2022/08/17 更新

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ヒロナカ ユミコ
広中 由美子
所属
教育・総合科学学術院
職名
名誉教授

学内研究所等

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学位

  • 筑波大学   理学博士

  • Doctor of Science

経歴

  • 1998年
    -
     

    早稲田大学教育学部 教授

  • 1992年
    -
    1998年

    信州大学理学部 助教授

  • 1982年
    -
    1992年

    信州大学理学部 助手

所属学協会

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野

  • 代数学

研究キーワード

  • 数論、

論文

  • Harmonic analysis on the space of p-adic unitary hermitian matrices, mainly for dyadic case

    Yumiko Hironaka

    Tokyo Journal of Mathematics   40 ( 2 ) 517 - 564  2017年12月

     概要を見る

    We are interested in harmonic analysis on p-adic homogeneous spaces based on spherical functions. In the present paper, we investigate the space X of unitary hermitian matrices of size m over a p-adic field k mainly for dyadic case, and give the unified description with our previous papers for non-dyadic case. The space becomes complicated for dyadic case, and the set of integral elements in X has plural Cartan orbits. We introduce a typical spherical function ω(x
    z) on X, study its functional equations, which depend on m and the ramification index e of 2 in k, and give its explicit formula, where Hall-Littlewood polynomials of type Cn appear as a main term with different specialization according as the parity m = 2n or 2n + 1, but independent of e. By spherical transform, we show the Schwartz space S(K\\X) is a free Hecke algebra H(G, K)-module of rank 2n, and give parametrization of all the spherical functions on X and the explicit Plancherel formula on S(K\\X). The Plancherel measure does not depend on e, but the normalization of G-invariant measure on X depends.

    DOI

  • Harmonic analysis on the space of p-adic unitary hermitian matrices, mainly for dyadic case

    Hironaka, Yumiko

    Tokyo Journal of Mathematics   40 ( 2 ) 517 - 564  2017年12月

     概要を見る

    We are interested in harmonic analysis on p-adic homogeneous spaces based on spherical functions. In the present paper, we investigate the space X of unitary hermitian matrices of size m over a p-adic field k mainly for dyadic case, and give the unified description with our previous papers for non-dyadic case. The space becomes complicated for dyadic case, and the set of integral elements in X has plural Cartan orbits. We introduce a typical spherical function ω(x; z) on X, study its functional equations, which depend on m and the ramification index e of 2 in k, and give its explicit formula, where Hall-Littlewood polynomials of type C n appear as a main term with different specialization according as the parity m = 2n or 2n + 1, but independent of e. By spherical transform, we show the Schwartz space S(K\X) is a free Hecke algebra H(G, K)-module of rank 2 n , and give parametrization of all the spherical functions on X and the explicit Plancherel formula on S(K\X). The Plancherel measure does not depend on e, but the normalization of G-invariant measure on X depends.

    DOI

  • Zeta functions of finite groups by enumerating subgroups

    Yumiko Hironaka

    Communications in Algebra   45   3365 - 3376  2017年  [査読有り]

  • Zeta functions of finite groups by enumerating subgroups

    Yumiko Hironaka

    COMMUNICATIONS IN ALGEBRA   45 ( 8 ) 3365 - 3376  2017年  [査読有り]

     概要を見る

    For a finite group G, we consider the zeta function zeta G(s) = Sigma(H)vertical bar H vertical bar(-s), where H runs over the subgroups of G. First we give simple examples of abelian p-group G and non-abelian p-group G' of order p(m), m >= 3 for odd p (resp. 2(m), m >= 4) for which zeta G(s) = zeta(G')(s) . Hence we see there are many non-abelian groups whose zeta functions have symmetry and Euler product, like the case of abelian groups. On the other hand, we show that zeta(G)(s) determines the isomorphism class of G within abelian groups, by estimating the number of subgroups of abelian p-groups. Finally we study the problem which abelian p-group is associated with a non-abelian group having the same zeta function.

    DOI

  • Spherical functions on the space of $p$-adic unitary hermitian matrices, the case of odd size (Automorphic Forms and Related Zeta Functions)

    広中 由美子, 小森 靖

    数理解析研究所講究録   1934   104 - 117  2015年02月

    CiNii

  • SPHERICAL FUNCTIONS ON THE SPACE OF p-ADIC UNITARY HERMITIAN MATRICES

    Yumiko Hironaka, Yasushi Komori

    INTERNATIONAL JOURNAL OF NUMBER THEORY   10 ( 2 ) 513 - 558  2014年03月  [査読有り]

     概要を見る

    We investigate the space X of unitary hermitian matrices over p-adic fields through spherical functions. First we consider Cartan decomposition of X, and give precise representatives for fields with odd residual characteristic, i.e. 2 is not an element of p. From Sec. 2.2 till the end of Sec. 4, we assume odd residual characteristic, and give explicit formulas of typical spherical functions on X, where Hall-Littlewood symmetric polynomials of type C-n appear as a main term, parametrization of all the spherical functions. By spherical Fourier transform, we show that the Schwartz space S(K\X) is a free Hecke algebra H(G, K)-module of rank 2(n), where 2n is the size of matrices in X, and give the explicit Plancherel formula on S(K\X).

    DOI

  • Spherical functions on the space of $p$-adic unitary hermitian matrices II, the case of odd size

    Yumiko Hironaka, Yasushi Komori

    Commentarii Mathematici Universitatis Sacnti Pauli   63   47 - 78  2014年  [査読有り]

  • Spherical functions on the space of p-adic unitary hermitian matrices (保型形式と保型的L函数の研究 : RIMS研究集会報告集)

    広中 由美子, 小森 靖

    数理解析研究所講究録   1826   110 - 128  2013年03月

    CiNii

  • Spherical functions on U(2n)/(U(n) x U(n)) and hermitian Siegel series

    Yumiko Hironaka

    GEOMETRY AND ANALYSIS OF AUTOMORPHIC FORMS OF SEVERAL VARIABLES   7   120 - 159  2012年  [査読有り]

  • Spherical functions on U(2n)/(U(n)×U(n)) and hermitian Siegel series (等質空間と非可換調和解析--RIMS研究集会報告集)

    広中 由美子

    数理解析研究所講究録   1722   126 - 145  2010年12月  [査読有り]

    CiNii

  • Spherical functions on $p$-adic homogeneous spaces

    Yumiko, Hironaka

    MSJ Memoires   21   50 - 72  2010年  [査読有り]

  • Linear independence of local densities of quadratic forms and its application to the theory of Siegel modular forms

    Siegfried Boecherer, Yumiko Hironaka, Fumihiro Sato

    QUADRATIC FORMS - ALGEBRA, ARITHMETIC, AND GEOMETRY   493   51 - +  2009年  [査読有り]

     概要を見る

    Regarding local densities alpha(p) (S,T) of quadratic forms as functions of T, we study their linear independence when S varies by scaling of hyperbolic planes. Since local densities can be regarded as Fourier transforms of certain Gauss sums, we study their linear independence by reducing it to the corresponding problem for these Gauss sums. We assume throughout that the size m of S is large compared to the size n of T.
    Since local densities appear in Fourier coefficients of genus theta series, our local results allow us to exhibit many linearly independent genus theta series of fixed level. They generate the full space of Siegel Eisenstein series if the level is squarefree, but only a quite small subspace otherwise. We characterize this small subspace intrinsically within the space of Siegel Eisenstein series of fixed level.
    Our work was inspired by an article of Katsurada and Schulze- Pillot [14], where the case of prime level was considered.

