3次元外部領域において障害物が回転し，回転軸と同じ方向に並進運動している場合，それらが十分小さければ，定常Navier-Stokes 方程式は一意的な強解を有することを証明した．特に並進運動のみに限れば，外力が1階偏導関数が自乗可積分なる空間の双対空間に属しているとき，任意の弱解に対してエネルギー等式が成立することを明らかにした．応用は，小さな外力下における弱解の一意性である．一方，内部多重連結領域においては，与えられた境界値がLeray-Fujita の不等式を満たし，その領域全体へのソレノイダル拡張ベクトル場に定常解がL^3-ノルムの位相で十分近いならば，指数的に安定であることを示した

放物型方程式の解の漸近解析及び形状解析の議論を発展させ、ポテンシャル項付き熱方程式の解の最大点挙動を分類し、また、その応用として、対応する熱半群のルベーグ空間における減衰の最適評価を求めた。また、積分核の定数倍のように振舞う非線形放物型方程式の解の高次漸近展開理論の構築を行った。さらに、爆発時間直前の解の形状を調べることによって、半線形熱方程式の爆発集合の位置に研究を行い、特に、解が境界で爆発しないための新しい十分条件を与えた

まずKeller-Segel方程式系の解の局所存在定理と有限時間爆発について考察した.一般高次元の領域において,放物型-楕円型の半線型Keller-Segel方程式系のCauchy問題に対して,初期データが可積分および p-乗可積分空間に属するとき,解の局所存在時間の特徴付けを行った.また,初期データの全積分量と2次モーメントの比が,解の有限時刻における爆発にどのような影響を及ぼすかを方程式に現れる係数との相関も含めて明らかにした.応用として,解の爆発時刻付近での漸近挙動は,pに依存して決まる一定の指数オーダーの比率で爆発するのか,あるいは全積分量がある定数以上の振幅で振動するかの二者択一であることを証明した.次に多重連結領域における非斉次境界条件下でのNavier-Stokes方程式の定常問題を考察した.与えらた境界値がそれぞれの境界の連結成分における流量の総和がゼロという条件下では同問題の可解性は未解決である.本研究では,境界値の領域全体へのソレノイダル拡張されたベクトル場の調和部分が非自明な定常Euler 方程式系から決まる圧力勾配と直交していれば,すべての粘性係数について可解であることを証明した.更に応用として,Leray の不等式の整合性と領域の位相幾何学的な性質との関連を特徴づけた

フェファーマン-スタインによるハーディー空間と同様の性質を持つ関数空間をユークリッド空間の領域上に導入し,その性質を確立した.この関数空間は,或る条件をみたす微分同相写像の定める変数変換によって,同種の関数空間に変換されるという性質を持つ.この関数空間を古典的直交級数の研究に応用した.時間周波数解析など実関数論的調和解析に現れるいくつかの関数空間の性質を調べ,それらの空間での作用素についての結果を得た

研究実績は以下のとおり.
研究代表者の小川は分担者の加藤と共同で非線形分散型方程式の一点の強い特異点が瞬時に解消して解が時間と空間両方向について実解析的となることを示した。また分担者の小薗、協力者の谷内と共同で臨界型の対数形Sobolevの不等式(Brezis-Gallouetの不等式)を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式、Euler方程式、及び球面上への調和写像流の解の正則延長のための十分条件をこれまでに知られているSerrin型の条件よりも拡張した。また同様の不等式の最良形をLizorkin-Triebel空間のsemi-normを用いて導いた。このことにより、同様な正則性条件を調和写像熱流に対して示すことができた。
分担者の川島は輻射気体の方程式系を含む一般の双曲・楕円型連立系の解の漸近挙動を、基本解に基づく手法で詳細に調べた。双曲・放物型連立系に対するLiu-Zengの結果の類似版である。双曲・楕円型連立系の線形化系の基本解をFourier変換により表示し、その主要部分が対応する双曲・放物型連立系の基本解の主要部分と一致すること、すなわち熱核を用いて表されることを確認した。
分担者の隠居は分担者の小林と共同で3次元半空間上の圧縮性Navier-Stokes方程式の初期値境界値問題の密度が一定な静止状態を表す定常解の安定性を考察し撹乱の時間無限大でのL^2ノルムの時間減衰オーダーの最良のものを求めた.
分担者の伊藤は中間的表面拡散流方程式に対して,拡散係数が無限大になるときの解の挙動,及び,解の自己交差を示し、表面拡散流方程式に対しては,その解曲面の凸性を必ずしも保存しないことを示した.
分担者の北は分担者の和田と共同で微分型非線形Schrodinger方程式をゲージ変換により解の高次の漸近展開を求める手法を与えた.

非圧縮性流体の運動を記述するナヴィア・ストークス方程式に対する研究は、長い歴史があるが、現在に至っても未解決な部分が多い。特に、弱解の正則性・一意性については、部分的な解決がなされているに過ぎない。弱解とは、方程式をある弱い意味で満たす解の事で、その為、解が滑らかでない部分が存在しうる。解が滑らかであれば、エネルギーは時間変数について保存される。ある弱解に関しては、エネルギーの非増大性は示されるが、保存されるか否かは、分かっていない。これは、エネルギー不等式と呼ばれる。エネルギーが保存されない理由は、弱解に対しては、運動エネルギーの時間に関する導関数の可積分性を示す事が出来ない為である。これは、導関数が時間という「測度」に関して特異な測度である事を示唆する。特異な部分の「積分」に相当する量を考慮に入れなければ、エネルギーの消失は避けられない。離散的勾配流と呼ばれる方法で構成した弱解は、ある時刻と初期時刻におけるエネルギーの差を時間に関する分数冪時間微分を用いて下から評価出来る事がわかる。これは、従来のエネルギー不等式には含まれない項である。本研究では、解の構成法に依らずに、エネルギー不等式の精密化が行えないか、考察した。より正確には、エネルギーの減少を補正する項は、弱解を2乗可積分な関数からなる空間に値を時間の関数と考えたとき、時間に関するニコルスキーの意味での1/2階の分数冪差分の極限と関連すること明らかにした。この極限が0に収束すること、または、収束の速さにある仮定を設けると、補正項付きのエネルギー等式が成り立つ事が示された。更に、分数冪差分の極限の存在を仮定しなくても、別の表現を持つ補正項付きのエネルギー等式が成り立つ事が示された。表現の差は、極限をとる際の位相の差に反映される

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて、Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^γ(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

