle: linearization based on the Lipschitz regularity of the solution of the ergodic problem. The proof entirely relies on the Holder regularity.

    DOI

  • REMARKS ON THE COMPARISON PRINCIPLE FOR QUASILINEAR PDE WITH NO ZEROTH ORDER TERMS

    Shigeaki Koike, Takahiro Kosugi

    COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS   14 ( 1 ) 133 - 142  2015年01月  [査読有り]

     概要を見る

    A comparison principle for viscosity solutions of second-order quasilinear elliptic partial differential equations with no zeroth order terms is shown. A different transformation from that of Barles and Busca in [3] is adapted to enable us to deal with slightly more general equations.

    DOI

  • On the ABP maximum principle for L-p-viscosity solutions of fully nonlinear PDE

    Shigeaki Koike

    NONLINEAR DYNAMICS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS   64   113 - 124  2015年  [査読有り]

     概要を見る

    Fully nonlinear second-order uniformly elliptic partial differential equations (PDE for short) with unbounded ingredietns are considered. The Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP for short) maximum principle for LP-viscosity solutions of fully nonlinear, second-order uniformly elliptic PDE are shown.
    The results here are joint works with A. Swiech in [12], [13], [14], [15].

  • Representation formulas for solutions of Isaacs integro-PDE

    Shigeaki Koike, Andrzej Świȩch

    Indiana University Mathematics Journal   62 ( 5 ) 1473 - 1502  2013年  [査読有り]

     概要を見る

    We prove sub-and super-optimality inequalities of dynamic programming for viscosity solutions of Isaacs integro-PDE associated with two-player, zero-sum stochastic differential game driven by a Lévy-type noise. This implies that the lower and upper value functions of the game satisfy the dynamic programming principle and that they are the unique viscosity solutions of the lower and upper Isaacs integro-PDE. We show how to regularize viscosity sub-and super-solutions of Isaacs equations to smooth sub-and supersolutions of slightly perturbed equations.

    DOI

  • On the ABP maximum principle and applications

    S. Koike

    RIMS Kokyuroku   1845   107 - 120  2013年

  • LOCAL MAXIMUM PRINCIPLE FOR L-p-VISCOSITY SOLUTIONS OF FULLY NONLINEAR ELLIPTIC PDES WITH UNBOUNDED COEFFICIENTS

    Shigeaki Koike, Andrzej Swiech

    COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS   11 ( 5 ) 1897 - 1910  2012年09月  [査読有り]

     概要を見る

    We establish local maximum principle for L-p-viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with unbounded ingredients.

    DOI

  • Comparison principle for unbounded viscosity solutions of degenerate elliptic PDEs with gradient superlinear terms

    Shigeaki Koike, Olivier Ley

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   381 ( 1 ) 110 - 120  2011年09月  [査読有り]

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    We are concerned with fully nonlinear possibly degenerate elliptic partial differential equations (PDEs) with superlinear terms with respect to Du. We prove several comparison principles among viscosity solutions which may be unbounded under some polynomial-type growth conditions. Our main result applies to PDEs with convex superlinear terms but we also obtain some results in nonconvex cases. Applications to monotone systems of PDEs are given. (C) 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • REMARKS ON THE PHRAGMEN-LINDELOF THEOREM FOR L-p-VISCOSITY SOLUTIONS OF FULLY NONLINEAR PDES WITH UNBOUNDED INGREDIENTS

    Shigeaki Koike, Kazushige Nakagawa

    ELECTRONIC JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   2009 ( 146 ) 1 - 14  2009年11月  [査読有り]

     概要を見る

    The Phragmen-Lindelof theorem for L-p-viscosity solutions of fully nonlinear second order elliptic partial differential equations with unbounded coefficients and inhomogeneous terms is established.

  • Existence of strong solutions of Pucci extremal equations with superlinear growth in Du

    Shigeaki Koike, Andrzej Swiech

    JOURNAL OF FIXED POINT THEORY AND APPLICATIONS   5 ( 2 ) 291 - 304  2009年08月  [査読有り]

     概要を見る

    We prove existence of strong solutions of Pucci extremal equations with superlinear growth in Du and unbounded coefficients. We apply this result to establish the weak Harnack inequality for L(p)-viscosity supersolutions of fully nonlinear uniformly elliptic PDEs with superlinear growth terms with respect to Du.

    DOI

  • Weak Harnack inequality for fully nonlinear uniformly elliptic PDE with unbounded ingredients

    Shigeaki Koike, Andrzej Swiech

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   61 ( 3 ) 723 - 755  2009年07月  [査読有り]

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    The weak Harnack inequality for L-p-viscosity solutions is shown for fully nonlinear, second order uniformly elliptic partial differential equations with unbounded coefficients and inhomogeneous terms. This result extends those of Trudinger for strong solutions [21] and Fok for L-p-viscosity solutions [13]. The proof is a modification of that of Caffarelli [5], [6]. We apply the weak Harnack inequality to obtain the strong maximum principle, boundary weak Harnack inequality, global C-alpha estimates for solutions of fully nonlinear equations, strong solvability of extremal equations with unbounded coefficients, and Aleksandrov-Bakehnan-Pucci maximum principle in unbounded domains.

    DOI

  • Recent developments on maximum principle for Lp -viscosity solutions of fully nonlinear elliptic/parabolic PDES

    Shigeaki Koike

    Recent Progress on Reaction-Diffusion Systems and Viscosity Solutions     131 - 153  2009年01月  [査読有り]

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    The ABP type maximum principle for 'formula presented'-viscosity solutions of fully nonlinear second order elliptic/parabolic partial differential equations with unbounded coefficients and inhomogeneous terms is exhibited.

    DOI

  • Maximum principle for fully nonlinear equations via the iterated comparison function method

    Shigeaki Koike, Andrzej Swiech

    MATHEMATISCHE ANNALEN   339 ( 2 ) 461 - 484  2007年10月  [査読有り]

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    We present various versions of generalized Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) maximum principle for L-p-viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic and parabolic equations with possibly superlinear-growth gradient terms and unbounded coefficients. We derive the results via the "iterated" comparison function method, which was introduced in our previous paper (Koike and Swiech in Nonlin. Diff. Eq. Appl. 11, 491-509, 2004) for fully nonlinear elliptic equations. Our results extend those of (Koike and Swiech in Nonlin. Diff. Eq. Appl. 11, 491-509, 2004) and (Fok in Comm. Partial Diff. Eq. 23(5-6), 967-983) in the elliptic case, and of (Crandall et al. in Indiana Univ. Math. J. 47(4), 1293-1326, 1998; Comm. Partial Diff. Eq. 25, 1997-2053, 2000; Wang in Comm. Pure Appl. Math. 45, 27-76, 1992) and (Crandall and Swiech in Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 234. Dekker, New York, 2003) in the parabolic case.

    DOI

  • A linear-quadratic control problem with discretionary stopping

    Shigeaki Koike, Hiroaki Morimoto, Shigeru Sakaguchi

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B   8 ( 2 ) 261 - 277  2007年09月  [査読有り]

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    We study a the variational inequality for a 1-dimensional linear-quadratic control problem with discretionary stopping. We establish the existence of a unique strong solution via stochastic analysis and the viscosity solution technique. Finally, the optimal policy is shown to exist from the optimality conditions.

  • Optimal Consumption and Portfolio Choice with Stopping

    Shigeaki Koike, Hiroaki Morimoto

    FUNKCIALAJ EKVACIOJ-SERIO INTERNACIA   48 ( 2 ) 183 - 202  2005年08月  [査読有り]

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    We study the Bellman equation associated with the optimal consumption and portfolio choice problem with stopping times in a complete market. We establish the existence of a strong solution by using the viscosity solutions technique. The optimal policy is shown to exist from the optimality conditions in the variational inequality.

    DOI

  • Perron's method for Lp-viscosity solutions

    S. Koike

    Saitama Mathematical Journal   23   9 - 28  2005年  [査読有り]

  • Maximum principle and existence of L-p-viscosity solutions for fully nonlinear uniformly elliptic equations with measurable and quadratic terms

    S Koike, A Swiech

    NODEA-NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND APPLICATIONS   11 ( 4 ) 491 - 509  2004年  [査読有り]

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    We study L-p-viscosity solutions of fully nonlinear, second-order, uniformly elliptic partial differential equations (PDE) with measurable terms and quadratic nonlinearity. We present a sufficient condition under which the maximum principle holds for L-p-viscosity solution. We also prove stability and existence results for the equations under consideration.

    DOI

  • Variational inequalities for leavable bounded-velocity control

    S Koike, H Morimoto

    APPLIED MATHEMATICS AND OPTIMIZATION   48 ( 1 ) 1 - 20  2003年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We study the variational inequality associated with a bounded-velocity control problem when discretionary stopping is allowed. We establish the existence, of a strong solution by using the viscosity solution techniques. The optimal policy is shown to exist from the optimality conditions in the variational inequality.

    DOI

  • Remarks on regularity of viscosity solutions for fully nonlinear uniformly elliptic PDEs with measurable ingredients

    S. Koike, T. Takahashi

    Advances in Differential Equations   7 ( 4 ) 493 - 512  2002年  [査読有り]

  • On fully nonlinear PDEs derived from variational problems of Lp norms

    Toshihiro Ishibashi, Shigeaki Koike

    SIAM Journal on Mathematical Analysis   33 ( 3 ) 545 - 569  2001年  [査読有り]

     概要を見る

    The p-Laplace operator arises in the Euler-Lagrange equation associated with a minimizing problem which contains the Lpnorm of the gradient of functions. However, when we adapt a different Lpnorm equivalent to the standard one in the minimizing problem, a different p-Laplace-type operator appears in the corresponding Euler-Lagrange equation. First, we derive the limit PDE which the limit function of minimizers of those, as p → ∞, satisfies in the viscosity sense. Then we investigate the uniqueness and existence of viscosity solutions of the limit PDE. © 2001 Society for Industrial and Applied Mathematics.

