小薗 英雄 (コゾノ ヒデオ)

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所属

理工学術院 基幹理工学部

職名

教授

兼担 【 表示 / 非表示

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等 【 表示 / 非表示

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位 【 表示 / 非表示

  • 博士

 

論文 【 表示 / 非表示

  • Existence of strong solutions and decay of turbulent solutions of Navier–Stokes flow with nonzero Dirichlet boundary data

    Farwig, Reinhard, Kozono, Hideo, Wegmann, David

    Journal of Mathematical Analysis and Applications   453 ( 1 ) 271 - 286  2017年09月  [査読有り]

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    © 2017 Elsevier Inc. Recently, Leray's problem of the L 2 -decay of a special weak solution to the Navier–Stokes equations with nonhomogeneous boundary values was studied by the authors, exploiting properties of the approximate solutions converging to this solution. In this paper this result is generalized to the case of an arbitrary weak solution satisfying the strong energy inequality.

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  • Hadamard variational formula for eigenvalues of the Stokes equations and its application

    Shuichi Jimbo, Hideo Kozono, Yoshiaki Teramoto, Erika Ushikoshi

    MATHEMATISCHE ANNALEN   368 ( 1-2 ) 877 - 884  2017年06月  [査読有り]

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    Based on the explicit representation of the Hadamard variational formula [1] for eigenvalues of the Stokes equations, we investigate the geometry of the domain in R-3. It turns out that if the first variation of some eigenvalue of the Stokes equations for all volume preserving perturbations vanishes, then the domain is necessarily diffeomorphic to the 2-dimensional torus T-2.

    DOI

  • Asymptotic behavior of radially symmetric solutions for a quasilinear hyperbolic fluid model in higher dimensions

    Itsuko Hashimoto, Hideo Kozono

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS   262 ( 10 ) 5133 - 5159  2017年05月  [査読有り]

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    We consider the large time behavior of the radially symmetric solution to the equation for a quasilinear hyperbolic model in the exterior domain of a ball in general space dimensions. In the previous paper [2], we proved the asymptotic stability of the stationary wave of the Burgers equations in the same exterior domain when the solution is also radially symmetric. On the other hand, in the 1D-case, a similar asymptotic structure as above to the damped wave equation with a convection term has been established by Ueda [10] and Ueda Kawashima [11]. Assuming a certain condition on the boundary data on the ball and the behavior at infinity of the fluid, we shall prove that the stationary wave of our quasilinear hyperbolic model is asymptotically stable. The weighted L-2-energy method plays a crucial role in removing such a restriction on the sub-characteristic condition on the stationary wave. (C) 2017 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • A remark on Liouville-type theorems for the stationary Navier-Stokes equations in three space dimensions

    Hideo Kozono, Yutaka Terasawa, Yuta Wakasugi

    JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS   272 ( 2 ) 804 - 818  2017年01月  [査読有り]

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    Consider the 3D homogeneous stationary Navier-Stokes equations in the whole space R-3 We deal with solutions vanishing at infinity in the class of the fmite Dirichlet integral. By means of quantities having the same scaling property as the Dirichlet integral, we establish new a priori estimates. As an application, we prove the Liouville theorem in the marginal case of scaling invariance. (C) 2016 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • Existence and uniqueness theorem on mild solutions to the Keller-Segel system coupled with the Navier-Stokes fluid

    Hideo Kozono, Masanari Miura, Yoshie Sugiyama

    JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS   270 ( 5 ) 1663 - 1683  2016年03月  [査読有り]

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    We consider the Keller Segel system coupled with the Navier Stokes fluid in the whole space, and prove the existence of global mild solutions with the small initial data in the scaling invariant space. Our method is based on the implicit function theorem which yields necessarily continuous dependence of solutions for the initial data. As a byproduct, we show the asymptotic stability of solutions as the time goes to infinity. Since we may deal with the initial data in the weak LP-spaces, the existence of self-similar solutions provided the initial data are small homogeneous functions. (C) 2015 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