1.熱対流問題:解の分岐曲線を大域的に追跡し解空間の大域的な分岐構造を解明するための解析的理論及び計算機援用証明法を研究し、パラメーターの値に対応した解の存在を保証する判定法を提出した。この方法を適用し、上下の境界平面上でStress freeの境界条件を持つ場合について、Roll型解に対してその分岐曲線を大域的に追跡し、パラメーターの値に対応した解の存在を証明した。
更に、空間3次元の場合のパターン形成として、Roll型、長方形型、六角形型の解の分岐曲線を追跡し、その安定性を見るために数値解析を行い、局所的には見えない分岐構造を解明した。
2.Taylor問題:両円筒が逆向きにまわる時についても、Couette流の安定性は常微分方程式系に帰着されるので、計算機援用証明法が適用でき、臨界Taylor数を確定し、局所分岐理論を使って、Taylor渦と周期解分岐とが得られる事の証明ができる。多重度をもつ分岐点の考察は、今後の問題である。
3.定常Navier-Stokes方程式の解に対する精度保証付き数値計算の定式化を行い、低レイノルズ数に対する検証実例を示した。
4.力学系:ヴェクトル場の退化特異点とその摂動の構造については、特異点の退化の度合が大きくなるにつれて、そこから分岐する力学系の振舞いは、より複雑かつより大域的な現象が見られるようになる。解析的な方法を用いて、ある余次元3の退化特異点からヘテロクリニック・サイクルが分岐し、カオス的アトラクタも分岐することを示した。
5.3次元外部領域のNavier-Stokes方程式の定常解の安定性を考察するために、全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し、Navier-Stokes方程式を解くことに成功した。これを用いて、Lorentz空間L^<p,q>Ωにおいて外部定常解を構成し、net forceがゼロであるという不自然な条件を仮定することなく、その安定性を示すことができた。

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて,Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^r(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

この研究計画の目的は,広く言えば,過去のシュレディンガー方程式の数学的研究の成果をふまえてさらに理論を発展させ,既存の問題に関してより深い理解を得るとともに,新しい領域に関わる問題,方程式についても,数学的に厳密な形で,解の構造の研究を進めることにある.この研究期間中に,研究代表者及び研究分担者によって得られたシュレディンガー方程式及びその関連分野に関する研究成果は多岐に及ぶが,この概要においては研究代表者を中心とした研究で得られた成果の一部を述べる.
1.相空間でのトンネル効果の手法を用いて,磁場中のシュレディンガー作用素の固有関数の半古典極限における指数的減衰の速さが,定磁場の存在によって増大することを証明した.
2.散乱の半古典極限での挙動を研究した.散乱作用素の位相変位に対応するスペクトルシフト関数が,量子力学的共鳴の近くで急激に変化し,2πの整数倍のジャンプをする事を一般的な状況の下で示した.
3.相空間で交わらないふたつのエネルギー曲面の相互作用に対応する散乱行列の成分が,半古典極限で指数的に小さくなることを,相空間でのトンネル効果の手法を用いて証明した(A.Martinez,V.Sordoniとの共同研究).
4.2次元の離散的なシュレディンガー作用素および一般次元のシュレディンガー作用素について,アンダーソン型のランダムな磁場の下で,状態密度がスペクトルの下端でリフシッツ特異性を示すことを証明した.
5.アンダーソン局在の証明で重要な役割を果たす,状態密度に関するウェグナー評価の,スペクトルシフト関数の理論を用いた新しい証明を開発した(J.M.Combes,P.D.Hislopとの共同研究).

平成11年度は2つの研究課題に取り組んだ。
1つは、伝播速度の異なる非線形波動方程式系の初期値問題の可解性についてである。2次の非線形項を持つ非線形波動方程式の時間局所的適切性が成立する最も広い関数空間は何かという問題は、偏微分方程式論における基本的問題である。この問題は方程式の幾何学的対称性と密接に関連しており、特に波動方程式の場合はローレンツ不変性を関係していることが知られている。今回、伝播速度の異なる連立系を考えたときはローレンツ不変性が壊れることに着目し、どのような2次の非線形性のときは、伝播速度が同じ連立系よりも広い関数空間で適切性が成立するか調べた。また、この結果をプラズマ物理に現れるザハロフ方程式に適用して、小さな初期値に対してはエネルギークラスにおいて時間大域解の存在を証明した。
2つ目は、Korteweg-de Vries方程式に確率的揺乱を加えたときの、初期値問題の可解性を研究した。このような問題は、プラズマにおけるイオン音波の伝播をKorteweg-de Vries方程式で記述しようとすると現れる問題である。数学的には、時間に関して滑らかでない外力項をもつ方程式を考えなければならないという困難さがある。特に、外力が付くと一般に逆散乱法が使えず、函数解析的手法が威力を発揮する。今回、新しい非線形項に関する評価式を得ることにより、滑らかでない外力項を処理することに成功した。

コンパクト4次元多様体上のYang-Mills heat flowの(anti-)selfdual connectionの近傍での解の挙動について解析を行なった.その結果,いわゆるsmall data global existence typeの結果を得た.
具体的には,以下の通りである.
コンパクト4次元多様体上のprincipal bundle上の滑らかな接続は,その位相不変量から決まる,エネルギーの下限を持つ.Yang-Mills heat flowの初期値として与える滑らかな接続の初期値が,エネルギーの下限に十分近い時を考え,その場合には,その初期値に対するYang-Mills heat flowの時間大域的な古典解が存在することを証明した.
多様体に曲率の条件を与えない時には,その解は,時刻無限大において爆発する可能性を否定できないが,曲率から決まるある条件の元では,時刻無限大において,(anti-)selfdual connectionに滑らかに収束することも証明した.
また,3次元ユークリッド空間上のYang-Mills-Higgs heat flowの大域的な幾何学的解の存在を証明した.これは,3次元ユークリッド空間の無限遠点集合上に特異点が現れる可能性を排除した解のクラスを考え,そのクラスの中で,時間大域的な解の存在を証明したものである.

