<title>Abstract</title>In this note, we prove a new <inline-formula><alternatives><tex-math>$$L^4$$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>4</mml:mn>
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</mml:math></alternatives></inline-formula>-estimate of the velocity by the technique of Hardy space <inline-formula><alternatives><tex-math>$${\mathcal {H } }^1$$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>H</mml:mi>
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<mml:mn>1</mml:mn>
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</mml:math></alternatives></inline-formula> and <italic>BMO</italic>.

We study several quantitative properties of solutions to the incompressible Navier-Stokes equation in three and higher dimensions: (Equation Presented) More precisely, for the blow up mild solutions with initial data in L∞(ℝRd) and Hd/2-1(ℝd), we obtain a concentration phenomenon and blowup profile decomposition respectively. On the other hand, if the Fourier support has the form supp u0 ⊂ {ξ ∈ ℝn : ξ1 ≥ L} and ||u0||∞ ≪ L for some L &gt
0, then (1) has a unique global solution u ∈ C(ℝR+
L∞). In 3D, we show the compactness of the set consisting of minimal-Lp singularity-generating initial data with 3 &lt
p &lt
1, furthermore, if the mild solution with data in Lp(ℝ3) blows up in a Type-I manner, we prove the existence of a blowup solution which is uniformly bounded in critical Besov spaces B-1+6/p p/2,∞ (ℝ3).

The fractional Leibniz rule is generalized by the Coifman–Meyer estimate. It is shown that the arbitrary redistribution of fractional derivatives for higher order with the corresponding correction terms.

The blow-up of solutions for the Cauchy problem of fractional Ginzburg-Landau equation with non-positive nonlinearity is shown by an ODE argument. Moreover, in one dimensional case, the optimal lifespan estimate for size of initial data is obtained.

Sharp remainder terms are explicitly given on the standard Hardy inequalities in Lp(Rn) with 1 &lt
p&lt
n. Those remainder terms provide a direct and exact understanding of Hardy type inequalities in the framework of equalities as well as of the nonexistence of nontrivial extremals.

We study the Rellich inequalities in the framework of equalities. We present equalities which imply the Rellich inequalities by dropping remainders. This provides a simple and direct understanding of the Rellich inequalities as well as the nonexistence of nontrivial extremisers.

We prove the small data scattering for Hartree type fractional Schrodinger equation with inverse square potential. This is the border line problem between Strichartz range and weighted space range in view of the method of approach. To show this we carry out a subtle trilinear estimate via fractional Leibniz rule and Balakrishnan's formula. This paper is a sequel of the previous result (Cho, 2017). (C) 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved.

We prove stable versions of trace theorems on the sphere in (Formula presented.) with optimal constants, thus obtaining rather precise information regarding near-extremisers. We also obtain stability for the trace theorem into (Formula presented.) for (Formula presented.), by combining a refined Hardy–Littlewood–Sobolev inequality on the sphere with a duality–stability result proved very recently by Carlen. Finally, we extend a local version of Carlen’s duality theorem to establish local stability of certain Strichartz estimates for the kinetic transport equation.

We revisit Kato's theory on Landau-Kolmogorov (or Kallman-Rota) inequalities for dissipative operators in an algebraic framework in a scalar product space.

Sharp remainder terms are explicitly given on the standard Hardy inequalities in L-p(R-n) with 1 &lt; p &lt; n. Those remainder terms provide a direct and exact understanding of Hardy type inequalities in the framework of equalities as well as of the nonexistence of nontrivial extremals.

We use some interpolation inequalities on Besov spaces to show a regularity criterion for n-dimensional Navier-Stokes system.

We show some regularity criteria for Navier-Stokes equations, the harmonic heat flow, two liquid crystals models, and a model for magneto-elastic materials. The method of proof depends on a systematic use of interpolation inequalities in Besov spaces and is independent on logarithmic inequalities.

We study the Schrodinger Robertson uncertainty relations in an algebraic framework. Moreover, we show that some specific commutation relations imply new equalities, which are regarded as equality versions of well-known inequalities such as Hardy's inequality. (C) 2016 Elsevier Inc. All rights reserved.

In this note we study Hartree type equations with vertical bar del vertical bar(alpha) (1 &lt; alpha &lt;= 2) and potential whose Fourier transform behaves like vertical bar gamma vertical bar(-(d-gamma 1)) at the origin and vertical bar xi vertical bar(-(d-gamma 1)) at infinity. We show non-existence of scattering when 0 &lt; gamma(1) &lt;= 1 and small data scattering in H-S for s &gt; 2 2-alpha/2 when 2 &lt; gamma(1) &lt;= d and 0 &lt; gamma(2) &lt;= 2. For this we use U-P-V-P space argument and Strichartz estimates.

In this paper we study the global existence and asymptotic behavior of solutions for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov equations in three space dimensions. We prove that for small initial data, there exist the unique global solutions of the Klein-Gordon-Zakharov equations. We also show that these solutions approach asymptotically the free solutions as t → ∞. Our proof is based on the method of normal forms introduced by Shatah [12], which transforms the original system with quadratic nonlinearity into a new system with cubic nonlinearity.

In this paper we prove a blow-up criterion for the 3D Navier-Stokes equations in a bounded domain in terms of a BMO norm of vorticity. We will also prove a regularity criterion for the Landau-Lifshitz system in a bounded domain.

We prove regularity criteria for harmonic heat flow and a liquid crystals model.

We prove L-p lower bounds for Coulomb energy for radially symmetric functions in H(over dot)(s)(R-3) with 1/2 &lt; s &lt; 3/2. In case 1/2 &lt; s &lt;= 1 we show that the lower bounds are sharp.

We consider the fourth-order Schrodinger equation with focusing inhomogeneous nonlinearity (-vertical bar x vertical bar(-2)vertical bar u vertical bar(4/n) u) in high space dimensions. Extending Glassey's virial argument, we show the finite time blow-up of solutions when the energy is negative.

We prove a family of sharp bilinear space-time estimates for the halfwave propagator e(it root-Delta). As a consequence, for radially symmetric initial data, we establish sharp estimates of this kind for a range of exponents beyond the classical range.

We study the Cauchy problem for the cubic hyperbolic Schrodinger equation in two space dimensions. We prove existence of analytic global solutions for sufficiently small and exponential decaying data. The method of proof depends on the generalized Leibniz rule for the generator of pseudo-conformal transform acting on pseudo-conformally invariant nonlinearity.

We will prove some regularity criteria for harmonic heat flow, biharmonic heat flow and a surface growth model. (C) 2015 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

An explicit representation is given to the remainder of a critical Hardy inequality in L-n (R-n) with n &gt;= 2.

We first prove the uniqueness of weak solutions (psi, A) to the 3-D Ginzburg-Landau system in superconductivity with the temporal gauge if (psi, A). W := {(psi, A)vertical bar psi is an element of L-2(0, T; L-infinity), del psi is an element of L-2(0, T; L-3), A is an element of C([0, T]; L-3)}, which is a critical space for some positive constant T. We also prove the global existence of solutions for the Ginzburg-Landau system with magnetic diffusivity mu &gt; 0 or mu = 0. Finally, we prove the uniform bounds with respect to mu of strong solutions in space dimensions d = 2. Consequently, the existence of the limit as mu -&gt; 0 can be established.

In this paper, we establish Hardy inequalities of logarithmic type involving singularities on spheres in R&lt
sup&gt
n&lt
/sup&gt
in terms of the Sobolev-Lorentz-Zygmund spaces. We prove it by absorbing singularities of functions on the spheres by subtracting the corresponding limiting values.

In this paper, we establish Hardy inequalities of logarithmic type involving singularities on spheres in R-n in terms of the Sobolev-Lorentz-Zygmund spaces. We prove it by absorbing singularities of functions on the spheres by subtracting the corresponding limiting values.

The local well-posedness for the Cauchy problem of a system of semirelativistic equations in one space dimension is shown in the Sobolev space H-s of order s &gt;= 0. We apply the standard contraction mapping theorem by using Bourgain type spaces X-s,X-b. We also use an auxiliary space for the solution in L-2 = H-0. We give the global well-posedness by this conservation law and the argument of the persistence of regularity.

Well-posedness of the Cauchy problem for a system of semirelativistic equations is shown in the energy space. Solutions are constructed as a limit of an approximate solutions. A Yudovitch type argument plays an important role for the convergence arguments.

Existence and nonexistence results on global solutions to the Cauchy problem for semirelativistic equations are shown by a simple compact- ness argument and a test function method, respectively. To obtain the nonexistence of global solutions, semirelativistic equations are trans- formed into a new equation without nonlocal operators in linear part but with a time derivative in nonlinear part, which is shown to be under control of special choice of test functions.

This paper proves some regularity criteria for the 3D incompressible MHD with the Hall or ion-slip effects.

This paper proves two regularity criteria for the density-dependent Hall-MHD system with positive initial density. We also prove a global nonexistence result for initial density with a high decrease at infinity. (C) 2014 Elsevier Ltd. All rights reserved.

We prove the global existence of analytic solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrodinger equations in two dimensions, where the nonlinearity behaves as a cubic power at the origin and the Cauchy data are small and decay exponentially at infinity.

This paper proves some regularity criteria for the 2D MHD system with horizontal dissipation and horizontal magnetic diffusion. We also prove the global existence of strong solutions of its regularized MHD-alpha system.

"Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations". July 8～10, 2013. edited by Mitsuru Sugimoto and Hideo Kubo. The papers presented in this volume of RIMS Kokyuroku Bessatsu are in final form and refereed.

"Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations". July 8～10, 2013. edited by Mitsuru Sugimoto and Hideo Kubo. The papers presented in this volume of RIMS Kokyuroku Bessatsu are in final form and refereed.

We prove some regularity criteria of local smooth solutions for viscous or inviscid Hall-MHD model and the space-time Monopole equation in the Lorenz gauge. We also prove time decay estimates for weak solutions of the viscous Hall-MHD model by the Fourier splitting device.