  • The Siegel series and spherical functions on O(2n)/(O(n) x O(n))

    Y Hironaka, F Sato

    AUTOMORPHIC FORMS AND ZETA FUNCTIONS     150 - +  2006年  [査読有り]

  • Spherical functions on p-adic homogeneous spaces

    Y Hironaka

    Number Theory: Tradition and Modernization   15   81 - 95  2006年  [査読有り]

     概要を見る

    In closed integral 1, after defining spherical functions on homogeneous spaces, we examine the case of symmetric forms as an enlightening example. In closed integral 2, we introduce a general formula of spherical functions using functional equations under suitable assumption. In closed integral 3, we study a certain mechanism of functional equations of spherical functions.

  • Spherical functions on S-P2 as a spherical homogeneous S-P2 x (S-P1)(2)-space

    Y Hironaka

    JOURNAL OF NUMBER THEORY   112 ( 2 ) 238 - 286  2005年06月  [査読有り]

     概要を見る

    We investigate spherical functions on Sp(2) as a spherical homogeneous G = Sp(2) x (Sp(1))(2)-space over a p-adic field k, which form a 4-dimensional vector space for each eigenvalue given by Satake parameter. Explicit expressions of spherical functions and Cartan decomposition Of Sp(2) are given. Using spherical transform, we determine Hecke module structure of the Schwartz-Bruhat space S(K\Sp(2)), which is free of rank 4. © 2004 Elsevier Inc. All rights reserved.

    DOI

  • 数論とは何か?

    日本の科学者   40 ( 3 )  2005年03月

  • Functional equations of spherical functions on p-adic homogeneous spaces

    Y Hironaka

    ABHANDLUNGEN AUS DEM MATHEMATISCHEN SEMINAR DER UNIVERSITAT HAMBURG   75   285 - 311  2005年  [査読有り]

     概要を見る

    Let G be a connected reductive linear algebraic group and X a G-homogeneous affine algebraic variety both defined over a p-adic field k, where we assume a minimal k-parabolic subgroup of G acts with open orbit. We are interested in spherical functions on X = X(k). In the present papaer, we give a unified method to obtain functional equations of spherical functions on X under the condition (AF) in the introduction, and explain functional equations are reduced to those of p-adic local zeta functions of small prehomogeneous vector spaces of limited type.

  • Spherical function on $p$-adic spherical homogeneous spaces

    Prceedings of the Japan-korea Joint Seminar on Number Theory     45 - 58  2004年10月

  • Spherical functions on certain spherical homogeneous spaces over $p$-adic fiels

    京都大学数理解析研究所講究録   1338   91 - 106  2003年07月

  • $p$進線型空間上の球関数や局所密度 --- 概均質ベクトル空間の理論の応用として---

    第10回 整数論サマースクール「概均質ベクトル空間」     195 - 204  2003年02月

  • Spherical functions on some spherical homogeneous spaces

    Proceedings of Japanese-German Seminar Explicit structure of Modular forms and Zeta functions     233 - 239  2002年

  • A remark on Kitaoka's power series attached to local densities

    Hironaka Yumiko

    Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli   50 ( 2 ) 141 - 146  2001年  [査読有り]

    CiNii

  • Classification by Iwahori subgroup and local densities on hermitian forms

    京都大学数理解析研究所講究録   1173   143 - 154  2000年10月

  • Local densities of representations of quadratic forms over p-adic integers (the non-dyadic case)

    F Sato, Y Hironaka

    JOURNAL OF NUMBER THEORY   83 ( 1 ) 106 - 136  2000年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We give an explicit formula for local densities of integral representations of nondegenerate integral symmetric matrices of arbitrary size in the ease p not equal 2, in terms of invariants of quadratic forms, (C) 2000 Academic Press.

  • Equivalence by Iwahori subgroup and local densities on hermitian forms

    Proceedings of the Jangieon Mathematical Society(Korea)   1   51 - 73  2000年07月

  • Classification of hermitian forms by the Iwahori subgroup and local densities,

    Hironaka Yumiko

    Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli   49 ( 2 ) 105 - 142  2000年  [査読有り]

    CiNii

  • Local Densities of Representations of Quadratic Forms,佐藤文広氏と共著,

    第2回 整数論オータムワークショップ報告集     67 - 86  2000年01月

  • Spherical functions and local densities on hermitian forms

    Y Hironaka

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN   51 ( 3 ) 553 - 581  1999年07月  [査読有り]

     概要を見る

    First we give a formula of spherical functions on certain spherical homogeneous spaces. Then, applying it, we complete the theory of the spherical functions on the space X of nondegenerate unramified hermitian forms on a p-adic number field. More precisely, we give an explicit expression for the spherical functions, prove theorems on the spherical Fourier transforms on the space of Schwartz-Bruhat functions on X, and parametrize of all spherical functions on X. Finally, as an application, we give explicit expressions of local densities of representations of hermitian forms.

  • 二次形式の局所密度の明示公式について, 佐藤文広氏と共著

    京都大学数理解析研究所講究録   1103   60 - 70  1999年

  • Local densties of hermitian forms

    Contemporary Mathematics   ( 249 ) 135 - 148  1999年  [査読有り]

  • Local zeta functions on hermitian forms and its application to local densities

    Y Hironaka

    JOURNAL OF NUMBER THEORY   71 ( 1 ) 40 - 64  1998年07月  [査読有り]

     概要を見る

    We give an explicit description of functional equations satisfied by zeta Functions on the space of unramified hermitian forms over a p-adic field. Further, as an application, we give explicit expressions of local densities of integral representations of nondegenerate unramified hermitian matrices with entries in the ring of p-adic integers. (C) 1998 Academic Press.

  • エルミート形式の球関数と局所密度

    第43回 代数学シンポジウム報告集     98 - 109  1998年

  • エルミート形式に関する局所ゼータ関数と局所密度

    早稲田大学理工学総合センター研究集会報告集   IX   95 - 100  1998年

  • Eisenstein series on reductive Symmetrie spaces and representations of Hecke algebras

    Yumiko Hironaka, Fumihiro Sato

    Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik   1993 ( 445 ) 45 - 108  1993年  [査読有り]

    DOI

  • Fourier-Eisenstein transform and Plancherel formula for rational binary quadratic forms

    Yumiko Hironaka, Fumihiro Sato

    Nagoya Mathematical Journal   128   121 - 151  1992年  [査読有り]

    DOI

  • Spherical functions of hermitian and symmetric forms II

    Yumiko Hironaka

    Japanese Journal of Mathematics   15 ( 1 ) 15 - 51  1989年  [査読有り]

    DOI

  • Local densities of alternating forms

    Yumiko Hironaka, Fumihiro Sato

    Journal of Number Theory   33 ( 1 ) 32 - 52  1989年  [査読有り]

     概要を見る

    We give an explicit formula for local densities of integral representations of non-degenerate alternating matrices with entries in the ring of p-adic integers in terms of elementary divisors. The proof of the formula is based on the local functional equation satisfied by the zeta function on the space of alternating forms and some properties of spherical functions. © 1989.

