2022/08/17 更新

写真a

ウスバ トシミチ
薄葉 季路
所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授
プロフィール

公理的集合論、とくに巨大基数関係の集合論を研究しています。その応用として集合論的位相空間論などもやっています。

兼担

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位

  • 名古屋大学   博士(情報科学)

経歴

  • 2021年04月
    -
    継続中

    早稲田大学   基幹理工学部数学科   教授

  • 2016年04月
    -
    2021年03月

    早稲田大学   基幹理工学部数学科   准教授

  • 2013年04月
    -
    2016年03月

    神戸大学   自然科学系先端融合研究環重点研究部   助教

  • 2010年09月
    -
    2013年03月

    名古屋大学   高等研究院   特任助教

  • 2009年05月
    -
    2010年08月

    University of Bonn   Hausdorff Center for Mathematics   Post-Doc Researcher

  • 2008年04月
    -
    2009年03月

    山形大学   理学部、教育学部   非常勤講師

  • 2008年04月
    -
    2009年03月

    東北大学   大学院理学研究科   教育研究支援者

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所属学協会

  •  
     
     

    科学基礎論学会

  •  
     
     

    Association for Symbolic Logic

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野

  • 数学基礎   Axiomatic Set Theory

  • 応用数学、統計数学   数学基礎論

  • 応用数学、統計数学   Axiomatic Set Theory

  • 数学基礎   数学基礎論

研究キーワード

  • 集合論的位相空間論

  • 一般位相空間論

  • large cardinal axioms

  • Set theory

  • 強制法

  • 集合論

  • 巨大基数

  • 数学基礎論

  • 公理的集合論

  • 巨大基数公理

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論文

  • Geology of symmetric grounds

    To appear in Proceedings of Asian Logic Conference 2019    2021年  [査読有り]

  • Choiceless Löwenheim–Skolem Property and Uniform Definability of Grounds

    Toshimichi Usuba

    Springer Proceedings in Mathematics & Statistics     161 - 179  2021年  [査読有り]

    DOI

  • Extendible cardinals and the mantle

    Toshimichi Usuba

    Archive for Mathematical Logic   58 ( 1-2 ) 71 - 75  2019年02月  [査読有り]

     概要を見る

    © 2018, Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. The mantle is the intersection of all ground models of V. We show that if there exists an extendible cardinal then the mantle is the smallest ground model of V.

    DOI

  • G <inf>δ</inf> -topology and compact cardinals

    Toshimichi Usuba

    Fundamenta Mathematicae   246 ( 1 ) 71 - 87  2019年  [査読有り]

     概要を見る

    c Instytut Matematyczny PAN, 2019 For a topological space X, let X δ be the space X with the G δ -topology of X. For an uncountable cardinal κ, we prove that the following are equivalent: (1) κ is ω1-strongly compact. (2) For every compact Hausdorff space X, the Lindelöf degree of X δ is ≤ κ. (3) For every compact Hausdorff space X, the weak Lindelöf degree of X δ is ≤ κ. This shows that the least ω1-strongly compact cardinal is the supremum of the Lindelöf and the weak Lindelöf degrees of compact Hausdorff spaces with the G δ -topology. We also prove that the least measurable cardinal is the supremum of the extents of compact Hausdorff spaces with the G δ -topology. For the square of a Lindelöf space, using a weak G δ -topology, we prove that the following are consistent: (1) The least ω1-strongly compact cardinal is the supremum of the (weak) Lindelöf degrees of the squares of regular T1 Lindelöf spaces. (2) The least measurable cardinal is the supremum of the extents of the squares of regular T1 Lindelöf spaces.

    DOI

  • The downward directed grounds hypothesis and very large cardinals

    Toshimichi Usuba

    Journal of Mathematical Logic   17 ( 2 )  2017年12月  [査読有り]

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    © 2017 World Scientific Publishing Company. A transitive model M of ZFC is called a ground if the universe V is a set forcing extension of M. We show that the grounds ofV are downward set-directed. Consequently, we establish some fundamental theorems on the forcing method and the set-theoretic geology. For instance, (1) the mantle, the intersection of all grounds, must be a model of ZFC. (2) V has only set many grounds if and only if the mantle is a ground. We also show that if the universe has some very large cardinal, then the mantle must be a ground.

    DOI

  • Large regular Lindelöf spaces with points Gδ

    Toshimichi Usuba

    Fundamenta Mathematicae   237 ( 3 ) 249 - 260  2017年  [査読有り]

     概要を見る

    © Instytut Matematyczny PAN, 2017. By analyzing Dow's construction, we introduce a general construction of regular Lindelof spaces with points Gδ. Using this construction, we prove the following: Suppose that either (1) there exists a regular Lindel of P-space of pseudocharacter ≤ ω1 and of size > 2ω, (2) CH and (ω2) hold, or (3) CH holds and there exists a Kurepa tree. Then there exists a regular Lindel of space with points Gδ and of size > 2ω. This shows that, under CH, the non-existence of such a Lindel of space has a large cardinal strength. We also prove that every c.c.c. forcing adding a new real creates a regular Lindel of space with points Gδ and of size at least (2ω1 )V.