    DOI

  • Pursuit-evasion games with state constraints: Dynamic programming and discrete-time approximations

    M Bardi, S Koike, P Soravia

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS   6 ( 2 ) 361 - 380  2000年04月  [査読有り]

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    In this paper we study the boundary value problem for the Hamilton-Jacobi-Isaacs equation of pursuit-evasion differential games with state constraints. We prove existence of a continuous viscosity solution and a comparison theorem that we apply to establish uniqueness of such a solution and its uniform approximation by solutions of discretized equations.

  • Uniqueness of lower semicontinuous viscosity solutions for the minimum time problem

    O Alvarez, S Koike, Nakayama, I

    SIAM JOURNAL ON CONTROL AND OPTIMIZATION   38 ( 2 ) 470 - 481  2000年02月  [査読有り]

     概要を見る

    We obtain the uniqueness of lower semicontinuous (LSC) viscosity solutions of the transformed minimum time problem assuming that they converge to zero on a "reachable" part of the target in appropriate directions. We present a counter-example which shows that the uniqueness does not hold without this convergence assumption.
    It was shown by Soravia that the uniqueness of LSC viscosity solutions having a "subsolution property" on the target holds. In order to verify this subsolution property, we show that the dynamic programming principle (DPP) holds inside for any LSC viscosity solutions.
    In order to obtain the DPP, we prepare appropriate approximate PDEs derived through Barles' inf-convolution and its variant.

    DOI

  • On ε-optimal controls for state constraint problem

    H. Ishii, S. Koike

    Annales de l'Institut Henri Poincar\'{e}, Analyse Non lin\'{e}aire   17 ( 4 ) 473 - 502  2000年  [査読有り]

  • Semicontinuous viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations with a degenerate coefficient

    S. Koike

    Differential and Integral Equations   10 ( 3 ) 455 - 472  1997年  [査読有り]

  • A comparison result for the state constraint problem of differential games

    S. Koike

    Proceedings of Korean-Japan Partial Differential Equations Conference     1 - 8  1997年

  • A new formulation of state constraint problems for first-order PDES

    H Ishii, S Koike

    SIAM JOURNAL ON CONTROL AND OPTIMIZATION   34 ( 2 ) 554 - 571  1996年03月  [査読有り]

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    The first-order Hamilton-Jacobi-Bellman equation associated with the state constraint problem for optimal control is studied. Instead of the boundary condition which Soner introduced, a new and appropriate boundary condition for the PDE is proposed. The uniqueness and Lipschitz continuity of viscosity solutions for the boundary value problem are obtained.

    DOI

  • On the bellman equations with varying control

    S Koike

    BULLETIN OF THE AUSTRALIAN MATHEMATICAL SOCIETY   53 ( 1 ) 51 - 62  1996年02月  [査読有り]

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    The value function is presented by minimisation of a cost functional over admissible controls. The associated first order Bellman equations with varying control are treated. It turns out that the value function is a viscosity solution of the Bellman equation and the comparison principle holds, which is an essential tool in obtaining the uniqueness of the viscosity solutions.

  • The state constraint problem for differential games

    S. Koike

    Indiana University Mathematics Journal   44 ( 2 ) 467 - 487  1995年  [査読有り]

  • UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS FOR MONOTONE SYSTEMS OF FULLY NONLINEAR PDES UNDER DIRICHLET CONDITION

    S KOIKE

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   22 ( 4 ) 519 - 532  1994年02月  [査読有り]

  • Viscosity solutions of monotone systems for Dirichlet problems

    M. Katsoulakis, S. Koike

    Differential and Integral Equations   7 ( 2 ) 367 - 382  1994年  [査読有り]

  • Viscosity solutions of functional differential equations

    H. Ishii, S. Koike

    Advances in Mathematical Sciences and Applications   3   191 - 218  1993年  [査読有り]

  • A viscosity solution approach to functional differential equations

    S. Koike

    Proceedings of the Second GARC SYMPOSIUM on Pure and Applied Mathematics   17   213 - 219  1993年

  • ON THE RATE OF CONVERGENCE OF SOLUTIONS IN SINGULAR PERTURBATION PROBLEMS

    S KOIKE

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS   157 ( 1 ) 243 - 253  1991年05月  [査読有り]

  • Viscosity solutions for monotone systems of second-order elliptic PDEs

    H. Ishii, S. Koike

    Communications in Partial Differential Equations   16 ( 6-7 ) 1095 - 1128  1991年  [査読有り]

  • Viscosity solutions of a system of nonlinear second-order elliptic PDEs arising in switching games

    H. Ishii, S. Koike

    Funkcialaj Ekvacioj   34 ( 1 ) 143 - 155  1991年  [査読有り]

  • Remarks on elliptic singular perturbation problems

    Hitoshi Ishii, Shigeaki Koike

    Applied Mathematics & Optimization   23 ( 1 ) 1 - 15  1991年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We show the effectiveness of viscosity-solution methods in asymptotic problems for second-order elliptic partial differential equations (PDEs) with a small parameter. Our stress here is on the point that the methods, based on stability results [3], [16], apply without hard PDE calculations. We treat two examples from [11] and [23]. Moreover, we generalize the results to those for Hamilton-Jacobi-Bellman equations with a small parameter. © 1991 Springer-Verlag New York Inc.

    DOI

  • AN ASYMPTOTIC FORMULA FOR SOLUTIONS OF HAMILTON-JACOBI-BELLMAN EQUATIONS

    S KOIKE

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS   11 ( 3 ) 429 - 436  1987年03月  [査読有り]

  • On the regularity of solutions of a degenerate parabolic Bellman equation

    S. Koike

    Hiroshima Mathematical Journal   16 ( 2 ) 251 - 267  1986年  [査読有り]

  • Boundary regularity and uniqueness for an elliptic equation with gradient constraint

    Hitoshi Ishii

    Communications in Partial Differential Equations   8 ( 4 ) 317 - 346  1983年01月  [査読有り]

    DOI

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書籍等出版物

  • Nonlinear Partial Differential Equations for Future Applications

    Shigeaki Koike, Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Shigeru Sakaguchi( 担当: 編集)

    2021年05月

  • 粘性解 -比較原理を中心に-

    小池 茂昭( 担当: 単著)

    2016年12月

  • リメディアル数学

    泉屋周一他( 担当: 共著,  担当範囲: 1章)

    数学書房  2011年

  • 微分積分

    小池茂昭( 担当: 単著)

    数学書房  2010年

  • International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity Solutions

    Yoshikazu Giga 他( 担当: 共編者(共編著者))

    学校図書  2008年

  • これからの非線型偏微分方程式

    小薗英雄他( 担当: 共著,  担当範囲: 151~168)

    日本評論社  2007年05月

  • A Beginner's Guide to the Theory of Viscosity Solutions

    Shigeaki Koike( 担当: 単著)

    日本数学会  2007年

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Misc

  • On the ABP maximum principle and applications

    小池 茂昭

    Advanced Studies in Pure Mathematics   64   113 - 124  2015年04月  [査読有り]  [招待有り]

    記事・総説・解説・論説等(国際会議プロシーディングズ)  

  • 粘性解が古典解になる時 -Caffarelliの研究の紹介-

    小池茂昭

    数学   62 ( 3 ) 315 - 328  2010年10月

    記事・総説・解説・論説等(その他)  

  • 粘性解による値関数の特徴づけ

    儀我美一, 小池茂昭

      49 ( 1 ) 2 - 7  2005年

    記事・総説・解説・論説等(その他)  

    DOI

  • 非線形偏微分方程式の粘性解理論(石井仁司氏の業績)

    小池茂昭, 山田直記

    数学   47   20 - 28  1995年

    記事・総説・解説・論説等(その他)  

その他

  • 粘性解の基礎理論の新展開

    2010年04月
     
     

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    Lp粘性解理論の研究

  • 完全非線形方程式の粘性解の基礎理論

    2008年04月
     
     

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    完全非線形方程式のLp粘性解

  • 粘性解生誕25周年国際研究集会

    2007年04月
     
     

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    上記研究集会の開催

  • 粘性解理論とその先端的応用

    2007年04月
     
     

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    粘性解理論の数理ファイナンスへの応用

  • 粘性解の微分可能性と最適制御に関する基礎研究

    2006年04月
     
     

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    粘性解の微分可能性を高めることで最適制御を決定する

  • 粘性解理論とその応用

    2004年04月
     
     

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    粘性解の最適制御理論への応用

  • 粘性解理論による数理ファイナンスの基礎理論

    1998年04月
     
     

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    粘性解理論による数理ファイナンスの基礎理論

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受賞

  • 解析学賞

    2016年09月   日本数学会   完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式のLp粘性解理論  

    受賞者: 小池茂昭

  • JMSJ論文賞

    2010年03月   日本数学会  

    受賞者: 小池茂昭, Andrzej Swiech

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 粘性解理論とその応用

    研究期間:

    1988年04月
    -
    継続中
     

  • 完全非線形方程式の粘性解の正則性理論とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2020年04月
    -
    2025年03月
     

    小池 茂昭, 舘山 翔太, 石井 仁司, 小杉 卓裕

  • 非線形解析学と計算流体力学の協働による乱流の数学的理論の新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(S)

    研究期間:

    2016年05月
    -
    2021年03月
     

    小薗 英雄, 三浦 英之, 久保 英夫, 木村 芳文, 芳松 克則, 前川 泰則, 隠居 良行, 金田 行雄, 小池 茂昭

     概要を見る

    1. 尺度不変な斉次Besov空間における定常Navier-Stokes方程式の解の存在と正則性について
    n次元空間において,与えられた外力$f \in \dot B^{-3+\frac np}_{p, q}$ が十分小さければ,$u \in B^{-1+\frac np}_{p, q}$なる定常Navier-Stokes 方程式の解$u$ が一意的に存在することを証明した.ただし,1 ≦ p < ≦, 1 ≦ q ≦ ∞ である.応用として,定常Navier-Stokes 方程式に対する自己相似解が得られる.証明方法は,斉次Besov 空間$\dot B^s_{p, q}$, s>0 におけるHoelder型Leibnitz 規則と,n/p-s を指標とする埋め込み定理である.尚,鶴見により,仮定 1 ≦p < n かつ s>0 は最良であることが明らかにされた.
    2. Navier-Stoke流の影響下におけるKeller-Segel方程式系に対する時間大域的解の存在及び有限時間爆発の指標
    全平面領域における細胞性粘菌の密度$n$が,速度場 u を持つNavier-Stoke方程式に従う非圧縮性粘性流体の影響下にある場合を記述するKeller-Segel方程式系を,尺度不変な関数空間で考察した.まず,初期値$n_0 \in L^1(R^2)$, $u_0 \in L^2(R^2)$ が十分小さければ,時間大域的な古典解n, uが一意的に存在することを証明した.手法は線形熱半群の L^p-L^q 型評価とその摂動による.更に解が有限時刻で爆発する指標を,u_0 に何ら仮定を課すことなくn_0 のL^1における大きさで表現した.この指標は流体の影響がない場合の$\|n_0\|_{L^1(R^2)}$ の閾値 8π を含むものである.また爆発時刻 T における挙動を考察した.

