In Guest et al. arXiv:1209.2045(part I) we computed the Stokes data for the smooth solutions of the tt*-Toda equations whose existence we had previously established by p.d.e. methods. Here we formulate the existence problem as a Riemann-Hilbert problem, based on this Stokes data, and solve it under certain conditions (Theorem 5.4). In the process, we compute the connection matrix for all smooth solutions, thus completing the computation of the monodromy data (Theorem 5.5). We also give connection formulae relating the asymptotics at zero and infinity of all smooth solutions (Theorem 4.1), clarifying the region of validity of the formulae established earlier by Tracy and Widom. Finally, we resolve some conjectures of Cecotti and Vafa concerning the positivity of S + S (t) (where S is the Stokes matrix) and the unimodularity of the eigenvalues of the monodromy matrix (Theorem 5.6). In particular, we show that "unitarity implies regularity" for the tt*-Toda equations.

We describe all smooth solutions of the two-function tt*-Toda equations (a version of the tt* equations or equations for harmonic maps into SLnR/SOn) in terms of (1) asymptotic data, (2) holomorphic data, and (3) monodromy data, and we compute all of this data explicitly. This allows us, in particular, to find all solutions with integral Stokes data. These include solutions associated to non-linear sigma models (quantum cohomology) or Landau-Ginzburg models (unfoldings of singularities), as conjectured by Cecotti and Vafa in the 1990s.

この研究は可積分系(大きな群対称性を持つ微分方程式系)に関連した現代幾何学の諸問題に関わる研究である。これらの問題は(曲面論を含む)古典的な微分幾何学および量子論と弦理論の幾何学に端を発する。ループ群や無限次元グラスマン多様体の理論をはじめ、無限次元の手法が用いられる。主要な結果の1つとして、D加群による量子コホモロジーの理論への新しいアプローチが挙げられる。このプロジェクトの大きな特徴は、この研究領域を発展させるために、この分野をリードする国内外の研究者達と共同で研究活動を行うことである。

本研究課題では可積分系に関連した幾何学とトポロジーの研究を行った。本研究には平均曲率一定曲面、等径部分多様体、Lagrange部分多様体、調和写像、量子コホモロジーの分類に関する研究が含まれていた。研究代表者は量子コホモロジーのD加群構造について研究成果を上げ、量子コホモロジーと可積分系の関係について系統的な研究を始めた。コンピューター実験は本研究プロジェクトにおいて重要な役割を果たした。微分作用素と微分方程式の計算にMapleが使われ、格子モデルの実験に3D-XplorMathが使われ、平均曲率一定曲面の研究にCMCLabが使われた。本研究課題の支援により「幾何学と可視化」に関する国内・国際研究集会を数回開催した。これらの研究集会においてドイツ・アメリカからの研究者によってコンピューター実験と可視化における新しい技術が紹介された。これらのコンピューター技術の推進と普及が本研究課題の主目的であった。リサーチ・アシスタントと数人の研究者が日本語のドキュメントを作成し、研究集会においてソフトウェアの紹介を行った。二つのWebサーバーを立ち上げたことは本研究プロジェクトにおいて重要である。"GEOM"は日本数学会幾何学分科会の活動に利用され、"TMGUS"では首都大学東京における幾何学研究に関する情報を公開している。研究プロジェクトの後半に3回コンピューター・チュートリアルを開催し...

調和写像および調和写像のなす空間の幾何学およびトポロジーに関する結果が得られた。特に、Riemann面からコンパクトLie群もしくは対称空間への調和写像に関する研究において成果を得た。Guestは極小曲面のWeierstrass表現公式の一般化を用いて、2次元球面からユニタリ群への調和写像、さらに一般的に任意のRiemann面からの有限ユニトン数の調和写像について研究を行った。Uhlenbeck, Segal, Dorfmeister-Pedit-Wu, Burstall-Guestによる以前の研究結果により、上述のような調和写像を記述するために有効な手段が発展した。特に、明示的な標準形で表示することにより、上述のような調和写像全体のなす空間を研究するために利用されている。主な応用としては、2次元球面からユニタリ群への調和写像の空間の連結成分の記述が挙げられる。大仁田は、それとは異なり、ゲージ理論に関するHitchinの仕事に基づいた手法によって、調和写像の空間の幾何(特にプレシンプレクティック幾何)を研究するための枠組みを得た。調和写像方程式は可積分系と見なすことができ、上記の研究結果から他の可積分系を解明することができる。次に述べる可積分系の2つの例はこの視点から研究され、前置きとなる結果が得られた。まず第1の例はGuestによって研究された量子微分方程式の理論である。調...