    DOI

  • Equalities for the extent of infinite products and Σ-products

    Yasushi Hirata, Toshimichi Usuba, Yukinobu Yajima

    Topology and its Applications   307  2022年02月  [査読有り]

     概要を見る

    For a space X, let e(X)=ω⋅sup{|D|:D is a closed discrete subset in X}, which is called the extent of X. Here we deal with the following two questions: (1) For a product space X=∏λ∈ΛXλ, when is e(X)=|Λ|⋅sup{e(Xλ):λ∈Λ}? (2) For a Σ-product Σ of spaces Xλ,λ∈Λ, when is e(Σ)=sup{e(Xλ):λ∈Λ}? We show that the equalities in these questions hold if each Xλ is a strict p-space or a strong Σ-space and, in the case of the first question, if the cardinality of the index set Λ is less than the first weakly inaccessible. For semi-stratifiable spaces, we show that a slightly weaker form of these equalities holds.

    DOI

  • Strongly compact cardinals and the continuum function

    Arthur W. Apter, Stamatis Dimopoulos, Toshimichi Usuba

    Annals of Pure and Applied Logic   172 ( 9 ) 103013 - 103013  2021年10月  [査読有り]

    DOI

  • A note on δ-strongly compact cardinals

    Toshimichi Usuba

    Topology and its Applications   301   107538 - 107538  2021年09月  [査読有り]

    DOI

  • The coloring number and the list-chromatic number of uncountable graphs

    Toshimichi Usuba

    To appear in Israel Journal of Mathematics    2021年  [査読有り]

  • On Countable Stationary Towers

    Yo Matsubara, Toshimichi Usuba

    Springer Proceedings in Mathematics & Statistics     133 - 141  2021年  [査読有り]

    DOI

  • A note on the tightness of G<inf>δ</inf>-modifications

    Toshimichi Usuba

    Topology and its Applications   265  2019年09月  [査読有り]

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    © 2019 Elsevier B.V. We construct a normal countably tight T1 space X with t(Xδ)>2ω. This is an answer to the question posed by Dow-Juhász-Soukup-Szentmiklóssy-Weiss [5]. We also show that if the continuum is not so large, then the tightness of Gδ-modifications of countably tight spaces can be arbitrary large up to the least ω1-strongly compact cardinal.

    DOI

  • On the existence of skinny stationary subsets

    Yo Matsubara, Hiroshi Sakai, Toshimichi Usuba

    Annals of Pure and Applied Logic   170 ( 5 ) 539 - 557  2019年05月  [査読有り]

     概要を見る

    © 2018 Elsevier B.V. Matsubara–Usuba [13] introduced the notion of skinniness and its variants for subsets of P κ λ and showed that the existence of skinny stationary subsets of P κ λ is related to large cardinal properties of ideals over P κ λ and to Jensen's diamond principle on λ. In this paper, we study the existence of skinny stationary sets in more detail.

    DOI

  • Products of Lindelof spaces with points G_δ

    Usuba Toshimichi

    Topology and its Applications   252   90 - 96  2019年02月  [査読有り]

    DOI J-GLOBAL

  • New combinatorial principle on singular cardinals and normal ideals

    Toshimichi Usuba

    Mathematical Logic Quarterly   64 ( 4-5 ) 395 - 408  2018年11月  [査読有り]

     概要を見る

    © 2018 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim We introduce a new combinatorial principle on singular cardinals. This principle allows us to take a kind of a diagonal intersection of more than λ many measure one sets of certain normal ideals over ℘(λ). Under the principle, we give various characterizations of the saturation property of normal ideals over ℘(λ). We also consider Chang's type transfer properties under the principle, and, when λ is Jónsson, we prove that every normal ideal over ℘(λ) with {x ⊆ λ : |x| = λ} measure one cannot have strong properties.

    DOI

  • Subtlety and partition relations

    Toshimichi Usuba

    Mathematical Logic Quarterly   62 ( 1-2 ) 59 - 71  2016年02月  [査読有り]

     概要を見る

    © 2016 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim. We study the subtlety of a cardinal κ and of kΛ. We show that, under a certain large cardinal assumption, it is consistent that kΛ is subtle for some Λ > κ but κ is not subtle, and the consistency of such a situation is much stronger than the existence of a subtle cardinal. We show that the subtlety of PkΛ can be characterized by a certain partition relation on kΛ. We also study the property of faintness of κ, and the subtlety of kΛ with the strong inclusion.