  • 非標準的な不可逆過程を記述する発展方程式の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

    赤木 剛朗, 梶木屋 龍治, 木村 正人, 岡部 真也, 小池 茂昭

     概要を見る

    拡散現象に代表される不可逆現象は,時間の一方向性や老化現象,物体の破損など我々の生活と密接に関わる重要な現象の要因である.そのような不可逆現象の古典論は前世紀に確立したが,その後古典論の範疇から逸脱する重要な現象か数多く発見され,それらに対応すべく数理解析の研究が行われている.本研究課題では,様々な不可逆現象の記述に現れる新しい数理モデルに対応できる発展方程式論の新たな枠組みを構築した.特に破壊・損傷現象等に現れる強い不可逆性を伴うフェーズフィールド方程式,及び異常拡散等の記述に現れる分数冪ラプラス作用素を伴う非局所発展方程式に関しては基盤となる解析法が確立し,それぞれ系統的な研究を行った.

  • 粘性解の理論と応用の新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

    石井 仁司, 儀我 美一, 三上 敏夫, 小池 茂昭, 三竹 大寿, 小林 和夫

     概要を見る

    1階非線形偏微分方程式、2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式に対する粘性解理論とその応用の研究を進めた。G. D. Gesu氏,T. Lelievre氏, D. L. Peutrec氏, B. Nectoux氏の最近の研究成果に触発され、原点に漸近安定な特異点を持つような移流項を含む楕円型作用素の固有値問題と同じ楕円型作用素を持つ放物型方程式に対する準安定性との関係についてP. E. Souganidis氏と共同研究を行った。I. Birindelli氏、G. Galise氏との共同研究において、完全非線形退化楕円型方程式(短縮ラプラス方程式)に対する固有値問題を考察し、Faber-Krahn型の固有値の領域に関する依存性を調べ、領域としては体積を一定に保った直方体の族を考えて対応した主固有値に注目すると立方体の時に最大となり、ラプラス方程式の場合とは全く逆になるという研究を完成させた。さらに、固有関数の存在と、主固有値を閾値とするような解の存在と一意性に関する研究を、これまでの一様凸領域という仮定を弱めて狭義凸領域上で行い、肯定的な結果を得た。狭義凸領域から凸領域に条件を弱めると否定的な結論に導かれ、従って、狭義凸領域という条件が肯定的結論を得るための必要十分条件であることが分かった。南京大学に於いてQ. Chen氏、W.Cheng氏、K. Zhao氏と共にハミルトン・ヤコビ方程式に対する割引消去問題の一般化について研究を行った。割引消去問題に関して領域が有界でない場合の研究をA. Siconolfi氏と共同研究を進め、得られた成果を論文に纏めている。割引消去問題をハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対して研究し、Minimax定理を応用した方法を使えば、連立系が互いに非線形な結合をする場合に対しても肯定的な結果を得られることが分かった。

  • 偏微分方程式における漸近解析と形状解析の融合と革新

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2020年03月
     

    石毛 和弘, 川上 竜樹, 石渡 通徳, 岡部 真也, 小川 卓克, 小池 茂昭

     概要を見る

    楕円型方程式、放物型方程式の解の形状解析、漸近解析を発展・融合させ、解の冪凹性や爆発現象等の特異現象の解析を行った。さらに、分数冪熱方程式へ適応可能な新しい漸近解析理論の構築等を行った。研究成果の主なものは以下の通り:
    (1) 解の冪凹性 (2) 動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性 (3)非線形拡散方程式の解の初期条件の特徴付け (4) 非線形熱方程式系等の爆発集合の特徴付け (5) ポテンシャル項付き熱方程式の漸近解析とその応用 (6) 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開理論の構築

  • 非線形現象に現れる特異性の幾何学的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2018年03月
     

    泉屋 周一, 大本 亨, 石川 剛郎, 佐治 健太郎, 高橋 雅朋, 寺尾 宏明, 利根川 吉廣, 小野 薫, 梅原 雅串, 小池 茂昭

     概要を見る

    当研究では、ラグランジュ部分多様体芽の間のラグランジュ同値と対応するグラフ型波面のある種の幾何学的同値関係が同じものである事を示した。その結果、ラグランジュ特異点論の様々な応用が見つかった。例えば、古典的微分幾何学への応用、双曲幾何学への応用、時空の幾何学への応用等の他に特異点を持つ曲面や写像の微分幾何学的研究への応用が含まれる。これらとは別に、この研究を通して、特異点論の量子力学への応用が新たに発見され、現在発展中である。

  • 粘性解理論の深化と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

    石井 仁司, 大谷 光春, 長井 英生, 儀我 美一, 小池 茂昭, 三上 敏夫, 三竹 大寿, 山田 直記, 石井 克幸, 市原 直幸, 藤田 安啓

     概要を見る

    ハミルトン・ヤコビ方程式と粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間漸近挙動, 割引消去問題等の偏微分方程式の漸近問題を扱い,粘性解の漸近挙動と一般理論に関する重要な新知見の獲得等の多くの成果を挙げた.また,特異拡散方程式や積分微分方程式について解の存在,一意性等の基礎理論を整備した.ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解を解析し,最小化大偏差確率の時間大域的評価,非完備な市場モデルにおける最適消費・投資問題に対する強検証定理の証明,確率最適輸送問題への研究法の開発等で成果を挙げた.

  • 完全非線形方程式の粘性解の基礎理論と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

    小池 茂昭, 小川 卓克, 石井 克幸, 石井 仁司, 長井 英生, 三上 敏夫, 石毛 和弘, 岡部 真也

     概要を見る

    超線形増大の一階微分項を持つ退化楕円型方程式の非有界粘性解に対する比較原理を得た。アイザックス型微積分方程式の粘性解の表現公式を与えた。一階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式のLp粘性解に対する局所最大値原理を構築した。強圧的一階微分項を持つ微積分方程式の粘性解の正則性と時間大域的挙動を議論した。超線形増大の一階微分項を持つ完全非線形楕円型方程式の全域解の存在と一意性を得た。両側障害物を持つ平均曲率流方程式の粘性解のリプシッツ連続性を示した。

  • 拡散方程式における形状解析と漸近解析における新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

    石毛 和弘, 小薗 英雄, 小川 卓克, 小池 茂昭, 山田 澄生, 柳田 英二, 壁谷 喜継

     概要を見る

    放物型方程式の解の漸近解析及び形状解析の議論を発展させ、ポテンシャル項付き熱方程式の解の最大点挙動を分類し、また、その応用として、対応する熱半群のルベーグ空間における減衰の最適評価を求めた。また、積分核の定数倍のように振舞う非線形放物型方程式の解の高次漸近展開理論の構築を行った。さらに、爆発時間直前の解の形状を調べることによって、半線形熱方程式の爆発集合の位置に研究を行い、特に、解が境界で爆発しないための新しい十分条件を与えた。

  • 非線形現象に現れる幾何学的特異点の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2014年03月
     

    泉屋 周一, 石川 剛郎, 寺尾 宏明, 利根川 吉廣, 大本 亨, 小野 薫, 梅原 雅顕, 小池 茂昭

     概要を見る

    ローレンツ空間形内の空間的部分多様体に対して、「光錐ガウス写像」を導入し光的曲率と言う不変量を構成た。その不変量を用いて、空間的部分多様体に沿った「光的超曲面」の特異点の記述をルジャンドル特異点論を応用することにより行った。さらに、相対性理論やブレーン宇宙論で重要な「世界面」に対して「焦点集合」を記述する幾何学的枠組みを構成し、「グラフ型ルジャンドル開折」の理論を用いて「波面の伝播」との関係を明らかにした。

  • 非線型楕円型方程式の大域理論の比較研究を通じた統一的理解の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2009年04月
    -
    2014年03月
     

    小澤 徹, 小池 茂昭, 田中 和永

     概要を見る

    物理現象を記述するモデル方程式として、場の古典論、流体力学、プラズマ物理をはじめ様々な分野に現れる重要な非線型楕円型偏微分方程式について、今まで個別に用いられることの多かった変分解析、非線型常微分方程式、粘性解理論の手法を総合的に駆使することにより、定在波の安定性や爆発現象を深く説明する方法論を確立し、さまざまな応用を見出した。

  • 平面閉曲線の曲げエネルギーに対する複数の制約条件の下での勾配流の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2010年
    -
    2012年
     

    長澤 壯之, 小池 茂昭, 太田 雅人, 阪本 邦夫

     概要を見る

    平面閉曲線の曲げエネルギーに閉曲線の長さと閉曲線が囲む面積を指定した変分問題は、Helfrich変分問題と呼ばれる。この変分問題は、次元の高い曲面や超曲面でも考えられる。対応する勾配流(Helfruch流)の挙動を解析する。一般次元のHelfrich流の存在を示し、一意性についても議論した。また、Helfrich流の挙動の解析に有益であると考えられる一般化された回転超曲面の大域的存在についても新しい事実を証明した。

  • 非線形発展方程式及びその周辺分野の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2009年
    -
    2012年
     

    大谷 光春, 山田 義雄, 田中 和永, 西原 健二, 石井 仁司, 小澤 徹, 小川 卓克, 剣持 信幸, 小池 茂昭, 坂口 茂, 鈴木 貴, 林 仲夫, 井戸川 知之, 石渡 通徳, 赤木 剛朗

