2022/07/02 更新

写真a

カジ　ハジメ
楫　元
所属
理工学術院 基幹理工学部
職名
教授
ホームページ
http://pc193097.pc.waseda.ac.jp/

兼担

  • 理工学術院   大学院基幹理工学研究科

学内研究所等

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位

  • Waseda University   Doctor of Science

  • 早稲田大学   博士(理学)

  • Waseda University   Master of Science

  • 早稲田大学   修士（理学）

経歴

  • 1999年
    -
    　

    早稲田大学教授

  • 1993年
    -
    1999年

    早稲田大学助教授

  • 1989年
    -
    1993年

    横浜市立大学助手

  • 1987年
    -
    1989年

    早稲田大学助手

所属学協会

  • 　
    　
    　

    日本数学会

 

研究分野

  • 代数学

  • 幾何学

研究キーワード

  • 代数幾何学

論文

  • Degree formula for Grassmann bundles

    楫 元

    Journal of Pure and Applied Algebra   215   5426 - 5428  2015年  [査読有り]

  • Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero

    Satoru Fukasawa, Katsuhisa Furukawa, Hajime Kaji

    ADVANCES IN MATHEMATICS   224 ( 6 ) 2645 - 2661  2010年08月  [査読有り]

    　概要を見る

    We introduce an intrinsic property for a projective variety as follows there exists an embedding into some projective space such that the Gauss map is of rank zero, which we call (GMRZ) for short It turns out that (GMRZ) imposes strong restrictions on rational curves on projective varieties. In fact. using (GMRZ). we show that, contrary to the characteristic zero case, the existence of free rational curves does not imply that of minimal free rational curves in positive characterisitic case. We also focus attention on Segre varieties, Grassmann varieties, and hypersurfaces of low degree In particular, we give a characterisation of Fermat cubic hypersurfaces in terms of (GMRZ). and show that a general hypersurfaces of low degree does not satisfy (GMRZ). (C) 2010 Elsevier Inc All rights reserved.

    DOI

  • Any algebraic variety in positive characteristic admits a projective model with an inseparable Gauss map

    Satoru Fukasawa, Hajime Kaji

    JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA   214 ( 3 ) 297 - 300  2010年03月  [査読有り]

    　概要を見る

    We determine the values attained by the rank of the Gauss map of a projective model for a fixed algebraic variety in positive characteristic p. In particular, it is shown that any variety in p > 0 has a projective model such that the differential of the Gauss map is identically zero. On the other hand, we prove that there exists a product of two or more projective spaces admitting an embedding into a projective space such that the differential of the Gauss map is identically zero if and only if p = 2. (C) 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.

    DOI

  • The separability of the Gauss map versus the reflexivity

    Hajime Kaji

    GEOMETRIAE DEDICATA   139 ( 1 ) 75 - 82  2009年04月  [査読有り]

    　概要を見る

    In projective algebraic geometry, various pathological phenomena in positive characteristic have been observed by several authors. Many of those phenomena concerning the behavior of embedded tangent spaces seem to be controlled by the separability of (the extension of function fields defined by) the Gauss map, or by the reflexivity with respect to the projective dual for a projective variety. The purpose of this paper is to survey the studies on the relationship between the separability of the Gauss map and the reflexivity for a projective variety: Is the separability of the Gauss map equivalent to the reflexivity for a projective variety?.

    DOI

  • The reflexivity of a Segre product of projective varieties

    Satoru Fukasawa, Hajime Kaji

    MATHEMATISCHE ANNALEN   342 ( 2 ) 279 - 289  2008年10月

    　概要を見る

    We study the reflexivity of a Segre product of a projective space P-m and a projective variety Y, and give a criterion for P-m x Y to be reflexive in terms of m, the dimension of Y, the rank of the general Hessian of Y and the characteristic of the ground field. Our study is closely related to a question raised by Kleiman and Piene on the relationship between the conormal map and the Gauss map.

    DOI

  • Existence of a non-reflexive embedding with birational Gauss map for a projective variety

    Satoru Fukasawa, Hajime Kaji

    MATHEMATISCHE NACHRICHTEN   281 ( 10 ) 1412 - 1417  2008年  [査読有り]

    　概要を見る

    We study the relationship between the generic smoothness of the Gauss map and the reflexivity (with respect to the projective dual) for a projective variety defined over an algebraically closed field. The problem we discuss here is whether it is possible for a projective variety X in P-N to re-embed into some projective space P-M so as to be non-reflexive with generically smooth Gauss map. Our result is that the answer is affirmative under the assumption that X has dimension at least 3 and the differential of the Gauss map of X in P-N is identically zero; hence the projective variety X re-embedded in P-M yields a negative answer to Kleiman-Piene's question: Does the generic smoothness of the Gauss map imply reflexivity for a projective variety? A Fermat hypersurface in PN with suitable degree in positive characteristic is known to satisfy the assumption above. We give some new, other examples of X in P-N satisfying the assumption. (C) 2008 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Woinheim.

    DOI

  • The separability of the Gauss map and the reflexivity for a projective surface

    Satoru Fukasawa, Hajime Kaji

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT   256 ( 4 ) 699 - 703  2007年08月  [査読有り]

    　概要を見る

    It is known that if a projective variety X in P-N supercript stop is reflexive with respect to the projective dual, then the Gauss map of X defined by embedded tangent spaces is separable, and moreover that the converse is not true in general. We prove that the converse holds under the assumption that X is of dimension two. Explaining the subtleness of the problem, we present an example of smooth projective surfaces in arbitrary positive characteristic, which gives a negative answer to a question raised by S. Kleiman and R. Piene on the inseparability of the Gauss map.

