「社会を変える驚きの数学」は，合原一幸先生編著の本です．私は，この中の「錯視の数理」を執筆しました．このほかにも役に立つ数学の生き生きとした姿が多くの著者により描かれています．

ウェーブレット・フレームを用いた筆者の研究成果を述べた特別講義．

We examined visual illusions using several approaches including experimental psychology, fMRI studies, mathematics, and animal experiments. A great progress was made in the study of color illusions. We found two different types of spatial color mixture, accompanied by the proposal of an impressive color illusion image in which observers can see either white or black in the same pattern depending on the types of spatial color mixture. Moreover, the Munker illusion, one of the strongest color illusions, can be explained in this context. Other approaches also made a progress in the study of visual illusions.

人の知覚の数理モデルによる研究と，知覚に関連する科学，技術，産業への応用．

Visual illusion was investigated from multiple viewpoints. A variety of new illusions was reported. In particular, it was revealed and discussed that the color-dependent motion illusion in a stationary image shows an illusory motion in a constant direction in a bright condition whereas it displays motion illusion in the reverse direction in a dark condition. The distorted concentric circle illusion, a kind of spiral illusion, was analyzed mathematically. The adaptation method using the fMRI technique revealed that not only hMT+ but V1 responds to the "Rotating snakes" illusion.

視覚系の新しい数理モデルを構成し，それを用いて視覚の情報処理のメカニズムを研究する．そのため，視覚機能のモデリングに適した新しいフレームレットの開発も行う．また視覚の数理モデルを用いて錯視発生の計算機シミュレーションを行い，錯視が脳内のどのような視覚情報処理の結果現れるのかを明らかにしていく．上記研究で開発するフレームレットは人間の視覚系をモデルにしているので，その画像工学への応用も新たな可能性を含んでいる．この方面の実用研究も行う．

We have obtained Hardy type inequalities for the Hermite expansion, the Laguerre expansions and the Mehler transforms, which are analogues of the classical Hardy inequality on the Hardy space. For Hermite and Laguerre expansions, the inequalities hold on the space of integrable functions. Also, the Paley type inequality for the Hankel transform has been obtained. Moreover, we have showed that the functions with positive Laguerre coefficients have the property that local square integrability at the origin implies global square integrability.

Aim of this research proposal is to develop new methods to study geometric objects with singularities, or discrete spaces, which are not accessible by traditional differential geometrical technics. Our idea is to apply probability theory to those geometric objects. Some results are obtained and published from international journals.

Towards developing harmonic analysis on huge groups, we did integrated studies of probability theory and group representations. Harmonic analysis is a discipline which seeks deep mathematical structures by looking at symmetries of the objects and develops analysis relying on them. In this study, we are led to huge groups describing the symmetries because our objects are so big as to have an infinite degree of freedom. Main results among the ones we obtained are (i) classification and explicit formulas of the characters which are building blocks of harmonic analysis, and (ii) a series of theorems which construct a bridge between asymptotic behavior of representations of groups and probabilistic limit theorems.

The main theme of this research project is harmonic analysis and its applications to multidimensional signal processing. I constructed new framelets (with S.Arai). Applying them, we succeeded in the discovery of illusory components in Arai's fractal spiral illusion, and in the removal of illusory components from the illusion (Arai and Arai (1), in press). This result was reported by Kakenhi News (2009, vol.1). Moreover, I obtained some results related to frame operators and multidimensional polyphase matrices.

In the fields of basic analysis, analytic geometry and algebraic geometry we carried out the integrated study on those subjects in which complex structure plays an essential role. The themes cover a large area in modern mathematics and we achieved substantial advances, e.g., in the theory of Kobayashi pseudo-distance and the higher dimensional value distribution theory, also in the CR-invariant theory of strongly pseudo-convex boundaries and of the deformation of complex structures by means of Bergman metrics ; this provides a new method for those researches in future. All these are made possible by the integrate research for complex structure.

Our main results of this research project are summarized as follows. The transplantation theorem for the Hankel transform has been proved on the real Hardy space. A transplantation operator is an operator which maps a function with the Fourier expansion in an orthogonal system to the function with the same Fourier coefficients with respect to another orthogonal system. A transplantation theorem is a theorem which asserts the boundedness of the transplantation operator. This type of theorem is a useful tool in harmonic analysis for orthogonal expansions. The Hankel transform is one of the integral transforms, and coincides with the Fourier transform as a special case. Estimations of operators on the real Hardy space allow us to get the corresponding estimations of the operators on the Lebesegue spaces. In such a useful scheme, we have obtained a transplantation theorem.
Transplantation operators are regarded as a generalization of the Hilbert transform. It is known that the Hilbert transform maps a function with certain conditions to an integrable function. We have proved that the transplantation operators for the Hankel transform have the same properties. Using this result, we have showed that the Cesaro operators for the Hankel transform are bounded on the space of integrable functions and on the real Hardy space.
We have obtained Paley's inequality of integral transform type. The classical Paley inequality says that in the Fourier expansion of a function in the real Hardy space, the sum of the absolute values of its Fourier coefficients taken over the Hadamard gaps converges, and the sum is bounded by the square of the real Hardy space norm of the function. We have showed that an inequality of the same type as the classical Paley inequality holds for the Hankel transform.

Main themes of this research project are (multi-) wavelet frames and harmonic analysis. The head investigator, Arai, studied wavelet frames and applications to vision science. In particular Arai constructed new wavelet frames which are appropriate to studying vision science (with S. Arai). These wavelet frames will give basis of constructing computational models of human's visual system. In addition, Arai studied also practical applications to image processing. Furthermore he has constructed a computational model of color perception, and gave computer simulation of illusions related color vision. Arai has studied also the mechanism of appearance of visual illusions. In particular, he proposed a new general scheme for discrete wavelet analysis of vision. It is widely believed that visual illusions will provide us a key in order to understand how our visual system carries out visual information processing. From this reason, over the past 100 years, many studies of visual illusion have been made. However as for several illusions, their mechanisms are not yet well understood. In this research program Arai obtained nonlinear models of the early vision by using wavelet frames, and investigated mathematical mechanism of appearance of a certain illusion. More specifically, Arai constructed filter banks modeled after the function of the striate cortex in human's brain, and using these systems Arai made several computer simulations which indicate how our visual system produces visual illusions. By his research the mechanisms of several visual illusions can be explained by a mathematical unified way. If an image is inputted to Arai's system and if it outputs an image with illusion, then we can conclude that it is (they are) caused by processing in V1. Kanjin studied harmonic analysis of systems orthogonal functions. For example he proved boundedness of Cesaro operators on Lp and Hp. Nakamura studied local smoothing effect of analytic wave front sets. Yoshida studied sampling problem for stochastic differential equations. Tachizawa studied some weighted function spaces from viewpoint of wavelet theory.