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共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 / 非表示

  • 流体力学の近代数学解析

    研究期間:

    2019年02月
    -
    2023年03月
     

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    小薗-柳沢-清水は, ドイツDarmstadt工科大学のHieber教授とSeyfert博士との国際共同研究で, 2次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場, すなわち発散ゼロおよび回転ゼロを満たすベクトル場の次元を決定した. ベクトル場が満たす方程式により, 法線方向が0である境界条件を課した空間Xrと, 接線方向が0である境界条件を課した空間Vrを考察する必要がある. 2次元の場合には, 90度回転させるとXrとVrは等しくなるため次元も等しく, 2より大きく無限未満のrに対しては空洞の個数に等しく, 1より大きく2以下の間のrに対しては空洞の個数-1であることを証明した. 2は2次元のPoisson方程式の斉次Dirichlet境界問題の弱解の可解性の閾値である. 2次元および3次元の外部領域に対するHelmholtz-Weyl型直和分解定理, すなわちLrベクトル場を, その調和部分, ベクトルポテンシャル, スカラーポテンシャルに分解する定理を上記5名の共同研究として導き, 口頭発表を行った.清水は, イタリアCampania大学のMaremonti教授との国際共同研究で, 3次元外部領域における減衰しない初期値に対する初期値-境界値問題を考察した. 本質的有界, かつコンパクトな台を持つ無限回微分可能な関数空間で発散ゼロの空間を空間1階微分のLp (p>3)ノルムで完備化した空間に属する任意の大きさの初期値に対して, 時間大域的な弱解が存在することを証明した. 筒井は, 局所平滑化作用素に対する疎性上界についての成果を得た. 高田は, Hieber教授とArizona state大学のMahalov教授との国際共同研究で, 回転成層流体に対する3次元粘性 Boussinesq 方程式の時間周期問題を考察し,時間周期解および時間概周期解の存在と一意性を証明した.<BR>2次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場の次元の決定について論文が受理され, 2次元および3次元外部領域のLr-調和ベクトル場分解定理の研究も進み現在論文投稿中であるため.2次元および3次元外部領域のLr-調和ベクトル場分解定理のNavier-Stokes方程式への応用を主たるテーマとする

  • 非線形解析学と計算流体力学の協働による乱流の数学的理論の新展開

    研究期間:

    2016年05月
    -
    2021年03月
     

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    第一に,n 次元空間てNavier-Stokes 方程式のCauchy 問題を取り扱った.与えられた初期データと外力が共にスケール不変なLorentz 空間で十分小さければ,時間大域的な軟解(mild solution) が一意的に存在することを証明した.更に初期データが微分可能性を有したBesov型のスケール不変な空間に属していれば,我々の構成した軟解は強解となることを示した.手法は,方程式に付随する非線形項のLorentz 空間における双線形評価式と線形Stokes 方程式の最大正則性定理による.応用として,与えられたデータが斉次関数であれば,Navier-Stokes 方程式の自己相似解が存在することを明らかにした.特に時間大域的軟解の構成は陰関数定理によるので,副産物として,与えられたデータに関する解の連続依存性が従う.第二に,Navier-Stoes 方程式の適切な弱解を,運動エネルギーおよびその散逸が必ずしも有界でないより一般的な超関数のクラスで考察した.実際,その様な超関数解で,局所的なエネルギー不等式を満たすものを一般化された適切な弱解と名付け,付随する圧力関数とともに,無限遠方で弱い増大度を仮定するならば.初期データのエネルギー有限性が,時間発展後も運動エネルギーとその散逸が有限に留まることを保証し,かつエネルギー等式が成り立たしめ得ることを証明した.この結果は全空間Rn(n≧2)によるのもであるが,特に2 次元平面においては,一般の非有界領域においても,渦度の遠方での減衰度と,領域の境界におけるある種の積分量の符号を仮定するならば,時間発展後も解の渦とその一階偏導関数は領域全体で自乗可積分であることを示した.両者の結果の応用として,Navier-Stoes 方程式の解に対して新たなLiouville 型定理を確立した.研究代表者・小薗は本研究において,全空間における非圧縮性ナビエ・ストークス方程式のベゾフ空間における理論を著しく進展させた.ベゾフ空間は通常のソボレフ空間を微分方向に実補間することによって得られ,ディラックのデルタ関数などの特異点を有する関数を許容する広い関数空間である.ベゾフ空間におけるナビエストークス方程式の研究は,1990年代後半にフランス学派によって開始されたが,専ら適切性のため初期値の関数空間の導出に力点が置かれていた.しかし,ポテンシャルを有するような典型的な外力を除けば,一般には流体場の力学系は初期値に加えて時間発展的外力の影響を考慮しなければならない.すなわち,より物理的に適切な問題設定のためには,初期値と外力の両者に対して方程式を可解ならしめ得る関数空間の抽出が求められる.この様な初期値と外力の双方を出来るだけ広い関数空間から選ぶことによってナビエストークス方程式の適切性を考察する為には,ベゾフ空間における最大正則性定理が有効である.実際,小薗は空間変数に関してはベゾフ空間,時間変数に関してはローレンツ空間を導入し,初期値と外力に対して考えられる最良の関数空間における適切性を証明した.特にそのような時空間の関数空間の設定において,ナビエストークス方程式に付随する双線形評価式を確立したことは.特筆に値する.流体力学における境界層の理論によれば,高レイノルズ数においてもナビエ・ストークス方程式は流の場を支配するが,粘性が小さい流体においては物体の境界の近傍はプラントル方程式がよりよい近似を与え,境界から離れた流れの場においては非粘性理想流体を記述するオイラー方程式が支配的である.この考えを数学的に厳密に証明するためには,3つの運動方程式の解の差を空間に関して大域的に粘性係数に関して漸近展開することが求められる.その際,展開が有効な時間幅は,粘性係数について一様にとれることを保証しなければならない.本研究においては,2 次元上半平面において,そのような展開可能な時間を初期値の属する関数空間のノルムで評価する.加えて,漸近展開の形から境界層の厚さが粘性係数の平方根に比例することに対する数学的な検証を与える.また,乱流の運動エネルギーや乱流によって運ばれる物質や熱の揺らぎは外部からの注入がなければ一般に減衰する.乱流の運動エネルギーの減衰については最近ある程度分かってきたが,乱流によって運ばれる物質や熱の揺らぎについてはまだ不明のことが多い.ここではそのような量の代表的なものとしてパッシブスカラー(流れによって運ばれるが,流れには影響しないという意味でパッシブなスカラー)の減衰則について解明を目指す.本研究グループではとくにDNS における計算領域サイズLの有限性に注目し検証を行う

  • 実解析とエネルギー法による非有界領域上のNavier-Stokes 方程式の研究

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2017年03月
     

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    重力の影響下での熱対流を記述するBoussinesq方程式を重みのついた空間で考察し、解の一意存在を確立したうえで解の漸近形を二次の項まで得た。また、2次元全平面および外部領域における定常Navier-Stokes方程式に対し、領域、外力及び境界値に新しい対称性を導入し、この仮定をみたす十分小さい外力及び境界値に対して遠方で減衰する定常解の存在を示した。さらに、より弱い対称性の仮定の下で、十分に小さい減少する定常解のL2空間に属する任意の初期摂動に対する大域的漸近安定性を示し、また各種のノルムによる収束の速度を求めた

  • 変分的手法による非線形楕円型方程式の大域的解析

    基盤研究(B)

    研究期間:

