We study spatially periodic logarithmic Schrodinger equations:
{ - Delta u + V(x)u = Q(x)u log u(2), u > 0 in R-N, (LS)
u is an element of H-1 (R-N),
where N >= 1 and V(x), Q(x) are spatially 1-periodic functions of class C-1. We take an approach using spatially 2L-periodic problems (L >> 1) and we show the existence of infinitely many multi-bump solutions of (LS) which are distinct under Z(N)-action.

We study, in the semiclassical limit, the singularly perturbed nonlinear Schrödinger equations LA,Vħu=f(|u|2)uinRNwhere N≥ 3 , LA,Vħ is the Schrödinger operator with a magnetic field having source in a C1 vector potential A and a scalar continuous (electric) potential V defined by LA,Vħ=-ħ2Δ-2ħiA·∇+|A|2-ħidivA+V(x).Here, f is a nonlinear term which satisfies the so-called Berestycki-Lions conditions. We assume that there exists a bounded domain Ω ⊂ RN such that (Formula presented.). For ħ> 0 small we prove the existence of at least cupl (K) + 1 geometrically distinct, complex-valued solutions to (0.1) whose moduli concentrate around K as ħ→ 0.

The Clark theorem is important in critical point theory. For a class of even functionals it ensures the existence of infinitely many negative critical values converging to 0 and it has important applications to sublinear elliptic problems. We study the convergence of the corresponding critical points and we give a characterization of accumulation points of critical points together with examples, in which critical points with negative critical values converges to nonzero critical point. Our results improve the abstract results in Kajikiya [4] and Liu-Wang [7].

We consider singularly perturbed nonlinear Schrödinger equations (Formula Presented) where (Formula Presented) and f is a nonlinear term which satisfies the so-called Berestycki–Lions conditions. We assume that there exists a bounded domain (Formula Presented) such that (Formula Presented) and we set (Formula Presented). For (Formula Presented) small we prove the existence of at least (Formula Presented) solutions to (0.1) concentrating, as (Formula Presented) around K. We remark that, under our assumptions of f, the search of solutions to (0.1) cannot be reduced to the study of the critical points of a functional restricted to a Nehari manifold.

We consider the boundary value problem(Pλ)u∈H01(Ω)∩L∞(Ω):-δu=λc(x)u+μ(x)|∇u|2+h(x), where Ω⊂RN, N≥3 is a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c{greater-than but not equal to}0, c, h belong to Lp(Ω) for some p>N/2 and that μ∈L∞(Ω). We explicitly describe a condition which guarantees the existence of a unique solution of (Pλ) when λ<0 and we show that these solutions belong to a continuum. The behaviour of the continuum depends in an essential way on the existence of a solution of (P0). It crosses the axis λ=0 if (P0) has a solution, otherwise it bifurcates from infinity at the left of the axis λ=0. Assuming that (P0) has a solution and strengthening our assumptions to μ(x)≥μ1>0 and h{greater-than but not equal to}0, we show that the continuum bifurcates from infinity on the right of the axis λ=0 and this implies, in particular, the existence of two solutions for any λ>0 sufficiently small.

In this note we present some uniqueness and comparison results for a class of problem of the form
-Lu = H(x, u, del u) + h(x), u is an element of H-0(1)(Omega) boolean AND L-infinity(Omega), (0.1)
where Omega subset of R-N, N &gt;= 2 is a bounded domain, L is a general elliptic second order linear operator with bounded coefficients and H is allowed to have a critical growth in the gradient. In some cases our assumptions prove to be sharp. (C) 2014 Elsevier Inc. All rights reserved.

In this paper we study the existence of multi-bump positive solutions of the following nonlinear elliptic problem:
-Delta u = u(p) in Omega(t) u=0 on partial derivative Omega(t).
Here 1 &lt; p &lt; N+2/N-2 when N &gt;= 3, 1 &lt; p &lt; infinity when N = 2 and Omega(t) and is a tubular domain which expands as t -&gt; infinity. See (1.6) below for a precise definition of expanding tubular domain. When the section D of Omega(t) is a ball, the existence of multi-bump positive solutions is shown by Dancer and Yan (Commun Partial Differ Equ, 27(1-2), 23-55, 2002) and by Ackermann et al. (Milan J Math, 79(1), 221-232, 2011) under the assumption of a non-degeneracy of a solution of a limit problem. In this paper we introduce a new local variational method which enables us to show the existence of multi-bump positive solutions without the non-degeneracy condition for the limit problem. In particular, we can show the existence for all N &gt;= 2 without the non-degeneracy condition. Moreover we can deal with more general domains, for example, a domain whose section is an annulus, for which least energy solutions of the limit problem are really degenerate.

We study a system of nonlinear Schrodinger equations with quadratic interaction in space dimension n &lt;= 6. The Cauchy problem is studied in L-2, in H-1, and in the weighted L-2 space &lt; x &gt; L--1(2) = F(H-1) under mass resonance condition, where &lt; x &gt; = (1 + vertical bar x vertical bar(2))(1/2) and F is the Fourier transform. The existence of ground states is studied by variational methods. Blow-up solutions are presented in an explicit form in terms of ground states under mass resonance condition, which ensures the invariance of the system under pseudo-conformal transformations. (c) 2012 Elsevier Masson SAS. All rights reserved.

In this article we study the existence and asymptotic profiles of high-energy rotation type solutions of the singularly perturbed forced pendulum equation ε2u'ε+sin uε= ε2ε in (-L, L). We prove that the asymptotic profile of these solutions is described in terms of an energy function which satisfy an integro-differential equation. Also we show that given a suitable energy function E satisfying the integro-differential equation, a family of solutions of the pendulum equation above exists having E as the asymptotic profile, when ε → 0. © 2013 IOP Publishing Ltd & London Mathematical Society.

We consider a singularly perturbed elliptic equation ε 2Δu - V (x)u + f(u) = 0, u(x) > 0 on ℝN, lim |x|→∞ u(x) = 0, where V (x) > 0 for any x ε ℝN: The singularly perturbed problem has corresponding limiting problems ΔU - cU + f(U) = 0, U(x) > 0 on ℝN, lim |x|→∞U(x) = 0, c > 0: Berestycki-Lions [3] found almost necessary and sufficient conditions on the nonlinearity f for existence of a solution of the limiting problem. There have been endeavors to construct solutions of the singularly perturbed problem concentrating around structurally stable critical points of the potential V under possibly general conditions on f ε C1 In this paper, we prove that under the optimal conditions of Berestycki-Lions on f 2 C1, there exists a solution concentrating around topologically stable positive critical points of V , whose critical values are characterized by minimax methods. © European Mathematical Society 2013.

We study the existence of a positive solution of a nonlinear elliptic equation Mathematical equation represented where k ≥ 2 and D is a bounded domain in Rℓ, ℓ ≥ 1. We give almost necessary and sufficient condition on f (ℰ) for the existence of a positive solution, which is inspired by the works of Berestycki-Lions [1] and Berestycki- Gallouët-Kavian [3].

We consider a singular perturbation problem for a system of nonlinear Schrödinger equations:where N = 2, 3, μ1, μ2, β > 0 and V1(x), V2(x): RN → (0, ∞) are positive continuous functions. We consider the case where the interaction β > 0 is relatively small and we define for P ε RN the least energy level m(P) for non-trivial vector solutions of the rescaled "limit" problem: We assume that there exists an open bounded set Λ ⊂ RN satisfying We show that (*) possesses a family of non-trivial vector positive solutions which concentrates-after extracting a subsequence e{open}n → 0-to a point P0 ε Λ with m(P0) = infPεΛm(P). Moreover (v1e{open}(x), v2e{open}(x)) converges to a least energy non-trivial vector solution of (**) after a suitable rescaling. © 2010 Springer-Verlag.

We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in ℝN : -Δu = g(u) in ℝN', u ∈ H1 (ℝN). We give an extension of the existence results due to H. Berestycki, T. GaIloüe't and O. Kavian [2]. We take a mountain pass approach in H1(ℝ N) and introduce a new method generating a Palais-Smale sequence with an additional property related to Pohozaev identity. ©2010 Juliusz Schauder Center for Nonlinear Studies.

We study the nonlinear Schrodinger equations:
(P(lambda)) -Delta u+(lambda(2)a(x)+1)u = vertical bar u vertical bar(p-1)u, u is an element of H(1)(R(N)),
where p &gt; 1 is a subcritical exponent, a(x) is a continuous function satisfying a(x) &gt;= 0,0 &lt; lim inf(vertical bar x vertical bar -&gt;infinity) a(x) &lt;= lim sup(vertical bar x vertical bar -&gt;infinity) a(x) &lt; infinity and a(-1)(0) consists of 2 connected bounded smooth components Omega(1) and Omega(2).
We study the existence of solutions (u(lambda)) of (P(lambda)) which converge to 0 in R(N) \ (Omega(1) boolean OR Omega(2)) and to a prescribed pair (v(1)(x), v(2)(x)) of solutions of the limit problem:
-Delta v(i) + v(i) = vertical bar v(i)vertical bar(p-1)v(i) in Omega(i)
(i = 1, 2) as lambda -&gt; infinity.

In this article we prove that the semi-linear elliptic partial differential equation- Δ u + u = up in Ω,u > 0 in Ω, u = 0 on ∂ Ω possesses a unique positive radially symmetric solution. Here p > 1 and Ω is the annulus {x ∈ RN | a < | x | < b}, with N ≥ 2, 0 < a < b ≤ ∞. We also show the positive solution is non-degenerate. © 2008 Elsevier Inc. All rights reserved.

In this article we construct a new type of solutions for the Gierer and Meinhardt system -ε2uxx + u &=&u 2/v in (0,L),- vxx+ v &=& u2 in (0, L) with boundary conditions u x (0) = u x (L) = 0 and v x (0) = v x (L) = 0. As ε approaches zero, we construct a family of positive solution (u ε , v ε ) such that the activator u ε oscillates c 0/ε times, with c 0 in an appropriate range, while the inhibitor remains close to a limiting profile, which is a strictly decreasing function. © 2007 Springer-Verlag.

We consider a noncompact hypersurface H in R2 N which is the energy level of a singular Hamiltonian of "strong force" type. Under global geometric assumptions on H, we prove that it carries a closed characteristic, as a consequence of a result by Hofer and Viterbo on the Weinstein conjecture in cotangent bundles of compact manifolds. Our theorem contains, as particular cases, earlier results on the fixed energy problem for singular Lagrangian systems of strong force type. © 2006 Elsevier Inc. All rights reserved.

This article is devoted to the nonlinear Schrödinger equation [InlineMediaObject not available: see fulltext.] when the parameter ε approaches zero. All possible asymptotic behaviors of bounded solutions can be described by means of envelopes, or alternatively by adiabatic profiles. We prove that for every envelope, there exists a family of solutions reaching that asymptotic behavior, in the case of bounded intervals. We use a combination of the Nehari finite dimensional reduction together with degree theory. Our main contribution is to compute the degree of each cluster, which is a key piece of information in order to glue them.

We study singularly perturbed 1D nonlinear Schrodinger equations (1.1). When V ( x) has multiple critical points, ( 1.1) has a wide variety of positive solutions for small epsilon and the number of positive solutions increases to infinity as epsilon --&gt; 0. We give an estimate of the number of positive solutions whose growth order depends on the number of local maxima of V (x). Envelope functions or equivalently adiabatic profiles of high frequency solutions play an important role in the proof.

We study the existence of multiple positive stable solutions for
-epsilon(2)Delta u(x) = u(x)(2) (b(x) - u(x)) in Omega, partial derivative u/partial derivative n (x) = 0 on partial derivative Omega.
Here epsilon &gt; 0 is a small parameter and b(x) is a piecewise continuous function which changes sign. These type of equations appear in a population growth model of species with a saturation effect in biology.

We study the existence of multiple positive stable solutions for
-epsilon(2)Delta u(x) = u(x)(2) (b(x) - u(x)) in Omega, partial derivative u/partial derivative n (x) = 0 on partial derivative Omega.
Here epsilon &gt; 0 is a small parameter and b(x) is a piecewise continuous function which changes sign. These type of equations appear in a population growth model of species with a saturation effect in biology.

In this note we study the existence of non-collision periodic solutions for singular Hamiltonian systems with weak force. In particular for potential V (t, q) similar to - 1/dist(q, D)(alpha), where D is a compact C-3-surface in R-N, we prove the existence of a non- collision periodic solution.

In this note we study the existence of non-collision periodic solutions for singular Hamiltonian systems with weak force. In particular for potential V (t, q) similar to - 1/dist(q, D)(alpha), where D is a compact C-3-surface in R-N, we prove the existence of a non- collision periodic solution.

We prove the existence of a positive solution for a class of equations of the form
-Delta u + V(x)u = f (u), u is an element of H-1 (R-N).
On the nonlinearity f, only conditions around 0 and at infinity are required.

