微分方程式の特異点の周りで, 方程式の解を与える関数が, 指数的な振る舞いをするとき, その特異点を不確定(irregular)特異点と呼ぶことがあります. この不確定特異点と呼ばれる特異点において, ストークス現象と呼ばれる, 方程式の解が不連続的に変化する現象があります. 本年度は, このStokes現象について, 差分方程式と層の理論の観点からプレプリントを執筆しました. そして, このプレプリントの内容について, いくつかのオンラインで開かれた研究集会において, 講演を行いました. このプレプリントで研究したストークス現象は, 直接的には, 同変ドゥブロヴィン予想と呼ばれるミラー対称性予想への応用が期待される構造ですが, それだけでなく, 共形場理論の数学的な研究に現れるR行列と呼ばれる行列やその一般化とも関連の深い構造ではないかと考えています.
また, 2019年度に執筆した不確定特異型頂点作用素代数について, 頂点作用素代数の専門家を新たに一人, 共同研究者として迎え入れ, 再検討を始めました. その結果, これまでに得られた知見と合わせて, 当該研究における新たな方向性を見出すことができたのではないかと考えています. 新たな研究においては, 代数構造ではなく, 加群の構造について新しいクラスを導入し, それらから得られる不確定特異性を持つ共形ブロックを研究する方針です. 今後の研究においては, この新たな方向性について, より具体的な応用を視野に入れた研究を進めていきたいと考えています.

本年度の実施計画に述べた三つの課題に即して成果報告する。
第一：1. 楕円アルティン群に関して、その上の楕円モジュラー群の作用の理解が大幅に進み、その拡大類がモジュラー群上コア外部自己同型群を係数とするコサイクル類により記述されることがわかった。現在斎藤義久氏との共著論文を作成中である。2. 庵原氏とは楕円リー代数をすべての楕円ルート系に対して構成するプログラムが進行し、特に新たな双対性の概念（有限次元代数の表現論では知られていた）が有効であることが分かり、引き続き共同研究を進める。3. 楕円リー環の最高次ウェイト表現論は論文作成が遅れている。
第二：1. 上記第一の最初の課題とも関連して、階数２のルート系（A_2,B_2,G_2)に対応する原始積分が楕円積分で記述でき、その周期写像論を構築した（出版確定）。これは古典的な課題であるにもかかわらず、新たなクラスのEisenstein 級数を導入することにより、すべての有限ルート系に対する原始保型形式に関する一般的な discriminant 予想への肯定的な最初の結果である。2. それらの Eisenstein 級数のカスプにおける値を一般的に求める公式を青木宏樹氏との共著論文を作成した（出版確定）。3. モノイドに対する二変数増大関数の理論は今年度は取り組まず、進展していない。
第三：1. 高次剰余構造を持たない原始形式と、integrable hierarchy (Gelfand-Dickyなど）との関連について、Kostantin Aleshkin との共同研究が進みその前編（原始形式の構成部分）について、論文作成投稿した（レフェリー中）。2. 可積分構造に関して、同氏との議論を重ねており、次年度の課題として引き継ぐ予定である。

本研究においては, Landau-Ginzburg(以下, LG)模型と呼ばれる, 代数多様体とその上の関数の組についての変形とその(指数的)周期について調べました. 研究の指針は, ミラー対称性予想と呼ばれるFano多様体との対応関係です. 主な研究成果は, 1. 指数的周期と関連の深い, 指数型の頂点作用素の代数構造について, プレプリントを執筆したこと. 2. Fano多様体の同変量子コホモロジーに対応すべき, LG模型の変形から周期積分を通じて得られる微分・差分加群に対するStokes構造についてのプレプリントを執筆したこと. です.

本年度は，Katzarkov-Kontsevich-Pantevによって提唱された，Landau-Ginzburg modelに付随して定まるある種のD加群のコホモロジーに関する予想について研究をしました．ここで，Hodge理論の拡張である，不確定特異型Hodge構造の理論に着想を得て，これらの予想に対するHodge理論的な十分条件を得たこと，および具体的ないくつかの例に対して実際にこの十分条件を確かめたこと(したがって，予想が成り立つ例を与えたこと)が本年度の主な研究実績です．
Katzarkov-Kontsevich-Pantevによるこの予想は，ミラー対称性予想という，理論物理学における弦理論と数学のコラボレーションによって定式化された中心的な予想の文脈において自然に期待される，重要なものであり，その文脈において自然な十分条件を与えたという意味で，本研究は意義深いものとなっています．また，先行研究において，具体的な計算によって確かめられていた例に対してよりconceptualな証明を与えただけでなく，計算が困難な例に対しても予想を証明したという点においても重要です．また，得られた十分条件は古典的なHodge理論を用いて比較的容易に検証可能な点からも，今後のさらなる応用が期待できます．実際，本研究のアイデアに刺激を受けて，予想の一部をより一般的な場合に対して証明した研究が別の研究者によって与えられました．
そして，この結果について国内外のいくつかの研究集会にて，口頭発表やポスター発表を行いました．また，これらの結果についてまとめた論文を雑誌に投稿し，すでに出版が決まっています．

We introduce a category of filtered sheaves on a circle to describe the
Stokes phenomenon of linear difference equations with mild singularity. The
main result is a mild difference analog of the Riemann-Hilbert correspondence
for germs of meromorphic connections in one complex variable by
Deligne-Malgrange.

We introduce the notion of Stokes filtered quasi-local systems. It is proved
that the category of Stokes filtered quasi-local systems is abelian. We also
give a geometric way to construct Stokes filtered quasi-local systems, which
describe the asymptotic behavior of certain classes of solutions to some
differential-difference modules.

We introduce the notion of irregular vertex (operator) algebras. The
irregular versions of fundamental properties, such as Goddard uniqueness
theorem, associativity and operator product expansions are formulated and
proved. We also give some elementary examples of irregular vertex operator
algebras.