Research was carried out on several sub-projects related to differential geometry and integrable systems. This involved researchers in Japan as well as researchers in foreign countries, especially Germany and Taiwan.Guest made two visits to Mannheim University (Germany) in order to work with Claus Hertling on the tt* equations. Progress was made on describing the moduli space of solutions in the simplest nontrivial case, namely the 3rd Painleve equation, and a joint article is in preparation. As part of the second visit, Guest spent 2 days at the Technical University of Berlin in order to collaborate with Alexander Its, as part of an ongoing project on the Riemann-Hilbert approach to the tt* equations.A workshop on "Isomonodromic deformations and related topics" was held at Waseda University on 22-23 November 2013. The speakers and titles were Shinobu Hosono (Tokyo University) "Differential rings over the moduli spaces of Calabi-Yau manifolds II"; Martin Guest (Waseda University) "On the Riemann-Hilbert problem for the tt*-Toda equations"; Masa-Hiko Saito (Kobe University) "Lagrangian fibrations in duality on moduli spaces of rank 2 logarithmic connections over the projective line"; Daisuke Yamakawa (Tokyo Institute of Technology) "Fourier-Laplace transform and isomonodromic deformations"; Kazunori Miyazaki (Kobe University) "On compactifications of moduli of unramified irregular singular connections and Okamoto-Painleve pairs"; Makoto Miura (Tokyo University) "Hibi toric varieties and mirror symmetry". The workshop was attended by approximately 20 people. Web page: http://www.f.waseda.jp/martin/conf/2013isomonodromy.htmlAn informal workshop was held at Waseda University on 2 August 2013, with talks by M. Guest, H. Iritani (Kyoto University), A. Strangeway (Imperial College, London). Guest attended and gave an invited talk at the 11th Pacific Rim Geometry Conference, held at Fudan University, Shanghai, on 10-13 December 2013. Cooperation with researchers in Taiwan is a significant aspect of this project, and Ting-Jung Kuo (National Taiwan University) and Shu-Cheng-Chang (National Taiwan University) visited Waseda University for the period 2-9 November 2013. They gave informal talks at Waseda, and seminar talks at Tokyo Metropolitan University on 8 November 2013 organised by Takashi Sakai (Tokyo Metropolitan University). Research and secretarial assistance in connection with this project and proposals for Kakenhi applications was also supported by this project.

The main activity supported by this grant was research collaboration with Prof. Nan-Kuo Ho (National Tsing Hua University, Taiwan) on the topic stated in the title of the project. We studied a certain space of solutions of the tt* equations, originating in previous joint research of M. Guest, A. Its, and C.-S. Lin. We understood how this space can be regarded as a subspace of a moduli space of flat bundles or Higgs bundles. This gives a link with the Hitchin-Kobayashi correspondence, which is an important and active topic of current research spanning the boundary of geometry and mathematical physics. In particular we used the framework of P. Boalch, "Stokes matrices, Poisson Lie groups and Frobenius manifolds" Invent. Math. 146 (2001) 479–506. Further work in this direction is in progress and a joint article is in preparation.Prof. Nan-Kuo Ho visited Waseda University for the period 12-16 February 2014. A workshop "Symplectic geometry of moduli spaces of connections" was held on 14 February 2014 at Waseda University. The speakers and titles were: Tosiaki Kori (Waseda University) "A canonical pre-symplectic structure on the space of connections over a four-manifold and an induced pre-symplectic structure on the space of connections over a three-manifold"; Yuji Hirota (Keio University) "On prequantization of Dirac manifolds"; Hokuto Konno (Waseda University) "The moduli space of flat SU(2)-connections on a surface with boundary: an example"; Martin Guest (Waseda University) "Linear and nonlinear convexity, and the relation with singular connections on surfaces"; Nan-Kuo Ho (National Tsing Hua University, Taiwan) "On the moduli space of singular connections: a survey".