We study the balanced Allen-Cahn problem in a singular perturbation setting. We are interested in the behaviour of clusters of layers, i.e. a family of solutions mu(epsilon) (x) with an increasing number of layers as epsilon -&gt; 0. In particular, we give a characterization of cluster of layers with asymptotically positive length by means of a limit energy function and, conversely, for a given admissible pattern, i.e. for a given a limit energy function, we construct a family of solutions with the corresponding behaviour.

We study the balanced Allen-Cahn problem in a singular perturbation setting. We are interested in the behaviour of clusters of layers, i.e. a family of solutions mu(epsilon) (x) with an increasing number of layers as epsilon -&gt; 0. In particular, we give a characterization of cluster of layers with asymptotically positive length by means of a limit energy function and, conversely, for a given admissible pattern, i.e. for a given a limit energy function, we construct a family of solutions with the corresponding behaviour.

We consider a class A equations of the form
-epsilon(2) Deltau + V(x)u = f(u), u is an element of H-1(R-N).
By variational methods, we show the existence of families of positive solutions concentrating around local minima of the potential V(x), as epsilon --&gt; 0. We do not require uniqueness of the ground state solutions of the associated autonomous problems nor the monotonicity of the function xi --&gt; f(xi)/xi. We deal with asymptotically linear as well as superlinear nonlinearities.

We consider a class A equations of the form
-epsilon(2) Deltau + V(x)u = f(u), u is an element of H-1(R-N).
By variational methods, we show the existence of families of positive solutions concentrating around local minima of the potential V(x), as epsilon --&gt; 0. We do not require uniqueness of the ground state solutions of the associated autonomous problems nor the monotonicity of the function xi --&gt; f(xi)/xi. We deal with asymptotically linear as well as superlinear nonlinearities.

We consider the equation
-u" = g(u), u(x) is an element of H-1 (R) (0.1)
Under general assumptions on the nonlinearity g we prove that the, unique up to translation, solution of (0.1) is at the mountain pass level of the associated functional. This result extends a corresponding result for least energy solutions when (0.1) is set on R-N.

We consider the equation
-u" = g(u), u(x) is an element of H-1 (R) (0.1)
Under general assumptions on the nonlinearity g we prove that the, unique up to translation, solution of (0.1) is at the mountain pass level of the associated functional. This result extends a corresponding result for least energy solutions when (0.1) is set on R-N.

We consider the multiple existence of positive solutions of the following nonlinear Schrodinger equation:
-Deltau + (lambdaa(x) + b(x))u = u(p), u &gt; 0 in R-N, (P-lambda)
where p is an element of (1, N+2/N-2) if N greater than or equal to 3 and p is an element of (1, infinity) if N = 1, 2, and a (x), b(x) are continuous functions. We assume that a(x) is nonnegative and has a potential well Omega := int a(-1) (0) consisting of k components Omega(1),..., Omega(k) and the first eigenvalues of -Delta + b(x) on Omega(j) under Dirichlet boundary condition are positive for all j = 1, 2,..., k. Under these conditions we show that (P-lambda) has at least 2(k) - 1 positive solutions for large lambda. More precisely we show that for any given non-empty subset J subset of {1, 2,... k}, (P-lambda) has a positive solutions u(lambda)(x) for large lambda. In addition for any sequence lambda(n) --&gt; infinity we can extract a subsequence lambda(ni) along which ulambda(ni) converges strongly in H-1 (R-N). Moreover the limit function u(x) = lim(i--&gt;infinity) ulambda(ni) satisfies
(i) For j is an element of J the restriction u\Omega(j) of u(x) to Omega(j) is a least energy solution of -Deltav + b(x)v = v(p) in Omega(j) an v = 0 on partial derivativeOmega(j).
(ii) u(x) = 0 for x is an element of R-N \ (boolean ORjis an element ofJ Omega(j)).

We consider the multiple existence of positive solutions of the following nonlinear Schrodinger equation:
-Deltau + (lambdaa(x) + b(x))u = u(p), u &gt; 0 in R-N, (P-lambda)
where p is an element of (1, N+2/N-2) if N greater than or equal to 3 and p is an element of (1, infinity) if N = 1, 2, and a (x), b(x) are continuous functions. We assume that a(x) is nonnegative and has a potential well Omega := int a(-1) (0) consisting of k components Omega(1),..., Omega(k) and the first eigenvalues of -Delta + b(x) on Omega(j) under Dirichlet boundary condition are positive for all j = 1, 2,..., k. Under these conditions we show that (P-lambda) has at least 2(k) - 1 positive solutions for large lambda. More precisely we show that for any given non-empty subset J subset of {1, 2,... k}, (P-lambda) has a positive solutions u(lambda)(x) for large lambda. In addition for any sequence lambda(n) --&gt; infinity we can extract a subsequence lambda(ni) along which ulambda(ni) converges strongly in H-1 (R-N). Moreover the limit function u(x) = lim(i--&gt;infinity) ulambda(ni) satisfies
(i) For j is an element of J the restriction u\Omega(j) of u(x) to Omega(j) is a least energy solution of -Deltav + b(x)v = v(p) in Omega(j) an v = 0 on partial derivativeOmega(j).
(ii) u(x) = 0 for x is an element of R-N \ (boolean ORjis an element ofJ Omega(j)).

We study a mountain pass characterization of least energy solutions of the following nonlinear scalar field equation in R-N:
-Deltau = g(u), u is an element of H-1(R-N),
where N greater than or equal to 2. Without the assumption of the monotonicity of t bar right arrow g(t)/t, we show that the mountain pass value gives the least energy level.

The existence of solutions with multiple transition layers for the spatially inhomogeneous phase transition problem is discussed. The location and multiplicity of the transition layers, especially the clustering layers and the boundary layers were studied. The existence of complicated dynamics, described in terms of symbolic sequence of integers was proved using Conley index theory.

We study a mountain pass characterization of least energy solutions of the following nonlinear scalar field equation in R-N:
-Deltau = g(u), u is an element of H-1(R-N),
where N greater than or equal to 2. Without the assumption of the monotonicity of t bar right arrow g(t)/t, we show that the mountain pass value gives the least energy level.

We consider the problem of finding standing waves to a nonlinear Schrödinger equation. This leads to searching for solutions of the equation -ε2u″ + V(x)u = |u|p-1u in R, p > 1, when s is a small parameter. Given any finite set of points x1 < X2 < ⋯ < xm constituted by isolated local maxima or minima of V, and corresponding arbitrary integers n i, i = 1,..., m, we prove that there is a finite energy solution exhibiting a cluster of n/ spikes concentrating around each xi as ε → 0. The clusters consist of spikes with alternating sign if the point is a minimum, and of constant sign if it is a maximum. This construction extends to infinitely many clusters of spikes under appropriate conditions. The proof follows an elementary variational matching approach, which resembles the so-called broken-geodesic method.

In this paper we establish the existence of a positive solution for an asymptotically linear elliptic problem on R-N. The main difficulties to overcome are the lack of a priori bounds for Palais-Smale sequences and a lack of compactness as the domain is unbounded. For the first one we make use of techniques introduced by Lions in his work on concentration compactness. For the second we show how the fact that the "Problem at infinity" is autonomous, in contrast to just periodic, can be used in order to regain compactness.

The existence of positive solutions for a class of nonhomogeneous elliptic equations in RN was analyzed. The mountain pass minimax value was strictly less than the first level of the break down of (PS)c-condition for I(u). Through the Mountain Pass Theorem, a critical point was obtained which was a positive solution of the nonhomogeneous elliptic equation.

In this paper we establish the existence of a positive solution for an asymptotically linear elliptic problem on R-N. The main difficulties to overcome are the lack of a priori bounds for Palais-Smale sequences and a lack of compactness as the domain is unbounded. For the first one we make use of techniques introduced by Lions in his work on concentration compactness. For the second we show how the fact that the "Problem at infinity" is autonomous, in contrast to just periodic, can be used in order to regain compactness.

We study the existence of multiple positive solutions for nonhomogeneous superlinear elliptic problems in R-N:
{-Deltau + u = g(x,u) + f(x) in R-N,
{u &gt; 0 in R-N,
{u is an element of H-1 (R-N),
where g(x,u) is a superlinear function such that g (x,0) equivalent to 0 and f is an element of H-1(R-N), f greater than or equal to 0, f not equivalent to 0. A typical example of g(x,u) is g(x,u) = a(x)u(P), where 1 &lt; p &lt; (N+2)/(N-2) if N greater than or equal to 3, 1 &lt; p &lt; infinity if N = 1, 2. We show the existence of multiple positive solutions under suitable conditions on g(x, u) and f(x).

We study the existence of multiple positive solutions for nonhomogeneous superlinear elliptic problems in R-N:
{-Deltau + u = g(x,u) + f(x) in R-N,
{u &gt; 0 in R-N,
{u is an element of H-1 (R-N),
where g(x,u) is a superlinear function such that g (x,0) equivalent to 0 and f is an element of H-1(R-N), f greater than or equal to 0, f not equivalent to 0. A typical example of g(x,u) is g(x,u) = a(x)u(P), where 1 &lt; p &lt; (N+2)/(N-2) if N greater than or equal to 3, 1 &lt; p &lt; infinity if N = 1, 2. We show the existence of multiple positive solutions under suitable conditions on g(x, u) and f(x).

We consider the existence of positive solutions of the following semilinear elliptic problem in R-N:
[GRAPHICS]
where 1 &lt; p &lt; N+2/N-2 (N greater than or equal to 3), 1 &lt; p &lt; infinity (N = 1, 2), a(x) is an element of C(R-N), f(x) is an element of H-1(R-N) and f(x) greater than or equal to 0. under the conditions;
1 degrees a(x) is an element of (0,1] for all x is an element of R-N,
2 degrees a(x) --&gt; 1 as \x\ --&gt; infinity,
3 degrees there exist delta &gt; 0 and C &gt; 0 such that
a(x) - 1 greater than or equal to -Ce-(2+delta)\x\ for all x is an element of R-N,
4 degrees a(x) not equal 1,
we show that (*) has at least four positive solutions for sufficiently small \\f\\(H-1(RN)) but f not equal 0.

We study Trudinger type inequalities in R-N and their best exponents alpha(N). We show for alpha is an element of (0, alpha(N)), alpha(N) = N omega(N-1)((N-1)) (omega(N-1) is the surface area of the unit sphere in R-N), there exists a constant C-alpha&gt;0 such that
[GRAPHICS]
for all u is an element of W-1,W-N (R-N) \ {0}. Here Phi(N) (xi) is defined by
[GRAPHICS]
is also shown that (*) with alpha greater than or equal to alpha(N) is false, which is different from the usual Trudinger's inequalities in bounded domains.

We consider the existence of positive solutions of the following semilinear elliptic problem in ℝN: (Formula Presented) where 1 &lt
p &lt
N + 2/N - 2 (N ≥ 3), 1 &lt
p &lt
∞ (N = 1, 2), a(x) ∈ C(ℝN), f(x) ∈ H-1 (ℝN) and f(x) ≥ 0. Under the conditions: 1° a(x) ∈ (0, 1) for all x ∈ ℝN, 2° a(x) → 1 as |x| → ∞, 3° there exist δ &gt
0 and C &gt
0 such that a(x) - 1 ≥ -Ce-(2+δ)|x| for all x ∈ ℝN, 4° a(x) ≢ 1, we show that (*) has at least four positive solutions for sufficiently small ||f||H-1(ℝN) but f ≢ 0.

We study the existence of unbounded solutions of singular Hamiltonian systems:
q + del V(q) = 0,
were V(q) similar to - 1/\q\alpha is a potential with a singularity. For a class of singular potentials with a strong force alpha &gt; 2, we show the existence of at least one hyperbolic-like solutions. More precisely, for given H &gt; 0 and theta(+), theta(-) is an element of SN-1, we find a solution q(t) of (*) satisfying
[GRAPHICS]

We study the existence of unbounded solutions of singular Hamiltonian systems:
q + del V(q) = 0,
were V(q) similar to - 1/\q\alpha is a potential with a singularity. For a class of singular potentials with a strong force alpha &gt; 2, we show the existence of at least one hyperbolic-like solutions. More precisely, for given H &gt; 0 and theta(+), theta(-) is an element of SN-1, we find a solution q(t) of (*) satisfying
[GRAPHICS]

We study the existence of periodic solutions of singular Hamiltonian systems as well as closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds via variational methods.
For Hamiltonian systems, we show the existence of a periodic solution of prescribed-energy problem:
(q) double over dot + del V(q) = 0,
1/2\(q) over dot\(2) + V(q) = 0
under the conditions: (i) V(q) &lt; 0 for all q is an element of R-N \ {0}; (ii) V(q) similar to -l/\q\(2) as \q\ similar to 0 and \q\ similar to infinity.
For closed geodesics, we show the existence of a non-constant closed geodesic on (R x SN-1, g) under the condition:
g((s,x)) similar to ds(2) + h(0) as s similar to +/- infinity,
where h(0) is the standard metric on SN-1. (C) 2000 Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS.

