The main subject of our research project is the constructive sapect of the Inverse Galois theory, and our aim is to develop the systematic method to construct the family of abelian equations, which has been one of the central problems in number theory. In this research work we focused our interests to the case of cyclic equations. We proposed a new idea to make a geometric generalization of the so called Gaussian period relations in the theory of cyclotomy. Namely making use of the mechanism by which a cyclotomic polynomials give rise as irreducible polynomials of Gaussian periods, we introduced e independent variables y_0,【triple bond】y_<e-1> and constructed e^2 rational functions u_<ij> of y's, in the similar way as the cyclotomic numbers are defined. Then we proved that Q(y_0【triple bond】y_<e-1>) is a cyclic extension of Q(u'_<ij>s). By this way, we have succeeded to construct small degree e a parametric family of cyclic polynomials of degree e ; especially for e=7, we found, a simple family whose coefficients are integral polynomials in our parameter n with constant term n^7. This gives an essentially new development in the so called Lehmer project. We remark that this

In 1998, we have obtained the following ;
We constructed normal bases in the first layer of a Zp-extension of a certain abelian extension of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions. We used the Jacobian variety with a principal polalization of the curve y^2=1-x^5.
In 1999, we have obtained the following ;
We constructed Minkowshi units in the ray class field of (]SU.[) modulo 6 by special velues of Siegel modular functions. We constructed also a unit group in the ray class field of (]SU.[) modulo 18 by special values of Siegel modular functions.
In 2000, we have obtained the following ;
We constructed all unies in the ray class field of (]SU.[) by special values of Siegel modular functions.

In 1994 Wiles and Taylor have settled the proof of Taniyama-Shimura conjecture for (semistable) elliptic curves over Q. This, with its application to the proof of Fermat's Last Theorem, was one of the greatest achievment in this century. In our previous research, we extended the result of Wiles-Taylor proving the modularity of certain abelian varieties over Q, including Q-curves over number fields, and jacobians of QM-curves of GL (2) -type. The aim of the present research has been to provide as many as possible the concrete examples of algebraic curves over Q, for which our modularity criterion for their jacobian can be applied, as well as to investigate various arithmetic properties of such curves. Some of our main results are :
・ We obtained some families of genus 2 curves over Q whose jacobian varieties are of GL (2) -type, and checked their modularity numerically and theoretically.
・ Conversely, for each cusp f (z) of weight 2 whose Fourier coefficients generate a quadratic field K, we tried to find an algebraic curve over QィイD4-ィエD4 shose jacobian variety is isogenous to the Shimura's abelian surface AィイD2fィエD2 attached to f. We have settled this problem i

考える方程式はつぎのような小さいパラメータをふくむ非線形方程式の初期値問題である。(A)(x+εu+【ε^2】a(u))【u^1】+q(x)u=r(x),(u(1)=b)ここで、つぎの仮定をおく。q(x),r(x)は0≦x≦1でreal-valued analytic,q(0)=9-0>0,α(u)=【α_0】+【α_1】u+…+【αsu^s】(S≧3,【α_s】≠0)。ε=0のときの初期値問題(B)の解を【u_0】(x)とする。【u_0】(x)=(b-w(1)【x^(-q0)】P(x)+W(x)。W(x)は0≦x≦1で解析的な、【xu^1】+q(x)u=r(x)の特殊解で、p(x)=exp(-∫(q-【q_0】)/【t^(dt)】)b≠w(1),【u_0】(x)q(x)-r(x)≠0,(0≦x≦1)のときに(A)の解はu=【u_0】(ξ),x=x(ξ,ε【ξ^(-sq0/2)】)で与えられる。ここでX(ξ,ζ)はζのベキ級数で、0<ξ≦1,|ζ|≦δで一様収束,係数は0<ξ≦1で解析的でx(1,ζ)=1.本研究の目的はつぎの定理である。定理 b>w(1)のとき(i)区間I:【(ε/δ)^(1/((S-1)9-0))】≦ξ≦1,0<ε≦【ε_0】でF=_x(ξ,ζ)+ε【u_0】+【ε^2】α(【u_0】)≠0,【ii】 x(ξ,ε【ξ^(-sq0/2)】)=0は区間I内に根ξ=【ξ!^】(ε)をもつ。かつ【ξ!^】=【ε^(1/(q-0+1))】{【〔((b-w(11)p(d))/(q-0+1)〕^(1/(q-p+1)】+0(1)}(ε→0)。こ