The main objective of this project was twofold. One was to execute intensive cooperative researches beyond the borders of specific research fields with the aim of laying the foundation of research on unexplored mathematics. The other was to promote the publication of the "Advanced Studies in Pure Mathematics" series (ASPM for short) in order to establish the prompt distribution of research achievements in sophisticated form.
As its outcomes, four international conferences and two workshops were organized and accomplished with great success, and the following twelve proceedings of international conferences were edited and published.
A.International Conferences :
(1)Workshop on Differential Geometry, held at Taikanso, Matsushima in March,2004.
(2)Workshop on Geometric Analysis, held at Tohoku University in February,2005.
(3)Differential Geometry, Sendai 2006, held at Tohoku University in February,2006.
(4)Geometric Analysis, Sendai 2007, held at Sendai International Center in January,2007.
B.Workshops :
(1)Workshop on Project Euclid, Tohoku University in January,2004.
(2)Open Forum on Digital Publication and Digital Library, Tohoku University in January,2005.
C.Proceedings :
(1)Higher Dimensional Birational Geometry, ASPM Vol.35.
(2)Algebraic Geometry 2000,Azumino, ASPM Vol.36.
(3)Lie Groups, Geometric Structures and Differential Equations-One Hundred Years after Sophus Lie-ASPM Vol.37.
(4)Operator Algebras and Applications, ASPM Vol.38.
(5)Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems, ASPM Vol.39.
(6)Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups, ASPM Vol.40.
(7)Stochastic Analysis and Related Topics in Kyoto, ASPM Vol.41.
(8)Complex Analysis in Several Variables-Memorial Conference of Kiyoshi Oka's Centennial Birthday Kyoto/Nara 2001,ASPM Vol.42.
(9)Singularity Theory and Its Applications, ASPM Vol.43.
(10)Potential Theory in Matsue, ASPM Vol.44.
(11)Moduli Spaces and Arithmetic Geometry (Kyoto,2004), ASPM Vol.45.
(12)Singularities in Geometry and Topology 2004,ASPM Vol.46.
(13)Mathematics in the 21st Century, Unsealed Peaks of Geometry,2004.

本研究は多様体上の群の作用とその上の調和解析について周辺分野および応用分野を含めた研究者間の交流を図り、共同研究の下地となるように企画された。特にドイツとの交流に力点をおいたのが特徴である。
本年は若手研究者2名(A.オールドブリッジおよびT.ヨハンセン研究員)および中堅の研究者3名(M.シュトルツ、M.フォイト、M.レースラーの各準教授)そしてハイパー群の専門家であるH.ハイヤー教授の合計6名をドイツより招聘し、分担者の属する様々な大学で多くの日本人研究者との交流を果たした。また日本からは、洞助教授、河上教授、河添教授、示野助教授の4名をドイツに派遣した。洞・河添の両名はこの企画調査によって2007年度に国際研究集会を日独間で開催するための調査と準備を綿密に行った。河上・示野の両名はそれぞれハイパー群およびダンクル作用素に関する共同研究について研究連絡を行った。これらはいずれも実り多い結果をもたらしたが、それを以下少し詳しく報告する。
まず2007年9月に日独間で国際研究集会を開き、研究者の更なる交流を深めることで、研究分担者および協力者の合意を得た。この集会は分担者の研究分野にとらわれることなく、「無限次元調和解析」という学際的な分野において相互理解と更なる共同研究を模索するために企画された。まだ資金的な裏付けは得られていないものの、招待講演者の選定など既に具体的な集会の運営に向けて動き出している。次に、河上教授はハイヤー教授と共にハイパー群の拡張理論に作用素環の理論を応用し、有限ハイパー群の具体的な構成を目指して共同研究を開始した。また、示野助教授はリーマン対称空間の調和解析とダンクル作用素および球関数の理論との関連を研究していたが、ドイツ側の招きで連続講義を行うなど日独双方の研究状況についての意見交換を行った。このダンクル作用素の理論についてはフォイト・レースラーも多変数ベッセル関数の観点からシュティーフェル多様体上のダンクル理論を取り扱っているが、日本における研究連絡において菊地助手(京都大学)の研究しているゲルファント対との関連性を議論するなど活発な意見交換が行われた。

眼球から入った視覚情報は,網膜からLGNでの情報処理がされ,ほとんどの情報はさらに大脳皮質に伝送され処理される.大脳皮質ではまずV1野が処理を行う.本研究で行った主なものはこのV1野での情報処理の新しい数理モデルの設計である.この数理モデルはウェーブレットあるいはフレームレットフィルタバンクを基礎にして,情報の統合的処理,刺激文脈依存的修飾作用などを数理化してモデルに組み込んだ.この新しいモデルをSNWシステムと呼ぶことにした.これにより多くの明暗の錯視,色の錯視発生のコンピューター・シミュレーションを統一的に与えることに成功した.そしてこれらの錯視の数理的な研究が可能になった.このほか,ウェーブレット,フレームレットを用いた視覚研究の新しいスキームを提唱した.これは従来のガボールフィルタやDOGフィルタの研究に比べて優れた点が数多くある.本研究で得た上記の数理モデルは,本研究で提案したスキームの一部の実現である.この研究は数学,視覚科学,色彩科学,計算科学などと深く関連しており,実際,その成果の一部は情報科学系,視覚科学系の学術雑誌に掲載され,計算機科学系の国際会議報告集に掲載も決定している.また本研究の成果は専門の学者のみならず,一般市民からも興味をもたれ,新聞記事でも紹介され,市民講演会,公開講座でも好評を博した.数学と他分野との関連を一般の人々にも理解してもらうことにも貢献できるものと考えられる.