    DOI

  • Superstrong and other large cardinals are never Laver indestructible

    Joan Bagaria, Joel David Hamkins, Konstantinos Tsaprounis, Toshimichi Usuba

    Archive for Mathematical Logic   55 ( 1-2 ) 19 - 35  2016年02月  [査読有り]

     概要を見る

    © 2015, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Superstrong cardinals are never Laver indestructible. Similarly, almost huge cardinals, huge cardinals, superhuge cardinals, rank-into-rank cardinals, extendible cardinals, 1-extendible cardinals, 0-extendible cardinals, weakly superstrong cardinals, uplifting cardinals, pseudo-uplifting cardinals, superstrongly unfoldable cardinals, Σn-reflecting cardinals, Σn-correct cardinals and Σn-extendible cardinals (all for n ≥  3) are never Laver indestructible. In fact, all these large cardinal properties are superdestructible: if κ exhibits any of them, with corresponding target θ, then in any forcing extension arising from nontrivial strategically <κ-closed forcing (Formula presented.), the cardinal κ will exhibit none of the large cardinal properties with target θ or larger.

    DOI

  • Reflection principles for uω<inf>2</inf>and the semi-stationary reflection principle

    Toshimichi Usuba

    Journal of the Mathematical Society of Japan   68 ( 3 ) 1081 - 1098  2016年  [査読有り]

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    © 2016 The Mathematical Society of Japan. Starting from a model with a weakly compact cardinal, we construct a model in which the weak stationary reflection principle for uω2 holds but the Fodor-type reflection principle for uω2 fails. So the stationary reflection principle for uω2 fails in this model. We also construct a model in which the semi-stationary reflection principle holds but the Fodor-type reflection principle for uω2 fails.

    DOI

  • Two-cardinal versions of weak compactness: Partitions of triples

    Pierre Matet, Toshimichi Usuba

    Journal of the Mathematical Society of Japan   67 ( 1 ) 207 - 230  2015年  [査読有り]

     概要を見る

    © 2015 The Mathematical Society of Japan. Let k be a regular uncountable cardinal, and λ be a cardinal greater than k. Our main result asserts that if (λ<k)<(λ<k) = λ<k, then (pk,λ(NInk,λ<k))+ → + (NS[λ]<k k;λ )+; NSk;λs+)3 and (pk,λ(NAInk;λ<k))+ → (NSk;λs+)3, where NSk;λs (respectively, NS[λ]<k k;λ) denotes the smallest seminormal (respectively, strongly normal) ideal on Pk(λ), NInk,λ<k (respectively, NAInk;λ<k) denotes the ideal of non-ineffable (respectively, non-almost ineffable) subsets of Pk(λ<k), and pk,λ : Pk(λ<k) → Pk(λ) is defined by pk,λ(x) = x ∩ λ.

    DOI

  • The cardinality of compact spaces satisfying the countable chain condition

    Toshimichi Usuba

    Topology and its Applications   174 ( 1 ) 41 - 55  2014年09月  [査読有り]

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    We prove that for a compact Hausdorff space X, if λc(X)<w(X) for every infinite cardinal λ<w(X) and λc(X)<cf(w(X)) for every infinite cardinal λ<cf(w(X)), then Tikhonov cube [0,1]w(X) is a continuous image of X, in particular the cardinality of X is just 2w(X). As an application of this result, we consider elementary submodel spaces and improve Tall's result in [17]. © 2014 Elsevier B.V.

    DOI

  • Bounded dagger principles

    Toshimichi Usuba

    Mathematical Logic Quarterly   60 ( 4-5 ) 266 - 272  2014年08月  [査読有り]

     概要を見る

    For an uncountable cardinal κ, let (†)κ be the assertion that every ω1-stationary preserving poset of size ≤κ is semiproper. We prove that (†)ω2 is a strong principle which implies a strong form of Chang's conjecture. We also show that (†)2ω1 implies that NS ω1 is presaturated. © 2014 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim.

    DOI

  • Characters of countably tight spaces and inaccessible cardinals

    Toshimichi Usuba

    Topology and its Applications   161 ( 1 ) 95 - 106  2014年  [査読有り]

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    In this paper, we study some connections between characters of countably tight spaces of size ω1 and inaccessible cardinals. A countable tight space is indestructible if every σ-closed forcing notion preserves countable tightness of the space. We show that, assuming the existence of an inaccessible cardinal, the following statements are consistent:(1)Every indestructibly countably tight space of size ω1 has character ≤ω1.(2)2ω1>ω2 and there is no countably tight space of size ω1 and character ω2. For the converse, we show that, if ω2 is not inaccessible in the constructible universe L, then there is an indestructibly countably tight space of size ω1 and character ω2. © 2013 Elsevier B.V.

    DOI

  • Lindelöf spaces with small pseudocharacter and an analog of Borel's conjecture for subsets of [0; 1]@1

    Franklin D. Tall, Toshimichi Usuba

    Houston Journal of Mathematics   40 ( 4 ) 1299 - 1309  2014年  [査読有り]

     概要を見る

    © 2014 University of Houston. e improve results of Shelah, Tall, and Scheepers concerning the cardinality of Lindelöf spaces with small pseudocharacter. We establish the consistency of an analog of Borel's Conjecture for subspaces of [0; 1]@1 .