    DOI

  • Spherical functions of Hermitian and symmetric forms III

    Yumiko Hironaka

    Tohoku Mathematical Journal   40 ( 4 ) 651 - 671  1988年  [査読有り]

    DOI

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Misc

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 球関数に基づくp進等質空間の調和解析的研究

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

     概要を見る

    引き続き,$p$進体上の division quaternion 上のエルミート形式の空間 $X$ の研究を主に進めた.この空間に作用している群はdivision quaternion 上の一般線形群なので,これ自体の球関数は,佐武一郎の結果までさかのぼれて,最も標準的なマクドナルド多項式(むしろ Hall-Littlewood多項式と言うべき)によって記述されている.この quaternion エルミート形式の空間でも,体上のエルミート形式や対称形式などと同様に,球関数を局所密度の生成関数としてとらえられる.球関数の明示式の主要項には,エルミート形式のタイプによって,異なる形の新たなマクドナルド多項式が現れるが,正規化は共通にできる.それによる球フーリエ変換で,$X$上の急減少関数の空間は,対称ローラン多項式環の中に移される.サイズ1,2のときは全射となるが,一般には真のイデアルとなると予想される.サイズ3,4のときには,実際に球フーリエ変換像の2個からなる生成元を与えた.引き戻して,$X$上の急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元が得られた.また,このようなquaternionエルミート形式の空間の研究に示唆されて, 以前扱っていた$p$進体上の分岐エルミート形式の研究を見直しが進んだ.こちらは,同じ固有関数に対応する球関数の次元が上がるので,指標を導入する必要があるが,その指標の種類によっては,quaternionエルミート形式の場合によく似た明示式が与えられ,球関数の主要部として,新たな形のマクドナルド多項式が現れる.この空間の研究は,対称形式の空間の研究に役立つと思われる.division quaternion 上の エルミート形式の空間の球関数について研究が進み,球フーリエ変換像についての計算機を用いての考察により,サイズ3,4のときの球フーリエ変換像の決定や,引き戻しての球減少関数の空間の生成系がとらえられた.この研究には,Mathematica や Grebner基底を用いる Macaulay2 などの計算ソフトが役立った.また,体上の分岐エルミート形式の研究の見直しが可能となり,この空間の球関数の表示式の考察が進んだ.division quaternion 上のエルミート形式の空間の調和解析的考察として,急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元,球フーリエ変換の像,Plancherel 測度について研究する.球フーリエ変換像について,サイズ4以下では分かったが,一般サイズの場合に決定することは今後の問題である.剰余体標数が偶数(dyadic)の場合に,同じような議論は成立しない部分が多いが,どこまでできるかはやはり興味がある.$p$進体上の分岐エルミート形式の空間についても,研究を進めたい.これ以外にも類似の空間について,視野を広げて研究を進めていきたい.引き続き,立教大学の小森靖氏を連携研究者として迎えて,特にMacdonald 多項式関係の部分の研究を進める予定である.概均質ベクトル空間の理論も,等質空間上の球関数には密接につながりがある.元立教大学の佐藤文広氏に協力して早稲田大学において定期的にセミナーを開催している.ここで,概均質ベクトル空間関係の研究者との研究連絡を図っている.また,研究集会「数論女性の集まり」も引き続き世話人として関わり,自分自身の研究発表をして批評を仰ぐとともに,関連する研究者の講演や討論を踏まえて,この研究を進めていく予定である

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2016年03月
     

     概要を見る

    この研究は,数論的に興味のある $p$進等質空間として,特にユニタリ・エルミート行列の空間について球関数に基づく研究である.研究代表者が既に得ていた一般的な球関数の表示式を適用できる.今回作用している群は,行列のサイズの偶奇により対応するルート型は変わり,空間のカルタン分解の形は剰余体標数には依って非対角型も現れる.まず基礎体の剰余体標数が奇数の場合に,行列サイズの偶奇に分けて,球関数に基づく空間の調和解析的研究を行い,次に剰余体体標数が偶数の場合を対比させながら扱った.球関数の次元やヘッケ環加群としてのシュバルツ空間の構造は,統一的な定式化ができる

  • 多様な手法による多変数保型形式の数論的研究

    研究期間:

    2011年05月
    -
    2015年03月
     

     概要を見る

    Lie群GL(n,R), Sp(2,R), SU(3,1)の標準的な表現のWhittaker関数や、球関数の動径成分の明示的な積分表示や級数展開表示など基本的な結果を得た:GL(n,R)のクラス1でない主系列Whittaker関数の明示公式は1980年代のBumpなどの30年の研究史に一応のピリオドを打ち今後は応用が期待できる(成蹊大・石井卓と共同研究)。SU(2,1), SU(3,1) の離散系列表現の明示公式(山形大・早田孝博、三重大・古関春隆、北里大・宮崎直などとの共同研究)。種数2のSiegelモジュラー群の基本領域のcell分解に関連する研究上の予想を一つ解決(早田との共同研究)

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    2012年
    -
    2015年
     

     概要を見る

    2013年度は主に,$p$ 進体上の不分岐ユニタリ・エルミート行列の空間$X$について研究した,但し 剰余体標数は奇数とする.逆対角線上に$1$ が $2n+1$ 個ならぶ行列を固定するユニタリ群 $G$ をとり,これを $k$ 上定義されたユニタリ群の$k$-有理点集合とみなしておく.$G$ 内のエルミート行列で,代数的閉体上で単位行列を含む軌道の有理点集合を $X$とする.$K$ を $G$ の整点からなる極大コンパクト部分群とする.$G$ が作用する空間 $X$ をヘッケ環 $H(G,K)$ の作用を通して解析したい.$X$上の球関数とは,$X$ から複素数体へのヘッケ環同時固有関数を意味し,これを具体的に求めることは基本的かつ重要な問題である.
    まず,この空間$X$ の $K$-軌道分解(カルタン分解)を与え,$X$上の典型的な球関数 $\omega(x;s)$ を定義し,その関数等式や極・零点の位置を調べた,ここで$x \in X$ で,行列のサイズ $2n+1$ に対し,$s \in \C^n$ ($n$ 次の複素変数)である.群 $G$ は$BC_n$ 型であるが,$\omega(x;s)$ の明示式は,$C_n$型のルート系に付随するマクドナルド多項式の特殊化を主要項として持つ.これを核関数に用いて $X$ 上の球フーリエ変換を定し,$X$ 上のシュバルツ関数の空間 $S(K\backslash X)$ を解析した.球フーリエ変換はヘッケ環 $H(G,K)$ の作用と可換であり,$S(K\backslash X)$ は,階数 $2^n$ の自由ヘッケ環加群であることが分かる.また,これから,$X$上のすべての球関数のなす空間が $n$次元であることが分かり,先の典型的な球関数を用いて,全体の基底を構成した.