     概要を見る

    物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

  • 数理ファイナンスにおける確率制御・フィルタリングの方法の発展と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2008年
    -
    2012年
     

    長井 英生, コハツヒガ アルツーロ, 関根 順, 宮原 孝夫, 小池 茂昭, 石井 仁司, 畑 宏明, 会田 茂樹, 永幡 幸生, 田村 隆志, 貝瀬 秀裕

     概要を見る

    数理ファイナンスの分野における期待効用最大化に関連したポートフォリオ最適化問題や、デリバティブの価値評価に関わる問題を、一般的な市場モデルにおける確率制御問題として考察し、フィルタリング理論や動的計画原理に基づく解析を展開した。特に、ダウンサイドリスク最小化問題を新たな視点で考察した大偏差確率制御問題に関して、双対性定理等の著しい成果を得た。

  • 非線形波動方程式系の孤立波解の安定性解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2009年
    -
    2011年
     

    太田 雅人, 小池 茂昭, 長澤 壯之, 町原 秀二

     概要を見る

    非線形シュレディンガー方程式の定在波解の不安定性に関する標準理論の改良を行った。特に、安定性と不安定性の境目にあたる場合の不安定性に関する新しい結果を証明した。また、その抽象理論をプラズマ中のラマン増幅現象に関連した非線形シュレディンガー方程式系に適用した。さらに、一般的な条件の下で、線形不安定性から非線形不安定性が導かれることを証明した。

  • 完全非線形方程式の粘性解理論とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2008年
    -
    2010年
     

    小池 茂昭, 石井 仁司, 三上 敏夫, 石井 克幸, 長井 英生, 森本 宏明

     概要を見る

    完全非線形2階楕円型偏微分方程式の粘性解の基礎理論を研究した。一様楕円型方程式が1階微分項に非有界係数がある場合に、Lp粘性解に対し、弱ハルナック不等式が成立することが証明された。その応用として、強最大値原理、非有界領域での最大値原理、Phragmen-Lindelof定理など、Lp粘性解の定性的性質が示された。
    また、退化楕円型方程式が1階微分項に関して一次以上の増大度がある場合に、粘性解が属する適切な関数空間を設定し、その下で粘性解の比較原理を証明した。

  • 確率最小作用の原理とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2007年
    -
    2010年
     

    三上 敏夫, 竹田 雅好, 小池 茂昭, 貝瀬 秀裕, 竹田 雅好, 小池 茂昭, 貝瀬 秀裕

     概要を見る

    最大従属確率変数列の列の結合分布関数の最大値と最大解,その応用を与えた.Knothe-Rozenblatt Rearrangement (KRR)の一般化とその確率過程版Knothe-Rozenblatt proces (KRP)を定義し, それらの存在, 一意性, 双対定理,微小パラメタを持ったある種の変分問題の最小解の極限としての特徴付けを与えた.KRPの確率流のランダムな確率密度関数の表現定理を与えた. このランダムな確率密度関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均が凸性を持つことを示した

  • 微分方程式の粘性解理論とその応用の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(A)

    研究期間:

    2006年
    -
    2009年
     

    石井 仁司, 小林 和夫, 大谷 光春, 儀我 美一, 長井 英生, 小池 茂昭, 三上 敏夫, 山田 直記, 後藤 俊一, 石井 克幸, 藤田 安啓, 大沼 正樹

     概要を見る

    微分方程式の粘性解理論とその応用の研究に関して、境界値問題の粘性解、弱KAM理論、粘性解の正則性、最適化問題、微分方程式の種々の漸近問題、曲率流や界面の時間発展、質量輸送の問題、工学・経済の問題を研究した。本研究組織のこれまでの研究の蓄積の上に、個々の課題に対して多くの新しい知見を得ることが出来た。特に、弱KAM理論におけるオーブリ集合の研究とその漸近問題への応用での貢献は大きい。

  • 半整数の重さのモジュラ形式及びジーゲルモジュラ形式の数論的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    小嶋 久祉, 酒井 文雄, 水谷 忠良, 阪本 邦夫, 小池 茂昭, 福井 敏純, 長澤 壯之, 太田 雅人, 下川 航也, 海老 原円, 酒井 文雄, 水谷 忠良, 阪本 邦夫, 小池 茂昭, 福井 敏純, 長澤 壯之

     概要を見る

    第一にある線形群のSU(2, 1)上の保形式の空間の表現の跡を具体的に決定した。第二に楕円モジュラ形式からヒルベルトモジュラ形式の持ち上げの内積の比の代数性を証明した。第三にマース波動形式fから次数2n+1のジーゲルモジュラ形式Fの持ち上げを構成し、Fの標準的ゼータ関数をfの標準的ゼータ関数で表示した

  • 非線形波動方程式の孤立波解の安定性と解の爆発に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2006年
    -
    2008年
     

    太田 雅人, 小池 茂昭, 長澤 壯之, 町原 秀二, 小池 茂昭, 長澤 壯之, 町原 秀二

     概要を見る

    消散項をもつ非線形シュレディンガー方程式の爆発問題に関して、テネシー大学のGrozdena Todorova 氏と共同研究を行った。また、湯川型相互作用をもつ空間3次元のクライン・ゴルドン・シュレディンガー方程式系の定在波解の安定性について、菊池弘明氏と共同研究を行った。さらに、3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系の孤立波解の安定性に関して、ボルドー大学の Mathieu Colin 氏、Thierry Colin氏と共同研究を行った

  • 群同変性を用いた幾何学的発展方程式の解の安定性の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2005年
    -
    2007年
     

    長澤 壯之, 小池 茂昭, 太田 雅人, 阪本 邦夫, 高坂 良史, 立川 篤

     概要を見る

    本研究では、幾何学的発展方程式として、曲面や曲線の族に定義される汎関数に対する制約条件付勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面の形状は、何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って、勾配流の収束先は、エネルギー的に安定なものであると考えられる。
    長澤と高坂は、汎関数として曲面に対するウィルモア汎関数に、曲面の面積と曲面が囲む領域の堆積を指定した制限付極値問題(ヘルフリッヒ変分問題)に対する勾配流をラグランジュの未定乗数は未知の定数として、構成した。球面の近傍の中心多様鯛について解析した。定常解については、球面からの分岐解についてモード2,4,6,8のものを求めた。分岐方程式を群同変性を用いて変形するが、群同変性分岐理論におけるequivariant branching lemmaは用いていない。従って、同lemmaでは得られない解の存在も示す事が出来た。また長澤は、曲面に対するヘルフリッヒ変分問題の勾配流も考察した。こちらは、特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え、近似パラメータに関する一様有界性を示し、更に、その特異極限の存在を証明した。
    勾配流方程式は、偏微分方程式の分類でいえば、放物型になる事が多い。小池は、非線形放物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し、論文として公表した。太田は、双曲型偏微分方程式で記述される発展方程式の解の安定性について研究し、論文として公表した。阪本は、CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い、CR幾何に適したEinstein性を定義し、その性質を調べた。高坂は、境界条件を伴う表面拡散方程式の定常解の非線型安定性を調べ、論文に著した。掲載は決定済みである。幾何学の変分問題の解は、非線形方程式の弱解であるが、その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は、不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究した。

  • 期待効用最大化問題と確率制御

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2004年
    -
    2007年
     

    長井 英生, ARTURO Kohatsu-Higa, 小谷 真一, 松本 裕行, 石井 仁司, 小池 茂昭, 森本 宏明, 関根 順

     概要を見る

    ・無限時間範囲べき型期待効用最大化問題を、取引費用透考慮に入れて考察した。対応する、"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式を導いた。"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式の解は、ある関数と定数の組からなるが、その関数を用いて最適戦略の構成を行い、また、その定数が最適値を与えることを示した
    ・インサイダ取引のモデルに対して均衡価格の問題を研究した。また、作ったモデルでインサイダは株価格に影響しても安定な均衡価格が存在する事を証明した。
    ・ハミルトン・ヤコビ方程式の解の時間無限大における振舞いについて研究し,一般次元ユークリッド空間上において漸近解への収束することを比較的一般な仮定の下で証明した.
    ・半連続$L^p$粘性解の概念を導入し、修正版Perronの方法による$L^p$粘性解の存在を示した。また、方程式が一様楕円性を持つ時、この粘性解がヘルダー連続になることを示した。
    ・数理ファイナンスに現れるobstacle問題の粘性解の微分可能性を高めることで、フィードバック最適制御を構成した。
    ・非完備な市場モデルである線形ガウス型市場モデルを取り上げ、資産増加率が予め定めた値を超えない確率(ダウンサイドリスク)、を最小化する問題を考察し、その時間大域的挙動が、リスク鋭感的ポートフォリオ最大化問題の双対として特徴付けられることを示した。

  • 完全非線形方程式の粘性解理論とその新たな発展に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2004年
    -
    2007年
     

    小池 茂昭, 森本 宏明, 石井 仁司, 長井 英生, 三上 敏夫, 石井 克幸

     概要を見る

    Swiechとの共同研究で、完全非線形2階楕円型・放物型方程式が1階微分に関して1次以上の増大度があり、非有界係数・非斉次項のある場合に、ABP型最大値原理が成立する条件を与えた。また、一般には成立しない反例を与えた。そのため、"逐次比較関数法"を最初に導入した。ここでは、最大値評価の係数や非斉次項に関する依存性も詳しく解析した。特に放物型方程式の場合は1階微分に関し1次以上の増大度があっても、係数が有界であれば、ABP型最大値原理が無条件で成立していることが証明され、楕円型方程式との明確な相違点を明らかにした。
    L^p粘性解においては、通常の粘性解における強力な存在定理であるペロンの方法を最初に適用した。そのため、半連続L^p粘性解を初めて導入した。更に、危険鋭敏的最適制御に現われる偏微分方程式の強解の存在を示した。
    分担者・森本および、森本・坂口茂(愛媛大学)との共同研究では、数理ファイナンスに現われる幾つかの最適停止時刻問題に関して、近似方程式の粘性解の微分可能性を高めることによって、最適ポリシーを構成した。