    2013年
    -
    2016年
     

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    非線形楕円型方程式 (系) に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 非線形シュレディンガー方程式に対する特異摂動問題に関しては, 局所的な変分法によるアプローチを研究代表者田中は J. Byeon 氏と共に開発し, ポテンシャル関数の極大点, 鞍点に凝集する解の構成に成功した. この構成法は非常に広いクラスの非線形項に対して適用可能であり, 従来の Lyapunov-Schmidt
    法による極限方程式の解の一意性, 非退化性を要求する存在結果を大きく拡張するものである. なお, 本年度の研究において 1 点に与えられた数のピークが凝集する multi-peak 解の存在の構成にも成功している. このようなmulti-peak 解の存在は非退化条件なしには証明されていなかったものである.
    常微分方程式の Lagrange 系に対する特異摂動問題に関しては, 高振動解の adiabatic invariant を用いたプロファイルの決定および与えられた admissible なプロファイルをもつ解の構成を P. Felmer 氏, S. Martinez 氏らと共に行い成功した.
    また 2 次の相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系について研究代表者は分担者小澤および林氏と共に研究に取り組み, 初期値問題の局所および大域可解性, さらには定在波解の存在を様々な設定の下で行った. また研究分担者小薗は Lax-Milgram 定理の一般化およびその楕円型方程式系への応用を, また連携研究者足達, 佐藤は準線形楕円型方程式, 非線形シュレディンガー方程式系の解の漸近挙動の研究等を行い, 塩路は非線形楕円型方程式の球対称解の研究を行い, 既存の結果をほぼすべて含む, 球対称解の一意性定理を導いた.

  • 現代解析学と計算科学の手法による乱流の数学的理論の構築

    基盤研究(S)

    研究期間:

    2012年
    -
    2016年
     

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    まず,多重連結領域において,与えられた非斉次境界値の全流量がゼロである場合,定常Navier-Stokes方程式の可解性は未解決である.この問題には領域の位相幾何学的な性質と方程式の非線形構造が深く関係している.実際,境界値のソレノイダル拡張から一意的に定まる領域の第2Betti数に関連する調和ベクトル場と,定常Euler方程式の非自明解との直交関係が可解性の鍵を握る.ここで方程式が可解であるための様々な十分条件を導出し,有名なLerayの不等式と領域の位相幾何学的な性質との関係を明らかにした.
    次に,3次元空間において障害物が回転し,かつ回転軸と同じ方向に並進運動する場合に,その外部領域においてNavier-Stokes 方程式の定常解の存在と一意性を考察した.
    また乱流の情報縮約手法の開発に関しては,直交ウェーブレット解析を応用して, 三次元一様電磁流体乱流の情報縮約手法を開発した. 非線形ウェーブレットフィルタリングにより渦度場及び電流密度場からそれぞれ秩序渦度場と秩序電流密度場を抽出した. 抽出された場の時間発展を捉えるために, 秩序場を構成するウェーブレット基底の近傍にセーフティゾーンを設定した. この一連の操作を各時刻で行った. 開発手法は元の乱流場の約6% の自由度を用いるだけで,エネルギー, エネルギースペクトル, 渦度場及び電流密度場の確率密度関数など乱流場の統計量の時間発展を十分再現する.
    せん断乱流における統計的普遍性については,小さなスケールにおける乱流の統計に対する平均流の影響についての理論を導いた,その理論は熱平衡系に対する線型応答理論と良く似た理論構造を持つものである.その結果を検証するため,壁レイノルズ数Reが5120におよぶ世界最高レベルのレイノルズ数を持つ壁乱流のDNSデータを用いて乱流のエネルギースペクトルの等方成分,非等方成分を解析した.