Several mathematical foundation is established to investigate the mechanism of variation of shape of solutions due to anisotropy and diffusion effect for nonlinear diffusion equations. We just give two typical topics.
(i)Equation describing motion of a crystal surface. When anisotropy of surface energy is strong like snow crystal, there appears a plat surface called a facet in their equilibrium shape. The equations governing its evolution is formally a curvature flow equation. However, the diffusion is so strong that it cannot be viewed as a partial differential equation. We studied a Stefan type free boundary problem describing snow crystal growth assuming that its equilibrium shape is a cylinder. We established (a)Local solvability under the assumption that a facet stays as a facet ; (b)Berg's effect concerning behavior diffusion field near on a facet ; (c)a necessary and sufficient condition for facet bending ; (d)a sufficient condition for existence of a self-similar solution and size condition on facet bending ; (e)a rigorous proof that a facet preserved near equilibrium. A further problem is whether one can track evolution after facet bending.
(ii)Equations in fluid mechanics : An invicid Burgers equation is a typical coarse model to describe motion of compressible fluid. The solution develops jump discontinuity in finite time even if the initial data is smooth for the Burgers equation. Just before this proposal, the principal inverstigator introduced a notion of a proper viscosity solution to describe a solution with jumps which is also useful for equations with nondivergence type. In this project we established a notion of singular vertical diffusivity which is useful to calculate the solution numerically in the graph space. In particular we are successful to calculate a proper viscosity solution by a level set method numerically.

The present research is the Bloch theory for crystal lattices, which are infinite graphs to be introduced to describe, in an abstract way, how the atoms in a crystal are bound to each other by internal force. Crystalline structure is embodied by the presence of certain abelian group actions on graphs. Our interest is in geometry and analysis of the discrete Laplacians (and their magnetic or elastic versions) on crystal lattices as a special class of difference operators. Especially we have studied asymptotic behaviors of random walks, and established a large deviation property in view of geometry. The method we took up is a real version of Bloch theory. We could relate the large deviation property to a rational convex polyhedron in the first homology group of a finite graphs, which has remarkable combinatorial features, and show up also in the Gromov-Hausdorff limit of a crystal lattice.

Arai studied analysis by wavelets of mechanism of appearance of visual illusions. It is widely believed that visual illusions will offer a key to understand how our visual system carries out visual information processing. From this reason, over the past 100 years, many studies of visual illusion have been made. However as for several illusions, their mechanisms are not yet well understood. In this research program Arai studied visual illusions by using both maximal overlap multiresolution analysis with respect to a biorthogonal wavelet and new nonlinear processing. Further, Arai has constructed a computational system modeled after the function of the striate cortex in human's brain. By using this system I did several computer simulations which indicate how our visual system produces visual illusions. by these simulations Arai has been able to explain by mathematical language the mechanism of several visual illusions. Furthermore Arai obtained some theorems related BIBO stability of multidimensional digital systems. Professor Yamada studied seismic waves by wavelet method, Prof. Okada studied nonlinear PDE from view point of numerical analysis via wavelet, and Prof. Nakamura obtained some theorems related to discrete Schrodinger operators.

We have handled both geometric and analytic aspects of discrete Laplacians on infinite graphs which are main objects in discrete geometric analysis and show up in various fields of pure and applied mathematics, say the theory of discrete groups communication networks and Markov chains. Especially we obtained interesting results on large time asymptotic behaviors of transition probabilities of random walks on crystal lattices. One is the local central limit theorem, and another is asymptotic expansions. In our study, we made use of the notions of Albanese tori and Albanese maps which have the origin in algebraic geometry. In connection with this, we developed the theory of harmonic maps from graphs into Riemannian manifolds. Albanese maps is defined as a harminic maps from a finite graph into a flat torus. In this project, we have also studied the spectral properties of discrete magnetic Schroedinger. operators (Harper operators) on crystal lattices. The central limit theorem for Harper operators was established. We investigated twisted group C^* algeblas associated with Harper operators which is a generalization of non-commutative tori. As a byproduct of our research, we gave a rigorous treatment of quantized theory of lattice vibrations.

The purpose of this project is to investigate the spectral and scattering theory for Schrodinger operators in general. Moreover, it is also intended to explore new area of problems in quantum physics and related topics. Quite a few reserch results has been obtained in the project, and only a selected results by the head investigator and collaborators are presented here.
1. By employing the theory of phase space tunneling, it is proved that the exponential decay rate of eigenfunctions for Schrodinger operator is larger in the semiclassical limit in the presence of constant magnetic field.
2. Semiclassical asymptotics of the scattrering is investigated. In particular, it is shown that the spectral shift function has a rapid jump (of the size 2π times integer) near each quantum resonance.
3. It is shown that the coefficients of the scattering matrix corresponding to the interaction between two nonintersecting energy surfaces decay exponentially in the semiclassical limit. A new method to analyze the phase space tunneling is developed and employed (joint work with A.Martinez, V.Sordoni).
4. The Lifshitz tail for the integrated density of states is proved for 2 dimensional discrete Schrodinger operators and continuous Schrodinger operators (arbitrary dimension) with Anderson-type random magnetic fields.
5. A new proof of the Wegner estimate based on the theory of the spectral shift function is developed. The Wegner estimate plays crucial role in the proof of Anderson localization for random Schrodinger operators (joint work with J.M.Combes, P.D.Hislop).