    DOI

  • The classification of orbits by a natural action of certain reductive linear groups

    H. Kaji, O. Yasukura

    Yokohama Math. J.   53   39 - 61  2006年

  • 公開鍵暗号を解読せよ!—君もスパイになれる?—

    楫 元

    日本数学会「数学通信」   10 ( 2 ) 5 - 37  2005年08月

  • Projective geometry of Freudenthal's varieties of certain type

    H Kaji, O Yasukura

    MICHIGAN MATHEMATICAL JOURNAL   52 ( 3 ) 515 - 542  2004年  [査読有り]

  • エンピツ片手にテキストを読もう[ブックガイド]代数

    楫 元

    数学セミナー/日本評論社   42 ( 8 ) 34 - 35  2003年08月

  • On the duals of Segre varieties

    H Kaji

    GEOMETRIAE DEDICATA   99 ( 1 ) 221 - 229  2003年06月  [査読有り]

    　概要を見る

    The reflexivity, the (semi-)ordinariness, the dimension of dual varieties and the structure of Gauss maps are discussed for Segre varieties, where a Segre variety is the image of the product of two or more projective spaces under Segre embedding. A generalization is given to a theorem of A. Hefez and A. Thorup on Segre varieties of two projective spaces. In particular, a new proof is given to a theorem of F. Knop, G. Menzel, I. M. Gelfand, M. M. Kapranov and A. V. Zelevinsky that states a necessary and sufficient condition for Segre varieties to have codimension one duals. On the other hand, a negative answer is given to a problem raised by S. Kleiman and R. Piene as follows: For a projective variety of dimension at least two, do the Gauss map and the natural projection from the conormal variety to the dual variety have the same inseparable degree?

  • Outside In (Delle Maxwell, Silvio Levy, Tamara Munzner監督; Minnesota Geometry Center制作)

    楫 元

    数学セミナー/日本評論社   39 ( 9 ) 85 - 85  2000年09月

  • Secant varieties of adjoint varieties: Orbit decomposition

    H Kaji, O Yasukura

    JOURNAL OF ALGEBRA   227 ( 1 ) 26 - 44  2000年05月  [査読有り]

    　概要を見る

    The orbit decomposition of secant varieties of adjoint varieties is given. (C) 2000 Academic Press.

  • Tangent loci and certain linear sections of adjoint varieties

    H.Kaji, O.Yasukura

    Nagoya Math. J.   158   65 - 72  2000年  [査読有り]

  • アレフゼロ・ホテル?無限ホテル業界の軌跡?

    楫 元

    数学セミナー/日本評論社   38 ( 9 ) 27 - 31  1999年08月

  • Adjoint varieties and their secant varieties

    H Kaji, M Ohno, O Yasukura

    INDAGATIONES MATHEMATICAE-NEW SERIES   10 ( 1 ) 45 - 57  1999年03月  [査読有り]

    　概要を見る

    The purpose of this article is to show how the graded decomposition of complex simple Lie algebras g can be applied to studying adjoint varieties X and their secant varieties Sec X. Firstly quadratic equations defining adjoint varieties are explicitly given. Secondly it is shown that dim Sec X = 2 dim X for adjoint varieties X in two ways: one is based on Terracini's lemma, and the other is on some explicit description of Sec X in terms of an orbit of the adjoint action. Finally it is shown that the contact loci of the secant variety to its embedded tangent space have dimension two if X is adjoint.

  • Homogeneous projective varieties with degenerate secants

    H Kaji

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY   351 ( 2 ) 533 - 545  1999年02月  [査読有り]

    　概要を見る

    The secant variety of a projective variety X in P, denoted by Sec X, is defined to be the closure of the union of lines in P passing through at least two points of X, and the secant deficiency of X is defined by delta := 2 dim X + 1 - dim Sec X. Mie list the homogeneous projective varieties X with delta > 0 under the assumption that X arise from irreducible representations of complex simple algebraic groups. It turns out that there is no homogeneous, non-degenerate, projective variety X with SecX not equal P and delta > 8, and the Es-variety is the only homogeneous projective variety with largest secant deficiency delta = 8. This gives a negative answer to a problem posed by R. Lazarsfeld and A. Van de Ven if we restrict ourselves to homogeneous projective varieties.

  • Secant varieties of adjoint varieties

    H.Kaji

    Matem?tica Contempor?nea   14   75 - 87  1998年

  • On the generic injectivity of the Gauss map in positive characteristic

    H Kaji, A Noma

    JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK   482   215 - 224  1997年  [査読有り]

    　概要を見る

    The purpose of this article is to give a criterion for Gauss maps of projective varieties in positive characteristic to be generically injective. As its applications, we show that the following have generically injective Gauss maps for any embeddings: smooth projective varieties with ample cotangent bundles, smooth subvarieties of products of smooth curves with genus at least 2, smooth subvarieties of abelian varieties with ample normal bundles, and smooth projective varieties of non-zero top Chern classes with separable finite morphisms to abelian varieties.

  • 標数pの世界

    楫 元

    数理科学/サイエンス社   369  1994年03月

  • ON THE SPACE-CURVES WITH THE SAME IMAGE UNDER THE GAUSS MAPS

    H KAJI

    MANUSCRIPTA MATHEMATICA   80 ( 3 ) 249 - 258  1993年09月  [査読有り]

    　概要を見る

    From an irreducible complete immersed curve X in a projective space P other than a line, one obtains a curve X' in a Grassmann manifold G of lines in P that is the image of X under the Gauss map, which is defined by the embedded tangents of X. The main result of this article clarifies in case of positive characteristic what curves X have the same X': It is shown that X is uniquely determined by X' if X, or equivalently X', has geometric genus at least two, and that for curves X1 and X2 with X1 not-equal X2 in P, if X1' = X2' in G and either X1 or X2 is reflexive, then both X1 and X2 are rational or supersingular elliptic; moreover, examples of smooth X1 and X2 in that case are given.