In this paper, we prove the existence of local solutions to the Cauchy problem for the 3D Landau-Lifshitz-Maxwell system without dissipation, where the local existence time and the corresponding Sobolev estimates are independent of the dielectric constant e{open} with 0 &lt
ε &lt
1. Consequently, the limit as ε → 0 can be established.

We prove a formula which expresses the difference between the arithmetic mean of variables of odd numbers and the corresponding geometric mean in the form of a linear combination of independent variables with coefficients given by sums of squares of polynomials.

We prove a sharp bilinear estimate for the one-dimensional Klein-Gordon equation. The proof involves an unlikely combination of five trigonometric identities. We also prove new estimates for the restriction of the Fourier transform to the hyperbola, where the pullback measure is not assumed to be compactly supported.

In this paper we establish a regularity criterion for the 3D incompressible full MHD equations with variable viscosity. © 2014 Jishan Fan and Tohru Ozawa.

We study an initial boundary value problem for a time-dependent 3D Ginzburg-Landau model of superconductivity with partial viscous terms. We prove the global existence of strong solutions. (C) 2013 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

In this paper, we establish the Hardy inequality of the logarithmic type in the critical Sobolev-Lorentz spaces. More precisely, we generalize the Hardy type inequality obtained in Edmunds and Triebel (Math. Nachr. 207:79-92, 1999). The generalized inequality allows us to take the exponents appearing in the inequality more flexibly, and its optimality is discussed in detail. O'Neil's inequality and its reverse play an essential role for the proof. © 2013 Machihara et al.
licensee Springer.

We prove sharp Morawetz estimates - global in time with a singular weight in the spatial variables - for the linear wave, Klein-Gordon, and Schrodinger equations, for which we can characterise the maximisers. We also prove refined inequalities with respect to the angular integrability.

Hardy type inequalities are presented on balls with radius R at the origin in R-n with n = 2 at least. A special attention is paid on the behavior of functions on the boundary.

We study a system of nonlinear Schrodinger equations with quadratic interaction in space dimension n &lt;= 6. The Cauchy problem is studied in L-2, in H-1, and in the weighted L-2 space &lt; x &gt; L--1(2) = F(H-1) under mass resonance condition, where &lt; x &gt; = (1 + vertical bar x vertical bar(2))(1/2) and F is the Fourier transform. The existence of ground states is studied by variational methods. Blow-up solutions are presented in an explicit form in terms of ground states under mass resonance condition, which ensures the invariance of the system under pseudo-conformal transformations. (c) 2012 Elsevier Masson SAS. All rights reserved.

We study the Cauchy problem for cubic Schrodinger equations modelling ultra-short laser pulses propagating along the line. The global existence, blow-up, and scattering of solutions is described exclusively in the charge space L-2(R) without any approximating arguments.

We present explicit formulae for the remainder arising in the Young, Hölder, and Clarkson inequalities. © 2013 Kazumasa Fujiwara and Tohru Ozawa.

In this paper we introduce three types of inequalities related to the Lorentz spaces on a measure space (M
m).

In this paper we show the existence of a non-trivial solution to a fractional Schrödinger equation, which turns out to be a global minimizer of a variational problem. We give a sharp condition for the existence of global minimizers. To do this we develop a new compactification scheme of angularly regular solutions.

We consider the Cauchy problem for quadratic nonlinear Klein-Gordon systems in two space dimensions with masses satisfying the resonance relation. Under the null condition in the sense of J.-M. Delort, D. Fang, and R. Xue (J. Funct. Anal. 211 (2004), no. 2, 288323), we show the global existence of asymptotically free solutions if the initial data are sufficiently small in some weighted Sobolev space. Our proof is based on an algebraic characterization of nonlinearities satisfying the null condition. (c) 2012 Wiley Periodicals, Inc.

We prove the uniqueness for weak solutions of the time-dependent 2-D Ginzburg-Landau model for superconductivity with L (2) initial data in the case of Coulomb gauge. This question was left open in Tang and Wang (Physica D, 88:139-166, 1995). We also prove the uniqueness of the 3-D radially symmetric solution in bounded annular domain with the choice of Lorentz gauge and L (2) initial data.

This paper studies the Cauchy problem for the MHD equations with mass diffusion in a bounded domain in R(3). We use Tikhonov&apos;s fixed-point theorem to prove the existence and uniqueness of local solutions.

In this paper, we revisit elliptic estimates invariant under domain expansion. We improve the invariant elliptic estimates in the previous paper [Y. Cho, T. Ozawa, Y. Shim, Calc. Var. PDE 34 (2009) 321-339] via gradient estimate and discuss an application to the Lame system. (C) 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.

We prove upper bounds on the life span of positive solutions for a semilinear heat equation. For non-decaying initial data, it is well known that the solutions blow up in finite time. We give two types estimates of the life span in terms of the limiting values of the initial data in space. © 2011 Elsevier Inc.

In this paper we consider the initial value problem for i partial derivative(t)u + omega(vertical bar del vertical bar)u = 0. Under suitable smoothness and growth conditions on omega, we derive dispersive estimates which is the generalization of time decay and Strichartz estimates. We unify and also simplify dispersive estimates by utilizing the Bessel function. Another main ingredient of this paper is to revisit oscillatory integrals of [2].

We consider the Cauchy problem of two types of Hartree equations with exchange-correlation correction terms:
{iu(t) - Delta u = V(k)(u)u in R(1+n), k = 1, 2,
u(0) = phi in R(n), n &gt;= 1,
where
V(1)(u) = vertical bar x vertical bar(-gamma) * (lambda(1)vertical bar u vertical bar(2) + lambda(2)vertical bar del u vertical bar(2)), V(2)(u) = vertical bar x vertical bar(-gamma) * (lambda vertical bar vertical bar del vertical bar(delta) u vertical bar(2)).
We establish the well- posedness of Cauchy problems and show the smoothing effect of solutions for each 0 &lt; gamma &lt; n and 0 &lt;= delta &lt;= 1. (C) 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.

We consider the incompressible viscoelastic fluid system of the Oldroyd-B model. We prove a regularity criterion del v is an element of L(1)(0, T; L(infinity)) for the 3-D Oldroyd-B system with the initial data (v(0), H(0) - I) is an element of H(2) x W(1,q) with 3 &lt; q &lt;= 6. Global well-posedness of smooth solution is also proven for a regularization model of this Oldroyd-B system in two space dimension.

We prove the endpoint Strichartz estimates for the Klein-Gordon equation in mixed norms on the polar coordinates in two space dimensions. As an application, similar endpoint estimates for the Schrodinger equation in two space dimensions are shown by using the non-relativistic limit. The existence of global solutions for the cubic nonlinear Klein-Gordon equation in two space dimensions for small data is also shown. (C) 2010 Elsevier Masson SAS. All rights reserved.

The global Cauchy problem for the 2-D magnetohydrodynamic-alpha models with partial viscous terms is studied. The vanishing limit on alpha is also considered in this paper.

We prove the global existence of analytic solutions to the Cauchy problem for the cubic Schrodinger equation in space dimension n &gt;= 3 for sufficiently small data with exponential decay at infinity. Minimal regularity assumption regarding scaling invariance is imposed on the Cauchy data. (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.

We use an interpolation inequality on Besov spaces to show some logarithmically improved regularity criteria for Navier-Stokes equations, the harmonic heat flow, the Landau-Lifshitz equations, and the Landau-Lifshitz-Maxwell system. Copyright (C) 2009 John Wiley & Sons, Ltd.

We consider the hydrodynamic theory of liquid crystals. We prove some regularity criteria for a simplified Ericksen-Leslie system. The existence and uniqueness of global smooth solutions is also proved for a regularization model of this simplified system.

We prove a regularity criterion of the strong solutions for a Bona-Colin-Lannes system in Besov space. As a byproduct, we show the existence of globally smooth solutions for a symmetric Bona-Colin-Lannes system. (c) 2009 Elsevier Ltd. All rights reserved.

In this paper, we derive some Sobolev inequalities for radially symmetric functions in. (H)over dot(s) with 1/2 &lt; s &lt; n/2. We show the end point case s = 1/2 on the homogeneous Besov space. (B)over dor(2,1)(1/2). These results are extensions of the well-known Strauss&apos; inequality [13]. Also non-radial extensions are given, which show that compact embeddings are possible in some L(p) spaces if a suitable angular regularity is imposed.

We prove some regularity conditions for the MHD equations with partial viscous terms and the Leray-alpha-MHD model. Since the solutions to the Leray-alpha-MHD model are smoother than that of the original MHD equations, we are able to obtain better regularity conditions in terms of the magnetic field B only.

Some properties of distributions f satisfying x . del f is an element of L(p)(R(n)), 1 &lt;= p &lt; infinity, are studied. The operator x . del is the generator of a semi-group of dilations. We first give Sobolev type inequalities with respect to the operator x . del. Using the inequalities, we also show that if f is an element of L(loc)(p)(R(n)), x . del f is an element of L(p)(R(n)) and vertical bar x vertical bar(n/p)vertical bar f(x)vertical bar vanishes at infinity, then f belongs to L(p)( R(n)). One of the Sobolev type inequalities is shown to be equivalent to the Hardy inequality in L(2)(R(n)).

We study the global well-posedness (GWP) and small data scattering of radial solutions of the semirelativistic Hartree type equations with nonlocal nonlinearity F(u) = lambda(vertical bar u vertical bar(-gamma) * vertical bar u vertical bar(2)) u, lambda epsilon R \ {0}, 0 &lt; gamma &lt; n, n &gt;= 3. We establish a weighted L(2) Strichartz estimate applicable to non-radial functions and some fractional integral estimates for radial functions.

We consider the 3D density-dependent Boussinesq equations and the classical Boussinesq equations with partial viscosity terms. We prove some regularity criteria of strong solutions for the Boussinesq equations.