We consider the following semilinear elliptic equation involving critical Sobolev exponents:
-Delta u = K(\x\)u((n+2)/(n-2)) in R(n),
u(x) --&gt; 0 as \x\ --&gt; infinity,
where n greater than or equal to 3, K(r) is an element of C([0, infinity), R). We grove the existence of a positive radial solution with asymptotic behavior C/\x\(n-2) at \x\ = infinity under the conditions (i) K(r) &gt; 0 for all r &gt; 0, (ii) K(0) = K(infinity), and (iii) there exist C, delta &gt; 0 such that K(r) greater than or equal to K(0) - Cr-delta for small r &gt; 0 and K(r) greater than or equal to K(0) - Cr--delta for large r &gt; 0.

We consider the following semilinear elliptic equation involving critical Sobolev exponents:
-Delta u = K(\x\)u((n+2)/(n-2)) in R(n),
u(x) --&gt; 0 as \x\ --&gt; infinity,
where n greater than or equal to 3, K(r) is an element of C([0, infinity), R). We grove the existence of a positive radial solution with asymptotic behavior C/\x\(n-2) at \x\ = infinity under the conditions (i) K(r) &gt; 0 for all r &gt; 0, (ii) K(0) = K(infinity), and (iii) there exist C, delta &gt; 0 such that K(r) greater than or equal to K(0) - Cr-delta for small r &gt; 0 and K(r) greater than or equal to K(0) - Cr--delta for large r &gt; 0.

We consider T-periodic solutions of singular Hamiltonian systems with weak force q + delV(q, t) = 0, where V(q, t) approximately - 1/\q\alpha near q = 0 with alpha is-an-element-of (0, 2) . In particular, we study some properties of generalized T-periodic solutions, which were introduced by Bahri and Rabinowitz.

We consider T-periodic solutions of singular Hamiltonian systems with weak force In particular, we study some properties of generalized T-periodic solutions, which were introduced by Bahri and Rabinowitz. © 1994 American Mathematical Society.

We prove the existence of periodic solutions with prescribed energy for a class of N-body type problems with Keplerian like interaction.

We prove the existence of periodic solutions with prescribed energy for a class of N-body type problems with Keplerian like interaction.

Under a weak force type condition, we consider the existence of time periodic solutions of singular Hamiltonian systems:
[GRAPHICS] We assume V(q, t) &lt; 0 for all q, t and V(q, t), V(q)(q, t) --&gt; 0 as Absolute value of q --&gt; infinity. Moreover we assume V(q, t) is of a form: V(q, t) = - 1/\q\alpha + U(q,t) where 0 &lt; alpha &lt; 2 and U(q, t) is-an-element-of C2 ((R(N)\{0}) x R, R) is a T-periodic function in t such that \q\alpha U(q, t), \q\alpha+1 U(q)(q, t), \q\alpha+2 U(qq)(q, t), \q\alpha U(t)(q, t) --&gt; O as Absolute value of q --&gt; 0.
For alpha is-an-element-of (1, 2], we prove the existence of a non-collision solution of (HS). For alpha is-an-element-of (0, 1], we prove that the generalized solution of (HS), which is introduced in [BR], enters the singularity 0 at most one time in its period. Our argument depends on a minimax argument due to [BR] and an estimate of Morse index of corresponding functional, which will be obtained via re-scaling argument.

We study the existence of forced vibrations of nonlinear wave equation: {Mathematical expression} where g(ξ)∈C(R, R)is a function with superlinear growth and f(x, t) is a function which is 2π-periodic in t. Under the suitable growth condition on g(ξ), we prove the existence of infinitely many solution of (*) for any given f(x, t). © 1992 Fondazione Annali di Matimatica Pura ed Applicata.

We study the existence of forced vibrations of nonlinear wave equation: [GRAPHICS} where g(xi) is-an-element-of C(R, R) is a function with superlinear growth and f(x, t) is a function which is 2pi-periodic in t. Under the suitable growth condition on g(xi), we prove the existence of infinitely many solution of (*) for any given f(x, t).

We consider the existence of homoclinic orbits for a first order Hamiltonian system z ̇ = JHz(t, z). We assume H(t, z) is of form H(t, z) = 1 2(Az, z) + W(t, z), where A is a symmetric matrix with δ(JA)∩iR = ∅ and W(t, z) is 2π-periodic in t and has superquadratic growth in z. We prove the existence of a nontrivial homoclinic solution z∞(t) and subharmonic solutions (zT(t))Tε{lunate}N (i.e., 2πT-periodic solutions) of (HS) such that ZT(t) → Z∞(t) in Cloc1(R,R2N) as T → ∞. © 1991.

Many mathematicians are concerned with free vibrations—that is, they assume f(x, t) = 0 and find non trivial solutions. This chapter discusses the nonlinear vibrating string equation. © 1987, Publishing Committee of Lecture Notes in Numerical and Applied Analysis

非線形常微分方程式の分岐曲線の漸近挙動の解析に関しては、生物学的・物理学的現象から導出された、自励系・非自励系の方程式の分岐曲線の大域的・局所的な漸近挙動の解析に取り組み、詳細な漸近公式を確立した。逆分岐問題に関しては、考察した方程式に含まれる定数が未知定数であると仮定したとき、方程式の分岐曲線の大域的挙動のみから未知の非線形項を決定できるか、などの研究課題にこれまでとは全く違う新しい視点から取り組み、成果を上げることができた。これらの成果により、今後の逆分岐問題の新しい切り口からの研究に対する基礎的結果を確立することができた

重力の影響下での熱対流を記述するBoussinesq方程式を重みのついた空間で考察し、解の一意存在を確立したうえで解の漸近形を二次の項まで得た。また、2次元全平面および外部領域における定常Navier-Stokes方程式に対し、領域、外力及び境界値に新しい対称性を導入し、この仮定をみたす十分小さい外力及び境界値に対して遠方で減衰する定常解の存在を示した。さらに、より弱い対称性の仮定の下で、十分に小さい減少する定常解のL2空間に属する任意の初期摂動に対する大域的漸近安定性を示し、また各種のノルムによる収束の速度を求めた

変分的手法によるアプローチにより, 非線形楕円型方程式の研究を行った. 特に特異摂動問題を重視し, 極限方程式に対して解の一意性, 非退化性が保証できない場合 ーLyapunov-Schmidt 法が適用できない場合ー にも適用可能な変分的方法を見いだし種々の問題に対して凝集解の存在を示した. またスケーリングによる不変性に注目することにより, 楕円型問題に対する新しい変分的アプローチを与えた

量子物理現象や数理生態学におけるパターン形成の数理モデル等に現れる非線形変分問題および非線形楕円型偏微分方程式の解の構造を中心に研究推進を行った。特に、細い領域上での混合境界条件下でのラプラシアンの固有値の精密な漸近挙動の研究およびBose-Einstein凝縮現象に付随する非線形変分問題の最小エネルギーに関する粒子数無限大での漸近挙動の研究を行った。また、3種のFitzHugh-Nagumo型数理モデルに付随する変分問題のエネルギー最小解の解析、交差拡散効果をもつPrey-Predator数理モデル等に現れる非線形反応・拡散系に対して、非定数定常解の存在・非存在パラメータ領域の解析を行った

二次の相互作用を持つ非線型シュレディンガーの連立系に対するラグランジアンを書き下し、質量共鳴現象のラグランジュ形式による系統的説明を与え、波動函数の複素共軛の果たす役割が本質的である事を見出した。質量共鳴現象に伴う定在波の解析を変分問題として定式化し、基底状態の存在と（本質的な）一意性を示した。また、質量共鳴条件下で任意に小さな初期データでも爆発現象を生み出す相互作用の具体例を得た

本研究では反応拡散方程式に対する自由境界問題を解析した。この問題は数理生態学における，外来生物などの生物種の侵入・移動をモデルとしており，種の個体数密度とその生息領域が時間とともにどのように変化するかを調べることが目的である。個体数密度は反応拡散方程式で記述され，生息領域の境界（またはその一部）の運動はステファン型の自由境界条件で支配されるとする。このとき種が絶滅に至るか、あるいは生息領域が無限に拡がるとともに種が存続するか, その挙動のメカニズムを理論的に解明できた。また，生息領域が拡大する際の速度はどのように定まるか？などの問題についても詳細な結果を得ることができた

物理現象を記述するモデル方程式として、場の古典論、流体力学、プラズマ物理をはじめ様々な分野に現れる重要な非線型楕円型偏微分方程式について、今まで個別に用いられることの多かった変分解析、非線型常微分方程式、粘性解理論の手法を総合的に駆使することにより、定在波の安定性や爆発現象を深く説明する方法論を確立し、さまざまな応用を見出した

藤田型の非線型熱伝導方程式の初期値問題の正値解の爆発現象について研究した。解が爆発する事は約半世紀前の藤田宏の先駆的研究以来良く知られており、最近では爆発解の形状などの空間的挙動についても精密な研究が行われている。本研究では、爆発時刻が初期データの球面平均を用いて特徴付けられる事を示した。Lee とNi の結果(Trans.AMS, 1992)およびGui とWang の結果(JDE, 1995)で課されていた一様性と等方性の仮定を外し、爆発現象が常微分方程式的構造に支配されてる様子を明らかにした

環境効果の入ったアレン・カーン型方程式や飽和効果をもつケモタキシス系などのパターン形成問題において、対応する非線形反応・拡散偏微分方程式を解析し、非一様定常パターンの数学的に厳密な存在証明を行った

本研究では、非線形楕円型方程式の固有値や固有関数の漸近的性質を詳細に解析し、そこから派生する逆問題を考察した。その結果、さまざまなタイプの非線形項を含む方程式の大域的、局所的分岐構造を明らかにした。逆問題に関しては、ロジスティックタイプの方程式の分岐曲線の逆問題を中心に考察した。これに関して、常微分方程式論的アプローチと漸近展開の公式を援用することにより、分岐曲線の漸近的性質から、未知の非線形項を決定することに成功した

2次元全空間および外部領域上のNavier-Stokes 方程式について研究を行った.対称性の強い小さな定常外力が存在する場合,遠方での減衰が非常に速い小さな 定常解が一意的に存在することが示された.またその定常解が十分小さい場合には,初期摂動についての大きさの限界なしで定常解が安定であることが示された.また平行平板間の Navier-Stokes 方程式についての研究も行った.この問題をBesov 空間で考察した結果, p が無限大の場合は外力なしの場合にも自明でない解があり,これがPoiseuille 流に相当することがわかった.

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

本研究においては、数理生態学分野に登場する2種の競合生物の棲み分け現象や新種の侵入現象などに現れる、種の非均質性の様子を数学的に定式化して考える。このような問題は生物種の個体数密度を未知関数とする反応拡散方程式として表わされる。非線形拡散を伴う2種生物モデルに対する正値定常解集合の構造、および生物の侵入をモデルとする自由境界問題に対する展開の成功と絶滅のメカニズムについて、満足できる成果が得られた。

非線型問題の研究を変分的手法により行った. 特に(1) 非線型シュレディンガーおよびその連立系に対する特異摂動問題に関して凝集解の変分的構成を行い, 非常に一般的な設定の下でその存在を示した. (2) 非線型楕円型方程式 (系) の解の存在を種々の設定の下で扱い, 解の新しい変分的構成を与えた. また解の安定性, 不安定性の研究を行った. (3) 空間次元 1 の特異摂動問題においては高振動解の特徴付けと存在結果を与えた.

数理生態学に現れる非線形拡散を伴う反応拡散方程式システムを解析した。これは生存競争を行う2種の生物種の棲み分け現象を記述するモデルとして定式化されたものである。正値定常解は2種の生物種の共存状態として生態学的にも意味のある解であり、このような解の構造解明が重要なテーマである。正値定常の存在を示すための理論・技法の開発をおこなった。同時に、非線形拡散係数を無限大とする場合の極限問題と、本来の問題との関係を調べることにより、解構造解明への手がかりをつかむことができた。

非線形現象の数理(特に, パターン形成における環境効果の果たす役割, 対称性の崩れ現象など)を非線形偏微分方程式の解析を通して理解・解明したいという動機のもと, 数理生態学に現れるアレン・カーン方程式, ギーラー・マインハルト系などの反応拡散方程式系の定常解, 非線形光学現象に現れる非線形シュレディンガー方程式など種々の非線型楕円型変分問題の解の構造の研究や関連して無限次元の最適化問題を中心テーマとして研究を行った.