In this research, we have obtained the following results related to group actions on complex manifolds.
1. Concerning group actions on complex manifolds, we have obtained the fundamental result on the normalization of torus actions on unbounded Reinhardt domains. More precisely speaking, we have given an answer to the holomorphic equivalence problem for a basic class of unbounded Reinhardt domains and, as an application, we have shown the conjugacy of torus actions on such a class of Reinhardt domains.
2. Related to the study of group actions on complex domains, we have given a characterization of generalized complex ellipsoids from the viewpoint of biholomorphic automorphism groups by making use of well-known extension theorems on holomorphic mappings and CR-mappings and applying Webster's CR-invariant metrics.
3. Related to the study of group actions on the boundaries of complex domains, we have investigated CR structures. In particular, we have shown that it is possible to formulate the concepts of dual spaces and tensor products in the category of CR vector spaces under some additional conditions.
4. As a study of torus actions, we have investigated the Bando-Calabi-Futaki character that is a generalization of the Futaki character. Also, we have calculated signature defects of degenerations-of abelian varieties
5. Related to the analysis of the boundaries of complex domains, we have proved new Morrey-Holder estimates for the Cauchy-Riemann equations on strongly pseudoconvex CR manifolds. Also, to study group actions in a wider mathematical framework, we have developed the investigation of equivariant harmonic mappings.

In this research project, we study harmonic analysis, partial differential equations, and complex analysis of several variables. We obtained results on the following topics : singular elliptic equations on Riemannian manifolds, pseudodifferential equations on stratified Lie groups, Bloch functions of several complex variables, Toeplitz operators, parabolic equations on Riemannian manifolds, tangential Cauchy-Riemann equations on strongly pseudoconvex CR manifolds, Hankel transforms, and some function spaces related to harmonic analysis. See the reference for details. We organized "Harmonic Analysis Seminar" (1996, 1997, 1998), and "Symposium on Harmonic Analysis, Partial Differential Equations, and Complex Analysis" (Jan. 1997, Jan. 1998). We printed and distributed the proceedings of these conferences to many Japanese researchers and institutions.

The problem of the harmonic analysis is often reduced to the invitational of translation invariant operators. As a useful real analysis method of such operators, there is the singular integral theory. However, we pay attention to the important translation invariant operators which aren't satisfied with the category of that theory. There, the Kakeya maximal function plays an important role an auxiliary function. Igari defines a maximal function which has a special base, and gave an estimate which gives the best possible estimate for radial functions, and also a partially Bourgain's result.
Arai studied, form the viewpoint of the harmony analysis, the elliptic partial differential operators which degenerate in all points in the boundary, such as operators in pseudo-convex domain of the Stein manifolds and in the manifolds with theta-structure. He gets a basic result in the harmony analysis of such operators and is preparing a paper on it. Also, he found he fact which has a possibility to solve the pointwise Fatou problem for functions of several complex variables.
It is studied for a long time the uniqueness of the solution of the Navier-Strokes equation, but it is still an unsolved major theme. Masuda introduced a quite new way which is of real variable method for this problem, and found a beginning of solving the problem. This result was reported in the international conference held in Verona. Also, he solved the conjecture on the classification of the minimal surfaces of constant curvature in two dimensional complex space from by the collaboration with K.Kenmotsu..
Saito developed an important tool for the study of the monotone complete C*-algebra by giving an elementary proof for a regularity of the Rickart C*-algebra. He also gets a result about the completely additive measures on von Neumann algebras.

Through close contact and discussion among the investigators, comprehensive study was made on various problems on manifolds.
1. Toric varieties were studied from the aspects of algebraic geometry, algebraic analysis and differential geometry, and new results were obtained on intersection cohomology, morphisms to toric varieties, classification of toric Fano manifolds and Einstein-Kaehler metrics.
2. Arithmetic varieties were studies, and new results were obtained on rational points on Abelian surfaces, the Tate conjecture on the second etale cohomology, crystal fundamental group and rho-adic Hodge theory.
3. Rigidity results were obtained for non-Archimedean varieties.
4. Various new results were obtained on the global analysis, hyperbolic geometry and fundamental groups of differentiable manifolds, Riemannian manifolds, and conformally flat manifolds.
5. Laplacian and Schroedinger operators were studies from the viewpoint of analysis and mathematical physics, and new interesting results were obtained on the discrete analog on graphs.
6. Global study was made on reaction-diffusion equations, and new results were obtained on the stability of solutions.
7. Various new results were obtained on the stability of vector bundles on Kaehler manifolds and Einstein-Hermitian metics.
8. Pseudo-differential operators, maximal operators, bounded linear operators, operator algebras were studies from the viewpoint of real analysis, complex analysis and Fourier analysis.

ベキ零リー群G上の擬微分方程式の研究を行った.良く知られているように,G上の準楕円型偏微分方程式の解析は,Folland, Stein, Christ, Rothchild 等々によりL^p空間に関連して深く研究されてきた.しかし,L^pの指数pが,Gの斉次次元Q以下の場合,L^p解析が破綻をきたすことがある.そこで,非等方的モレ-空間を使いp【less than or equal】Qの場合の解析をすすめた.具体的には,モレ-のDirichlet増大定理に対してモレ-の証明とは全く異なる方法による証明を与え、さらにそのアイデアに基づき,Dirichlet増大定理をベキ零リー群上に一般化した.この結果はモレ-の定理そのものの精密化も与え,さらに今までの増大定理では扱うことのできなかった退化楕円型擬微分方程式の解のlocal regularityを証明した.その応用として強擬凸CR多様体上の<∂b>^^^-方程式や□_b方程式の解のlocal regularityに関する結果を証明した.これはFolland-Steinの評価を改良するものである.この研究に関連して,等質型空間上にモレ-空間を定義し,それに対してextrapolation型の定理を証明した.この定理はR^n上の古典的なモレ-空間の場合でも新しい定理である.実際それを用いることにより,調和解析に現れる種々のclassical operatorsのがモレ-空間で有界になることが証明できた.
以上の他,境界で退化する楕円型偏微分作用素の調和解析を研究した.例えばシュタイン多様体の強擬凸領域やΘ-構造を持つ多様体,有限型領域等の境界で退化する楕円型偏微分作用素に関する調和解析の理論の基礎をつくり,退化楕円型調和測度の精密な評価をはじめ,退化楕円型H^l空間のマルチンゲ-ル空間への埋め込み定理などを証明した.