In this paper, we consider elliptic estimates for a system with smooth variable coefficients on a domain Omega subset of R(n), n &gt;= 2 containing the origin. We first show the invariance of the estimates under a domain expansion defined by the scale that y = Rx, x, y is an element of R(n) with parameter R &gt; 1, provided that the coefficients are in a homogeneous Sobolev space. Then we apply these invariant estimates to the global existence of unique strong solutions to a parabolic system defined on an unbounded domain.

We prove some uniqueness results for the Cauchy problem for the 3-D time-dependent Ginzburg-Landau (TDGL) model for superconductivity with the choice of the Lorentz gauge in the multiplier spaces (Morrey spaces) and in the inhomogeneous Besov spaces, respectively.

We study the nonlinear Schrodinger equation with a delta-function impurity in one space dimension. Local well-posedness is verified for the Cauchy problem in H-1(R). In case of attractive delta-function, orbital stability and instability of the ground state is proved in H-1(R). (C) 2007 Elsevier Masson SAS. All fights reserved.

We use the maximum principle type estimate and interpolation inequality on Besov spaces to show some regularity criteria for the generalized Navier-Stokes equations, the quasi-geostrophic equations, and the harmonic heat flow.

We prove the asymptotic stability for weak solutions to the 3-D Navier-Stokes equations in the class
[GRAPHICS]
with arbitrary initial and external perturbations. This solves a problem due to Yong Zhou (Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 136A ( 2006), 1099-1109).

We obtain some regularity conditions for solutions of the 3D generalized Navier-Stokes equations with fractional powers of the Laplacian, in terms of the velocity, the vorticity, and the pressure in Besov space, Triebel-Lizorkin space, and Lorentz space, respectively. We also present a regularity condition for the 3D Lagrangian averaged Euler equations.

We consider the semi-relativistic Hartree type equation with nonlocal nonlinearity F(u) = λ(|x| -λ * |u| 2)u,0 &lt
γ &lt
n,n ≥ 1. In [2, 3], the global well-posedness (GWP) was shown for the value of γ ∈ (0, 2n/n+1),n ≥ 2 with large data and γ ∈ (2, n), n ≥ 3 with small data. In this paper" we extend the previous GWP result to the case for γ ∈ (1, 2n-1/n),n ≥ 2 with radially symmetric large data. Solutions in a weighted Sobolev space are also studied.

We prove a regularity criterion. del pi is an element of L(2/3) (0,T; BMO) for weak solutions to the Navier-Stokes equations in three-space dimensions. This improves the available result with L(2/3) (0,T; L(infinity)). Copyright (C) 2008 J. Fan and T. Ozawa.

We prove a Poisson type formula for the Schrodinger group. Such a formula had been derived in a previous article by the authors, as a consequence of the study of the asymptotic behavior of nonlinear wave operators for small data. In this note, we propose a direct proof, and extend the range allowed for the power of the nonlinearity to the set of all short range nonlinearities. Moreover, H-1-critical nonlinearities are allowed.

We prove that for the L-2-critical nonlinear Schrodinger equations, the wave operators and their inverse are related explicitly in terms of the Fourier transform. We discuss some consequences of this property. In the one-dimensional case, we show a precise similarity between the L-2-critical nonlinear Schrodinger equation and a nonlinear Schrodinger equation of derivative type.

We study the global Cauchy problem for nonlinear Schrodinger equations with cubic interactions of derivative type in space dimension n &gt;= 3. The global existence of small classical solutions is proved in the case where every real part of the first derivatives of the interaction with respect to first derivatives of wavefunction is derived by a potential function of quadratic interaction. The proof depends on the energy estimate involving the quadratic potential and on the endpoint Strichartz estimates. (C) 2007 Elsevier Masson SAS. All rights reserved.

We consider initial value problems for the semirelativistic Hartree type equations with cubic convolution nonlinearity F(u) = (V (*) vertical bar U vertical bar(2))u. Here V is a sum of two Coulomb type potentials. Under a specified decay condition and a symmetric condition for the potential V we show the global existence and scattering of solutions.

We study the existence and scattering of global small amplitude solutions to generalized Boussinesq (Bq) and improved modified Boussinesq (imBq) equations with nonlinear term f(u) behaving as a power u(p) as u --&gt; 0 in R-n, n &gt;= 1.

Weighted Strichartz estimates with homogeneous weights with critical exponents are proved for the wave equation without a support restriction on the forcing term. The method of proof is based on expansion by spherical harmonics and on the Sobolev space over the unit sphere, by which the required estimates are reduced to the radial case. As an application of the weighted Strichartz estimates, the existence and uniqueness of self-similar solutions to nonlinear wave equations are proved on up to five space dimensions. (c) 2006 Wiley Periodicals, Inc.

We study the existence and scattering of global small amplitude solutions to modified improved Boussinesq equations in one dimension with nonlinear term f(u) behaving as a power u(p) as u -&gt; 0. Solutions are considered in H-s space for all s &gt; 1/2. According to the value of s, the power nonlinearity exponent p is determined. Liu (Liu 1996 Indiana Univ. Math. J. 45, 797-816) obtained the minimum value of p greater than 8 at s = 3/2 for sufficiently small Cauchy data. In this paper, we prove that p can be reduced to be greater than 9/2 at s &gt; 17/10 and the corresponding solution u has the time decay, such as parallel to u(t)parallel to(infinity)(L) = O(t(-2/5)) as t -&gt; infinity. We also prove non-existence of non-trivial asymptotically free solutions for 1 &lt; p &lt;= 2 under vanishing condition near zero frequency on asymptotic states.

Conservation laws of the charge and of the energy are proved for nonlinear Schrodinger equations with nonlinearities of gauge invariance in a way independent of approximate solutions.

We give a sufficient condition that non-radial H-1-Solutions to the Haraux-Weissler equation should belong to the weighted Sobolev space H-rho(1)(R-n), where rho is the weight function exp(vertical bar x vertical bar(2)/4). Our result provides, in some sense, a connection between the solutions obtained by ODE method and those by variational approach in the space H-rho(1)(R-n). (c) 2005 Elsevier Inc. All rights reserved.

In this paper, we consider the Cauchy problem of Schrodinger-IMBq equations in R-n, n &gt;= 1. We first show the global existence and blowup criterion of solutions in the energy space for the 3 and 4 dimensional system without power nonlinearity under suitable smallness assumption. Secondly the global existence is established to the system with p-powered nonlinearity in H-s(R-n), n = 1, 2 for some n/2 &lt; s &lt; min (2, p) and some p &gt; n/2. We also provide a blowup criterion for n = 3 in Triebel-Lizorkin space containing BMO space naturally.

We study the global Cauchy problem and scattering problem for the semirelativistic Hartree-type equation in R-n, n = 1, with nonlocal nonlinearity F(u) = lambda(vertical bar x vertical bar(-gamma) * vertical bar u vertical bar(2)) u, 0 &lt; gamma &lt; n. We prove the existence and uniqueness of global solutions for 0 &lt; gamma &lt; (2n)/(n + 1), n &gt;= 2 or gamma &gt; 2, n &gt;= 3, and the nonexistence of asymptotically-free solutions for 0 &lt; gamma &lt;= 1, n &gt;= 3. We also specify asymptotic behavior of solutions as the mass tends to zero and in. nity.

We study analytic smoothing effects for Solutions to the Cauchy problem for the Schrodinger equation with interaction described by the integral of the intensity with respect to one direction in two space dimensions. The only assumption oil the Cauchy data is the weight condition of exponential type and no regularity assumption is imposed.

Exponential decay estimates are obtained for complex-valued solutions to nonlinear elliptic equations in R-n, where the linear term is given by Schrodinger operators H = -Delta + V with nonnegative potentials V and the nonlinear term is given by a single power with subcritical Sobolev exponent in the attractive case. We describe specific rates of decay in terms of V, some of which are shown to be optimal. Moreover, our estimates provide a unified understanding of two distinct cases in the available literature, namely, the vanishing potential case V = 0 and the harmonic potential case V (x) = |x|(2).

A detailed description is given on the large time behavior of scattering solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrodinger equations with repulsive interactions in the short-range case without smallness condition on the data.

We prove endpoint Strichartz estimates for the Klein-Gordon and wave equations in mixed norms on the polar coordinates in three spatial dimensions. As an application, global wellposed-ness of the nonlinear Dirac equation is shown for small data in the energy class with some regularity assumption for the angular variable. (C) 2004 Elsevier Inc. All fights reserved.

We present invariants for nonlinear Dirac equations in space-time Rn+1, by which we prove that a special choice of the Cauchy data yields free solutions. Our argument works for Klein-Gordon-Dirac equations with Yukawa coupling as well. Related problems on the structure of Dirac matrices are studied.

We prove the weighted Strichartz estimates for the wave equation in even space dimensions with radial symmetry in space. Although the odd space dimensional cases have been treated in our previous paper [5], the lack of the Huygens principle prevents us from a similar treatment in even space dimensions. The proof is based on the two explicit representations of solutions due to Rammaha [11] and Takamura [14] and to Kubo-Kubota [6]. As in the odd space dimensional cases [5], we are also able to construct self-similar solutions to semilinear wave equations on the basis of the weighted Strichartz estimates.

The global Cauchy problem for nonlinear Dirac and Klein-Gordon equations in space-time Rn+1 is studied in Sobolev and Besov spaces. Global existence of small solutions is proved under a scale-invariant setting when reduced to the corresponding massless case.

In this article, the behavior of solutions to the free wave equation with homogeneous Cauchy data are considered. In particular, the propagation of singularities are observed explicitly. Such Cauchy data are of special interest in view of applications to self-similar solutions to nonlinear wave equations.

An upper bound of the life-span of smooth solutions to the complex Ginzburg-Landau equation with periodic boundary condition in one space dimension is given explicitly in terms of an integral mean of the Cauchy data in the case where the interaction is focusing.

