小澤　徹 (オザワ　トオル)

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所属

理工学術院 先進理工学部

職名

教授

ホームページ

http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html

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兼担 【 表示 ／ 非表示 】

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

  • 理工学術院   大学院先進理工学研究科

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学内研究所等 【 表示 ／ 非表示 】

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

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学歴 【 表示 ／ 非表示 】

  • 1988年03月
    -
    　

    京都大学大学院理学研究科数理解析専攻博士課程 中途退学  

  • 1986年04月
    -
    　

    京都大学大学院理学研究科数理解析専攻博士課程 進学  

  • 1986年04月
    -
    　

    京都大学大学院理学研究科数理解析専攻博士課程 進学  

  • 1986年03月
    -
    　

    京都大学大学院理学研究科数理解析専攻修士課程 修了  

  • 1986年03月
    -
    　

    京都大学大学院理学研究科数理解析専攻修士課程 修了  

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学位 【 表示 ／ 非表示 】

  • 京都大学（1990年03月）   理学博士

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経歴 【 表示 ／ 非表示 】

  • 2008年09月
    -
    　

    早稲田大学理工学術院先進理工学部応用物理学科 教授

  • 1995年04月
    -
    　

    北海道大学大学院理学研究科 教授（数学専攻数理解析学講座）

  • 1995年04月
    -
    　

    北海道大学大学院理学研究科 教授（数学専攻数理解析学講座）

  • 1993年04月
    -
    　

    北海道大学理学部 助教授（数学教室位相解析講座）

  • 1993年04月
    -
    　

    北海道大学理学部 助教授（数学教室位相解析講座）

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所属学協会 【 表示 ／ 非表示 】

  • 　
    　
    　

    国際解析・応用・計算学会 (International Society for Analysis, its Applications and Computation)

  • 　
    　
    　

    米国数学会 (American Mathematical Society)

  • 　
    　
    　

    日本数学会 (Mathematical Society of Japan)

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研究分野 【 表示 ／ 非表示 】

  • 基礎解析学

  • 数理解析学

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研究キーワード 【 表示 ／ 非表示 】

  • 数理物理

  • 調和解析

  • 非線型偏微分方程式

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論文 【 表示 ／ 非表示 】

  • Small data scattering of 2d Hartree type Dirac equations

    Yonggeun Cho, Kiyeon Lee, Tohru Ozawa

    Journal of Mathematical Analysis and Applications   506 ( 1 ) 125549 - 125549  2022年02月  [査読有り]

    DOI

  • Zakharov system in two space dimensions

    Tohru Ozawa, Kenta Tomioka

    Nonlinear Analysis   214   112532 - 112532  2022年01月  [査読有り]

    DOI

  • Small Data Scattering of Hartree Type Fractional Schrödinger Equations in a Scaling Critical Space

    Yonggeun Cho, Tohru Ozawa, Changhun Yang

    Funkcialaj Ekvacioj   64 ( 1 ) 1 - 15  2021年04月  [査読有り]

    DOI

  • Uniform Regularity for a Compressible Gross-Pitaevskii-Navier-Stokes System

    Jishan Fan, Tohru Ozawa

    Nonlinear Partial Differential Equations for Future Applications   346   95 - 102  2021年04月  [査読有り]

    DOI

  • Poincaré inequalities with exact missing terms on homogeneous groups

    T. Ozawa, D. Suragan

    Journal of the Mathematical Society of Japan   73 ( 2 ) 497 - 503  2021年04月  [査読有り]

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書籍等出版物 【 表示 ／ 非表示 】

  • The role of metrics in the theory of partial differential equations, Advanced Studies in Pure Mathematics, 85

    Y. Giga, N. Hamamuki, H. Kubo, H. Kuroda, T. Ozawa( 担当： 共編者(共編著者))

    Mathematical Society of Japan  2020年 ISBN: 9784864970907  [査読有り]

  • Advances in harmonic analysis and partial differential equations, Trends in Mathematics

    V. Georgiev, T. Ozawa, M. Ruzhansky, J. Wirth( 担当： 共編者(共編著者))

    2020年 ISBN: 9783030582142  [査読有り]