  • 写像の特異点の幾何学II

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2003年
    -
    2006年
     

    福井 敏純, 小池 敏司, 泉 脩臓, 酒井 文雄, 永谷 忠良, 小池 茂昭, 下川 航也, 矢野 環

     概要を見る

    ジェット空間内のThom-Bordman多様体$Sigma^{i,j}$(のザリスキ閉包)に着目し,それらがいつCohen-Macaulay性(と呼ばれる代数的に良い性質,代数的交点数を考える立場からはCohen-Macaulay性であるか否かを決定するのは重要な問題である)を持ち得るかを議論した。またRonga氏による特異点解消を考察することにより$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡に台をもつ複体を構成している。これは写像芽$(C^n,0)to(C^2.0)$の微小摂動に現れるカスプ($A_2$特異点)の個数にかかわるもので,特に,ジェット空間内の丁度$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡(の閉包)で零となる式を明示的に記述できる,n=2,3,4の場合は、カスプの個数の公式の明示的形を与えている。(次ページ最初の論文)
    次に特異点論的問題意識から、古典的な微分幾何学とそこから派生する微分方程式を論じている。
    前節で問題となった、Thom-Boardman特異点集合の解析が鍵の役割を果たす。ユークリッド空間の部分多様体の、平坦さや丸さを、それら特異点の言葉を用いて定義し、より平坦な(または丸い)点での指数を定義している。さらに主方向の微分方程式の特異点論的立場からの導出や、R^3内の特異点を持つ場合の曲面の指数の計算可能性などを示しLowner予想の類似(階数1のときは指数は1以下と予想)を提出している。また、曲率線の微分方程式の一般化として2変数の微分方程式を捉え、総実と言う概念を定義しその指数とその性質、孤立特異点の分類、等を論じた。(次ページ第3の論文)
    関数を別の関数のレベル曲面に制限したときその関数の振舞を記述するのは興味ある問題であるが、前者の関数のレベルが平行化可能であれば、平行化を与えるベクトル場を使って、自然にある写像が定義でき、その写像度が正点軌跡と負点軌跡のオイラー標数の差であることを示している。この文脈では、いつ関数のレベル曲面が平行化可能であるか、またそのとき平行化を与えるベクトル場を具体的に与える事が重要であるが、前者の問題には必要十分条件を、後者の問題には、複素構造、4元数構造、ケーリー構造との関連等を論じた。(次ページ第4の論文)
    その他、弧解析的写像に関する逆写像定理(次ページ第2の論文)、ブロー解析的写像の理論の進展(次ページ第6の論文)などの成果がある。

  • 半整数の重さのモジュラ形式及びジーゲルモジュラ形式のフーリエ係数の数論的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2004年
    -
    2005年
     

    小嶋 久祉, 竹内 喜佐雄, 酒井 文雄, 水谷 忠良, 阪本 邦夫, 岸本 崇, 小池 茂昭, 押切 源一, 川田 浩一, 沼田 稔, 小宮山 晴夫, 宮井 秋男

     概要を見る

    我々の研究は次の2点に要約できる。第1の研究について説明する。池田氏は,楕円モジユラ形式のHecke固有関数fからHecke固有関数になる次数2nのSiegelモジュラ形式Fを構成することに成功した。一方,W.Kohnenは,池田持ち上げをKohnen空間SからSiegelモジュラ形式の空間S(2n)への線形写像I(k,n)の形で再定式化し,次数2nのSiegelモジュラ形式のMaass空間M(2n)の定義をSiegelモジュラ形式のFourier係数の間のある種の線形な関係式として与えた。彼はまた同時に,池田持ち上げの像I(k,n)(S)がM(2n)と一致するというKohnen予想を提出した。斎藤-黒川持ち上げ及びMaass空間を一般の次数のSiegelモジュラ形式に拡張することは,従来より,Siegelモジュラ形式の持ち上げの研究の中で中心的な懸案の課題であつた。一般的に保型形式の持ち上げ理論においては,構成と共にその核と像に特徴付けを与えることが重要な課題である。
    私はW.Kohnen氏との共同研究で,池田持ち上げの像I(k,n)(S)はMaass空間M(2n)と一致することを証明し,Kohnenの予想を肯定的に解決した。論文はCompositio Math.に出版された。
    第2に我々は,一般代数体上の半整数の重さのモジュラ形式fから偶数の重さのモジュラ形式Fへの志村対応Pを,テータ級数を核とする積分作用素で表示した。また像F=P(f)のフーリエ係数を,fのフーリエ係数を用いて具体的に求めた。一般代数体上の半整数の重さのモジュラ形式fの平方因子が無い整数におけるFourier係数の平方を,fの志村対応による像F=P(f)に付随するゼータ関数の特殊値を用いて,具体的に表示した。

  • 粘性解の理論と応用の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2003年
    -
    2005年
     

    石井 仁司, 儀我 美一, 小池 茂昭, 長井 英生, 石井 克幸, 三上 敏夫

     概要を見る

    主要な結果を列挙する.適正粘性解の定義と関連して,1階偏微分方程式の解を等高面法アプローチにおいて垂直方向の特異拡散が有用であることを提唱し,この方法の基礎を確立した.
    大値原理の研究では,極小曲面方程式を含むような完全非線形楕円型方程式の粘性解に対する強比較原理を確立した.Lp粘性解に対して最大値の原理が成立しない例を構成するとともに,これを排除するような適切な条件下で最大値原理・ヘルダー連続性・ディリクレ問題の可解性を得た.磨耗過程の数学的モデルとして,凸化ガウス曲率流を提唱し,その一般化である非左方的凸化ガウス曲率流を等高面法により定式化し,その偏微分方程式の粘性解の存在と一意性を示した.非等方的凸化ガウス曲率流の確率近似モデルを提唱し,その確率収束を示した.糸晶の形が円柱の場合に,ベルグ効果の発現を数学的に証明した.BMOアルゴリズムについて,収束の新証明と収束の速さについて最良評価を導いた.異方的平均曲率流をうすい膜の中で考え,膜の厚さをゼロとした時の極限の存在とその特徴づけを行った.オルンシュタイン・ウーレンベック作用素を持つ半線形放物型方程式の解の時間無限大での漸近解への収束を証明した.一様楕円型方程式の周期均質化において楕円性の消滅と均質化が同時に起こる状況の解析に成功した.調和経路過程のゼロ雑音極限の存在と一意性を示し,コスト関数が2次関数の場合のモンジュ・カントロビッチ問題の解の存在と一意性を示した.数理ファイナンスに関して,有界な制御を持つ最適停止時刻問題の最適ポリシーの構成,ファクターモデルと呼ばれる市場モデルの期待効用最大化問題の最適戦略の構成,部分情報下で期待効用最大化問題の最適戦略に対する必要条件の導出を行った.p-ラプラス方程式のpを無限大にする極限での,比較的一般的な状況における,解の漸近挙動を解析した.

  • 超曲面に対する幾何学的発展方程式に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2003年
    -
    2004年
     

    長澤 壯之, 小池 茂昭, 阪本 邦夫, 高木 泉, 柳田 英二, 立川 篤

     概要を見る

    本研究では、超曲面の族に定義される汎関数に対する勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。問題を解析するにあたっては、汎関数の性質の解析が欠かせない。
    ウィルモア汎関数に、超曲面の面積とそれが囲む領域の体積の指定した制限付極値問題は、赤血球の形状を決定するモデルの一つで、ヘルフリッヒ変分問題と呼ばれる。対応する勾配流をヘルフリッヒ流という。簡単な計算で球面が定常解になる事が分かる。長澤と高坂は、ヘルフリッヒ流に関して、1.任意の初期曲面に対する時間局所解の存在と一意性、2.球面に近い初期曲面に対する時間大域解の存在、3.球面近傍の中心多様体の存在と次元の評価、の結果を得て、論文にまとめ投稿した。長澤と高木は球面からの分岐解の研究を行った。本研究以前に、軸対称分岐解の存在とその安定性について結果を既に得ていた。非軸対称分岐解の存在の有無を調べるための既約分岐方程式を導いた。さらに、その標準形を決定し、モードが2または4の場合の既約分岐方程式の解をすべて決定した。これらを摂動することで分岐方程式の解が構成できる。
    阪本は、多様体の埋め込みから決まる法曲率テンソルの二乗積分で定義される汎関数の変分公式を導き、その停留点の構造を調べた。ウィルモア汎関数はその特別な場合である。柳田は、3種の物質の相境界を記述する曲線が満たす幾何学流を考察し、その定常解の安定性の判定条件を見出した。立川は、幾何学的変分問題から導かれる方程式の弱解の研究を行い、特に、フィンスラー多様体への調和写像の正則性に関する結果を得た。小池と有澤は、幾何学的発展方程式の粘性解による取り扱いについて検討した。太田・下川は解の爆発の研究を行った。

  • リスク鋭感的確率制御のベルマン方程式とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2001年
    -
    2003年
     