The purpose of this project is to study Nonlinear Problems, arising in researches of deformation of various geometric structures and their moduli spaces, from the point of view of Geometric Variational Problems. The following is the summary of principal results obtained under the project.
1. Nishikawa studied the Dirichlet problem at infinity for harmonic maps between general k-term Carnot spaces, which are homogeneous spaces of negative curvature obtained as solvable extension of k-step nilpotent Carnot Lie groups. He found the necessary conditions for the boundary values on ideal boundaries, and proved the existence and uniqueness of solutions when given boundary values are nondegenerate.
2. Bando studied the degeneration phenomena od Hermitian-Einstein metrics on stable holomorphic vector bundles over a compact Kaehler manifold, and proved that the moduli spaces of these bundles can be compactified by adding reflexive sheaves as their boundaries.
3. Nakagawa studied the existence problem of Einstein-Kaehler metrics, and proved combrinatiorial formulae describing the Futaki invariants and generalized Killing forms on toric Fano orbifolds terms of data read off from their corresponding convex bodies.
4. Nayatani constructed in a standard way pseudo-Riemannian metrics compatible with the pseudo-conformal structures on the ideal boundaries of rank one locally Riemannian symmetric space of noncompact type.
5. Horihata studied the nonlinear parabolic system of partial differential equations associated with harmonic map, and proved the partial regularity of weak solutions based on the monotonicity formula in the case when the space is 3 dimensional.
6. Arai proved the best possible estimate for solutions of pseudo-differential equations on nilpotent Lie groups, and applied it to obtain the best possible estimate for solutions of the tangential Cauchy-Riemann equation on strongly pseudo-convex CR manifolds.

ノイマン環及テンソル積の構造について研究した。正方形[0,1]×[0,1]の,Lebesgue測度が零でないどんな部分矩形A×BともLebesgue測度が零でない交わりをもつ,二つ以上の可測集合への分割がOxtoby,Maharam達によって与えられた。Lazanovskiはその分割を使用し次の結果を得た。
B_1,B_2を孤立点をもたないコンパクト集合とすれば,B_1×B_2上には何如何なる自明でない正規測度も存在しない。
この結果を詳細に考察すれば,L^∞[0,1]【cross product】L^∞[0,1]はL^∞[0,1]【cross product】L^∞[0,1]に於いて順序稠密にはならないことがわかる。本研究に於いて,この結果の非可換版を考察した。
予想:Mをσ-有限なノイマン因子環とすれば,ノイマン・テンソル積M【cross product】Mに於いて,代数的テンソル積M【cross product】Mが順序稠密になるのはMが原始的な時に限るであろう。
この問題を解決すべく,Oxtoby達の結果の非可換版として次の結果を得た。
定理Mを原始的直和因子をもたないノイマン環とすれば,M【cross product】Mはp≠0,はp≠1であってxp≠0且つx(1-p)≠0(∀x∈M【cross product】M)となる射影作用素を含む。
この結果を使用して予想を解決すべく目下研究中である。
また古典調和解析に於ける種々の作用素のうち特に平行移動不変作用素及びそれに帰着される作用素の解析と代数的構造の研究を行い,特にフーリエ。マルチプライヤー上の作用関数について,またH^2-空間上で定義されるテープリッツ作用素,ハンケル作用素の代数的性質の解明に関して,それぞれ興味ある結果が得られた。
さらに古典調和解析学てき手法によって境界で退化する楕円型偏微分作用素の研究及び強擬凸領域上のテープリッツ作用素の研究に関して,またナヴィアー・ストークス方程式へのH^2収束に関する近似スキーム理論に関して,それぞれ興味ある結果が得られた。

本科学研究費の補助によって下記のような研究実績をあげることができた。
1.研究代表者である新井は境界を持つリーマン多様体の境界で退化する楕円微分方程式の調和解析的研究を行い、その調和測度と調和関数の境界挙動を解明した。退化の仕方により調和測度の境界挙動が大きく変化するという奇妙な現象を発見し、それを定量的に評価することができた。また、その応用として、種々の関数空間やカ-ルソン測度に関する結果を得た。そしてヴォイタシュチ-ク・ミュラーの問題を一般化した形で肯定的に解決した。詳しくは裏面の新井の発表論文に書かれてある。
2.以上の他、新井はnilpotentリー群上の退化楕円型疑微分方程式の解のMorrey-Holder評価を証明した。この結果はL^p-Holder評価をより精密にしたものである。新井の結果はしたがって古典的な楕円型疑微分方程式の解のL^p-Holder評価をリー群上の退化楕円型疑微分方程式に拡張したものと見ることができる。応用として多変数複素解析に現れる強擬凸CR多様体上の接Cauchy-Rimann方程式の解の精密な評価も得ることができた。この結果は現在論文を投稿中である。
3.分担者はそれぞれ次のような成果を得た。西川は負曲率等質空間上の調和写像の無限遠境界値問題を解くことに成功した。これは本研究にとって大きな進展であった。高木は活性因子一抑制因子の反応拡散方程式について多くの結果を得た。猪狩は掛谷の極大関数に関する調和解析の古典的問題の部分的解答を証明した。この問題は、もし完全に解ければ固有関数展開に大きな貢献が可能となるものである。斎藤の作用素環を使って得た結果、藤家の偏微分方程式的手法を用いた研究、板東の安定正則ベクトル束のEinstein-Hermitian metricsの退化の研究も本研究に寄与した。
以上のように研究成果は期待以上に満足できるものであった。