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    科学研究費助成事業(早稲田大学)  科学研究費助成事業(基盤研究(C))

    研究期間:

    2012年
    -
    2015年
     

     概要を見る

    2013年度は主に,$p$ 進体上の不分岐ユニタリ・エルミート行列の空間$X$について研究した,但し 剰余体標数は奇数とする.逆対角線上に$1$ が $2n+1$ 個ならぶ行列を固定するユニタリ群 $G$ をとり,これを $k$ 上定義されたユニタリ群の$k$-有理点集合とみなしておく.$G$ 内のエルミート行列で,代数的閉体上で単位行列を含む軌道の有理点集合を $X$とする.$K$ を $G$ の整点からなる極大コンパクト部分群とする.$G$ が作用する空間 $X$ をヘッケ環 $H(G,K)$ の作用を通して解析したい.$X$上の球関数とは,$X$ から複素数体へのヘッケ環同時固有関数を意味し,これを具体的に求めることは基本的かつ重要な問題である.
    まず,この空間$X$ の $K$-軌道分解(カルタン分解)を与え,$X$上の典型的な球関数 $\omega(x;s)$ を定義し,その関数等式や極・零点の位置を調べた,ここで$x \in X$ で,行列のサイズ $2n+1$ に対し,$s \in \C^n$ ($n$ 次の複素変数)である.群 $G$ は$BC_n$ 型であるが,$\omega(x;s)$ の明示式は,$C_n$型のルート系に付随するマクドナルド多項式の特殊化を主要項として持つ.これを核関数に用いて $X$ 上の球フーリエ変換を定し,$X$ 上のシュバルツ関数の空間 $S(K\backslash X)$ を解析した.球フーリエ変換はヘッケ環 $H(G,K)$ の作用と可換であり,$S(K\backslash X)$ は,階数 $2^n$ の自由ヘッケ環加群であることが分かる.また,これから,$X$上のすべての球関数のなす空間が $n$次元であることが分かり,先の典型的な球関数を用いて,全体の基底を構成した.

  • 代数多様体の研究

    科学研究費助成事業(信州大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1988年
     
     
     

     概要を見る

    本研究は多様体、特に代数多様体を対象の中心にすえて、その構造、それに働く代数的作用、解析的作用等を数学の各分野、特に代数的、解析的、位相幾何学的分野から、総合的に究明する点にあった。より具体的には代数多様体をめぐる種々の研究、位相的不変量の計算とそのG-構造、解析的方程式の基本解の構成、スペクトル分解とその作用素で生成される半群の研究、基本解の特異領域の幾何学的構造等がそれである。これらの点に関しては、それぞれに一定の成果があげられている。高次微分の作用に関する不変環の理論、エルミートあるいは対称空間の球関数、球変換の理論、例外型リー群の対合自己同型と不変群の実現、非アーベル的ドラーム理論の構成等顕著な成果がみられる(研究発表の項を参照されたい)。また本研究を発展させる上で重要なポイントの一つとなる他大学における研究者との交流も科研費を利用して計画通り行われ、意見・情報の交換、ディスカッションを行なうことが出来た。また、本大学での、解析学、代数学、幾何学の各分野で、他大学の研究者を交えてのセミナー、シンポジウム等がもたれたことも特筆すべきことである。

  • 保型形式に関連するL-関数の研究

    科学研究費助成事業(立教大学)  科学研究費助成事業(一般研究(C))

    研究期間:

    1987年
     
     
     

     概要を見る

    1.実2次体の量指標のL-関数のある特殊値のLambert型Dirichlet級数のある極における留数を用いた興味深いexpressionを得た. また二重ガンマ関数と上記Lambert型Dirichlet級数との間の関数等式を得た(荒川).
    2.2元2次形式のゼータ関数を核関数として球フーリエ変換の有理数体上の類似物を構成し, 有理2元2次形式の空間上のシャワルツ関数の空間のGL(2)のヘッケ環加群としての構造を決定した. H.Maassによって考えられたKoecherのゼータ函数の球関数係数への拡張を概均質ベクトル空間の枠組で一般化した(佐藤)
    3.局所体上のエルミート形式および対称形式の空間Xに球関数の類似を定義し, これらを核関数として, X上のSchwartz-Bruhat空間上の球-Fourier変換を与えた. 球関数の関数等式を研究することにより, 球Fourier変換像の情報を提供した. 特に, サイズ2の形式については, 具体的に球関数のparametrization,Fourier逆変換や, Hecke環加群としてのS-B空間の構造の決定等を行った(小林).
    4.P進体上の交代行列の空間の球函数論, 概均質ベクトル空間の理論の応用として, 交代行列の表現の局所密度の公式を得た. (佐藤, 小林)
    5.Riemann Zeta関数の零点の分布についてのいくつかの興味ある結果を導いた. 零点の虚数部分の一様分布性に関する結果を用いて, L-関数の平均値定理を得た. また, 零点の分布についてのGramの法則に関する定理を得, 予想を作った(藤井).

  • ホップ代数の構造とその周辺の研究

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    交付された補助金は、研究代表者及び研究分担者の各地で開催されるシンポジウム、研究集会、及び各地の大学の研究者との研究打合せ資料収集等に充当する予定であったが、本年度は代数学、環論、及びトポロジ-関係のシンポジウムが夏期に札幌、福島の遠隔地で開催されたため、それらに出席するための旅費に大部分が使われるという結果になってしまい,各地の大学の研究者との研究打合せのための旅費が、予定に比べて大幅に縮小し、資料収集のみを目的とした旅費に充当することが不可能になってしまった。具体的には、代数学シンポジウムが7月に北海道大学学術交流会館で、トポロジ-シンポジウムが7月に福島大学で、環論シンポジウムが8月に北海道大学百年記念会館で開催され、トポロジ-シンポジウムには、研究分担者の向井、阿部が出席し、代数学シンポジウムと環論シンポジウムには研究代表者の西川、研究分担者の二宮、岸本、小林が出席し、これら全員の旅費を賄うことが出来た。また、環論シンポジウムには二宮が「Blocks of p-solvable groups with 2 or 3 simple modules」なる題目で講演した。これらのシンポジウムに手分けして出席したことにより,研究代表者及び分担者それぞれが、Hopf対数の構造論との関連をもつ種々の分野における第一線の研究の状況、具体的には有限群のmodular表現論、環の拡大理論、射影空間のHomotopy論、可微分多様体の構造理論、Hecke代数と対称空間の表現論等の分野の研究の現状についての理解が進み、代表者、分担者それぞれの研究の準備の進展及び論文作成等の効果を得ることが出来た