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて、変数係数をもった低階の微分を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない。外部問題の場合、よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない。何故ならば、作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである。その際関数空間の選択に注意を払う必要がある。定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの、3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった。これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり、かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった。その試みとして、まずFourier変換、特異積分作用素が使える全空間R^NにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し、でNavier-Stokes方程式を解くことに成功した。これまでは複素補間を用いて、Navier-Stokes方程式の強解 (古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に、複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面、両立対の空間は広がらない。このことは、すべてのL^r(1<r<∞)において線形化方程式 (Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった。一方、実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり、線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは、画期的な進歩であった。応用として、Lorentz空間P^<p,q>(Ω)において外部定常解を購成し、更にnet forceの条件を仮定することなく、その安定性を示した。

代表者の小川卓克は水面に現れる孤立波状の非線形波動を記述する連立非線形分散型方程式に対しその非線形結合の特殊な構造から弱い正則化作用を見いだし特に広い初期値に対する方程式の解の時間局所適切性を証明した。
川島秀一は輻射気体の最簡約版モデル方程式系に対し、衝撃波の存在と漸近安定性を示した。また、一般の双曲・楕円型連立系の時間大域解の存在を示し、その減衰評価を与えた。
隠居良行は流体の運動によって生じる熱の影響をあらわす散逸関数を含んだ形のオーバーベック・ブシネスクタイプの近似方程式を導出し、この近似方程式の解の存在や一意性などを考察した。通常のオーバーベック・ブシネスク方程式では、熱伝導解が不安定になるような状況でも、ここで導出した近似方程式では、熱伝導解は安定になる状況があることを示した。
小薗英雄はルレイ-ホップクラスに属するナヴィエ-ストークス方程式の弱解の一意性に関して、任意の領域で臨界状況である、uが空間でL-n時間でL-infinityの場合に知られていた。
一意性のための条件「解がL-nで時間右連続関数である」という付加条件を除き、単に解がL^∧nに時間でほとんど至るところ属せばであれば一意性が成立することを証明した。
川下美潮は密度が空間変数や時間に対して一様でない流体の運動を記述する圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式の初期値問題の強解の一意存在性について論じた。外力なしの場合に、定常解に近い強解の存在の保証のためには、従来の初期値に要求しているなめらかさは必要ではないことを指摘した。
加藤圭一は一般化されたカドムチェフ-ペトヴィアシュヴィリ方程式(KP方程式)の孤立波解が解析的であることを得た。さらにある非線形シュレーディンガー方程式またはハートリー方程式において小さい初期値に対し散乱状態が存在することをジプレイクラスを用いて示した。

本研究の目的は等方性乱流だけではなく非等方乱流にも実際に適用可能な乱流の解析的統計理論を展開し、数値シミュレーションによる検証を行うことにある。その主な研究成果は以下のとおりである。
(1) 安定成層乱流中の乱流拡散に対して、線形近似(Rapid Distortion Theory)とCorssinの仮説に基づく解析的統計理論を構成し、成層度が強いときその鉛直方向の拡散が抑制される機構を明らかにした。また、一様剪断乱流中において、従来の乱流モデルでは説明できない異常乱流拡散が起きることを理論的に示した。さらにこれらの理論結果を数値シミュレーションとの比較により検証した。
(2) 2次元Navier-Stokes方程式にラグランジュ的繰り込み近似(LRA)を適用し、良く知られたKraichnan-Batchelor-Lieth(KBL)による2次元乱流のエネルギースペクトルのk^<-3>則とそのべき-3は一致するけれど必ずしもKBLの理論に従わない新しい種類のスペクトルが現れることを示した。また、惑星など回転球面上の流体運動モデルとして知られるベータ面モデルに対するラグランジュ的な乱流の統計理論を構成し、波(ロスビー波)と乱流との相互作用による位相変調を明らかにした。これらの理論結果と直接数値シミュレーション(DNS)とが良く合うことを検証した。
(3) 乱流による物質や熱輸送の研究において重要な役割を果たすラグランジュ的2時刻相関関数を効率的に求める新しい近似計算法開発した。その方法は時間についてのテイラー展開とパデ近似を利用するものであり、一粒子自己速度相関だけでなく、2粒子相関についても、さらに等方性乱流だけでなく非等方軸対称乱流の場合についても、その方法が有効であり、DNSとよい一致を示すことを検証した。

3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式に関しても考察を行なった.この研究に関しては,以下のような結果を得た.3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の滑らかな解の正則性に関する指標として,ユークリッド空間の無限遠点として捉えられる2次元球面上のある種の積分が小さい限り,その解は滑らかに延長できる.この性質は,コンパクト多様体上の非線形放物型方程式では良く知られている性質であるが,コンパクトでない空間上の方程式に関しては,全く新しいタイプの結果で,無限遠点へのエネルギーの集中という現象を観察することができた.また,3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の解の爆発点における漸近的な挙動もほぼ観察できることがわかった.さらに,流れの方程式の爆発時間におけるエネルギーの挙動を調べ,流れの方程式が時間大域的な弱会を持つことを証明した.
以上の研究は慶応義塾大学理工学部の前田吉昭氏と名古屋大学多元数理科学研究科の小薗英雄氏との共同研究である.

この研究テーマは解析的な偏微分方程式における発散級数解の意味付けを与えることにある。常微分方程式の特異点の研究においては、発散級数解は漸近展開の立場から詳しく研究されて来た。また最近では、発散級数解の発散の程度を計る物差しとしてジュブレイ指数を導入し、ボレル総和法の立場から新たな試みがなされている。
偏微分方程式において、特性的な初期値問題の解は一般に発散級数解となることが知られているが、その意味付けについては組織的な研究がなされていないのが現状である。この研究では、常微分方程式における研究の類似がどの様になされるのか、また偏微分方程式における固有の困難がどの様に現れるのかを追求することが、その大きな目的である。
この研究で得られた第一の成果は、偏微分方程式の発散級数解のジュブレイ性の研究、さらには一般のグルサ-問題のジュブレイ族空間における可解性の問題がテプリッツ作用素のスペクトル理論に帰着される事を明らかにしたことであり、偏微分方程式の解析的理論において関数解析的理論の適用が可能になった事は大きな親展である。また、常微分作用素に対する指数定理がテプリッツ作用素の指数定理に他ならないことも明らかになった。
もう一つの大きな成果は、熱方程式の発散級数解のボレル総和可能性の必要十分条件を与えたことである。常微分方程式においては、全ての発散級数解はボレル総和可能であるのに対して、偏微分方程式においては初期データについて条件が科されること、しかもその条件は古くから知られている解の一意性を保証するものに他ならないことが明らかになった。また、ボレル和は熱核による積分表示で与えられること、即ち、古典的な解と一致することが明らかになった。

