広中 由美子 (ヒロナカ ユミコ)

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所属

教育・総合科学学術院 教育学部

職名

教授

兼担 【 表示 / 非表示

  • 教育・総合科学学術院   大学院教育学研究科

  • 附属機関・学校   グローバルエデュケーションセンター

学内研究所等 【 表示 / 非表示

  • 2020年
    -
    2022年

    理工学術院総合研究所   兼任研究員

学歴 【 表示 / 非表示

  •  
    -
    1982年

    筑波大学   数学  

学位 【 表示 / 非表示

  • Doctor of Science

  • 筑波大学   理学博士

経歴 【 表示 / 非表示

  • 1992年
    -
    1998年

    信州大学理学部 助教授

  • 1998年
    -
     

    早稲田大学教育学部 教授

  • 1982年
    -
    1992年

    信州大学理学部 助手

所属学協会 【 表示 / 非表示

  •  
     
     

    日本数学会

 

研究分野 【 表示 / 非表示

  • 代数学

研究キーワード 【 表示 / 非表示

  • 数論、

論文 【 表示 / 非表示

  • Harmonic analysis on the space of p-adic unitary hermitian matrices, mainly for dyadic case

    Yumiko Hironaka

    Tokyo Journal of Mathematics   40 ( 2 ) 517 - 564  2017年12月

     概要を見る

    We are interested in harmonic analysis on p-adic homogeneous spaces based on spherical functions. In the present paper, we investigate the space X of unitary hermitian matrices of size m over a p-adic field k mainly for dyadic case, and give the unified description with our previous papers for non-dyadic case. The space becomes complicated for dyadic case, and the set of integral elements in X has plural Cartan orbits. We introduce a typical spherical function ω(x
    z) on X, study its functional equations, which depend on m and the ramification index e of 2 in k, and give its explicit formula, where Hall-Littlewood polynomials of type Cn appear as a main term with different specialization according as the parity m = 2n or 2n + 1, but independent of e. By spherical transform, we show the Schwartz space S(K\\X) is a free Hecke algebra H(G, K)-module of rank 2n, and give parametrization of all the spherical functions on X and the explicit Plancherel formula on S(K\\X). The Plancherel measure does not depend on e, but the normalization of G-invariant measure on X depends.

    DOI

  • Harmonic analysis on the space of p-adic unitary hermitian matrices, mainly for dyadic case

    Hironaka, Yumiko

    Tokyo Journal of Mathematics   40 ( 2 ) 517 - 564  2017年12月

     概要を見る

    We are interested in harmonic analysis on p-adic homogeneous spaces based on spherical functions. In the present paper, we investigate the space X of unitary hermitian matrices of size m over a p-adic field k mainly for dyadic case, and give the unified description with our previous papers for non-dyadic case. The space becomes complicated for dyadic case, and the set of integral elements in X has plural Cartan orbits. We introduce a typical spherical function ω(x; z) on X, study its functional equations, which depend on m and the ramification index e of 2 in k, and give its explicit formula, where Hall-Littlewood polynomials of type C n appear as a main term with different specialization according as the parity m = 2n or 2n + 1, but independent of e. By spherical transform, we show the Schwartz space S(K\X) is a free Hecke algebra H(G, K)-module of rank 2 n , and give parametrization of all the spherical functions on X and the explicit Plancherel formula on S(K\X). The Plancherel measure does not depend on e, but the normalization of G-invariant measure on X depends.

    DOI

  • Zeta functions of finite groups by enumerating subgroups

    Yumiko Hironaka

    Communications in Algebra   45   3365 - 3376  2017年  [査読有り]

  • Zeta functions of finite groups by enumerating subgroups

    Yumiko Hironaka

    COMMUNICATIONS IN ALGEBRA   45 ( 8 ) 3365 - 3376  2017年  [査読有り]

     概要を見る

    For a finite group G, we consider the zeta function zeta G(s) = Sigma(H)vertical bar H vertical bar(-s), where H runs over the subgroups of G. First we give simple examples of abelian p-group G and non-abelian p-group G' of order p(m), m >= 3 for odd p (resp. 2(m), m >= 4) for which zeta G(s) = zeta(G')(s) . Hence we see there are many non-abelian groups whose zeta functions have symmetry and Euler product, like the case of abelian groups. On the other hand, we show that zeta(G)(s) determines the isomorphism class of G within abelian groups, by estimating the number of subgroups of abelian p-groups. Finally we study the problem which abelian p-group is associated with a non-abelian group having the same zeta function.

