2026/05/02 更新

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オガワ　タカヨシ
小川　卓克
所属
理工学術院 大学院基幹理工学研究科
職名
教授（任期付）
学位
理学博士 ( 1991年06月 東京大学 )
ホームページ
http://web.tohoku.ac.jp/ogawa/index.html

経歴

  • 2024年04月
    -
    継続中

    早稲田大学   理工学術院 大学院基幹理工学研究科   教授   理学博士

委員歴

  • 2019年04月
    -
    2021年03月

    京都大学数理解析研究所  専門委員

  • 2009年09月
    -
    2020年09月

    函数方程式論福原賞選考委員会  福原賞選考委員

  • 2015年04月
    -
    2018年03月

    日本学術振興会  学術システム研究センター研究員

  • 2015年04月
    -
    2017年03月

    日本数学会 解析学賞選考委員会  解析学賞選考委員

  • 2009年04月
    -
    2015年03月

    日本数学会 函数方程式論分科会  函数方程式論分科会委員

  • 2009年04月
    -
    2014年03月

    日本数学会  連絡責任評議員

  • 2010年04月
    -
    2012年03月

    日本数学会  理事

  • 2008年04月
    -
    2009年03月

    日本数学会  評議員 (東北地区責任連絡評議員)

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所属学協会

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    日本数学会

研究分野

  • 応用数学、統計数学   Applied Analysis / 数学基礎   Applied Analysis / 基礎解析学   Real Analysis / 数理解析学   Nonlinear Analysis

研究キーワード

  • 応用解析学

  • 調和解析学

  • 実解析学

受賞

  • 文部科学大臣表彰 科学技術賞

    2021年04月   文部科学省   非線型発展方程式の臨界構造と臨界型函数不等式の研究  

    受賞者： 小川卓克

  • 日本数学会秋季賞

    2019年09月   日本数学会   非線型発展方程式における臨界構造の研究  

    受賞者： 小川卓克

  • 解析学賞

    2009年09月   解析学賞委員会(日本数学会)   実解析的手法による臨界型非線形偏微分方程式の研究  

 

論文

  • Global well-posedness and time-decay of solutions for the compressible Hall-magnetohydrodynamic system in the critical Besov framework

    S. Kawashima, R. Nakasato, T. Ogawa

    Journal of Differential Equations   328   1 - 64  2022年08月  [査読有り]

    DOI

  • Ill-posedness for initial value problem for the barotropic compressible Navier-Stokes equation in Besov spaces

    T. Iwabuchi, T. Ogawa

    J. Math. Soc. Japan   74 ( 2 ) 353 - 394  2022年06月  [査読有り]

    DOI

  • Maximal L^1-regularity for parabolic initial-boundary value problems with inhomogeneous data

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Journal of Evolution Equations   22 ( 2 ) paper no. 30 - 67pp.  2022年04月  [査読有り]

    　概要を見る

    Abstract

    End-point maximal $$L^1$$-regularity for parabolic initial-boundary value problems is considered. For the inhomogeneous Dirichlet and Neumann data, maximal $$L^1$$-regularity for initial-boundary value problems is established in time end-point case upon the homogeneous Besov space $${\dot{B } }_{p,1}^s({\mathbb {R } }^n_+)$$ with $$1< p< \infty $$ and $$-1+1/p<s\le 0$$ as well as optimal trace estimates. The main estimates obtained here are sharp in the sense of trace estimates and it is not available by known theory on the class of UMD Banach spaces. We utilize a method of harmonic analysis, in particular, the almost orthogonal properties between the boundary potentials of the Dirichlet and the Neumann boundary data and the Littlewood-Paley dyadic decomposition of unity in the Besov and the Lizorkin–Triebel spaces.

    DOI

  • Maximal regularity and a singular limit problem for the Patlak-Keller-Segel system in the scaling critical space involving BMO

    M. Kurokiba, T. Ogawa

    Partial Differential Equations Appl.   3 ( 1 ) Paper no. 3 - 67pp.  2022年02月  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Ill-posedness for the Cauchy problem of the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations for an ideal gas

    T.Iwabuchi, T.Ogawa

    J. Elliptic Parabol. Equ.   2 ( 2 ) 571 - 587  2021年11月  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Well-posedness for the Cauchy problem of convection-diffusion equations in the critical uniformly local Lebesgue spaces

    Md Rabiu Haque, Norisuke Ioku, Takayoshi Ogawa, Ryuichi Sato

    Differential and Integral Equations   31 ( 3-4 ) 223 - 244  2021年04月  [査読有り]

  • Singular Limit Problem to the Keller-Segel System in Critical Spaces and Related Medical Problems—An Application of Maximal Regularity

    Takayoshi Ogawa

    Nonlinear Partial Differential Equations for Future Applications     103 - 182  2021年  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Singular limit problem for the two-dimensional Keller-Segel system in scaling critical space

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Journal of Differential Equations   269 ( 10 ) 8959 - 8997  2020年11月  [査読有り]

    DOI

  • Singular limit problem for the Keller–Segel system and drift–diffusion system in scaling critical spaces

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Journal of Evolution Equations   20 ( 2 ) 421 - 457  2020年06月  [査読有り]

    DOI

  • L2-decay rate for the critical nonlinear Schr"odinger equation with a small smooth data

    Takayoshi Ogawa, Takuya Sato

    NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.   27 ( 2 ) 18  2020年  [査読有り]

  • Finite-time blow-up for solutions to a degenerate drift-diffusion equation for a fast-diffusion case

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Nonlinearity   32 ( 6 ) 2073 - 2093  2019年06月  [査読有り]

    DOI

  • Critical dissipative estimate for a heat semigroup with a quadratic singular potential and critical exponent for nonlinear heat equations

    Norisuke Ioku, Takayoshi Ogawa

    Journal of Differential Equations   266 ( 4 ) 2274 - 2293  2019年02月  [査読有り]

    DOI

  • Beckner type of the logarithmic Sobolev and a new type of Shannon’s inequalities and an application to the uncertainty principle

    Hideo Kubo, Takayoshi Ogawa, Takeshi Suguro

    Proceedings of the American Mathematical Society   147 ( 4 ) 1511 - 1518  2018年12月  [査読有り]

    DOI

  • Ill-posedness for a system of quadratic nonlinear Schrodinger equations in two dimensions

    Tsukasa Iwabuchi, Takayoshi Ogawa, Kota Uriya

    Journal of Functional Analysis   271 ( 1 ) 136 - 163  2016年07月  [査読有り]

    DOI

  • Ill-posedness issue for the drift difussion system in the homogeneous Besov spaces

    Tsukasa Iwabuchi, Takayoshi Ogawa

    Osaka J. Math.   53   919 - 939  2016年07月  [査読有り]

  • Endpoint maximal L1 regularity for parabolic equations with variable coefficient

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Math. Ann.   365 ( 1-2 ) 661 - 705  2016年06月  [査読有り]

    DOI

  • Ill-posedness for the Cauchy problem of the non-linear Schr\"odinger system with mass resonance

    Tsukasa Iwabuchi, Takayoshi Ogawa, Kota Uriya

    Journal of Functional Analysis   271 ( 1 ) 136 - 163  2016年05月  [査読有り]

  • Global existence of solutions to a parabolic-elliptic system of drift-diffusion type in R

    Toshitaka Nagai, Takayoshi Ogawa

    Funkcioj Ekvacioj   59 ( 1 ) 67 - 112  2016年04月  [査読有り]

    DOI

  • Non-uniform bound and finite time blow up for solutions to a drift-diffusion equation in higher dimensions

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Wakui

    Analysis and Application   14 ( 1 ) 145 - 183  2016年01月  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Threshold of global behavior of solutions to a degenerate drif-diffusion system in between two critical exponents

    Atsushi Kimijima, Kazushige Nakagawa, Takayoshi Ogawa

    Calc. Var. Partial Differential Equations   53 ( 1-2 ) 441 - 472  2015年05月  [査読有り]

    DOI

  • Ill-posedness issue for nonlinear Schr¨odinger equation with the quadratic nonlinearity for low dimensions

    Tsukasa Iwabuchi, Takayoshi Ogawa

    Trans. Ameri. Math. Soc   367 ( 4 ) 2613 - 2630  2015年04月  [査読有り]

    DOI

  • Final state problem for a quadratic nonlinear Schrodinger system in two space dimensions with mass resonance

    Takayoshi Ogawa, Kota Uriya

    Journal of Differential Equations   258 ( 2 ) 483 - 503  2015年01月  [査読有り]

    DOI

  • Fluid mechanical approximation to the degenerated drift-diffusion system from the compressible Navier-Stokes-Poisson system

    Takayuki Kobayashi, Takayoshi Ogawa

    Indiana University Mathematics Journal   62 ( 3 ) 1021 - 1054  2013年  [査読有り]

    DOI

  • Regularity and asymptotic behavior for the Keller-Segel system of degenerate type with critical nonlinearity.

    Masashi Mizuno, Takayoshi Ogawa

    J. Math. Sci. Univ. Tokyo   20 ( 3 ) 375 - 433  2013年  [査読有り]

  • Large time behavior of solutions for a system of nonlinear damped wave equations

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Takeda

    Journal of Differential Equations   251 ( 11 ) 3090 - 3113  2011年12月  [査読有り]

    DOI

  • Brezis-Merle inequalities and application to the global existence of the Cauchy problem of the Keller-Segel equations

    Toshitaka Nagai, Takayoshi Ogawa

    Communications in Contemporary Mathematics   13 ( 5 ) 795 - 812  2011年10月  [査読有り]

    DOI

  • Interpolation inequality of logarithmic type in abstract Besov spaces and an application to semilinear evolution equations

    Toshitaka Matsumoto, Takayoshi Ogawa

    Mathematische Nachrichten   283 ( 12 ) 1810 - 1828  2010年12月  [査読有り]

    DOI

  • End-point maximal regularity and its application to two-dimensional Keller-Segel system

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Math. Z.   264 ( 3 ) 601 - 628  2010年03月  [査読有り]

    DOI

  • Asymptotic behavior of solutions to drift-diffusion system with generalized dissipation

    Takayoshi Ogawa, Masakazu Yamamoto

    Mathematical Models and Methods in Applied Sciences   19 ( 06 ) 939 - 967  2009年06月  [査読有り]

    DOI

  • Asymptotic stability of a decaying solution to the Keller-Segel system of degenerate type

    Takayoshi Ogawa

    Differential and Integral Equations   21   1113 - 1154  2008年12月  [査読有り]

  • Regularity condition by mean oscillation to a weak solution of the 2-dimensional Harmonic heat flow into sphere

    Masashi Misawa, Takayoshi Ogawa

    Calculus of Variations and Partial Differential Equations   33 ( 4 ) 391 - 415  2008年12月  [査読有り]

    DOI

  • The drift-diffusion system in two-dimensional critical Hardy space

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Journal of Functional Anlysis   255 ( 5 ) 1107 - 1138  2008年09月  [査読有り]

    DOI

  • Well-posedness for the drift-diffusion system in L-p arising from the semiconductor device simulation

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Journal of Mathematical Analysis and Applications   342 ( 2 ) 1052 - 1067  2008年06月  [査読有り]

    DOI

  • Decay and asymptotic behavior of a solution of the Keller-Segel system of degenerated and non-degenerated type

    Takayoshi Ogawa

    Banach Center Publ.   74   161 - 184  2006年12月  [査読有り]  [招待有り]

  • Convergence of the approximation scheme of the motion by mean curvature in the Bence-Merriman-Osher algorithm

    Yoko Goto, Katsuyuki Ishii, Takayoshi Ogawa

    Comm. Pure Appl. Anal.   4 ( 2 ) 311 - 339  2005年06月  [査読有り]

    DOI

  • Large time behavior and Lp-Lq estimate of solutions of 2-dimensional nonlinear damped wave equations

    Takafumi Hosono, Takayoshi Ogawa

    Journal of Differential Equations   203 ( 1 ) 82 - 118  2004年08月  [査読有り]

    DOI

  • Uniqueness and inviscid limits of solutions for the complex Ginzburg-Landau equation in a two-dimensional domain

    Takayoshi Ogawa, Tomomi Yokota

    Communications in Mathematical Physics   245 ( 1 ) 105 - 121  2004年02月  [査読有り]

    DOI

  • The limiting uniqueness criterion by vorticity for navier-stokes equations in besov spaces

    Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    Tohoku Mathematical Journal   56 ( 1 ) 65 - 77  2004年  [査読有り]

    DOI

  • Finite time blow-up of the solution for the nonlinear parabolic equation of the drift diffusion type

    Takayoshi Ogawa, Masaki Kurokiba

    Diff. Integral Equations   16 ( 4 ) 427 - 452  2003年01月  [査読有り]

  • Sharp Sobolev inequality of logarithmic type and the limiting regularity condition to the harmonic heat flow

    Takayoshi Ogawa

    SIAM Journal on Mathematical Analysis   34 ( 6 ) 1318 - 1330  2003年  [査読有り]

    DOI

  • Navier-Stokes Equations in the Besov Space Near L∞ and BMO

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    Kyushu Journal of Mathematics   57 ( 2 ) 303 - 324  2003年  [査読有り]

    DOI

  • The critical Sobolev inequalities in Besov spaces and regularity criterion to some semi-linear evolution equations

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    Math. Z.   242 ( 2 ) 251 - 278  2002年03月  [査読有り]

    DOI

  • Analytic smoothing effect and single point singularity for the nonlinear Schr\"odinger equations

    Keiichi Kato, Takayoshi Ogawa

    J. Korean Math. Soc.   37 ( 6 ) 1071 - 1084  2000年01月  [査読有り]  [招待有り]

  • Analyticity and smoothing effect for the Korteweg de Vries equation with a single point singularity

    Keiichi Kato, Takayoshi Ogawa

    Mathematische Annalen   316 ( 3 ) 577 - 608  2000年  [査読有り]

    DOI

  • Interaction Equations for Short and Long Dispersive Waves

    Daniella Bekiranov, Takayoshi Ogawa, Gustavo Ponce

    Journal of Functional Analysis   158 ( 2 ) 357 - 388  1998年10月  [査読有り]

    DOI

  • Two dimensional elliptic equation with critical nonlinear growth

    Takayoshi Ogawa, Takashi Suzuki

    Trans. Ameri. Math. Soc.   350 ( 12 ) 4897 - 4918  1998年01月  [査読有り]

  • Weak solvability and well-posedness of a coupled Schroedinger-Korteweg de Vries equation

    Daniella Bekiranov, Takayoshi Ogawa, Gustavo Ponce

    Proc. Ameri. Math. Soc.   125 ( 10 ) 2907 - 2919  1997年01月  [査読有り]

