時空間データが簡単に取得できるようになった昨今、その複雑な構造を統計的に解析することが重要になってきている。従来の時系列解析では、定常過程の統計解析が主な研究対象であった。それに対し、本研究では、時空間データの局所構造に着目し、新たな統計解析手法を提案する。このような時空間データに対して、局所定常過程のもつ時変スペクトルを利用して、局所部分観測の統計的解析を行う。これは一種の高次元的統計解析であり、チャレンジングな課題である。本年度では、多変量時空間データのモデル推定論、仮説検定論を展開した。多変量時空間データの推定においては、局所的な複雑構造を捉えるため、カーネルによる重み付きホイットル尤度法を提案し、その漸近論を展開した。とくに、このような推定統計量にはバイアスを持ち、それを調整する方法を解明した。また、多変量時系列モデルに対するミニマックス推定論も同時に展開した。これは従来の統計解析手法とは異なり、多変量時系列モデルのフィッシャー情報量を導出し、それを加味した統計量の構成に成功した。この新たな推定量は頑健性をもつことも示した。一方で、仮説検定論においては、局所グレンジャー因果性という新たな概念を提案した。この新たな因果性の検定をテーマに、上記のモデル推定論を応用し、新たな検定方法を構成した。理論面では、この新しい検定方法で用いる検定統計量について、漸近論的観点からその漸近分布を導くことに成功した。また、局所グレンジャー因果性の検定を、脳波データへ応用し、脳波間のグレンジャー因果性変化を、時間変化で捉えることに成功し、癲癇患者の脳波間にはどのような時間変化があったかを初めて明らかにした。以上のように、本年度は局所的変化をもつ時空間データに対し、新たな枠組みでモデル推定、仮説検定を展開し、理論的解明に留まらず、実データへも適用することにより、新たな知見を得ることができた。

これまでの時系列解析では、正則な条件のもとで統計的推測が展開されてきた。しかし、金融データの分散が非有限であるなど正則条件を満たさないことがしばしば指摘されている。非有限分散モデルとして知られる安定過程について、自己基準化ピリオドグラムを利用して、経験尤度法を適用し、様相の異なる漸近分布を導き、重要指標に関する信頼領域の構築法を提案した。安定過程を含む広い時系列モデルのクラスにおいて、予測・補間誤差をモデル間のダイバージェンスとして捉え、その統計推測論を展開した。とくに、提案統計手法の漸近有効性、頑健性など様々な観点から手法の特性を数理的に論じた。これらの成果は著書や複数論文に著している。

本研究は、非有限分散時系列データに対する頑健な統計量の開発に関する研究である。近年では、川の流れに対する統計記録、インターネットの結節点への接続数や金融資産の収益率等、分散の大きいデータ系列が多くの自然現象や社会現象で観測されている。このようなデータ系列の持つ分布は、正規分布の裾よりも厚く、冪乗法則に従い、裾が減少していく。このような冪乗法則に従う分布は、理論的に分散が有限ではない。今年度は、このような非有限分散時系列データに対し、Ｍ推定量の推測論、予測問題のMinimax予測子および最適ポートフォリオ論を研究した。
分散の影響を取り除くＭ推定量のクラスは、定常過程の予測問題を根底に、それに対応する周波数領域の統計理論と関連している。１時点先の予測問題に対応する最適予測子の予測誤差を用いる時系列の母数推定は、よく知られているWhittle尤度の構造と同等である。この推測方法と経験尤度法を融合して非有限分散時系列データに対する母数の信頼領域を構築した。また、補間問題に対する最適補間子の補間誤差を用いた時系列データの母数に対する統計的推定論も展開した。
また、定常過程のスペクトルが局所近傍で汚染されているクラスに対する頑健で最適な予測子を構築する方法を考えた。ヒルベルト空間でスペクトルで表現できた予測子の形とその予測子による予測誤差は、ハーディ空間上では綺麗に表現できない。この為、minimax性を持つ頑健なスペクトルが陽に表現できない。この問題を解決するために、頑健な予測子が満たすべき十分条件を見つけた。
本研究の特色となる応用研究は、計画通り、日本の年金運用ポートフォリオの構成について考えた。本ポートフォリオ構成の研究では昨今、注目を集めるシステミック・リスクを最小化する方法を採用した。ここで構成したポートフォリオは、長らく用いられたマーコビッツの結果と異なる様相を示した。

