1991年に、H.L.Bodlaenderは、有限単純グラフG＝（V,E）に対して、「ゲーム彩色」と呼ばれるある制限付きの彩色を導入し、ゲーム彩色数を定義し、そのごく基本的な性質を幾つか証明した。その後何人かの研究者がこれを取り上げているが、ゲーム彩色に関する論文はまだ10編に満たない。　本研究では、まず通常のグラフ彩色数との比較のもとに、ゲーム彩色数に関する基本的な性質を幾つか証明した。また、通常の彩色数と同じように、ゲーム彩色数の決定に際しては有効なアルゴリズムが存在しないため、ゲーム彩色数が確定した例が極めて少ないため、完全ｋ部グラフのかなり広いクラスについて、そのゲーム彩色数の決定作業を行った。　このような作業の途中で、このゲーム彩色には数学的には面白くない欠点があることに気付き、新たに「オセロゲーム彩色」なる概念を導入した。これは通常の彩色に近く、近似値を求める計算アルゴリズムも容易に構成できて、ゲーム彩色数よりもはるかに計算が容易である。通常の彩色、ゲーム彩色およびオセロゲーム彩色の比較をしながら、その基本的な性質を調べ、その特徴付けを行ってきたが、まだ多くの課題が残っている。これまでの成果は、一応日本語の論文にまとめたが、抱えている課題の幾つかが解決したある段階で英文の論文にして公表の予定である。　また、グラフ理論では自然なことであるが、頂点彩色を辺彩色の問題に置き換えた研究も少しずつ進んでいる。

　コンパクトな曲面（＝2次元多様体）Mは、組み合わせ多様体として三角形分割可能である。その０次元単体を頂点、1次元単体を辺と考えると、分割Kの1次元骨格は、ある単純グラフGのMへの埋め込みとも考えられる。単純グラフの曲面への三角形分割としての埋め込みの問題は、トポロジーの立場からもグラフ理論の立場からも興味深い研究対象である。　種数ｇの向き付け可能な閉曲面M(g)の1次元ホモロジー群は、階数２ｇの自由アーベル群で、その生成系として、1点で交差する単純閉曲線の対a(k)、b(k)(k=1，2，…，g)で他とは交差しないものを選ぶことができる。本研究では、これらに対応するサイクルを、M(g)の三角形分割G上のサイクルとして、どの程度まで選ぶことが出来るかを明確にするのを目的として、スタートした。残念ながら、まだ当初の目標までは到達していないが、目標に向かって基礎的な成果が少しずつ蓄積されてきた。それらをまとめると、次のようになる：①　円筒の三角形分割Gには、２つの境界上の点を結ぶ、互いに交差しない3本の道(path)が存在する。②　メービウスの帯の三角形分割Gには、境界上の2点を結び、それに沿って切断しても連結性を保つような3本の道が、端点以外では交差しないように、存在する。①を利用して、次の③が示された。③　M(g)の三角形分割Gには、互いに交差しないg本の本質的なサイクルが存在する。これは、研究目標の2g本のサイクルの半分a(1)，a(2)，…，a(g)の存在を保証したことになる。目標については、g=1，2 の場合以外はまだほとんど分かっていない。今後、この解決に向けて、研究を継続する予定である｡また、②を利用して、向き付け不可能な閉曲面についても、1次元ホモロジー群の標準基底との関係で、同様の問題を定式化し、考察していきたい。

　今年度の研究では、目標とした定理の証明にまでは至らなかったが、以下のような成果が得られた。平面的グラフＧの「正則射影図」とは、Ｇから２次元平面への連続写像による像で、多重点は高々有限個の２重点のみを持つものを言う。ただし、頂点の像は２重点にはならないものとする。正則射影図の各２重点に「上か下か」の情報を与えると、これはＧの３次元空間への埋め込みを表示する。３次元空間に埋め込まれた平面的グラフが「平凡型」であるとは、それが全同位によって２次元平面上に移る場合を言う。さらに、平面的グラフの正則射影図が「非平凡」であるとは、その２重点にいかなる「上か下か」の情報を与えても、平凡型の埋め込みが得られない場合を言う。平面的グラフＧが「自明化可能」であるとは、Ｇが非平凡な正則射影図を持たない場合を言う。　絡み目を有限個のサイクルの非交和の３次元空間への埋め込みと解釈すると、結び目理論では、有限個のサイクルの非交和は自明化可能であることがよく知られている。谷山公規氏は自明化不可能な平面的グラフが存在することを示し、また「２焦点グラフ」と名付けられた自明化可能な平面的グラフの類を構成した。今回の研究では、谷山氏とは別の「３線蜘蛛の巣グラフ」と名付けた自明化可能な平面的グラフの類を構成した。さらに、これと谷山氏の結果を用いて、自明化可能性に関する臨界グラフを７個確定することができた。臨界グラフをすべて求める問題が残されている。　これらの成果は、「On a class of trivializable graphs」の表題で英文論文誌に投稿準備中である。

コンパクトで連結で、向き付け可能な3次元閉多様体は、2つの同じ種数のハンドル体に分解され(Heegaard分解と呼ぶ）、その対称性から研究に広く活用されている。ところが、境界を持つ3次元多様体については、1970年にJ.S.Downingが2つの同じ種数のハンドル体に分解できることを示し、1973年にL.G.Roelingが境界が連結な場合にこの分解がある種の対称性を持つことを指摘した。しかし、一般にこの分解の基礎的な性質が判っていないため、十分な応用がなされていない。本研究ではまず、Roelingの方法に従って、境界成分の個数が一般の場合にも対称性を持ったハンドル体分解が存在することを証明した。続いて、閉多様体の場合に有効なHakenの定理をこの分解に関して定式化し、証明した。つまり、もし本質的な2次元球面を含むならば、ハンドル体の境界面と1本の閉曲線で交差するような本質的な2次元球面が存在することを示した。研究成果の発表：1998年2月　　コンパクト境界付き3次元多様体のハンドル体分解、早稲田大学教育学部『学術研究（数学編）』、第46号、pp.11-16.

　上記の課題についてこれまでもいくつかの研究をしてきたが、今回は関西大学の細川藤次教授の協力を得て、当初に目標に掲げた次の結果を得ることができた：４次元球面内に交わらずに埋め込まれた２つの２次元球面は、絡みホモトピーによって、分離した２つの２次元球面に移る。この結果は、かなり以前から予想されていたがなかなか解決できずに残っていたもので、３次元空間と４次元空間の違いを示す重要なものであり、４次元空間における絡み具合を顕す大事な手がかりを与えるものである。実際にはより一般的に、４次元球面内に埋め込まれた多数の２次元球面に関する次の定理が証明され、その特別な場合（つまり、ｎ＝２の場合）として上記の結果が得られる。　定理：４次元球面内に交わらずに埋め込まれたｎ個の２次元球面Ｋ1、…、Ｋnは、絡みホモトピーによって、各ｉ＝１，…，ｎについて、４次元球面におけるＫiの補空間がホモトピー円周となるような埋め込みに移る。　これらの成果は、１９９６年７月に早稲田大学国際会議場で開催された結び目理論の国際研究集会（日本数学会と早稲田大学共催）において発表され、この研究集会の報告集（レフェリー付き論文集）に次の形で掲載された:F.Hosokawa and S.Suzuki:Every 2-link with two components is link-homotopic to the trivial 2-link,Proceedings of Knots*96,pp.319-326,World Scientific Publishing Co.,1997年4月