  • Hecke環の表現と対称空間

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    標数Oの局所体k上のn次非退化対称行列のなす空間Xには、G=GLu(k)が自然に作用している。X上の、K=GLu(Ok)不変でコンパクトな台をもつ関数の空間をS(K\X)とすると,これには、Hecke環H(G,K)が作用している。kが奇素数pについてpーfieldである場合に、H(G,K)の表現空間としてS(K|X)の構造を調べることを以前した。今回は2ーfieldの場合を考察した。以上の対称空間の構造を調べる上でも、局所理論は是非しておくべきことである。X上の帯球関数を定義し、それを用いてS(K|X)上に球Fowier変換Fを定義し、これを通してS(K\X)のH(G,K)ー加群としての構造を調べる。size nの帯球関数は、size n未満の帯球関数と,行列の表現の局所密度で表わすことができ、帯球関数の研究と局所密度の研究は密接に結びついている。より具体的には、i)Fの単射性,ii)Fの像,iii)Fの逆変換,iv)S(K\X)上のPlruckerel測度,v)H(G,K)ー同時固有関数,の決定を問題にする。size zの時は完全に決定された。p≠2との著しい違いは、S(K\X)のH(G_1K)ー自由加群としての階数で64(p≠2のときは16),一般にも、P=2なら8^n,P≠2なら4^nと思われる。一般のsizeについても、単射性と、関数等式については決定した。以上と同様の考察を、2ーfield上のHevmete行列のなす空間についても考察し、まとめた。補助金により、他大学の研究者と交流できたのは、大変有意義であった。又、数論関係の書籍も購入できた

  • 数理物理に関係したLoop空間の研究

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    1.Loop群束に関する研究(1)多様体M上のLoop群束ξとM上の(複素)行列値関数gとの関係を示した.(2)多様体M上の(複素)vector束ξの,M上のLoop空間ΩMへのlift ξ^Ω(Loop群束)、及びM上のLoop群束ξからMxS^1上のvector束ξ^〓へのdescentを定義した.2.Loop群束の特性類(String類)の研究(1)String類の微分幾何的定義を与え,ξのstring類とξ^〓のChern類との関係を明らかにした.(2)ξのChern類とξ^Ωのstring類との関係を明らかにした.(3)ξのstring類とξの特性写像のWZNW項との関係を明らかにした.3.上記1,2の結果を非abel de Rham理論に拡張し,Chen-Simons gauge理論と位相的場の理論の関係を明らかにした.4.上記の結果を例外群上のLoop群に拡張する爲,例外群についての具体的表示を行なった.5.Current群束、GLp束の研究、I、非可換接続これ等の束を研究する爲、非可換接続の概念を導入し,それを用いてこれ等の束がU〓束と同値〓事を示すと共に、非可換Poincare補題等の結果を得た.6.Current群束,GLp束の研究,II.Dirac作用素に関する接続これ等の束に対し,Dirac作用素に関する接続を定義し,特にこうして作られるDirac作用素のη-関数から末の不変量を得られる事を示した.7.更に進んだ情報を得る爲,特に理論的対称空間のEisenstein数致についての研究を行なった

  • 群多元環とその根基の構造に関する研究

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    有限群の正標数の体上の群多元環の構造についての研究の観点から、その根基の巾零指数と群の構造との関連について考察することを当面の目標とした。体Kの標数をpとし、群Gのシローp部分群の位数をP^aとする。群多元環KGの根基の巾零指数をt(G)で表すことにする。Gがp可解群のとき、t(G)はp^a以下であることが知られている。さらに、p^<a-1>≦t(G)≦p^aをみたす群Gの構造は完全に決定されている。そこで、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群Gを決定するべく研究を行った。Gがp群の場合、この研究を遂行するためには、指数p^<a-2>の群をすべて決定する必要があるが、これについては、Millerによる分類があり、そのような群の同型類の個数が得られている。このMillerの論法を精密化することにより、指数p^<a-2>のp群すべてについて、それらの生成元と基本関係による表示を与えることができた。この結果を用いることにより、Gがp群の場合には、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群を完全に決定することができた。さらに、この問題をp可解群の場合に解決するべく研究中であるが、いくつかの例外的な群をのぞいて、ほぼ解決の見通しが立つ状況になった。さらに、この研究の過程において、永年、研究者の間で予想されていた不等式t(G)≦t(P)(Gはp可解群で、PはGのシローp部分群)に対する反例を見つけることができた。このことは、この方面の研究者の注目を集めると思われる。この反例が特異なものなのかどうかについて、さらに上記不等式t(G)≦t(P)をみたす群の特徴付けについて、研究を深める必要があると考えている

  • 対称空間上の球関数

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    対称空間のある種の作用素の同時固有関数族として得られる関数は球関数と呼ばれ、対称空間の表現論で重要な役割をになうものである。実または複素数での理論やp-進reductive群の球関数の理論はすでに研究されている。p-進体上の等質空間の球関数の理論を構成し、さらには、代数体上定義された対称空間、等質空間の調和解析の理論を構成することは、興味深い問題である。以下は標数0の非アルキメデス的局所体上定義された等質空間を考え、ヘッケ環の同時固有関数を球関数と呼ぶ。まず、球等質空間上の球関数についての表現論的な考察をし、一定の仮定の下で、球関数の公式を与えた。これを不分岐エルミート形式のなす空間について適用し、球関数の理論を構成した。具体的には、標準的な球関数をうまく定義し、その良い具体的表示式を与えること;球関数を核関数とするフーリエ変換の像、および逆変換の決定この空間上の急減少関数のなす空間のヘッケ環加群としての構造の決定すべての球関数をうまくパラメトライズすることまた、球関数は局所密度μ_p(B,A)達の母関数とみなすことができる。したがって、球関数の明示式を用いて、局所密度μ_pを引き出すことができる。実際、局所密度および原始的局所密度の、組合わせ論的量を用いた明示式を得た

  • 弱球等質空間のゼータ関数の研究

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    1.研究代表者は, (a)概均質ベクトル空間(Spin_<10>×GL_3, 半スピン【cross product】Λ_1), (SL_5×GL_3, Λ_2【cross product】Λ_1)から得られる弱球等質空間を研究し, 付随する関数等式の計算に成功した。この空間は, 従来関数等式の計算にもっとも強力とされていたマイクロローカルカルキュラスの方法が適用できないケースであり、弱球等質空間の視点の有効性を示すことができた(筑波大学のグループとの共同研究)。(b)一般線形群以外の弱球等質空間の研究は不十分に終わったが、退化主系列表現の間のintertwining作用素に現れる積分を利用して関数等式を明示的に表す試みなどを行い, 次の段階のてがかりとなる示唆的な結果を得た。2.分担者広中は, (a)p-身体上の球等質空間の球関数の明示式をかなり一般的に求めることができた。(b)これを利用してp-進体の不分岐二次拡大から定まるエルミート形式の空間の球関数を決定し、局所密度への応用を行った。(c)また研究代表者とともに, 剰余体標数が2でないp進体上の二次形式の局所密度の明示公式を完全に一般の場合に求めることに成功したが、広中はこの結果をさらに、(d)過剰体標数が2でないp進体上の(分岐する場合も含む)二次拡大体により定まるエルミート形式の場合に拡張した。3.分担者荒川はSiegel保型形式に付随するKoecher-Maassゼータ関数を中心に研究し、(a)Koecher-Maassゼータ関数のJacobi形式への拡張, (b)Siegel Eisenstein級数のweightに関するp進的極限をとることにより得られるNagaokaのweight 1のEisenstein級数に付随するKoecher Maass級数の具体的に表示(ただし、次数が2の場合)、などの成果を得た