  • Decay properties of strong solutions for the Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa

    Archive for Rational Mechanics and Analysis   122 ( 1 ) 1 - 17  1993年  [査読有り]

  • Some $L^p$ estimate for the exterior Stokes flow and an application to the nonstationary Navier-Stokes equations

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa

    Indiana Univ. Math. J.   41   789 - 808  1992年01月  [査読有り]

  • Two-dimensional Navier-Stokes flow in unbounded domains

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa

    Math. Ann.   297   1 - 32  1992年01月  [査読有り]

    CiNii

  • Blow-up of H1 solution for the nonlinear Schrödinger equation

    Takayoshi Ogawa, Yoshio Tsutsumi

    Journal of Differential Equations   92 ( 2 ) 317 - 330  1991年  [査読有り]

    DOI

  • Trudinger type inequalities and uniqueness of weak solutions for the nonlinear Schrödinger mixed problem

    Takayoshi Ogawa, Tohru Ozawa

    Journal of Mathematical Analysis and Applications   155 ( 2 ) 531 - 540  1991年  [査読有り]

    DOI

  • A proof of Trudinger's inequality and its application to nonlinear Schrödinger equations

    Takayoshi Ogawa

    Nonlinear Analysis   14 ( 9 ) 765 - 769  1990年  [査読有り]

    DOI

  • The initial-boundary value problem for the nonlinear Schrödinger equation with the nonlinear Neumann boundary condition on the half-plane in L2

    Takayoshi Ogawa, Takuya Sato, Shun Tsuhara

    Journal of Differential Equations   436   113361 - 113361  2025年08月

    DOI

  • The initial-boundary value problem for the nonlinear Schrödinger equation with the nonlinear Neumann boundary condition on the half-line

    Nakao Hayashi, Takayoshi Ogawa, Takuya Sato

    Journal of Differential Equations   422   355 - 385  2025年03月

    DOI

  • Local well-posedness for the initial boundary value problem of the scaling critical compressible Navier–Stokes equations in nearly half space

    Noboru Chikami, Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Communications in Analysis and Mechanics   17 ( 3 ) 749 - 778  2025年

    DOI

  • Free boundary problems of the incompressible Navier–Stokes equations with non-flat initial surface in the critical Besov space

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Mathematische Annalen    2024年03月

    　概要を見る

    Abstract

    Global well-posedness of the Navier–Stokes equations with a free boundary condition is considered in the scaling critical homogeneous Besov spaces $${\dot{B } }_{p,1}^{-1+n/p}({\mathbb {R } }^n_+)$$ with $$n-1< p< 2n-1$$. To show the global well-posedness, we establish end-point maximal $$L^1$$-regularity for the initial-boundary value problem of the Stokes equations. Such an estimate is obtained via related estimate for the initial-boundary value problem of the heat equation with the inhomogeneous Neumann data as well as the pressure estimate in the critical Besov space framework. The proof heavily depends on the explicit expression of the fundamental integral kernel of the Lagrange transformed linearized Stokes equations and the almost orthogonal estimates with the space-time Littlewood–Paley dyadic decompositions. Our result here improves the initial space and boundary state than previous results by Danchin–Hieber–Mucha–Tolksdorf (Free boundary problems via Da Prato–Grisvard theory. arXiv:2011.07918v2) and ourselves (Ogawa and Shimizu in J Evol Equ 22(30):67, 2022; Ogawa and Shimizu in J Math Soc Jpn. arXiv:2211.06952v3).

    DOI

  • Linear decay property for the hyperbolic-parabolic coupled systems of thermoviscoelasticity

    Priyanjana M. N. Dharmawardane, Shuichi Kawashima, Takayoshi Ogawa, Jun-ichi Segata

    Journal of Hyperbolic Differential Equations   20 ( 04 ) 967 - 986  2023年12月

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    We consider the initial value problem of a linearized hyperbolic-parabolic coupled systems of thermoviscoelasticity around the constant state with arbitrary spatial dimensions ([Formula: see text]) and study the decay property of the systems. In the first place, we construct the fundamental solutions in Fourier space. Then we prove the decay property for the linearized systems provided that the initial data are in [Formula: see text].

    DOI

  • Maximal $L^{1}$-regularity and free boundary problems for the incompressible Navier–Stokes equations in critical spaces

    Takayoshi OGAWA, Senjo SHIMIZU

    Journal of the Mathematical Society of Japan   -1 ( -1 )  2023年10月

    DOI

  • Global existence of solutions to the 4D attraction–repulsion chemotaxis system and applications of Brezis–Merle inequality

    Tatsuya Hosono, Takayoshi Ogawa

    Nonlinearity   36 ( 11 ) 5860 - 5883  2023年09月

    　概要を見る

    Abstract

    We consider the Cauchy problem for an attraction–repulsion chemotaxis system in the four space dimension. One of main topics in the study of such a system is the presence of L1 threshold. In fact, the critical mass phenomenon called 8π-problem is well-known in the two-dimensional setting. In this paper, we show the global existence of solutions to the Cauchy problem for the four-dimensional subcritical case, that is, the total mass of the initial data is less than the four-dimensional L1 threshold value $(8\pi)^2$. The key ingredients are the four-dimensional Brezis–Merle type inequality of the 4th-order elliptic equation and some inequalities derived from rearrangement arguments.

    DOI

  • Critical exponent for global existence of solutions to the Schrödinger equation with a nonlinear boundary condition

    Nakao Hayashi, Chunhua Li, Takayoshi Ogawa, Takuya Sato

    Nonlinear Analysis   230   113229 - 113229  2023年05月

    DOI

  • Finite time blow up and concentration phenomena for a solution to drift-diffusion equations in higher dimensions

    Takayoshi Ogawa, Takeshi Suguro, Hiroshi Wakui

    Calculus of Variations and Partial Differential Equations   62 ( 2 )  2023年03月

    　概要を見る

    Abstract

    We show the finite time blow up of a solution to the Cauchy problem of a drift-diffusion equation of a parabolic-elliptic type in higher space dimensions. If the initial data satisfies a certain condition involving the entropy functional, then the corresponding solution to the equation does not exist globally in time and blows up in a finite time for the scaling critical space. Besides there exists a concentration point such that the solution exhibits the concentration in the critical norm. This type of blow up was observed in the scaling critical two dimensions. The proof is based on the profile decomposition and the Shannon inequality in the weighted space.

    DOI

  • Maximal regularity of the heat evolution equation on spatial local spaces and application to a singular limit problem of the Keller–Segel system

    Takayoshi Ogawa, Takeshi Suguro

    Mathematische Annalen    2022年09月

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    Abstract

    We consider the singular limit problem for the Cauchy problem of the (Patlak–) Keller–Segel system of parabolic-parabolic type. The problem is considered in the uniformly local Lebesgue spaces and the singular limit problem as the relaxation parameter $$\tau $$ goes to infinity, the solution to the Keller–Segel equation converges to a solution to the drift-diffusion system in the strong uniformly local topology. For the proof, we follow the former result due to Kurokiba–Ogawa [20–22] and we establish maximal regularity for the heat equation over the uniformly local Lebesgue and Morrey spaces which are non-UMD Banach spaces and apply it for the strong convergence of the singular limit problem in the scaling critical local spaces.

    DOI

  • Mathematical Modelling and Dissipative Structure for Systems of Magnetohydrodynamics with Hall Effect

    Shuichi Kawashima, Ryosuke Nakasato, Takayoshi Ogawa

    Mathematical Models and Methods in Applied Sciences   32 ( 09 ) 1807 - 1878  2022年07月

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    This paper is concerned with the mathematical modeling of electro-magneto-hydrodynamics and magnetohydrodynamics by taking account of the Hall effect. We discuss conservation laws, strict convexity of the negative entropy as a function of conserved quantities, and the associated energy form. Moreover, we investigate the dissipative structure and decay properties of the linearized systems as applications of the general theory developed in Umeda et al. [On the decay of solutions to the linearized equations of electro-magneto-fluid dynamics, Japan J. Appl. Math. 1 (1984) 435–457] and Shizuta and Kawashima [Systems of equations of hyperbolic–parabolic type with applications to the discrete Boltzmann equation, Hokkaido Math. J. 14 (1985) 249–275].

    DOI

  • Maximal regularity for the Cauchy problem of the heat equation in BMO

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Mathematische Nachrichten   295 ( 7 ) 1406 - 1442  2022年06月

    　概要を見る

    Abstract

    We consider maximal regularity for the Cauchy problem of the heat equation in a class of bounded mean oscillations (). Maximal regularity for non‐reflexive Banach spaces is not obtained by the established abstract theory. Based on the symmetric characterization of ‐expression, we obtain maximal regularity for the heat equation in and its sharp trace estimate. Our result shows that the homogeneous initial estimate obtained by Stein [50] and Koch–Tataru [32] can be strengthened up to the inhomogeneous estimate for the external forces and the obtained estimates can be applicable to quasilinear problems. Our method is based on integration by parts and can also be applicable to other type of parabolic problems.

    DOI

  • Local well-posedness and finite time blow-up of solutions to an attraction--repulsion chemotaxis system in higher dimensions

    T. Hosono, T.Ogawa

    J. Math. Anal. Appl.   510   126009  2022年03月  [査読有り]

    DOI

  • Asymptotic behavior of a solution to the drift-diffusion equations for a fast-diffusion case

    T. Ogawa, T. Suguro

    J. Differential Equations   307   114 - 136  2022年01月  [査読有り]

    DOI

  • Maximal $$L^1$$-regularity of the heat equation and application to a free boundary problem of the Navier-Stokes equations near the half-space

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Journal of Elliptic and Parabolic Equations   7 ( 2 ) 509 - 535  2021年12月  [査読有り]  [招待有り]

    担当区分：筆頭著者

    DOI

  • Inhomogeneous Dirichlet boundary value problem for nonlinear Schr"odinger equations in the upper half-space

    N. Hayashi, E. I. Kaikina, T. Ogawa

    Partial Differ. Equ. Appl.   2 ( paper no. 69 ) 24pp.  2021年08月  [査読有り]

    DOI

  • Global well-posedness for the incompressible Navier–Stokes equations in the critical Besov space under the Lagrangian coordinates

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Journal of Differential Equations   274   613 - 651  2021年02月  [査読有り]

    DOI

  • Inhomogeneous Neumann-boundary value problem for nonlinear Schr\"odinger equatios in the upper half-space

    N. Hayashi, E. I. Kaikina, T. Ogawa

    Differential Integral Equations   34 ( 11-12 ) 641 - 674  2021年  [査読有り]

  • Singular limit for the magnetohydrodynamics of the damped wave type in the critical Fourier–Sobolev space

    Tatsuya Matsui, Ryosuke Nakasato, Takayoshi Ogawa

    Journal of Differential Equations   271   414 - 446  2021年01月  [査読有り]

    DOI

  • Maximal $L^{1}$-regularity for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data in the half-space

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences   96 ( 7 ) 57 - 62  2020年07月  [査読有り]

    DOI

  • Dirichlet-boundary value problem for one dimensional nonlinear Schr\"odinger equations with large initial and boundary data

    Nakao Hayashi, Erena E. Kaikina, Takayoshi Ogawa

    NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.   27 ( 2 ) 17  2020年  [査読有り]

  • Analytic smoothing effect for system of nonlinear Schr\"odinger equations with general mass resonance

    Takayoshi Ogawa, Takuya Sato

    Hiroshima Mathematical Journal   50   73 - 84  2020年  [査読有り]

  • Existence of weak solutions to a convection-diffusion equation in a uniformly Lebesgue space

    Md. Rabiul Haque, Takayoshi Ogawa, Ryuichi Sato

    Comm. Pure Appl. Anal    2020年  [査読有り]

  • Finite time blow up and non-uniform bound for solutions to a degenerate drift-diffusion equation with the mass critical exponent under non-weight condition

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Wakui

    manuscripta mathematica   159 ( 3-4 ) 475 - 509  2019年07月  [査読有り]

    DOI

  • Energy structure and asymptoticprofile of the linearized system of thermo-elastic equation in lower space dimensions

    Yuki Kimura, Takayoshi Ogawa

    Advanced Study of Pure Mathematics   81   101 - 120  2019年  [査読有り]

  • Higher-order nonlinear Schrödinger equations with singular data

    Nakao Hayashi, Pavel I. Naumkin, Takayoshi Ogawa

    Journal of Evolution Equations   18 ( 1 ) 263 - 276  2018年03月

    DOI

  • Logarithmic Sobolev and Shannon's inequalities and an application to the uncertainty principle

    Takayoshi Ogawa, Kento Seraku

    Communications on Pure & Applied Analysis   17 ( 4 ) 1651 - 1669  2018年  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Remark on the uniqueness of a mild solution of the Boltzmann equation in the critical Besov space

    Takayoshi Ogawa, Senjo Shimizu

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B67   83 - 105  2017年10月  [査読有り]  [招待有り]

  • Global wellposedness for a one-dimensional Chern-Simons-Dirac system in Lp

    Shuji Machihara, Takayoshi Ogawa

    Communications in Partial Differential Equations   42 ( 8 ) 1175 - 1198  2017年09月

  • Well-posedness of the compressible Navier-Stokes-Poisson system in the critical Besov spaces

    Noboru Chikami, Takayoshi Ogawa

    Journal of Evolution Equations   17 ( 2 ) 717 - 747  2017年06月  [査読有り]

    DOI

  • Local Well-Posedness for the Cauchy Problem to Nonlinear Heat Equations of Fujita Type in Nearly Critical Besov Space

    Takayoshi Ogawa, Yuuki Yamane

    Springer Proceedings in Mathematics & Statistics     215 - 239  2017年  [査読有り]  [招待有り]

    DOI

  • Stability and instability of solutions to the drift-diffusion system

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Wakui

    Evolution Equations & Control Theory   6 ( 4 ) 587 - 597  2017年  [査読有り]

    DOI

  • Finite time blow up for a solution to system of the drift-diffusion equations in higher dimensions

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Math. Z.   284 ( 1-2 ) 231 - 253  2016年10月  [査読有り]

    DOI

  • Lifespan of solutions to the damped wave equation with a critical nonlinearity

    Masahiro Ikeda, Takayoshi Ogawa

    Journal of Differential Equations   261 ( 3 ) 1880 - 1903  2016年08月  [査読有り]

    DOI

  • Existence and uniqueness of two dimensional Euler-Poisson system and WKB approximation to the nonlinear Schrodinger-Poisson system

    Satoshi Masaki, Takayoshi Ogawa

    Journal of Mathematical Physics   56 ( 12 )  2015年12月  [査読有り]

    DOI

  • Two dimensional drift-diffusion system in a critical weighted space

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa

    Differential Integral Equations   28 ( 7-8 ) 753 - 776  2015年06月  [査読有り]

  • Asymptotic behavior of solutions to a quadratic nonlinear Schrödinger system with mass resonance

    Takayoshi Ogawa, Kota Uriya

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B42   153 - 170  2013年  [査読有り]

    CiNii

  • Modified wave operator for the quadratic nonlinear Schroedingier system in two space dimensions

    Takayoshi Ogawa, Kota Uriya

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B42   153 - 170  2013年  [査読有り]

  • A regularity criterion to the biharmonic map heat flow in R-4

    Jishan Fan, Hongjun Gao, Takayoshi Ogawa, Futoshi Takahashi

    Mathematische Nachrichten   285 ( 16 ) 1963 - 1968  2012年11月  [査読有り]

    DOI

  • The degenerate drift-diffusion system with the Sobolev critical exponent

    Takayoshi Ogawa

    Disc. Conti. Dynam. System, Ser S   4 ( 4 ) 875 - 886  2011年08月  [査読有り]

    DOI

  • Lp-Lq type estimate for the fractional order Laplacian in the Hardy space and global existence of the dissipative quasi-geostrophic equation

    Hidehiko Hayashi, Takayoshi Ogawa

    Adv. Differential Equations and Control Process   5 ( 1 ) 1 - 36  2010年07月  [査読有り]

  • Global existence of solutions for a system of nonlinear damped wave equations.

