微分方程式の特異点の周りで, 方程式の解を与える関数が, 指数的な振る舞いをするとき, その特異点を不確定(irregular)特異点と呼ぶことがあります. この不確定特異点と呼ばれる特異点において, ストークス現象と呼ばれる, 方程式の解が不連続的に変化する現象があります. 本年度は, このStokes現象について, 差分方程式と層の理論の観点からプレプリントを執筆しました. そして, このプレプリントの内容について, いくつかのオンラインで開かれた研究集会において, 講演を行いました. このプレプリントで研究したストークス現象は, 直接的には, 同変ドゥブロヴィン予想と呼ばれるミラー対称性予想への応用が期待される構造ですが, それだけでなく, 共形場理論の数学的な研究に現れるR行列と呼ばれる行列やその一般化とも関連の深い構造ではないかと考えています.
また, 2019年度に執筆した不確定特異型頂点作用素代数について, 頂点作用素代数の専門家を新たに一人, 共同研究者として迎え入れ, 再検討を始めました. その結果, これまでに得られた知見と合わせて, 当該研究における新たな方向性を見出すことができたのではないかと考えています. 新たな研究においては, 代数構造ではなく, 加群の構造について新しいクラスを導入し, それらから得られる不確定特異性を持つ共形ブロックを研究する方針です. 今後の研究においては, この新たな方向性について, より具体的な応用を視野に入れた研究を進めていきたいと考えています.

We have studied a geometric object, called a Landau-Ginzburg (LG) model, which consists of an algebraic variety and a regular function on it, and its period integral. The main source of idea is the mirror symmetry conjecture, which relates LG model with Fano manifolds. The main results are, 1. a preprint on an algebraic structure of exponential type vertex operators, which closely related to exponential period. 2. a preprint on the Stokes structure for differential-difference modules obtained from the period integral for LG models which should correspond to equivariant quantum cohomology groups for Fano manifolds.

本年度は，Katzarkov-Kontsevich-Pantevによって提唱された，Landau-Ginzburg modelに付随して定まるある種のD加群のコホモロジーに関する予想について研究をしました．ここで，Hodge理論の拡張である，不確定特異型Hodge構造の理論に着想を得て，これらの予想に対するHodge理論的な十分条件を得たこと，および具体的ないくつかの例に対して実際にこの十分条件を確かめたこと(したがって，予想が成り立つ例を与えたこと)が本年度の主な研究実績です．
Katzarkov-Kontsevich-Pantevによるこの予想は，ミラー対称性予想という，理論物理学における弦理論と数学のコラボレーションによって定式化された中心的な予想の文脈において自然に期待される，重要なものであり，その文脈において自然な十分条件を与えたという意味で，本研究は意義深いものとなっています．また，先行研究において，具体的な計算によって確かめられていた例に対してよりconceptualな証明を与えただけでなく，計算が困難な例に対しても予想を証明したという点においても重要です．また，得られた十分条件は古典的なHodge理論を用いて比較的容易に検証可能な点からも，今後のさらなる応用が期待できます．実際，本研究のアイデアに刺激を受けて，予想の一部をより一般的な場合に対して証明した研究が別の研究者によって与えられました．
そして，この結果について国内外のいくつかの研究集会にて，口頭発表やポスター発表を行いました．また，これらの結果についてまとめた論文を雑誌に投稿し，すでに出版が決まっています．

We introduce a category of filtered sheaves on a circle to describe the
Stokes phenomenon of linear difference equations with mild singularity. The
main result is a mild difference analog of the Riemann-Hilbert correspondence
for germs of meromorphic connections in one complex variable by
Deligne-Malgrange.

We introduce the notion of Stokes filtered quasi-local systems. It is proved
that the category of Stokes filtered quasi-local systems is abelian. We also
give a geometric way to construct Stokes filtered quasi-local systems, which
describe the asymptotic behavior of certain classes of solutions to some
differential-difference modules.

We introduce the notion of irregular vertex (operator) algebras. The
irregular versions of fundamental properties, such as Goddard uniqueness
theorem, associativity and operator product expansions are formulated and
proved. We also give some elementary examples of irregular vertex operator
algebras.