研究成果の概要:平行平板間領域における外力付きのStokes方程式について、阿部孝之氏と共同でBesov空間において考察し、特にPoiseuille流がこの立場で捉えられることを示した。次いで外部領域における外力付きの定常Navier-Stokes方程式について、無限遠方での流速が0である場合と0と異なる場合について統一的に考察し、応用として無限遠方での流速が0に近づく場合の解の挙動を精密に調べた。最後に、負階の関数空間におけるNavier-Stokes方程式の考察の基礎となるHelmholtz分解をこれらの空間で構成した。またが威力に関する強い対称性を仮定して、全平面上での定常Navier-Stokes方程式の解の一意存在を示した。

本研究では非線形楕円型固有値問題の正値解の漸近挙動について詳細な解析を行った。特に物理的、生物学的な背景を持つ方程式について境界層が現れるような方程式を中心に考察し、常微分方程式の方法、変分法等を援用することにより、解や固有値の漸近挙動を詳しく解析することができた。特にロジスティック方程式に関連した方程式や単振り子の方程式について詳細な考察を行い、十分な成果をあげることができた。

Oberbeck-Boussinesq方程式系を用いた水平な帯状領域での熱対流問題について解析。2次元問題ではロール型の解が得られるが、Rayleigh数が臨界Rayleigh数の10倍程度の所まで、その分岐曲線の存在を計算機援用証明によって行えた。更に、2次分岐点の特定のために存在検証手順を定式化し、スペクトル法が使える場合のロール型の第2モードの解の分岐曲線上でRayleigh数が比較的小さい所で起る二次分岐点を特定する数値的存在証明に成功した。3次元の問題である六角形型の解、長方形型の解の数値的検証存在証明が、臨界Rayleigh数の近くでは出来た。
更に、上の境界が自由表面である時は、非線形性が強く解析がなかったのであるが、この自由表面問題であるBenard-Marangoni対流の場合の最初の分岐解析として定常分岐と周期解分岐が現れる事の解析的な証明が出来つつある。Kuramoto-Sivashinsky方程式の進行波解を記述する微分方程式系であるMichelson系においては、パラメータ c を変化させるとヘテロクリニック軌道の無限回の分岐がサドル・ノード周期軌道の分岐点に集積するという"cocoon-分岐"と呼ばれる分岐現象が見られる。それを一般的に調べ、その組織中心(特異不変集合)を分岐理論的に明らかにした。
またその機構が実際にMichelson系において起きることを精度保証付き計算と位相的議論を用いて数学的に厳密に証明した。2次元のdriven-cavity問題の解の数値検証に関しては、Wienersの研究例があるが、その検証原理からレイノルズ数が小さい場合に限られていた。今回、解の検証をNewton型にする方法によって、Re=200まで検証することが可能となった。

特異摂動問題の解析に重点をおき,変分的手法を用いて非線型楕円型方程式,ハミルトン系の研究を行った.
1.特異摂動問題においては高振動解(特異摂動パラメーターεが0へ近づくときスパイクあるいは遷移層の数が無限大へと発散する解)の解析と非線型Schrodinger方程式Allen-Cahn方程式,Fisher方程式に対して行い,admissibleなadiabatic invariantに対応する解の族の構成に成功した.またGierer-Meinhardt方程式に対しては,方程式にx依存性がなくとも局所的に高振動解をもつ解が現れることをエネルギー関数等に対する極限方程式を解析することにより示した.なお,1次元Schrodinger方程式に対してはε→0のときの正値解の個数の増加に関する新しい評価を与えることに成功した.
2.非線型Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して,非常に一般的な非線型項を許容する条件の下で凝集解の構成に空間次元が1,の場合に成功した.このような試みは数多くされて来たが,今回の結果はBerestycki-Gallouet-Kavianのscalar filed方程式の結果に対応し,既存の結果を包括する.(空間次元が3以上の場合はByeonとJeanjeanにより最近示されていたが,今回空間次元が1,2の場合は未知であった.今回その場合を扱うことにに成功した.)
3ハミルトン系に関してはprescribed energy問題を考察し,天体力学に関連したハミルトン系に対して周期軌道の存在証明に成功した.ここで得られた結果の特徴としては次の点があげられる.(a)strong force条件を一般化した条件の下での存在定理であること.(b)等エネルギー曲面S={(q,p)|H(q,p)=E}はノンコンパクト.(c)存在のための条件はハミルトン関数H(q,p)に対する条件ではなく,等エネルギー曲面Sに対する条件として与えられている.

(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。

実解析的方法を駆使,L_p空間におけるStokes方程式のスペクトル解析とそのNavier-Stokes方程式への応用についての研究を行った.主な成果つ次のようなものである.
1.非圧縮性粘性流体が一つの物体を通り過ぎるような場合を数学的に記述するOseen方程式に対応する線形化問題のスペクトル解析により,解析半群の生成とその時間無限遠での漸近挙動を示し,それを応用し対応するNavier-Stokes方程式の小さな初期値に対する時間大域解の存在を示した.
2.ビルなどを通り抜ける風の運動などを数学的に定式化したperturbed half spaceにおけるNavier-Stokes方程式の線形化問題として得られるStokes問題の解析半群の生成と時間無限遠での漸近挙動を示した.またそれを応用し対応するNavier-Stokes方程式の小さな初期値に対する時間大域解の存在を示した.
3.有界領域におけるStokes方程式のNeumann問題に対する解の最大正則性原理の証明に成功した.本研究ではWeisのFourier multiplierに関する最新の結果を用いこれまでの研究より簡潔でしかもシャープな結果を得た.この研究で得られた方法論は放物発展方程式の最大正則性原理の証明に広く応用できる画期的なものである.さらにこの原理を応用して表面張力を考えなくて良い場合の自由境界をもつNavier-Stokes流の時間大域的一意存在定理を初期値が小さい場合に示した.
4.無限遠方での流速が零の場合の回転する物体の外側を流れるNavier-Stokes流の数学的解析において,その線形化問題のスペクトル解析を行い,特に解の時間大域的なLp-Lq評価を示した.我々の結果は非常に画期的で有り,この方面の研究を格段に進歩させた.研究方法の特徴的なところは,局所減衰定理を示したところにある.この定理の証明の一つのポイントは,対応するレゾルベント問題の高周波の部分の解析において,作用素を周波数に関して展開し主要部分はセクトリアル作用素になっているということを示したことにある.この解析は従来の研究にはまったく見られない斬新なアイデアであり,7年以上にわたる研究の成果といえる.
5.その他Robinやslip境界条件の下でのStokes方程式のスペクトル解析と対応するNavier-Stokes方程式の解析も行った.また,圧縮性粘性流体に関する拡張も多少を行った.しかし圧縮性粘性流体についての研究の多くは今後の課題である.

対称臨界性原理とは、「Banach空間X上で定義された汎関数Jに対し、ある群Gの作用に関して不変な部分空間X_G上でのJの臨界点が、X全体でのJの臨界点を与える」という原理である。
この原理は、Jの汎関数(フレッシェ)微分を、劣微分作用素を含むかなり一般的な多価作用素Aに置き換えても成立することが、本研究により示されている。
さらに、作用素Aが、必ずしも変分構造を有していない場合に対して拡張することが可能(AがG-共変であれば十分)であり、時間発展を伴う発展方程式に対して有用であろうことが期待されていた。
(1)非線形放物型方程式、波動方程式、シュレンディンガー方程式等への応用考えるとき、時間に関する微分作用素d/dtがどのような空間でG-共変となるかを調べることは重要であるが、今回L2(0,T;X),X=L2(Ω),L2(Ω)xL2(Ω),H10(Ω)xL2(Ω),などでそのG-共変性(G=O(N))が確かめられた。これらの空間は、上記の諸方程式を抽象発展方程式に帰着させるときに現れる基本的な空間であり、これは、今後の発展方程式への応用研究において重要な知見である。
(2)放物型方程式の時間大域解の漸近挙動を解析する際、コンパクト性は強力なな道具を提供する。一般の非有界領域では欠如しているソボレフの埋蔵定理にかかわるコンパクト性が、回転対称性を有する関数からなる部分空間においては、恢復するという事実に基づき、ある種の回転対称性を有する非有界領域におけp-Laplace作用素と爆発項を含む非線形放物型方程式の対称大域解のW1,p-有界性が確かめられた。

本研究では,準線形拡散項を伴う数理生態学モデルの正値定常解集合の構造の解析,および相転移現象を記述する半線形拡散方程式の解集合の構造の解析を主として行なった.
数理生態学モデルでは拡散項が個体数密度に依存するprey-predatorモデル
u_t=Δ[ψ(u, v)u]+au(1-u-cv), v_t=Δ[ψ(u, v)v]+bv(1+du-v)
について同次Dirichlet境界条件の下で正値定常解集合の構造を解析した.この問題においてu, vはそれぞれprey, predatorの個体数密度であり,正値定常解集合が存在するための十分条件は知られており,問題になるのは正値解の形状や個数である.本研究では例えばφ(u, v)=1, φ(u, v)=1-βuとすると, βが大きいならば,適当な条件の下では3組の正値定常解が存在することを示したのみならず,それぞれの解の安定性に関する結果も得ることができた.
相転移現象モデルとして研究した方程式ほ同次Neumann境界条件下での
u_t=ε^2u_<xx>+u(1-u)(u-a(x)) (ただし0<a(x)<1)
である。拡散係数εが非常に小さいときには多種多様な定常解の存在が知られている。とりわけ、関数の値が急激に変化する内部遷移層やスパイクを持つ解が最大の関心の的である。我々の研究グループとAi-Chen-Hastingsのグループが独立に研究しており,内部遷移層が現れる位置はa(x)=1/2となる点xの近傍,スパイクが現れる位置はa(x)が極値を取る点xの近傍に限られることを示した.さらに、多重内部遷移層や多重スパイクが現れる条件や解の安定性(Morse指数)と解の形状についでも詳しい結果を得ることができた.

1.倉田は、非線形熱伝導現象や数理生態学における個体増殖モデルでの最適捕獲戦略の存在と定性的研究を行い、数値計算によりその可視化を行った。また、分担者の田中とともにAllee効果をもつ個体増殖モデルにおける環境因子の多重安定パターン形成の機構の研究を行った。非線形シュレディンガー方程式での対称性の崩れ現象の研究や零点をもつ解の半古典極限での漸近プロファイルの研究を行った。
2.岡田は、一般の有界領域での数値計算が実行できることを目指して、境界スプライン関数の構成を行った。特に1次元で、有界区間でも適用できる関数近似に適した基底関数を作ることができた。境界の近くでは基底関数を修正し、近似するべきもとの関数をNewtonの補間多項式によって境界外の点に補外することが鍵となった。
3.酒井は、ヘレショウ流れの自由境界問題において、初期領域の境界に尖点(内角が360度の角)がある場合を、層流点および乱流点であるための十分条件について調べた。
4.磯崎は、電気伝導体の表面での電位、電圧の測定値から物体内部の電気伝導度を再構成する逆問題の数学的研究を行った。逆問題と双曲幾何学との発見をし、また物体内の電気伝導度が一部分で不連続的に大きくなっている場合に、不連続部分の位置を特定する理論を完成し,数値計算アルゴリズムを発見した。
5.神保は、薄い領域のある場合のギンツブルグ-ランダウ方程式の解の構造の研究を推し進めた。またマクスウェル方程式の主要部をなす楕円型作用素のスペクトルをヒルベルト空間論の枠組みで解析し離散性を示し固有振動数の摂動問題を設定した。従来同様のミニマックス法による固有値の特徴付けを行い、精密な固有関数を作成して固有値の摂動公式を弱形式の方法によって研究した。
6.田中は、非線型楕円型方程式における特異摂動問題において、広いクラスの非線形項に対して凝縮する解の構成に成功した。特異摂動パラメーターが小さいとき高振動をもつ解があらわれ一般に非常に複雑な振る舞いを見せるが、空間次元が1の場合、解の挙動と方程式の空間変数xへの依存の関連をadiabatic invariantを用い記述し、さらにadmissibleなadiabatic invariantをもつ解の族の存在を示した。

変分的手法により非線型楕円型方程式の解の存在,多重性の研究を行った.特に特異摂動問題の解析に重点を置いた.
1.非有界領域における非線型楕円型方程式に関しては,一般的な非線型項f(u)を伴う方程式-Δu+V(x)u=f(u)に関して解の存在証明をmonotonicity method等を用いて与えた.従来ほとんどの存在結果ではglobal Ambrosetti-Rabinowitz条件等のf(u)に対する大域的な条件が設定されていたが,V(x)に対してある種のdecay条件を課すことにより,f(u)に対する大域的な条件を仮定することなく,解の存在を保証することに成功した.
2.特異摂動問題としては通常とは異なる形で摂動パラメーターが導入された問題-Δu+λ^2a(x)u=|u|^<p-1>u in R^Nに関して考察を行った.λ→∞とするとき,Ω={x∈R^N;a(x)=0}(有界かつ滑らかと仮定する)を定義域とするDirichlet問題の解が現れる.ここではΩが複数個の連結成分からなる場合に,各成分上Dirichlet問題の解が与えられたとき,その解にλ→∞のときに収束するR^N上の界u_λ(x)が存在するか否か研究を行った(connecting problem).従来,このような問題は極限問題の解の非退化性の仮定の下で議論されることが多いが,ここではp∈Nのとき非退化性を全く仮定せずに論じることに成功した.なお関連する話題として,生物モデルにおけるdisruptedな環境をモデルとした解析を行い,安定解の多重性等を見いだした.
3 特異摂動問題に関しては,従来変分的に全く研究されていなかった高エネルギー(振動)を持つ解の族の特徴づけおよび存在問題の研究に取り組み,力学系におけるaveraging theory (theory of adiabatic invariants)と関連する結果を得た.特に,'極限エネルギー関数'を用いた解のパターンの記述,逆にadmissibleなパターンに対してそれを実現する解の族の構成に成功した.