    DOI

  • Asymptotic Analysis of Nonlinear Dispersive and Wave Equations, Advanced Studies in Pure Mathematics, 81

    K. Kato, T. Ogawa, T. Ozawa( 担当： 共編者(共編著者))

    Mathematical Society of Japan  2019年 ISBN: 9784864970815

  • New Tools for Nonlinear PDEs and Application, Trends in Mathematics

    M. D’Abbicco, M. R. Ebert, V. Georgiev, T. Ozawa( 担当： 共編者(共編著者))

    Birkhäuser  2019年 ISBN: 9783030109363

  • 数理物理学としての微分方程式序論

    小澤徹( 担当： 単著)

    サイエンス社  2016年11月

    　概要を見る

    本書は，主として物理現象を例に取り，現象の本質を記述する言葉である数学の機能が埋め込まれた対象としての微分方程式を論じたものである．本誌の連載「微分方程式を考える－数学は現象を如何に記述しているか」（2014年7月～2016年7月）の待望の一冊化．

    ASIN

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受賞 【 表示 ／ 非表示 】

  • 日本数学会賞春季賞（日本数学会）

    1998年03月  

  • 古河三水賞（古河三水会グループ）

    1984年03月  

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共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 ／ 非表示 】

  • 分散方程式と調和解析学の研究

    国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B))

    研究期間:

    2018年10月
    -
    2023年03月
     

  • 等式の枠組による零形式の時空大域的研究

    挑戦的萌芽研究

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2019年03月
     

    　概要を見る

    零条件(null condition)を満たす特別な相互作用に付随する零形式の時空大域的性質(global properties of null forms in space-time)を振動(oscillation)と特異性(singularity)と直交性 (orthogonality)をキーワードとして、多重フーリエ解析、熱流解析、運動論、変分解析の4つの立場から研究し、既存の理論を等式の枠組に書き換える事により、多重線型ストリッカーツ評価等の不等式を剰余項付きで与え、最良定数と最適化函数のクラスを直接的に特徴付け、一層深い理解を得るとともに、剰余項に潜む高次の零構造を見出す手掛りを探求するのが本研究の目的である。これにより、高次の零条件を満たす特別な相互作用およびそのラグランジアン形式を見出し、スカラー場とゲージ場の新たな相互作用モデルの提案を目指す。

  • 古典場の理論における臨界相互作用の数学解析

    基盤研究(A)

    研究期間:

    2014年
    -
    2018年
     

    　概要を見る

    古典場の理論に現れる非線型偏微分方程式の連立系に関して、 (i) 相互作用の（高次）零構造 (ii) 付随する多重線型積分作用素 (iii) 定在波の三つの対象に焦点を当て、 (a) 漸近解析的方法 (b) 調和解析・実解析的方法 (c) 変分解析的方法 の三つの方法論から総合的に研究し、臨界的相互作用の分類及び特徴付けを通して、解の特異性などの空間局所的理論や解の長時間的挙動の記述などの時空大域的理論に新たな切り口を見出すとともに、厖大な既存の理論を再構築し大きな立場から理解するための全体像を提示する事が本研究の目的である。臨界的相互作用の把握と記述において現れる、調和解析や変分解析における臨界問題も重要な課題として取り組み、さまざまな最良定数の特徴付けや埋蔵定理の臨界問題への波及効果も視野に入れて研究を行う。

  • 変分的手法による非線形楕円型方程式の大域的解析

    基盤研究(B)

    研究期間:

    2013年
    -
    2016年
     

    　概要を見る

    非線形楕円型方程式 (系) に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 非線形シュレディンガー方程式に対する特異摂動問題に関しては, 局所的な変分法によるアプローチを研究代表者田中は J. Byeon 氏と共に開発し, ポテンシャル関数の極大点, 鞍点に凝集する解の構成に成功した. この構成法は非常に広いクラスの非線形項に対して適用可能であり, 従来の Lyapunov-Schmidt
    法による極限方程式の解の一意性, 非退化性を要求する存在結果を大きく拡張するものである. なお, 本年度の研究において 1 点に与えられた数のピークが凝集する multi-peak 解の存在の構成にも成功している. このようなmulti-peak 解の存在は非退化条件なしには証明されていなかったものである.
    常微分方程式の Lagrange 系に対する特異摂動問題に関しては, 高振動解の adiabatic invariant を用いたプロファイルの決定および与えられた admissible なプロファイルをもつ解の構成を P. Felmer 氏, S. Martinez 氏らと共に行い成功した.
    また 2 次の相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系について研究代表者は分担者小澤および林氏と共に研究に取り組み, 初期値問題の局所および大域可解性, さらには定在波解の存在を様々な設定の下で行った. また研究分担者小薗は Lax-Milgram 定理の一般化およびその楕円型方程式系への応用を, また連携研究者足達, 佐藤は準線形楕円型方程式, 非線形シュレディンガー方程式系の解の漸近挙動の研究等を行い, 塩路は非線形楕円型方程式の球対称解の研究を行い, 既存の結果をほぼすべて含む, 球対称解の一意性定理を導いた.

  • 流体現象のマクロ構造とメゾ構造解明のための解析理論の構築

    基盤研究(S)

    研究期間:

    2012年
    -
    2016年
     

    　概要を見る

    (1) 自由境界問題：Navier-Stokes方程式の自由境界問題を線形化して得られるStokes方程式の自由境界条件下での解作用素の R-有界性を半空間のモデル問題についてsurface tensionがついていない場合とついている場合について分けて示した。次に有界領域および一様な非有界領域においてそのレゾルベント評価を行った. さらにここでの手法を半空間の場合の結果を用いて, 有界領域および一様な非有界領域における解作用素の R-有界性を surface tensionがついていない場合に示した。
    (2)流れの安定性：2次元の場合の物体を横切る圧縮性粘性流体の安定性を示すための鍵となる、外部領域でのStokes方程式の解の減衰度を2次元外部領域の場合に示した。また2次元以上の有界領域における圧縮性粘性流体流れを考え、その線形化問題の解の指数安定性が質量項の摂動平均がゼロとなる場合に示し、これを用いて流の安定性を示した。2次元の円柱周りの定常Oseen方程式について、有限要素法による数値解析を行った。線形反復解法としてGMRES法を用いることで、Reynolds数が100程度まで、双子渦を再現することに成功した。またあるReynolds数以下では渦が生じないことも再現できた。
    (3)メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出: 最終目標は決定論的なモデル化が不可能な多重スケール流体運動のモデル方程式を導出することとした。本年度はNavier-Stokes方程式から導かれるレイリープリセットーケラー方程式に、実験からの類推で確率項を付けたものの数値解析を行いある程度実験値を再現していることを確認後、Funaki-Inoueの確率Naiver-Stokes方程式から、流体極限の方法を用いてレイリープリセットーケラー方程式型の確率常微分方程式を導いた。

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講演・口頭発表等 【 表示 ／ 非表示 】

  • On the Poincaré and Related Inequalities

    T. Ozawa  [招待有り]

    International Workshop on Multiphase Flows: Analysis, Modelling and Numerics  

    発表年月： 2020年12月

    開催年月：
    2020年12月
    　
    　

  • Existence and Uniqueness of Classical Paths under Quadratic Potentials

    T. Ozawa  [招待有り]

    第37回九州における偏微分方程式研究集会   (Fukuoka, Japan) 

    発表年月： 2020年01月

  • ポワンカレの不等式・温故知新

    T. Ozawa  [招待有り]

    微分方程式セミナー   (Osaka, Japan) 

    発表年月： 2020年01月

    　概要を見る

    一般領域上のポワンカレの不等式とその証明に就いて再考すると共に、幾つかの一般化を与える。

  • Minimization problem on the action

    T. Ozawa  [招待有り]

    PDE Workshop   (Peking, China) 

    発表年月： 2019年11月

    　概要を見る

    The existence of classical paths is shown to be realized as a minimizer of the action of the Lagrangean. The optimal bound on the time intervals for uniqueness of classical paths is also given. This talk is based on my recent jointwork with Kazuki Narita.