  • On skinny stationary subsets of Pkλ

    Yo Matsubara, Toshimichi Usuba

    Journal of Symbolic Logic   78 ( 2 ) 667 - 680  2013年06月  [査読有り]

     概要を見る

    We introduce the notion of skinniness for subsets ofP ë and its variants, namely skinnier and skinniest. We show that under some cardinal arithmetical assumptions, precipitousness or 2ë-saturation of NSë | X, where NSë denotes the non-stationary ideal over Pë, implies the existence of a skinny stationary subset of X. We also show that if ë is a singular cardinal, then there is no skinnier stationary subset of Pë. Furthermore, if ë is a strong limit singular cardinal, there is no skinny stationary subset of Pë. Combining these results, we show that if ë is a strong limit singular cardinal, then NSë | X can satisfy neither precipitousness nor 2ë-saturation for every stationary X Pë. We also indicate that ë(Eë <), where Eë < def = { < ë cf() < }, is equivalent to the existence of a skinnier (or skinniest) stationary subset of Pë under some cardinal arithmetical hypotheses.© 2013, Association for Symbolic Logic.

    DOI

  • Hierarchies of ineffabilities

    Toshimichi Usuba

    Mathematical Logic Quarterly   59 ( 3 ) 230 - 237  2013年05月  [査読有り]

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    We study combinatorial large cardinal properties on P κ λ, such as ineffability, almost ineffability, subtlety, and the Shelah property. We show that, even when λ > κ, the almost ineffability of P κ λ does not yield the ineffability of κ. We also show that the Shelah property and the partition property of P κ λ do not yield the subtlety of κ. © 2013 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim.

    DOI

  • Notes on the partition property of Pκλ

    Yoshihiro Abe, Toshimichi Usuba

    Archive for Mathematical Logic   51 ( 5-6 ) 575 - 589  2012年08月  [査読有り]

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    We investigate the partition property of Pκλ. Main results of this paper are as follows: (1) If λ is the least cardinal greater than κ such that Pκλ carries a (λ <κ, 2)-distributive normal ideal without the partition property, then λ is Π n1-indescribable for all n < ω but not Π 12 -indescribable. (2) If cf(λ) ≥ κ, then every ineffable subset of Pκλ has the partition property. (3) If cf(λ) ≥ κ, then the completely ineffable ideal over Pκλ has the partition property. © 2012 Springer-Verlag.

    DOI

  • SPLITTING STATIONARY SETS IN p(lambda)

    Toshimichi Usuba

    JOURNAL OF SYMBOLIC LOGIC   77 ( 1 ) 49 - 62  2012年03月  [査読有り]

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    Let A be a non-empty set. A set S subset of p(A) is said to be stationary in p(A) if for every f: [A](&lt;omega) -&gt; A there exists x is an element of S such that x not equal A and f"[x](&lt;omega) subset of x. In this paper we prove the following: For an uncountable cardinal 1 and a stationary set S in p(lambda), if there is a regular uncountable cardinal kappa &lt;= lambda such that {x is an element of S : x boolean AND kappa is an element of kappa} is stationary, then S can be split into kappa disjoint stationary subsets.

    DOI

  • Two-cardinal versions of weak compactness: Partitions of pairs

    Pierre Matet, Toshimichi Usuba

    ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC   163 ( 1 ) 1 - 22  2012年01月  [査読有り]

     概要を見る

    We study various partition properties on P(kappa)(lambda). Our main result asserts that lambda(&lt;lambda&lt;kappa) = lambda(&lt;kappa), then (p(NSh(kappa,lambda&lt;kappa)))(+) --&gt; (NSS(kappa,lambda)(+))(2), where p : P(kappa)(lambda(&lt;kappa)) --&gt; P(kappa)(lambda) is defined by p(x) = x boolean AND lambda. (C) 2011 Elsevier BM. All rights reserved.

    DOI

  • 現代集合論における巨大基数(<特集>あたらしい数理論理学の揺籃:証明論的な順序数と集合論的な順序数)

    薄葉 季路, 藤田 博司

    科学基礎論研究   39 ( 2 ) 83 - 92  2012年

     概要を見る

    This article is to give a brief survey of roles of large cardinals (those ordinals which are in certain sense very big) in set theory of our time. In particular, close relationship of the structure of the continuum to large cardinals is emphasized. We also mention the inner model method which is a comparable approach to large cardinal axioms, so that we could make clear the reason why large cardinals are so important.

    DOI CiNii

  • 現代数学における巨大基数

    薄葉 季路, 藤田 博司

    科学基礎論研究   39 ( 2 )  2012年  [査読有り]

  • Fodor-type Reflection Principle and reflection of metrizability and meta-Lindelöfness

    Sakaé Fuchino, István Juhász, Lajos Soukup, Zoltán Szentmiklóssy, Toshimichi Usuba

    Topology and its Applications   157 ( 8 ) 1415 - 1429  2010年06月  [査読有り]

    DOI

  • Splitting stationary sets in P-kappa lambda for lambda with small cofinality

    Toshimichi Usuba

    FUNDAMENTA MATHEMATICAE   205 ( 3 ) 265 - 287  2009年  [査読有り]

     概要を見る

    For a regular uncountable cardinal kappa and a cardinal lambda with cf(lambda) &lt; kappa &lt; lambda, we investigate the consistency strength of the existence of a stationary set in P-kappa lambda which cannot be split into lambda(+) many pairwise disjoint stationary subsets. To do this, we introduce a new notion for ideals, which is a variation of normality of ideals. We also prove that there is a stationary set S in P-kappa lambda such that every stationary subset of S can be split into lambda(+) many pairwise disjoint stationary subsets.