This research project was done by the participants of the "Tyowa Kaiseki Semina" (=Harmonic Analysis Seminar) of 1994 and of 1995. This seminar has been held over 10 years, in the end of December in each year, the regular members are about 10, and the participants of each year are about 20.
The following are the main results obtained in the research project. (1) Harmonic Analysis : Estimates for the Bochner-Riesz operator with the critical index (S.Sato) ; Properties of the class of Fourier multipliers (S.Igari, E.Sato, Y.Kanjin) ; Properties of the functions with nonnegative Fourier transforms (K.Tachizawa, T.Kawazoe, Y.Onoe) ; Estimates for some singular oscillating integrals and for some Littlewood-Paley type functions (S.Sato, K.Yabuta) ; Properties of several classical orthogonal systems of functions (Y.Kanjin, K.Ohashi). (2) Real Analysis : Estimates for the Kakeya maximal function (S.Igari, H.Tanaka) ; Generalization of the theory of interpolation and extrapolation (T.Sobukawa, T.Miyamoto). (3) Properties of various function spaces, boundedness of various operators in those function spaces, and their applications (A.Miyachi, T.Mizuhara, E.Nakai, J.Tateoka, T.Kitada, M.Satake). (4) Wavelet Theory : Microlocal wavelet theory and its applications (S.Moritoh) ; Wavelet theory related to the representations of semisimple Lie groups (T.Kawazoe). (5) Functions of Several Complex Variables : Characterizations of the Bloch functions, Harmonic analysis of the degenerate second order elliptic partial differential operators strongly pseudoconvex domains, Estimates for the tangential Cauchy-Riemann equation and for the Cauchy-Sego projection (H.Arai). (6) Studies of various partial differential equations by the use of the methods of harmonic analysis and real analysis (H.Arai, K.Kurata). (7) Studies on fractals (K.Saka, Y.Shiota, K.Kawamura).

本年度は、境界で退化する楕円型偏微分方程式の解の境界挙動及び解のなす関数空間の構造に関していくかの成果を得ることができた。成果は次のものである:(1)強擬凸領域上のベルグマン・ラプラシアンをモデルとするある種の楕円型偏微分作用素に関するラプラス方程式の解の境界挙動を解明することができた。(2)強擬凸領域上の解析関数からなるハ-ディー空間に関するヴォイタシュチ-クの予想をより一般化した形で肯定的に解決することができた。この解決のため、(1)の研究成果を本質的に用いた。(3)強擬凸領域上の解析的ブロック関数の種々の特徴付けを発見し、その関数の境界挙動を解明した。ここでも(1)の研究成果を利用した。(4)ベルグマン・ラプラシアンをモデルに境界付きコンパクト多様体の内部にリーマン計量のあるクラスを導入し、その上の楕円型偏微分作用素について次の結果を得た:(a)マルチン境界と位相境界の関連、(b)調和測度の評価、(c)ハ-ディー空間、BMO空間の構造の解明。
以上の結果のほかに、実解析学的手法によるアインシュタイン方程式の解の特異点の解析について研究した。
また、論文は現在準備中であるが、ブロック関数のカ-ルソン測度による特徴付けをテープリッツ作用素を使う全く新しい手法で証明した。この方法の発見により、ブロック関数のみならず消滅的ブロック関数と解析的なp-ベゾフ関数の作用素論的な新しい特徴付けが得られるに至った。
今回の研究成果により不変調和解析に新たな視点が加わったと考えられる。

この研究課題のもとで,楕円型方程式および放物型方程式を中心とする研究を行なった。
まず,代表者 島倉は,行列空間上のベッセルの偏微分作用素を研究し,ボッホナ-のベッセル函数が行列の固有値に関して対称な整函数であり,1変数のベッセル函数を用いて具体的に書き下せることを証明した。これは近々発表の予定である.また,これとは別に,楕円型偏微分方程式の理論が19世紀の初頭以来どのように発展し,それが解析学および数学全般にどのように貢献して来たかを歴史的にまとめた論説を発表した.
分担者 高木 泉は,数理生物学における形態形成の過程を記述する,活性因子と抑制因子からなる反応拡散方程式系を研究し,軸対称な領域において,活性因子の拡散が十分遅く,抑制因子の拡散が十分早いならば,幾つかの点の小さな近傍に活性因子が集中するような定常解が存在することを証明した.
板東重稔は,複素解析多様体を研究し,ドナルドソン,ウーレンベック,ヤオの結果に基づいて,ベクトル束の連接層の安定性とアインシュタイン.エルミート計量の存在とが同値であることを証明した.
新井仁之は,ブロック函数を用いて調和測度を研究し,複素多変数の擬凸領域におけるブロック函数をベルグマン計量の幾何と拡散過程を用いて特徴づけ,境界におけるその発散の早さを詳細に記述することによって,マカロフの定理を多変数化した.
同じく分担者立澤一哉は,遠方で増大するポテンシャルをもつシュレ-ディンガー作用素の固有値の漸近分布法則を研究し,分布法則の上からと下からの不等式を,この作用素の表象から得られる量を用いて書き表した.

本研究では、次の3つのタイプの新しい成果を得た:
(1)強擬凸領域上のベルグマン・ラプラシアンを例とするような境界で退化するある種の2階楕円形作用素Lの調和解析に関する基本的な結果を証明し、それを用いて、Lu=0の解からなるHardy空間のアトム及び拡散過程による特徴付けを得た。さらに、強擬凸領域上の解析関数からなるHardy空間に関するWojtaszczykの予想の解決も含むような結果も、応用として証明した。
(2)C^nの単位球上のBMOA関数のCarleson測度と拡散過程による特徴付けを証明した。これにより、BMOA関数の確率論的取扱いが可能になった。応用として、Littlewood-Paley型の等式ならびに、BMOA関数のCarleson測度による特徴付けの確率論的な別証を与え、Garnett-Jones型の定理を単位球上の不変調和関数に対して確率論的手法で証明した。
(3)複素一変数のBloch関数はFourier級数、作用素論、等角写像論において重要な役割をはたす。このBloch関数の多変数への一般化が最近、Krantz,Timoneyなどにより得られた。われわれは、多変数Bloh関数をベルグマン計量の幾何と拡散過程を用いて特徴付け、その応用として、Bloh関数のBergman-Carleson測度による特徴付けを証明し、また、境界での発散のオーダーを詳細に記述した。後者は、一変数のMakarovの定理の多変数化である。