1.解析関数の代数点における値が超越数とならないとき, その代数点は例外点と呼ばれるが, 例外点の個数を上から評価するシュナイダー・ラング型定理の拡張を研究した.(1) リーマン面への拡張. 複素平面の場合の完全な拡張が得られ, 裏面の第1論文で発表した.(2) 単位円上の関数に対しては, 知られている結果より良い評価式を得ることができていたが, その改良をできるだけ一般の形に拡張し第2論文とした.(3) 上記(1)(2)の結果等は若林の東京大学学位論文としてまとめられ既に審査済みで, 63年3月に学位授与の予定.(4) 若林は(1)(2)について口答発表を行った.(i) 函数論分科会シンポジウム, 於長崎大学, 62年7月.(ii) ディオファントス近似国際会議, 於Oberwolfach, ドイツ, 63年3月.2.超越数論で有名な「四指数問題」を研究した. 上記(2)て考案された方法の考え方を適用し若干の進展が得られた.3.多変数関数の場合のシュヴァルツの補題を研究したが, 状勢を調べたに留る.4.間下は四元数射影空間およ

代表者は研究分野の異なる分担者との討論を通して他の研究分野における成果や方法等を吸収しつつ以下のような成果および今後の研究への展望を得た。代数体上で定義されている代数多様体、特に楕円曲線、のハッセのゼ-タ関数について多くの興味ある問題と未解決の予想があり、これらに対してどのようにアプロ-チするかが課題であった。まずハッセのゼ-タ関数が他の数学的対象と関係をもつ場合について。楕円曲線にはその群の構造から定まる形式群があり、その変換子のある展開はゼ-タ関数と同じ係数をもつことが知られているがこれを見つける方法が知られていないため形式群からゼ-タ関数の性質を導くことは困難である。問題は変換子を展開する局所パラメ-タをどうやって見つけるかであるが、現在素粒子論いとの関連で研究されている無限次元のモジュライ空間が代数曲線の局所パラメ-タの情報を含んでいることに注目しこの空間およびこの空間に作用している無限次

代数体kに対して,その整数環をO_kとし,O_kのQuillenの意味のn次Kー群をKn(O_k)とし,kのデデキントのzetaー関数をζ_k(s)とする。Lichtenbaumにより,Kn(O_k)とζ_k(s)の間に密接な関係があることが予想されているが,我々の研究により次の事が判った。1.代数体k_1のQ上のガロア閉包をLとし,Lのk_1上の体次数を(L:k_1)とする。このとき代数体k_2に対して,ζ_<k1>(s)=ζ_<k2>(s)ならば,(L:k_1)を割らない素数PについてKn(Q_<k1>)のtorsion部分のPーsylow部分群とKn(O_<k2>)のtorsion部分のPーsylow部分群が同型になることが判った。(Komatsu,Eine Bemerkung uber Dedekindsche zetafunktionen und KーGruppe,Archiv cler Math vol.54(1990))。さらにζ_<k1>(s)=ζ_<k2>(s)ならばKn(O_<k1>)とKn(O_<k2>)のfree rankが等しいことが判った。これはLichtenbaum予想を間接的に支える結果である。さて,Pを奇素数とし,kを総実な代数体,k'をkのPー拡大(k'/kがガロア拡大で,ガロア群の位数がPのへきになっている拡大)とする。さらに,k'/Kで分岐する素イテアルで分岐指数とその素イデアルが互いに素

1.若林は,パラメ-タが有理数である場合には,クンマ-関数の特殊値が超越数となることの別証として,指数関数に適用されるBezivinの方法が適用できることを示した。さらに,パラメ-タが代数的数である未解決な場合にもこの方法が適用できるかを調べた。2.若林は又,ア-ベル積分の周期の超越性に関連して,コンパクト・リ-マン面のア-ベル被覆上のグリ-ン関数の境界近くでの漸近的定量的性質の研究を行った。3.和田は,有限群のブロックBのカルタン行列を決定する問題を研究し,有限P可解群に対して,同型な単純B加群の個数が2である場合に,その形を決定し,論文として発表した。4.前田は,局所体のア-ベル拡大の野性分岐を測るスワン導手をガロア群上の超関数で表わすことに成功した。この論文は発表予定。5.小松は,総実代数体F上の拡大次数が素数lの巾となっている巡回拡大F′に対しての偶数次K群の構造を研究し,そのl階数の下からの評価が,F′で分岐するFの素イデアルである種の性質を満た

Gを有限群、標数p>0の代数的閉体F上の群環をFGとし、そのblockをB、Bのdefect groupをDとする。BのCartan行列のCの固有値、特にPerron-Frobenius固有値ρについてはあまりよく知られていなかったが、我々は次のようないくつかの事実を発見した。1.trivial FG-加群のprojective coverの次元をu、Gの最大正規p-部分群の位数をqとすると、q≦ρ≦uが成り立つ。Gがp-可解群のとき、あるいはDが巡回群のときは、ρ≦|D|が成り立つ。ここで一般の場合の評価式において、下限と上限が共にBに無関係な量であるのは、満足すべき結果ではない。Bに依存する量であってかつきれいな形で書けることが望ましい。2.ρは整数とは限らないが、もし整数ならば|D|以下のpのべきになることがわかった。Dが巡回群のときは、|D|に一致する。これが巡回群でなくても一般に成り立つのではないかと思われるが、まだ未解決である。3.ρはCの様々な性質を反映している。Cの列和達はBに属する既約FG-加群のprojective cover達の組成因子の個

