兼担 【 表示 ／ 非表示 】

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• 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等 【 表示 ／ 非表示 】

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• 2020年

  -

  2022年

  理工学術院総合研究所   兼任研究員

学歴 【 表示 ／ 非表示 】

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• 　

  -

  1986年

  早稲田大学   理工学研究科   数学  

• 　

  -

  1986年

  早稲田大学   理工学研究科   数学  

• 　

  -

  1982年

  早稲田大学   理工学部   数学  

学位 【 表示 ／ 非表示 】

学位 【 表示 ／ 非表示 】

• 早稲田大学   理学博士

• Waseda University   Doctor of Science

• 早稲田大学   理学修士

• Waseda Univeristy   Master of Science

経歴 【 表示 ／ 非表示 】

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• 1999年

  -

  　

  早稲田大学 教授

• 1994年

  -

  1998年

  早稲田大学 助教授

• 1992年

  -

  1994年

  名古屋大学 助教授

• 1992年

  -

  1994年

  名古屋大学 助教授

• 1990年

  -

  1992年

  名古屋大学 講師

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所属学協会 【 表示 ／ 非表示 】

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• 　

  　

  　

  日本数学会

研究分野 【 表示 ／ 非表示 】

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• 数理解析学

研究キーワード 【 表示 ／ 非表示 】

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• 変分法、変分問題、ハミルトン系、非線型楕円型方程式

論文 【 表示 ／ 非表示 】

論文 【 表示 ／ 非表示 】

• Symmetric ground states for doubly nonlocal equations with mass constraint

  Silvia Cingolani, Marco Gallo, Kazunaga Tanaka

  Symmetry   13 ( 7 )  2021年07月

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  We prove the existence of a spherically symmetric solution for a Schrödinger equation with a nonlocal nonlinearity of Choquard type. This term is assumed to be subcritical and satisfy almost optimal assumptions. The mass of of the solution, described by its norm in the Lebesgue space, is prescribed in advance. The approach to this constrained problem relies on a Lagrange formulation and new deformation arguments. In addition, we prove that the obtained solution is also a ground state, which means that it realizes minimal energy among all the possible solutions to the problem.

  DOI

• Normalized solutions for fractional nonlinear scalar field equations via Lagrangian formulation

  S. Cingolani, M. Gallo, K. Tanaka

  Nonlinearity   34 ( 6 ) 4017 - 4056  2021年06月

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  We study existence of solutions for the fractional problemwhere N 2, s ∈ (0, 1), m > 0, μ is an unknown Lagrange multiplier and satisfies Berestycki-Lions type conditions. Using a Lagrangian formulation of the problem (P m ), we prove the existence of a weak solution with prescribed mass when g has L 2 subcritical growth. The approach relies on the construction of a minimax structure, by means of a Pohozaev's mountain in a product space and some deformation arguments under a new version of the Palais-Smale condition introduced in Hirata and Tanaka (2019 Adv. Nonlinear Stud. 19 263-90); Ikoma and Tanaka (2019 Adv. Differ. Equ. 24 609-46). A multiplicity result of infinitely many normalized solutions is also obtained if g is odd.

  DOI

• Ground State Solutions for the Nonlinear Choquard Equation with Prescribed Mass

  Silvia Cingolani, Kazunaga Tanaka

  Springer INdAM Series   47   23 - 41  2021年

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  We study existence of radially symmetric solutions for the nonlocal problem: where (formula presetned) a unknown Lagrange multiplier. Using a Lagrange formulation of the problem (1 ), we develop new deformation arguments under a version of the Palais-Smale condition introduced in the recent papers (Hirata and Tanaka, Adv Nonlinear Stud 19:263–290, 2019; Ikoma and Tanaka, Adv Differ Equ 24:609–646, 2019) and we prove the existence of a ground state solution for the nonlinear Choquard equation with prescribed mass, when F satisfies Berestycki-Lions type conditions.