    長井 英生, 小池 茂昭, 関根 順, 會田 茂樹, 舟木 直久, 石井 仁司, 藤田 安啓, 竹田 雅好

     概要を見る

    1.線形ガウス型ファクターモデルおよび一般的なファクターモデルのリスク鋭感的ポートフォリオ最適化問題について、無限時間範囲の場合の問題を考察した。エルゴード型ベルマン方程式の解の存在を示し、その解から最適戦略を明示的に構成する結果を得た。線形線形ガウス型ファクターモデルの場合には証券価格の過去の情報のみを用いる部分情報の場合についても、最適戦略を明示的に構成する結果を得た。
    2.証券価格の過去の情報のみを用いてポートフォリオを構成する部分情報下の問題に関して、有限時間範囲の場合に最適戦略の満たすべき必要条件を逆向き確率偏微分方程式を用いて最大値原理の形で求めた。
    3.同じく部分情報下の問題で、条件付ガウス型の場合に係数が退化したベルマン方程式の解により最適戦略が明示的に構成できることを示した。
    4.Wiener空間上のシュレーディンガー作用素の最低固有値の準古典的振舞が有限次元のときと同様にとらえられることを示した。同様なアイデアを用いることにより、リーマン多様体上の(Pinnedされない)道の空間上の作用素の最低固有値についても荒い下からの評価が成立することを示した。また、リー群上のpinnedされた道の空間上での準古典的極限を考えることにより、奇数次元の調和形式の消滅が示唆されることを示した。
    5.曲率が遠方で十分早く減衰するようなリーマン多様体上で熱核の対数微分の評価を研究し、道の空間上で対数ソボレフ不等式を示した。また、Brownian rough pathと弱ポアンカレ不等式の関連を研究した。
    6.数理ファイナンスに於ける最適化問題:指数ヘッジ問題について研究した。特に小さなパラメータεが存在している状況で後退確率微分方程式のパラメータに関する漸近展開を計算し、最適解/制御の漸近展開式を得た。
    7.数理ファイナンスに現れる幾つかの非線形偏微分方程式の解の微分可能性を高める事によって最適制御(ポートフォリオ)を構成した。
    8.数理ファイナンスにおける最適化問題を凸双対法を用いて解くことに興味を持ち、部分情報下への適用、ポートフォリオデルタに制限を加えた中での優複製法などの研究を行ない、既存の結果を拡張した。
    9.位相的に同値な汎関数の最小化問題の最小元の特異極限の満たすオイラー方程式を導き、粘性解の存在と一意性を得た。また、一階微分に関してsuperlinearな増大度を持った完全非線形一様楕円型方程式のL_p粘性解のヘルダー連続評価を得た。
    10.壁上の界面モデルの流体力学極限を論じ,発展的変分不等式を導出した。またピンニングのある界面モデルの平衡系に対し大偏差原理を示すことによりAlt-Caffarelliの変分問題を導いた。

  • 微分方程式の粘性解とその応用の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    2000年
    -
    2002年
     

    石井 仁司, 酒井 良, 望月 清, 儀我 美一, 石井 克幸, 小池 茂昭

     概要を見る

    本研究により,次のような成果を得た.(1)海岸で波に洗われる石の磨耗の数学的モデルとして,1974年にW.Fireyはガウス曲率流を提唱した.これを一般化して石が凸でない場合を考え,その磨耗のモデルとして非局所的ガウス曲率流(凸化ガウス曲率流)を導入し,この凸化ガウス曲率流に対する等高面法を確立した.(2)この凸化ガウス曲率流に対する弱解を定義し,その一意性を証明し,さらにその存在を離散確率近似により証明した.(3)確率制御における状態拘束問題を研究し,これまでに知られていた条件に較べてより自然でかつ弱い仮定のもとで,その値関数のリプシッツ連続性,ヘルダー連続性,値関数が対応するベルマン方程式の粘性解であること,この方程式の状態拘束問題の粘性解が一意に存在することを証明した.(3)バーガース方程式に代表される解がショック現象を起こす1階の偏微分方程式に対して,適正粘性解の概念を導入し,発散型とは限らない1階の方程式の大域的な不連続解の一意存在を確立し,さらに粘性消滅法による近似解のグラフのハウスドルフ距離における適正粘性解への収束を確立した.(4)解の勾配に関しての増大度が2次であるような一様楕円型方程式のL^P粘性解に対するヘルダー連続性評価を,L^∞評価成立の仮定の下で,証明した.(5)Capillary型の境界条件の下での平均曲率流に対する等高面法において現れる特異放物型偏微分方程式とその一般化に対する粘性解の比較定理を確立し,粘性解の一意存在とCapillary型境界条件下での平均曲率流の一意存在を確立した.(6)積分項を持つハミルトン・ヤコビ方程式に対して,積分論における単調関数族の議論により,方程式がボレル可測関数で与えられる場合に粘性解の存在を示し,一般的な粘性解の存在定理を確立した.

  • 最適制御・微分ゲームの粘性解理論による研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2000年
    -
    2002年
     

    小池 茂昭, 新居 俊作, 桜井 力, 辻岡 邦夫, 石井 仁司

     概要を見る

    (1)Dirichlet型の境界条件と状態拘束型の境界条件の同値性を宗すことで、最短到達時刻問題の値関数(value function)の一意的な特徴づけ、及び解の表現公式を与えた。また、半連続粘性解と動的計画原理の同値性を初めて証明した。
    (2)典型的な微分ゲーム「追跡・逃避」問題の状態拘束問題を定式化し、値関数の一意的な特徴づけを行った。また、時間離散近似した値関数の収束性を導いた。
    (3)状態拘束問題において、(半離散近似を用いず)Hamilton-Jacobi方程式自体から直接、近似最適制御を初めて構成した。
    (4)1階微分に関して一次以上の増大度を持った完全非線形二階一様楕円型方程式で、係数や非斉次項に不連続性がある場合を研究した。増大度が2次未満の場合、Holder連続性は、Alexandrov-Bakelman-Pucciの(ABPと略す)最大値原理とCaffarelliの方法による、Harnackの不等式が成立することを示した。二次の増大度を持つ場合、ABP最大値原理が成立しない例を構成し、一方、ABP最大値原理が成立するための十分条件を導き、その条件下でL^p-粘性解のDirichlet境界値問題の存在を示した。
    (5)様々な位相同値なエネルギーから導かれる異なるタイプのP-ラプラシアンを含む方程式の完全不連続な極限方程式を粘性解で特徴付けた。
    (6)数理ファイナンスに現れる、障害(obstacle)問題の解の二階微分が局所有界であることを示し、一次元の場合の伊藤の公式を用いて最適ポリシーを構成した。

  • オイラー・ベルヌイ方程式の最適制御理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2000年
    -
    2002年
     

    辻岡 邦夫, 小池 茂昭, 長瀬 正義, 矢野 環, 櫻井 力

     概要を見る

    (1)平成12年度研究代表者は、オイラー・ベルヌイ梁で繋がれたシステムをその繋ぎ目で制御する問題を研究した。可制性問題はヒルベルト問題におけるモーメント問題に帰着される。この方法をモーメント問題法という。研究代表者の究極の問題はいくつかの繋がれたシステムの可制御性にあるが、対応するモーメント問題法は、複雑であり、問題の解決に有効ではない。平成13年度および平成14年度には、特異境界条件付きは発展方程式の可制御に方向を転じた。発展方程式における境界条件が特異であるとは、空間方向の微分の階数が該当方程式の同方向の微分階数に等しいことをいう。研究代表者は、十数年来、特異境界条件つき、オイラー・ペルヌイおよび波動方程式の可制御性を研究してきた。ここでいう可制御性問題とは、次のような集合Гを特徴付片ることである。すなわち、Гから出発した任意の解が、制御関数を適当に選ぶことにより、与えられた時刻に、与えられた、状態に、到達させ得るかという問題である。この結果は、修士課程学生鄭仁芬の修士論文として、提出した。さらに一般化した後、学術誌に発表す
    (2)波動方程式およびオイラー・ベルヌイ方程式はいずれも発展方程式であり、時間方向の係数作用素係はそれぞれ2階および4階微分作用素である。この作用素の固有値の漸近分布の性質により、可制御性は波動方程式の場合は素の可制御性に応用することが出来る。波動およびオイラー・ベルヌイ方程式はいずれも時間発展方程式と考えられ、係数作用素はそれぞれ、2階および4階微分作用素となる、この作用素の固有値分布の性質より、可制御性は波動方程式の場合は、時間に依存し、オイラー・ベルヌイ方程式の場合は、時間に依存しない。物理学的には、波動の有限伝播速度と関係がある。
    3)研究分担者小池は数理ファイナンスに現れるいくつかの最適停止時間について、その解を研究し、最適ポリシーを特徴付けた。

  • 偏微分方程式の解の構造

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1999年
    -
    2000年
     

    櫻井 力, 福井 敏純, 小池 成昭, 矢野 環

     概要を見る

    (1)代表者:櫻井は流体の自由表面問題の漸近解析をテーマとして以下の研究を行った.完全琉体の微小振幅波に対する線形化方程式の解は平面波解e^<i(κ・x+W(κ)t)>の重畳で表すことかできるが,分散性があるために波面の形状は初期波形に含まれる波長成分により全く異なった時間発展を見せる.W"(κ)≠Oにおける漸近形は停留位相の方法で求められることが知られているが,W"(κ)=0なる波長成分に対してはAiry関数を用いた漸近形で表せることを証明した.
    (2)分担者:小池は状態拘束制御問題において,近似最適制御の構成を行った.従来,状態拘束制御問題では,対応する値関数がみたすHamilton-Jacobi方程式と境界条件を決定し,粘性解としての一意性を示す研究が行われていた.ここでは,制御問題としてより重要なフィードバック最適制御に対応するHamilton-Jacobi方程式から直接導いた.
    方法には,領域近似による収束性・inf-軟化子による粘性解の近似・super-diffrentialの単調性分式等,粘性解理論の洗練された技巧が用いられている.
    (3)分担者:福井はn次元ユークリッド空間内の曲線について変曲点の一般化としてflattening pointsの概念,及び頂点の一般化としてのrounding pointsの概念を定義し,基本的な性質を解明した.また,それらの指数の概念を定義し,立体射影で指数が変化しないことも示した.