We study the existence of self-similar solutions to the Cauchy problem for semilinear wave equations with power type nonlinearity. Radially symmetric self-similar solutions are obtained in odd space dimensions when the power is greater than the critical one that are widely referred to in other existence problems of global solutions to nonlinear wave equations with small data. This result is a partial generalization of [ 11] to odd space dimensions. To construct self-similar solutions, we prove the weighted Strichartz estimates in terms of weak Lebesgue spaces over space-time.

In this paper we study the Cauchy problem for the nonlinear Dirac equation in the Sobolev space H-s. We prove the existence and uniqueness of global solutions for small data in H-s with s &gt; 1. The method of proof is based on the Strichartz estimate of L-t(2) type for Dirac and Klein-Gordon equations. We also prove that the solutions of the nonlinear Dirac equation after modulation of phase converge to the corresponding solutions of the nonlinear Schrodinger equation as the speed of light tends to infinity.

We study the nonrelativistic limit of the Cauchy problem for the nonlinear Klein-Gordon equation and prove that any finite energy solution converges to the corresponding solution of the nonlinear Schrodinger equation in the energy space, after the infinite oscillation in time is removed. We also derive the optimal rate of convergence in L-2.

Small data scattering for nonlinear Schrodinger equations (NLS), nonlinear wave equations (NLW), nonlinear Klein-Gordon equations (NLKG) with power type nonlinearities is studied in the scheme of Sobolev spaces on the whole space R(n) with order s &lt; n/2. The assumptions on the nonlinearities are described in terms of power behavior p(1) at zero and p(2) at infinity such as 1 + 4/n &lt;= p(1) &lt;= p(2) &lt; 1 + 4/(n - 2s) for NLS and NLKG, and 1 + 4/(n - 1) &lt;= p1 &lt;= p(2) &lt;= 1 + 4/(n - 2s) for NLW.

We unify two distinct methods of the global analysis for the nonlinear Schrodinger equations, namely those in the Sobolev spaces and in the weighted spaces. Thus we can deal with various sums of power nonlinearies \u\(p-1)u for 1 + 2/n &lt; p &lt; infinity, since the former works for p greater than or equal to 1 + 4/n, while the latter for 1 + 2/n &lt; p less than or equal to 1 + 4/n. Even for a single power, our result is much simpler and slightly better than the previous ones as to restriction on the initial data. Moreover, we extend the result to the maximal regularity, thereby obtaining scattering at the lower critical value p = 1 + 8/(rootn(2) + 4n + 36 + n + 2) for n greater than or equal to 4. We also show the asymptotic completeness in FH1 without smallness for p greater than or equal to 1+8/(rootn(2) + 12n + 4 + n - 2) and any n is an element of N.

The local and global well-posedness for the Cauchy problem for a class of non-linear Klein-Gordon equations is studied in the Sobolev space H-s = H-s(R-n) with s greater than or equal to n/2. The global well-posedness of the problem is proved under the following assumptions: (1) Concerning the nonlinearity f, f (u) behaves as a power u(1+4/n) near zero. At infinity f (u) has an exponential growth rate such as exp(kappa\u\(v)) with kappa &gt; 0 and 0 &lt; v &lt; 2 if s = n/2, and has an arbitrary growth rate if s &gt; n/2. (2) Concerning the Cauchy data (phi, psi) is an element of H-s + Hs-1, parallel to(phi, omega); H(1/2)parallel to is relatively small with respect to parallel to(phi, psi); (H) over dot (s*) parallel to, where s* is a number with s* = n/2 if s = n/2, n/2 &lt; s* &LE; s if s &gt; n/2, and the smallness of parallel to(phi, psi); (H) over dot (n/2)parallel to is also needed when s = n/2 and v = 2.

The local and global well-posedness for the Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations is studied. The global well-posedness of the problem is proved in the homogeneous Sobolev space (H) over dot(s) = (H) over dot(s) (R-n) of fractional order s &gt; n/2 under the following assumptions: (1) Concerning the Cauchy data (phi, psi) is an element of (H) over dot(s) = (H) over dot(s) + (H) over dot(s-1), parallel to(phi, psi); (H) over dot(1/2)parallel to is relatively small with respect to parallel to(phi, psi); (H)over dot(sigma)parallel to for any fixed sigma with n/2 &lt; &sigma; &LE; s. (2) Concerning the nonlinearity f, f(u) behaves as a power u(1+4/(n-1)) near zero and has an arbitrary growth rate at infinity.

The local and global well-posedness for the Cauchy problem for a class of nonlinear Schrodinger equations is studied. The global well-posedness of the problem is proved in the Sobolev space H-s = H-s(R-n) of fractional order s &gt; n/2 under the following assumptions. (1) Concerning the Cauchy data phi is an element of H-s: parallel to phi; L(2)parallel to is relatively small with respect to parallel to phi; (H)over dot(sigma) for any fixed sigma with n/2 &lt; sigma &lt; s. (2) Concerning the nonlinearity f: f(u) behaves as a conformal power u(1+4/n) near zero and has an arbitrary growth rate at infinity.

We consider the Cauchy problem for nonlinear wave equations in the homogeneous Sobolev space (H) over dot (mu)(R-n), where n greater than or equal to 2 and 0 less than or equal to mu &lt; n/2 using the generalized Strichartz estimates given by J. Ginibre and G. Velo (1995). (C) Elsevier, Paris.

We show the local in time solvability of the Cauchy problem for nonlinear wave equations in the Sobolev space of critical order with nonlinear term of exponential type.

We study the scattering problem for the Hartree equation
i partial derivative(t)u = ?1/2 Delta u + f(\u\(2))u, (t, x) is an element of R x R-n
with initial data u(0, x) = u(0)(x), x is an element of R-n, where f(\u\(2)) = V * \u\(2), V(x) = lambda\x\(?1), lambda is an element of R, n greater than or equal to 2. We prove that for any u(0) is an element of H-0,H- (gamma) boolean AND H-gamma,H- 0, with 1/2 &lt; gamma &lt; n/2, such that the value epsilon = \\u(0)\\(0, gamma) + \\u(0)\\(gamma,) (0) is sufficiently small, there exist unique u(+/-) is an element of H-sigma,H- (0) boolean AND H-0,H- sigma with 1/2 &lt; sigma &lt; gamma such that for all \t\ greater than or equal to 1
\\u(t) ? exp (-/+ if (\(u) over cap(+/-)\(2)) (x/t) log \t\) U(t)u(+/-)\\( L2) less than or equal to C epsilon\t\(-mu+7 nu)(,)
where mu = min(1, gamma/2), 0 &lt; nu &lt; min(1, gamma-sigma/12), &lt;(phi)over cap&gt; denotes the Fourier transform of phi, U(t) is the free Schrodinger evolution group, and H-m,H- s is the weighted Sobolev space defined by
H-m,H- (s) = {phi is an element of S'; \\phi\\(m,) (s) = \\(1 + \x\(2))(s/2) (1 ? Delta)(m/2) phi\\(L2) &lt; infinity}.

The Cauchy problem for the nonlinear Schrodinger equations is considered in the Sobolev space H-n/2(R-n) of critical order n/2, where the embedding into L-infinity(R-n) breaks down and any power behavior of interaction works as a subcritical nonlinearity. Under the interaction of exponential type the existence and uniqueness is proved far global H-n/2-solutions with small Cauchy data. (C) 1998 Academic Press.

We consider the scattering problem for the nonlinear Schrodinger equations with interactions behaving as a power p at zero. In the critical and subcritical cases (s greater than or equal to n/2-2/(p-1) greater than or equal to 0). we prove the existence and asymptotic completeness of wave operators in the sense of Sobolev norm of order s on a set of asymptotic states with small homogeneous norm of order n/2 - 2/(p - 1) in space dimension n greater than or equal to 1.

In this paper we study smoothing effects of solutions to the Benjamin-One equation
[GRAPHICS]
where H is the Hilbert transform defined by
Hf)(x) = p.v. 1/pi integral f(y)/x-y dy.
We prove that if phi is an element of H-4 and (x partial derivative(x))(4) phi, then the solution u of(BO) belongs to L(loc)(infinity)(R\{0}; H-8,H--4), where
H-m,H-s = {f is an element of L(2.),parallel to(1+x(2))(s/2)(1 - partial derivative(x)(2))(m/2) f parallel to L(2) &lt; infinity}.

We reexamine the mechanism of smoothing effects of the Schrodinger evolution group in the weighted Sobolev spaces by using the generator of space-time dilations instead of Galilei transformations.

In this paper we study the global existence and asymptotic behavior of solutions for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov equations in three space dimensions. We prove that for small initial data, there exist the unique global solutions of the Klein- Gordon-Zakharov equations. We also show that these solutions approach asymptotically the free solutions as t --&gt; infinity. Our proof is based on the method of normal forms introduced by Shatah [12], which transforms the original system with quadratic nonlinearity into a new system with cubic nonlinearity.

This paper is concerned with the initial value problem for nonlinear Schrodinger equations of the form
[GRAPHICS]
where partial-derivative = partial-derivative(x) = partial-derivative/partial-derivativex, lambda, lambda1, lambda2, is-an-element-of R and 2 less-than-or-equal-to p1 &lt; p2 &lt; 5. It is shown that if phi is-an-element-of H1(R) and parallel-tophiparallel-to2(2) &lt; 2pi/\lambda\, then there exists a unique global solution psi of (dagger) such that psi is-an-element-of C(R; H1(R)). This paper introduces a new method to obtain the result.

For a class of long range potentials, sharp propagation estimates of the corresponding Schrodinger evolution groups are obtained without low-energy cut-off technique. Instead of low-energy cut-off, an explicit condition is given on the vanishing order in the L(2) sense at zero energy of initial states.

Asymptotic expansions of solutions of the wave equations in even dimensional spaces are obtained with the initial data of non-compact support. A relationship is proved between the vanishing order at the origin of the Fourier transform of the data and the decay rate of the corresponding solutions in semi-infinite cylinders or along rays inside the forward light cone. © 1994 IOS Press and the authors.