  • 多変数保型形式の数論:基礎の再構築

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    申請時の計画にあったように、我々は東京と神戸において月例セミナーを開いた.これについては各年次の報告に書いたのでここでは書かない.京都大学教理解析研究所での研究集会や夏の学校についても詳細は省略する.それぞれの集会記録をご覧下さい.代表者の織田は早田孝博(山形大学)・古関春隆(三重大学)と共同研究で、リー詳SU(2,2)の「中間の離散系列表現」について、その行列係数の明示公式を得た.またこれに加えてSp(2,R)とSU(2,2)の大きな離散系列についても行列係数のある明示公式を得た.さらに都築正男(上智大学)との共同研究で、ある種の有界対称領域の算術商のモジュラー的因子のグリーン関数を保型形式として構成した.この計画に参加した分担者たちの研究成果も簡単に紹介する伊吹山・齋藤は概均質ベクトル空間のゼータ関数の特殊値の計算において特筆すべき成果を挙げた.これは保型形式の空間の次元の明示公式に応用があるのみならず、理論的にも極めて重要な意義がある佐藤・広中のp-進球関数の研究も大いに進展した.特に目新しい点は、分岐する場合も取り扱い始めたことである.村瀬・菅野の保型的L閣敷の研究はSU(2,1)の原始的テータ関数の研究も興味深いが、直交群上のL関数の研究が大いに進展した.加震信一(京都大学)とのp-進球関数の明示公式も大きな成果である.渡部隆夫は森下昌紀(金沢大学)と「数の幾何」の非可換版と言うべき代数群のエルミート定数の研究を進めた.桂田の特異級数の研究も分岐するP-進球関数の理論と見て面白い

  • p-進等質空間の球関数

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    p-進体k上定義された代数群Gの等質空間Xのk-有理点の全体をXとし、Gのk-有理点全体Gとその極大コンパクト部分群Kに関するヘッケ環H(G, K)を考える。ヘッケ環に関する同時固有関数となるX上の関数は、X上の球関数と呼ばれ、整数論的にも表現論的にも興味深い研究対象である。Gの放物部分群に関する相対不変式となるX上の正則関数からX上の球関数の典型例が構成できる。さらに、放物部分群の軌道に関する一定の仮定の下に、Xの球関数の明示式を、その関数等式と群上の球関数の明示式の双方を組み合わせて求める方法を開発した。それは、たとえば整数論的に興味深い対象である対称形式やエルミート形式の空間に適用できる。これらの空間では、表現の局所密度の生成関数として球関数をとらえることができ、相互に密接な関係を持っている。局所密度の明示式を求めることは整数論の古典的な問題である。不分岐エルミート行列の空間では、上の方法を用いて球関数の明示式を与え、K-不変でコンパクトな台のX上の関数のなす空間S(K\X)のヘッケ環加群としての構造や、すべての球関数のパラメトライズもなされた。また、球関数を基にして、2通りの方法で局所密度の明示式を求めた。指標和(ガウス和)を用いて合同部分群の作用に関する対称形式の代表系に関する和として局所密度を表示する方法を佐藤氏との共同研究で開発した。そこで、合同部分群として、岩堀部分群をとることにより、局所密度の明示式をp≠2の場合に完全に求めた。さらに、この方法をエルミート形式にも拡張して、やはり、p≠2のもとで、一般に求めた。分岐拡大から得られるエルミート形式に関しては、初めての明示式である。不分岐拡大の場合には、3通りの明示式が得られたことになる

  • 保型形式と「算術的」ゼータ関数の理論の研究

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    研究代表者は研究期間中の3年間にドイツ、Oberwolfachでの研究集会1回、オータムワークショップ3回、ミニ研究集会2回、計6回の研究集会を開催し、多くの外国人研究者、国内の研究協力者とともに有効な研究を行った。特に3回にわたる合宿形式のオータムワークショップでは、Koecher-Maass級数、Eisenstein級数、保型形式の次元公式のそれぞれのテーマで当初予定したとおりの進行で算術的ゼータ関数の基礎と発展を研究し、かなり満足できる成果をあげるとともに、成果を総ページ数640頁の3冊からなる報告集としてまとめた。これは今後の研究の基礎文献といって良いと思う。具体的には、研究代表者は、任意のtube domain上の保型形式に対するKoecher Maass級数の定義と解析接続及び関数等式の確定、Eisensetein級数等のリフティングに近い保型形式のKoecher-Maass級数の具体的な公式(桂田英典と共同)等で「算術的」ゼータ関常としての意義を確立するとともに、保型形式の次元公式へのべき単元の寄与が概均質ベクトル空間のゼータ関数の特殊値で記述されると言う一般論などを得た。また、半整数ウェイトのジーゲル保型形式とリフティング予想(林田秀一と共同)、分数ウェイトの保型形式とモジュラー多様体の構造、微分作用素の応用とベクトル値ジーゲル保型形式の構造定理なども得た。分担者もまた論文リストからわかるように、この間きわめて活発に研究をなし、概均質ベクトル空間の球関数やゼータ関数の具体型の公式や収束定理、ヤコービ形式、リフティング、明示的密度公式、アデール幾何学、保型形式における実解析、素数を法とするジーゲル保型形式、fundamental lemma,tube domainでない有界対称領域のフーリエ展開の研究、その他多様な研究をなしており、これらはみな総合的に今回の研究課題の発展につながっている点で、研究課題について十分な成果をあげたと考える。今後は基礎から個々の具体的な応用への発展を期待する段階に来ていると考え、保型形式環等、次の段階の研究を企画中である

  • 概均質ベクトル空間論と表現論・保型形式論の関連の研究

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    本研究では,概均質ベクトル空間のゼータ関数について,(1)関数等式の表現論との関係,(2)保型L関数との関係,(3)非正則空間についての理論の発展,という3つの課題を扱い,次のような成果を得た.(1)研究代表者は,関数等式を一般線型群の退化主系列表現の間の絡作用素と結びつけることにより,ガンマ行列のオイラー型複素べき積分(一種の$c$関数)表示を得た.さらに,変数変換をWeyl群作用とみなし関数等式を分解するという新しい視点から,これまで計算困難であった律雑な空間の関数等式の解析を行った.また,研究代表者と分担者広中は,p進体上のゼータ関数と球関数の関係に基づいて,Sp(n),GI(n)などのEisenstein級数のFourier係数の積分表示,ある球等質空間の球フーリエ変換論を研究した.(2)保型L関数との関係では,実解析的Siegel Eisenstein級数に対応するKoecher-Maass級数が,SO(n, n)の放物型部分群の作用するある概均質ベクトル空間のゼータ関数として得られることを明らかにした.この結果は,他の古典群のEisenstein級数にも拡張可能であり,引き続き研究を進めている.分担者斎藤・伊吹山により,ゼータ関数の明示的表示の研究が進み,既約被約正則概均質ベクトル空間の7割以上について,Riemannゼータ関数,CohenのEisenstein級数のMellin変換を用いた明示的表示が得られた.その結果,開軌道の点における等方部分群の構造とゼータ関数の表示との関係について注目すべき現象が観察されている.この現象の意味を型形式の持ち上げとの関連で解明することは,今後の重要な課題である.(3)非正則空間については,大域的ゼータ関数の一般論の形式的部分の整備を行った.また,分担者行者による実数体上の関数等式の理論の実例計算を行いガンマ行列を決定した