  • ON THE SPACE-CURVES WITH THE SAME DUAL VARIETY

    H KAJI

    JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK   437   1 - 11  1993年  [査読有り]

  • CHARACTERIZATION OF SPACE-CURVES WITH INSEPARABLE GAUSS MAPS IN EXTREMAL CASES

    H KAJI

    ARCHIV DER MATHEMATIK   58 ( 6 ) 539 - 546  1992年06月  [査読有り]

  • ON THE INSEPARABLE DEGREES OF THE GAUSS MAP AND THE PROJECTION OF THE CONORMAL VARIETY TO THE DUAL OF HIGHER-ORDER FOR SPACE-CURVES

    H KAJI

    MATHEMATISCHE ANNALEN   292 ( 3 ) 529 - 532  1992年03月  [査読有り]

  • ON THE INSEPARABLE DEGREE OF THE GAUSS MAP OF HIGHER-ORDER FOR SPACE-CURVES

    M HOMMA, H KAJI

    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES   68 ( 1 ) 11 - 14  1992年01月  [査読有り]

    　概要を見る

    Let X be a curve non-degenerate in a projective space P(N) defined over an algebraically closed field of positive characteristic p, consider the Gauss map of order m defined by the osculating m-planes at general points of X, and denote by {b}0 less-than-or-equal-to j less-than-or-equal-to N the orders of X. We prove that the inseparable degree of the Gauss map of order m is equal to the highest power of p dividing b(m + 1).

  • STRANGENESS OF HIGHER-ORDER FOR SPACE-CURVES

    H KAJI

    COMMUNICATIONS IN ALGEBRA   20 ( 6 ) 1535 - 1548  1992年  [査読有り]

  • On the Gauss maps of space curves in characteristic p、II

    H. Kaji

    Compositio Math.   78   261 - 269  1991年  [査読有り]

  • ON THE GAUSS MAPS OF SPACE-CURVES IN CHARACTERISTIC-P

    H KAJI

    COMPOSITIO MATHEMATICA   70 ( 2 ) 177 - 197  1989年05月  [査読有り]

  • Examples of σ-transition matrices defining the Horrocks-Mumford bundle

    H. Kaji

    Tokyo J. Math.   12 ( 1 ) 21 - 32  1989年

    DOI

  • ON THE VECTOR-BUNDLES WHOSE ENDOMORPHISMS YIELD AZUMAYA ALGEBRAS OF CYCLIC TYPE

    H KAJI

    JOURNAL OF ALGEBRA   117 ( 2 ) 297 - 326  1988年09月  [査読有り]

  • ON THE TANGENTIALLY DEGENERATE CURVES

    H KAJI

    JOURNAL OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY-SECOND SERIES   33   430 - 440  1986年06月  [査読有り]

  • On tangentially non-degenerate plane curves

    S. Arima, H. Kaji

    Bull. Sci. Engrg. Res. Lab. Waseda Univ.   111   43 - 43  1985年

  • ON THE NORMAL-BUNDLES OF RATIONAL SPACE-CURVES

    H KAJI

    MATHEMATISCHE ANNALEN   273 ( 1 ) 163 - 176  1985年  [査読有り]

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書籍等出版物

  • 数学ガイダンスhyper

    数学セミナー編集部

    日本評論社  2005年03月 ISBN: 9784535784277

  • 工科系のための初等整数論入門?公開鍵暗号をめざして?

    楫 元

    培風館  2000年07月 ISBN: 9784563014858

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 正標数の射影代数幾何

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

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    前年度に引き続き「射影多様体の一般ガウス写像の研究」を行った．とくにSegre-Veronese多様体などについて調査した．また，接的退化曲線の線型退化性について再び調査をした．任意の尖点を許した一般の射影曲線に対する場合への拡張を目指し，ある程度のアイディアは得られた感触はある．しかし，いずれについても特筆すべき成果は得られなかった．一方，イデアルの冪乗の生成系について論文にまとめて投稿した．宇都宮大学において9月11日-13日の日程で研究集会「第二回宇都宮大学代数幾何研究集会」を開催した．鈴木拓氏（宇都宮大学）との共催である．そして「Powers of Ideals」という演題で講演発表した．10月24日，NSTS Seminar in Algebraic Geometry（国立台湾大学）において「Degree Formula for Grassmann Bundles」という演題で招待講演発表を行った．台湾大学滞在中に清華大学のShin-Yao Jow氏と射影空間の接束のグラスマン束に関して議論を行った．11月28日，研究集会「都の西北 代数幾何学シンポジウム」において「Two Results on Curves in P^3」という演題で招待講演発表を行った．12月17日，研究集会「Degenerations，algebraic surfaces and related topics」において「Higher Gauss maps of Veronese varieties ―a generalization of Boole’s formula―」という演題で招待講演発表を行った．情報収集と研究打ち合わせのため，山形大学，シエスタハコダテ（函館），高知工科大学，東北大学，大阪市立大学，高知大学に出張した

  • 正標数の射影代数幾何

    研究期間:

    2013年04月
    -
    2016年03月
     

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    非特異射影多様体上のベクトル束に付随するグラスマン束の次数公式を, 寺杣友秀氏との共同研究により得た. 成果は寺杣氏との共著論文にまとめ学術雑誌に発表した. また, 射影多様体の一般ガウス写像の研究を行い, ヴェロネーゼ多様体のガウス写像の像の次数公式を得た. これはブールの古典的公式の一般化をあたえる. これまで研究を継続していた接的退化曲線の線型退化性については, 論文にまとめ学術雑誌に発表した

  • 正標数の射影代数幾何

    研究期間:

    2010年04月
    -
    2013年03月
     

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    ガウス写像の微分の階数が恒等的に零となる射影埋込みをもつ非特異射影多様体,ガウス写像の一般ファイバーの線形性,および,接的退化曲線の線型退化性についていくつかの研究成果を得た. また, 「都の西北代数幾何学シンポジウム」を開催した

  • 実解析的方法による非線形発展方程式の解の安定性の研究

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(B))

    研究期間:

    2000年
    -
    2003年
     

    　概要を見る

    1.無限遠方に流速がある場合の非圧縮性粘性流体の安定性に関して次の成果を得た.
    (a)外部領域でのOseen方程式の定常問題をローレンツ空間で考察し,解の一意存在を示しさらに,解の評価が無限遠方の流速に依存しないことを示した.これを用いて非線形問題の定常解の存在と流速が0に収束にするときの定常解の弱位相での収束を示した.
    (b)外部領域でのOseen semigroupの時間に関するdecay評価を無限遠方での流速に独立な形で求めた.これを応用して定常解の初期値に関する安定性を示した.これらの研究は空間時限が3次元以上の仮定のもとで行われた.
    2.平行平板中の非圧縮性粘性流体の流れの安定性に関し次の成果を得た.
    (a)ストークス作用素に対するレゾルベント問題を領域Ω=R^<n-1>×(0,1)で考えそのL^p理論(l<p<∞)を構築した,X_n方向が有限であることからλ=0もレゾルベント集合に入る事を示した.特にストークス半群は指数安定である事を示した.
    (b)(a)の結果を用い平行平板中のクエット流やポアズイ流の初期値の摂動に関する安定性を示した.
    3.圧縮性粘性流体の定常流とその安定性に関する数学的解析に関して次の事を示した.
    (a)外力が空間変数に依存する場合の定常解を求め,その空間無限遠方での挙動を求めた.
    (b)上記定常解からの摂動問題として非定常問題を捉え,初期値のH^3ノルムが小である場合に初期値問題を解いた.さらに対応する線形化問題の解のローレンツ空間での評価を求め,これを応用して非定常問題の解の定常解への時間無限での収束のオーダーを求めた.以上の解析は全空間で行った.
    4.ストークス作用素に対するNeumann境界値問題の研究に関して次の結果を得た.
    (a)レゾルベント問題を考えL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた.
    (b)同様の手法を用いてストークス作用素の2相問題に対するレゾルベント問題のL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた,これらの研究はナヴィエ・ストークス方程式の自由境界値問題を半群の理論を用いて研究をするための出発点となる研究である.

  • 場の量子論の数学的研究

    　概要を見る

    本研究の目的の一つは,ChernーSimons理論の運動方程式と古典的なsoliton方程式(戸田方程式,非線形Schrodinger方程式等)との関係を明らかにすることであった。我々は一連の研究の中で(1)Jackiw達が研究したselfーdual ChernーSimons solitonsと(2)非線形Grassmann σーmodelsの古典解と(3)戸田方程式(及び連続な戸田方程式)の古典解の3者の間の関係をほぼ明らかにした。即ち,これらには(☆)Lie環sl(2;〓)のsl(n;〓)へのspin(n-1)/2の既約表現(highest weight表現)が共通して内在していることを明らかにした。これらは古典論である。これらの量子論への応用(又は量子論での対応物)が期待される。この場合、上述の(☆)は(☆☆)sl(n;〓)→Uirasora algebraに変わるものと思われる。次年度の研究課題としたい

  • 量子群の作用素環論的研究

    　概要を見る

    量子群SUi(n)のIII_1型PowersファクターRiへの無限テンソル積型作用に関する不動点環は、Janes射影列により生成されるAFDII_1型ファクターに成り、Ri上のPowers状態を、このII_1型ファクターへ制限したものはMarkovトレイスになる。しかも、このトレイスを用いると、n=2の場合には1変数の、n≧3の場合には2変数のJanes多項式が与えられる。これらの事柄は、比較的早い時期から、証明も無いまゝに、専門家の間では良く知られていた。証明が無かった理由の1つは、量子群の作用素環への作用を考える場合には、量子群を作用素環を用いて記述する必要が生じるが、その準備ができていなかったからである。そこで、量子群の座標環であるHopf*環を稠密*部分多元環として含み、しかも、Hopf*環の群構造をその上へ拡張できるような作用素環の枠組を作る必要がある。しかし、これを具体化しようと思うと、余積の値域の問題、全逆写像の非有異性の問題など、取り扱いが容易でないと思われる問題とすぐに直面する。他方、作用素環では量子群が発見される以前から、群の量子化としてKac環という対象がvon Neumaun環を用いて定義され、研究されてきた。そこで、この考え方や枠組を参考に、量子群の9-変形に対応した、Kac環の9変形に相当する、Woronowiez環なるものを定義し、局所コンパクト群の場合に知られている、Portrjayin-淡中-Krein-辰馬の双対定現に対応する命題を示した。このWoronowiez環は、Hopf環の場合と違って、冨田-竹崎理論を用いて一般的に定義されているため、具体的な量子群がこの定義に適合するかどうかの確認が必要で、現在のところ、この適分性が確認できた量子群はSUi(n)以外には無い。最初に述べた結果の証明にはこれで充分であり、これでようやく、量子群SUi(n)のvon Neumaun環への作用を考えることができるようになった

  • 代数多様体の射影空間への埋め込みに関する研究

    　概要を見る

    射影多様体M⊆Pに対して、Mの一般の点xにMのxでのPに埋め込まれた接空間T_xMを対応させることにより得られるMからグラスマン多様体への有理写像を、射影多様体Mのガウス射という。平成6年度の研究目的は、正標数の代数閉体上定義された射影多様体のガウス射の構造を調べることであった。M⊆Pに対して、法束の双対から微分の2階対称積への自然な写像N^V_<M/P>→S^2Ω^1_Mが定まる。これはガウス射の微分を表わすもとして知られ、その像(の基底)は第2基本形式と呼ばれている。Mの各点xで第2基本形式は、xでのZariski接空間t_xMの1次元部分空間の全体のなす射影空間P_*(t_xM)上の2次のlinear systemを定めることが容易に分かるが、今年度はこのlinear system、特にそのbase locusと射影多様体の性質との関係について研究を行った。射影多様体M⊆Pの一般の点xに対してM∩T_xM={x}が成立するとき、Mを接的に非退化合ですら未解決であり、本研究課題おいても非常に重要と思われる。今年度の研究を通じて、その分類に対しても第2基本形式を調べることが有効であることが判ってきた。将来は、この問題についても研究をすすめてゆきたい

