離散モース関数の族に連結性(connectedness)という定義を導入することで、異なる離散モース関数の臨界点同士の連結性および、関数間の連結性を解析した。具体的に、単体的複体上に2つの離散モース関数f_1,f_2がある時に、それぞれの同じ次元の臨界点が強く連結するであるとは、互いのベクトル場上にgradient flowが存在することである。この時、強い連結のuniqueness、gradient flowのuniqueness、強い連結の数と空間のベッチ数およびオイラー数との関係などを示した。一つの主定理は以下に示す。Let G be a graph, and f1; f2 : G -> R be discrete Morse functions. Let A_q^{f_1, f_2}(G) denote the number of q-dimensional strong connections between f_1 and f_2 on G.Then, A_0{f_1, f_2}(G)-A_1{f_1, f_2}(G)= \beta_0(G)- \beta_1(G)= \chi(G),where \chi(G) is the Euler characteristic of the graph G, \beta_q(G) is the q-th Betti number of G.

本研究は離散モース関数の連結性理論に関する問題を調べた。具体的に、まずは、(1)一般な空間と離散モース関数の族について、臨界点は1 対1 に強く連結するとなる適切な十分条件を与えた。この問題は応用に関連する本分野の重要なopen problemである。次に、(2)臨界点同士が連結である時に、そのflow がunique となる適切な十分条件を与えた。最後に、(3)関数間の強い連結の数と空間のBetti 数との関係を調べた。本研究課題の研究結果は論文Persistent pairs and connectedness in discrete Morse functions on simplicial complex I, Topology and its Applications, 345, art. no. 108844 DOI: 10.1016/j.topol.2024.108844 に掲載されている。