We study the wave operators for nonlinear Schrodinger equations with interactions behaving as a power p at zero. We extend the existence proof of those operators from the previously known range p - 1 &gt; 4/(n + 2) to the optimal range p - 1 &gt; 2/n in space dimension n = 3 and to an intermediate range in space dimension n greater-than-or-equal-to 4.

Schrodinger operators with time-dependent potentials are studied. Necessary and sufficient conditions for existence of ordinary and Dollard-type modified wave operators are obtained. Sharp results for potentials with a specified leading term are obtained. Applications are given to the surfboard Schrodinger equation and to Stark Hamiltonians. In the latter case the discrepancy between classical and quantum scattering in dimension one is resolved.

We consider the scattering problem for the non-linear Schrodinger (NLS) equation with a power interaction with critical power p = 1 + 2/n in space dimensions n = 2 and 3 and for the Hartree equation with potential \x\-1 in space dimension n greater-than-or-equal-to 2. We prove the existence of modified wave operators in the L2 sense on a dense set of small and sufficiently regular asymptotic states.

We consider the scattering problem for the Hartree type equation in R(n) with n greater-than-or-equal-to 2: i partial derivative u/partial derivative t + 1/2 DELTA-u = (V*\u\2)u, where V(x) = SIGMA(j = 1)2 lambda(j)\x\-gamma-j, (lambda-1, lambda-2) not-equal (0, 0), lambda(j) is-an-element-of R, gamma(j) &gt; 0, and * denotes the convolution in R(n). We prove the existence of wave operators in H0,k = {psi is-an-element-of L2(R(n)); \x\(k)psi is-an-element-of L2(R(n))} for any positive integer k under the assumption 1 &lt; gamma-1, gamma-2 &lt; 2. This is an optimal result in the sense that the existence of wave operators breaks down if min (gamma-1, gamma-2) less-than-or-equal-to 1. The case where 1 &lt; gamma-1 &lt; gamma-2 = 2 is also treated according to the sign of lambda-2.

We present exact blow-up solutions to the Cauchy problem for the Davey-Stewartson systems. It is shown that for any prescribed blow-up time there is an exact solution whose mass density converges to the Dirac measure as time goes to the blow-up time and that the solution extends beyond the blow-up time and behaves like the free solution as time tends to infinity.

In this paper we discuss the Cauchy problem for the derivative nonlinear Schrodinger equation: i partial derivative(t)psi + partial derivative(x)2-psi + 2i-delta-partial derivative(x)(\psi\2-psi) = 0, psi(0, x) = phi(x), where delta not-equal 0. Under an explicit smallness condition of the initial data, we prove the unique global existence of solutions to this problem in the usual Sobolev spaces, in the weighted Sobolev spaces, and in the Schwartz class. We describe the smoothing effect in detail. Furthermore, for the data decaying exponentially at infinity we prove that the above equation has unique local solutions which are analytic in the space direction.

We consider the scattering problem for the nonlinear Schrodinger equation in 1 + 1 dimensions: i(partial)t(u) + (1/2)partial2u = lambda\u\2u + mu\u\p-1u, (t,x)epsilon-R x R, (*) where partial = partial/partial(x), lambda-epsilon-R\{0}, mu-epsilon-R, p &gt; 3. We show that modified wave operators for (*) exist on a dense set of a neighborhood of zero in the Lebesgue space L2(R) or in the Sobolev space H-1(R). The modified wave operators are introduced in order to control the long range nonlinearity lambda\u\2u.

A discrepancy between classical and quantum scattering for Stark Hamiltonians is shown to exist for slowly decaying potentials. Let H0 = -(1/2) DELTA + x1 and H = H0 + V (x) on L2 (R(n)). For V (x) approximately c\x\-gamma, 0 &lt; gamma less-than-or-equal-to 1/2, as \x\ --&gt; infinity, the usual quantum wave operators between H0 and H do not exist. In classical one-dimensional scattering the classical wave operators exist and are asymptotically complete for the corresponding classical problem for V (x) = O (log (1 + \x\))-alpha), alpha &gt; 1, as x --&gt; - infinity.

The formation of dispersion with finite velocity of quantum states is described in detail. To be more specific, we prove the invariance of the domains D(\x\m) intersection D(\p\m), m is-an-element-of N, and of their topologies under the Schrodinger evolution group {e(-itH)}, where we denote by x and p the position and momentum operator, respectively. Moreover, we give a characterization of invariant subspaces under unitary groups in a rather general setting.

非線型シュレディンガー方程式の連立系に対して、ラグランジアンを具体的に書き下す事に成功した。このラグランジアンの導入により、シュレディンガー方程式の連立系における質量共鳴の解析力学・ラグランジュ幾何からの把握が系統的に出来るようになり、二次の相互作用における波動函数の複素共軛の存在が便宜的・形式的に必要だったのではなく、その役割が本質的である事が説明可能となった。また、質量共鳴に伴う単色波振動因子の持つ位相変調により得られる楕円型方程式系を変分問題として定式化し、空間次元に関して2次元以上5次元以下ではコンパクト性及び再配列理論を用いる事により、また、コンパクト性の失われる6次元では、スケーリングの議論を用いる事により、その基底状態の存在（本質的な）及び一意性を示す事が出来た。更に、質量共鳴条件下で初期データの大きさを任意に小さく取っても解の爆発現象を生み出す相互作用を、ホップ・コール型の変換に基づいて具体的に書き下す事が出来た。更に、質量共鳴条件に現れる質量比と爆発時刻のオーダーとの密接な関係を、初期データの大きさの観点から見出した。また、初期データが空間遠方で指数函数的に減衰している場合に、質量共鳴条件下で時刻 t ≠ 0 となった途端、解が解析的になるという現象、即ち、解析的平滑効果を証明した。同時に、連立系の波動函数の収束半径に相当するパラメータの比が質量共鳴条件に現れる質量比と一致することも見出し、質量共鳴と解の解析性との関係に関し、新たな知見を得た。

マリンライザーと呼ばれる海底から石油を移送するために, 基地から海底へ垂直に下したパイプの，深さ x に於ける水平方向方向の変位を u(x) とした時の u(x) の満たす方程式（ riser equation）は次の，ダンピング項 a u_t を持つ4階の準線形波動方程式で与えられる．
u_tt + a u_t + 2b u_xxxx - 2[(c x+d) u_x]_x + (b/3) [(u_x)%3]_xxx - 2[(c x+d) (u_x)%3]_x - b [(u_xx)%2 u_x]_x = 0, 0<x<L, 0<t<T,
u(0,t) = u(L,t) = u_xx(0,t) = u_xx(L,t) = 0, 0<t<T, u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x), 0<x<L.
この方程式の形式解に対しては，次のエネルギー保存則が成り立つことが示される．
E(u(t),v(t)) = E(u_0,u_1) + [(v)%2 の (0,L)x(0,t)上の積分 ]， v(t) = u_t(t),
E(u,v) = [ (b/2)(u_x u_xx)%2 + (c x+d) (u_x)%2 + (1/4)(c x+d) (u_x)%4 + b (u_xx)%2 ] の (0,L) 上の積分．（ここで，u_x, u_xx, u_t は x, t に関する偏微分，(u)%n は u の n 乗を表す．）しかしながら，方程式には u に関する空間2階微分 u_xx の 2乗 という非線形項が含まれるため，エネルギー保存則だけでは，弱解の構成が極めて困難であった．ここでは，この方程式に強減衰項 εu_xxxxt を加えた緩和問題を考え，解の存在のための第一歩である，アプリオリ評価を導出した．

物理現象を記述するモデル方程式として、場の古典論、流体力学、プラズマ物理をはじめ様々な分野に現れる重要な非線型楕円型偏微分方程式について、今まで個別に用いられることの多かった変分解析、非線型常微分方程式、粘性解理論の手法を総合的に駆使することにより、定在波の安定性や爆発現象を深く説明する方法論を確立し、さまざまな応用を見出した。

藤田型の非線型熱伝導方程式の初期値問題の正値解の爆発現象について研究した。解が爆発する事は約半世紀前の藤田宏の先駆的研究以来良く知られており、最近では爆発解の形状などの空間的挙動についても精密な研究が行われている。本研究では、爆発時刻が初期データの球面平均を用いて特徴付けられる事を示した。Lee とNi の結果(Trans.AMS, 1992)およびGui とWang の結果(JDE, 1995)で課されていた一様性と等方性の仮定を外し、爆発現象が常微分方程式的構造に支配されてる様子を明らかにした。

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

非線型問題の研究を変分的手法により行った. 特に(1) 非線型シュレディンガーおよびその連立系に対する特異摂動問題に関して凝集解の変分的構成を行い, 非常に一般的な設定の下でその存在を示した. (2) 非線型楕円型方程式 (系) の解の存在を種々の設定の下で扱い, 解の新しい変分的構成を与えた. また解の安定性, 不安定性の研究を行った. (3) 空間次元 1 の特異摂動問題においては高振動解の特徴付けと存在結果を与えた.