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Takeda

    Differential Integral Equations   23 ( 7-8 ) 635 - 657  2010年05月  [査読有り]

  • Global existence of solutions for a nonlinearly perturbed Keller-Segel system in R-2

    Masaki Kurokiba, Takayoshi Ogawa, Futoshi Takahashi

    ZAMP Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik   60 ( 5 ) 840 - 867  2009年09月  [査読有り]

    DOI

  • Drift-diffusion system in the critical case

    Takayoshi Ogawa

    RIMS Kokyuroku Bessatsu   B14   87 - 102  2009年05月  [査読有り]  [招待有り]

  • Non-existence of weak solutions to nonlinear damped wave equations in exterior domains

    Takayoshi Ogawa, Hiroshi Takeda

    Nonlinear Analysis - Theory Methods and Applications   70 ( 10 ) 3696 - 3701  2009年05月  [査読有り]

    DOI

  • Existence of multiple solutions for a nonlinearly perturbed elliptic parabolic system in R2

    Michinori Ishiwata, Takayoshi Ogawa, Futoshi Takahashi

    Electric Journal of Differential Equations   32   1 - 20  2009年02月  [査読有り]

  • Ferromagnetic spin model and the Schrodinger map on two dimensions

    Takayoshi Ogawa

    Nonlniear Dispersive Equations   26   177 - 187  2006年10月  [査読有り]  [招待有り]

  • The uniform boundedness and threshold for the global existence of the radial solution to a drift-diffusion system

    Masaki Kurokiba, Toshitaka Nagai, Takayoshi Ogawa

    Communications on Pure and Applied Analysis   5 ( 1 ) 97 - 106  2006年03月  [査読有り]

    DOI

  • Analytic smoothing effect for the Benjiamin-Ono equation

    Takayoshi Ogawa

    Tosio Kato's Method and Principle for Evolution Equations in Mathematical Physics     113 - 126  2004年12月  [査読有り]  [招待有り]

  • On blow-up criteria of smooth solutions to the 3-D Euler equations in a bounded domain

    Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    Journal of Differential Equations   190 ( 1 ) 39 - 63  2003年05月  [査読有り]

    DOI

  • A note on blow-up criterion to the 3-D Euler Equations in a bounded domain

    Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    J. Math. Fluid Mech.   5   17 - 23  2003年01月  [査読有り]

  • Wellposedness and analytic smoothing effect for the Benjamin-Ono equations

    Elena. Kaikina, Keiichi Kato, Pavel Naumkin, Takayoshi Ogawa

    Publ. Res. Inst. Math. Sci.   38 ( 3 ) 651 - 691  2002年01月  [査読有り]

    DOI CiNii

  • Well-posedness for the Benjamin equations

    Hodeo Kozono, Takayoshi Ogawa, Yasuoki Tanisaka

    J. Korean Math. Soc.   38 ( 6 ) 1205 - 1234  2001年01月  [査読有り]  [招待有り]

  • Remarks on uniqueness and blow-up criterion to the Euler equations in the generalized Besov spaces

    Takayoshi Ogawa, Yasushi Taniuchi

    J. Korean Math. Soc.   37 ( 6 ) 1007 - 1020  2000年01月  [査読有り]

  • Energy decay for a weak solution of the Navier-Stokes equation with slowly varying external forces

    Takayoshi Ogawa, Shubha V. Rajopadhye, Maria E. Schonbek

    Journal of Functional Analysis   144 ( 2 ) 325 - 358  1997年03月  [査読有り]

    DOI

  • Global well-posedness and conservation laws for the water wave interaction equation

    Takayoshi Ogawa

    Prof. Royal Soc. Edinburgh S. A Mathematics   127   369 - 384  1997年  [査読有り]

  • Nonlinear elliptic equations with critical growth related to the Trudinger inequality

    Takayoshi Ogawa, Takashi Suzuki

    ASYMPTOTIC ANALYSIS   12 ( 1 ) 25 - 40  1996年01月  [査読有り]

  • On the well-posedness of Benney's interaction equation of short and long waves

    Daniella Bekiranov, Takayoshi Ogawa, Gustavo Ponce

    Advance in Diff. Equations   1 ( 6 ) 919 - 937  1996年01月  [査読有り]

  • Microscopic asymptotics for solutions of some semilinear elliptic equations

    Takayoshi Ogawa, Takashi Suzuki

    Nagoya Mathematical Journal   138   33 - 50  1995年  [査読有り]

    DOI

  • Global strong solution and its decay properties for the Navier-Stokes equations in three dimensional domains

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa

    Math. Z.   216   1 - 31  1994年01月  [査読有り]

  • On stability of the Navier-Stokes flow in exterior domains

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa

    Archive for Rational Mechanics and Analysis   128 ( 1 ) 1 - 31  1994年  [査読有り]

  • Asymptotic behavior in $L^r$ for turbulent solutions of Navier-Stokes equations in exterior domains

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Herman Sohr

    Manuscripta Math.   74   253 - 275  1992年01月  [査読有り]

  • Blow-up of h1 solutions for the one-dimensional nonlinear schrodinger equation with critical power nonlinearity

    Ogawa Takayoshi, Tsutsumi Yoshio

    Proceedings of the American Mathematical Society   111 ( 2 ) 487 - 496  1991年  [査読有り]

    DOI

  • $L^2$ solution for the initial boundary value problem of the Korteweg-de Vries equation with periodic boundary condition

    Yoshio Tsutsumi, Takayoshi Ogawa

    Lecture Notes in Num. Appl. Anal.   11   187 - 202  1991年01月  [査読有り]

  • Blow-up of solutions for the nonlinear Schr"odinger equations with quartic potential and periodic boundary-condition

    Takayoshi Ogawa; Yoshio Tsutsumi

    FUNCTIONAL-ANALYTIC METHODS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS   1450   236 - 251  1990年  [査読有り]

  • Remarks on blowing-up of solutions for some nonlinear schrödinger equations

    Kazuhiro Kurata, Takayoshi Ogawa

    Tokyo Journal of Mathematics   13 ( 2 ) 399 - 419  1990年  [査読有り]

    DOI

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書籍等出版物

  • リーマン積分からルベーグ積分へ : 積分論と実解析

    小川, 卓克

    サイエンス社  2022年10月 ISBN: 9784781915531

  • 応用微分方程式

    小川卓克( 担当： 単著)

    朝倉書店  2017年04月

  • 非線型発展方程式の実解析的方法

    小川卓克( 担当： 単著)

    シュプリンガー・ジャパン(株)  2013年01月 ISBN: 9784621065143

  • 日本の現代数学 --新しい展開をめざして---

    小川卓克, 斉藤毅, 中島 啓( 担当： 共編者(共編著者))

    数学書房  2010年06月 ISBN: 9784903342177

  • Mathematical analysis on the self-organization and self-similarity

    Tatsuyuki Nakaki, Takasi Senba, Takayoshi Ogawa, Mishio Kawashita, Masaki Kurokiba( 担当： 共編者(共編著者))

    紀伊國屋書店  2009年12月

  • Asymptotic analysis and singularities---elliptic and parabolic PDEs and related problem, Advanced Studies in Pure Mathematics, 47-2

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Kazunaga Tanaka, Yoshio Tsutsumi, Eiji Yanagida( 担当： 共編者(共編著者))

    Mathematical Society of Japan  2007年12月

  • Asymptotic analysis and singularities---hyperbolic and dispersive PDEs and fluid mechanics, Advanced Studies in Pure Mathematics 47-1

    Hideo Kozono, Takayoshi Ogawa, Kazunaga Tanaka, Yoshio Tsutsumi, Eiji Yanagida( 担当： 共編者(共編著者))

    Mathematical Society of Japan  2007年12月

  • これからの非線形偏微分方程式

    小薗英雄, 小川卓克, 三沢正史( 担当： 共著,  担当範囲: 第1章1-18ページ 第4章 80-104ページ)

    日本評論社  2007年05月

  • 非線形分散および波動方程式に対する実解析的手法と適切性

    小川卓克( 担当： 単著)

    神戸大学理学部数学教室  2006年11月

  • 要説わかりやすい微分積分

    小川卓克( 担当： 単著)

    サイエンス社  2005年11月

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講演・口頭発表等

  • Pseudo conformal structure and mass resonance for two dimensional quadratic nonlinear Schr¨odinger system

    Workshop for Nonlinear Partial Differential Equations in Zhejiang University   (中国 Zejiang) 

    発表年月： 2015年03月

  • Ill-posedness for quadratic nonlinear Schr ¨ odinger equations in lower dimension and related topics,

    Taiwanese Mathematical Society Annual Meeting   (台湾 Tainan) 

    発表年月： 2014年12月

  • Threshold for the global behavior of solution to degenerate Keller-Segel (drift-diffusion) system in between critical exponents

    “Mathematical Approaches to Pattern Formation   (日本国 Sendai) 

    発表年月： 2014年10月

  • Threshold for the large time behavior of solutions to degenerate driff-diffusion system in between critical exponents

    “Mathematics for Fluid Dynamics   (フランス Lyon) 

    発表年月： 2014年10月

  • Maximal L1 Regularity for the Cauchy Problem of Parabolic Equations

    Mathamatical Theory of Gas and Fluids and Related Applications   (韓国 Seoul) 

    発表年月： 2014年08月

  • End-point maximal L1 regularity for parabolic equations and optimality

    9th East Asia Partial Differential Equations conference   (日本国 Nara) 

    発表年月： 2014年07月

  • “Mathematical Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations

    “Mathematical Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations"   (日本国 Fukuoka) 

    発表年月： 2013年11月

  • Local existence result for the compressible Navier-Stokes-Poisson system in a critical case

    CAU-Kyoto workshop for PDE   (韓国 Seoul) 

    発表年月： 2013年02月

  • Existence of solution to the compressible Navier-Stokes-Poisson system and the relation with the drift-diffusion system

    MathFlow 2012   (フランス Porquerolles) 

    発表年月： 2012年10月

  • Lp Dissipative Estimate for the Schr ̈odinger Semigroup with critical singular potential

    5th Euro-Japanese Workshop Blow-up   (フランス Marseille-Luminy) 

    発表年月： 2012年09月

  • Hardy’s inequality and Lp dissipative estimate for critically singular Schr¨odinger semigroup

    Japan-Germany conference for Partial Differential Equations   (Tokyo) 

    発表年月： 2012年03月

  • Semiclassical and zero relaxation limit for the quantum drift-diffusion system

    19th Workshop on Differential Equations and its Applications   (台湾 Tainan) 

    発表年月： 2011年01月

  • ”Generalized maximal regularity of heat equations and its applications

    Korea-Japan PDE conference   (韓国 Suwon) 

    発表年月： 2010年10月

  • 一般化された最大正則性原理とその応用について

    日本数学会 函数方程式論分科会   (日本国 名古屋) 

    発表年月： 2010年09月

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    第9回 解析学賞受賞 特別講演

  • Drift-diffusion system in critical cases

    Fourth Workshop on Nonlinear Partial Differential Equations, Analysis, Computation and Applications   (台湾 taipei) 

    発表年月： 2010年06月

  • Asymptotic behavior of solutions of the drift-diffusion system of degenerate type

    SIAM Emerging Topics in Dynamical Systems and PDE ’10   (スペイン Barcelona) 

    発表年月： 2010年05月

  • he critical case of the drift-diffusion system of degenerate type

    8th AIMS International Conference in Dresden   (ドイツ Dresden) 

    発表年月： 2010年05月

  • Drift-diffusion system in 2 dimensional critical space

    The third workshop on Nolininear Partial Differential Equations :   (中国 西安) 

    発表年月： 2008年12月

  • Drift-diffusion system in 2 dimensional critical space

    The third Euro-Japanese work shop on Blow-up   (日本国 仙台) 

    発表年月： 2008年09月

  • Quantum drift-diffusion system from a damped nonlinear Schrodinger equations and related degenerate elliptic parabolic system

    KOSEF-JSPS joint research and seminar "Naveir-Stokes equations and related topics"   (韓国 Swon) 

    発表年月： 2007年01月

  • Nonlinear elliptic-parabolic system of crtitical type

    International school on Partial Differential Equations   (メキシコ Mexico city) 

    発表年月： 2006年05月

  • 臨界型非線形偏微分方程式について

    2006年度日本数学会年会   (東京) 

    発表年月： 2006年03月

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 臨界型非線型偏微分方程式の非線型境界条件における臨界性の発見

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2025年04月
    -
    2030年03月
     

    小川 卓克, 高橋 太, 瀬片 純市, 服部 裕司, 猪奥 倫左, 勝呂 剛志, 中里 亮介

  • 非線形数理モデルのエントロピー消散構造に基づく数理解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2023年04月
    -
    2028年03月
     