    DOI

  • Ineffability of P-kappa lambda for lambda with small cofinality

    Toshimichi Usuba

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   60 ( 3 ) 935 - 954  2008年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We study ineffability, the Shelah property, and indescribability of P-kappa lambda when cf(lambda) &lt; kappa. We prove that if lambda is a strong limit cardinal with cf(lambda) &lt; kappa then the ineffable ideal, the Shelah ideal, and the completely ineffable ideal over P-kappa(lambda) are the same, and that it can be precipitous. Furthermore we show that Pi(1)(1)-indescribability of P-kappa(lambda) is much stronger than ineffability if 2(lambda) = lambda(&lt;kappa).

    DOI

  • Local saturation of the non-stationary ideal over P-k lambda

    Toshimichi Usuba

    ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC   149 ( 1-3 ) 100 - 123  2007年11月  [査読有り]

     概要を見る

    Starting with lambda-supercompact cardinal K, where lambda is a regular cardinal greater than or equal to K, we produce a model with a stationary subset S of P-k lambda such that NSk lambda vertical bar S, the ideal generated by the non-stationary ideal NSk lambda over P-k lambda together with P-k lambda\S, is; lambda(+)-saturated. Using this model we prove the consistency of the existence of such a stationary set together with the Generalized Continuum Hypothesis (GCH).
    We also show that in our model we can make NSk lambda vertical bar S(k, lambda) lambda(+)-saturated, where S(k, lambda) is the set of all x epsilon P-k lambda such that ot(x), the order type of x, is a regular cardinal and x is stationary in sup(x). Furthermore we construct a model where NSk lambda vertical bar S(k, lambda) is k(+)-saturated but GCH fails. We show that if S\S(k, lambda) is stationary in P-k lambda, then S can be split into lambda many disjoint stationary subsets. (c) 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

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書籍等出版物

Misc

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受賞

  • 2014年度日本数学会賞建部賢弘賞

    2014年09月  

    受賞者: 薄葉 季路

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 巨大基数を用いた集合論的多元宇宙の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2018年04月
    -
    2021年03月
     

    薄葉 季路

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    集合論的多元宇宙の研究に関しては次のような結果が得られた: 適当な仮定の下で、宇宙Vが部分宇宙のsymmetric extensionになっていることが、Vと部分宇宙が共通の強制拡大を持つことと同値であることを示した。これにより「symmetric extensionである」という性質が一階述語論理の文として記述可能であることを示し、とくにそのような部分宇宙全体の構造が一階の枠組みで展開可能であることを示した。この結果に関して国内外で発表を行い、結果をまとめた論文を査読付き国際雑誌に投稿した。さらにこの研究で得られた理論を応用して、Reinhardt cardinalなどの超巨大基数の存在について、適当な仮定の下ではそのような超巨大基数が存在しえないことを証明した。この結果について、現在論文を準備中である。
    その他、巨大基数および集合論的位相空間に関して次のような結果が得られた。1.位相空間において、位相を強めた際にそのtightness numberがどのように変化するかについて考察し、ある巨大基数がその上限を与えること、および連続体仮説のもとではその巨大基数が最適な上限であることを示した。この結果について国際研究集会で発表をおこない、結果をまとめた論文が査読付き国際雑誌に掲載された。2.δ-強コンパクト基数に関して研究を行い、一様超フィルターの存在、積空間のtightness numberの上限など様々な形で特徴づけ可能であることを示した。この結果について国際研究集会で発表を行い、論文を査読付き国際雑誌に投稿した。3.Apter、Dimopoulosらと強コンパクト基数において一般連続体仮説が破壊されることの無矛盾性の強さに関して共同研究を行い、その結果を国内研究集会で発表した。また、その結果をまとめた論文を査読付き国際雑誌に投稿した。

  • Pκλ構造を用いた組み合わせ論的問題の解析

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 若手研究(B)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2018年03月
     

    薄葉 季路, 松原 洋, 酒井 拓士, 石井 大海, 山浦 真生

     概要を見る

    無限組み合わせ論に関して、非分岐原理のイデアル理論への応用、組み合わせ論的性質を通した基数とPκλとの比較、リンデレフ位相空間への巨大基数の応用などが得られた。反映原理に関して、強い反映原理と弱い反映原理の分離、およびパラコンパクト空間の特徴づけなどの応用が得られた。
    また、集合論的多元宇宙論、集合論的地質学に関して、基本定理である基礎モデルの下向き有向性を証明することに成功し、また、巨大基数が存在するならば最小の基礎モデルが存在することなどを示した。