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特定課題研究 【 表示 / 非表示

  • 発展方程式の最大正則性定理

    2020年  

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    Navier-Stoes 方程式の強解の存在のための初期値に関する斉次Besov 空間による特徴づけNavier-Stokes 方程式の古典解あるいは強解としてよく知られているSerrin クラスを,空間方向に斉次Besov 空間,時間方向にLorentz 空間なる関数空間を導入した.まず,初期値aに対してする線形Stokes 流上記の関数空間に属するための必要十分条件を明らかにした.次に非線形のNavier-Stokes 方程式に関しては,a がこの斉次Besov 空間で小さければ,Stokes 方程式から導かれる関数空間解u が一意的に存在することを示した.逆については,解の小ささを仮定することなく,成立することを証明した.これらはすべてNavier-Stokes 方程式に関するスケール不変な関数空間となっている.特に,初期値が属する斉次Besov 空間の3番目の指数q(数列級数の空間 スモールlq に相当) は,解の時間方向のLorentz 空間の第2 指数に反映されることが明らかにされた.更に,このような強解u(x; t) は,空間変数xに関して解析的であり,その収束半径はx に関して一様にtの平方根 に比例して取れることを証明した.証明の手法は,解の時間方向の高階の偏導関数u(x, t) をLr-値の関数としてt に関するヘルダー評価式を導出することに依る.

  • 流体力学の近代数学解析

    2019年  

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    1. 時間方向にLorentz 空間を採用した最大正則性定理によるNavier-Stoes方程式の強解最大正則性定理において,基礎となるBanach空間として斉次Besov空間$B^s_{p, γ}と取り,時間区(0, T) における可積分空間としてはLorentz 空間L^{α,q}(0, T) を採用した.すなわち,L^{α, q}(0,T; B^s_{p, γ})なるBochner時空間の最大正則定理の基礎空間として,熱方程式初期値問題を考察した.初期値属する斉次Besov空間 B^k_{r, q} としては,k= 2+n/r -(2/α+ n/p - s), n/p &lt;n/r &lt;α/2 + n/pなる関係式が自然であることを証明した.2. 境界が時間に依存する外部領域におけるStokes 方程式に関する最大正則性定理とそのNavier-Stokes方程式への応用3次元空間内のおけるコンパクトな曲面が時間に依存して動く時,その外部領域であるを非柱状時空間領域において,Stokes方程式に対する時間大域的なL^p-最大正則性定理を証明した.ただし,$1&lt; q &lt; 3/2$ である.応用として,非柱状時空間領域がある固定された柱状領域に十分近いとき,小さなデータに対するNavier-Stokes 方程式の古典解の一意的存在を証明した.3.尺度不変な斉次Besov空間における定常Navier-Stokes 方程式の解の存在と正則性n次元空間において,与えられた外力が斉次ベゾフ空間 B^{-3+ n/p}_{p, q}$ で十分小さければ,B^{-1+n/p}_{p,q}に属する定常Navier-Stokes 方程式の解が一意的に存在することを証明した.ただし,$1 &lt;p &lt; n,&nbsp; 1 &lt; q&lt; ∞ である.応用として,定常Navier-Stokes 方程式に対する自己相似解が得られる.

  • ナビエ・ストークス方程式の数理解析

    2018年  

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    Caffarelli-Kohn-Nirenbergによって提唱されたNavier-Stoes 方程式の適切な弱解を,より広い局所的なエネルギー不等式を満たすものに拡張し,一般化された適切な弱解と名付け,無限遠方で弱い増大度を仮定するならば.初期値のエネルギー有限性が,時間発展後も運動エネルギーとその散逸が有限に留まること証明した.更にエネルギー等式が成り立たしめ得ることも示した.特に2 次元平面においては,一般の非有界領域においても,渦度の遠方での減衰度と,領域の境界におけるある種の積分量の符号を仮定するならば,時間発展後も解の渦とその一階偏導関数は領域全体で自乗可積分であることを証明示した.応用として,Navier-Stoes 方程式に対するLiouvile型定理を確立した.&nbsp;