研究は共同または各分担者を中心とするセミナーを核として進められた。
1.平行移動に関して不変な作用素のつくる代数の研究には作用関数を決定することが有効である。考える空間が非コムパクトの場合はある解決をみているが、コムパクトの場合もほぼ解決することができた。これによりフーリエ・マルチプライヤーのスペクトラムの状況がほぼ解明された(猪狩惺)。
2.ウエーヴレットの研究から特にウイルソン基が、遠方で増大するポテンシアルをもつシュレデインガー作用素の固有値の漸近挙動の研究に効果的であること示した。また、この基を用いてある準楕円型偏微分方程式の有界性を示すことができた(立沢一哉)。
3.強擬凸領域上のベルグマン・ラプラシアンを例とするような境界で退化する2階楕円型作用素Lの調和解析に関する基本的な結果を得た。それを用いて、Lu=Oの解からなるハーデイ空間のアトムおよび拡散過程による特徴付けを証明し、さらにボイタシュチークの予想を含むような一般的な結果を得た。また退化楕円型作用素に関するメルローズ理論を通して、新たな調和解析の研究の可能性に着目しその準備に着手した(新井仁之)。
4.非可換単調完備C^*-力学系の研究をおこない、可換離散群が自由にかつエルゴード的に作用する非可換単調C^*-力学系は存在することを構成的に示した、またその同値性にかんする研究をおこなった(斉藤和之)。
5.反応拡散方程式が活性因子と抑制因子からなる2成分からなる場合、ある定常解を構成しその安定性について研究した(高木泉)。

本研究は,幾何構造の変形に関連する種々の非線型方程式を,非コンパクト多様体上の大域的変分問題の立場から研究することを目的とし,次の成果を得た.
1.研究代表者・西川は,双曲型空間内の非有界凸多面体間の調和写像のディリクレ境界値問題について研究し,m次元およびn次元双曲型空間内に与えられた非有界凸多面体に対し,それらの境界間の区分的にC^1級な連続写像で適切な境界条件をみたすものは,凸多面体内部へ調和写像として拡張できることを証明した.
2.研究分担者・堀畑は,相対論に関係した問題である,境界つきミンコフスキー空間から球面への調和写像の存在について研究し,ガレルキン法を用いてその弱解を構成した.
3.研究分担者・新井は,強擬凸領域上のベルグマン・ラプラシアンを一般化した,境界で退化する2階楕円型偏微分作用素Lについて研究し,Lu=0の解からなるHardy空間をアトムおよび拡散過程によって特徴付け,その応用として強擬凸領域上の解析関数からなるHardy空間に関するボイタシュチーク(Wojtaszczyk)予想を解決した.
4.研究分担者・高木は,活性因子と抑制因子からなる2成分の反応拡散方程式系を軸対称な領域において研究し,活性因子の拡散係数が非常に小さく,抑制因子の拡散係数が十分大きい場合に,活性因子の分布が領域の対称軸と境界の交点のごく小さい近傍に集中するような定常解の存在を証明した.
5.研究分担者・板東は,開ケーラー多様体上のアインシュタイン・エルミート束について研究し,2次元複素ユークリッド空間上のアインシュタイン・エルミート束が2次元複素射影空間上の無限遠直線上で自明なベクトル束に対応するというDonaldsonの定理を,より一般の開ケーラー多様体の場合へ拡張した.

本研究は微分方程式の解あるいは解のなす集合に何らかの特異性が生じるような状況に着目し,その特異性を手掛りにして解の性質を詳しく調べようというものである。最高階の偏導函数の係数が非常に小さい楕円型偏微分方程式は解に境界層や内部遷移層が生じ得る特異摂動問題とみなすことができる。高木は巾型非線型項をもつ半線型楕円型方程式のノイマン問題を特異摂動の観点から研究し、次の結果を得た。(1)ソボレフの埋込み定理から規定される臨界増大度よりも小さい非線型性について,最小エネルギー解は領域の境界上のただ一点のみにおいて最大値をとり,しかも拡散係数が0に近づくときこの最大点は境界の平均曲率を最大ならしめる点に近づくことを示した。(2)活性因子ー抑制因子型のある反応拡散方程式系に対し、軸対称領域において複数個の点に鋭いピークをもつような定常解を構成した。(以上W.-M.Niとの共同研究による。)これらは生物の形態形成の数理モデルとそれを最も単純化したものであり,解の存在という観点からは第一段階を越えることが云えるが,解の安定性という重要な問題は依然未解決である。
解の特異性について,堀畑は変分問題の解の特異点の集合の大きさを測った。また,藤家は複素領域におけるある二階のフックス型偏微分方程式について調べ,解の特異性が超幾何函数によって記述できることを示した。加藤は遅れをもつ微分方程式を様々な角度から研究し,終局有界性と同等終局有界性の間の関係を明らかにするなどの結果を得た。新井は強擬凸領域上の解析函数からつくられるハーディ空間が単位円板上の古典的ハーディ空間と同型であることを証明した。

(A)典型的な特異摂動問題として、巾型非線型項を持つある半線型楕円型偏微分方程式のノイマン問題を考察した。この方程式は発生生物学の形態形成をモデル化した反応拡散方程式系の定常問題を研究する上で本質的な役割を果たす、Niを高木の共同研究では、拡散係数が十分小さいときの解の形状を領域の境界の幾何学的量と関連づけて表現することに成功した。得られた結果は以下のとおり:まず、非線型項がソボレフの埋蔵定理から決まる臨界増大度よりも小さい場合には、(1)解のうちで最もエネルギ-が小さいものは拡散係数が十分小さいときはつねにただひとつの極大値を持ち、従ってそれは最大値であるが、領域の境界上のただ一点で達成される。更に(2)最小エネルギ-解が最大値をとる点における境界の平均曲率は、拡散係数が0に近づくとき、境界の平均曲率の最大値に近づく、また、非線型項が臨界増大度に等しいときについて、(1)が成立することを示した。
(B)特異性を持った解の近傍における解の挙動の研究として、藤家は有理函数を初期値とするコ-シ-問題の解の特異性を調べた、フックス型作用素の場合、あり種の二階の作用素については解の特異性が知られていたが、これを高階の作用素に拡張した。また、堀畑は微分幾何学における調和写像に付随した非線型の放物型偏微分方程式系の部分的正則性を調べるために時間の差分化を工夫し、差分解をある汎函数の最小値函数として構成することに成功した。
(C)解集合の構造と特異点との関係の研究として、伊藤は解析的なハミルトン系の平衡点の近傍において系が完全積分可能系であることと解析的な正準変換でハミルトン函数をバ-コフ標準型に写すものが存在することとがある条件では同値であることを示した。