非線型波動場の数学的構造の解明を目指し、古典場と量子場に関する様々なモデルについて数学的な研究を行い、自己相似場の数学的理論、ディラック行列の表現の変換と保存量との代数的特徴付け、正準交換変換の弱ワイル表現の構成理論、散乱の順問題と逆問題について新しい理論を構築した。

(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。

1.Sobolev-Lieb-Thirring不等式を一般化し,重みの付いた形で不等式を証明した.またこの結果を用いて,更に重み付きL-^p Sobolev-Lieb-Thirring不等式が成り立つことを証明した.この重み付きL-^p Sobolev-Lieb-Thirring不等式の結果は,重みの付いていないL-^p不等式の形のものでも,従来には無かった新しい結果である.2.重み付きTriebel-Lizorkin空間において,ウェーブレットがgreedy基底を成すことを証明した.またこのことを用いて,重み付き空間の非線形近似による近似空間を決定した.これらのgreedy基底に関する結果は,信号解析や画像解析に応用できる可能性がある.3.重み付きのHerz空間のウェーブレットによる特徴付けを求めた.同様の重み付きRerz空間についてのベクトル値型の不等式については,Tang-Yangの結果があるが,彼等の結果における重み関数についての条件には誤りがある.そこで彼等の結果を修正した形で,重み付きのHerz空間のウェーブレットによる特徴付けを与えた.4.ポテンシャル付きの非線型楕円型方程式の解の減衰評価を重み付き関数空間で考察し,減衰評価に於ける重みのクラスをポテンシャルによって特徴付けた.また様々な分散型方程式の小振幅解の大域的存在に関する研究を行った.修正ブシネスク方程式,改良ブシネスク方程式,半相対論的ハートリー方程式を始めとする様々な分散型方程式の小振幅解の大域的存在を,対応する基本解の振動積分の評価に基づいて証明した.5.主要部がp調和作用素を含む準線形退化楕円型方程式において,右辺に強い非線形項を持つ場合における特異解の存在性やその性質を詳しく研究した.特に特異解において線型化された(退化楕円型)作用素の解析を行い,最小固有値の非負性とハーディー型不等式との間係などを明らかにした

介在物、空洞、亀裂などの媒質の不連続性や材料係数の同定に関する逆問題の逆解析手法の研究を行った。媒質の不連続性の同定に関しては、probe methodとenclosure methodの改良と完成を目指した。特にprobe methodに不可欠な一意接続定理と反射解の解析について研究した。その結果、probe methodの理論的な研究は、ほぼ完成したといえる。enclosure methodについては、その構成が難しい複素幾何光学解に替えてより容易に構成可能な振動・減衰解を用いることにより囲い込み法の適用範囲を広げた。また、probe method, enclosure method, singular source method, no response testなどの境界値逆問題の再構成手続きは、すべてno response testに包括でき、probe methodとsingular source methodはまったく同じものであることが分かった。散乱の逆問題については、有名なlinear sampling methodとよばれる再構成手続期が持つ困難を解消する2種類の新しい再構成手続きを見出した。さらに放物型方程式の不連続係数同定逆問題に対して探針法を研究し、空間1次元の場合に不連続性同定の再構成手続きを与えることに成功した。双曲型程式の不連続係数同定逆問題に対して代田氏が開発した数値計算手法の数学的な枠組みを作った。材料係数の同定の逆問題に関しては、残留応力の非破壊検査法の数学的な解析手法と鉄・コンクリート接合梁の損傷同定について研究した。前者に対しては、非斉次非等方弾性体の表面波の分散公式を導出と残留応力同定への応用を試みた。後者に対しては、周波数応答関数を使って、損傷を同定する逆解析手法を確立した。また、非線形波動方程式の係数同定逆問題について研究した。Dirichlet-Neumann写像の線形化を行い、それを用いれば係数の2次までの非線形項を求めることが可能との知見を得た

本研究では、非線型シュレディンガー方程式やKdV方程式を始めとする非線型分散方程式、非線型波動方程式や非線型クライン・ゴルドン方程式を始めとする非線型双曲型方程式、および非線型ディラック方程式の様な方程式系について、相互作用の幾何学的・解析学的研究を通して、解の様々な時空大域的振舞いを解明する事が出来た。
非線型シュレディンガー方程式では、空間3次元、反撥型非線型項の下でエネルギー散乱の漸近完全性を証明した。データが小さい場合の散乱理論については、空間次元、ソボレフ指数、非線型項の斉次冪の三者間の成す臨界等式の下で成立する事が、非線型シュレディンガー方程式の場合には良く知られていたが、本研究では斉次冪でない場合にも拡張できる事を示した。この考え方を推し進めて、小さなデータで非斉次相互作用の場合の散乱理論を非線型波動方程式、非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型シュレデインガー方程式、非線型ディラック方程式について、統一的に論じる事に成功した。
本研究では、シュレディンガー方程式の様な非相対論的方程式を相対論的方程式の光速無限大に於る極限方程式と見做す為の数学的基礎づけも行なった。特にクライン・ゴルドン複素スカラー場に位相変調とスケール変換を施し光速を無限大にした場がシュレディンガー場である事をエネルギー空間H^1(R^3)の枠組で証明した。同様な試みは、ディラック場でH^3(R^3)【cross product】C^4(s>1)の枠組で完成したが、臨界の場合(s=1)ではどうなるのか現在の所不明である。
また、スケール不変性を持つ波動場は、ミンコフスキ空間で特別な幾何学的特徴を持っているが、解析的には原点、無限遠点、光錐曲面上の特異性によりその取扱いが大変困難であった。本研究では、その困難を時空の重み付き弱ルベーグ空間を導入する事で効率的に制御する事が出来た。

本研究においては,ウェーブレツト型の関数列であるFrazier-Jawerthのψ-変換を用いた重み付き関数空間の特徴付け,及びその偏微分方程式への応用を研究した.当初の研究目的である多重線型作用素の研究を完成することはできなかったが,本研究の手法を用いて,負のポテンシャルを持つSchrodinger作用素の負の固有値のモーメント和に関するLieb-Thirringの定理の一般化を得た.この結果は,Schrodinger作用素におけるラプラシアンをある高階の退化楕円型作用素に置き換えた形の結果であり,Egorov-Kondrat'evの定理の一般化である.証明には,負の固有値の個数の評価に関するCwikel-Lieb-Rozenbljumの不等式の一般化が用いられる.また低次元の場合に,高次元の場合とは異なる手法を用いて,Lieb-Thirringの定理の一般化を証明することができた.この低次元の場合にはCwikel-Lieb-Rozenbljumの不等式の一般化が使えないので,従来の方法とは異なる計算法を考案した.すなわちある条件を満たすdyadic cubes上における積分の評価と,作用素の固有値に相当する量との関連が重要となる.また類似の手法を用いて,Sobolev-Lieb-Thirringの不等式の一般化を証明した.この結果は,従来の不等式に重みを付けた形のものであり,Ghidaglia-Marion-Temamの定理あるいはEdmunds-Ilyinの定理の一般化である.証明は前述のLieb-Thirring不等式の一般化と同様であるが,必ずしも作用素と関連付けないために異なる計算法が必要となる.この結果は非線型方程式のアトラクターの次元を評価する問題での応用が期待される

新井は負曲率多様体上の調和解析の研究を進めた.Mを完備単連結リーマン多様体でその断面曲率K_Mが-∞<-κ^2_2【less than or equal】K_M【less than or equal】-κ^2_1<0をみたすものとする.ただしここでκ_1>0,κ_2>0は定数である.このような多様体上のラプラシアンをはじめある条件をみたす2階楕円型調和関数の境界挙動,Hardy空間,BMO, Carleson測度,Greenポテンシャルに関する結果をえ,負曲率多様体上の調和解析の基礎理論を築くことに成功した.またこの中の幾つかの結果はL^∞でも成り立つことがわかったが,まだ係数に滑らかさを課している結果もある.この条件をはずすことが当面の課題である.さらにこれらの結果を用いて退化楕円型調和測度の問題の研究を行なった.,小澤は非線型シュレディンガー方程式非線形波動方程式,非線型クライン・ゴルドン方程式.,非線型ディラック方程式の初期値問題・散乱問題を中心に函数空間論・調和解析学的手法を用いて研究し,新たな結果を得た.谷島はシュレーディンガー作用素に対する散乱理論における波動作用素のソボレフ空間W^<k,p>における有界性の研究し,さらにシュレーディンガー方程式の基本解,すなわち時間発展作用素e^<-itH>の超関数核E(t,x,y)の性質に関して従来の研究を発展させ新たな結果を得た.勘甚は,ハーディ空間に属する関数のフーリエ係数に関して成立つペーリーの不等式を,ヤコビ展開の係数に関して示し,ハウスドルフ作用素の有界性を指数pが1より小さい実ハーディー空間に対してある種の条件の下で示し,そしてこの系として,チェザロ作用素の有界性を,2/3<,p<1の場合に得た.
なおこれらの結果は論文として発表された.その主なものは裏面に記してある.

非線型波動方程式,非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型シュレディンガー方程式をはじめとする非線型双曲型及び分散型方程式をモデルとして非線型場の数学的実在の証明及びその本質を成す数学的機構の解明について研究した.特に一般論の論じ難い大域理論に焦点を当て函数解析学,調和解析学的手法を主に駆使して研究した.上記三つの方程式については小さなデータによる散乱理論を非負実数階数をもつソボレフ空間に於いて完成させ同時に対応する臨界非線型性を完全に決定した.非線型シュレディンガー方程式の大域解の長時間的挙動を決定する問題については空間三次元に対して二次の非線型性が臨界でありこれが肯定的に解決されるか否かは20年来の問題であったがゲージ不変でなければ肯定的に解決した.ゲージ不変なものについては擬共型保存則と時間に関するローレンツ空間による枠組で矢張肯定的に解決済だが論文は投稿中である.その他ブルガンの創始したフーリエ制限ノルム法を発展させ非線型波動方程式の解の滑らかさの研究を深めた.クライネルマン・マケドン流の零型式の理論を非線型シュレディンガー方程式,弾性体の方程式に対して構築した.