  • 弱球等質空間上の調和解析とその数論的応用

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    研究代表者広中は,以前,W.Casselmanがp進第数群の球関数の明示式を与えた方法を拡張して,ある種の球等質空間の球関数の明示式の公式を与えた.これを今回,GL_n以外の群による,対称空間でない球等質空間としてSp_2×(Sp_1)^2-空間Sp_2に適用して典型的な球関数の明示式の公式やS(K\X)のHecke環加群としての構造を決定し,球関数全体のパラメトラリゼイションを与えた.このときの関数等式を計算した方法を拡張して,ある種の球等質空間上の球関数の関数等式を概均質ベクトル空間の理論を援用して求める方法を考えた.これは,等質空間上の相対不変distributionsの一意性に基づくもので,ワイル群の元に対応する関数等式の存在を保証するものである.Sp_2×(Sp_1)^2-空間Sp_2や,対称形式やエルミート形式の場合などの計算をこの方法でとらえ直すことができる.また,SO(n, n)/S(O(n)×O(n))にBorel部分群に関する球関数にも適用でき,これについては,新しく関数等式が計算された.分担者佐藤との共同研究として,Siegel Eisenstein級数のFourier係数の主要部分,いわゆるSiegel級数のp-部分の新しい積分表示を与えた.この積分表示を用いると,直交群の作用する半単純対称空間SO(n, n)/S(O(n)×O(n))のSiegel型の放物部分群に関する球関数の有限和としてSiegel級数を表すことができる.従って,Siegel級数の関数等式の新しい証明法が得られたことになる.この方法で関数等式の明示的計算を行うことは現在進行中である.その経過としてBorel部分群に関する球関数の関数等式の計算も現れた

  • 代数学における保型形式的構造とゼータ関数の明示的研究

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    研究代表者は研究期間中の4年間に、ドイツOberwolfach研究集会1回、スプリングコンファレンス3回、オータムワークショップ2回(うち1回は学術振興会後援による日独セミナー)、「保型形式とゼータ関数」研究集会1回、整数論ミニ研究集会1回の計8回を開催し、多くの外国人研究者、国内の研究分担者、協力者とともに有効な研究を行った。これらの多くは当科研費で報告集を発行しており、その総ページ数は970ページにのぼる。特に3回にわたる合宿形式のスプリングコンファレンスでは、異分野間の交流をめざし、保型形式環、頂点作用素代数、および最新の話題のそれぞれのテーマで当初予定していたとおりの進行で、保型形式とその周辺分野の研究を行い、研究集会で提示された他分野の予想を解くなど、満足のできる成果をあげ、さらには報告集は今後の研究の基礎資料になっている。具体的な研究成果としては、研究代表者は、次数2の重さ整数および半整数のベクトル値ジーゲル保型形式の間の志村タイプの同型対応予想を離散群とウェイトのを正確に指定した1対1予想の形で精密な実験データとともに提出し、その他、ジーゲル保型形式環の構造と微分作用素、Borcherds積、重さ整数および半整数のベクトル値ジーゲル保型形式の構成、保型形式上の微分作用素から決まるホロノミー系、エータ積の正値性に関するK.Saito予想の一部の証明、各種リフティングのKoecher-Maass級数の研究、ベクトル値ヤコービ形式の研究、分数ウェイトの保型形式環の研究などを行った。分担者もまた論文リストからわかるように、この間、共形場理論、球関数、Whittaker関数、概均質ベクトル空間、ユニタリー群上の保型形式、楕円ルート系、p進保型形式、L-packet,アデール幾何、逆定理、頂点作用素代数、L関数の特殊値、組合せ的デザイン、弱球等質空間、ガロアの逆問題、CAP形式などで研究成果をあげた

  • 対称空間の算術商の構成的幾何学

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    期間中、次のような主な結果を得た.1.SL(3,R)のNon-sphericalな主系列Whittaker関数の明示公式を得た(眞鍋広幸、平野幹との共著).2004年発表.2.IV型領域の算術商の組(X,Y)と、複素超球の算術商の組(X,Y)で、YがXの因子であるとき、YのGreen currentsを保型形式として構成した.2003発表.3.Sp(2,R)のP_J主系列表現の、Siegel-Whittaker関数からWhittaker関数への合流を証明した.論文は印刷中.4.GL(3,C)の主系列表現のWhittaker関数の明示公式を平野幹氏(愛媛大)との共同研究で得た.極小K-typeに属するWhittaker関数の動径成分の級数解・積分表示(変形ベッセル関数によるEuler型のものとガンマ関数の多変数逆Mellin変換によるものの2種類)を得た.研究はまだ進行中.5.階数3の実シンプレクティック群Sp(3,R)のP_J主系列に属するWhitaker関数の明示公式の企画も内容は完成し現在平野幹・石井卓氏(千葉工業大学)のと共著論文を作成中である.6.駒場における、保型形式の月例セミナーを維持した

  • 概均質ベクトル空間のゼータ関数と保型形式の関連

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    本研究の中心課題は、(1)概均質ベクトル空間のゼータ関数と保型形式の関連を明らかにすること、および、(2)概均質ベクトル空間論の枠組みを越えた局所ゼータ関数の関数等式の成立の可能性を探ることであった。(1)保型形式との関係においては、系列型の概均質ベクトル空間のうち5系列について、適当なアイゼンシュタイン級数から定まる標準L関数、ないしは、Koecher-Maassゼータ関数と同定することができた。系列型のうち、一般線型群の2階対称テンソル表現から得られるもの、そして、散在型の空間について研究を進めることが今後の課題である。また、以上の研究と関連して、アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の研究を進め、フーリエ係数のp-部分とp 進半単純対称空間の球関数との関係、素数ベキレベルの種テータ級数の一次独立性とアイゼンシュタイン級数の基底問題などについて、新しい結果が得られた。(2)概均質ベクトル空間論の枠組みに含まれない関数等式の構成という問題については、適当な条件を満たす良い二次写像による引き戻しによって、関数等式を満たす多項式からやはり関数等式を満たす新しい多項式を構成する方法を確立し、それによって、Faraut-Koranyi-Clerc等の先行研究を大いに一般化することができた。さらに、その応用として、2つのクリフォード代数のテンソル積から関数等式を満たす多項式が得られることを示した。以上の結果と概均質ベクトル空間の理論とを統合する視点の発見が今後の課題であり、その解決はゼータ関数にとって本質的に重要な関数等式の成立根拠に新しい光を与えるものになると予想される

  • 多変数保型形式と高次元モジュラー多様体の解析・幾何・整数論

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    研究課題(C)とした、半単純Lie群の行列係数に関しては、SU(2, 2)のmiddle discrete seriesの場合に、漸近展開に関して新たな結果を得た(古関春隆、早田孝博との共同研究)。SU(3, 1)の離散家列表現の行列係数に関する明示公式の研究を進め、ほぼ完成させた(古関・早田との共同研究)。Sp(2, R)のある一般化主系列行列係数の漸近展開を利用してc-関数を明示的に求めた(飯田正敏との共同研究)。種数2のジーゲル・モジュラー群の基本領域の0-cellの研究を推し進めた(早田孝博との共同研究)