  • 代数多様体の射影空間への埋め込みに関する研究

    　概要を見る

    Mを正標数の代数閉体上定義されている非特異完備代数多様体、i:M→Pを、像とbirationalとなるようなMから射影空間Pへの射とするとき、Mのgeneralな点xに対してixでのiMのembedded tangent spaceを対応させることにより得られるMからグラスマン多様体への ratio-nal mapを、(M,i)のガウス射という。平成5年度の研究目的は、ガウス者がほとんどの点で単射(generically injective)となるための、(M,i)に対する条件を明らかにすることであった。これについて、研究代表者は次を証明した。ただし、OMEGA:=Im(i^*:OMEGA^1_M←i^*OMEGA^1_P)とする:定理1:OMEGAがlocally free、ガウス射がfinite、さらに、OMEGAがgenerically ampleであれば、ガウス射はほとんどの点で単射である。 □さらに、早稲田大学理工学部助手、野間 淳氏との共同研究の成果として、定理1を改良しつつ、次を得た:定理2:種数2以上の非特異曲線C_iの直積C_1×・・・×C_mの非特異閉部分多様体は、どのように射影空間内に埋め込んでも、そのガウス射はほとんどの点で単射である。 □定理3:アーベル多様体の非特異閉部分多様体は、その法束が豊富ならば、どのように射影空間内に埋め込んでも、そのガウス射はほとんどの点で単射である。 □なお、以上の研究成果は、野間氏との共著論文“On the generic injectivity of the Gauss map in positive chatacteristic"にまとめられ、雑誌に投稿中である

  • ゲージ項をもつDirac作用素の境界条件と不変量

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    (1) 1997年-1998年、文部省科学研究費補助金(基盤C)「ゲージ項をもつDirac作用素の境界条件と不変量」により、ゲージ項をもったDirac作用素の指数公式を、グラスマン型の境界条件の下で調べた。とくに4次元半球面上における指数をAtiyah-Singerを用いずに計算した。(2) さらに、物理でNinomiya-Tanの定理(Chiral anomalyの公式)と呼ばれる結果をゲージ付きDirac作用素の指数の不変性として精密化した。すなわち、ゲージ項をもつDirac作用素のS^4上の指数が、半球面上の幾何的Dirac作用素の(ゲージ項により定まる)グラスマン型の境界条件を与えた時の指数と等しいことを示した。これはゲージ項の効果が境界条件に吸収されることを言っている。この結果は早稲田大学理工学研究所Technical Reportに報告し、さらにRoskild大学のB,B,Booss教授を通してAMS Series"Contemporary Mathematics""Geometric Aspects of Partial Differetial Equationsに掲載される予定である。(3) 以上の結果で、変数分離法によるS^3のスピノールのS^4へのゼロモード延長問題を、固有関数展開の形をさらに整理し、Bergmann核関数の類似により述べようと試みた。その結果コーシー核、それに続いて積分定理が得られた。そこからスピノール関数論と呼ぶべきものの構成を始め、特異点を持つゼロモードスピノールに対しローラン展開の類似を得た。C^2上の理論はほぼ完成している。これは次年度の萌芽研究に申請中である

  • 実解析的方法の非線形発展方程式への応用

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    (1)3次元非圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式の外部問題を考えた. 1930年代のJ.Lerayの研究により弱解の存在は知られている. しかしLerayの弱解からは解の定性的な性質は分からなかった. 1950年代初頭にR.Finnにより定常問題に対しphysically reasonable solution(prs)の概念が導入され外力と無限遠方の流速u_∞が小さい場合にその存在と定性的な研究が行われた. Finnのprsの初期摂動に関する安定性と時間無限での定常解への収束を研究することが次の問題となり, L_2枠ではHeywoodにより解決され, その後の数値解析の重要な基礎となっている. しかし, prsはL_2には属さないので, それが属する空間での初期摂動の問題が30年以上問題として残っていた. このたびの研究によりこれを解決した. 方法は外部領域におけるOseen近似を行い, その方程式に関し, 境界近くでのlocal energy decayの最良評価を対応するレゾルベントの原典近くでの分数べきの正則性を求めることで示した. これと全空間でのL_p-L_q評価をcut-off techniqueを用いて合わせ, 最良のL_p-L_q評価を外部領域で求めた. この時, 評価に現れる定数がu_∞に無関係であることが重要である. この評価を基に, prsのL_3空間での初期摂動に関する安定性を示し, Finnの問題を完全に解決した.(2)2次元外部領域ではLerayの弱解は一意であることが知られており, 存在と一意性については3次元と異なり解決されている. しかし, 解の定性的な解明は線形化問題の基本解にlogarighmic singularityが現れるため3次元の場合と違い満足のゆく研究がなされていなかった. 我々はStokes resolventの原点近くでの漸近展開を求め, 境界での反射によりlogarithmic singularityは消滅していることを発見し, 3次元と同様の方法によりStokes半群のL_p-L_q評価(1<q≦p≦∞)を求めた. さらに, これを応用して, 2次元外部領域でのNavier-Stokes方程式の弱解のL_∞ノルムでの時間無限での0への収束の度合いを最良な形で求めた.(3)(1)で開発した方法を拡張し, 3次元圧縮性粘性流体の方程式の線形化問題の解の最良なL_p-L_q評価を求めた. また, これを応用して元の非線形問題の時間無限での解の漸近挙動を最良の形で求めた