1.作用素環の順序構造(斎藤)。可算鎖条件を満すノイマン因子環が与えられた時それと可分C^*ー環の正則完備化とのテンソル積が可算稠密集合を持つ必要十分条件はそのノイマン因子環がI型となる事を示し系として可算鎖条件を満すがδー∝分配律を満さぬスト-ン空間で位相同型でないものが少くとも2つある事を示した。2.調和解析学(新井)。狭義擬凸領域上のポテンシャル論における未解決問題(テ-ラ-)を肯定的に解決した。即ち狭義擬凸領域のバ-グマン計量に関するマルチンコンパクト化が位相的コンパクト化と位相同型となる事を示した。3.偏微分方程式と関数解析学関係(高木)。ソボレフの埋蔵定理に関係した臨界増大度を持つ半線形楕円型偏微分方程式に対するノイマン問題を考察し正値解の中でエネルギ-が最小のものは唯一つの極大値を持ちそれが領域の境界上の一点で実現される事を示した。4.力学系(伊藤)解析的ハミルトン系の平衡点の近傍で線形化ベクトル場の固有値が共鳴度1であれば解析的正準変換でハミルトン関数をバ-ユフ標準形に移するものが存在する事と系が完全可積分な事とが同値である事を示した。
さらに常微分方程式の解の安定性(加藤),ウィ-ナ-空間の部分多様体上の微分作用素(会田),ベルグマン核の漸近展開とそのアルゴリズム(中澤)非古典的ペテンシャルをもつシュ-レデンガ-作用素の固有値の漸近分布(立沢),有理関数を初期値とするユ-シ-問題の解の特異性(藤家),調和写象に件随した非線形放物型偏微分方程式系の正則性(堀畑)等の重要な研究がなされた。

本研究の目的は、ユ-クリッド空間上の調和解析を様々な角度から研究すると共に、その応用、多様体の上への調和解析の発展を期するものであった。
ユ-クリッド空間上のフ-リエ解析において、重要な問題は、しばしば平行移動不変な作用素の研究、特にその有界性に帰着される。その非自明な最も単純な例は、円盤マルチプライヤ-であるが、そのルベ-グ空間における有界性は、特種な場合しかしられていない。ある種の混合ノルム空間については、特別な場合になりたつ事を既に示したが、極座標についての混合ノルム空間について、ルビオ・デ・フランシア-コルドバが得た円盤マルチプライヤ-についての結果を一般化すこと試みた(猪狩)。その結果は、n次調和関数で定義される空間でのノルム評価を下げる事ができたものの、十分ではなく今後の研究によらねばならない。
立沢は、正のポテンシャルをもつシュレジンガ-作用素の固有値の漸近分布について、C.フェファ-マンが用いた調和解析的な手法ー関数の分解と荷重の応用ーを発展させ、固有値の変分原理とジリクレ-ノイマン法を用いて、研究した。その結果、非常に一般的なポテンシャルについて、すなわち非古典的な場合の一部も込めて固有値の漸近分布を記述することができた。
新井は、C^n内の滑らかな有界狭義擬凸領域Dをバ-グマン計量gによる完備ケ-ラ-多様体とみなし、この多様体上の調和解析を試みた。主な結果は、L_gのマルチン境界は、Dの位相的境界と同相であり、極小マルチン境界点からなる。これはテイラ-の問題の肯定的解答を与えるものである。また、L_g調和測度と境界上のルベ-グ測度は互いに連続であることを示した。この結果の今後の応用が期待される。

The research had the purpose of contributing to the cross-fertilisation of analysis and geometry, through the development of global analysis on manifolds, and exploring at the same time interesting and potentially fruitful interrelations between various fields of mathematics.
The project involved work in partial differential equations, dynamical systems, harmonic analysis and other diverse topics in analysis.
The results obtained during the period of this research project can be summarised as follows.
1. Partial differential equations and their applications to geometry : (1) study of asymptotic distribution of eigenvalues for Schrodinger operators with non-classical positive potentials ; (2) study of equivariant index of Dirac operators on spin manifolds ; (3) proof of the removability of isolated singularities for holomorphic vector bundles in connection with their Ricci curvature.
2. Dynamical system and functional differential equations : (1) reduction of integrable hamiltonian system to the normal form near singular points ; (2) discovery of various criteria for the existence and stability of functional differential equations with infinite delay.
3. Nonlinear analysis : (1) study on geometric structures of solutions, such as pattern formation and the appearance of singularities for reaction-diffusion equations ; (2) proof of asymptotic stability of gradient flow, associated with the Yang-Mills functional.
4. Harmonic analysis and operator theory : (1) proof of a Fatou-type theorem concerning the boundary behavior of harmonic functions on strictly pseudo-convex domains ; (2) study on the interrelation between the order structure and the regular completion of operator algebras.
5. Analysis on complex manifolds : study on the Bergman kernels on strictly pseudo-convex Reinhardt domains in C^2 in connection with the Chern-Moser invariant polynomials of the boundaries.

By mathematical study we obtained a patent, and by applying this technology we designed a chocolate can of a Japanese maker of confectionery.

JSTニュースで新井の研究の特集が組まれた。Part 1は新井の研究概要、Part 2は新井の研究成果に対するJST知財センターの取り組みが書かれている。いずれもインタビュー記事。

A one-man exhibition of my &quot;Illusion Science Art&quot; works.

"YURARIE" is a new business project by Rakupri Co. based on patents (Invetors: Hitoshi Arai and Shinobu Arai, JST). In August 27, 2015, this project was reported by the news, World Business Satelite (TV Tokyo).

『JST news 4月号 (2013)』に新井の研究に関する特集．『脳をだます「錯視」を数学的に解明』
http://www.jst.go.jp/pr/jst-news/pdf/2012/2013_04_p08.pdf

新井・新井の文字列傾斜錯視自動生成アルゴリズムが、次のメディアでニュースになりました：『MSN産経ニュース』，『47News』他 （2012/3/22），『東京中日スポーツ』の紙面，他 (2012/3/23) (共同通信社配信)， 『とくダネ！』（フジテレビ），『ひるおび！』（TBS），『ITmediaニュース』(2012/3/23)．