    川島 秀一, 小川 卓克, 隠居 良行

    　概要を見る

    流体力学、弾性体力学、電磁流体力学などの分野において非線形偏微分方程式系として定式化される様々な数理モデルを対象に、その数学的エントロピー、系に内在する非線形構造および消散構造に着目し、数理解析研究の新たな展望を開くことを目指して研究を行い、次のような成果を得た。
    １．記憶型応力項を含む熱粘弾性体方程式系を一般の枠内で考察した。定数平衡状態で系を線形化し、その線形化系の基本解を構成した。さらに、系の消散構造が標準型であることを確認し、対応する線形解の減衰評価を示した。熱粘弾性体の数理モデルとその数理解析研究に貢献する重要な研究成果である。
    ２．記憶項を持つ一般の対称双曲系を考察した。記憶核は一般の strongly positive definite の場合を扱い、記憶項は対称緩和型の場合を考察した。系に対する職人技条件の下、系の減衰特性が可微分性損失型であることを明らかにし、対応する減衰評価を導出した。その証明は Fourier 空間におけるエネルギー法に基づいており、そこでは職人技条件、系の減衰特性を規定する関数を重みとする技法が重要な役割を果たしている。記憶項を持つ系の数学解析に新たな展望を開く斬新な研究成果である。

  • 臨界型非線形数理モデルにおける高次数理解析法の創造

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2019年06月
    -
    2024年03月
     

    小川 卓克, 川島 秀一, 高橋 太, 服部 裕司, 瀬片 純市, 前川 泰則, 岩渕 司, 猪奥 倫左, 林 仲夫

    　概要を見る

    研究代表者の小川は移流拡散方程式の高次元における時間大域的挙動について, 2次モーメントが有限の場合に有限時刻での解の爆発に関する最良と思われる初期条件に対する十分条件を同定し, さらに和久井洋司氏と共に初期2次モーメントが非有界の場合に解が有限時刻で爆発するか, 大域的に存在しても有界にとどまらないことを示した. また研究協力者の黒木場正城氏と共同で, 高速拡散型の退化移流拡散方程式の時間大域挙動を研究し, 時間大域解の時間無限遠での挙動がTalenti型の解に漸近することをEntropy dissipation 法と一般化対数Sobolev不等式を用いて示した.
    さらに黒木場正城氏と共同で, 二つの成分の非線形連立放物型問題であるKeller-Segel 方程式の緩和時間無限大極限を考察した. この問題は化学物質の拡散が粘菌体の挙動よりも遅い場合を記述する問題で, 緩和時間極限の特異極限問題をFujita-Katoの原理に従うスケール臨界空間において証明した. 証明には臨界スケールにおける放物型方程式の最大正則性と, 複数の実補間空間を組み合わせた埋め込みなどの議論を必要とする. 結果として従来知られていなかった, 初期層を伴う特異極限が質量有限の現実的なモデル設定の下で空間3次元以上の臨界スケール空間で証明された.
    また上記の研究に関連して, Shannonの不等式の一般化を研究し, 久保英夫氏(北大理)と勝呂剛志氏(東北大理・博士学生)らとともに, 対数型Sobolevの不等式のより弱い形態であるBecknerの不等式を考察し, その双対であるShannonの不等式と定数の漸近的最良性を証明するとともに, 対数型重みによる不確定性不等式の再良版を証明した. この不等式からHeisenbergの不確定性原理をはじめそのL1版などが導出される.

  • 流体と燃焼の数学解析と未発見原理の創発

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2020年04月
    -
    2023年03月
     

    小川 卓克, 岩渕 司, 丸田 薫, 服部 裕司, 石毛 和弘, 千頭 昇

    　概要を見る

    研究代表者の小川は半空間における熱方程式の非斉次Neumann境界条件に対する時間L^1-最大正則性を得ることにより, 半空間のStokes 方程式のstress free境界条件の場合の非斉次問題に適用し, Stokes 方程式の初期値境界値問題に対する時間 L^1-最大正則性を示し, その結果から非圧縮性粘性流体方程式の自由境界問題の小さい解の時間大域的適切性が得られることを示した, 一連の仕事の概要をまとめたサーベイ論文を発表し2021年度中に掲載受理された. この結果から自由な界面を持つ粘性流体の時間大域的な挙動をスケール臨界不変な函数空間で捉えてその適切性が解明されることが期待される. 実際の自由境界問題に対してはさらに詳細な非線形解析が必要であり, 現在その成果のとりまとめを行っている.
    分担者の岩渕 司氏と共同で空間2次元での圧縮性Navier-Stokes 方程式の等エントロピー条件の下での, 時間局所適切性の限界空間をスケール不変な斉次Besov 空間において考察し, 方程式が適切とならずに初期条件との強い不連続性を発生させる初期条件を提示してすべての可積分指数pでの臨界空間での端点非適切性を示した.この問題は燃焼系の燃料から発生するガスの挙動を支配する圧縮性粘性流体の適切性に関わる理論限界を明確にしたもので, 2次元空間においては3次元空間でこれまでに得られていた結果よりもはるかに狭い空間で解が安定に構成できないことを示している.
    なお半空間における, 熱方程式の初期値境界値問題と連動して, プラズマ燃焼に関わる, 半空間における非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題に対して, 非斉次Dirichlet 境界条件, および非斉次Neumann境界条件を課した上で, その時間大域解の存在を 林 仲夫氏とElena Kaikina氏と共同で研究した.

  • 複雑流体のエントロピー消散構造と数理解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2018年04月
    -
    2022年03月
     

    川島 秀一, 柴田 良弘, 小川 卓克

    　概要を見る

    複雑流体に関わる様々な非線形偏微分方程式系を対象に、その数学的エントロピー、非線形構造および消散構造に着目し、数理解析研究の新たな展望を開くことを目指して研究を行い、次のような成果を得た。
    １．単独の双曲型保存則と Cattaneo 則の連立系である双曲型平衡則系に対し、全空間と半空間の場合に希薄波の漸近安定性を示した。その証明は、希薄波の滑らかな近似からの摂動に対するエネルギー法に基づいている。このエネルギー法では、希薄波の単調性と系の消散構造が本質的な役割を果たしている。複雑流体の非線形波の安定性解析に繋がる研究成果である。
    ２．複雑流体の空間１次元モデルを考察した。このモデルが双曲型平衡則系で記述されること、数学的エントロピーを有すること、従って対称双曲型系に変換できることを確認した。さらに、安定性条件を満たすこと、従ってその消散構造が標準型であることを確認した。これらの結果として、時間大域解の存在と時間減衰評価を示した。複雑流体モデルの数理解析的視点からの正当化を与える重要な研究成果といえる。
    ３．導波管内の波動伝播を記述する単独高階の非線形偏微分方程式を考察し、臨界正則指数の Besov 空間において時間大域解の存在と最良の時間減衰評価を示した。その証明では、Fourier 空間でのエネルギー法を用いた基本解の各点評価と Duhamel の原理が重要な役割を果たしている。調和解析的手法が、高階の双曲型方程式に対しても有効であることを明らかにした点に意義がある。

  • 非線型消散分散型問題の高次臨界構造の解明

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2019年04月
    -
    2020年03月
     

    小川 卓克, 高村 博之, 岩渕 司, 猪奥 倫左, 川島 秀一, 林 仲夫, 高橋 太

    　概要を見る

    移流拡散方程式の高次元における時間大域的挙動について, 2次モーメントが有限の場合に有限時刻での解の爆発に関する最良と思われる初期条件に対する十分条件を同定し, さらに和久井洋司氏と共に初期2次モーメントが非有界の場合に解が有限時刻で爆発するか, 大域的に存在しても有界にとどまらないことを示した.
    連立型移流拡散方程式の解の時間大域的挙動の分類と, 有限時刻での解の爆発と集中現象について単独の場合の類似の現象が起こることを黒木場正城氏, 和久井洋司氏らと共に研究した. 特に解の爆発の十分性にまつわるHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数とSobolevの不等式の最良定数とのずれを指摘し, 300次元にいたるまで両者に差があることを数値的に実証した.
    黒木場正城氏と共同で, 高速拡散型のKeller-Segel方程式の有限時間での解の爆発を,Reny型エントロピーに対するshannonの不等式を用いて証明した. これにより従来空間2次元でのみ知られていた有限時刻爆発を空間高次元に拡張できた. また同氏と共同で,高次元 Keller-Segel 方程式系の緩和時間零極限を考察し, Fujita-Katoの原理が成立する最も単純なBochner空間であるLebesgue-Bochner空間において特異極限を考察し, 初期層の発生を認めた上で, 解のパラメータ無限大における漸近収束を, 熱方程式の最大正則性を適法して証明した. この方法は, 若干の修正を施すことにより, 空間2次元においても有効であり, 同様の収束を得ることが可能となる. その際に2次元方程式の正則性の限界から空間方向に有界平均振動のクラスでの最大正則性を援用する.

  • 偏微分方程式における漸近解析と形状解析の融合と革新

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2020年03月
     

    石毛 和弘, 川上 竜樹, 石渡 通徳, 岡部 真也, 小川 卓克, 小池 茂昭

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    楕円型方程式、放物型方程式の解の形状解析、漸近解析を発展・融合させ、解の冪凹性や爆発現象等の特異現象の解析を行った。さらに、分数冪熱方程式へ適応可能な新しい漸近解析理論の構築等を行った。研究成果の主なものは以下の通り：
    (1) 解の冪凹性 (2) 動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性 (3)非線形拡散方程式の解の初期条件の特徴付け (4) 非線形熱方程式系等の爆発集合の特徴付け (5) ポテンシャル項付き熱方程式の漸近解析とその応用 (6) 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開理論の構築

  • シュレーディンガー方程式の数理解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2019年03月
     

    谷島 賢二, 田村 英男, 足立 匡義, 小川 卓克, 加藤 圭一, 中村 周

    　概要を見る

    シュレーディンガー方程式に関する様々な数学的問題を研究した。特に１）無限遠方で二次・一次関数的に増大するスカラー・ベクトルポテンシャルをもつ電磁場中の多体粒子系が強い不連続性をもつポテンシャルによって相互作用するときの初期値問題の解が一意に存在するための最良な十分条件を得た。２）散乱理論の波動作用素の連続となるルベーグならびにソボレフ空間の最良指数を決定した。３）点相互作用をもつシュレーディンガー作用素のスペクトル・散乱理論を研究し、２次元空間におけるレゾルベントの閾値での漸近挙動を決定し、２・３次元空間における散乱の波動作用素が適当な指数を持つルベーグ空間において連続であることを示した。

  • 数理モデルにおける非線型消散・分散構造の 臨界性の未開領域解明

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2013年05月
    -
    2018年03月
     

    小川 卓克, 川島 秀一, 林 仲夫, 高橋 太, 前川 泰則, 石毛 和弘, 清水 扇丈, 黒木場 正城, 岩渕 司, 和久井 洋司

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    非線形シュレディンガー方程式に代表される、非線形分散型偏微分方程式の時間大域挙動や局所挙動, あるいは圧縮性非圧縮性Navier-Stokes方程式や移流拡散方程式に代表される非線形消散型方程式の双方に現れる消散構造や分散構造を抽出し、より精密な非線形解析を行い、それらの線形安定化構造と非線形から発生する不安定性の拮抗により現れる臨界問題を研究し、そうした問題の解の構造を明らかにした。とりわけ、消散型構造や分散型構造に関わる臨界型評価(不等式)を導出し非線形評価に有効な様々な臨界不等式を導出した。

  • 非線形発展方程式の未踏臨界構造の解明

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2018年03月
     

    小川 卓克, 高橋 太, 川島 秀一, 石毛 和弘

    　概要を見る

    研究代表者の小川は研究協力者の岩渕 司と共同で, 2乗のべき型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の適切性と非適切性の臨界を研究し, 空間1次元においては非斉次Sobolev空間のもつ非斉次構造が, 不変スケールから予想される臨界スケールに至ることを阻害することを示し, さらに臨界性を実補間空間であるベソフ空間で分類した場合の臨界補間指数を同定した. また2次元に対しては予想される臨界スケールに至ることを示した. 4次元以上においては堤誉志雄による最良の結果が知られており, 2次の非線型性に対して残る問題は3次元のみとなった. また同様の事実は非線形熱方程式に対しても成立することを述べた. これらの結果は解の形式的な漸近展開を, モデュレーション空間において正当化し, 解の2次近似が臨界空間よりも広いクラスで解の不安定性を引き起こすことに起因する. 漸近展開を正当化することにより, 従来あった背理法による議論を経由せずに証明が可能となる. 一方, 半導体モデルに現れる, 移流拡散方程式には双極性のモデルと単極性モデルが存在する. 双方の初期値問題に対しても同様な臨界適切性を研究し, 双極性のモデルは単極モデルよりも適切な函数空間のクラスが狭いことを, 非線形干渉の対称性に着目して示した. また副産物として, 2次元渦度のNavier-Stokes方程式の可解性について既存の結果が双極型移流拡散方程式の非線形項と類似であるにもかかわらず, 単極型と同等の函数空間まで適切性が示されることについて, 非圧縮条件が非線形構造に対して対称性を与えることに起因することを突き止めた.

  • 最大正則性原理の熱力学平衡を組み込んだ自由境界問題への応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2017年03月
     

    清水 扇丈, 田中 直樹, 菊地 光嗣, 小林 孝行, 久保 隆徹, 小川 卓克, 久村 裕憲

    　概要を見る

    熱力学平衡を考慮に入れた相転移を含む非圧縮性粘性流体の自由境界問題について適切性と安定性を証明した。有界な非圧縮性2相流体に置いて, 自由境界を固定境界に変換することにより, Navier-Stokes方程式は準線形な非線形方程式となるため, 線形化問題に対する最大正則性定理を証明し, 縮小写像の定理を適用して非線形問題の時間局所適切性を証明した. さらに同モデルに対し平衡解の安定性を解析した. 内部初期球面が1つの場合は平衡解は安定で時間大域的適切, 球面が2つ以上の場合は平衡解は不安定で, 平衡解の近くから出発した解である時間経過後に平衡解から離れる解が存在するという結果が得られた.