  • 等質射影多様体のLie環論的,および,代数幾何的研究

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    1.前田英敏は,下記の研究成果を得た。(1)Eをn次元の非特異射影代数多様体X上の階数n-2の豊富なベクトル束で,Zが小平次元1の代数曲面の場合に,零点集合がZになるような大域切断を有するEの構造を完全に決定し,豊富な因子の場合を扱うSommeseとShepherd-Barronの結果を一般化した.(2)Eをn次元の非特異射影代数多様体X上の階数n-1の豊富なベクトル束で,零点集合が有理曲線や楕円曲線になるような大域切断を有する場合に,編曲多様体(X, E)を分類した。また,Eが非常にに豊富なベクトル束の場合に,種類が2以上の超楕円曲線Z上で消滅するような大域切断を有するEの性質を調べた。特に,Zの種数が2のとき,XとEから成る一般偏極多様体(X, E)を分類した.(3)非特異複素射影代数多様体上の豊富なベクトル束に対して,零点集合がそのベクトル束の回数と同じ余次元の非特異部分多様体になるような大域切断が存在するという仮定の下で,その零点集合が2重楕円切断を含む場合に,多様体とその上の豊富なベクトル束から成る偏極多様体を分類した.また零点集合が非特異曲線上の2次超曲面ファイバー束の場合に以前分類していた偏極多様体に関する結果を改良した.2.保倉理美は,揖元と共同で随伴多様体,sumplectic triple system,そして複素単純リー代数の接触型階数分解の関係に関する具体的研究を行った.さらに,Fruedenthal多様体の射影幾何的性質をsymplectic triple systemの言葉で記述・証明することに成功した.特に,随伴多様体について,割線多様体の軌道分解および射影幾何的記述を得た.また,Freudenthal多様体について,随伴多様体とのlinear section関係および等質性の本質的証明を得た

  • 射影多様体の割線多様体について

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    射影多様体の割線多様体を調べる際, 射影多様体のガウス写像や射影双対を調べることが重要と改めて気づき, 主に深澤知氏(日本学術振興会特別研究員, 受入機関 : 早稲田大学理工学術院)との共同研究を行った. そして, セグレ多様体の射影双対に関する再帰性, および, 与えられた代数多様体の射影モデルのガウス写像の階数について研究を行った. 当該研究期間中, 3本の論文を学術雑誌(どれも査読あり)に発表し, 国際会議等(2件)を含む8件の口頭発表を行った. また, 2008年度末の時点において, 掲載決定済みの論文が1本, 投稿中の論文が1本, 準備中の論文が1本ある

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講演・口頭発表等

  • グラスマン束の次数公式と高次ガウス写像への応用

    研究集会「野田代数幾何学シンポジウム」   (東京理科大学理工学部 (野田キャンパス)) 

    発表年月： 2015年03月

  • Higher Gauss maps of Veronese varieties---a generalization of Boole's formula---

    KAJI, Hajime  [招待有り]

    Mini-conference on Algebraic Geometry   (National Taiwan University) 

    発表年月： 2015年03月

  • グラスマン束の次数公式(続)

    楫 元  [招待有り]

    研究集会「代数多様体とその周辺」   (琉球大学理学部) 

    発表年月： 2014年09月

  • グラスマン束の次数公式

    研究集会「第21回沼津研究集会」(沼津工業高等専門学校)  

    発表年月： 2014年03月

  • Degree formula for Grassmann bundles

    Symposium on Projective, Algebraic Varieties and Moduli 2014 (in honor of Professor Changho Keem's 60th birthday), Seoul National University (Seoul, Korea).  

    発表年月： 2014年02月

  • グラスマン束の次数公式

    研究集会「Fano多様体の最近の進展」, 京都大学数理解析研究所.  

    発表年月： 2013年12月

  • 接的退化曲線について

    東北大学談話会  

    発表年月： 2013年04月

  • A tangential trisecant lemma

    研究集会, ALGA-2012, the 12th Meeting of the Brazilian Group in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, IMPA (Rio de Janeiro, Brazil).  

    発表年月： 2012年08月

  • A tangential trisecant lemma

    研究集会「高次元代数多様体とベクトル束の代数幾何学」, 九州大学  

    発表年月： 2012年03月

  • A tangential trisecant lemma

    Symposium on Projective Algebraic Varieties and Moduli, Novotel Ambassador (Busan, Korea)  

    発表年月： 2012年02月

  • Homogeneous projective varieties with unique secant property

    第10回大垣研究集会「シンプレクティック幾何学とその周辺」  

    発表年月： 2011年11月

  • 随伴多様体の射影幾何的魅力

    第18回沼津研究集会〜待田芳徳先生還暦記念〜」, 沼津工業高等専門学校  

    発表年月： 2011年03月

  • Gauss maps in positive characteristic

    Algebra Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea).  

    発表年月： 2010年09月

  • Gauss maps in positive characteristic

    研究集会, ALGA-2010, the Tenth Meeting of the Brazilian Group in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, IMPA (Rio de Janeiro, Brazil).  

    発表年月： 2010年07月

  • Gauss maps in positive characteristic

    Workshop ''2010 Algebra and Geometry of Subvarieties of Projective Space (in honor of Professor Fyodor Zak on his 60th birthday),'' KAIST (Daejeon, KOREA).  

    発表年月： 2010年01月

  • Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero

    研究集会「射影多様体の幾何とその周辺 2009」, 高知大学.  

    発表年月： 2009年11月

  • 正標数のガウス写像

    研究集会「Sygyzies of Projective Varieties」, 佐賀大学  

    発表年月： 2009年09月

  • 随伴多様体の割線多様体の軌道分解について

    研究集会「第２回シューベルト・カルキュラスとその周辺」, 倉敷シーサイドホテル.  

    発表年月： 2009年09月

  • Any algebraic variety in positive characteristic

    日本数学会秋期総合分科会, 大阪大学.  

    発表年月： 2009年09月

  • Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero

    日本数学会秋期総合分科会, 大阪大学.  