  • Self-similar solutions to the derivative nonlinear Schrödinger equation

    T. Ozawa  [招待有り]

    International Conference “Actual Problems of Analysis, Differential Equations and Algebra”   (Nur-Sultan, Kazakhstan)  カザフスタン数学会  

    発表年月： 2019年10月

    　概要を見る

    A class of self-similar solutions to the derivative nonlinear Schr"odinger equations is studied. Especially, the asymptotics of profile functions are shown to posses a logarithmic phase correction. This logarithmic phase correction is obtained from the nonlinear interaction of profile functions. This is a remarkable difference from the pseudo-conformally invariant case, where the logarithmic correction comes from the linear part of the equations of the profile functions. This talk is based on my recent jointwork with Kazumasa Fujiwara (Tohoku) and Vladimir Georgiev (Pisa).

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特定課題研究 【 表示 ／ 非表示 】

  • 最小化問題における古典経路の一意性

    2020年  

    　概要を見る

    ラグランジュ力学における古典経路の存在は、解析力学の数学的基礎付けの最も重要な課題であり、ファインマン経路積分の定式化の基礎を成すことから、量子力学においても重要な課題である。変分解析の研究の進展によって「直接法」の方法論はラグランジュ力学の強固な基礎を形成するに至っているが、明らかにしているのは古典経路の存在のみであり、一意性は殆ど未解決である。そこで、本研究では一意性について研究した。鍵となる不等式としてポワンカレ型の新しい不等式を見出し、証明を与えた。その最良定数と最良定数を与える函数を特徴付けた。一意性を保障する時間幅（初期時刻と終期時刻の差）をその最良定数を用いて記述した。更に、その時間幅が最良である事を周期解を用いて具体的に示した。

  • 微分型シュレディンガー方程式の自己相似解の研究

    2019年  

    　概要を見る

    微分型シュレディンガー方程式の初期値問題は近年盛んに研究されており、総電荷の閾値が4πである事も変分解析的に理解できるようになってきた。しかし、一般の爆発理論は全くの未解決問題として残ったままである。これは、通常の非線型シュレディンガー方程式に対して有効なビリアル法が破綻するからである。本研究では、具体的に自己相似解としての爆発解を構成して、その突破口を開いた。先ず、時空変数について自己相似的な波動函数を振幅函数と位相函数で表したとき、両者が満たすべき非線型常微分方程式系を特定することができた。更に、その解の存在を函数解析的に証明し、解の属す函数空間を見出すことができた。

  • 分散型半線型発展方程式の爆発解の研究

    2018年   藤原和将

    　概要を見る

    　ユークリッド空間上の非線型シュレディンガー方程式や複素ギンツブルグ・ランダウ方程式は、その非線型自己相互作用が引力型の場合、解は自己集中して爆発する。これは、レーザーの自己集束現象を数学的に説明するものとして興味深い理論である。その際、方程式のもつ時空尺度構造、ゲージ構造、変分構造が本質的に用いられる。特に、説明の鍵となる二次モーメントの消滅機構は空間伸長による対称性から定まるもので、通常、ビリアル論法と呼ばれている。　一方、円環（トーラス）上で考えた場合の分散型非線型発展方程式は、数値解析的研究は数多く行われているが、時空の対称性が限られるため、ビリアル論法は役に立たない。[1]において研究代表者は、トーラス上の上記分散型非線型発展方程式に対し、ゲージ構造の破綻が爆発解の存在に結び付く事例を幾つか見出した。　本研究では、[1]で見出した単調整の議論を更に深め、トーラス上の微分型非線型シュレディンガー方程式に対しても、単調性に由来する爆発現象を見出し数学的証明を与えた[2]。また、これらの結果を統一的に説明する理論体系に纏め上げ、[3]として発表した。