  • p進等質空間の球関数とその応用

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    この研究は,数論的に興味のある$ p$進等質空間を球関数を用いて解析し,数論的応用を図ることを目的とした.そのために, (1)等質空間上の典型的な球関数を表す式をなるべく適用範囲が広いように定式化すること, (2)具体的な空間について(1)の表示式から明示式を求め,それを基に空間の調和解析的研究をすること, (3)数論的にとして対称形式やエルミート形式の空間について,表現の局所密度など数論的量を求めることを目標として行った.もっとも重要な成果は,不分岐ユニタリ・エルミート行列の空間上の球関数を明示的にとらえ,それを用いてこの空間の解析できたことである

  • 概均質ベクトル空間のゼータ関数の研究

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    この研究では、代数群の不変式からゼータ関数を組織的に構成する概均質ベクトル空間の理論を、(1)Eisenstein級数の周期との関係、(2)概均質ベクトル空間のゼータ関数を保型形式のKoecher-Maassゼータ関数との関係、(3)概均質性のない群作用の不変式の場合へのゼータ関数の拡張、という3つの視点から研究した。最も重要な成果は、非退化二次写像を利用し、関数等式を満たす非概均質的な4次形式のゼータ関数を構成したことである

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特定課題研究

  • 弱球等質空間上のp進球関数とその数論的応用

    2007年  

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    極小放物型部分群が開軌道をもつような$p$進体上定義されている等質空間を考え,この上の球関数を研究する.それらは,典型例としては,この放物型部分群に関する相対不変式を極大コンパクト開部分群について平均した関数として得られる.独立な相対不変式の個数が放物型部分群の階数より小さくとも,もとの群からの情報と球関数の関数等式を組み合わせて,球関数を定式化することができる.さらに,かなり多くの例を含むような類の等質空間について,その関数等式が,特殊な形の小さな次元の概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数の関数等式に帰着することが分かる.これらの結果の一部を,$p$進群上の球関数ワークショップ(玉原国際セミナーハウス, 2007.7.29 -- 8.3),Modulformen(ドイツ Oberwolfach高等数学研究所,2007.10.28 -- 11.3), ゼータ関数と$L$関数(日仏冬の学校,三浦海岸,2008.1.8 --11) で講演した.出張旅費をこの研究経費でまかなえたことにより,研究発表ができ,また,研究集会に出席して議論することにより新たな知見を得ることもできて感謝している.関連する書籍の購入もできて,研究推進に役立った.

  • p進等質空間の球関数とその応用

    2006年  

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    Mannheim大学の Siegfried Boecherer 氏と立教大学の佐藤文広氏とは,引き続き密接な連絡をとりつつ共同研究を行い,以下のような結果をまとめることができた.対称形式の局所密度は,その生成関数が典型的な球関数であるが,これを表現される対称形式についての関数とみて,一次独立になるような,元になる対称形式のよい系列を与えた.対称形式からJacobi形式を構成することにより,大域的なSiegel保型形式の理論に応用される.Siegel保型形式の空間の中で,Jacobi形式によって張られる部分空間を考える.それは,考えている空間のlevelが平方因子をもたなければ,全空間に一致し,平方因子をもつときは,別の言葉で特徴付けされる部分空間に含まれることが分かる.これらの結果の一部は,京都大学数理解析研究所での保型形式研究集会(2006.1.15 -- 19)や,浜松で開かれた保型形式周辺分野スプリングコンフェランス(2006.2.5 -- 9)で紹介された.出張旅費をこの研究経費でまかなえたことにより,研究連絡や発表ができ,また,研究集会に出席し,討論することにより新たな知見を得ることもできて感謝している.関連する書籍の購入もできて,研究推進に役立った.

  • p進等質空間の球関数と局所密度

    2001年  

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    以前,指標和(ガウス和)を用いて合同部分群の作用に関する対称形式の代表系に関する和として局所密度を表示する方法を立教大学の佐藤文広氏との共同研究で開発している.対称形式の場合に適用し,合同部分群として,岩堀部分群をとることにより,局所密度の明示式を剰余体標数が奇数の場合に完全に求めた.今回は,この方法をエルミート形式にも拡張して,やはり,剰余体標数が奇数の場合に,一般に求めた.分岐拡大から得られるエルミート形式に関しては,初めての明示式である.不分岐拡大の場合には,3通りの明示式が得られたことになる.二次形式の局所密度に付随する Kitaoka 級数(これは有理関数となる)の分母について,以前の結果を見直し改良した.表現する行列のサイズが偶数のときは,unimodular行列のときと同様に,以前に比べてほぼ半分の分母となることが分かった.二次形式の居所密度に関しては,以前、立教大学の佐藤文広氏との共同研究において,ある明示式を与えているが,それから局所密度相互の関係を読み取ることは困難である.この Kitaoka 級数に関する結果は,局所密度の明示式が改良されるべきものであることも示唆している.また,対称空間ではない球等質空間として,Sp_2 x (Sp_1)^2 が作用する空間 Sp_2 を取り上げて研究した.この空間上の球関数論を構成する端緒として,この空間のカルタン分解を考察し,球関数の明示式を与えた.

  • p進等質空間の球関数

    1998年  

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    p-進体k上定義された代数群Gの等質空間Xのk-有理点の全体をXとし、Gのk-有理点全体Gとその極大コンパクト部分群Kに関するヘッケ環H(G,K)を考える。ヘッケ環に関する同時固有関数となるX上の関数は、X上の球関数と呼ばれ、整数論的にも表現論的にも興味深い研究対象である。 Gの放物部分群に関する相対不変式となるX上の正則関数からX上の球関数の典型例が構成できる。さらに、一定の仮定の下に、Xの球関数の明示式を、その関数等式と群上の球関数の明示式の双方を組み合わせる事で与える事ができている。それは、たとえば整数論的に興味深い対象である対称形式やエルミート形式の空間に適用できる。これらの空間では、球関数と、表現の局所密度とは密接な関係を持ち、後者を求めることは整数論の古典的な問題である。 不分岐エルミート行列の空間では、球関数の明示式を与え、K-不変でコンパクトな台のX上の関数のなす空間S(K\X)のヘッケ環加群としての構造や、すべての球関数のパラメトライズもなされた。また、局所密度についても明示式が得られた。 対称形式の場合も次数が少ない場合には球関数の明示式を得ることができるが、一般には困難である。分岐エルミート形式の場合も球関数、局所密度とも残された部分は多い。 一方、局所密度については、指標和(ガウス和)を用いた別のアプローチも可能である。佐藤文広氏との共同研究により、こちらの方法で対称形式の局所密度の明示式を得ることができた。これを球関数の理論に逆に応用できないかどうかは今後の課題である。

海外研究活動

  • p進弱球等質空間の球関数の研究

    2005年03月
    -
    2006年03月

    フランス   ストラスブール大学高等数学研究所

    ドイツ   マンハイム大学数学研究所