    発表年月： 2009年09月

  • ガウス写像の一般潤滑性vs再帰性

    研究集会「代数幾何学 in 九州」  

    発表年月： 2009年02月

  • ガウス写像の一般潤滑性vs再帰性

    複素幾何セミナー, 首都大学東京  

    発表年月： 2008年10月

  • 射影多様体のガウス写像が双有理となる非再帰埋め込みの存在について (深澤知氏との共同講演)

    日本数学会，秋季総合分科会，東京工業大学  

    発表年月： 2008年09月

  • 射影多様体のセグレ積に対する再帰性について (深澤知氏との共同講演)

    日本数学会，秋季総合分科会，東京工業大学  

    発表年月： 2008年09月

  • 退化したsecant多様体をもつ射影多様体について

    大岡山談話会, 東京工業大学  

    発表年月： 2008年06月

  • 射影多様体に対する双有理ガウス写像をもつnon-reflexiveな埋め込みの存在について

    International Conference "IV Iberoamerican Conference on Complex Geometry", (Brasil, Ouro Preto)  

    発表年月： 2007年08月

  • 射影多様体に対する双有理ガウス写像をもつnon-reflexiveな埋め込みの存在について

    International Conference "IV Iberoamerican Conference on Complex Geometry", (Brasil, Ouro Preto)  

    発表年月： 2007年08月

  • 随伴多様体の射影幾何

    Algebraic Geometry Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea)  

    発表年月： 2007年06月

  • 退化した割線多様体をもつ射影多様体

    Colloquium, National Institute for Mathematical Sciences (Daejeon, Korea)  

    発表年月： 2007年06月

  • 退化した割線多様体をもつ射影多様体

    Algebraic Geometry Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea)  

    発表年月： 2007年06月

  • 射影曲面に対するガウス写像の分離性と再帰性について (深澤知氏との共同講演)

    日本数学会，秋季総合分科会，大阪市立大学  

    発表年月： 2006年09月

  • 随伴多様体の射影幾何的魅力

    研究集会「Symplectic Geometry とその周辺」, 岐阜経済大学  

    発表年月： 2005年11月

  • 随伴多様体の射影幾何的魅力

    研究集会「部分多様体の微分幾何学」, 京都大学数理解析研究所  

    発表年月： 2005年06月

  • ある種のフロイデンタール多様体の射影幾何

    シンポジウム「代数曲線論」, 神奈川工科大学  

    発表年月： 2004年12月

  • 公開鍵暗号を解読せよ!−君もスパイになれる?−

    湘南数学セミナー, 湘南国際村センター (神奈川県三浦郡葉山町)  

    発表年月： 2004年12月

  • 素数を見つけて百万長者になろう!?

    現代数学入門市民講座, 湘南国際村センター (神奈川県三浦郡葉山町)  

    発表年月： 2004年12月

  • フロイデンタール多様体の射影幾何

    城崎代数幾何シンポジウム  

    発表年月： 2004年10月

  • ガウス写像の非分離性に関するKleiman-Pieneの問題について

    高知研究集会「射影多様体の幾何とその周辺」  

    発表年月： 2003年08月

  • 正標数の代数多様体のガウス写像について

    談話会、東北大学  

    発表年月： 2003年06月

  • reflexivityとGauss射の分離性に関する Kleiman-Piene の問題について

    代数幾何学シンポジウム ---高次元多様体、正標数上の話題を中心として---  

    発表年月： 2003年01月

  • Algebras with ternary product and projective algebraic geometry (三項演算をもつ代数系と射影代数幾何)

    城崎代数幾何シンポジウム  

    発表年月： 2001年10月

  • Secant varieties of adjoint varieties---orbit decomposition---

    ミニワークショップ 「代数多様体と複素解析特異点」  

    発表年月： 1999年12月

  • Secant varieties of adjoint varieties---orbit decomposition---

    研究集会, 「リー群と幾何学」  

    発表年月： 1998年12月

  • Degeneration of secant varieties

    研究集会, 「部分多様体と特異点のトポロジーと幾何」  

    発表年月： 1998年11月

  • Secant varieties of adjoint varieties

    研究集会「School on Commutative Algebra and Projective Varieties」 (長野メルパルク)  

    発表年月： 1998年03月

  • Secant varieties of K?hler C-spaces of Boothby type

    研究集会「等質空間と Hesse 構造の幾何とその周辺」 (山口大学)  

    発表年月： 1997年12月

  • On the pure inseparability of the Gauss maps

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1993年03月

  • On

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1992年04月

  • On the inseparable degree of the Gauss map of higher order for space curves

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1991年10月

  • Strangeness of higher order for space curves

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1991年10月

  • Characterization of space curves with inseparable Gauss maps in extremal cases

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1990年09月

  • On the Gauss maps of space curves in characteristic $p$

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1989年09月

  • Gauss maps of space curves in characteristic $p$

    都立大学研究集会 ``解析および代数多様体上の諸問題''  

    発表年月： 1988年01月

  • On the vector bundles whose endomorphisms yield quaternion algebras over a product of elliptic curves

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1987年10月

  • On the space curves with separable Gauss map

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1987年10月

  • On the space curves with purely inseparable Gauss map

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1987年10月

  • Example of $sigma$-transition matrices defining the Horrocks-Mumford bundle

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1987年10月

  • On the vector bundleds whose endomorphisms yield quaternion algebras over a product of elliptic curves

    第9回可換環論シンポジウム  

    発表年月： 1987年10月

  • On the vector bundles whose endomorphisms yield Azumaya algebras of cyclic type

    京都大学数理解析研究所研究集会 ``Analytic varieties および stratified space における諸問題''  

    発表年月： 1986年10月

  • On the normal bundles of rational space curves

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1985年09月

  • On the tangentially degenerate curves

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1985年04月

  • Jumping-conics of vector bundles

    日本数学会代数学分科会  

    発表年月： 1983年04月

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特定課題研究

  • 等質射影多様体のＬｉｅ環論的、表現論的、および、代数幾何的研究

    2006年  

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    福井大学の保倉理美氏との共同研究により, ある種のreductive代数群の自然な作用に関する軌道分解について研究を行なった. 詳しくは, n次複素回転群とm次一般線型群の直積, SO(n) x GL(m) の, n行m列複素行列空間 M(n,m) への自然な作用による軌道分解を調べた. この概均質ベクトル空間に関する軌道分解は, すでに, 佐藤幹夫氏, 柏原正樹氏, 木村達雄氏, 大島利雄氏による著名な論文(M.Sato, M.Kashiwara, T.Kimura, T.Oshima: Micro-local analysis of prehomogeneous vector spaces, Invent. Math. 62 (1980), 117-179) において一例として取上げられているが, 保倉氏との共同研究においてそこに誤りがあることを発見した. 上記の我々の成果はそれを修正し完全な軌道分解を与えたものである. 一方, 射影多様体のreflexivityとガウス写像の分離性との関係については, これも長年研究を続けているテーマであるが, 未解決のまま残っていた2次元の場合にその同値性を証明することができた. これは広島大学の深澤知氏との共同研究の成果である. 従来の自分の研究成果と深澤氏の研究成果と合わせると, 1次元と2次元の場合は同値であり, 3次元以上の場合はreflexiveならガウス写像は分離的であるが, 逆は成り立たず, 任意正標数, 任意次元(≧3)の反例が存在することが示された. したがって, 任意標数, 任意次元においてreflexivityとガウス写像の分離性との関係が明らかになったことになる (標数零の場合は同値であることが古くから知られている).