流体運動に伴うさまざまな不連続面のなかで、流体力学的に最も基礎的なものの一つに渦面と呼ばれる接線速度の不連続面がある。これまで、2次元的な渦面のダイナミックスについては多くの研究がなされており、初期に解析的な形を持った渦面が自発的にその解析性を失う過程などが解明されてきた。しかしながら、3次元的ダイナミックスについては、現実の流れは一般に3次元的であるにも関わらず、ほとんど未解明であった。本研究では、2次元における渦面の運動を支配するBirkoff-Rottの式を3次元化の場合に一般化した表現を用いて、初期に周期的な撹乱を与えられた渦面の非線形ダイナミックスの解析および数値計算を行った。その結果、渦度が集中する領域の時間および空間的特異性を解析および数値的に明らかにすることができた。とくに、2次元の場合には直線的でしかあり得ないその領域の形状が、3次元の場合には蛇行し、その蛇行が簡単な三角関数によって近似されることが分かった。
現実の流体中では、しばしば、速度だけでなく密度や電導度などの物性値も不連続となる界面が現れる。このような界面の運動には渦面のそれと共通点が多い。そのような界面の典型例としては、一様電場中の電導度の違う2種の流体の界面があり、雷雲中の帯電液滴の変形あるいは雷の発生と関連してG.I.Taylorらによって実験的研究がなされてきた。本研究では簡単のため運動は2次元的であるとしてこのような界面の運動を解析した。また、そのための等角写像および高速フーリエ変換を用いる効率的な数値解析法を開発した。その結果、界面がある代数べきで記述できる突起(特異性)を自発的に形成することが分かった。

Navicr-Stokcs方程式の外部問題は、内部問題と比較して、単に取り扱いがより複雑であるというとには留まらず、解の無限遠方での漸近挙動の与え方により、方程式の適切性が著しく異なるので、大変興味深い結果が得られた。「境界で静止しかつ無限遠方で一定の速度で動くようなStokcs方程式の解は存在しない」という有名なStokcsのパラドックスはその典型である。本研究では、このパラドックスがStokcs作用素A^1を一階の偏導関数がr-乗可積分(∇u∈L´)であるhomogeneous Sobolev空間において考察し、その核が自明なものに限るか?という問題と同値であることに着目し、2次元だけではなく多次元においても同様なパラドックスが成り立つことを証明した。この事実はNavicr-Stokcs方程式の外部問題を線形Stokcs方程式の摂動として捉えることの限界を示している。実際、A^1が全単射である必要十分条件は3次元外部領域の場合、3/2<r<3であることは特異な現象を生じることが解明された。すなわち、∇u∈L^<3/2>なる解が存在するための必要十分条件は領域Ωの境界Γによるdrag forccがゼロ“∫r Dcf u・v dS=O"である。ここにDcf uは速度場uによるdcformation tcnsorであり、vは境界Γの単位法線ベクトルである。一方、Navier-Stokcs方程式はスケール則があり、上記の∇u∈L^<3/2>なるクラスはスケール変換で不変な関数空間である。従ってこの空間で解を求めることは重要である。いささか物理的には不自然であるが、このクラスの安定性を示すことに成功した。その際、代表者による関数空間の以前の研究が大きな役割を果たした。

本研究ではナビエ・ストークス方程式に従う流体の運動を渦運動に着目して解析的及び数値的に調べた。
まず、最も簡単で基本的渦面、すなわち平面状の渦面の運動についてその非線形の時間発展を解析した。この渦面は微小攪乱に対して不安定(Kelvin-Helmholtz不安定)であり、2次元の場合についてはこれまで多くの研究がなされてきた。本研究では、Mooreによってなされた非線形解析を3次元の場合に拡張して、小さいけれど有限の大きさの攪乱の3次元的時間発展を解析した。その結果、初期に滑らかな渦面が非線形ダイナミックスによって自発的に滑らかさを失い、2次元では存在しない渦の伸展効果に起因する、3次元固有の特異性を生じることを見いだし、その特異性の性質を明らかにした。大きな攪乱の時間発展については、その解析的取扱いは現在困難であるので、数値的に調べた。そのために、まず2重周期(空間について2方向への周期を持つ)グリーン関数の効率的計算法を開発し、それを用いて3次元的渦分布の性質を明らかにした。
さらに、渦面の形が平面状以外の場合についても、ラグランジュ的視点から一般的に安定性解析が行なえる新しい方法を開発した。また、一般的な流れの場に置かれた渦糸の定常な形についての新しい知見を得た。
その他、線形化作用素のスペクトル解析によって、非有界領域における非圧縮生粘性流体のエネルギーが時間的に減衰することを示し、その臨界指数を求めた。また、同方法と摂動法により漸近安定である外部定常解のクラスを提唱し、抵抗との関係を解明した。

Jonesの指数理論は因子環、部分因子環の対に付随した細かい構造の研究を可能にした。対の研究に表れる様々な不変量のうち最も重要な物はおそらく(2種の)相対可換子環のタワーであろう。これらは2種類のグラフ(principalグラフ及びdual principalグラフと呼ばれる)により記述される。有限群が因子環に(外部的に)作用している時、群と部分群から生じる接合積を考える事により得られる因子環、部分因子環の対に対するprincipal及びdual principalグラフの計算のアルゴリズムを得る事が出来た。このアルゴリズムはMackey流の群、部分群の既約表現の間のinduction-restrictionグラフとして記述される。
因子環、部分因子環の対に対する(外部的な)自己同型の研究を行った。(有限な)群Gが対M〓Nに作用している時、接合積の対M×G〓N×Gは元の対M〓Nとどの位異なるかという問題は興味深い。たとえばこれら2つの対はいつ違うグラフを持つだろうか。この種の問題を考えるには、作用が普通の意味でより強い意味で外部的であるかどうかという事が問題となる。作用が強い意味で外部的となる為の完全な特徴付けを得る事が出来た。Longoにより導入されたsector理論のおもしろい応用であり、sector理論の重要性がますます明らかになった。
上の特徴付けを使いながらsetorのfusion ruleを調べる事により様々な因子環、部分因子環の対に対するグラフが計算可能となった。III型部分因子環の研究への様々な応用がこれからの研究課題であると思われる。更に各分担者も独自の研究を発展させた事を付け加えておく。