  DOI

• Nonlinear Scalar Field Equations with L ² Constraint: Mountain Pass and Symmetric Mountain Pass Approaches

  Jun Hirata, Kazunaga Tanaka

  Advanced Nonlinear Studies   19 ( 2 ) 263 - 290  2019年05月

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  We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in ℝ N (N ≥ 2): (Equation Presented) where g(ξ) ∈ C(ℝ, ℝ), m > 0 is a given constant and μ ∈ ℝ is a Lagrange multiplier. We introduce a new approach using a Lagrange formulation of problem (∗)m. We develop a new deformation argument under a new version of the Palais-Smale condition. For a general class of nonlinearities related to [H. Berestycki and P.-L. Lions, Nonlinear scalar field equations. I: Existence of a ground state, Arch. Ration. Mech. Anal. 82 (1983), no. 4, 313.345], [H. Berestycki and P.-L. Lions, Nonlinear scalar field equations. II. Existence of infinitely many solutions, Arch. Ration. Mech. Anal. 82 (1983), no. 4, 347.375], [J. Hirata, N. Ikoma and K. Tanaka, Nonlinear scalar field equations in ℝ N : Mountain pass and symmetric mountain pass approaches, Topol. Methods Nonlinear Anal. 35 (2010), no. 2, 253.276], it enables us to apply minimax argument for L 2 constraint problems and we show the existence of infinitely many solutions as well as mountain pass characterization of a minimizing solution of the problem (Equation Presented).

  DOI

• Semi-classical states for the nonlinear Choquard equations: Existence, multiplicity and concentration at a potential well

  Silvia Cingolani, Kazunaga Tanaka

  Revista Matematica Iberoamericana   35 ( 6 ) 1885 - 1924  2019年

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  We study existence and multiplicity of semi-classical states for the nonlinear Choquard equation −ε2Δv + V (x) v = ε1α (Iα ∗ F(v))f(v) in RN , where N ≥ 3, α ∈ (0, N), Iα(x) = Aα/|x|N-α is the Riesz potential, F ∈ C1(R, R), F´(s) = f(s) and ε > 0 is a small parameter. We develop a new variational approach and we show the existence of a family of solutions concentrating, as ε → 0, to a local minima of V (x) under general conditions on F(s). Our result is new also for f(s) = |s|p-2s and applicable for p ∈ (NN+α, NN+-α2 ). Especially, we can give the existence result for locally sublinear case p ∈ (NN+α , 2), which gives a positive answer to an open problem arisen in recent works of Moroz and Van Schaftingen. We also study the multiplicity of positive single-peak solutions and we show the existence of at least cupl(K)+1 solutions concentrating around K as ε → 0, where K ⊂ Ω is the set of minima of V (x) in a bounded potential well Ω, that is, m0 ≡ infxεΩ V (x) < infxε∂Ω V (x) and K = {x ∈ Ω; V (x) = m0}.

  DOI

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書籍等出版物 【 表示 ／ 非表示 】

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• 変分問題入門 : 非線形楕円型方程式とハミルトン系

  田中, 和永

  岩波書店  2018年06月 ISBN: 9784007307706

• Nonlinear Problems 2 (in Japanese)

  K. Tanaka

  Iwanami  2000年

• 非線形問題 2

  田中和永

  岩波書店  2000年

共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 ／ 非表示 】

共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 ／ 非表示 】

• 古典場の理論における微分型相互作用の数学解析

  研究期間:

  2019年04月

  -

  2024年03月

   