本研究では非線形楕円型方程式の固有値問題に対し、変分法を中心に特異摂動の方法を援用して、いくつかのパラメーターを含む固有値問題の固有値・固有関数の漸近的性質を解析した。2つの固有値パラメーターを含む問題に関しては、pべき、qべきの非線形項を含む常微分方程式を考察し、採用する変分法の枠組みを工夫することにより、pとqの関係により、固有値パラメーターが数種類の漸近挙動を示すことを明らかにした。さらに、単振り子の方程式に関連する、2つのパラメーターを含む常微分方程式の固有値問題の場合に、固有値・固有関数の漸近解析を行った。この問題には、1つのパラメーターを含む問題には決して出現しないタイプの境界層をもつ解が現れるので、解の漸近挙動を詳しく解析した。1つのパラメーターを含む非線形楕円型方程式の固有値問題に関しては、まず単振り子の方程式に関連する常微分方程式の固有値問題の固有関数の漸近挙動を考察した。この方程式の解には境界層が現れるが、この境界層の漸近的性質を詳しく調べ、境界層の、固有値パラメーターに関する漸近展開公式を確立することに成功した。さらにこの結果を有界領域における非線形楕円型方程式の固有値問題に対して拡張した。またロジスティック方程式に関し、有界領域の場合に2乗可積分空間における固有値の漸近公式を確立した。また、摂動された単振り子の方程式に関連する偏微分方程式の固有値問題の固有関数の漸近解析を行った。この方程式の解は領域の内部でほぼ平らであるが、その解がどれぐらい平らであるかを調べるために、解の領域内部での漸近的性質を詳しく調べた。その結果、解の、固有値パラメーターに関する詳細な漸近展開公式を確立することに成功した。その公式は非線形項によって完全に記述することができた。

柴田良弘教授との共同研究によって、n次元空間の外部領域におけるNavier-Stokes方程式のphysically reasonable solutionの自然な拡張となる定常解が一意的に存在するための、時間に依存しない外力に関する十分条件で、流体の無限遠方での速度が0である場合と0と異なる場合とを統一的に扱えるものを、Lorentz空間の双対性および実補間の理論を用いて、3以上のすべての整数nに対して与えた。
また、柴田教授および榎本裕子助手との共同研究によって、上で得た定常解は、弱Ln-空間に属する初期摂動を加えたとき、時間発展について弱Ln-空間において安定であることを示し、さらにこの摂動の大きさは、流体の無限遠方での速度について一様であることを示した。
さらに、定常解についてのこれらの結果を、外力が時間に依存する場合に拡張し、対応する時間周期解、あるいは概周期解の一意存在のための外力に関する十分条件を、劣線型作用素に対する実補間を用いて得た。またこれらの解の初期摂動および外力の摂動に関する、流体の無限遠方での速度について一様な、弱Ln-空間における安定性を示した。
一方、外部領域に関するこれらの結果をより一般の非有界領域に拡張するための準備として、阿部孝之大学院生との共同研究によって、平行平板間におけるStokes方程式の境界値問題についてのLp-理論を、高階のSobolev空間およびBesov空間に拡張し、これらの空間に属するStokes方程式の解が一意的に存在するための、外力に関る十分条件を得た。特にpが無限大の場合には解の一意性が成立せず、外力及び境界値が0に対する解としてPoiseuille流が特徴づけられることを示した。

3年間での研究の目的は粘菌の形態形成をつかさどるKeller-Segel方程式の解構造の研究を行ってきた.この研究は,1983年のChildress-Percusの予想に端を発している.すなわち,彼らの予想は,初期の粘菌の密度に閾値(8π)があって,この値より小さければ,解は時間大域的に存在し,この値を超えると爆発する解が存在するというものである.有界領域においては,永井は宮崎大学の仙葉および鈴木とともに永井ー仙葉ー吉田の結果:「初期条件が小さく球対称解のとき,Keller-Segelの解は爆発しない」を,さらに発展させ,初期条件が小さく爆発がおきるとき,境界の近くに爆発点があること,爆発点の個数等を示した.さらに吉田は内藤,鈴木等の協力を得て,全空間領域での解を考察した.特に,自己相似解に対して,Childress-Percusの予想をほぼ完全に肯定的に解決した.それには幾つもの解決しなければならない,問題が出てきた.それらを一つずつ年を追って解決した.それを箇条書きすると,(1)解は粘菌および化学物質の濃度であることを考慮して非負性と遠方で0になる条件のもと,自己相似解の減衰のオーダーをしめすことが必要(2)Lieuville型の定理が必要(3)粘菌形成方程式系の自己相似解が満たす方程式は2連立楕円型微分方程式系になる.この2連立方程式系を単独楕円型方程式に減らすことが必要(4)moving plane法は楕円型微分方程式に対して有用である.この方法を利用して解の形状が球対称になることを決定する事が出来た.(5)粘菌の初期濃度をパラメータとして取るとき,解とパラメータとの間の大域分枝を決定する事が出来た.(6)Childress-Percusの予想の解決.
以上の成果は次ページの研究論文に発表されている。

1)従来の方法では得られなかった、準線形放物型方程式の解の高い微分可能性を保証する「L^∞-エネルギー法」を開発した。この方法により、まず、充分一般的な二重非線形放物型方程式のリプシッツ連続な時間局所解の存在が示され(1996,2002)、さらには、1950年代以来、未解決であった「Porous Medium方程式はC^∞-級の時間局所解を許すか?」という問題が肯定的に解決されるという重要な知見が得られた(2001)。「L^∞-エネルギー法」は、これらの成果のみならず、いろいろな局面で応用可能な極めて有用な解析手段を与えていることを、現在進行中の研究が示唆している。
2)「劣微分作用素の非単調摂動理論」が、バナッハ空間上の枠組みへ拡大された。これにより、従来ガレルキン法で構成されていた退化放物型方程式の解の存在と正則性がより自然な枠組みで、より一般的な条件のもとで、議論できるようになり、いくつかの具体的な方程式に対して、従来の方法では解決できなかった未解決問題が解決された。
3)部分対称性を有するConcentration Compactness理論を構築した。コンパクト性の欠如した問題を解析する有力な方法として、Concentration Compactness理論が知られているが、一方で球対称性などの高い対称性がある場合には、コンパクト性が回復することが知られている。コンパクト性が回復しない程度の部分的対称性が存在する場合に、Concentration Compactness理論がどのように、その部分対称性を反映するかを解明した。この応用として、無限柱状領域において、臨界指数を越える非線形性をもつ楕円型方程式の非自明解の存在が示された。
4)「ある条件のもとでは、対称性をもつ部分空間での臨界点が、全体での臨界点を与える」というR.Palaisによる対称臨界性原理は、本来変分構造をもつ楕円型方程式に限られた理論であった。
この理論が、必ずしも変分構造をもたない楕円型方程式や時間発展を含むの発展方程式へ適用可能な一般的な理論に拡張された。これにより、従来の理論では不可能であった、放物型方程式や波動方程式への応用の道が開かれた。
5)劣微分作用素を含む多価写像に対する写像度の理論が構築された。これにより、従来ではカバーできなかった、種々の多価性をもつ非線形偏微分方程式への写像度の理論が適用可能になった。
6)劣微分作用素に対する非単調摂動理論を,マイクロポーラ電磁流体の初期値境界値問題及び時間周期問題などに適用できるように改良した。

1.無限遠方に流速がある場合の非圧縮性粘性流体の安定性に関して次の成果を得た.
(a)外部領域でのOseen方程式の定常問題をローレンツ空間で考察し,解の一意存在を示しさらに,解の評価が無限遠方の流速に依存しないことを示した.これを用いて非線形問題の定常解の存在と流速が0に収束にするときの定常解の弱位相での収束を示した.
(b)外部領域でのOseen semigroupの時間に関するdecay評価を無限遠方での流速に独立な形で求めた.これを応用して定常解の初期値に関する安定性を示した.これらの研究は空間時限が3次元以上の仮定のもとで行われた.
2.平行平板中の非圧縮性粘性流体の流れの安定性に関し次の成果を得た.
(a)ストークス作用素に対するレゾルベント問題を領域Ω=R^<n-1>×(0,1)で考えそのL^p理論(l<p<∞)を構築した,X_n方向が有限であることからλ=0もレゾルベント集合に入る事を示した.特にストークス半群は指数安定である事を示した.
(b)(a)の結果を用い平行平板中のクエット流やポアズイ流の初期値の摂動に関する安定性を示した.
3.圧縮性粘性流体の定常流とその安定性に関する数学的解析に関して次の事を示した.
(a)外力が空間変数に依存する場合の定常解を求め,その空間無限遠方での挙動を求めた.
(b)上記定常解からの摂動問題として非定常問題を捉え,初期値のH^3ノルムが小である場合に初期値問題を解いた.さらに対応する線形化問題の解のローレンツ空間での評価を求め,これを応用して非定常問題の解の定常解への時間無限での収束のオーダーを求めた.以上の解析は全空間で行った.
4.ストークス作用素に対するNeumann境界値問題の研究に関して次の結果を得た.
(a)レゾルベント問題を考えL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた.
(b)同様の手法を用いてストークス作用素の2相問題に対するレゾルベント問題のL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた,これらの研究はナヴィエ・ストークス方程式の自由境界値問題を半群の理論を用いて研究をするための出発点となる研究である.

1.倉田は次の研究を行なった。
(1)2次元の曲がった帯状領域上でのCahn-Hilliardエネルギーに関係する1次元の空間非一様な重みをもつ変分問題の最小解の単調性の崩れを調べた。また、遠方で減衰するbackground metricのもとでのChern-Simons-Higgs理論に現れる非線型楕円型方程式のnon-topologicalな解の変分的構成を行った。
(2)Schrodinger作用素のDirichlet第一固有値に関する最小化問題の研究で、形状を球に制限しての最適化問題を論じ、いくつかの場合にその最適位置を決定した。
2.分担者の神保は、ギンツブルグ-ランダウ方程式のVortexを持つ非自明な安定解の構成や凸領域での永久電流の非存在性を示した。田中は非斉次項をもったAllen-Cahn方程式や非線型Schrodinger方程式において、複雑なパターンを持った解の変分的構成に成功した。村田は歪積型の楕円型方程式の正値解の構造を明らかにし、歪積型方程式のMartin境界とMartin核の分類理論を完成させた。研究した。
3.望月は、Dirac作用素やSturm-Liouville型作用素の内部データからのスペクトル逆問題の研究を行ない、酒井は、移動境界問題として典型的なHale-Shaw流れの境界の形状に関して、初期領域に角がある場合に詳細な研究を行った。

本研究において得られた研究成果は、次のような準線形拡散項を含む反応拡散方程式系
【numerical formula】
に対する定常問題と非定常問題に対するものに大別される。このシステムは同一領域で生存競争する2種類の生物の棲み分け現象を記述する数理モデルとして有名である。未知関数u, vは個体数密度を表わし、f, gはu, v間の相互作用を表し、Lotka-Volterra型の競合モデルまたはprey-predatorモデルを扱う。
(1)非線形拡散(cross-diffusion)を伴う上記モデルに対する非定常問題に対しては、時間大域解の存在に関する既知の結果は空間次元が2以下のケースに限られていた。本研究では、α,γ>0の場合、他の方程式の拡散項が線形(β=δ=0)ならば、空間次元や初期データの大きさと無関係に大域解が一意的に存在すことを示すことができた。うまくいった理由は、システムを準線形放物型方程式と半線形放物型方程式に分解し、各方程式についての基本解評価とself-diffusion項をフルに活用したアプリオリ評価を効果的に組み合わせた点にある。この方法はδ>0のケースにも適用することができ、空間次元が5以下の場合に大域解の一意的存在を示すことができた。
(2)上記モデルに対する定常問題について、正値定常解は共存解として数理生態学的に大きな意味があり、その個数を知ることは重要な問題である。本研究においては同次Dirichlet境界条件下、いかなる条件で複数個の共存解が存在しうるか、を集中的に調べた。その結果、線形拡散で相互作用が非常に大きい競合モデルや、非線形拡散(cross-diffusion)の効果が非常に大きいというprey-predatorモデルにおいて、複数個の共存解が存在し得る条件を明らかにすることに成功した。