  • 拡散方程式における形状解析と漸近解析における新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

    石毛 和弘, 小薗 英雄, 小川 卓克, 小池 茂昭, 山田 澄生, 柳田 英二, 壁谷 喜継

    　概要を見る

    放物型方程式の解の漸近解析及び形状解析の議論を発展させ、ポテンシャル項付き熱方程式の解の最大点挙動を分類し、また、その応用として、対応する熱半群のルベーグ空間における減衰の最適評価を求めた。また、積分核の定数倍のように振舞う非線形放物型方程式の解の高次漸近展開理論の構築を行った。さらに、爆発時間直前の解の形状を調べることによって、半線形熱方程式の爆発集合の位置に研究を行い、特に、解が境界で爆発しないための新しい十分条件を与えた。

  • 完全非線形方程式の粘性解の基礎理論と応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2016年03月
     

    小池 茂昭, 小川 卓克, 石井 克幸, 石井 仁司, 長井 英生, 三上 敏夫, 石毛 和弘, 岡部 真也

    　概要を見る

    超線形増大の一階微分項を持つ退化楕円型方程式の非有界粘性解に対する比較原理を得た。アイザックス型微積分方程式の粘性解の表現公式を与えた。一階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式のLp粘性解に対する局所最大値原理を構築した。強圧的一階微分項を持つ微積分方程式の粘性解の正則性と時間大域的挙動を議論した。超線形増大の一階微分項を持つ完全非線形楕円型方程式の全域解の存在と一意性を得た。両側障害物を持つ平均曲率流方程式の粘性解のリプシッツ連続性を示した。

  • 非線形偏微分方程式系における解軌道のＰ進解析による複雑性構造解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2015年03月
     

    内藤 幸一郎, 城本 啓介, 三沢 正史, 和田 健志, 小川 卓克

    　概要を見る

    多次元p-進近似格子による多重p-進無理数有理近似解析の研究を行い、p-進弱Liouville数を振動数としてもつ多重準周期力学系の離散軌道の再帰性について解析し、軌道が予測不能性を持つことを示した。p-進展開の係数からなる記号列から構成される記号力学系の解析を行い、この力学系の再帰的次元と位相的エントロピーとの間に成立する不等式を導いた。
    p-進近似格子における最小ベクトル問題（SVP）について、多重p-進無理数有理近似問題（SAP）から得られる理論値とLLLアルゴリズムを用いた実験値との比較検証を行った。これらの実験結果を元に、p-進近似格子のSAP解を秘密鍵とする暗号系の提案を行った。

  • 非局所相互作用系と質量輸送保存則の相関探索

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2011年04月
    -
    2015年03月
     

    小川 卓克, 永井 敏隆, 黒木場 正城

    　概要を見る

    移流拡散方程式により記述されるモデルは典型的な質量輸送構造を持ち, 非局所相互作用系の一つとして理解される. 本研究では2次元・3次元の半線形移流拡散系の解の大域的挙動を研究し加えて退化型移流拡散方程式の弱解の大域的挙動を明らかにした. ことに空間変数2次元の場合に時間大域的な解の振る舞いを初期条件の総質量が対応する臨界型Sobolev不等式の最良定数である8 pi によって分類されることを, 空間遠方の付加条件なしに証明した. また非線型分散型問題と類似の解の大域構造を臨界指数のあいだの指数について分類した. これにより大域的変分構造が非線型分散型のそれと類似していることを明らかにした.

  • 微分方程式論からみた生物のパターン形成―分析から総合へ

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2015年03月
     

    高木 泉, 池田 榮雄, 小川 卓克, 長澤 壯之, 柳田 英二, 上山 大信, 岡部 真也, 中島 主恵, 山田 澄生

    　概要を見る

    生物の発生過程におけるダイナミックな形態形成を数理モデルを通して理解する上で必要とされる数学理論を整備するため，主に反応拡散方程式と曲面・曲線の運動方程式の解の定性的な性質を研究した．
    特に，強い不均一性を許す環境下でのパターン形成が，「位置決め函数」というスカラー量を手がかりに行われることが解明され，これに基づいて生物学上より現実的な形態形成モデルをつくることができる見通しが得られた．

  • 非線形偏微分方程式に対する安定性解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2015年03月
     

    川島 秀一, 隠居 良行, 中村 徹, 小川 卓克, 池畠 良, 小林 孝行, 幡谷 泰史

    　概要を見る

    気体力学、弾性体力学、プラズマ物理学等に現れるいくつかの非線形偏微分方程式系に対し、その消散構造・減衰特性を解明し、様々な非線形振動・波動現象に対する漸近安定性を示した。また、緩和的双曲型保存系に対する非線形安定性解析の一般論を構築し、時間重み付きエネルギー法、半群に基づく手法、調和解析的手法等の有効性を確認した。

  • 非線形発展方程式の臨界漸近構造の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2008年04月
    -
    2013年03月
     

    小川 卓克, 川島 秀一, 三沢 正史, 高木 泉, 石毛 和弘, 中村 誠

    　概要を見る

    研究代表者は様々な半線形偏微分方程式の臨界問題を研究協力者らと研究して以下の成果を挙げた.２次元移流拡散方程式に対する臨界ベゾフ空間での時間大域的可解性, 非回帰的バナッハ空間における最大正則性定理の確立, 高次元移流拡散方程式の時間大域解の高次展開, 非線形消散型波動方程式系の時間大域解の存在, 臨界型ソボレフ不等式と対数型補間不等式を抽象ベゾフ空間の一般化と臨界型不等式の導出, 非線形シュレディンガーポアッソン系におけるWKB近似において複素振幅による分離2乗のべき型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の適切性と非適切性の臨界性と実補間空間での分類.

  • 非線形発展方程式及びその周辺分野の総合的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2009年
    -
    2012年
     

    大谷 光春, 山田 義雄, 田中 和永, 西原 健二, 石井 仁司, 小澤 徹, 小川 卓克, 剣持 信幸, 小池 茂昭, 坂口 茂, 鈴木 貴, 林 仲夫, 井戸川 知之, 石渡 通徳, 赤木 剛朗

    　概要を見る

    物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

  • 拡散と領域の幾何

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2008年
    -
    2012年
     

    坂口 茂, 三沢 正史, 三上 敏夫, 柴田 徹太郎, 観音 幸雄, 川上 竜樹, 石毛 和弘, 小川 卓克

    　概要を見る

    広く拡散現象を記述する偏微分方程式を考える.解の挙動と領域の幾何との関係を知るため,初期挙動と境界の曲率との関係および時刻に関して不変な等位面の存在と領域の対称性との関係を明らかにした.特に,不変な等位面による球面,超平面および円柱面の特徴付けが得られ,領域の幾何を決定する逆問題の新展開がなされた.副産物として,ある重要なクラスのワインガルテン超曲面を記述する完全非線形楕円型偏微分方程式の粘性解に対するリュービル型定理が得られた.

  • 最大正則性原理とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2008年
    -
    2010年
     

    清水 扇丈, 菊地 光嗣, 小川 卓克

    　概要を見る

    解作用素のR-有界性を示し作用素値フーリエ・マルチプライヤーの定理を適用する手法により最大正則性を証明する方法を発展させた。その応用として、ナビエ・ストークス方程式で表わされる自由境界問題で表面張力を考慮に入れた場合の、任意の初期データに対する時間局所解の一意存在をスケール不変なソボレフ空間において証明した。また、UMDバナッハ空間ではない斉次ベソフ空間において、熱方程式の初期値問題に対する最大正則性を導いた。

  • 拡散方程式の解の形と漸近解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2007年
    -
    2010年
     

    石毛 和弘, 小川 卓克, 柳田 英二

    　概要を見る

    拡散方程式の解の形について詳しい解析を行い、特に解の最大点挙動と正値調和関数との関係を明らかにした. さらに、半線形熱方程式の漸近解析を行い、爆発問題における爆発集合の位置についての特徴付け、大域解の漸近形と解との誤差評価等の研究を行った.

  • 非線形放物型および楕円型方程式の定性理論の新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2007年
    -
    2010年
     

    柳田 英二, 高木 泉, 内藤 雄基, 小川 卓克, 栄 伸一郎, 石毛 和弘, 田中 和永, 二宮 広和, 利根川 吉廣

    　概要を見る

    非線形放物型および非線形楕円型方程式の解の構造について定性的な研究を行った.主な研究成果は以下の通りである.まず,ある非線形放物型偏微分方程式おける移動特異点を持つ解の存在とその一意性について調べた.また,特異点の強さがある時刻で変性するような解が存在することを明らかにするとともに,特異点が移動しない場合に解の漸近挙動について調べ,特異定常解に収束するための条件について明らかにした.次に,走化性方程式において,1点に凝集することによって自己相似的に爆発する解の構造について明らかにした.さらに, Gierer-Mienhardt系と呼ばれる反応拡散系に対し,パターン形成に関する数理構造を調べるとともに,時間依存する解の挙動について明らかにした

  • 非局所相互作用系と完全可積分構造の関連の探索

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2007年
    -
    2009年
     

    小川 卓克, 永井 敏隆, 加藤 圭一, 石渡 通徳

    　概要を見る

    研究実績は以下のとおり。
    1.研究代表者の小川は、連携研究者の石渡通徳(室蘭工大・工)、研究協力者の高橋太(阪市立大・理)、黒木場正城(福岡大・理)らとともに2次元上で楕円型部分が非線形に摂動されたKeller-Segel系の時間適切性について研究し、初期値が十分小さく解に一定の変分法的特性を満たす場合には解が一意的に存在すること、またそれ以外の場合には一般に解の一意性が崩れ、適切性が成立しないことを変分的手法により示した。特に初期値問題が非適切であって少なくとも球対称の初期値からは少なくとも解が2つ存在することを示した。方法はヒルベルト-シュミット法と楕円型方程式の臨界点解からの分岐解をとらえることにより示される。
    2.研究代表者の小川は研究協力者の清水扇丈(静岡大・理)と共同で2次元Drift-diffusion方程式を臨界Besov空間で考え、局所解の存在定理と時間大域的可解性を示した。その際に非回帰的Banach空間における最大正則性定理を証明し、L^1に近い空間における擬似的なエネルギー不等式が成り立つこと、またL^1空間では同様の不等式が一般には成立しないことを示した。
    3.研究代表者の小川は研究協力者の山本征法(東北大大学院博士3年)と共同で、高次元drift-diffusion方程式の解の減衰について研究し、時間大域解の解の漸近挙動を高次の項まで展開した。特にこの問題に固有のキャンセル効果により高次漸近展開項がより簡潔に表せることと、高次の展開項が一般には消えないことを示し、高次項の誤差項に対する下からの減衰評価を与えた。

  • 粘性流体の運動を記述する非線形偏微分方程式系の漸近解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2007年
    -
    2009年
     

    隠居 良行, 川島 秀一, 小川 卓克, 小林 孝行, 井口 達雄, 中村 徹, 前川 泰則, 小川 卓克, 小林 孝行, 井口 達雄, 中村 徹

    　概要を見る

    粘性流体の運動を記述する非線形偏微分方程式である圧縮性Navier-Stokes方程式の解の時間無限大における漸近挙動を詳細に考察し,無限層状領域や柱状領域における静止定常解や非自明な平行流型定常解のまわりの解の挙動の様相を明らかにした.これらの領域においては,定常解がある意味で小さければその定常解は漸近安定であり,撹乱は時間無限大において漸近的に移流熱方程式の解のように振る舞うことを証明した.

  • 偏微分方程式系における消散構造の特徴付けと非線形安定性解析への応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2006年
    -
    2009年
     

    川島 秀一, 隠居 良行, 小川 卓克, 小林 孝行, 西畑 伸也, 小川 卓克, 小林 孝行, 西畑 伸也

    　概要を見る

    気体力学、流体力学、弾性体力学等に現れるいくつかの非線形偏微分方程式系に対し、その消散構造を解明し、様々な非線形現象に対する漸近安定性を示した。

  • 生物の形づくりを模する微分方程式の解の定性的性質

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2006年
    -
    2009年
     

    高木 泉, 柳田 英二, 池田 榮雄, 長澤 壯之, 飯田 雅人, 石毛 和弘, 上山 大信, 小川 卓克, 望月 敦史, 山田 澄生, 岡部 真也, 飯田 雅人, 小川 卓克

    　概要を見る

    生物の形態形成のモデルとして提唱された反応拡散方程式系に対し,パターンの崩壊や解の爆発などの特徴的な動的変化が起きるための条件を明らかにし,また解の最大点の位置や漸近形などの定性的性質を解明した.
    さらに,赤血球膜の形態変換モデルである幾何学的変分問題の低次元類推問題として,曲げエネルギーにより駆動される平面閉曲線のエネルギー汎函数に対し,その臨界点をすべて求めるとともに,拘束条件をみたす勾配流の構成など動力学的性質を考察するための理論的枠組みを構築した.

  • ゲージ理論にあらわれる非線形楕円型方程式の解の構成およびその熱流の漸近挙動の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2005年
    -
    2007年
     

    高橋 太, 鈴木 貴, 小薗 英雄, 小川 卓克

    　概要を見る

    当該研究期間において、研究代表者高橋は各研究分担者らと共に、2次元および高次元ゲージ理論にあらわれる種々の非線形楕円型方程式の解の構成・解の漸近挙動・爆発解析および付随する熱流の時間大域的挙動の研究を行った.本研究課題で取り扱った種々の非線形楕円型方程式は、いずれも変分構造を有し、臨界Sobolev不等式やTrudinger-Moser不等式といった臨界型不等式と密接な関係を持ち、またある種の量子化現象を伴う爆発機構を持つことでも共通している。
    研究期間前半では、特に2次元乱流の平均場から得られる指数非線形項を持つ楕円型方程式の変分解の構成について成果を上げ、この方面の知見を深めることに寄与することができた。そこで扱った中立符号および混合符号を持つ多重渦点の研究は多くの研究者の興味を引き、現在は海外の研究グループも活発に参入して成果を上げている。
    研究期間後半においては、研究代表者は高次元領域上での半線形べき型臨界非線形項付き楕円型境界値問題の最小エネルギー解の漸近解析および爆発解析についても研究を進めた。これらの研究は本研究課題にあらわれる楕円型方程式の解の質量量子化現象と関係が深く、そこでの解析的技術の確立と研究の深化はさらに研究代表者に新しい研究課題を着想させるに至った。本研究課題の当初の目的であった2次元ゲージ理論における種々の楕円型方程式の解の構成についての研究は、現在も多くのモデル方程式が提唱される状況において、多数の研究者が関わりながら進展中であり、重要な研究分野に成熟してきたといえる。
    得られた成果は順次、国際的な学術雑誌において発表され、また研究代表者は、ポーランド・チリ・イスラエルでの国際会議において成果発表を行った。