  • 粘性解の理論と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

    石井 仁司, 冨田 義人, 儀我 美一, 望月 清, 石井 克幸, 小池 茂昭

     概要を見る

    次のような研究成果をあげた。1.最適制御における状態拘束問題に対して、対応するハミルトン・ヤコビ方程式の必ずしも滑らかでない粘性解からフィードバック型の最適制御を構成する問題を考え、近似的最適制御であれば構成できることを証明した。その構成法も与えた。2.BarronとJensenによる半連続粘性解の一意存在定理は最適制御における値関数の特徴づけに、値関数が半連続である場合に基本的であるが、無限次元ヒルベルト空間上での半連続粘性解の一意存在定理を確立した。3.エルゴード制御はそれ自身重要であるが、ハミルトン・ヤコビ方程式の均質化にも関連している。ハミルトン・ヤコビ方程式に対するエルゴード問題を考察し、ある種の値関数を導入し、この関数を通して解の存在の特徴づけを行った。4.凸性のない一階のハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題に関して半連続な初期値に対して時間大域的に一意に解ける解の概念を導入し、従来の解との比較を行った。5.リスク鋭感的確率制御のベルマン方程式の可解性、一意性、解の滑らかさ、を調べ、粘性解の方法を用いて、その特異極限と微分ゲームとの関連を考察した。6.凸体のガウス曲率流は、岩石の磨耗のモデルとして現れる。このガウス曲率流のある幾何学的近似法を提唱し、その収束を証明した。7.制御された確率微分方程式の解の与えられた集合に対する不変性と対応するハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の粘性解のその集合への制限可能性との同値性を証明した。8.ガウス曲率流に関して、平坦部分の待ち時間を研究し、初期曲面の一点において二つの主曲率が0であれば、その点待ち時間は正であることを証明した。さらに、初期曲面が滑らかであっても、平坦部分を持つならばそのガウス曲率流はC^2級ではなくなることを証明した。

  • 粘性解理論の最適制御・微分ゲームへの応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1997年
    -
    1999年
     

    小池 茂昭, 新居 俊作, 福井 敏純, 桜井 力, 辻岡 邦夫, 石井 仁司

     概要を見る

    (1)状態拘束制御問題において、近似最適制御の構成を行った。
    従来、状態拘束制御問題では、対応する値関数(value functio)が満たすHamilton-Jacobi方程式と境界条件を決定し、粘性解としての一意性を研究が主に行われていた。ここでは、制御問題として、より重要なフィードバック(近似)最適制御を対応するHamilon-Jacobi方程式から直接的に導いた。
    方法は、領域近似による収束性・inf一軟化子による粘性解の近似・super-differentialの単調性公式等、粘性解理論の洗練された技巧を駆使して行われた。
    (2)非発散型完全非線形二階一様楕円型偏微分方程式が1次以上の増大度を持つときの粘性解の(a)比較定理・(b)局所Holder連続性を示した。
    (a)係数に関して連続性を仮定しないとき、一般には比較原理は成り立たないが、比較原理が成り立つような自然な十分条件を与えた。これは、Caffarelli,Crandall,Kocan Swiechの最近の結果の拡張である。方法は、二種類の近似とArea公式の巧妙な利用による。
    (b)同じく、1次以上の増大度が比較的小さい場合に、粘性解の局所Holder連続性を示した。これは、caffarelliの結果の拡張である。方法は、Alexandroff-Bakelman-Pucciの最大値原理の改良・古典優解の精密な構成・立方体分割法を改良して「爆発論法」が適用できるようにして行う。

  • ゼータ関数の極の研究とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1996年
    -
    1997年
     

    矢野 環, 福井 敏純, 奥村 正文, 佐藤 孝和, 長瀬 正義, 酒井 文雄, 小池 茂昭

     概要を見る

    既約正則概均質ベクトル空間は分類されており、その多くについてはp進ゼータ関数が決定されている。この決定されていない物として、SL(5)xGL(4)というタイプがある。ゼータ関数の研究の下準備として、このタイプの詳しい研究を行い、結果を発表した。さらに続編が予定されている。また、此の空間のp進ゼータ関数については、分母の幾つかの因子を決定してあるが完全な決定には至っていない。今後の課題としたい。
    また、ゼータ関数はまた代数曲線に関しても定義されている。これに関しても分担者酒井によって研究が進められたが。
    また、幾何学的側面は長瀬によってSpin構造の研究がおこなわれ、そ3の成果を発表した。
    さらに、特異点の方面からの成果は福井によってもたらされた。

  • 偏微分方程式の局所および大域解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    1996年
     
     
     

    櫻井 力, 柳井 久江, 福井 敏純, 小池 茂昭, 奥村 正文, 辻岡 邦夫

     概要を見る

    (1)研究代表者櫻井はSymplecticな特性集合を持つ偏微分方程式の超局所的性質について研究を行なった.Symplecticな特性集合を持つ作用素をHeisenberg群にモデル化し,その上の調和解析の理論を構築することにより方程式の解が持つ特異性について詳細に調べた.具体的には,Sub-elliptic条件をみたす不変作用素のParametricを(1/2,1/2)タイプの擬微分作用素として実現し,そののち,Sub-elliptic条件を満たさない作用素に対して摂動論を展開した.この研究は“Analytic hypoellipticity and local solvability for a class of pseudo-differential operators with symplectic characteristics" (Bnach Center Publications,33,1996,315-335)にまとめられている.
    (2)分担者奥村は主に複素射影空間のある種のCR-部分多様体の上でラプラシアンの固有値とスカラー曲率との関係について研究し,Y.W.Choe-M.Okumura:Scalar curvature of a certain CR-submamifold of complex projective space (to appear in Arkev der Math.)に発表した.
    (3)分担者小池は決定論的な状態拘束条件下での効用関数の,対応する一階Bellman方程式の境界条件を特徴付け,その下で効用関数が一意的な粘性解であることを示した.(A new formulation of state constraint problems for first-order PDEs,SAIM J.,34(1996))
    また,制御集合が状態に依存する場合のBellman方程式の解の一意性のための十分条件を示し,その条件が満たされない場合の例をあげた.

  • 代数多様体の双有理幾何に関する総合研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)

    研究期間:

    1995年
    -
    1996年
     

    酒井 文雄, 江頭 信二, 小池 茂昭, 水谷 忠良, 竹内 喜佐雄, 奥村 正文, 長瀬 正義, 矢野 環

     概要を見る

    (1)研究代表者酒井文雄は射影平面の巡回被覆の第1ベッチ数に関するザリスキーの定理を代数曲面の巡回被覆で被覆次数が素数べきで、分岐曲線が可約の場合に拡張した。また、奇数次の平面曲線で単純特異点のみを持つものの総ミルナ-数の評価を改良する結果を得た。
    (2)研究分担者奥村正文は複素射影空間に埋め込まれたCR次元(n-1)/2のCR-部分多様体のスカラー曲率について調べ、この部分多様体が奇数次元の球2個の直積のS商多様体であるための十分条件をスカラー曲率に関する不等式で与えた。
    (3)研究分担者竹内喜佐雄はモジュラー群SL_2(Z)の部分群Γで符号(o;e_1,e_2,e_3)を持つものをすべて分類し、各Γに対して、その標準生成系を具体的に行列の形で与えた。
    (4)研究分担者小池茂昭は制御集合が状態に依存する場合のBellman方程式の解の意性のための充分条件を示し、その条件が満たされない場合の反例を挙げた。また、退化した係数を持ったHamilton-Jacobi方程式の半連続粘性解の-意性と表現定理を示した。
    (5)研究分担者江頭信二はコンパクト多様体上のC^2級余次元1葉層の拡大度は典型的な増大度しか取らないこと、およびそれは葉のレベルと弾性葉の存在性によって分類されることを示した。

  • 粘性解とその応用に関する共同研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 国際学術研究

    研究期間:

    1995年
     
     
     

    石井 仁司, LIONS P.L., SONER M.H., SOUGANIDIS P, CRANDALL M.G, EVANS L.C., 小池 茂昭, 儀我 美一

     概要を見る

    1階非線形偏微分方程式,2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の粘性解について,存在,一意性,基本性質およびその応用について研究した.特に,曲面の時間発展に関するレベルセット・アプローチ,決定系の制御等において応用と基礎理論の両面でいくつかの成果を得た.以下研究成果を箇条書きにして説明する.
    1.コンピュータ・チップの製造工程における一つの基本工程として,エッチングが挙げられる.この工学的問題に対して,数学的モデルを定式化し,解析することは重要である.8月のアメリカ合衆国滞在中にこの問題に対するレベルセット・アプローチを研究し,成果を得た.この研究は石井とEvansの共同研究として行われた.10月にフランス国滞在中にこの問題についてLions,Barles等と討論し,この問題が密接に画像処理の数学的取扱いと関連していることが分かった.この点は今後の課題とされる.
    2.Allen-Cahn方程式のような半線形放物型方程式について,非線形項がsin関数のような周期関数である場合に適当なスケーリングにより解が,すべての等高面が平均曲率流であるような関数に収束することを示した.関連した結果が最近Jerrardにより得られている.この問題については,8月にアメリカ合衆国滞在中にCarnegie Mellon大学,Wisconsin大学Madison校の数学教室において,講演する(石井)機会をもち,Soner,Souganidis等と研究討論した.さらに,10月にフランス国滞在中にもパリ大学,IXにおいて講演(石井)の機会を得,Lions等とこの問題について討論した.この研究は石井が行った.
    3.Bence,Merriman,OsherのアルゴリズムやGriffeath等による閾値ダイナミクッス法を研究し,その一般化による曲面の非等方的平均曲率流の近似スキームの構成とその収束,また曲面の時間発展の速度が曲面の方向の関数であり曲率には依存しない場合に付いても近似スキームの構成と収束を示した.更に,このような曲面の時間発展に対して,対応するWulffクリスタルに漸近的に相似であることを証明した.この研究は石井とSouganidisの共同研究として行われた.
    4.Hamilton-Jacobi方程式に対するエルゴード問題あるいは対応する最適制御問題に対するエルゴード問題について,エルゴード・アトラクターの特徴付けを研究し,いくつかの新しい特徴付けに関する結果を得た.有沢と石井の共同研究として行われた.
    5.上記エルゴード問題を無限次元空間で研究し,Hamilton-Jacobi方程式に対するエルゴード問題の設定をこれまでの有限次元空間の場合と異なる定式化が必要であることを示した.この研究は有沢,石井,Lionsの共同研究として行われた.
    6.微分可能でないような表面エネルギーにより,曲線の時間発展が規定される場合について曲線の時間発展を数学的に定式化し,この数学的問題に対する解の存在と解の比較定理を証明した.この研究ではいかに数学的に定式化をするかが重要であり,従って問題は極めて基本的である.曲面の場合に拡張する問題は今後の課題である.8月のアメリカ合衆国滞在中にCarnegie Mellon大学とWisconsin大学において講演する(儀我)機会を持ち,Soner,Souganidis等と研究討論し,結果を深めることができた.この研究は儀我が行った.
    7.微分ゲームが状態制約を持つ場合に,粘性解によるアプローチが有効であることを示した.境界におけるハミロトニヤンをいかに取るかが問題であったが,これを解決し,微分ゲームの値関数が対応するHamilton-Jacobi方程式の解であること,その解が一意であること等を示した.この研究は小池がBardi,Soraviaと共同で研究した.
    本研究の遂行にあたり,研究分担者L.C.Evansの都合により予定を変更し,L.C.Evansの招聘は中止とし代わって研究代表者石井をアメリカ合衆国に派遣することとした.この変更による研究遂行上の問題は特になく,上記のような成果を得ることができた.
    以上の成果1〜7はすべて粘性解の概念を本質的に使って得られた.今後も粘性解を利用した偏微分方程式の研究が重要であり,特に工学方面への応用が期待される.国際的広がりを持った,視野の広い活発な研究が期待される.