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  微分型シュレディンガー方程式をはじめとする微分型相互作用を持つ古典場模型の非線型偏微分方程式は、ピカール逐次近似の枠組において、必然的に微分の損失を伴うため、その回避を巡って方程式に応じた個別の方法論が提案されているが、未だに本質的な理解に至っていない。本研究の目的は、近年の微分型シュレディンガー方程式の初期値問題の時間大域的存在を保障する新しい閾値の変分解析的理解を足掛かりとして、微分型相互作用の大域的構造を(a)漸近解析(b)調和解析(c)変分解析の三つの方法論に基づいて明らかにする事である。微分型シュレディンガー方程式をはじめとする微分型相互作用を持つ古典場模型の非線型偏微分方程式は、ピカール逐次近似の枠組において、必然的に微分の損失を伴うため、その回避を巡って方程式に応じた個別の方法論が提案されているが、未だに本質的な理解に至っていない。本研究の目的は、近年の微分型シュレディンガー方程式の初期値問題の時間大域的存在を保障する新しい閾値の変分解析的理解を足掛かりとして、微分型相互作用の大域的構造を(a)漸近解析、(b)調和解析、(c)変分解析の三つの方法論に基づいて明らかにする事である。令和元年度は、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進めた。特に、通常の非線型微分シュレディンガー方程式(Derivative Nonlinear Schr"odinger Equation)の自己相似解を世界に先駆けて構成する事が出来た。求めるべき自己相似解が一つ決めた時刻の状態で決定されてしまう事に注目し、その時刻での波動函数を振幅函数と位相函数に分離して夫々が満たすべき微分方程式を導出したところ、位相函数が本質的には振幅函数で決定されてしまうと云う新しい知見を得た。これにより、振幅函数の大域解の構成に問題の全てが帰着する事になった。振幅函数の従う非線型常微分方程式を解析する事によって、大域解を構成する事が出来たので、自己相似解を具体的に表示する事が出来た。研究計画は予定通り順調に進んでいる。現在までの研究で思いがけない着想が幾つか得られており、今後の進展に繋がる事が期待される。令和2年度は、令和元年度に引き続き、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進める。後半からは、漸近解析班・調和解析班は分散構造の研究、変分解析班はハミルトン構造の研究にも着手する予定である

• 分散方程式と調和解析学の研究

  研究期間:

  2018年10月

  -

  2023年03月

   

  　概要を見る

  当該年度は研究代表者・分担者・協力者がピサ大学および早稲田大学に集まり、個別の問題に少人数で集中的に取り組むとともに、全体の会合において、研究の進捗状況・途中経過・部分的成果等を披露し、活発に意見交換を行うとともに、今後の研究の方向性について検討を重ねた。半線型熱方程式の初期値問題に関しては、重みつき L^\infty 空間における時間大域解の存在理論を整備し、簡単で見易い議論にまとめ上げるとともに、先行研究を容易に理解できるようにした。特に、基本解の評価における正値性と重みの果たす役割を分離して明確に示すことによって、時間大域解の存在を簡潔に記述できるようになった。ギンツブルグ・ランダウ・蔵本方程式に関しては、線型部分のラプラシアンをポテンシャル項を含む二階の楕円型作用素に一般化できることを証明し、既存の理論を拡張することができた。特に、分数冪ライプニッツ則の評価の精密化と分数冪の積分表示の具体化によって、一般化された楕円形作用素の交換子評価を大幅に改良し、実際の蔵本モデルに応用可能な形に定式化した。量子マスター方程式に関しては、「マクスウェルの悪魔」と呼ばれる現象の新たな定式化に、この方程式の解析が有効であることを見出し、電流制御の視点から理論体系を整備した。流体の速度場を記述するブリンクマン・フォルシュハイマー方程式系として知られている二重拡散移流方程式系に関しては、3次元および4次元の全空間において、時間周期解の存在を示し、考える領域の有界性の条件が必ずしも本質的でないことを実証する形となった。令和元年度と同様に進めるほか、次の計画を実行する。7月6日-10日に早稲田大学でInternational Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics”を1週間開催する（組織委員： V. Georgiev, 中里弘道, 湯浅一哉，小澤徹）。当研究組織と強い連携関係にあるイタリアのバリ大学の研究者を研究協力者に加え、国際共同研究の一層の展開を図る

• 変分的手法による非局所非線形楕円型方程式の研究

  研究期間:

  2017年04月

  -

  2022年03月

   