Hyperfunctionの理論(佐藤理論)は、佐藤幹夫先生によって創始された代数的手法によって大きく発展して来た。我々の目的はまずこの理論を純粋に解析的な(微積分の)手法によって再構成し、新しい応用を試みることである。最も基礎となるのは全てのhyperfunctionを熱方程式の解の初期値とみることである。我々はこれによってhyperfunctionの新しい特微づけを得た。すなわち熱方程式の解とhyperfunctionを1:1に対応させることができる。この基本定理をもとにして、次々と理論を展開させていくことができる。第1は偏微分方程式の解の存在及至非存在の問題への応用である。Schwartz超関数からhyperfunctionの空間、更にそれよりも広い空間での可解性の問題などかなり統一的に取り扱うことが可能になって来た。第2は解の局所的性質の解析、いわゆるMicro-local analysisへの熱方程式の基本解からのapproachであるがこれもかなり見通しがでて来た。現在は主としてこの2つの問題について新しい結果を得つつありいくつかの論文として発表する予定である。

非線形波動方程式の解の正則性と方程式の幾何学的対称性の間には,密接な関係があることが知られている.たとえば,相対論的非線形波動方程式に対しては,KlainermanとChristodoulouによって導入された,零条件(null condition)が重要な役割を果たす.このような観点から,平成12年度および平成13年度は,古典的場の理論(classical field theory)に現れる,Dirac-Proca方程式とMaxwell-Higgs方程式の初期値問題の時間大域的可解性を研究した.前者の方程式系に対しては,Dirac場とProca場の相互作用が,湯川のベクトル型と擬ベクトル型相互作用の一次結合で表現できるとき,Proca方程式が零条件を満たす構造を持っていることを明らかにし,滑らかで小さな初期値に対して時間大域解の存在を示した.後者の方程式系に対しては,定数真空解の安定性の問題を考えた.この問題は,異なる質量項を持つKlein-Gordon方程式の連立系を,ゼロ解の周りで解き時刻無限大での解の漸近挙動を調べることに帰着される.Maxwell-Higgs方程式の場合,空間2次元のとき,2次の非線形相互作用は短距離型相互作用と長距離型相互作用の境目のケースに相当し,数学的には解が時刻無限大でどのように振る舞うのか興味深い問題である.今回の研究では,Klein-Gordon方程式系と零条件との関係を調べ,空間2次元のときある特別な場合を除き,時刻無限大の近傍で解は自由解のように振る舞うことを証明した.平成14年度は,修正KdV方程式(modified Korteweg-de Vries equation)の初期値問題に対し,弱解のクラスでの適切性を考えた.初期値問題の適切性とは,解の存在,一意性,初期値に関する連続依存性の三つが成立することをいう.初期値問題を解く関数空間を広げていくと,H^s(s<1/2)では初期値に解を対応させる解作用素はFrechet微分可能でなくなることが知られていた.H^s(s【greater than or equal】1/2)では,無限回微分可能となる.)14年度の研究では,修正KdV方程式のどのような構造がこのような現象を引き起こすのか調べた

研究実績は以下のとおり.研究代表者の小川は研究分担者の加藤と共に,非線型分散系の方程式についてBenjamin-Ono方程式の初期値問題の解がその初期値に一点のみSobolev空間H^S(s>3/2)程度の特異点を持つ場合に、対応する弱解が時間が立てば、時間、空間両方向につき実解析的となるsmoothing effectを持つことを示した。その過程で、無限連立のBenjamin-Ono型連立系の時間局所適切性を証明した。またKdV方程式とBenjamin-Ono方程式の中間的な効果を表すBenjaminのoriginal方程式に関して、その初期値問題が負の指数をも許すSobolev空間H^s(R)(s>-3/4)で時間局所的に適切となることを示した。さらに、谷内と共同で臨界型の対数形Sobolevの不等式(Brezis-Gallouetの不等式)を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式、Euler方程式、及び球面上への調和写像流の解の正則延長のための十分条件をこれまでに知られているSerrin型の条件よりも拡張した。これらの結果を元に、韓国ソウル国立大学数学科のD-H. Chae氏との共同研究をめざす、研究交流を行った分担者の川島は一般の双曲・楕円型連立系のある種の特異極限を論じた。この特異極限で双曲・楕円型連立系の解が対応する双曲・放物型連立系の解に収束することを、その収束の速さも込めて証明した。また、輻射気体の方程式系ではこの特異極限は、Boltzmann数とBouguer数の積を一定にしたままBoltzmann数を零に近づける極限に対応していることを明らかにした。分担者の隠居はVlasov-Poisson-Fokker-Planck方程式(VPFP方程式)の初期値問題に対して,重み付きソボレフ空間において不変多様体を構成し、解の時間無限大での漸近形を導出した

本研究課題は非線型放物型偏微分方程式の解の挙動の追跡を目指して推進されてきた.研究代表者はWei-Ming Ni(ミネソタ大学)と鈴木香奈子と共同で,ギーラーとマインハルトによる活性因子-抑制因子型反応拡散系の解の挙動について研究し,次のことを解明した:(i)初期値が定数函数の場合,活性因子がそれ自身を生産する強さが抑制因子の生産を促す強さよりも大きいと,有限時間で爆発する解が存在する.爆発解には,活性因子だけが発散するものと抑制因子も同時に発散するものとがあり,前者は初期値を抑制因子が指定された値に収束するように選ぶことができる.(ii)活性因子の方程式が源泉項を含まない場合,活性因子がそれ自身よりも抑制因子の方を多く生産するならば,どの解も爆発することはない.また,パターンの崩壊,つまり解が原点に収束することが起こり得る.西浦は,パルス解やスポット解の散乱現象を考察し,分水嶺解と呼ばれる,不安定な定常解または周期解の近傍での局所ダイナミクスと,解軌道の空間的な位置関係により,様々な入出力関係が形成されることを明らかにした.柳田は,ある準線型放物型方程式に対し,初期値に応じて大域的増大解,進行波解,有限時間消滅解のいずれかに分類されることを示し,その漸近挙動や消滅時刻における解の振る舞いについて調べた.小薗は,3次元非有界領域において,すべての平方可積分な初期値に対し強エネルギー不等式を満たすナビエ・ストークス方程式の弱解を構成できることを証明した.反応拡散系の考えを初めて提唱したチューリングの論文が出版されて50年となるのを記念し,パターン形成レクチャーシリーズとして関連分野の講義を実施した.最終年度には研究成果の発表と討論のため国際研究集会「非線型放物型偏微分方程式における空間的構造の自律的形成」を開催した