  • 非線形波動方程式の解の漸近挙動

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2005年
    -
    2007年
     

    中尾 愼宏, 川島 秀一, 栄 伸一郎, 柴田 良弘, 小川 卓克

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    本研究の主な目的は、様々な摩擦項をもつ非線形波動方程式に対して、グローバル・アトラクターの存在とその特徴づけを通して解の漸近挙動を解明することであった。同時にこれと深く関係する解のエネルギー減衰問題を考察すること、また、非線形熱方程式に対しても関連する問題を解明することがつづく目的であった。
    まず内部問題を考察し、全的な非線形摩擦項および局在敵な非線形摩擦項の両方の場合について、グローバル・アトラクターの存在およびそのエネルギーレベルでの大きさと吸収度を導くことができた。これまで存在のみ知られていたのに対していくつかの新しい特徴づけを与えたものである。
    つづいて、外部問題を考察しKlein-Gordon型の非線形波動方程式に対して、内部問題とほぼ平行的な結果を証明した。ソボレフ空間の$L^p$空間への埋め込みがコンパクトでないという困難さを、解の空間遠方での局所エネルギーが時間とともに一様に小さくできるという発見により克服できた。
    中国政府派遣のY.Zhijian教授と共同で、準線形波動方程式について考察し、これまで空間1次元の場合しれれていた結果を空間n次元の場合に拡張することができた。
    さらに'ローカル・アトラクター'の概念を導入し、小さい初期値に対してのみ時間大域解の存在が知られているような非線形波動方程式にこれを適用した。
    関連する問題として退化型の非線形熱方程式に対して、インドネシア留学生のN.Arisや中国政府派遣のC.Chen教授らとともに研究し、グローバル・アトラクターの存在および、平滑化効果を含む解の評価を与えた。

  • 非線形偏微分方程式の大域的可解性と解の漸近挙動に関する統一理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2003年
    -
    2007年
     

    小薗 英雄, 高木 泉, 柳田 英二, 小川 卓克, 柳澤 卓, 中村 誠, 石毛 和弘, 松村 昭孝, 林 仲夫, 堤 誉志雄

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    1. 外部領域におけるNavier-Stokes方程式の非斉次初期値-境界値問題に対する超弱解を構成Navier-Stokes方程式の弱解の一意性や正則性はSerrinにより提唱されたスケール不変である関数空間が重要な役割を果たすことが知られている。この関数空間は弱解に対して何の微分可能性も課していないことが本質的である。そこで、本研究では3次元空間内の外部領域において、その境界上で与えられた非斉次関数が通常のtrace classより粗い関数であるときに、スケール不変空間に属するNavier-Stokes方程式の超弱解の時間局所的な一意存在を示した。
    2. Navier-Stokes方程式の弱解の正則性の新たな指標
    Navier-Stokes方程式に対する通常のLeray-Hopfのエネルギークラスにおける、乱流解の正則性に対する新たな指標を与えた。実際、乱流解の運動エネルギーが、時間変数に関して指数1/2以上のHoelder連続関数であれば、正則性が成り立つことを証明した。
    3. 一様C^2級の非コンパクトな境界を有する非有界領域におけるHelmholtz-Weyl分解
    領域の境界が非コンパクトである2次元平面内の非有界領域においては、直交分解定理が成立するL^2-空間を除いて、L^rベクトル場のHelmholtz-Weyle型直和分解定理は一般には成り立たないことが知られている。そこで本研究では、n-次元空間内の一様C^2級の非コンパクトな境界を有する非有界領域上にLebesgue空間の和集合と共通集合からなる新たな可積分ベクトル値関数空間を導入し、Helmholtz-Weyl分解が成り立つことを証明した。応用として、それらの関数空間上でのStokes作用素が定義できる。

  • 自由境界問題の離散化手法の新展開

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2004年
    -
    2006年
     

    木村 正人, 小川 卓克, 中木 達幸

    　概要を見る

    今年度得られた主たる結果は以下のものである.
    1.破壊力学における亀裂進展力となるエネルギー解放率について,Lipschitz連続な領域写像を用いてその数学的定式化を行った.更に,Frechet微分・Banach空間における抽象的パラメータ付き変分問題の一般論とLax-Milgramの定理の応用としてその領域積分表現を得た.それにより見通しのよい数学的枠組みが構築され,より弱い条件への精密化・高階エネルギー微分への拡張が得られた.(木村)
    2.いくつかの自由境界問題及びパターン形成問題に対して,その数値シミュレーションと数学解析の手法の開発を行った.取り扱った問題は,流れ下における最短時間経路問題に対するマーカー粒子法の基礎付け,反応拡散系に現れるパターンダイナミクスに対するアダプティブメッシュ有限要素法の応用,などである.(木村)
    3.鉄磁性体の2次元ising型spinモデル(シグマ模型)に対する連続体近似を考え,特異性の発生について考察した.(小川)
    4.重力自己崩壊に関連する半線形熱方程式系の解の時間大域的存在と解の一様有界性について,球対称の解に限定して,初期条件を閾値となる8πより小さい初期値から時間大域的な有界な解が存在してなめらかに成ることを示した.(小川)
    5.多孔質媒体中の流体に現れる自由境界問題の離散化として,特異極限を使った方法があり,自由境界を自然に扱うことができる.スケール変換の普遍性の手法をもとに,数値実験で絞られた候補の妥当性について検討した.(中木)
    6.流体のある種の自由境界を離散的に記述する方法として,多数の渦点による近似が知られている.この渦点問題に対して,まず少数の渦点の挙動について研究した.その結果,7個の場合に緩和振動を起こすことを見つけ,数学的な証明を行った.(中木)

  • 拡散方程式の解の漸近的挙動とその応用

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2003年
    -
    2006年
     

    石毛 和弘, 柳田 英二, 小薗 英雄, 小川 卓克, 服部 哲弥, 宮川 鉄朗, 名和 範人, 長田 博文

    　概要を見る

    半線形拡散方程式の爆発問題は,藤田宏氏による1960年代後半の結果以来,非常に多くの研究が為されている.今なお,半線形拡散方程式の中心的問題であり,多くの研究者によって取り扱われている.本研究においては,爆発集合の位置の特徴付けという問題を研究した.この問題は一般的な枠組みで扱うことが難しい.そこで,研究代表者石毛は,東京学芸大学の溝口紀子氏,京都産業大学の柳下浩紀氏らと共に,拡散係数が十分大きい場合について考察することにし,爆発集合の位置についてノイマン境界条件のもとで特徴付けを行った.これにより,有界領域において,ノイマン条件の下で拡散係数が十分大きいならば,解の爆発集合は,初期値の第2ノイマン固有空間への射影の最大点の近くのみに存在することが示された.ここで,初期値の第2ノイマン固有空間への射影の最大点は,線形熱方程式の解の最大点の極限として特徴付けることが可能である.このような,固有関数の形状と爆発集合の位置との密接な関係が示されたのは,本研究が初めてであり,興味深いものと考える.また,非有界領域における半線形拡散方程式への応用を視野に入れながら,熱方程式の解の形状,特に解の最大点の挙動について,球の外部領域において研究を行った.一般に,非有界領域については,固有関数を用いた解析手法が有効でないため,また熱方程式のグリーン関数について得られる情報の少なさ故に、解の最大点挙動について研究を行うのは,球の外部領域という最も簡単な場合にでも難しかった.しかしながら,研究代表者石毛は球の外部領域にっいては,ノイマン境界条件,ディリクレ境界条件共に,最大点の挙動について詳しく研究を行った.この結果を受け,調和関数と解の最大点挙動の関係が明らかになり,大阪府立大学の壁谷喜継氏とともに,低階項を加えた場合の,解の微分の減衰の早さ及び解の最大点挙動について研究を行った.この研究より,調和関数の形状,特に調和関数の空間変数無限大における増大度が解の微分の減衰の早さや解の形状に強い影響を与えていることが明らかになり,またそれらのその決定メカニズムが明らかになった.

  • 臨界型非線形偏微分方程式の解の特異性と正則性の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2003年
    -
    2006年
     

    小川 卓克, 石毛 和弘, 中村 誠, 川島 秀一, 小林 孝行, 隠居 良行, 三沢 正史, 小薗 英雄, 加藤 圭一

    　概要を見る

    研究実績は以下のとおり.
    研究代表者の小川は臨界型のSobolev不等式を研究し、実補間空間、特にBesov空間、Triebel-Lizorkin空間、一般化Besov空間などに拡張した。特に対数型の補間指数を持つ臨界状況において、こうした汎用不等式を用いて、Navier-Stokes方程式の弱解の一意判定条件、正則性条件、Euler方程式の解の爆発判定条件、2次元球面への調和写像流に対する正則性判定条件を見いだした。
    特に2次元球面に対する調和写像流に対する、エネルギー凝集のための判定条件をエネルギーの平均振動に着目して与えた。その際に、エネルギーの平均振動に対する単調性公式を得た。
    半導体シュミレーションモデル、走化性粘菌モデルに共通する半線形非局所放物型方程式および準線形非局所放物型方程式の解の時間大域的な挙動について研究し、特に方程式が臨界となる、空間次元2次元の場合について、解の臨界空間での局所可解性、臨界初期値までの時間大域的可解性、有限時間内での解の爆発、時間大域的な解の減衰、さらに特殊な構造を持つ非局所方程式の変形版に対する、多重存在性などの成果を得た。
    また平均曲率流方程式の数値解法アルゴリズムであるB-M-Oアルゴリズムについて、符号つき距離関数を導入することによりその解析的構造が半線形熱方程式の解で記述できることを見いだした。
    さらに半線形消散型波動方程式の解の大域挙動を研究し、有限時間内での爆発、あるいは解の減衰の際の漸近的な振る舞いを詳しく研究した。

  • 画像処理の数理における実解析的手法の探索

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2003年
    -
    2005年
     

    小川 卓克, 服部 哲弥, 木村 正人, 後藤 俊一, 石井 克幸, 松本 敏隆, 長藤 かおり

    　概要を見る

    研究実績は以下のとおり.
    研究代表者の小川は研究分担者の石井克幸と協力者の後藤陽子と共同で平均曲率流方程式を等高面の方法で考え、そのBence-Merrimen-Osher型の数値解析アルゴリズムの解への収束を、半線形熱方程式の解に対する特異摂動の観点から考え、粘性解の方法により証明した。平均曲率流方程式は特に画像処理の際のノイズ消去に有効に用いられるがその場合のBMOアルゴリズムの有効性が示せた.
    また,小川は単独で,鉄磁性体の2次元ising型spinモデル(シグマ模型)に対する連続体近似を考え、その半線形化方程式のエネルギー空間における可解性を新しいゲージ変換を考えることにより与えた。また関連して、粘性が入る場合に鉄磁性体モデルとSchrodinger写像、調和写像熱流との相関を議論し、それぞれ係数が極限と成る場合の状況について、ゲージ変換による議論、単調性公式による議論により特異性の発生について考察した。
    分担者の服部はプレシルピンスキーガウケットと呼ばれる無限フラクタル格子上の単純ランダムウォークと自己回避確率連鎖を連続的に内挿する自己抑制・吸引的確率連鎖の族を構成し,変位の指数を与えた.
    分担者の木村はパラメータを含む移流項を持つ楕円型方程式の第一固有値の特異摂動問題を考察した.移流の代表速度を表すパラメータが無限大に近づくとき起こる固有値の指数減衰現象について,空間1次元の場合に精密な漸近挙動評価を得た.
    分担者の松本は生成作用素の定義域が稠密でないanalytic semigroupおよび、integrated semigroupの時間に依存しない非線形摂動を考察し、汎関数を用いた一般的な増大条件の下で、弱解を与える発展作用素が存在するための必要十分条件を、方程式に対する陰的差分近似の存在によって与えた。

  • 気体の方程式系の解の漸近挙動と非線形波の安定性に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2002年
    -
    2005年
     

    川島 秀一, 栄 伸一郎, 隠居 良行, 小川 卓克, 小林 孝行, 西畑 伸也

    　概要を見る

    消散構造を有する気体の方程式系や関連する方程式系に対し、解の漸近挙動と非線形波の安定性について研究を行い、以下のような成果をあげた。
    1.空間n次元の粘性的保存則方程式に対し、L^p型のSobolev空間W^{1,p}におけるエネルギー法を開発し、解のW^{1,p}ノルム関して最良の時間減衰評価を示した。また、希薄波や定常波の安定性問題への応用を与えた。
    2.空間n次元の緩和的双曲型保存則系に対して、エントロピー関数の数学的定義を与え、エントロピー関数の存在の下でChapman-Enskog型理論を展開した。また、L^2型Sobolev空間での時間大域解の存在と最良の時間減衰評価を示した。
    3.空間n次元の半空間における圧縮性Navier-Stokes方程式に対し、平面定常波の漸近安定性を示した。[n/2]+1次Sobolev空間で解析するため、時間局所解の構成にも工夫を要した。
    4.消散的Timoshenko系に対し、Fourier空間におけるエネルギー法により解のFourier像の各点評価を求め、それに基づいて解の定量的な減衰評価を示した。高周波域ではその消散構造が極めて弱く、減衰評価において可微分性の損失が起こることを発見した。
    5.ある非線形移流項を持つ消散的波動方程式に対し、時間大域解の存在とL^pにおける最良の時間減衰評価を示した。さらに、その解がBurgers方程式の自己相似解で表される非線形拡散波に漸近することを証明した。その証明では線形化方程式の基本解の詳細な各点評価が鍵である。

  • 非線形波動方程式の解の特異性の伝播の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2002年
    -
    2004年
     

    加藤 圭一, 小松 彦三郎, 小川 卓克

    　概要を見る

    1.小川卓克氏,E.Kaikina氏,P.I.Naumkin氏とともに,Benjamin-Ono方程式の解が時空間変数に関して解析的になるための十分条件について研究を行った。初期値について原点に特異性をもつことが可能なある条件の下で,時間が少しでも経つと時空間変数に関して解析的になることがわかった。
    2.Benjamin-Ono方程式の初期値問題の解の存在についての考察を行った。Benjamin-Ono方程式は、通常のSobolev空間に対してはPicardの逐次近似が適用できないが、斉次と非斉次Sobolev空間を組み合わせた空間を用いると初期値を小さくとれば逐次近似が使えることがわかった。ただし、現在、論文を準備中である。
    3.非線形波動方程式の解の特異性伝播の研究を行った。具体的には、非線形項がKlainermanの意味の零条件を満たすとき、そうでないときに比べて特異性伝播の定理が改善されることがわかった。この問題に関しても、現在、論文を準備中である。

  • 熱対流方程式系の数学解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2002年
    -
    2004年
     