  • Pκλ上のイデアルの構造的性質と無限組合せ論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2018年04月
    -
    2021年03月
     

    阿部 吉弘, 薄葉 季路, 南 裕明

     概要を見る

    Local P-pointの次のような特徴付けを与えた:WをPκλのunbounded setによる分割とするとき、bounded イデアルとWの元から生成されるイデアルをJ(W)とする。Iがlocal P-pointではないことと、あるWに対してJ(W)をIが含んでいることは同値である。
    イデアルのカテトフ順序に関連して、ED_fin イデアルについての有限分岐するtree type強制法がどの程度の基数不変量を保存するかを調べた。
    無限帽子パズルとイデアルの組み合わせ論:(1)自然数人囚人がいて一方通行の視界しかない場合、囚人の視界は自然数上のグラフとして表現できる。双対フィルターI*-many 正解になるような戦略が存在するならば、グラフの意味でI positive-manyの独立集合は存在しない。この逆が成り立つイデアルをNISイデアルとよぶ。極大イデアル I に関しては、I*がRamsey ultrafilterであることとIがNISイデアルであることは同値である。Definable(Borel,analytic,co-analytic)なイデアルでNISイデアルとなるようなものがないか調べている。(2)「視界」は十分あるが,色の見分けがつかない場合について、必勝法や必敗法のあるようなゲームの枠組みを自然数の集合の分割を用いて調べた。
    強制法への波及効果:適当な巨大基数の仮定の下では選択公理を使わずに集合論的地質学展開できることを示した。また、集合論的地質学をsymmetric extensionを含む形に拡張した。
    集合論的位相幾何学への応用:ω1-strongly compact cardinalのgeneral topologyへの新たな応用をいくつか得た。

  • Pκλ上のイデアルの構造理論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2015年04月
    -
    2018年03月
     

    阿部 吉弘, 薄葉 季路, 南 裕明

     概要を見る

    Pκλ上のイデアルの構造的性質の理論を展開した。
    最小のイデアル the bounded ideal と同型なイデアルは、例外的な場合を除いて、最小の正規イデアル the nonstationary ideal を含まないことを示した。また、κ上の場合と同様に Ulam ideal を定義し、the bounded ideal は Ulam ではないことを示し、イデアル I が Ulam であることの特徴付けを、I の extension の coherence などを用いて与えた。さらに、剛性についても Ulam iedal との関係などを明かにした。

  • 強制法と巨大基数による集合論的位相空間論の深化

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2018年03月
     

    嘉田 勝, 吉信 康夫, 友安 一夫, 渕野 昌, 薄葉 季路, 岩佐 明, 加茂 静夫, 加藤 匠人, 静間 荘司

     概要を見る

    本研究の開始後に、当初想定できなかった研究遂行の障害が複数件生じ、当初想定していた研究方法の大幅な縮小を余儀なくされ、特に、主題として設定した「巨大基数公理を用いた集合論の手法による位相空間論へのアプローチ」については、特筆すべき成果を挙げられなかった。その一方、本研究の遂行の過程で派生的に生じた、「(1) 点列の集合への収束とコーエン強制」 「(2) 和集合公理を除いた集合論の公理系における、種々の選択公理関連命題の強弱関係」「(3) 囚人の帽子パズルの無限集合への一般化」の3点の集合論および位相空間論の問題については、興味深い成果が得られており、今後の研究の進展も期待できる。

  • 中規模無限基数上の不変な構造

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2017年03月
     

    吉信 康夫, 渕野 昌, 宮元 忠敏, 嘉田 勝, 友安 一夫, 酒井 拓史, 薄葉 季路, 松原 洋

     概要を見る

    公理的集合論の研究において, アレフ数2以上の無限基数のもつ組合せ的性質は, それ以下の無限基数に比べて解明されていない点が多い. 本研究では, アレフ数2以上の無限基数のうち比較的小さいものたちのもつ組合せ的性質の, いろいろな強制拡大の下での不変性を詳しく調べた. その結果, 強制公理と呼ばれる集合論のよく知られた一連の公理たちが, どのような種類の半順序集合による強制拡大によってどの程度保存されるかという問題を中心に, いくつかの重要な知見を得ることができた.

  • ガルビン予想の解決にむけての研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2014年04月
    -
    2016年03月
     

    渕野 昌, 酒井 拓史, 薄葉 季路

     概要を見る

    ガルビン予想は,「任意の半順序集合X の濃度 ω_1 の部分順序が可算個の連鎖の和集合となっているとき,X 自身も可算個の連鎖の和集合になる」という主張の無矛盾性を問うものである.本研究では,ラドー予想,ガルビン予想等に関する反映数を導入し,これらの関連を調べた.ラドー予想やガルビン予想の成立は,対応する反映数が ω_2 になることと同値である.σ-closed な強制拡大に関して,可算個の連鎖の和集合にならない,という性質が保存される半順序のクラスに対しては,対応する反映数が ω_2 となることも,連続体濃度が大きなものである状況でそれりより小さなものとなることも無矛盾であることを示した.