  • 非線形偏微分方程式の大域的理論の新展開

    2013年  

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    (i) 一般領域におけるStoeks 作用素の最大正則性Stokes 作用素のq-乗可積分空間理論はq=2 の場合を除き、一般の領域では定義が出来ないことが知られている。そこで、反例が構成されている非コンパクトな境界をもつn 次元空間内の非有界領域を取り扱った。通常のq-乗可積分空間に代わるものとして、2乗可積分空間とq-乗可積分指数の和および共通部分からなる関数空間を導入した。これらの関数空間はともに、関数自身の無限遠方では減衰の速度が2乗可積分関数と同程度であることを要請したものである。その結果、領域の境界が一様にC1-級であれば、非コンパクト領域においてもStokes 作用素はこれらの関数空間において定義可能であり、正則半群を生成するとともに最大正則性定理を満たすことが明らかにされた。(ii) Navier-Stokes 方程式の弱解の正則性に関する新たな指標3次元有界領域におけるNavier-Stokes 方程式の弱解で強エネルギー不等式満たすクラスの正則性を考察した。従来はSerrin によって提唱された時空間におけるスケール不変な可積分空間において正則性の指標が確立されていたが、本研究では運動エネルギーとエネルギー散逸量に着目した。すなわち、前者に対しては指数が1/2 より大きな時間変数のヘルダー連続関数であり、また後者に対しては積分量の時間爆発レートが-1/2 より遅ければ、弱解が滑らかであることを証明した。これら2つの指標は、時空間の関数のセミノルムと見なすとき、スケール変換則に関して不変であることに注意が必要である。

  • 現代解析学の手法による乱流理論の研究

    2012年  

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    1. 回転する障害物の周りの定常Navier-Stokes 方程式の解の存在と一意性3次元空間において障害物が回転し,かつ回転軸と同じ方向に並進運動する場合に,その外部領域 $\Omega$ において非圧縮性粘性流体のNavier-Stokes 方程式の定常解の存在と一意性を考察した.実際,回転の角速度を$\omega$,並進速度を$u_{\infty}$かつ外力$f = \dive F$ が条件$|\omega| + |u_{\infty}| + \|F\|_{L^{\frac32, \infty}} << 1$ であれば,$\nabla u \in L^{\frac32, \infty}(\Omega)$ であって,$u\in L^{3,\infty}(\Omega)$ である小さい解 $u$ が一意的に存在することを証明した.より一般的な一意性定理として,与えられデータ$\omega\in \re^3$, $u_{\infty}\in \re^3$, $F \in L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ が十分小さく,かつ$F\in L^{\frac32,\infty}(\Omega) \cap L^{q,\infty}(\Omega)$, $3/2 < r < 3$ であれば,我々の構成した解 $u$ は$\nabla u \in L^{\frac32,\infty}(\Omega) \cap L^{q,\infty}(\Omega)$ なるクラスで一意的であることを証明した.さらに,これらのデータが小さい限りにおいては,データーに関する解の連続依存性が成立する.2. 外部領域における定常Navier-Stokes 方程式の弱解の一意性とエネルギー不等式の関係3次元外部領域$\Omega$においては,Leray により任意の外力$\dive F$, $F\in L^2(\Omega)$ に対して,$\nabla u\in L^2(\Omega)$ でエネルギー不等式 $\|\nabla u\|^2_{L^2(\Omega)} \le \dis{-\int_{\Omega}F\cdot\nabla u}dx$を満たす弱解 $u$ の存在が示されている.しかし,そのような弱解については,空間 $L^{3, \infty}(\Omega)$ における小ささを仮定する必要があった.本研究では,弱解そのものに対する小ささではなく,与えられた外力$F\in L^2(\Omega)\cap L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ が空間$L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ において十分小さければ,$\nabla u \in L^2(\Omega)$ であってエネルギー不等式を満たす弱解$u$ は一意的に存在することを証明した.この結果は期待できる定常Navier-Stokes 方程式の弱解の存在と一意性に関しては,最良の結果と言える.

 

現在担当している科目 【 表示 / 非表示

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