    隠居 良行, 川島 秀一, 小川 卓克, 小林 孝行, 井口 達雄

    　概要を見る

    隠居と小林は$n$次元半空間上の圧縮性Navier-Stokes方程式の初期値境界値問題の密度が一定な静止状態を表す定常解の安定性を考察し,線形化問題の解公式を取り扱いやすい形で提示して,振動積分の評価を注意深く行うことにより解の減衰評価として最良のものを得た.ここで行った線形化問題の詳細な解析とエネルギー法と組み合わせて,撹乱の時間無限大における減衰の速さを評価し,また,全空間における初期値問題では現れない半空間問題に特有の非線形相互作用が起きることを示唆する評価を得た.隠居は熱対流現象を記述するOberbeck-Boussinesq方程式の導出を数学的に正当化するための第一段階として,ある種の非斉次非圧縮Navier-Stokes方程式系の弱解の時間大域存在を示し,そのOberbeck-Boussinesq極限を考察した.小林はMaxell方程式,Stokes方程式およびNavier-Stokes方程式の解の局所的な界面正則性を調べた.川島は一般の双曲・楕円型連立系の解が、時間無限大において対応する双曲・放物型連立系の解で近似できることを、詳細な評価とともに示した。また川島は空間$n$次元の粘性的保存則方程式に対し、$L^p$型のソボレフ空間$W^{1,p}$におけるエネルギー法を開発し、解の$W^{1,p}$ノルムに対する最良の時間減衰評価を示した。さらに川島は,空間$n$次元の緩和的双曲型保存則系に対して、エントロピー関数の数学的定義を与え、それに基づき系の消散的構造を明らかにするとともに、系が消散的対称双曲型系の正準形に帰着されることを示した.小川は臨界型の対数形Sobolevの不等式を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式、Euler方程式、及び球面上への調和写像流の解の正則延長のための十分条件をこれまでに知られているSerrin型の条件よりも拡張した。また小川は二次元半導体モデルの方程式である、drift-diffusion方程式の電場potentialの符号がattractiveとなる場合に、Fujita型の非線形熱方程式の連立版となるような解の有限時間内での爆発を証明した。井口は空間周期的な水底上の定常水面波の分岐について,水底の凹凸の影響をは調べ,水底を表す関数のフーリエ係数によって分岐パターンの分類を行なった。また井口はより一般のFluxを持つ双曲型保存則系に対する初期値問題のエントロピー解の構成を行い,Fluxに対する条件として「区分的に真性非線形」という概念を導入して小さな初期値に対してエントロピー解が構成できることを示した。

  • 非線形波動方程式の外部問題

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2001年
    -
    2004年
     

    中尾 慎宏, 川島 秀一, 柴田 良弘, 小川 卓克

    　概要を見る

    まず、当研究の第一の目的であった主要部が非線形である波動方程式の外部問題について、局在的摩擦項の影響下で時間大域解の存在証明に成功した。線形化方程式の局所エネルギー減衰(前回研究課題の成果)に基づき解のL^p評価を導きこれによって非線形項の処理を行う方法と、全エネルギーの減衰評価を導き、これによって非線形項の処理を行う二つの方法を開発し、初期値に対するそれぞれに異なる仮定のもとでなめらかな時間大域解の存在証明をおこなった。いずれの方法も、摩擦項の影響を最小化する考えの下、領域の形状になんらの条件もつけない点が特徴である。
    摩擦項が非線形である場合の解のエネルギー減衰問題については、‘半分線形'なる概念を導入し、精密なエネルギー評価、ならびにこれに基づいて、非線形摂動項をもつ波動方程式の時間大域解の存在証明を与えた。
    関連する問題として、内部領域において、局在的非線系摩擦項をもつ非線形波動方程式の周期解の存在とその安定性に関する結果を得た。また、キルヒホッフ型非線形波動方程式の外部問題について、摩擦項が非線形かつ局在的の場合を考察して、さまざま興味深い結果を得た。ノイマン型境界摩擦項をもつ波動方程式の外部問題のエネルギー減衰評価についても新しい結果を得た。
    分担者川島はボルツマン方程式や双曲型保存則に関する非線形波動方程式を考察し、多くの興味深い結果を得た。分担者柴田はスペクトル解析にもとづいて圧縮性ナビアー方程式の外部領域を考察し、多くの興味深い結果を統一的導いた。分担者小川は非線形波動方程式、非線系シュレヂンガー方程式、調和流方程式など様々な非線形偏微分方程式の解の精密な正則性や挙動を証明した。

  • 自己共役作用素の散乱理論と特異摂動に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2002年
    -
    2003年
     

    渡辺 一雄, 水谷 明, 藤原 大輔, 黒田 茂俊, 門脇 光輝, 下村 明洋, 小川 卓克, 田中 仁

    　概要を見る

    渡辺 一雄
    1 自己共役作用素の特異摂動(作用素の和として表されない)を作用素論的に扱うため,Η_2-constructionを用いた.あるクラスの自己共役作用素の連続スペクトルの中に埋め込まれた固有値が存在するための必要十分条件を与えた.また,適当な条件の下で,波動作用素の完全性,散乱作用素の存在散乱行列の表示を求めた.
    2.Maxwell, Stokes, Navier-Stokes方程式の解の正則性について調べた.界面が現われる場合でも,解の法線成分の正則性が良くなることを示した.また,解の接成分の特異性がない場合には解は正則性を持つことを示した.
    3.消散項を持つ微分方程式の研究を行った.解の時間減衰は,その方程式に対応する作用素のスペクトルが重要となっているが,実際にスペクトルのみから判定することが困難である.その具体的なものとしていくつかの例を与え,これからの研究の第一歩とした.
    黒田 成俊
    自己共役作用素(もっとも一般的なクラスで)の第2レゾルベント方程式の一般化のKreinの公式の研究.特に,特異摂動の場合も有用なものである.
    水谷 明
    凸とは限らぬ2次元多角形領域上の重調和Dirichlet問題に対して、有限要素法による近似を考える.その有限要素解の最適な収束の速さが、多角形領域の最大内角に応じて決まることを示した.
    下村 明洋
    非線形発展方程式の代表的な例の一つである非線形Schrodinger方程式や,Schrodinger方程式と波動型方程式の連立系(Klein-Gordon-Schrodinger方程式系やMaxwell-Schrodinger方程式等)の解の時刻無限大に於ける漸近挙動を非線形散乱理論の枠組みで研究した.
    小川 卓克
    有界領域におけるEuler方程式の初期値境界値問題に対する正則性、一意性条件をYudovichの与えた函数のクラスよりも広い渦度に特異点を許すあるBMOに近い函数空間の条件として与えた.
    門脇 光輝
    消散型の作用素の散乱理論について論文として公表した.

  • 非線形偏微分方程式の解の特異点に対する漸近解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1999年
    -
    2002年
     

    小川 卓克, 小薗 英雄, 隠居 良行, 川島 秀一, 小林 孝行, 加藤 圭一

    　概要を見る

    研究実績は以下のとおり.
    研究代表者の小川は分担者の加藤と共同で非線形分散型方程式の一点の強い特異点が瞬時に解消して解が時間と空間両方向について実解析的となることを示した。また分担者の小薗、協力者の谷内と共同で臨界型の対数形Sobolevの不等式(Brezis-Gallouetの不等式)を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式、Euler方程式、及び球面上への調和写像流の解の正則延長のための十分条件をこれまでに知られているSerrin型の条件よりも拡張した。また同様の不等式の最良形をLizorkin-Triebel空間のsemi-normを用いて導いた。このことにより、同様な正則性条件を調和写像熱流に対して示すことができた。
    分担者の川島は輻射気体の方程式系を含む一般の双曲・楕円型連立系の解の漸近挙動を、基本解に基づく手法で詳細に調べた。双曲・放物型連立系に対するLiu-Zengの結果の類似版である。双曲・楕円型連立系の線形化系の基本解をFourier変換により表示し、その主要部分が対応する双曲・放物型連立系の基本解の主要部分と一致すること、すなわち熱核を用いて表されることを確認した。
    分担者の隠居は分担者の小林と共同で3次元半空間上の圧縮性Navier-Stokes方程式の初期値境界値問題の密度が一定な静止状態を表す定常解の安定性を考察し撹乱の時間無限大でのL^2ノルムの時間減衰オーダーの最良のものを求めた.
    分担者の伊藤は中間的表面拡散流方程式に対して,拡散係数が無限大になるときの解の挙動,及び,解の自己交差を示し、表面拡散流方程式に対しては,その解曲面の凸性を必ずしも保存しないことを示した.
    分担者の北は分担者の和田と共同で微分型非線形Schrodinger方程式をゲージ変換により解の高次の漸近展開を求める手法を与えた.

  • 粘性流体と分散型非線形方程式研究に関する日韓国際共同研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    2001年
    　
    　
     

    小川 卓克, 小薗 英雄, 隠居 良行, 川島 秀一, 三沢 正史, 林 仲夫

    　概要を見る

    研究実績は以下のとおり.
    研究代表者の小川は研究分担者の加藤と共に,非線型分散系の方程式についてBenjamin-Ono方程式の初期値問題の解がその初期値に一点のみSobolev空間H^S(s>3/2)程度の特異点を持つ場合に、対応する弱解が時間が立てば、時間、空間両方向につき実解析的となるsmoothing effectを持つことを示した。その過程で、無限連立のBenjamin-Ono型連立系の時間局所適切性を証明した。またKdV方程式とBenjamin-Ono方程式の中間的な効果を表すBenjaminのoriginal方程式に関して、その初期値問題が負の指数をも許すSobolev空間H^s(R)(s>-3/4)で時間局所的に適切となることを示した。
    さらに、谷内と共同で臨界型の対数形Sobolevの不等式(Brezis-Gallouetの不等式)を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式、Euler方程式、及び球面上への調和写像流の解の正則延長のための十分条件をこれまでに知られているSerrin型の条件よりも拡張した。これらの結果を元に、韓国ソウル国立大学数学科のD-H. Chae氏との共同研究をめざす、研究交流を行った
    分担者の川島は一般の双曲・楕円型連立系のある種の特異極限を論じた。この特異極限で双曲・楕円型連立系の解が対応する双曲・放物型連立系の解に収束することを、その収束の速さも込めて証明した。また、輻射気体の方程式系ではこの特異極限は、Boltzmann数とBouguer数の積を一定にしたままBoltzmann数を零に近づける極限に対応していることを明らかにした。
    分担者の隠居はVlasov-Poisson-Fokker-Planck方程式(VPFP方程式)の初期値問題に対して,重み付きソボレフ空間において不変多様体を構成し、解の時間無限大での漸近形を導出した。

  • 輻射気体の方程式系の基本解とその応用に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1999年
    -
    2001年
     

    川島 秀一, 小川 卓克, 隠居 良行, 吉川 敦, 小林 孝行, 西畑 伸也, 井口 達雄

    　概要を見る

    輻射気体力学に現れる双曲・楕円型連立系や関連する方程式系に対し、非線形波の安定性について研究を行ない、以下のような成果をあげた。
    1.一般の双曲・楕円型連立系に対し、Fourier変換によりその線形化系の基本解の表示を与え、その主要部分が熱核を用いて陽に表されることを示した。さらに、誤差部分に対する詳細な各点評価を与えた。
    2.基本解の表示式および評価に基づいて、双曲・楕円型連立系の解の各点的減衰評価を示した。さらに、得られた解が各特性速度で伝播する拡散波の重ね合せに時間無限大で漸近することを証明した。
    3.一般の双曲・楕円型連立系のある種の特異極限を論じた。この特異極限で双曲・楕円型連立系の解が対応する双曲・放物型連立系の解に収束することを、その収束の速さも込めて証明した。
    4.半空間における離散的Boltzmann方程式に対し定常解の存在を示した。その定常解が空問の無限遠方で空間一様な平衡状態に指数的に漸近すること、また、時間無限大で漸近安定であることを示した。
    5.等エントロピー流を仮定した圧縮性Navier-Stokes方程式に対し、半空間における非線形波の漸近挙動を調べた。境界で外向きの流れがある場合に、(1)定常波、(2)希薄波、(3)定常波と希薄波の重ね合せの3通りの場合を詳細に解析し、それぞれの場合にその非線形波の漸近安定性を示した。

  • 非線形数値解析における粘性解の方法

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1999年
    -
    2000年
     

    小川 卓克, 後藤 俊一, 隠居 良行, 杉田 洋, 松本 敏隆

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    研究実績は以下のとおり.
    小川は研究分担者の後藤、松本とともに、平均曲率流方程式に対するBMOアルゴリズムに対して解析を加え、特に研究協力者の三沢正史(電気通信大)の協力のもと、類似の手法のp-Laplace型作用素を持つ退化放物型の偏微分方程式の解に対するlevel set functionによる数値解析の手法を試みた。そこでは、p-Laplace型の方程式にはBMPアルゴリズムの直接の適用が不可能であることが判明した。次に、小川は共同研究者である、石井克幸(神戸商船大)とともに、BMOアルゴリズムとAllen-Charn方程式の特異極限による平均曲率流方程式への近似理論の類似性に着目して、BMOアルゴリズムとAllen-Charn方程式の特異極限を統一的に扱う理論の構築を構想し、証明を試みた。現在その漸近展開における解析で部分的な結果を得ている。この手法は、Charn-Hiliard方程式のような、さらに高階の放物型方程式における特異極限問題に、適用が可能であると予想され、さらに複雑な界面運動を記述する、Eguchi方程式系への応用が見込まれる。
    さらに小川は研究協力者の山田想(ヴィジュアルテクノロジー)と共同でモンテカルロ法による非線形楕円型方程式の境界値問題についての数値解析に関するシュミレーションを行い、並列高速への可能性を探った。ことに並列化において有利な領域における特定の部分のみに対する解の高速計算処理に力点を置いて、研究を行った。
    杉田は複雑な関数の数値積分におけるさまざまな現象を確率数値解析の視点から考察した.とくにランダム性が小さくて複雑な関数に対しても安定した数値積分を可能にする離散的ランダムワイルサンプリングを提唱した.
    伊藤は表面拡散による3相境界運動を記述する幾何学的偏微分方程式に対して,3相が含まれる領域の境界が長方形的である場合に,初期値がエネルギーのミニマイザーに近ければ時間大域解が存在すること,解は時間無限大でエネルギーのミニマイザーになることを考察した.