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  非線形楕円型方程式に対する L2-制限問題等について研究を行った. L2-制限問題は物理的に重要な対象である. ここでは新たな変形理論 (deformation theory) を開発し, ミニマックス法等により L2-制限問題の解の存在を示し, また多重度を得ることに成功した. ここで展開されている変形理論は通常の Palais-Smale 条件の下のものではなく, Pohozaev 関数の効果を加えた Palais-Smale-Pohozaev 条件 (PSP) の下で展開され, 非線形スカラーフィールド方程式をはじめとする種々の問題に適用可能であると共に証明の簡略化を与える. 有名な結果である Berestycki-Lions の結果を制限問題を経由せずに証明を与えることも可能である.さらに拘束条件に対応する関数空間内の超局面 (さらに一般に submanifold) 上で PSP 条件の下での変形理論を展開することにより, 連立シュレディガー方程式系に対する L2 制限問題等を扱うことが可能となった. Bartsch-Soave らの結果もこの枠組みで扱うことができ, さらなる発展が見込まれる.非局所問題, 特に Choquard 方程式に対しても L2-制限問題を考察し, Lagrangian formulation の下で (PSP) 条件の下での変形理論を用いることにより解の存在を, さらにある種の対称性の下で無限個の解の存在を示した. この手法は fractional Laplacian を伴う非線形スカラーフィールド方程式等へも拡張可能であり, 発展が期待される.変形理論に関しては特異摂動下での変形理論を見直し, 新たな勾配流を構成した. 特異摂動下での L2-制限等への応用が期待される.L2-constraint problem に対する新たなアプローチを見いだし, 非局所問題に対する L2-constraint problem に対しても存在定理を見いだしている.これらの結果は fractional Laplacian を伴う問題等への拡張, さらには特異摂動問題への発展が見込まれる.今までの研究を踏まえ, 非局所問題に対する特異摂動問題に取り組む. 特に L2 制限問題を重視する.非局所問題に対する特異摂動問題はその難しさから, アプローチを行うための道具だての準備から始める必要がある. 今までに整備を行った (PSP) 条件の下での変形理論等は非局所方程式に対する特異摂動問題に対しても有効であることが期待される. いわゆる tail minimizing method に対応する flow の構成もなされており, 準備は整いつつある.従来, 特異摂動問題は非線形項がべき関数のように線形よりも高い増大度をもつものが扱われてきた. 本研究では対数的非線形性に代表される線形よりも低い増大度をもつ劣線形性をもつ非線形方程式に対する特異摂動問題も研究テーマに加え取り組む

• 等式の枠組による零形式の時空大域的研究

  研究期間:

  2016年04月

  -

  2019年03月

   

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  当該年度は、調和解析や函数解析の対象としても非線型偏微分方程式への応用の手段としても重要な、いくつかの函数不等式を等式の枠組で研究し、期待どおりの成果を得ることができた。特に、ハーディーの不等式は通常では動径方向の微分作用素によって記述されるが、角度方向の微分作用素の寄与を考慮し、新しいハーディーの不等式として等式の枠組で定式化し、その証明を与えた。さらに、最良定数を与える非自明な函数のクラスを球面調和展開に現れる球面調和多項式を用いて完全に特徴づけた。この成果は、動径方向版であるMachihara Shuji, Ozawa Tohru, Wadade Hidemitsu, Remarks on the Hardy type inequalities with remainder terms in the framework of equalities として日本数学会発行の"Advanced Studies in Pure Mathematics" に出版予定の論文の球面方向版としての意義をもつ。また、フーリエ制限定理において重要な役割を果たす球面上への跡（トレース）定理を研究し、その安定性を評価の形で定式化し、証明を与えた。特に、安定性を記述するための「最適化函数の集合からの距離」の評価を双対性を用いた枠組に抽象化して定式化し、元々の問題とその双対問題における「最適化函数の集合からの距離」の双対性を見出し、理論化した。また、非線型シュレディンガー方程式をトーラス上で考え、単調性または正値性をもつ特殊な相互作用に対して、有限時刻で爆発する積分量の統一的な処方箋を与え、爆発機構が常微分方程式的構造に基づくことを明らかにした。以上の成果は最終年度までに得ていたが、取り纏めに時間を要した為、期間を延長した。延長期間内に論文を作成し、投稿する事が出来た