1.(1)ここ数年の我々の研究により、2つの固有値パラメーターを含む非線形微分方程式の固有値の漸近解析に関しては、変分法的アプローチが有力であることが判明している。いくつかのパラメーターを含む非線形楕円型方程式の固有値問題が本来由来するところの、非線形シュレディンガー方程式に関連した固有値問題の固有値、固有関数の漸近解析を中心に研究を進めた。
(2)非線形シュレディンガー方程式に関連する、2つのパラメーターa, bを含む固有値問題については、変分法を用いてb=b(a)と表したとき、常微分方程式の手法を援用することにより、aが無限大に近づいたときの詳細な漸近公式を得た。また、この漸近公式に関連した新しい臨界指数の存在を明らかにした。
(3)(2)で扱った方程式に対しては、異なる変分法の枠組みを適用することにより、(2)とは異なる変分固有値の定式化が可能であるが、この場合に得られた変分固有値の漸近挙動は、(2)で得られたものとは全く異なることが判明した。
(4)これらの結果は、2つのパラメーターを含む方程式に関してはいままで知られていなかった。したがって、我々の研究はまさにこの方面における先駆的研究と位置づけることができよう。
2.1つの固有値パラメーターを含む非線形固有値問題に対しては、方程式を考える領域が球やドーナツ型の場合、そのパラメーターと、解の2乗ノルムの間に成り立つ、精密な漸近公式を証明する事に成功した。この結果は分岐理論や解の境界層の振る舞いと深く関わっており、今後の我々の研究を進めていく上で、重要な位置を占めるものである。
3.非線形楕円型固有値問題と深く関連する楕円型方程式・放物型システムの解及び調和関数の定性的・漸近的性質について成果をあげることに成功した。

変分的手法により非線型微分方程式の解の存在問題に関する研究を行った.得られた成果は非線型楕円型方程式,特異摂動問題に関するものとハミルトン系に関するものに大別できる.
1.非線型楕円型方程式に関しては非有界領域状のスカラーフィールド方程式の正値解の存在,多重性を空間変数xの依存性をもつ場合に研究を行った.方程式の空間変数xへの依存性からの解集合への影響に関して考察を行い,そのデリケートな依存性を見いだした.特に依存性がいかに小さくとも解空間に大きな影響が起こることを示し,非常に小さな摂動ののちに4つの正値解をもつ方程式の例等をあげた.
2.また空間非一様性をもつ非線型楕円型方程式に対する特異摂動問題を考察した.得られた成果としては(a)1次元問題に対し,新しい有限次元問題への帰着法を導入し,変分的アプローチと共に用いることにより,1点に集中する複数個の内部遷移層あるいは境界層をもつAllen-Cahn型方程式の解の構成し,また1次元非線型Schrodinger方程式に対する1点に複数個のspikeが集中するような半古典極限解の族の構成に成功した.(b)一般的な非線型項g(u)を伴った非線型楕円型方程式に関して,そのMountain Pass Theoremを用いた特徴付けを非常に広いクラスの非線型性に対して与え,その応用として高次元でのspike解の存在証明が,漸近的に線型のオーダーをもつ非線型項をも含む,非常に広いクラスの非線型項に対して可能となった.
3.ハミルトン系に関しては,2体問題型の特異性をもつハミルトン系を主に扱った.まず複数個のstrong force typeの特異点をもつハミルトン系に対し,非常に複雑な(記号力学系に対応する)解軌道族を構成した.また特異点集合Sが1点でなく体積をもつ場合,特異性V(q)〜-1/dist(q,S)^αのオーダーαがいかに小さくとも-いわゆるweak forceの条件の下でも-周期軌道が存在することを見出した.

本研究によって得られた主な成果について,研究計画に対応させながら以下に述べる.
1.ハミルトン力学系に関連する研究:伊藤はハミルトン系の可積分性の定義を一般のベクトル場に対して拡張し,解析的ベクトル場の非共鳴な楕円型特異点の近傍での可積分性とベクトル場の収束する標準化変換の存在が同値なことを証明した.これはポアンカレの渦心問題に対して解答を与えるものにもなっている.
2.エルゴード理論に関する研究:盛田は散乱型の2次元ビリヤード問題に付随したゼータ関数の研究を行い,適当な条件下においてゼータ関数を複素平面上の領域に有理型関数に拡張することに成功した.
3.力学系の分岐理論に関する研究:国府はConley index理論をslow-fast系と呼ばれる特異摂動的ベクトル場に対して拡張することをめざして,遅い変数が1次元の場合にtransition matrixを拡張し,それを用いて周期軌道やヘテロクリニック軌道の存在を検証する一般的な方法を得た.
4.変分法に関する研究:田中は変分法によって特異ハミルトン系の以下のような解を構成した:(1)無限遠から来て無限遠に飛び去る軌道,(2)-1/r^2の摂動のクラスでの周期解,(3)系のポテンシャルが二つの特異点をもつ場合での非有界でカオス的な軌道.
5.シンプレクティック幾何・接触幾何に関する研究:小野がハミルトン系の整数係数のFloer homologyを構成することに成功した.また中居は,1階偏微分方程式を葉層構造・Web幾何の立場から研究し,有限型の一階非線形偏微分方程式に対してアフィン接続を定義し,それの解全体が葉層構造として退化する点集合に沿っての特異性を様々な場合に調べた.

吉田は,粘菌の形状形態を決定するKeller-Segel方程式系の自己相似解の解の存在研究をした。平成11年度,吉田は西日本工業大学の水谷と村本により解が球対称と言う条件のもとにこの問題を研究し不完全ながら解の大域的分岐図を得た。この結果は更に神戸大学の内藤および村本とともに,球対称の仮定なしに,ほぼ完全な解の大域的分岐図を得た。この結果は,京都大学数理解析研究所でおこなわれた「数理モデルと関数方程式('99/11/8-11/12:大阪電気通信大学 坂田定久)」および「第17回九州における偏微分方程式研究集会」(九州大学'00/2/1-2/3)で発表した。更に香港で行われた国際ワークショップ(Reaction-Diffusion System'99/12/6-12/10)およびイタリアでの国際会議(World Congress of Nonlinear Analysis'00/7/19-7/26)で発表した.
永井は宮崎大学の仙葉および鈴木とともに永井-仙葉-吉田の結果:「初期条件が小さく球対称解のとき,Keller-Segelの解は爆発しない」をさらに発展させ,初期条件が小さく爆発がおきるとき,境界の近くに爆発点があること,爆発点の個数等を示した。以上の成果は次ページの研究論文に発表されている。

1.倉田は次の研究を行なった。
(1)係数がなめらかでない適当なクラスに属する場合の磁場シュレヂンガー作用素の基本解の3階微分までの評価を与え、関連する作用素のCalderon-Zygmund性を示した。また、磁場シュレヂンガー作用素の熱核の評価の研究を行なった。
(2)いくつかの楕円型作用素のDirichlet第一固有値に関する最小化問題の研究で、対称性の破れなどの現象を発見し、その最小解に付随する自由境界の滑らかさや形状を研究した。また、形状を球に制限しての最適化問題を論じ、いくつかの場合にその最適位置を決定した。
2.分担者の神保は、ギンツブルグ-ランダウ方程式の非自明な安定解の存在について研究し、田中は非線形楕円型方程式-Δu+u=u^pの摂動に関する不連続な解の振舞いを研究した。村田はユークリッド空間内の非有界領域や非コンパクトRiemann多様体上の二階楕円型および放物型方程式の正値解の構造を研究した。
3.石井は、ガウス曲率流に対する幾何学的近似法の収束を示し、さらにFireyによる石の摩耗の数学モデルを一般化し、曲率が必ずしも凸でない場合に対するガウス曲率流の一般化の存在と一意性を示した。望月は、一般化されたKPP-方程式の解の爆発や漸近挙動の研究およびSturm-Liouville型作用素の内部データからのスペクトル逆問題の研究を行ない、酒井は、2次元の場合に、多面体の外部で同じポテンシャルを形成する細い台を持つ測度が存在するための条件を決定した。

1.楕円型偏微分方程式の固有値問題:ラプラシアンを主要項とする2階楕円型方程式の複数のパラメータを持つ固有値問題を考察した。(変分)固有値の存在、固有関数の漸近的性質等を解明した。また、2-パラメータAmbrosetti-Prodi問題も考察した。パラメータの動く範囲と解の個数とがどの様に関わりあっているのかを解明した。解析方法は上級関数-下級関数法と写像度の議論との組合せである。
2.楕円型偏微分方程式の正値解について:主としてラプラシアンを主要項とする2階楕円型方程式を非有界領域で考え、(複数個の)正値解の存在、及び正値解の一意性に関する種々の定理を確立した。解析方法は、変分法と位相空間論との組合せである。
3.準線形常微分方程式の正値解について:1次元退化ラプラシアンを主要項とする2階準線形常微分方程式を半無限区間上で考察し、時刻無限大のときの正値解の漸近公式を具体的に与えた。また、その応用として、退化ラプラシアンを主要項とする外部ディレクトレ問題の正値解の存在定理を見いだすことが出来た。
4.走化性粘菌の増殖問題について:Keller-Segelによって定式化された走化性粘菌の増殖過程を記述する放物型方程式系の自己相似解の構造について考察した。この自己相似解はパラメータを一つ含んだある半線形楕円型方程式の解として実現される。パラメータに対する解の分岐の状態を明らかにした。
5.準線形楕円型偏微分方程式(系)の非負値解について:退化ラプラシアンを主要項とする楕円型方程式(系)が非負値非自明な全域解を持つための必要条件、十分条件を確立した。また関連した結果としてリュウヴィユ型の定理も得た。

楕円型方程式(I)方程式(E)-△u=|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ω に対して,次の定理を得た.
「Ω=R^N＼B_R, B_R={x∈IR^N ; |x|【less than or equal】R}, 2^*<q<+∞(2^*は, ソボレフ型埋蔵H^1_0(Ω)⊂L^q(Ω)の臨界指数)とするとき, (E)はH^1(Ω)∩L^q(Ω)に属する(球対称)非自明解をもつ. 」1<q【less than or equal】2^*の場合には, 非自明解が存在しないことが既に知られており, 有界領域に対する既知の結果との双対性から, 予想されていた長年の未解決問題が肯定的に解決された有義は極めて大きい.
(II)方程式(E)_λ-△u=λu+|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ωに対して:
(1)Ω=Ω_d×R^<n-d>(R^Nの非有界柱状領域), q=2^*, d【greater than or equal】1, N【greater than or equal】4 とするとき, 任意のλ∈(0, λ_1), λ_1=inf_<v∈H^1_0>(Ω)‖∇u‖^2_L_2/‖u‖^2_L_2>0に対し, (E)_λは非自明解をもつ. この結果は, 有界領域に於けるBrezis-Nirenbergの結果の非有界柱状領域への拡張を与えている. (2)Ω=Ω_d×R^<N-d>, Ω_dをd-次元円環領域とするとき, q>N_d=2(N-d+1)/(N-d+1-2)ならば, (E)_λは非自明解(適当なクラスに属する弱解)を持たない. 2<q【less than or equal】2^*に対しては, (E)_λは非自明解をゆるすことが知られており, 2^*<q【less than or equal】N_dの場合が最近, 次のように解決された:(i)2^*<q【less than or equal】N_dの場合は, 解が存在し, (ii)q=N_dの場合は, 解が存在しない. 即ち, この事実から, 「領域のd次元対称性は, 実効的次元を(d-1)次元だけ減ずる効果をもたらす」ことが結論づけられた.
(III)方程式(E)_1 -△u+u=a(x)|u|^<q-2>u+f(x) x∈IR^N, 2<q<2^* 0<a(x), |a(x)-1|【less than or equal】Ce^<λ|x|>, λ>0に対して, ‖f‖_<H-1(R^N)>が十分小さければ, (E)_1は少なくとも2つの正値解をもつ. さらに, f=0かつq<2^*が十分2^*に近い場合, 正値解の多重性が係数関数a(x)の最大値与える点xのなす集合の位相的性質(カテゴリー)に支配される現象が発見された. この現象は, 今後の進展が期待される重要な課題となろう.
放物型方程式 (I)porous medium方程式の弱解のHolder連続性が良く知られていたが, 滑らかな(局所)解の存在については, 長く, 未解決問題として残されていた. これに対し, 大谷-杉山により, より一般的な方程式に対して, Lipshitz連続な時間局所解が構成され, ここで開発された, L^∞-エネルギー評価法を発展させ, C^∞(IR^N)に属する局所解の存在が証明された. 長年の大きな未解決問題が解決された意義は極めて大きい.
(II) (E)に対する, 非定常問題に対し, q=2^*のときの解の漸近挙動の決定は, 未解決の問題として残されていたが, 今回, 次のような手掛かりが得られた. 「q=2^*, Ω={x∈R^N;|x|<1}かつ, 解u(x, t)は正値, 球対称でr=|x|に関して単調減少ならば, 解は有限時間で爆発するか, または時間大域的に存在して, 次をみたす. 「ある点列{t_n}が存在して, 測度の意味で|∇u(x, t_n)|^2-C_0δ(0) (n-∞). |u(x, t_n)|^<2*>-C_0δ(0) (n-∞)」この結果, critical case(q = 2^*)では, デルタ関数がsubcritical case(q <2^*)の場合の定常解に相当していることを示す意味で, 大変重要な示唆を与えているが, 技術的な強い仮定を要する点で不満が残る. 自然な仮定のもとでの解決が, 今後の課題となろう.
(III)2次元有界領域でのKeller-Segel方程式(粘菌の生態を記述する走化性方程式)に対する初期値・境界値問題の大域解の存在が示された. 更に, 孤立爆発点で解はデルタ関数的な特異性を持つ事を示された. この事実からも, (II)における問題との楕円型方程式を介した密接な関連性がうかがえる. この視点からの今後の研究が望まれる.