1.Navier-Stokes方程式に関するミレニアム問題の解説3次元Navier-Stokes方程式の大きな初期値に対する時間大域的滑らかな解の存在問題は,2000年にクレイ研究所からミレニアムにおける数学の7つの難題のひとつとして提唱された.本研究では,Lerayによる時間大域的な弱解の存在からはじめて,Serrinによる一意正則な弱解のクラスL^s(0,T;L^r(R^n)),2/s+n/γ【less than or equal】-1を中心に総合的な解説を行った.とくに,スケール不変則に対する藤田-加藤の原理を紹介し,同方程式の時間局所的な強解C([0,T);L^n(R^n))の果たした重要性を指摘した.解の特異点集合のHausdorff次元の評価,除去可能孤立特異点の特徴付け,後進自己相似解による爆発解の非存在についても触れた.調和解析学における最近の研究成果が,Navier-Stokes方程式の考察に寄与した例を2,3挙げ,今後の研究の指針を与えた.2.Navier-Stokes方程式の適切性と流体力学との関連流体力学サイドにおいては,今日,計算機能力の飛躍的な進歩に伴ってNavier-Stokes方程式の解を数値実験によって求め,乱流をも含む様々な流れの場を矛盾なく説明しているようである.一方,コンピューターを用いる以前に,まずは解析計算によって解の性質を調べようと試みる古典的な純粋数学の立場もある.本研究では,Navier-Stokes方程式の数学サイドから研究を紹介し,ミレニアム問題を中心とした同方程式に関する課題を解説した.とくに,「乱流の発生が解の正則性の崩壊と対応している」との数学者の見解と,多くの流体力学者によって指示されている「乱流の発生にはの解の特異性の議論は必要ない」との知見との比較を行った.渦度が有限でとどまる限り,解の正則性が保証されることに注目し,乱流発生が渦度の挙動と密接な関係にあることを偏微分方程式の適切性に関する研究から解き明かした.3.Navier-Stokes方程式の軟解とエネルギー等式Navier-Stokes方程式から導かれる積分方程式の解を"軟解"(mild solution)という.Katoは,初期値α∈L^n(R^n)であれば,あるT>0とC([0,T);L^n(R^n))に属する一意的な軟解uが存在することを示した.本研究では,L^2(R^n)∩L^n(R^n)に属する初期値をもつ"すべての軟解"uはLeray-HopfクラスL^∞(0,T;L^2(R^n))∩L^2(0,T;H^1(R^n))に属し,かつエネルギー等式を満たすことを証明した

(1)古典的直交級数について.実数直線の開区間上の重み付きハーディ空間において,ヤコビ級数に対する移植定理と乗子定理を示した.これは,重み付きのL^P空間におけるMuckenhouptの結果を,重み付きハーディ空間にまで拡張したものである.ヤコビ級数に対して,古典的な場合を含むハーディの不等式を示した.ハンケル変換に関する移植作用素がハーディ空間において有界であることを示した.(2)重み付きHardy空間の函数論的な特徴付け.実数直線の開区間上の重み付きハーディ空間について,特殊の場合に、正則関数のなす古典的なハーディ空間に対するBurkholder-Gundy-Silversteinの定理と同様の定理が成り立つことを,B.MuckenhouptとE.M.Steinが超球多項式による関数展開に関する考察から導入した一般化正則関数を用いて,示した.(3) Littlewood-Paley関数とMarcinkiewicz積分について.積分核に対する弱い仮定の下で,これらが,重み付きの空間やCampanato空間での評価を持つことを示した.(4)関数方程式への調和解析と実解析の応用.Waveletを応用して,Sobolev-Lieb-Thirringの一般化を示し,Schrodinger作用素の負の固有値の精密な評価を得た.Navier-Stokes方程式の研究に種々の関数空間や不等式などを応用し,Besov空間における解の性質の解明,弱解の内部正則性,孤立特異点の除去可能性の特徴付け,などの結果を得た.また,斉次Triebel-Lizorkin空間における双線形不等式を確立し,その応用としてNavier-Stokes方程式の局所古典解の延長可能性を論じた

(1)熱対流問題:Boussinesq方程式を用いて、局所理論により得られた分岐解の分岐曲線を解析的には不明な領域へ延長し、それらの延長した曲線上の解の安定性の変化を調べ、分岐曲線の大域的な構造を計算機援用解析している。殊に、ロール型の分岐曲線の延長は、計算機援用証明により示された。更に、分岐曲線上の二次分岐等を特定する方法も定式化できたので、それを用いて検証(証明)しつつある。(2)Navier-Stokes方程式のcavity flowの問題に関する解の精度保証付き計算方式を、より実用度の高いものに改良・拡張し、適用領域の拡大をはかった。即ち、従来用いてきた不動点方程式を用いる検証方式をさらに発展させ、無限次元Newton型の検証方式を定式化し、その有効性を実証した。(3)3次元空間におけるNavier-Stokes方程式の解の特異点の発生は渦度ベクトルによって支配される。その3成分に関するBeale-Kato-Majdaの条件があれば、滑らかな解として延長可能であることが知られていた。本研究では、このような古典解の時間延長には渦度ベクトルの3成分すべてを束縛する必要はなく,自由度2の制限で十分であることを示した。(4)非線形波動方程式における大域的な分岐現象を解明し、精度保証する基礎原理として、Banach空間におけるNewton法の収束定理がある。それを適用するに際して、近似解で線形化した微分作用素の逆のノルム評価が必要である。それを概対角作用素で近似できるための有用な十分条件を明らかにし、非線形周期振動の対称性破壊分岐問題に適用した。(5)Lorenz方程式とそれに類似の3次元ベクトル場の族に属する常微分方程式系を取りあげ,それらにsingularly denegerate heteroclinic cycleと名付けた共通の不変集合が存在することを示した。更に、その摂動においてカオス的アトラクタも分岐することが共通の構造として得られると思われる