• 古典場の理論における臨界相互作用の数学解析

  研究期間:

  2014年04月

  -

  2019年03月

   

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  古典場の理論における臨界相互作用について、非相対論的場の方程式および半相対論的場の方程式、またそれらの解析において重要な評価の基礎をなす不等式について研究した。非線型シュレディンガー方程式に対してはゲージ不変性が破綻すると時間大域解が存在しない（爆発現象）等が起こる様子を記述し、その機構を常微分方程式の見地から解明した。また、ブレジス・ガルエの論法を、高階ソボレフノルムに繰り込み項を導入した補正高階エネルギーを定義する事に依って、従来よりも高次の冪を持った非線型シュレディンガー方程式や半相対論的場の方程式の時間大域解の存在を証明する事が出来た。場の古典論に現れる方程式は、ド・ブロイの視点により、物質を波と捉えてモデル化した方程式である。従って、場の方程式の解の存在を示すことは、物質が現象として意味を持っていることの証明を与えることと同値となり、研究成果の学術的意義・社会的意義を示すこととなる

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特定課題研究 【 表示 ／ 非表示 】

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• 非局所変分問題に関する新手法の開発

  2016年   平田 潤

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  非線形楕円型方程式に対する研究を特異摂動問題を中心に研究を行った. その際, 非局所問題への対応を意識し, 局所問題と非局所問題を統一的に扱う理論の構築を目指し, 従来扱うことのできなかった磁場を伴う非線形シュレディンガー方程式および対数的非線形性を持つ非線形シュレディンガー方程式を扱った.特に磁場を伴う非線形シュレディンガー方程式に対しては, 特異摂動問題での設定の下で, ポテンシャルウェル内に凝集する解の多重度を示した. また対数的非線形性を持つ非線性シュレディンガー方程式に対しては空間周期的なポテンシャルを持つものを考え, multi-bump 解の存在を示した.&nbsp;さらに臨界点理論における Clark の定理に対して, その臨界点集合の構造に関する Kajikiya および Liu-Wang の結果を改良することに成功した.

• 特異摂動下での非線形楕円型方程式に対する理論解析および精度保証数値解析

  2015年  

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  非線形楕円型方程式に対する特異摂動問題の研究を行った. &nbsp;主に数理物理における半古典極限 (semi-classical limit) に関連する状況において凝集解の存在, 多重度を考察した.具体的には, 一般的な非線形項を伴うシュレディンガー方程式のポテンシャル関数 V(x) の極小点に凝集する解の多重度を研究し, V(x) の極小点のなす集合の大きさを測る位相幾何的な量 (cup-length) を用いて凝集解の個数を評価できることを示した.また磁性の効果を加味した magnetic-Schroedinger 方程式に対しても同様の結果が成立することを示した.また柱状領域を摂動した領域での非線形 Dirichlet 問題を考察し, 非常に一般的な状況において不安定な特異摂動解の存在を示した.

• 非線形微分法的式の変分法を用いた解析

  2003年  

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  R^N における非線型楕円型方程式の研究, 特にその特異摂動問題に関する研究において成果が得られた.まず, 代表者は L. Jeanjean 氏との共同研究により R^N における非線型 Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して進歩がみられた. 特に, 今まで扱うことができなかった広いクラスの非線型項 --- 漸近的に線型の増大度をもつ非線型項をも許容するクラス --- に対しても epsilon -> 0 のときポテンシャル V(x) の極小点に集中し,スパイクを形成する解の族の構成に成功した. ここにおいて, 昨年までの研究で得られたleast energy solution の Mountain Pass Theorem による特徴付けが非常に重要な役割を果たしている.また Y. Ding との共同研究においては非線型 Schrodinger 方程式に対して異なるタイプの特異摂動問題を考察し, 従来知られていたものよりもより複雑な multi peak パターンを極限とする解の族の構成に成功した. また 1 次元の特異摂動問題についても従来考察されていない高エネルギーをもつ解のクラスに関する研究においても Felmer 氏, Maritinez 氏との共同研究により,その極限の energy limit function を用いた特徴付け, energy limit function のみたす極限方程式の導出, 極限方程式の解に対応する存在結果を得ることができた.

