2024年度は Heisenberg double が，Hopf algebroid 構造を持つことと，Lie-Rinehart代数の普遍包絡環がHopf algebroid 構造を持つことの関係に着目して研究を行った．結果として，sl_2 の borel 部分代数 b_+に標準的な Lie 双代数構造を入れたものから作られるHeisenberg double H(U_h(b_+)) の場合にこのHopf algebroid 構造を具体的に書き下すことができた．またあるLie-Rinehart 代数Hb+ に対してその普遍包絡環がH(U_h(b+)) の古典極限となることを示した．この結果を富山大学での研究集会で発表した．具体的な内容は以下のとおりである． Lie-Rinehart 代数に対して，Lie 代数と同様にその普遍包絡環が定義される．Lie 代数の普遍包絡環はHopf 代数となるが，Lie-Rinehart 代数の普遍包絡環は Hopf algebroid 構造を持つことが知られている．Lie 双代数gに対して，その普遍包絡環の量子化のDrinfel'd double はgから構成されるLie 双代数Dg の普遍包絡環の量子化と同型である．この構成のHeisenberg double における類似として，sl_2のborel 部分代数b_+に対して，Lie-Rinehart代数Hb_+を構成し，その普遍包絡環の量子化がb_+の普遍包絡環の量子化のHeisenberg double と同型となることを示した．この結果が一般のLie 双代数に拡張可能であるかどうかが次の課題である．

2023年度は Hopf 代数HのDrinfel’d double D(H) において定義される様々な概念をHeisenberg double H(H) においても定義することを目標に研究を行った．Lie 双代数 g の普遍包絡環U(g) の量子変形であるU_h(g) のDrinfel’ddouble D(U_h(g)) は g のManin tripleDg の普遍包絡環 U(Dg) の量子変形となっている．D(U_h(g))の普遍R行列はQuantum Yang-Baxter equation(QYBE)を満たし，これを用いて量子不変量を構成できるが，この普遍R行列Rに対応するものとして，Dg に古典r行列rが定義でき，こちらはClassicalYang-Baxter equation(CYBE)を満たす．Heisenberg doubleH(U_h(g)) はQYBEの類似であるHopf equation(HE)を満たすが，H(U_h(g)) においてDg や rに対応するもの(これらをHg，sとする)は知られていない．これらの適切な定義を探すため，文献調査を行った．有限次元Hopf 代数 のHeisenberg double は一般にHopf algebroid 構造を持つ [Lu95] が，Lie 代数の一般化であるLie-Rinehart 代数Lに普遍包絡環U(L)が定義できるため，Lie双代数 g のHeisenberg double Hg をLie-Rinehart 代数として定義することが自然ではないかと考えた．Lie-Rinehart代数やHopf algebroidに関する知識が殆どなかったため，これらについて詳しく書いてある論文[CG15],[Ra22]を読み，これらの概念を吸収した．来年度は具体的なLie 双代数 g に対して Hg や s を構成することを目標としたい．[Lu95] Jiang-Hua Lu, “Hopf algebroids andquantum groupoids.” International Journal of Mathematics 07(1995), pp. 47-70.[CG15] Sophie Chemla, Fabio Gavarini, “Dualityfunctors for quantum groupoids.” J. Noncommut. Geom. 9 (2015), no. 2, pp.287–358[Ra22] Eslami Rad, A. “Lie Bialgebroid of Pseudo-differential Operators.” JNonlinear Math Phys 29(2022), pp. 869–895.