  • 巨大基数を指向しないPκλ上のイデアル論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2011年
    -
    2013年
     

    阿部 吉弘, 薄葉 季路, 加茂 静夫, 塩谷 真弘

     概要を見る

    Pκλ上のイデアルの構造理論の土台となる P-point, Q-point, selective イデアルの概念を定式化し、いくつかの定理を証明した。それらには、κ上のイデアルと同じく成り立つものと、大きく異なるものがある。また、κ上の場合が、λ=κという特殊事情によるものだったことを示唆する事実も得られた。
    κが超コンパクト基数のとき、Pκλのstationary set は reflect することが知られていたが、κが強コンパクトで reflect しない stationary set が存在する強制モデルを構成した。

  • 定常性に関する反映原理と集合論公理系の拡張

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2009年
    -
    2011年
     

    渕野 昌, ライオシュ ソウクプ, フリードマン サイーダビド, 酒井 拓史, 薄葉 季路

     概要を見る

    順序数の集合の定常性の反映原理と順序数の可算集合の集合の定常性の反映原理の間に位置する反映原理であるFodor-type Reflection Principle(FRP)が,これまでにFleissnerのAxiom Rの帰結として知られていた位相空間論や無限グラフの理論などでの数学的な反映定理の多くとZFC上で同値になることを示した. FRPからShelah's Strong Hypothesisが導かれることを示し, FRPと他の反映原理の間の含意の関係をほぼ完全に把握することに成功した.

  • 中規模無限基数上の組合せ論

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2008年
    -
    2011年
     

    吉信 康夫, 渕野 昌, 松原 洋, 宮元 忠敏, 嘉田 勝, 友安 一夫, 酒井 拓史, 薄葉 季路

     概要を見る

    アレフ数2以上の無限基数上の組合せ論は, アレフ1, つまり可算でない最小の無限基数上のそれとは異なった様相を呈する. 本研究では, アレフ数2以上の基数のうちでも比較的小さい無限基数に固有な組合せ論的性質を, 集合論のよく知られたいくつかの公理との相互作用や, 集合論的位相空間論への影響の観点から詳しく調べ, いくつかの重要な知見を得た.

  • 無限組み合わせ論における諸原理とコンパクト基数

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2008年
    -
    2010年
     

    阿部 吉弘, 平田 康史, 薄葉 季路, 加茂 静夫, 塩谷 真弘

     概要を見る

    Pκλ={x⊂λ:|x|<κ}(濃度がκ未満のλの部分集合の全体)上の組み合わせ論におけるいくつかの事実を明らかにした.主な例を挙げると :
    (1)λのcofinalityがκ未満のとき,Pκλのstationary set Sで,そのstationaryな部分集合は必ずλ^+個のstationary setに分割できるものが存在する.
    (2)λのcofinalityがκ以上でPκλ上にweakly normal idealが存在すれば,Pκλの濃度はMax(2^<κ,λ)である.
    (3)λのcofinalityがκ以上のとき,Pκλの部分集合が分割の性質をもつことと,ineffableであることは同値である.

  • 公理的集合論の大域的研究

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)

    研究期間:

    2007年
    -
    2008年
     

    渕野 昌, ブレンドレ ヤーグ, 酒井 拓史, 薄葉 季路, ジョアン バガリア, ソウクプ ライオシュ, ユハス イシュトバン, セントミクロッシ ゾルタン

     概要を見る

    本研究で得られた主要な結果としては, (1)[雑誌論文][5], [4]でのコーエンモデルや, もっと一般に小さなp.o.のside by side productによる強制で得られるモデルの組合せ論的性質を公理化すると考えられる組み合せ論的原理に関する理論の確立, (2) 多くの数学的な反映原理と同値になるFodor-type Reflection Principle (FRP)と名付けたstationary reflection principleのバリアントの定式化と, その理論の確立([雑誌論文][3], [1])があげられる. 特に(2)の研究では, 本研究終了前後の時期に, 従来AxiomRと呼ばれるFRPより真に強いことの知られている原理から証明されていたトポロジー, グラフ理論などでのreflectionに関する結果の多くが, ZFC上FRPと同値になるという結果が得られているが, この結果は, FRPが"正しい"原理の定式化であることを強く示唆しているもの, と解釈できる.