  • 熱対流方程式系の空間周期的な分岐定常解のまわりの解のダイナミクスの研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1999年
    -
    2000年
     

    隠居 良行, 井口 達雄, 小川 卓克, 川島 秀一

    　概要を見る

    隠居はOberbeck-Boussinesq方程式のある種の定常解に対して、定常解が線形化安定性の臨界状態にあっても、初期撹乱の大きさに関係なく無条件安定であることを示した。さらに隠居は粘性による発熱の効果を考慮に入れたOberbeck-Boussinesq方程式タイプのモデル方程式を導出し、このモデル方程式については、熱伝導解が不安定になる制御パラメータの閾値(分岐点)が通常のOberbeck-Boussinesq方程式よりも大きくなるが、様々な空間周期パターンをもつ定常解がtranscriticalに分岐することを示し、熱伝導解は制御パラメータが閾値より小さくても有限振幅の撹乱に対して不安定であることを示した。また隠居は非局所的な非線形項をもつVlasov-Poisson-Fokker-Planck方程式の初期値問題を考察し、重み付きSobolev空間において不変多様体を構成することによって解の時間無限大における漸近形を求めた。川島は一般の双曲・楕円型連立系のある種の特異極限を論じ、この特異極限で双曲・楕円型連立系の解が対応する双曲・放物型連立系の解に収束することを、その収束の速さも込めて証明した。また川島は空間1次元の半空間における離散的Boltzmann方程式の初期・境界値問題を考察し、いくつかの境界条件のもとで、定常解の存在とそれらの時間無限大における漸近安定性を示した。小川はあるクラスの半線形分散型方程式の初期値問題において、初期値がDiracのデルタ関数のような一点だけの特異点を持つ場合に方程式の解が時間がたった後に時間と空間の両方向に付き実解析的になることを示した。また小川は3次元Euler方程式の解の爆発問題を考察し、爆発のための十分条件を渦度のある一般化されたBesov空間によるセミノルムによって与えた。井口は空間周期的な水底上の定常水面波の分岐について調べ、水底に小さな凹凸がある場合の可能な分岐パターンの分類を行なった。

  • ナビエ・ストークス方程式の適切性に関する研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1997年
    -
    2000年
     

    小薗 英雄, 長澤 壮之, 堤誉 志雄, 高木 泉, 立澤 一哉, 千原 浩之, 石毛 和弘, 三宅 正武, 小川 卓克, 中村 周, 加藤 義夫

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    Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて,Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^r(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

  • シュレディンガー作用素のスペクトル・散乱理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1997年
    -
    2000年
     

    中村 周, 加藤 圭一, 小川 卓克, 谷島 賢二, 堤 誉志雄, 新井 仁之, 小薗 英雄

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    この研究計画の目的は,広く言えば,過去のシュレディンガー方程式の数学的研究の成果をふまえてさらに理論を発展させ,既存の問題に関してより深い理解を得るとともに,新しい領域に関わる問題,方程式についても,数学的に厳密な形で,解の構造の研究を進めることにある.この研究期間中に,研究代表者及び研究分担者によって得られたシュレディンガー方程式及びその関連分野に関する研究成果は多岐に及ぶが,この概要においては研究代表者を中心とした研究で得られた成果の一部を述べる.
    1.相空間でのトンネル効果の手法を用いて,磁場中のシュレディンガー作用素の固有関数の半古典極限における指数的減衰の速さが,定磁場の存在によって増大することを証明した.
    2.散乱の半古典極限での挙動を研究した.散乱作用素の位相変位に対応するスペクトルシフト関数が,量子力学的共鳴の近くで急激に変化し,2πの整数倍のジャンプをする事を一般的な状況の下で示した.
    3.相空間で交わらないふたつのエネルギー曲面の相互作用に対応する散乱行列の成分が,半古典極限で指数的に小さくなることを,相空間でのトンネル効果の手法を用いて証明した(A.Martinez,V.Sordoniとの共同研究).
    4.2次元の離散的なシュレディンガー作用素および一般次元のシュレディンガー作用素について,アンダーソン型のランダムな磁場の下で,状態密度がスペクトルの下端でリフシッツ特異性を示すことを証明した.
    5.アンダーソン局在の証明で重要な役割を果たす,状態密度に関するウェグナー評価の,スペクトルシフト関数の理論を用いた新しい証明を開発した(J.M.Combes,P.D.Hislopとの共同研究).

  • 非線形偏微分方程式の解のL-p理論の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1997年
    -
    1998年
     

    小川 卓克, 加藤 圭一, 川下 美潮, 小薗 英雄, 隠居 良行, 川島 秀一, 中村 周, 三宅 正武

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    代表者の小川卓克は水面に現れる孤立波状の非線形波動を記述する連立非線形分散型方程式に対しその非線形結合の特殊な構造から弱い正則化作用を見いだし特に広い初期値に対する方程式の解の時間局所適切性を証明した。
    川島秀一は輻射気体の最簡約版モデル方程式系に対し、衝撃波の存在と漸近安定性を示した。また、一般の双曲・楕円型連立系の時間大域解の存在を示し、その減衰評価を与えた。
    隠居良行は流体の運動によって生じる熱の影響をあらわす散逸関数を含んだ形のオーバーベック・ブシネスクタイプの近似方程式を導出し、この近似方程式の解の存在や一意性などを考察した。通常のオーバーベック・ブシネスク方程式では、熱伝導解が不安定になるような状況でも、ここで導出した近似方程式では、熱伝導解は安定になる状況があることを示した。
    小薗英雄はルレイ-ホップクラスに属するナヴィエ-ストークス方程式の弱解の一意性に関して、任意の領域で臨界状況である、uが空間でL-n時間でL-infinityの場合に知られていた。
    一意性のための条件「解がL-nで時間右連続関数である」という付加条件を除き、単に解がL^∧nに時間でほとんど至るところ属せばであれば一意性が成立することを証明した。
    川下美潮は密度が空間変数や時間に対して一様でない流体の運動を記述する圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式の初期値問題の強解の一意存在性について論じた。外力なしの場合に、定常解に近い強解の存在の保証のためには、従来の初期値に要求しているなめらかさは必要ではないことを指摘した。
    加藤圭一は一般化されたカドムチェフ-ペトヴィアシュヴィリ方程式(KP方程式)の孤立波解が解析的であることを得た。さらにある非線形シュレーディンガー方程式またはハートリー方程式において小さい初期値に対し散乱状態が存在することをジプレイクラスを用いて示した。

  • 解析的偏微分方程式の形式的中級数解のジュブレイ性と斬近解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1995年
    -
    1996年
     

    三宅 正武, 小薗 英雄, 小川 卓克, 中村 周, 大沢 健夫, 青本 和彦, 大和 一夫

    　概要を見る

    この研究テーマは解析的な偏微分方程式における発散級数解の意味付けを与えることにある。常微分方程式の特異点の研究においては、発散級数解は漸近展開の立場から詳しく研究されて来た。また最近では、発散級数解の発散の程度を計る物差しとしてジュブレイ指数を導入し、ボレル総和法の立場から新たな試みがなされている。
    偏微分方程式において、特性的な初期値問題の解は一般に発散級数解となることが知られているが、その意味付けについては組織的な研究がなされていないのが現状である。この研究では、常微分方程式における研究の類似がどの様になされるのか、また偏微分方程式における固有の困難がどの様に現れるのかを追求することが、その大きな目的である。
    この研究で得られた第一の成果は、偏微分方程式の発散級数解のジュブレイ性の研究、さらには一般のグルサ-問題のジュブレイ族空間における可解性の問題がテプリッツ作用素のスペクトル理論に帰着される事を明らかにしたことであり、偏微分方程式の解析的理論において関数解析的理論の適用が可能になった事は大きな親展である。また、常微分作用素に対する指数定理がテプリッツ作用素の指数定理に他ならないことも明らかになった。
    もう一つの大きな成果は、熱方程式の発散級数解のボレル総和可能性の必要十分条件を与えたことである。常微分方程式においては、全ての発散級数解はボレル総和可能であるのに対して、偏微分方程式においては初期データについて条件が科されること、しかもその条件は古くから知られている解の一意性を保証するものに他ならないことが明らかになった。また、ボレル和は熱核による積分表示で与えられること、即ち、古典的な解と一致することが明らかになった。

  • 解析的偏微分方程式におけるジュブレイ性とフレドホルム性

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1994年
    　
    　
     

    三宅 正武, 鈴木 紀明, 伊藤 正之, 岸 正倫, 小川 卓克, 青本 和彦

    　概要を見る

    本研究の成果は多岐に渡るので、研究代表者の三宅正武の研究成果を中心に研究実績の報告をする。解析的偏微分方程式のグルサ-問題は従来では優級数の方法による研究がほとんどであったが、三宅はテプリッツ作用素のフレドホルム性の議論を数列空間に適用することに依って、各種のジュブレイ族空間における可解性のみならず、初めてグルサ-問題においてフレドホルム性の概念が自然に導入される事を明らかにすると共に、指数公式を与えた。これは、従来の優級数に依る方法は単に可解性の証明にのみ有効であったのに対して、関数解析的手法及び結果が自然に適用されることを与える優れた方法である事を示している。
    また、一般の常微分方程式系に対して、各種のジュブレイ族空間での指数公式をジュブレイ位数に付随して定義される行列式から定まる表象を用いて与えた。これらの結果は、常微分作用素及び偏微分作用素の何れに対してもフレドホルム性がテプリッツ作用素によって統一的に議論することが出来る事を示している。
    この成果のもとに、不確定特異点型偏微分作用素に対してもジュブレイ族空間における指数公式を証明し、形式べき級数解の収束性を特徴付る事に成功した。これは、柏原・河合・ショストランドによる結果の類似で、テプリッツ作用素の立場からの特徴付である。
    また、形式べき級数解に対する漸近解析の手始めとして、熱方程式をモデルとして形式解のボレル総和可能性を特徴付ると共に、熱核が発散級数解のボレル和の解析接続から得られる事や佐藤超関数としての表現で与えられる事を明らかにした。

  • 非線型発展方程式の解の挙動および関連する非線型楕円型方程式の解の構造の研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業

    研究期間:

    1992年
    　
    　
     

    小川 卓克

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Misc

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その他

  • 日本学術振興会 学術動向調査

    2015年04月
    　
    　

  • 非線形分散型偏微分方程式の解の安定性に関する研究

    2005年07月
    　
    　

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    ブリチッシュコロンビア大学のTsai助教授との共同研究を実施して非線形Schrodinger 型方程式の解の漸近安定性について研究する.

 

現在担当している科目

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社会貢献活動

  • 川井数理財団 高校派遣講師

    2008年10月
    -
    　

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    仙台2高における講演会

他学部・他研究科等兼任情報

  • 理工学術院   基幹理工学部

学内研究所・附属機関兼任歴

  • 2024年
    -
    2026年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

特定課題制度（学内資金）

  • 高エネルギー状況に対応する非線型流体問題の数学的解析

    2026年  

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    &nbsp; R. Haque教授(バングラデシュ・Rajahaji大), 岡田篤子氏(北里大)と共同で, 対流拡散方程式の連立対角系の初期値問題を一様ルベーグ空間で考察し, スケール臨界空間での時間局所適切性を確立した後, 大きな初期値に対する時間大域的な解の存在を, ベルンシュタイン型の正則性評価を確立することで証明した&nbsp;(JMAA (2025) doi:10.1016/j_jmaa.2025.129508).半平面における非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題を非線型境界条件の元で考察し, $L^2$における解の適切性と非線型べきの臨界性を津原 駿氏(神奈川大), 佐藤 拓也氏(学振PD)らと共同で明らかにした(JDE(2025), doi:10.1016/j.jde.2025.113361) .&nbsp;また, 林 仲夫氏(阪大理・名誉教授), E.Kaikina氏(Morarea 大・メキシコ)と共同で, スケール臨界空間における非線形Schrodinger 方程式の初期値境界値問題を考察し, 小さなデータに対する時間大域可解性をスケール臨界性を保ちながら確立した(JMAA(2025),doi:10.1016/j.jmaa.2025.129648)清水扇丈氏(京都大・理)と千頭 昇氏(名古屋工大・工)と共同で, 圧縮性粘性流体の初期値境界値問題について藤田-加藤の原理が適用可能なスケール臨界空間における時間局所適切性を, 半空間に近い非有界領域で非有界境界を持つ設定で確立した(CAM (2025) doi:10.3934/cam.202509)また, 清水扇丈氏と共同で, 同様な設定の元で境界条件を自由境界問題とした場合に, やはり, スケール不変な斉次Besov空間の枠組みで時間局所解の存在をLagrange 変換を用いて確立した.&nbsp;これらの結果はそれぞれの境界条件の下での時間端点($L^1$)最大正則性と適用することにより得られるが, 特に密度方程式を流速だけで書き下し, それにより, 流速の放物型方程式の初期値境界値問題に対する時間局所的評価を適用することにより得られる. これらは結果は, 半空間ではない非有界境界を持つ場合でも, 超関数の一部を含む初期値に対して, 藤田加藤の原理を確立した結果であり, 特に非線型境界条件となる自由境界問題としてはこれまでに無い. 成果である(JMPA, to appear).&nbsp;

  • 高エネルギー状況に対応する非線型流体問題の数学的解析

    2025年  

    　概要を見る

    &nbsp; プラズマ物理に関連する, 半直線上の非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題を林 仲夫氏(早稲田大理工), 佐藤 拓也氏(現 愛媛大・理)と共同で考察し, L^2空間での積分方程式を満たす解の適切性とその臨界指数を確定し, 解の有限時刻での爆発について研究した.この結果はエネルギ-クラスでの非線型境界条件と内部非線形性の双方がスケール臨界を含むような設定での初めての可解性の結果であり, これまではより高い正則性を与えた, 線形非斉次の境界条件にのみ知られた設定であった([1]).&nbsp;&nbsp; &nbsp;また半平面における非線型シュレディンガー方程式を非線型境界条件の元で考察し, エネルギークラスにおける解の適切性と非線型べきの臨界性を津原 駿氏(現 北大・理, JSPS・PD), 佐藤 拓也氏と共同で明らかにした. この結果は, 臨界次元における, 臨界時空分散評価のある一面を与えた成果であって, 初期値問題への時空ストリッカーツ評価が破綻するスケール次元での解析を境界条件付きで与えた結果を用いる.&nbsp;&nbsp; &nbsp;他方, 清水扇丈氏(京都大・理)と共同で, 非圧縮性粘性流体の自由境界問題に対して, 藤田-加藤の原理が適用可能なスケール臨界空間における時間大域的適切性を, 半空間に近い非有界領域で非有界境界を持つ設定で確立した. この結果は, 半空間ではない非有界境界を持つ場合でも, 超関数の一部を含む初期値に対して, 藤田加藤の原理を確立した([2]).&nbsp;&nbsp; 対流拡散方程式は流体運動を記述するもっとも簡潔なモデルでその初期値問題を藤田-加藤の原理に立脚した, 一様局所ルベーグ空間で可解性を議論し, その連立系に対する大きな初期値への時間大域解の存在と適切性をR. Haque氏(ラジャシヒ大), 岡田篤子氏(北里大)と共同で証明した. 特に同空間での無条件一意性と, 時間大域解の存在により, 空間周期解や準周期解を含む空間遠方で減衰しない解の存在が保証された ([3]).