  • 等質射影多様体の Lie 環論的, および, 代数幾何的研究

    1999年  

    　概要を見る

    　この数年間、等質射影多様体、特に、随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体) の研究を行っている。これは、H. Freudenthal の提唱するところの meta-symplectic geometry に相当する多様体であるが、symplectic geometry に相当する多様体として現れる等質射影多様体は、フロイデンタール多様体と呼ばれている。随伴多様体の研究を進めるにあたり、このフロイデンタール多様体を調べることが重要であることが、最近の研究から明らかになってきた。実際、1998年度の研究により、Lie環の接触型次数分解の次数1部分の定める部分空間と随伴多様体の交わりとしてフロイデンタール多様体が現れ、また、随伴多様体の secant variety の軌道分解を与える際にもこのフロイデンタール多様体、および、それを含む射影空間の考察が非常に重要であった。　そこで、1999年度は、このフロイデンタール多様体について詳しく研究を行った。その結果、フロイデンタール多様体の持ついくつかの顕著な射影幾何的性質を、symplectic triple system の理論の言葉で記述・証明することに成功した。これは、福井大学工学部、保倉理美氏との共同研究の成果である。　一方、射影幾何学的に重要な多様体のクラスのひとつに projective varieties with one apparent double point がある。1999年度は、多様体が等質の場合に、このクラスの多様体の分類を与えた。

  • 射影多様体の代数幾何的研究

    1997年  

    　概要を見る

    今年度は射影多様体の secant variety に関する研究を行った。特に射影多様体が随伴多様体 （すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体）の場合を中心に研究した。 　この場合、代数群の射影空間への作用は線型であることから直ちに、secant varietyも同じ代数群の作用を許すことがわかる。では、どのような軌道からsecant varietyが構成されているかが自然に問題となる。随伴多様体自身は明らかにその軌道のひとつである。昨年度は、secant variety の中で稠密となる軌道について明らかにした。今年度はそれら以外にも第3の軌道が存在することを、symplectic triple systems の理論 (浅野 洋氏; 横浜市立大学) を使うことにより示すことに成功した。　secant vareity の一般の点に対して、 その点を通る随伴多様体の射影空間に埋め込まれた接空間を考える。 その接点の全体のなす集合は随伴多様体の射影幾何学という立場からすると非常に興味深いが、今年度はその集合についての Lie 環論的特徴づけを発見した。 そこでは、 Lie 環に接触型次数構造を考えることが本質的であることがわかった。 　以上の結果の証明において、 ある等質空間を考えることが重要となる。 その空間は、 H. Freudenthal のsymplectic geometry に対応する：因みに、 ここで中心に考えている随伴多様体は彼の meta-symplectic geometry に対応し、一方、secant varietyの著しく退化した射影多様体のクラスとして現れる Severi 多様体は彼の projective geometry に対応している。今年度は、その等質空間と随伴多様体との関連を明らかにした。実は、随伴多様体の、ある線型部分空間による断面としてその等質空間が現れることがわかった。　以上は、福井大学工学部、保倉理美氏との共同研究の成果であり、現在論文にまとめている最中である。 研究成果の発表： 1. Adjoint varieties and their secant varieties, Indag. Math. (to appear) 2. Secant varieties of adjoint varieties, Matem&#193;　tica Contempor&#194;　nea (to appear) 3. Homogeneous projective varieties with degenerate secants, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear)

  • 射影多様体の代数幾何学研究

    1996年  

    　概要を見る

    　一般に、射影多様体と整数d＞１に対して、多様体上のd+1点の張るd次元射影部分空間すべての和集合を考え、その閉包で定まる新しい射影多様体をd-secant varietyという。それに付随して、その退化の度合をはかる不変量、d-secant deficiencyが定まる。　研究代表者は、射影多様体が等質である場合、すなわち、代数群の有限次元既約表現から得られる場合のsecant varietyについて研究しており、昨年度はd=1の場合にsecant varietyの退化する射影多様体の分類を行ったが、今年度は主に、一般のduの場合にd-secant deficiencyの値について考察した。パソコンを用いるなどして実験的計算を行い、それを基にして、Al型の場合にいくつかのd-secant deficiencyに関する定理を得た。(計算データを基に一般の場合の命題を類推し、それに証明を与えた)。具体的には、射影空間のVeronese埋込、そして、Grassmann多様体のPlucker埋込について、d-secant deficiencyに関する公式を発見した。この結果は現在論文にまとめている最中である。　また、理工学部56号館において3月5日から8日まで、代数幾何学シンポジウム『射影多様体/代数多様体の射影幾何＋特異点』(理工総研、数理科学：研究代表者、足立恒雄からの援助による)を開催した。代数幾何学者だけでなく、対称空間、Lie環、非結合的代数、可換的代数など、さまざまな分野の専門家が参加し、講演に対しては活発に質問コメントなどがなされ、非常に盛況だった。上記の研究成果はこのシンポジウムで講演発表した。

  • 代数多様体の射影空間への埋め込みに関する研究

    1995年  

海外研究活動

  • 等質射影多様体の射影代数幾何的研究

    2000年09月
    -
    2001年08月

    ブラジル   ＩＭＰＡ

 

現在担当している科目

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委員歴

  • 2015年09月
    -
    　

    日本数学会  代数学分科会運営委員