コンパクトリー群Gのホモロジー群の直和はポントリャ-ギン積と呼ばれる積により代数の構造を持ち,それはGの階数個の生成元を持つ外積代数に同形であることが知られている。ポントリャ-ギンにより,この生成元を代表する(ポントリャ-ギン輪体と呼ばれる)輪体が知られている。ポントリャ-ギン輪体は高々1点を除くとGの部分多様体の構造を持っている。同じホモロジー類を代表する他の部分多様体と比較してポントリャ-ギン輪体は,体積が最少であることが期待される.このことを示すことは難しいと考えらえるが,それを裏付ける事実として体積の第2変分に関する安定性(第2変分が常に非負であること)の研究は興味深いものである.我々は,等質空間上の等質ベクトル束の調和解析の理論を応用して,特殊ユニタリー群,及び特殊直交群の場合のポントリャ-ギン輪体が体積の第2変分に関して安定であることを示した.等質空間上の等質ベクトル束の調和解析の理論を具体的な問題に応用する際に

Gを有限群,標数をP>0の代数的閉体F上の群環をFGとし、そのblockをB,Bのdetect groupをDとする。Bに属する既約FG-加群の個数をl(B)とする。BのCartan行列CのPerron-Frobenius固有値についていくつかの事実を調べてきたが,今年度は残された問題のうち次の結果を得た。1.Pの評価がblockに関する量で言い表すことがうまくできなかったが,次の事実を発見した。H:Gの部分群,bをHのblockとし,bのCartan行列をC,そのPerron-Frobenius固有値をPとする。(1)P≦l(b)P・max__<1≦i≦l(B)>{βi/ai}(2)P≦l(B)P・max__<1≦i≦l(b)>{αi/bi} ここでai,bi,αi,βiはB,bに附随するある行列の第i行和と第i列の最大成分を表す。(1)から良く知られた不等式P≦max__<1≦i≦l(B)>{ui/fi}等を得る。2.Brauer予想“k(B)≦1D1"はGがP-可解のときもまだ示されていない。l(B)≦k(B)だから、Brauer予想が正しければl(B)≦1D1も成立つはずであるが,これもGがP-可解のときすら分っていない。予想:GがP-可解のときl(B)^2≦Σ__<i.j>cig 但しC=(Cij)が成り立てば固有値Pを経由してl(B)≦1D1が言える。

等質ベクトル束の調和解析の理論を応用する際,リー群Gの(複素)既約表現の既約因子として,部分群Kの表現が何回現れるかを知ること(分岐の問題)が重要になる.我々は,コンパクト対称対(F_4,Spin(9))の分岐重複度の安定性について次の様な結果を得た.λをF_4の支配的整形式、μをSpin(9)の支配的整形式とするときm(λ、μ)でλを最高ウェイトとするF_4の複素概約表現におけるSpin(9)の複素概約表現でμを最高ウェイトとする物の重複度を表す.F_4の基本ウェイトλ_1・・・λ_4をλ_4が(F_4,Spin(9))の球表現の最高ウェイトであるようにとるとき、λが十分大きければm(λ+λ_4,μ)=m(λ,μ),m(λ+λ_i,μ)=0(i=1,2,3).さらにこの結果を用いた計算機プログラムを作成して分岐重複度の計算を行ない、応用として、ケイリー射影平面上の外微分形式に作用するラプラシアンの固有値を全て計算した.また、対(G_2,SU(3))の分岐重複度についても,(F_4,Spin(9))について得られたのと同様の性質があることも分かった.ユークリッド平面上の

虚2次体のZ_p-拡大の正規底をelliptic modular functionの特殊値で構成する問題は研究代表者によって既に解決された。今年度は虚ア-ペル体上のア-ペル拡大の正規底をHilbert modular functionの特殊値で構成する問題を研究し、次の結果を得た。有理数体上2m次の巡回拡大体でCM体であるものをKとし、Fをその最大実部分体とする、整数環Q_KのQ_Fの基底を1つωとし、Im(ω^<(ν)>)>0 ν=1,2…,mとする。Φ:K^x→K^x Φ(α)=α^<(1)>‥α^<(m)> で定義する。さらにNを正の整数としI_NをNと素なKのideal群とする。S_N={(α)∈I_N:α≡1【approaches】(mwdN)}S^^1__N={(α)∈I_N:(Φ(α1)∈S_<>}このときKの類数が1でΦ(I_N)S^^1__NΦI_Nならばθ=Σ^^ρ__<i=1>(ε_γιω^<(l)>,,ω^<(m)>)/(Gγ):u_<ξi> ,v_<ξi>,:NはKのS_<N'>に対する類体の正規底を構成している。(εγ)/(Gγ)はHrllort modlar functionとなっている