1. 倉田は、次の研究を行なった。
(1) 特異的な磁場を持つSchrodinger作用素に対する一意接続性定理および解の零点集合の評価,
(2) 2階の線形一様楕円型作用素に加藤classのpotentialを加えた作用素のessential spectrumより下にあるspectrumの有限性の研究,
(3) Ginzburg-Landau方程式に対するLiouville型定理、磁場の効果の入った非線形Schrodinger方程式のenergy最小のstanding waveの存在とその解の半古典極限でのProfileの研究,
(4) Chern-Simons-Higgs理論に現れる偏微分方程式に対し、背景となる空間の計量が一般の場合に、non-topologicalな解の存在および解の球対称性を示した。また、Moving Sphere methodを応用して、幾何学におけるスカラー曲率方程式の解に対してKelvin変換に関する対称性を示した。
2. 分担者の神保は、Ginzburg-Landau方程式の安定な非定数解の存在およびその零点の配置問題を論じた。
3. 田中はHamilton系の研究および非線型楕円型方程式の正値解の一意性、非退化性を論じ、multi-bump solutionの構成も行なった。
4. 村田は2階の放物型方程式の初期値問題の非負解の一意性を論じた。
5. 望月は、反応拡散系の簡単なモデル方程式系の大城解の存在、非存在に関する研究を行なった。
6. 石井は、曲面の時間発展と特異摂動問題の一種である微分方程式の均質化への応用を研究した。
7. 酒井はヘレショウ流れの初期領域の境界上に角がある場合の研究を行なった。

(1) 1997年-1998年、文部省科学研究費補助金(基盤C)「ゲージ項をもつDirac作用素の境界条件と不変量」により、ゲージ項をもったDirac作用素の指数公式を、グラスマン型の境界条件の下で調べた。とくに4次元半球面上における指数をAtiyah-Singerを用いずに計算した。
(2) さらに、物理でNinomiya-Tanの定理(Chiral anomalyの公式)と呼ばれる結果をゲージ付きDirac作用素の指数の不変性として精密化した。すなわち、ゲージ項をもつDirac作用素のS^4上の指数が、半球面上の幾何的Dirac作用素の(ゲージ項により定まる)グラスマン型の境界条件を与えた時の指数と等しいことを示した。これはゲージ項の効果が境界条件に吸収されることを言っている。この結果は早稲田大学理工学研究所Technical Reportに報告し、さらにRoskild大学のB,B,Booss教授を通してAMS Series"Contemporary Mathematics""Geometric Aspects of Partial Differetial Equationsに掲載される予定である。
(3) 以上の結果で、変数分離法によるS^3のスピノールのS^4へのゼロモード延長問題を、固有関数展開の形をさらに整理し、Bergmann核関数の類似により述べようと試みた。その結果コーシー核、それに続いて積分定理が得られた。そこからスピノール関数論と呼ぶべきものの構成を始め、特異点を持つゼロモードスピノールに対しローラン展開の類似を得た。C^2上の理論はほぼ完成している。これは次年度の萌芽研究に申請中である。

変分的手法により非線型微分方程式の解の存在問題の研究を行った.特に本年度は(1)R^Nにおけるnonlinear scalar field equation,(ii)ハミルトン系の非有界軌道の存在等を主に扱った.(i)R^Nにおけるnonhlinear scalar field equationに関しては,まず軸対称な空間依存性をもつ方程式-Δu+V(|x|)u=u^pの正値解の一意性を考察し,Kwongによる一意性の結果の非常に簡略化された証明を得ることができた.またその一意性の応用として周期ポテンシャルをもつ非線型楕円型方程式-Δu+V(x)u=u^pのあるクラスに対してmulti-bump solutionが存在することを,特に無限個の正値解が存在することを示すことができた.
(ii)ハミルトン系に関しては,2体問題型のポテンシャルV(q)〜-1/(|q|^α)(α>0)に対して無限から来て無限に飛びさる軌道の変分的な構成を考え,与えられたH>0をtotal energyとしてもち,さらに与えられた入射角,出射角をもつ軌道の存在を空間次元Nに関する制限なしでstrong force条件(α>2)の下で示した.ここで空間次元が2のときは回転数を有効に利用することができ比較的容易に証明はなされるが,N 3の場合は異なりR^N＼{0}上のループ空間のtopologyに関する考察が必要不可欠となることに注意して頂きたい.なおH=0のときは古典力学における放物軌道に対応し,非常に興味ある問題であるが,その存在は今後の課題としたい.
(iii)上記の(i),(ii)以外にもMoser-Trudinger型の不等式の最良指数についても研究を行い,Ogawa,Ozawaにより導入されたスケール不変なMoser-Trudinger型の不等式は有界領域の場合と異なり最良指数を達成しないことを示した.

本研究によって得られた主な成果について,研究計画に対応させながら以下に述べる.
1. 可積分系に関連する研究:宮岡は等径超曲面の分類問題で未解決であった,主曲率の個数6の場合について,それが等質なもの2種しかないことを,Lax方程式をみたす自己双対作用素の1径数族がもつアイソスペクトラル原理を焦点部分多様体のシェイプ作用素に適用することによって証明した.これは超曲面論と可積分系理論の関係を示した顕著な結果である.
2. エルゴード理論に関する研究:盛田が,転送作用素の方法による,面積有限な双曲的リーマン面上の測地流の閉軌道に関するセルバーグゼータ関数Z(s)のフレッドホルム行列表現を求め,転送作用素のスペクトルの性質からZ(s)の解析性についての情報を得た.さらに群表現が付加された場合にこれを拡張し,熱力学系式によるChabotarev型の閉測地線定理の証明に成功した.
3. 変分法の研究:田中が2体問題タイプの特異ハミルトン系に対して,特異性の指数α>2のときに,無限遠からきて無限遠に飛び去る解の存在を変分法によって証明した.さらに,α=2の場合に固定エネルギー問題を考察し,全エネルギー=0の周期解を変分的に構成するとともに,その対応物として,コンパクトでないリーマン多様体上の閉測地線の存在定理を得た.
4. シンプレクティック幾何に関する研究:小野が一般の閉シンプレクティック多様体上で,Gromov-Witten不変量,および周期的ハミルトン系のFloerホモロジーを構成することによって,完全シンプレクティック写像に対するアーノルド予想(の一つの形)を一般的に証明した.さらにその手法を発展させLagrangian intersectionのFloerホモロジーの構成を研究した.
5. 複素力学系に関する研究:志賀がクライン群の極限集合と複素力学系におけるジュリア集合の関数論的集合としての類似性を証明した.

今年度の研究成果は、"cross-diffusion"と呼ばれる拡散項をもつLotka-Volterra型モデルに対する定常解集合の研究と、退化型拡散項(p-Laplacian)をもつ放物型方程式の解のダイナミックスの研究の二つに分けられる。
1.数理生態学における"biodiffusion"のなかには"cross-diffusion"と呼ばれる重要な非線形拡散がある。同一の領域で生存競争している2種以上の生物の固体密度を未知関数として定式化すると、"cross-diffusion"の効果により、拡散係数が固体密度にも依存するような準線形拡散方程式系となる。このようなモデルは1979年に提起され、数値実験では分岐やパターンの形成などの興味深い現象が見られるにもかかわらず、理論的な解析は十分ではない。我々の研究グループは数年前から正値定常解集合の解明に取り組み、正値解が存在するための十分条件や必要条件を見いだしている。今年度は解の多重性に関して非線形拡散がいかなる影響を及ぼすかを調べ、写像度の理論と分岐理論を組み合わせて、正値定常解が2個以上存在する状況を新たに発見した。
2.p-Laplacianを含む拡散方程式にたいしてChafee-Infanteタイプの非線形項を付け加え、解の挙動、定常解集合の構造、安定性を研究した。空間次元1のケースに限定されるが、定常解集合の構造を完全に解明することができた。とくにp-Laplacianの退化性のため、定常解集合の構造は非退化のときと全く異なり、非可算集合となる。さらに、解のプロフィール、解の分岐構造、解の個数、安定性について今まで知られていなかった情報が得られた。今後は、空間次元の高いときの解集合の構造も調べたい。

計画調書の研究目的にかかげた目標に関連した主たる成果は以下の通りである。
1.非線形項が境界で特異性を有する半線形楕円型方程式 -Δu(χ)=Κ(χ)u^β(χ)/(1-|χ|)^α χ∈B={χ∈R^N;|χ|<1}に対して、変分的手法により以下の結果を得た。
(1)β+1【greater than or equ
非自明古典解(C^2(B)∩C^1(B^^-)に属する解)は存在しない。
(2)0<α<min(β+1,(β+1)/2+1),α<2^*=(N+1)(N-2) ならば、非自明古典解が存在する。
(3)0<β【less than or equal】1,β+1【less than or equal】α<(β+1)/2+1 ならば、Holder連続な非自明解が一意的に存在する。これらの成果は、従来の結果を大幅に改良したもので、その全貌がほぼ解明されたと言える。しかしながら、1<β,(β+1)/2+1【less than or equal】α<β+1 の場合の
2.非有界領域における弱解に対するPohozaev型の不等式が、星状領域の外部領域及び柱状領域に対して確立され、準線形楕円型方程式の弱解の非存在に応用された。この結果、解の存在・非存在に関して、星状領域の内部と外部との双対性が明らかにされ、この分野における重要な知見が得られた。
3.Pohzaev型の(不)等式に依らない、正値解の非存在の為の新たな手法の端緒が開かれた。これは、領域は平行移動不変性と正値解の一意性の議論を組み合わせた議論によるもので、正値解の一意性がよく調べられている、固有値問題、sub-linear(sub-principal)caseに対して有力な道具を提供するものである。この手法のより一般的な場合への拡張が期待される。
その他、これに関連する周辺の成果も多数得られている。

特異摂動問題から導かれる差分方程式等の非対称行列を係数行列とする連立方程式に対し、SOR-likeな反復法を用いて解く際に有効な計算法として“順序付き改良SOR法"を提案し、その理論面と実用性を研究の主テーマとして取り組んだ。
三重対角行列の場合に対し、改良SOR行列のスペクトル半径を0とする緩和係数を調べ、行列のLU分解のピボットの逆数と対応させるものn組を求め、それを用いた実用的なアルゴリズムを提案した。
2次元定常移流拡散方程式を離散化して得られるブロック三重対角行列を係数行列とする連立方程式に対して、三重対角行列の場合の結果を応用した実用的な計算法として緩和係数を各ブロックごとのみならず、各反復ごとに変え、有限回で収束する手法である“適応的順序付きブロック改良SOR法"を提案した。
次に、三重対角行列及びブロック三重対角列を係数行列とする連立方程式に対し、そのぞれ1回で及びn回で収束する順序付き改良SSOR法を提案する。またこの他に順序付き改良SOR法の一般的な収束定理を、一般化優対角行列に対しては判定法に役立つ必要かつ十分条件を求めた。
“基本LUL分解"なるものを考えることにより、Hessenberg行列及び特殊な行列のあるクラスに対する具体的な反復行列のスペクトル半径を0とする簡単な緩和係数の決め方を得た。