1. 外部領域におけるNavier-Stokes方程式の非斉次初期値-境界値問題に対する超弱解を構成Navier-Stokes方程式の弱解の一意性や正則性はSerrinにより提唱されたスケール不変である関数空間が重要な役割を果たすことが知られている。この関数空間は弱解に対して何の微分可能性も課していないことが本質的である。そこで、本研究では3次元空間内の外部領域において、その境界上で与えられた非斉次関数が通常のtrace classより粗い関数であるときに、スケール不変空間に属するNavier-Stokes方程式の超弱解の時間局所的な一意存在を示した。2. Navier-Stokes方程式の弱解の正則性の新たな指標Navier-Stokes方程式に対する通常のLeray-Hopfのエネルギークラスにおける、乱流解の正則性に対する新たな指標を与えた。実際、乱流解の運動エネルギーが、時間変数に関して指数1/2以上のHoelder連続関数であれば、正則性が成り立つことを証明した。3. 一様C^2級の非コンパクトな境界を有する非有界領域におけるHelmholtz-Weyl分解領域の境界が非コンパクトである2次元平面内の非有界領域においては、直交分解定理が成立するL^2-空間を除いて、L^rベクトル場のHelmholtz-Weyle型直和分解定理は一般には成り立たないことが知られている。そこで本研究では、n-次元空間内の一様C^2級の非コンパクトな境界を有する非有界領域上にLebesgue空間の和集合と共通集合からなる新たな可積分ベクトル値関数空間を導入し、Helmholtz-Weyl分解が成り立つことを証明した。応用として、それらの関数空間上でのStokes作用素が定義できる

半線形拡散方程式の爆発問題は,藤田宏氏による1960年代後半の結果以来,非常に多くの研究が為されている.今なお,半線形拡散方程式の中心的問題であり,多くの研究者によって取り扱われている.本研究においては,爆発集合の位置の特徴付けという問題を研究した.この問題は一般的な枠組みで扱うことが難しい.そこで,研究代表者石毛は,東京学芸大学の溝口紀子氏,京都産業大学の柳下浩紀氏らと共に,拡散係数が十分大きい場合について考察することにし,爆発集合の位置についてノイマン境界条件のもとで特徴付けを行った.これにより,有界領域において,ノイマン条件の下で拡散係数が十分大きいならば,解の爆発集合は,初期値の第2ノイマン固有空間への射影の最大点の近くのみに存在することが示された.ここで,初期値の第2ノイマン固有空間への射影の最大点は,線形熱方程式の解の最大点の極限として特徴付けることが可能である.このような,固有関数の形状と爆発集合の位置との密接な関係が示されたのは,本研究が初めてであり,興味深いものと考える.また,非有界領域における半線形拡散方程式への応用を視野に入れながら,熱方程式の解の形状,特に解の最大点の挙動について,球の外部領域において研究を行った.一般に,非有界領域については,固有関数を用いた解析手法が有効でないため,また熱方程式のグリーン関数について得られる情報の少なさ故に、解の最大点挙動について研究を行うのは,球の外部領域という最も簡単な場合にでも難しかった.しかしながら,研究代表者石毛は球の外部領域にっいては,ノイマン境界条件,ディリクレ境界条件共に,最大点の挙動について詳しく研究を行った.この結果を受け,調和関数と解の最大点挙動の関係が明らかになり,大阪府立大学の壁谷喜継氏とともに,低階項を加えた場合の,解の微分の減衰の早さ及び解の最大点挙動について研究を行った.この研究より,調和関数の形状,特に調和関数の空間変数無限大における増大度が解の微分の減衰の早さや解の形状に強い影響を与えていることが明らかになり,またそれらのその決定メカニズムが明らかになった

平成15〜16年度は,修正KdV方程式の初期境界値問題の適切性を周期境界条件の下で研究した.1993年にBourgainは初期境界値問題の局所適切性を$H^s$, s≧1/2の空間で証明した.高岡と堤は$H^s$, s≧1/2と$H^s$, s<1/2の場合の相違点を詳しく調べ,1/2>s>1/3でも局所適切であることを示した.しかし,この場合は初期値に関する解の連続依存性は成立するが,非線形効果による振動によって一様連続とならなりことも示した.平成17年度堤は,空間2次元において2次の非線形性を持つ非線形シュレディンガー方程式の時刻無限大での解の漸近挙動を下村明洋とともに研究した.空間2次元の場合,2次の非線形性は短距離型相互作用と長距離型相互作用の境目に当たるため,非線形散乱理論の立場からは非常に興味深い問題である.非線形項が解の絶対値の2乗である場合,解は通常の意味では自由解には漸近しないことを示した.他の2次の非線形性は短距離型相互作用として働くことが知られており,その対比としても興味深い結果である.平成18年度堤は,べき乗型非線形シュレディンガー方程式の初期値問題に対する解の無条件一意性(unconditonal uniqueness)を研究した.非線型シュレディンガー方程式においては,解のクラスは初期値が属する関数空間だけではなく,ストリッカーツ評価式から定まる時空可積分空間に属することを過程するのが普通である.後者の空間は補助空間と呼ばれ,その補助空間は一般的には解の構成法に依存する.従って,解の構成法に依存しない,すなわち解が補助空間に属することを仮定しないで一意性が成立するかどうかはきわめて自然な問題である.このような意味での解の一意性を,無条件一意性という.無条件一意性の先行結果としては,加藤敏夫やFurioli and Terraneoの論文があるが,彼らは解の属する関数空間がスケール変換に関して劣臨界の場合(subcritival case)を扱っており,臨界の場合(critical case)の研究はほとんど無かった.今回,Furioli and Terraneoの証明方法を改良することにより,彼らの結果を臨界空間の場合に拡張することに成功した

研究実績は以下のとおり.研究代表者の小川は臨界型のSobolev不等式を研究し、実補間空間、特にBesov空間、Triebel-Lizorkin空間、一般化Besov空間などに拡張した。特に対数型の補間指数を持つ臨界状況において、こうした汎用不等式を用いて、Navier-Stokes方程式の弱解の一意判定条件、正則性条件、Euler方程式の解の爆発判定条件、2次元球面への調和写像流に対する正則性判定条件を見いだした。特に2次元球面に対する調和写像流に対する、エネルギー凝集のための判定条件をエネルギーの平均振動に着目して与えた。その際に、エネルギーの平均振動に対する単調性公式を得た。半導体シュミレーションモデル、走化性粘菌モデルに共通する半線形非局所放物型方程式および準線形非局所放物型方程式の解の時間大域的な挙動について研究し、特に方程式が臨界となる、空間次元2次元の場合について、解の臨界空間での局所可解性、臨界初期値までの時間大域的可解性、有限時間内での解の爆発、時間大域的な解の減衰、さらに特殊な構造を持つ非局所方程式の変形版に対する、多重存在性などの成果を得た。また平均曲率流方程式の数値解法アルゴリズムであるB-M-Oアルゴリズムについて、符号つき距離関数を導入することによりその解析的構造が半線形熱方程式の解で記述できることを見いだした。さらに半線形消散型波動方程式の解の大域挙動を研究し、有限時間内での爆発、あるいは解の減衰の際の漸近的な振る舞いを詳しく研究した