当研究では準線形-階偏微分方程式の解曲面の特異点や空間次元-次元の場合のHamilton-Jacobi型方程式の粘性解のgenericな分岐の分類と言う当初の目的のうち低次元の場合をほぼ達成した。また単独保存則の方程式のエントロピー解の衝撃波の分岐を記述するための準備として幾何学的枠組みを構成し多価解の局所的分類を行った。また、粘性解の理論を、非局所的効果を含む退化方物型方程式(2階)に、空間-変数の場合であるが、粘性解の理論を拡張することに成功した。この理論はファッセト面を持つ結晶成長問題の記述に重要である。またリーマン幾何的な見地から可積分測地流を持つリーマン多様体の構造を詳細に調べ多くの新しい例をあたえた。さらに、3次元空間における回転対称領域の場合に、ギンツブルグランダウ方程式の安定解の存在を示し特異摂動領域において単独半線形放物型方程式の定常解の不安定多様体および局所不変集合の特徴付けを行った。一方、シンプレクテイック多様体へのコランク1以下のアイソトロピック写像の空間に対するトム・マザ-型の横断性定理を証明し、ある種の加群を用いて、アイソトロピック写像のシンプレクチック安定性とラグランジュ安定性のマザ-型およびア-ノルド型特徴付けを与えた。位相幾何的な成果としては、超楕円写像類群の有限体上のコホモロジーを計算する新しい初等的な道具を開発した。これらの成果は幾何学と解析学が有機的に関係しあう境界領域に関する成果であり、今後具体的にそれらの関係を通し方程式に応用していく事が望まれる。

非線形のSchrodinger方程式、Klein-Gordon方程式で長い有効距離をもつ相互作用系を散乱問題および初期値問題として扱った。これら古典場の偏微分方程式は場の量子論の正当性を根底で支える理論的拠り所であるばかりでなく非線型偏微分方程式の理論体系から見ても重要な数学的対象である。非線型効果の長時間的影響には方程式のもつ様々な個性が関与する為既存の一般論では的確に取扱えないという困難を常に内包している。特に時空1+1次元の三次非線型性或いは1+2次元の二次非線型性は物理的にしばしば現れるモデルであるが時間無限大においてその波動函数は漸近自由解には収束しない。これは漸近自由解を立脚点とする従来の非線型散乱理論においては深刻な問題であり1970年代に始まり現在に至る迄少しずつ認識されてきた経緯がある。一般的に云ってこの問題は低次元空間における低次非線型性をもつ偏微分方程式に数多く起こり物理的には波動函数の位相因子の歪みとなって現れる。さて上記問題を合理的に解決せよというのがReadの問題であり長年に亘り未解決であった。研究代表者はまずFlato-Simon-TaflinのMaxwell-Dirac系を扱った研究を手掛りとし上記問題を空間一次元のSchrodinger方程式について解決した。次いでその理論の高次元化に取組みGinibreとの共同研究にてこれを成功させた。同様の試みはKlein-Gordon方程式についても成功するものと思われるが現在の所完成していない。但し空間二次元の二次非線型性の相互作用系についてはその数学的機構はほぼ明らかとなった。具体的には波動函数のもつ光円錐状での特異性発生の構造をポワンカレ群の生成作用素のなす不変ソボレフ空間にて解析的に記述することに成功し位相因子の歪みの統制が可能であることを示した。

分散性媒質中を複数個の波が伝播するとき,これらの波の間で振動数と波数または速度に関する共鳴条件が満たされるとエネルギー授受を伴う強い共鳴相互作用が発生する。このような相互作用の一つとして波長のスケールが極端に異なる二種類の波の間で起こる長波短波相互作用がありプラズマ波,表面張力重力波,密度成層流体,二層流体等多くの系で観測される。この共鳴現象を記述する簡単なモデルとして知られている非線型シュレディンガー方程式と波動方程式との連立系を研究した。特に以下の成果を得ることができた。
(1)共鳴方程式の線型化作用素に付随する振動積分の有界性が成立する函数空間を導入した。
(2)共鳴方程式の非線型項に現われる一階微分の因子が引起こす「微分の損失」が発生する状況を(1)との関連で分類した。
(3)共鳴方程式に対して縮小写像の原理が適用可能な枠組を設定した。その結果共鳴方程式を函数解析的に取扱うことに成功した。同時に非線型項の結合定数が可解性には影響しないことを示すことができた。従って従来より行われてきた逆散乱法による取扱いが如何に問題を限定していたかという事情を広い視点から説明することができた。また数値実験で実証されていた共鳴方程式の示すカオス現象の理論的解明についても研究を行った。その結果波のもつ滑らかさはソボレフの意味では少なくとも1/2の指数で時間的に安定であることが証明できた。一次元空間でソボレフ指数の1/2は臨界指数に相当するので現象としてはカオス的側面をある程度把握したことになったと考えられる。

結晶成長時における結晶表面の運動は相境界(界面)の運動の典型的な例である。この現象は非平衡、非線形現象として学際的に注目されている。相境界の運動方程式の中で重要な族として界面支配モデルがある。これはバルクでの熱拡散・質量拡散が無視でき、界面の運動が、その幾何学的形状によってのみ決定される場合をいう。表面エネルギーがなめらかでなく、界面にファセットの現れる現象が例えば極低温ヘリウムの結晶成長に現れる。このような状況では、運動を支配する方程式が非局所項をもち記述しにくく従来は、界面の運動のクラスを限定することによって成長法則を記述していた。これに対して偏微分方程式と同じ立場で扱える定式化が研究代表者によってなされた。それは、非線形半群論を用いるもので今日Fukui-Gigaの定式化と呼ばれている。この定式化により、いわゆるクリスタライン・エネルギーを表面エネルギーとする曲線の運動が滑らかな異方的エネルギーによる運動の極限として理解できることが示された。
異方性のある表面エネルギーによる運動については、自己相似的に縮む解が存在するかどうかが重要である。等方的表面エネルギーによる運動の場合、外場がなければ支配方程式は、有名な曲線短縮方程式になり自己相似解は円またそれに限ることが知られていた。しかし、その一意性の証明は初等的でないので研究代表者は初等的な証明を与えた。一方異方性のある表面エネルギーによる運動についても自己相似解の存在を初等的な方法で示した。ただ一意性については、成長法則が曲線の向きづけによらない場合のみしか示せなかった。
以上は、主に非線形放物型方程式の重要な例の研究である。研究分担社は、分散現象を記述する非線形シュレディンガー方程式の解の時間無限大についての漸近挙動の解析を行ない、線形現象としては扱えない非線形効果を発見した。

Stark効果をもつSchrodinger作用素に対する数学的散乱理論は1977年のAvron-Herbst及びVeselic-Weidmaunの独立した共同研究によりその短距離理論が完成したがこの理論の適用限界となるポテンシャルのクラスを特定することについては未解決点を残していた。この問題に関するVeselic-Weidmann予想について研究代表者は1991年に肯定的解答を与えStark効果の下での短距離力と長距離力との分類について明確な指針を与えた。次いでJensenとの共同研究においてこの量子力学的分類が古典力学的分類と対応しないことを証明しStark効果の下では形式的対応原理が破錠することを示した。Stark散乱の長距離理論は上記二つの仕事をもって始まった。White,Yajima,Jensen,Grafらによる各々独自の長距離理論が構築されそれに付随した変形波動作用素も次々に提案されたが対応原理の破錠を合理的に解消したものはGrafによるものであった。研究代表者はJensenとの共同研究においてGrafの変形波動作用素の存在の為の必要十分条件をポテンシャルの減衰度で特徴づけ対応原理の破錠に対する合理的説明を完全な形で行うことに成功した。

非線型のシュレディンガー方程式やクライン・ゴルドン方程式に代表される古典場の偏微分方程式は場の量子論の正当性を根底で支える理論的な拠り所であるばかりでなく非線型偏微分方程式論全般からみても重要な数学的対象である。本研究に於てはこれらの代表的な方程式に対する散乱問題を扱った。不思議なことに物理に登場する重要な方程式の多くは解の漸近解析に関し既存の数学的一般論では丁度扱うことの出来ない境界に位置する。具体的に云えば1+1次元の三次非線型性や1+2次元の二次非線型性に従う場は時間無限大に於て漸近自由場にはならない。本研究では線型理論との類推から位相の歪みを記述するドラ-ド型の修正漸近自由場とは如何に定義されるべきものであるかという問題の考察から始まりその修正漸近自由場に収束する解を構成せよという問題を最終的に解くという定式化に基づいて非線型遠距離散乱の理論の基礎を確立した。位相函数はフーリエ変換を媒介とし擬微分作用素として導入されるべきものである一方元の方程式に戻って考察すればある種のハミルトン・ヤコビ方程式を満足することが必要となる。この厳密解として位相函数を定めるのも一方法であるが本研究では漸近状態によって具体的に表し得る近似解を導入し時間無限大での近似度を非常に取扱い易い条件に置き換えた。修正波動作用素はこの修正漸近自由場に対する摂動方程式と見做される特異積分方程式を縮小写像の方法で解くことによって定義される。非線型散乱問題に於てこのようなプログラムを提出し実際に解いてみせたのは始めての試みであった。更にこの方法は応用が広いことも確認されその他の方程式にも適用できることが解明されつつある。