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講演・口頭発表等

  • Generic setwise large cardinals

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    Kobe Set Theory Workshop 2021   (Kobe) 

    発表年月: 2021年03月

    開催年月:
    2021年03月
    -
     
  • Large cardinals as natural upper bounds on cardinal functions

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    3rd Pan-Pacific International Conference on Topology and Applications   (Chengdu) 

    発表年月: 2019年11月

  • Choiceless set-theoretic geology

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    Asian Logic Conference 2019  

    発表年月: 2019年06月

  • Syntactical and semantical approach to generic multiverse

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    Sendai Logic School 2018  

    発表年月: 2018年12月

  • Set-theoretic geologies

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    6th European Set Theory Conference  

    発表年月: 2017年07月

  • Lindeloef spaces and large cardinals

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    Toposym 2016  

    発表年月: 2016年07月

  • Equalities for the extent of infinite products and Σ-products

    矢島幸信, 平田康史, 薄葉季路

    日本数学会2021 年度秋季総合分科会  

    発表年月: 2021年09月

  • Generically extendible cardinals

    薄葉季路

    日本数学会2021年度年会  

    発表年月: 2021年09月

  • On Reinhardt cardinals

    薄葉季路

    日本数学会2020年度秋季総合分科会  

    発表年月: 2020年09月

  • Variants of Strong Chang's Conjecure

    薄葉季路

    日本数学会2021年度年会  

    発表年月: 2020年03月

  • Geology of symmetric grounds

    Toshimichi Usuba

    Set Theory and Infinity  

    発表年月: 2019年11月

  • Standard and choiceless set-theoretic geology

    薄葉季路

    Summer School 2019  

    発表年月: 2019年08月

  • Choiceless set-theoretic geology

    Toshimichi Usuba

    Higher recursion theory and set theory  

    発表年月: 2019年06月

  • GCH at strongly compact cardinals

    薄葉季路

    日本数学会2019年度年会  

    発表年月: 2019年03月

  • 多元宇宙の理論

    薄葉季路

    山陰 基礎論・解析学セミナー 2019  

    発表年月: 2019年02月

  • Axiomatization of Generic Multiverse

    薄葉季路

    証明論研究集会  

    発表年月: 2018年12月

  • 数学基礎論と位相空間論のコンパクト

    薄葉季路  [招待有り]

    筑波大学数学域談話会  

    発表年月: 2018年11月

  • Extendible cardinals and the mantle

    薄葉季路

    日本数学会2018年度秋季総合分科会  

    発表年月: 2018年09月

  • The generic multiverse and large cardinals

    Toshimichi Usuba

    Symposium on Advances in Mathematical Logic 2018  

    発表年月: 2018年09月

  • omega_1-strongly compact cardinals and cardinal functions in topology

    Toshimichi Usuba

    Reflections on Set Theoretic Reflection  

    発表年月: 2018年09月

  • G_delta-topology and compact cardinals

    薄葉季路

    一般位相幾何学の進展と諸問題  

    発表年月: 2018年06月

  • Products of Lindeloef spaces

    薄葉季路

    日本数学会2018年度年会  

    発表年月: 2018年03月

  • Compactness cardinals and covering properties of topological spaces

    薄葉季路  [招待有り]

    手形L4研究集会  

    発表年月: 2018年03月

  • 多元宇宙論入門

    薄葉季路

    山陰 基礎論・解析学セミナー 2018  

    発表年月: 2018年01月

  • 集合論の宇宙と強制法

    薄葉季路  [招待有り]

    東北大学理学部数学科談話会  

    発表年月: 2017年12月

  • G_delta-modification and large cardinals

    Toshimichi Usuba

    Iterated Forcing Theory and Cardinal Invariants  

    発表年月: 2017年11月

  • Set-theoretic geoligies

    Toshimichi Usuba  [招待有り]

    Workshop on Computability Theory and Foundations of Mathematics  

    発表年月: 2017年09月

  • パラコンパクト空間と強制法公理

    薄葉季路  [招待有り]

    第64回トポロジーシンポジウム  

    発表年月: 2017年08月

  • 集合論の宇宙 -univreseとmultiverse-

    薄葉季路  [招待有り]

    日本数学会2017年度年会  

    発表年月: 2017年03月

  • The Downward Directed Ground Hypothesis

    Toshimichi Usuba

    Academy of Mathematics and Systems Science Colloquium  

    発表年月: 2017年02月

  • 大域的と局所的: パラコンパクトを題材に

    薄葉季路

    山陰 基礎論・解析学セミナー 2017  

    発表年月: 2017年01月

  • Paracompactness of Locally Lindeloef spaces

    薄葉季路

    2016年度ジェネラルトポロジーシンポジウム  

    発表年月: 2016年12月

  • Definability of ground models in ZF

    Toshimichi Usuba

    Infinite Combinatorics and Forcing Theory  

    発表年月: 2016年12月

  • Set-theoretic geology without AC

    薄葉季路

    日本数学会2016年度秋季総合分科会  

    発表年月: 2016年09月

  • The universe and the multiverse

    薄葉季路

    科学基礎論学会2016年度総会・講演会  

    発表年月: 2016年06月

  • 有向集合の分類

    薄葉季路  [招待有り]

    山陰 基礎論・解析学セミナー 2016  

    発表年月: 2016年01月

  • The Downward Directed Grounds hypothesis

    Toshimichi Usuba

    IMS-JSPS Joint Workshop in Mathematical Logic and Foundations of Mathematics  

    発表年月: 2016年01月

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