  • 動的多様系科学の創成 － ＜渦＞ の発見的応用

    2013年   柴田良弘, 吉村浩明, 吉田善章, 三浦英昭

    　概要を見る

    様々な特異現象に普遍的に現れるの本質を探る為、数学的設定が明確に記述可能な、流体やプラズマにおけるモデル方程式の初期値問題の解に現れる特異性の研究を行った。流体の速度場や渦度の爆発現象の研究では、爆発時刻が有限であれば時空の適当なノルムが無限大となる事が期待されており、実際多くの時空のノルムが無限大となる事が証明されているが、その相互関係については不明な部分も多く、最弱ノルムも同定されていないのが現状である。本研究ではナビエ・ストークス方程式とQテンソル系の連立系について、その最弱ノルムの同定を目指し、ナビエ・ストークス方程式で現在迄知られている最良の結果に相当する条件を、負の可微分性を示す斉次ベゾフ空間で与え、スケール不変性の観点から自然な形で説明出来る形に整備した。空間2次元の電磁流体力学の連立系については、水平方向の流体速度場の散逸構造と磁場の拡散係数との間に、爆発現象を抑制する積分構造を見出し、電磁場と速度場の相互作用に現れる特異性を部分積分を通じて消滅させる方法論を確立した。これは双曲型の非線型偏微分方程式である非線型波動方程式連立系の研究で見出された零構造に相当するものと考えられ、双曲型と放物型の非線型偏微分方程式の連立系における零構造の研究の出発点となるものと期待される。プラズマ系に現れる渦については、三波相互作用系としての非線型シュレディンガー方程式の連立系をモデル方程式として、その爆発解の発現機構について研究した。単独方程式では初期データが閾値より小さいと爆発は起こらない事が知られているが、連立系はそうとは限らず、任意に小さなデータを取ったとしても有限時刻で必ず爆発現象を起こす相互作用を見出し、この現象は連立系特有のものである事を明らかにした。実際の物理モデルでは単独系より連立系が圧倒的に多く用いられるので、プラズマにおけるはどんな小さな初期状態からも発生する可能性があると云う事情を充分説明するものと考えられる。

  • 非線型放物型方程式の解の爆発理論における非対称・非等方性の研究

    2010年   山内雄介

    　概要を見る

    n次元ユークリッド空間に於けるp乗自己相互作用を持つ藤田型非線型熱方程式の初期値問題の正値解の爆発現象の解析について研究を行った。解が爆発する事自体については、約50年前の藤田宏の先駆的研究以来、良く知られており、Friedman, Kohn, Weissler, 儀我、柳田、溝口らの大きな寄与によって、爆発解の形状など空間的振無いについては精密な解析が進んでいる。一方、その爆発時刻が初期条件にどの様に依存するのかと云う問題については、LeeとNiの結果(Trans. AMS, 1992)とGuiとWangの結果(JDE 1995)のみが知られているところであるが、その仮定として、初期条件の空間遠方での挙動に極めて強い条件を課したものであり、充分解明されているとは言い難い。本研究では、初期函数の空間遠方での挙動について、単位球面上に射影した下極限函数に着目し、その球面平均が爆発時刻の上からの評価を具体的に与える事を明らかにした。より具体的には、球面平均の(1-p)乗で爆発時刻は上から評価される事が示された。先行結果に課されていた仮定の一様性・等方性を外し、爆発現象の常微分方程式的構造を記述する事に成功した。この研究成果は、国内外における幾つかの会議で発表され、高い評価を得た。本論文としてまとめられたものは、国際的に著名な学術専門誌 Journal of Mathematical Analysis and Applications に掲載が決定され、現在印刷中の段階であり、2011年中には出版の見込みである。

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現在担当している科目 【 表示 ／ 非表示 】

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委員歴 【 表示 ／ 非表示 】

  • 2021年
    -
    継続中

    日本学術会議  物理学委員会 物性物理学・一般物理学分科会 プラズマサイエンス小委員会 委員

  • 2021年
    -
    継続中

    日本学術会議  数理科学委員会 数学分科会 委員長

  • 2021年
    -
    継続中

    核融合研究所  運営会議 委員

  • 2021年
    -
    継続中

    東京理科大学  総合研究機構 アドバイザリー委員会 委員

  • 2020年
    -
    継続中

    日本学術会議  数理科学委員会 委員長

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社会貢献活動 【 表示 ／ 非表示 】

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メディア報道 【 表示 ／ 非表示 】

  • キタノ工務店

    テレビ・ラジオ番組

    フジテレビ  

    2014年10月

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