当該研究期間において、研究代表者高橋は各研究分担者らと共に、2次元および高次元ゲージ理論にあらわれる種々の非線形楕円型方程式の解の構成・解の漸近挙動・爆発解析および付随する熱流の時間大域的挙動の研究を行った.本研究課題で取り扱った種々の非線形楕円型方程式は、いずれも変分構造を有し、臨界Sobolev不等式やTrudinger-Moser不等式といった臨界型不等式と密接な関係を持ち、またある種の量子化現象を伴う爆発機構を持つことでも共通している。研究期間前半では、特に2次元乱流の平均場から得られる指数非線形項を持つ楕円型方程式の変分解の構成について成果を上げ、この方面の知見を深めることに寄与することができた。そこで扱った中立符号および混合符号を持つ多重渦点の研究は多くの研究者の興味を引き、現在は海外の研究グループも活発に参入して成果を上げている。研究期間後半においては、研究代表者は高次元領域上での半線形べき型臨界非線形項付き楕円型境界値問題の最小エネルギー解の漸近解析および爆発解析についても研究を進めた。これらの研究は本研究課題にあらわれる楕円型方程式の解の質量量子化現象と関係が深く、そこでの解析的技術の確立と研究の深化はさらに研究代表者に新しい研究課題を着想させるに至った。本研究課題の当初の目的であった2次元ゲージ理論における種々の楕円型方程式の解の構成についての研究は、現在も多くのモデル方程式が提唱される状況において、多数の研究者が関わりながら進展中であり、重要な研究分野に成熟してきたといえる。得られた成果は順次、国際的な学術雑誌において発表され、また研究代表者は、ポーランド・チリ・イスラエルでの国際会議において成果発表を行った

Caffarelli-Kohn-Nirenbergによって提唱されたNavier-Stoes 方程式の適切な弱解を，より広い局所的なエネルギー不等式を満たすものに拡張し，一般化された適切な弱解と名付け，無限遠方で弱い増大度を仮定するならば．初期値のエネルギー有限性が，時間発展後も運動エネルギーとその散逸が有限に留まること証明した．更にエネルギー等式が成り立たしめ得ることも示した．特に2 次元平面においては，一般の非有界領域においても，渦度の遠方での減衰度と，領域の境界におけるある種の積分量の符号を仮定するならば，時間発展後も解の渦とその一階偏導関数は領域全体で自乗可積分であることを証明示した．応用として，Navier-Stoes 方程式に対するLiouvile型定理を確立した．&nbsp;

(i) 一般領域におけるStoeks 作用素の最大正則性Stokes 作用素のq-乗可積分空間理論はq=2 の場合を除き、一般の領域では定義が出来ないことが知られている。そこで、反例が構成されている非コンパクトな境界をもつn 次元空間内の非有界領域を取り扱った。通常のq-乗可積分空間に代わるものとして、２乗可積分空間とq-乗可積分指数の和および共通部分からなる関数空間を導入した。これらの関数空間はともに、関数自身の無限遠方では減衰の速度が２乗可積分関数と同程度であることを要請したものである。その結果、領域の境界が一様にC1-級であれば、非コンパクト領域においてもStokes 作用素はこれらの関数空間において定義可能であり、正則半群を生成するとともに最大正則性定理を満たすことが明らかにされた。(ii) Navier-Stokes 方程式の弱解の正則性に関する新たな指標３次元有界領域におけるNavier-Stokes 方程式の弱解で強エネルギー不等式満たすクラスの正則性を考察した。従来はSerrin によって提唱された時空間におけるスケール不変な可積分空間において正則性の指標が確立されていたが、本研究では運動エネルギーとエネルギー散逸量に着目した。すなわち、前者に対しては指数が1/2 より大きな時間変数のヘルダー連続関数であり、また後者に対しては積分量の時間爆発レートが-1/2 より遅ければ、弱解が滑らかであることを証明した。これら２つの指標は、時空間の関数のセミノルムと見なすとき、スケール変換則に関して不変であることに注意が必要である。

1. 回転する障害物の周りの定常Navier-Stokes 方程式の解の存在と一意性3次元空間において障害物が回転し，かつ回転軸と同じ方向に並進運動する場合に，その外部領域 $\Omega$ において非圧縮性粘性流体のNavier-Stokes 方程式の定常解の存在と一意性を考察した．実際，回転の角速度を$\omega$,並進速度を$u_{\infty}$かつ外力$f = \dive F$ が条件$|\omega| + |u_{\infty}| + \|F\|_{L^{\frac32, \infty}} << 1$ であれば，$\nabla u \in L^{\frac32, \infty}(\Omega)$ であって，$u\in L^{3,\infty}(\Omega)$ である小さい解 $u$ が一意的に存在することを証明した．より一般的な一意性定理として，与えられデータ$\omega\in \re^3$, $u_{\infty}\in \re^3$, $F \in L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ が十分小さく，かつ$F\in L^{\frac32,\infty}(\Omega) \cap L^{q,\infty}(\Omega)$, $3/2 < r < 3$ であれば，我々の構成した解 $u$ は$\nabla u \in L^{\frac32,\infty}(\Omega) \cap L^{q,\infty}(\Omega)$ なるクラスで一意的であることを証明した．さらに，これらのデータが小さい限りにおいては，データーに関する解の連続依存性が成立する．2. 外部領域における定常Navier-Stokes 方程式の弱解の一意性とエネルギー不等式の関係3次元外部領域$\Omega$においては，Leray により任意の外力$\dive F$, $F\in L^2(\Omega)$ に対して，$\nabla u\in L^2(\Omega)$ でエネルギー不等式 $\|\nabla u\|^2_{L^2(\Omega)} \le \dis{-\int_{\Omega}F\cdot\nabla u}dx$を満たす弱解 $u$ の存在が示されている．しかし，そのような弱解については，空間 $L^{3, \infty}(\Omega)$ における小ささを仮定する必要があった．本研究では，弱解そのものに対する小ささではなく，与えられた外力$F\in L^2(\Omega)\cap L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ が空間$L^{\frac32,\infty}(\Omega)$ において十分小さければ，$\nabla u \in L^2(\Omega)$ であってエネルギー不等式を満たす弱解$u$ は一意的に存在することを証明した．この結果は期待できる定常Navier-Stokes 方程式の弱解の存在と一意性に関しては，最良の結果と言える．