• 変分的方法による非線型微分方程式の研究

  2001年  

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  変分的手法により非線型微分方程式の解の存在に関する研究を行った. 今年度は次のような研究成果が得られた.まず非線型楕円型方程式に関しては, R^N における方程式 -\Delta u = g(u) のエネルギー最小解の Mountain Pass Theorem による特徴づけに関して研究を行った. 従来 g(u)/u の単調性の仮定の下でこのような特徴付けは示されていたが,この様な仮定なしでも成立することを示した. またこの特徴付けの応用として漸近的に線型のオーダーをもつ R^N における非線型楕円型方程式の解の存在が得られた. (以上は L.Jeanjean 氏との共同研究である).ハミルトン系に関しては 2 体問題をモデルとする特異性をもつハミルトン系に対する周期軌道の存在問題を考察し, 特異点集合 S が体積をもつ場合に特異性が V(q)\sim -1/\dist(q,S)^\alpha (\alpha\in (0,2)) と非常に弱い場合にもその存在を示し, 従来よく用いられる strong force と呼ばれるクラスとは異なるポテンシャルのクラスにおいても non-collision 周期軌道の存在が保証されることを示した. (この結果は足達慎二氏との共同研究である).

• 変分的アプローチによる非線型微分方程式の研究

  2000年  

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  変分的手法により空間非一様性をもつ楕円型方程式 -\Delta u = f(x,u) の解の存在問題を研究し, 特異摂動問題において進歩を見ることができた.方程式が空間変数 x に依存する場合, 解のプロファイルは依存しないときと比べると非常に複雑となる. 例えば空間次元が 1 の場合, 方程式が x に依存しなければ, すべての解は空間周期的となり, 比較的簡単な解構造をもつ. しかし方程式が x に依存すると, たとえ 1 次元であっても複雑なプロファイルをもつ解が現れることが一般に期待される.このような解の存在のメカニズムを理解することを目標とし, 本年は特異摂動の設定の下で研究を行い, 相転移問題に関連する状況において, 空間次元が 1 の時, 界面を伴う解の変分的構成を行った. このような問題の解は無限次元の関数空間上定義された氾関数の critical point を求める問題として定式化される. 従来 Lianupov-Schmidt 法等により有限次元空間上定義された氾関数に対する問題に帰着され研究されてきたが, ここではより直接的な有限次元への帰着法を見いだすことにより, 1 点に集中する多重界面をもつ解等の存在を非常に広いクラスの方程式に対して示すことができた.ここで用いられている方法は 1 次元非線型 Sch\"odinger 方程式 -\epsilon^2\Delta u +V(x)u ＝u^p にも適用でき, ポテンシャル V(x) が極小値をとる x において集中する sign-changing bump をもつ解を構成できる (del Pino 氏, Felmer 氏との共同研究, preprint).

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海外研究活動 【 表示 ／ 非表示 】

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• 変分的手法による非線型問題の研究

  2011年04月

  -

  2012年03月

  チリ   チリ大学

  フランス   コンテ大学

現在担当している科目 【 表示 ／ 非表示 】

現在担当している科目 【 表示 ／ 非表示 】

• 数学講究Ａ　　【前年度成績S評価者用】

  基幹理工学部

  2021年   春学期

• 卒業研究

  基幹理工学部

  2021年   通年

• 数学特別講究Ｂ

  基幹理工学部

  2021年   秋学期

• 数学特別講究Ａ

  基幹理工学部

  2021年   春学期

• 数学特別演習

  基幹理工学部

  2021年   秋学期

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