　マーコビッツ理論と呼ばれるリスクとリターンのバランスを最適化するための数学的フレームワークがあり、効率的な資産配分の基礎として広く認知されている。従来のリスク指標として観測データの分散が使用され、線形的な最適計算が行われるのは基本である。一方で、分散評価による線形的なポートフォリオだけではリスクヘッジが十分でないことが判明している。近年では、各資産の観測データの分位点を正確に評価し、非線形手法に基づくリスク評価がますます盛んになってきている。　本研究では上記とは違う視点で、資産配分の割合に着目し、その割合を各資産の重要性に依存するものとして決定するものとしてモデリングを行う。各割合の時系列観測の自然母数に線形構造を導入し、疑似最尤推定量を用いたパラメータ推定を行う。このようにして、資産配分の割合に時変構造が入り、新たな資産データの観測に基づいてポートフォリオ構成を更新していく構造をもたせる研究を行った。理論面ではすでに推定手法の漸近一致性および漸近正規性を示した。数値シミュレーションでもよいパフォーマンスを得ている。研究論文は国際誌への投稿準備中である。　また、最適ポートフォリオ構成をテーマに交流を重ねてきたシンガポール国立大学の研究者らと国際セミナーを開催した。シンガポール国立大学では研究進展が速く、既に量子統計という新視点を導入した研究ステージに入っている。そのため、従来の時系列解析と組み合わせて、量子統計と時系列の研究交流としてセミナーをした。従来の参加者に加えて、ドイツの数値計算の研究者らにも量子計算の研究状況についてお話をいただくことができた。今後は量子ポートフォリオ計算などより進んだテーマに基づく研究が盛んになっていくと思われる。　以上のように、論文執筆や研究交流が計画通りに進んでおり、ドイツの研究者を巻き込んで予想以上に最新の研究話題に触れることができた。

本研究では、全観測を部分観測に分けて、本質的な情報を観測データから取り出す提案手法として、それぞれの部分観測を興味のある時空間モデルで統計推測を行い、モデル空間の補空間情報により、観測される時空間データの複雑構造に関する統計的性質を決定する新たな方法を展開する。今年度の研究成果は、以下の通りである。· 従属過程のスペクトルから生成される円周分布の特徴づけを行い、セミパラメトリック経験尤度法を提案することにより、円周分布の一般的な仮説検定問題の統計手法を提案した。· ポアソン自己回帰モデルとその拡張となる長期記憶モデルを提案し、これらのモデルを用いることにより、新型感染症のモデリングを実現し、複数の国における感染者数と政策指標、気候変化との関連性を統計的に解析した。· 想定時系列モデルの汚染モデルを意識して、その母数の統計推測において頑健性をもつものを、高次漸近論の観点から特定し、予測問題における頑健的な解析方法を提示した。· Hill推定量のような裾推定量の高次的統計解析が未解決問題であり、部分標本数の選び方を意識した高次漸近展開を行い、正規近似を高次漸近展開の観点からより正確に実現することができた。今後はこれらの成果を活かして、低次元時空間モデルへの埋め込みによる統計的推測論を確立し、非線形時空間データの特徴づけを行い、非線形性をもつ裾指数の定常性やその変化検出に関する検定論を展開し、金融・環境データへの適用を実現する。

数理モデルではカオス現象が理論・応用とも広く確認されている．バタフライ効果に代表される初期値鋭敏性のお話がすでに多くの知るところとなっているし，マルサスの人口論でも見られるような人口成長モデルに潜んでいるカオティックな振る舞いが自然科学と社会科学の間にかかる壮挙を成す架け橋となっている．これまでの分析は決定論的モデルに基づくものが多く，通常，ノイズの伴う実データにおいてどのような統計解析ができるかが興味深い問題の一つとなっている．計量経済学では金融収益の時系列観測におけるカオス性検出問題が長年，研究されてきている．本研究ではリサンプリング法に基づく新しい検定統計論を展開した．

本年度では，不規則に観測された時系列データの頑健性をもつ母数推定と定常時系列モデルの頑健性の伴う補間・外挿問題に関する研究を行った．不規則に観測された時系列データの頑健性をもつ母数推定論においては，昨年度構成した補完誤差を最小化する方法を根底に，母数推定の方法を定式化した．特に，今回は定期的な欠損が存在するという設定の下，観測される時系列モデルのスペクトルは，真の時系列モデルのスペクトルに，規則的な欠損によるスペクトルが加わった形で数学的に定式化できた．一方で，定常時系列モデルの頑健性の伴う補間・外挿問題では，微小の不確定性が存在する下，頑健性をもつ一般的な補間子・外挿子を与えることが出来た．

本研究は、分位点回帰を用いた時系列解析の理論に重きを置き、変化点問題についても考えた。特に、分位点回帰法に基づき、一般的なスペクトル構造の適切性を考えた。従来の手法と比較して、特殊な漸近分布を持つ驚くべき結果を得た。漸近正規性を回復する為、平滑化したピリオドグラムを利用した。それに対応して、通常の定常線形モデルに、非線型項を加えたsinusoid modelまで解析手法の理論的結果を拡張した。また、分位点検定論も展開し、数値シミュレーションを行った。本研究の成果は、Statistical inference for quantiles in frequency domainというタイトルの論文で投稿した。