  • 非線形退化楕円型方程式の粘性解の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 奨励研究(A)

    研究期間:

    1994年
     
     
     

    小池 茂昭

     概要を見る

    制御理論に表れる状態拘束問題を研究した.具体的には,対応する値関数(value function)が満たすべき正しい境界値問題を設定し,値関数が唯一の粘性解であることを示し,これを特徴付けた.
    1.状態拘束問題における値関数を特徴付ける境界値問題は,Soner(1996年)により導入され様々な一般化が研究されたが,解の定義に「連続性」の制約が付き一般理論との間にギャップがあった.これを1階Bellman型偏微分方程式に対して,動的計画原理に基づいた正確な定義を与え,解の表現・一意性・微分可能性等を得た.
    2.微分ゲームに対しても状態拘束問題を提唱し,対応する境界値問題を与えた.その問題の値関数は制限付き戦略(strategy)を用いて与えられた始めてのものと思われる。更に,同問題において解の表現・一意性等を示し,値関数の特徴付けをした.
    3.実際の制御問題では制御が空間の位置によって制御を受けることが重要であり,一般論を展開する必要がある.しかし,その様な問題は,本質的に不連続なHamiltonianを考えることであり,困難が予想される.現在は,制御の制約が比較的緩やかな場合の一般論と急激な制御の変化のある特殊な場合について値関数の特徴付けを研究中である。

  • 特異な境界条件を持った偏微分方程式の最適制御理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 一般研究(C)

    研究期間:

    1993年
     
     
     

    辻岡 邦夫, 小池 茂昭, 長瀬 正義, 桜井 力, 酒井 文雄, 佐藤 祐吉

     概要を見る

    本研究は,特異な境界条件を持った偏微分方程式の最適制御理論の数学の各分野からの総合的な共同研究である.
    1 ビーム,プレートを支配する偏微分方程式その他いくつかの偏微分方程式に関する最適制御理論については,解の一意存在定理,最適条件,可制御性などが得られており,これらについて特異な境界条件を付して研究することは可能である.
    2 ロボットアームの運動の制御問題に関し,線形システムの場合に解の一意存在定理,近似可制御性については,京都大学数理解析研究所の講究録に研究代表者辻岡の得た結果が発表されている.
    3 非線形制御理論について
    (1)可制御性は不動点定理および,関数解析的なHUM法を用いた研究が盛んで,LIONS学派のLIONS,ZUAZUA,イタリヤのLADIESKA,TRIGGIANI,東大の山本,熊本大の内藤,神戸大の中桐等の研究がある.最適理論については,凸解析の手法が用いられ,中国のYONG,米国のFATTORINIの研究がある.
    (2)粘性解の理論について,研究分担者小池およびその共同研究者によって,いくつかの秀れた成果が得られており,専門学術雑誌に発表もしくは発表が決定している.
    4 代数学的あるいは幾何学側面からは,研究分担者竹内,酒井,長瀬の結果がありそれぞれ発表予定である.

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講演・口頭発表等

  • Lp viscosity solution theory -revisited-

    小池 茂昭  [招待有り]

    The 20th Northeastern Symposium on Mathematical Analysis  

    発表年月: 2019年02月

  • Obstacle problems for PDE of non-divergence type

    小池 茂昭  [招待有り]

    研究集会「第14回 非線型の諸問題」  

    発表年月: 2018年09月

  • Recent development on Lp viscosity solutions for fully nonlinear parabolic PDE

    小池 茂昭  [招待有り]

    九州における偏微分方程式研究集会  

    発表年月: 2018年01月

  • 自由境界問題の近似問題

    小池 茂昭  [招待有り]

    室蘭非線形解析研究会  

    発表年月: 2017年12月

  • On the rate of convergence in free boundary problems

    小池 茂昭  [招待有り]

    The 5th Italian-Japanese Workshop on Geometrc Properties for Parabolic and Elliptic PDE's   (日本国) 

    発表年月: 2017年05月

  • 粘性解のABP最大値原理とその応用

    小池 茂昭  [招待有り]

    日本数学会年会  

    発表年月: 2017年03月

  • 自由境界問題の処罰法による近似解の収束レートについて

    小池 茂昭  [招待有り]

    福島応用数学研究集会  

    発表年月: 2017年03月

  • Fully nonlinear uniformly elliptic/parabolic PDE with unbounded ingredients

    Hamilton-Jacobi Equations New trends and applications   (フランス) 

    発表年月: 2016年05月

  • Entire solutions of fully nonlinear elliptic PDE with super linear gradient terms

     [招待有り]

    Workshop on nonlinear partial differential equations and related topics   (日本国 金沢) 

    発表年月: 2016年05月

  • ABP最大値原理について

     [招待有り]

    日本数学会2016年度年会   (日本国) 

    発表年月: 2016年03月

  • Holder continuity for subsolutions of integer-differential equations

    偏微分方程式の漸近問題と粘性解   (日本国 京都) 

    発表年月: 2015年12月

  • On the ABP maximum principle for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear PDE

    小池 茂昭  [招待有り]

    The 4th MSJ-SI Nonlinear Dynamics and PDE 国際研究集会  

    発表年月: 2011年09月

  • On the ABP maximum principle and applications

    小池 茂昭  [招待有り]

    研究集会「幾何学的偏微分方程式における保存則と正則性の研究」  

    発表年月: 2011年06月

  • On viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDE with measurable and unbounded ingredients

    小池 茂昭  [招待有り]

    Nonlinrear PDE's, Valparaiso  

    発表年月: 2011年01月

  • 完全非線形楕円型偏微分方程式の粘性解について

    小池 茂昭  [招待有り]

    研究集会「微分方程式の総合的研究」  

    発表年月: 2010年12月

  • On the weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients

    小池 茂昭  [招待有り]

    研究集会「Viscosity methods and nonlinear PDE」  

    発表年月: 2010年07月

  • Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients

    小池 茂昭  [招待有り]

    Positivity: A key to fully nonlineart equations Conference  

    発表年月: 2010年06月

  • Weak Harnack inequality for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients

    小池 茂昭  [招待有り]

    The Second Chile-Japan Workshop on Elliptic and Parabolic Equations  

    発表年月: 2009年12月

  • Weak Harnack inequality for Lp-viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDEs with unbounded ingredients

    小池 茂昭  [招待有り]

    The Second International Conference of Reaction Diffusion Systems and Viscosity Solution  

    発表年月: 2009年07月

  • Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with superlinear growth terms in Du

    小池 茂昭

    研究集会「微分方程式の粘性解とその周辺」  

    発表年月: 2009年06月

  • Recent developments on the ABP maximum principle for fully nonlinear elliptic PDEs

    小池 茂昭  [招待有り]

    第4回非線型の諸問題  

    発表年月: 2008年09月

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特定課題研究

  • 超線形増大項のある完全非線形方程式の理論と応用

    2020年  

     概要を見る

    二階完全非線形一様楕円型方程式が1階微分項の増大度が1次以上の場合のABP最大値原理が成立するための十分条件は知られている。そこでは、逐次比較関数法を開発することで得られた。これらを利用して、平均場ゲームに現れる方程式系のうち粘性ハミルトン・ヤコビ方程式が低階項が一次以上の増大度がある場合の解の存在を導いた。

  • 臨界係数を持つ完全非線形方程式の粘性解のABP最大値原理とその応用に関する研究

    2019年  

     概要を見る

    完全非線形一様楕円型方程式が一階微分項に非有界係数μを持つ場合のABP最大値原理において、Lp粘性解に対しては、qが空間次元nより、大きいLq空間にμが属する時には、2007年の研究代表者の研究によって知られていた。しかし、強解に対してはμがLn空間に属していればが成り立つことが古典的な結果として、AleksandrovやBakelman等によって知られている。本研究では、Lp粘性解においてもμがLn空間に属する時に成立することを示すことを研究目的とした。研究成果としては、μがLnに属し、非斉次項fが次元nより大きいpの場合に示した。証明の鍵は、μがLnに属し、非斉次項がLpに属する時の対応する完全非線形方程式の強解の構成にある。

 

現在担当している科目

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担当経験のある科目(授業)

  • フーリエ解析

    早稲田大学  

    2020年09月
    -
    継続中
     

  • 数学概論B

    早稲田大学  

    2020年09月
    -
    継続中
     

  • 数理物理学特論A

    早稲田大学  

    2020年04月
    -
    継続中
     

  • 関数解析

    早稲田大学  

    2020年04月
    -
    継続中
     

  • 常微分方程式

    早稲田大学  

    2020年04月
    -
    継続中
     

  • 数学概論A

    早稲田大学  

    2020年04月
    -
    継続中
     

  • 偏微分方程式特論

    早稲田大学  

    2019年04月
    -
    継続中
     

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委員歴

  • 2016年05月
    -
    2016年10月

    函数方程式論分科会  解析学賞選考委員

  • 2013年05月
    -
    2013年10月

    函数方程式論分科会  解析学賞選考委員

  • 2012年05月
    -
    2012年10月

    函数方程式論分科会  解析学賞選考委員長

社会貢献活動

  • 仙台数学セミナー

    2014年08月
     
     

     概要を見る

    講演、演習を通して東北地方の高校生に数学の面白さを紹介する。

  • 出張講義

    2013年12月
    -
     

     概要を見る

    仙台一高で高校生に講義を行った。