ハミルトン系の周期解,ホモクリニック解および非線型楕円型方程式の解の存在問題を変分的手法により研究し,次の研究実績をあげることができた.
1.特異なハミルトン系に対する周期解の存在問題は,従来2体問題に関連したラグランジュ系に対してのみ考察されていた.本研究においては,より一般的なハミルトン系で特異点をもつものに対して周期解の存在を考え,ミニマックス法と有限次元近似をあわせて用いることにより,特異なハミルトン系のクラスで周期解の存在が保証されるものを得ることができた.近年,ハミルトン系の周期解の存在問題はsymplectic幾何学の視点からも重要であることが認識され,盛んに研究が行われている.特異なハミルトン系に対してはenergy surface{(p,q);H(p,q)=h}はnon-compactとなり,non-compact集合に対してsymplecticな不変量を導入する問題と密接に関連するものと思われる.この関連を研究するため現在prescribed energy problemを初めてとして研究を続行している.また特異なハミルトン系に対する周期解の多重性も重要な問題である.この問題についても現在研究を続行している.
2.ホモクリニック解の存在については,non-compactなリーマン多様体上である種のラグランジュ系を考え,ミニマックス法により,その存在を得た.この結果はR^Nの場合であっても,ホモクリニック解の新しい存在結果を与えていると思われる.
3.非線型楕円型方程式に関してはR^N(N【greater than or equal】3)上でΔu+K(|x|)u^<(N+2)/(N-2)>=0を考察した.この方程式は微分幾何学における山辺の問題と関連した重要な方程式である.ここでは特に球対称解u(|x|)の存在を考察し,変分的手法により,その存在を非常に一般的なK(|x|)に対して示した.従来,球対称解の存在問題はシューチング法で扱われることが多いが,変分的手法を導入することによりより一般的な存在結果を得ることができた

局所コンパクト群上の合成核ポテンシャル論において、優越原理を満たす合成核全体がハント合成核全体の閉包と一致するかというよく知られた問題について、対数型核の性質を用いて、最終的な解答を与えた。また、これと関連して、優越原理を満たすポテンシャル核のポテンシャルの性質として、常にスペクトラルシンセシスが成立することを示して、ポテンシャル核のレゾルベント、生成半群を精密にするとともに、これまで除外集合つきで成立していたポテンシャル論的性質が、除外集合なしに成立することがわかる。対数型核の掃散の方法を参考にした解析容量の弧による変分は、解析容量の劣加法性に関する研究を大きく進歩させ、種々の例を構成する有力な方法を得た。対数型核の理論を古典的な調和関数の理論と関連させ、全ての0でない劣調和関数が非可積分になる領域の形状を決定するとともに、正則境界点とグリーン関数の準有界性との関係を明らかにした。この研究は、偏微分方程式の研究と密接な連係のもとに実施された。
対数型核は、その生成半群が回帰的になるか非再帰的になるかの研究とも言うことができる。これから確率過程論と密接に結びつく。オーレンスタイン-ウーレンベック型過程の再帰性の判定条件を、ずれの係数行列と積分形で与えたが、これは対数型ポテンシャルと関連する結果である、さらに、ディリクレ形式を通じて、ポテンシャル論と関連する確率制御問題の最適拡散過程の研究、ポテンシャル論的容量と関連させた情報容量の研究がある、これらの研究は、解析的側面からの知見のみならず、代数的側面、幾何学的側面からの知見を得て実施された。

極小曲面の安定性を調べるのに重要な第2変分から定まるヤコビ作用素の研究とかかわって以下の結果を得た。
1、3次元リ-マン多様体が局所的に等質であるための条件を曲率テンソルを用いてあらわした。これはI、M、Singerが問題としていたところのものに対する3次元の場合の部分的解等を与えている。(大和一夫)
2、Lie接触構造の中で特に共形多様体の接球束上の構造に対して正規接続を共形接続から具体的に構成した。(佐藤肇)
3、ハミルトン系のホモクリニック軌道あるいは周期軌道の存在を変分を用いて研究した。モ-ス理論及び関数解析的な手法を用いることにより2〜3の存在定理を得た。(田中和永)
4、解析的偏微分方程式のGevrey族空間での可解性を研究したものによって定まる様子を詳しく調べた。特に指数が非正の場合のGevrey族空間での可解性の研究が偏微分方程式において始めて取り扱われた。(三宅正武)
5、領域の形状とそこの調和関数の境界挙動の関係を可積分性の観点から調べた。(鈴木紀明)
6、有限な全曲率を持つ種数Oの3次元コ-クリッド空間の極小曲面のガウス写像からきまるシュレジンガ-作用素のO固有値に対応する固有関数の代数的な構成方法を与えた。これを使って種数Oの場合のヤコビ作用素のindexは一般にはガウス写像の写像度dを使って2dーlとなることがわかった。(江尻典雄)
7、高全次元の場合の極小曲面のindexには単位法束上の解析が興味ある対象であり上の結果達と深い関係が期待される。

研究目的にかかげた目標に関する次の幾つかの興味ある成果が得られた。(1)我々の先行研究によって、p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式u_t=△_p u+uに対する初期値境界値問題に対して、全ての解軌道を引き付ける「大域アトラクター」が、L^2で構成され、さらにそれが無限次元を持つ事実が知られていたが、これはかなり特殊な状況であり、非線形楕円型方程式に関するLyusternik-Scnirelman理論からも、その無限次元性は導出できるという難点があった。uをαu-b(x)|u|^q uとしても、大域アトラクターの存在とその無限次元性が導かれることが示された。これは、より一般的な非線形項f(x, u)に対しても、同様な結果が成立することを示唆する、重要な発見である。(2)多孔質媒質中を流れる流体(溶媒)の速度及び温度と流体中の溶質の濃度の振舞いを記述する、2または3次元有界領域におけるBrin kman-Forchheimer方程式の時間大域解の存在と一意性が、H^1に属する初期値に対して、示された。これによって、この方程式に対する、大域アトラクターの構成の出発点がクリアーされたことになる。また、よく知られているように、3次元空間におけるナビエ・ストークス方程式の一意的時間大域解の存在問題が未解決大問題である事実と比較すると、非常に興味深い知見を与えている

非線形放物型および非線形楕円型方程式の解の構造について定性的な研究を行った.主な研究成果は以下の通りである.まず,ある非線形放物型偏微分方程式おける移動特異点を持つ解の存在とその一意性について調べた.また,特異点の強さがある時刻で変性するような解が存在することを明らかにするとともに,特異点が移動しない場合に解の漸近挙動について調べ,特異定常解に収束するための条件について明らかにした.次に,走化性方程式において,1点に凝集することによって自己相似的に爆発する解の構造について明らかにした.さらに, Gierer-Mienhardt系と呼ばれる反応拡散系に対し,パターン形成に関する数理構造を調べるとともに,時間依存する解の挙動について明らかにし

　変分的手法により非線型楕円型方程式の解の存在問題、Hamilton系の研究を行った。特に本年度はRNにおける非線型楕円形方程式の正値解の存在、多重度に関して進歩があった。　具体的にはRNにおける非線型楕円型方程式－Δu＋u＝a(x)up＋f(x)　in RN　　　　　　　　　(＊)正値解の存在、多重度を扱った。特に解が方程式に非常にデリケートに依存していることを示す次のような存在結果を得た。係数a(x)はコンパクト集合を除いて１、コンパクト集合上で０と１の間の値をとる連続関数とする。このとき非常に小さい、しかし０でない正の関数f(x)に対して、(＊)は少なくとも４つの正値解をもつ。そのうち２つの解はf(x)に連続的に依存しf(x)→0すると－Δu＋u＝a(x)upの解に収束する。しかし他のふたつはf(x)→0としても－Δu＋u＝a(x)upの解に強収束せず、無限遠にエネルギーの中心部が平行移動してゆく解ω(・－yf)(｜yf｜→∞　as f(x)→0)としてのプロファイルをもつ。(Calculus of Variations and Partial Differential Equationsより出版予定)。通常、微分方程式の研究においては方程式の係数等に解が連続的に依存する場合が研究されているが、(＊)のような簡単な方程式であっても微小な摂動f(x)により不連続な依存性が現れることを示しており、興味深いと思われる。また同様のアイデアに基づいたもう一編の論文では、より一般的な非線型項g(x,u)を扱いCao、Jeanjean、Hirano、Zhouらの結果を拡張している。(Nonlinear Analysis:T.M.A.より出版予定)。　またHamilton系に関してはmulti-bump solutionと呼ばれる記号力学系に対応した複雑な解軌道の構成をNehari多様体を用いた変分的な方法により行った。

　変分的手法により非線形微分方程式の解の存在問題の研究を行った。特に本年度は(i)２体問題型のハミルトン型に対する非有界軌道の存在、(ii)２体問題型のハミルトン型に対する周期軌道の存在と関連するnon-compact 多様体上の閉測地線の存在(iii)Moser-Trudinger 型の不等式の最良指数についての研究を行った。(i) ハミルトン型に関して２体問題型のポテンシャル〈I〉Ｖ(q) 〈/I〉～－1／｜〈I〉q 〈/I〉｜〈SUP〉α〈/SUP〉（α＞０）に対して無限から来て無限に飛びさる軌道の変分的な構成を考え、与えられた〈I〉Ｈ〈/I〉＞０をtotal energy としてもち、さらに与えられた入射角、出射角をもつ軌道の存在を空間次元〈I〉Ｎ〈/I〉に関する制限なしでstrong force 条件（α＞２）の下で示した。ここで空間次元が２のときは回転数を有効に利用することができ比較的容易に証明はなされるが、〈I〉Ｎ〈/I〉≧３の場合は異なりＲ〈SUP〉N〈/SUP〉＼｛０｝上のループ空間のtopology に関する考察が必要不可欠となることに注意して頂きたい。なお〈I〉Ｈ〈/I〉＝０のときは古典力学における放流軌道に対応し、非常に興味ある問題であるが、その存在は今後の課題としたい。(ii) またハミルトン系の周期解に関しても２体問題型ポテンシャル〈I〉Ｖ（ｑ）〈/I〉～～－1／｜〈I〉q 〈/I〉｜〈SUP〉α〈/SUP〉を考え、α＝２の場合を扱った。α＝２の場合はいわゆるstrong force とweak force の境界の場合でありprescribed energy problem は今までほとんど研究されていない。Total energy が０の周期解の存在を特に考え、その存在を示した。また関連する問題としてnon-compact Riemman 多様体（〈I〉Ｓ〈SUP〉n〈/SUP〉〈/I〉×Ｒ、〈I〉ｇ〈/I〉）上の閉測地線の存在を示した。(iii) 楕円形型方程式に関してはMoser-Trudinger 型の不等式の最良指数について研究を行い、Ogawa, ozawa により導入されたスケール不変なMoser-Trudinger 型の不等式は有界領域の場合と異なり最良指数を達成しないことを示した。

研究成果は（ⅰ）非線型楕円型方程式に関する存在結果および（ⅱ）ハミルトン系に対する周期軌道の存在問題に関する結果の２つに大別される。　まず非線型楕円型方程式に関してはRNにおけるscaler field equation -Δu+V(x)u=up, u∈H1(RN)の生値解について考察した。ここでは、ポテンシャルV(x)がxについて周期的な場合を主な対象とした。このような場合、ground stateと呼ばれるenergyが最小の解ω0 (x)が存在することはconcentration-compactness method等によりよく知られている。本研究では、より高いenergy levelの生値解の存在について考察し、ω0 (x)の重ね合わせた形の解u(x)～∑Nj=1ω0 (x-lj),(│lI-lj│>>1)の存在をポテンシャルV(x)に対する適当な条件の下で示した。非線型方程式に対する解の重ね合わせの方法はごく最近変分的に見直され、注目を集めているが、その存在のための条件は具体的にcheckしにくいものであった。ここではそのような具体例を初めて与えている。　次にハミルトン系の周期解に関しては、ポテンシャルV(q)が特異性V(q)=-1/│q│aをもつ場合に与えられたtotal energy Hをもつ周期解の存在について研究を行った。　この問題においては、特異性の指数αが重要な役割を果たすことがわかっている。02のときはH>0に対してのみ解の存在が期待でき、それぞれの場合に研究が行われている。ここではα=2の場合を考え、H=0に対する周期解の存在を考察した。α>2あるいは0<α<2の場合と異なり、α=2の場合は摂動に対して極めてsensitiveであるが周期解の存在を保証する十分広い摂動のクラスを求めるのに成功した。また対応する状況下でnon-compact Riemann多様体上の閉測地線の存在を議論した。研究成果の発表1998　(with A. Amrosetti) On Keplerian N-body type problems, in“Nonlinear Analysis and continuum mechanics”(G. Battazo, G.P. Galdi, E. Lanconelli, P. Pacci ed.) Springer, 1998, 15-25.1997　Multiple positive solutions for some nonlinear elliptic systems, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 10 (1997), 15-45.