キャビテーション，衝撃波の伝播，多成分流体，大気の循環などの流体解析では，ミクロとマクロの境界で発生するマルチスケール現象や非平衡系の数学的解析が重要である．本研究では，複雑流体のモデリング，マルチスケール構造の解明と数学解析手法の確立を目的とする．2016年度は，モデリング，数学解析と応用に分けて研究を推進した．流体のモデリングについては，有限自由度の離散的な非平衡熱力学系についての変分的な定式化を行った．また，キャビテーション気泡と気泡クラウドに関する実験，レイリー・ベナール対流の解析を中心に行った．数学解析としては，ナビエ・ストークス方程式，オイラー方程式，非線型シュレディンガー方程式をはじめとする非線型発展方程式の初期値問題の時間大域解の存在を保障する先験評価に重要な役割を果たす対数型ソボレフ埋蔵に就いて研究し，放物型方程式に対してはその散逸構造に因り通常のソボレフ埋蔵の枠組で閉じている事を明らかにした．また，非圧縮粘性流体の自由境界問題を有界領域の場合に考察し、時間局所解の一意存在と時間大域解の一意存在及び解の漸近挙動を示した．さらに，複数の保存量を持つ微視的な系から非線形流体力学揺動理論を経て導かれると予想される，多成分 KPZ 方程式について考察し，殆ど全ての初期値に対し方程式は大域的適切性を持つことを示した．また，質量保存アレン-カーン方程式にノイズを加えて得られる確率偏微分方程式について，極限で確率的摂動を持つ質量保存平均曲率運動が導かれることを示した．数値解析として，準離散化方程式の対称性と保存則を研究し，ネーター定理を導き，高階の場の理論のために，マルチシンプレクティック構造の研究を行った．非線形力学の応用として，ミクロスケールでの高分子鎖の捩れ運動から生じる幾何学的位相を見出し，回転型分子モーターの回転軸運動の粗視化モデルに適用した．概ね順調に進んでいるが，研究代表者と分担者４名で研究内容が多岐に渡るため，全体のまとまりを考えて，本来の研究目的に沿って組織的に研究を遂行する必要があると考えている．複雑流体のモデリングについては，連続的な非平衡系としての変分的定式化の確立，レリー・ベナール対流の解析，気泡クラウドのマクロモデルの構築，確率的な気泡ダイナミクスの変分的定式化と解析を中心に進める．数学解析では，部分積分に依る時間発散型の高次繰り操みエネルギーとブレジス・ガルエの論法を駆使し，半相対論的方程式の高次相互作用が数学的に実現されるかどうか，検討する．また，２相流問題の考察を行い，まずは非圧縮・非圧縮の２相問題についての有界領域で外側の境界条件が自由境界条件の場合を考える．つづいて，一方が有界領域、外側がその補集合である全空間での２相問題を考え，この時間局所解，時間大域解、解の漸近挙動を示す．さらに，多成分KPZ方程式について，カップリング定数が3重線形性を満たさない場合の不変測度の研究，大規模相互作用系からのKPZ方程式の導出を目指した研究，ノイズ項が空間変数にも依存する確率アレン-カーン方程式や確率的平均曲率運動に関する研究などを進める．数値解析については，マルチシンプレクティック構造の研究を続け，流体力学への応用，特に拘束を含む系への応用を考え，離散的ディラック構造の研究も進行する予定である．非線形力学の応用として，高分子鎖の捩れ運動から生じる幾何学的位相の効果を，ベン毛微生物の遊泳機構の解明に応用する．できるだけ，分担者からの使用ができるだけ均一になるように早めの確認と連絡をしたい．また，大学院生による研究調査や協力のための謝金にも利用したい

計算流体力学研究班の手法で簡単化された乱流モデルの構築，小さなスケールの流れの解析がかなりの精度で実現された．数学解析研究班の手法により，大きなスケールの乱流の普遍原理の確立がなされ「流れの数理」に成果をもたらした．「ナビエ・ストークス方程式大きなデータに対する時間大域的適切性」について，部分的ではあるが本質的な進歩が得られた．特に非線形偏微分方程式の手法を用いて大きなデータの解析が実行され，大きなレイノルズ数を扱うことがある程度可能となった．本研究により，乱流の解明に迫る現代解析学と計算科学の手法による「流体数学理論」が構築されつつある

非局所項を伴う非線形楕円型方程式に対して特異摂動問題を中心に研究を行った. 一般的な非線形項を伴う場合を S. Cingolani 氏と共に研究を行い, ポテンシャル関数の極小点に凝集する解を構成すると共に, ポテンシャル関数の極小点集合の位相的性質 (cup length) により凝集解の個数を下から評価することに成功した. このような凝集解の存在結果は局所問題である非線形シュレディンガー方程式の場合に S. Cingolani 氏, L. Jeanjean 氏と共に極限方程式に対して一意性, 非退化性を仮定せずに求めているが, 今回得られた結果はその非局所問題に拡張したものである. ここでは単に結果を拡張するのみではなく, Moroz と Van Schaftingen により提示された locally sublinear case での特異摂動解の存在問題に対して肯定的な解答を与えることに成功している.
非線形シュレディンガー方程式に対する L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) に関しては Langrange formulation を用いた新たなアプローチの開発に成功した. このアプローチは古くからある制限付き変分問題に対する方法に Pohozaev の等式関連したスケーリングの手法を加味したものであるが, 従来行われてきた sub additivity 不等式を用いた方法と比べると非常に柔軟な方法であり, 非常に一般的な設定で非線形項が奇関数の場合に無限個の解が生成できる等応用の幅も大きい. この手法は非線形 Choquard 方程式等の非局所項を含む非線形問題に対する L2-制限問題へのアプローチも可能にすると思われ, さらなる発展が期待される.
なお, 研究分担者, 小澤は semi-relativisitic シュレディガー-ポアソン-スラッター方程式の ground state に関する結果, 連携研究者 生駒は非局所問題である fractional ラプラシアンをもつスカラーフィールド方程式に関する結果を得ている.

一般領域上のポワンカレの不等式とその証明に就いて再考すると共に、幾つかの一般化を与える。

The existence of classical paths is shown to be realized as a minimizer of the action of the Lagrangean. The optimal bound on the time intervals for uniqueness of classical paths is also given. This talk is based on my recent jointwork with Kazuki Narita.

A class of self-similar solutions to the derivative nonlinear Schr"odinger equations is studied. Especially, the asymptotics of profile functions are shown to posses a logarithmic phase correction. This logarithmic phase correction is obtained from the nonlinear interaction of profile functions. This is a remarkable difference from the pseudo-conformally invariant case, where the logarithmic correction comes from the linear part of the equations of the profile functions. This talk is based on my recent jointwork with Kazumasa Fujiwara (Tohoku) and Vladimir Georgiev (Pisa).

微分型相互作用をもつ非線型シュレディンガー方程式の自己相似解の構成法を説明する。

A class of self-similar solutions to the derivative nonlinear Schr"odinger equations is studied. Especially, the asymptotics of profile functions are shown to posses a logarithmic phase correction. This logarithmic phase correction is obtained from the nonlinear interaction of profile functions. This is a remarkable difference from the pseudo-conformally invariant case, where the logarithmic correction comes from the linear part of the equations of the profile functions. This talk is based on my recent jointwork with Kazumasa Fujiwara (Tohoku) and Vladimir Georgiev (Pisa).

A class of self-similar solutions to the derivative nonlinear Schr"odinger equations is studied. Especially, the asymptotics of profile functions are shown to posses a logarithmic phase correction. This logarithmic phase correction is obtained from the nonlinear interaction of profile functions. This is a remarkable difference from the pseudo-conformally invariant case, where the logarithmic correction comes from the linear part of the equations of the profile functions. This talk is based on my recent jointwork with Kazumasa Fujiwara (Tohoku) and Vladimir Georgiev (Pisa).

An elementary and explicit approach to the Cauchy problem for the transverse wave equation is given in the framework of evolution equations. References S. Alinhac, "Hyperbolic Partial Differential Equations," Springer, 2009. L. Hörmander, "Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations," Springer, 1997.

We rewrite the standard Hardy inequality in the form of an equality with radial derivative in $ \mathbb{R}^n$ for $n \geq 3$. Then we present another Hardy inequalities with radial and spherical derivatives in $ \mathbb{R}^n$ for $n \geq 2$. We also discuss those optimality and nonexistence of nontrivial extremizers.

This talk is based on my recent jointwork with Kazumasa Fujiwara, Scuola Normale Superiore di Pisa. We give a sharp upper bound of lifespan of blowup solutions to the Cauchy problem for a generalized derivative nonlinear Schrödinger equations with periodic boundary condition.

We rewrite the standard Hardy inequality in the form of an equality with radial derivative in $ \mathbb{R}^n$ for $n \geq 3$. Then we present another Hardy inequalities with radial and spherical derivatives in $ \mathbb{R}^n$ for $n \geq 2$. We also discuss those optimality and nonexistence of nontrivial extremizers.

Hardy inequalities are studied in view of both radial and angular derivatives in the framework of equalities.

Hardy inequalities are studied in view of both radial and angular derivatives in the framework of equalities.

An explicit lifespan estimate is presented for nonlinear Schr"odingerequations on one-dimensional torus. This talk is based on my recent joint-work with Kazumasa Fujiwara (JSPS fellow, PD).

An explicit lifespan estimate is presented for nonlinear Schr"odingerequations on one-dimensional torus. This talk is based on my recent joint-work with Kazumasa Fujiwara (JSPS fellow, PD).

We revisit Kato’s theory on Landau-Kolmogorov (or KallmanRota) inequalities for dissipative operators in an algebraic framework in a scalar product space. This is a joint-work with Masayuki Hayashi.

This talk is based on a recent joint work with Kazuya Yuasa, Department of Physics, Waseda University. We study the Schrödinger–Robertson uncertainty relations in an algebraic framework. Moreover, we show that some specific commutation relations imply new equalities, which are regarded as equality versions of well-known inequalities such as Hardy's inequality.

Fractional Leibniz estimates with appropriate correction terms are introduced for homogeneous fractional derivatives of order larger than or equal to one. Those fractional Leibniz estimates have the flexibility in arbitrary redistribution of fractional derivatives in the corresponding bilinear estimates. The method of proof depends on the Coifman-Meyer theory. This talk is based on a recent joint-work with Kazumasa Fujiwara and Vladimir Georgiev.

This talk is based on a recent joint work with Kazuya Yuasa, Department of Physics, Waseda University. We study the Schrödinger–Robertson uncertainty relations in an algebraic framework. Moreover, we show that some specific commutation relations imply new equalities, which are regarded as equality versions of well-known inequalities such as Hardy’s inequality.

We give an explicit upper bound of life span of solutions to non gauge invariant nonlinear Schrödinger equations on n-dimensional tours. This talk is based on a recent joint work with Kazumasa Fujiwara.

量子力学の基礎を担う不確定性関係を、等式の形で記述する。 更に、具体的な作用素の交換関係に適用し、新しい等式を生み、それらがハーディの不等式をはじめとする良く知られた不等式の等式版と見做される事情を説明する。この内容は湯浅 一哉 教授（早稲田大学先進理工学部物理学科）との共同研究に基づくものである。

We give an explicit upper bound of life span of solutions to non gauge invariant nonlinear Schrödinger equations on n-dimensional tours. This talk is based on a recent joint work with Kazumasa Fujiwara.

We revisit Kato’s theory on Landau-Kolmogorov (or KallmanRota) inequalities for dissipative operators in an algebraic framework in a scalar product space. This is a joint-work with Masayuki Hayashi.