    DOI

  • 有限群の部分群に関するゼータ関数 (有限群とその表現、頂点作用素代数、代数的組合せ論の研究)

    広中 由美子

    数理解析研究所講究録   1965   50 - 65  2015年10月

    CiNii

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共同研究・競争的資金等の研究課題 【 表示 / 非表示

  • 球関数に基づくp進等質空間の調和解析的研究

    研究期間:

    2016年04月
    -
    2020年03月
     

     概要を見る

    引き続き,$p$進体上の division quaternion 上のエルミート形式の空間 $X$ の研究を主に進めた.この空間に作用している群はdivision quaternion 上の一般線形群なので,これ自体の球関数は,佐武一郎の結果までさかのぼれて,最も標準的なマクドナルド多項式(むしろ Hall-Littlewood多項式と言うべき)によって記述されている.この quaternion エルミート形式の空間でも,体上のエルミート形式や対称形式などと同様に,球関数を局所密度の生成関数としてとらえられる.球関数の明示式の主要項には,エルミート形式のタイプによって,異なる形の新たなマクドナルド多項式が現れるが,正規化は共通にできる.それによる球フーリエ変換で,$X$上の急減少関数の空間は,対称ローラン多項式環の中に移される.サイズ1,2のときは全射となるが,一般には真のイデアルとなると予想される.サイズ3,4のときには,実際に球フーリエ変換像の2個からなる生成元を与えた.引き戻して,$X$上の急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元が得られた.また,このようなquaternionエルミート形式の空間の研究に示唆されて, 以前扱っていた$p$進体上の分岐エルミート形式の研究を見直しが進んだ.こちらは,同じ固有関数に対応する球関数の次元が上がるので,指標を導入する必要があるが,その指標の種類によっては,quaternionエルミート形式の場合によく似た明示式が与えられ,球関数の主要部として,新たな形のマクドナルド多項式が現れる.この空間の研究は,対称形式の空間の研究に役立つと思われる.division quaternion 上の エルミート形式の空間の球関数について研究が進み,球フーリエ変換像についての計算機を用いての考察により,サイズ3,4のときの球フーリエ変換像の決定や,引き戻しての球減少関数の空間の生成系がとらえられた.この研究には,Mathematica や Grebner基底を用いる Macaulay2 などの計算ソフトが役立った.また,体上の分岐エルミート形式の研究の見直しが可能となり,この空間の球関数の表示式の考察が進んだ.division quaternion 上のエルミート形式の空間の調和解析的考察として,急減少関数の空間のヘッケ環加群としての生成元,球フーリエ変換の像,Plancherel 測度について研究する.球フーリエ変換像について,サイズ4以下では分かったが,一般サイズの場合に決定することは今後の問題である.剰余体標数が偶数(dyadic)の場合に,同じような議論は成立しない部分が多いが,どこまでできるかはやはり興味がある.$p$進体上の分岐エルミート形式の空間についても,研究を進めたい.これ以外にも類似の空間について,視野を広げて研究を進めていきたい.引き続き,立教大学の小森靖氏を連携研究者として迎えて,特にMacdonald 多項式関係の部分の研究を進める予定である.概均質ベクトル空間の理論も,等質空間上の球関数には密接につながりがある.元立教大学の佐藤文広氏に協力して早稲田大学において定期的にセミナーを開催している.ここで,概均質ベクトル空間関係の研究者との研究連絡を図っている.また,研究集会「数論女性の集まり」も引き続き世話人として関わり,自分自身の研究発表をして批評を仰ぐとともに,関連する研究者の講演や討論を踏まえて,この研究を進めていく予定である

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    研究期間:

    2012年04月
    -
    2016年03月
     

     概要を見る

    この研究は,数論的に興味のある $p$進等質空間として,特にユニタリ・エルミート行列の空間について球関数に基づく研究である.研究代表者が既に得ていた一般的な球関数の表示式を適用できる.今回作用している群は,行列のサイズの偶奇により対応するルート型は変わり,空間のカルタン分解の形は剰余体標数には依って非対角型も現れる.まず基礎体の剰余体標数が奇数の場合に,行列サイズの偶奇に分けて,球関数に基づく空間の調和解析的研究を行い,次に剰余体体標数が偶数の場合を対比させながら扱った.球関数の次元やヘッケ環加群としてのシュバルツ空間の構造は,統一的な定式化ができる

  • 多様な手法による多変数保型形式の数論的研究

    研究期間:

    2011年05月
    -
    2015年03月
     

     概要を見る

    Lie群GL(n,R), Sp(2,R), SU(3,1)の標準的な表現のWhittaker関数や、球関数の動径成分の明示的な積分表示や級数展開表示など基本的な結果を得た:GL(n,R)のクラス1でない主系列Whittaker関数の明示公式は1980年代のBumpなどの30年の研究史に一応のピリオドを打ち今後は応用が期待できる(成蹊大・石井卓と共同研究)。SU(2,1), SU(3,1) の離散系列表現の明示公式(山形大・早田孝博、三重大・古関春隆、北里大・宮崎直などとの共同研究)。種数2のSiegelモジュラー群の基本領域のcell分解に関連する研究上の予想を一つ解決(早田との共同研究)

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    基盤研究(C)

    研究期間:

    2012年
    -
    2015年
     

     概要を見る

    2013年度は主に,$p$ 進体上の不分岐ユニタリ・エルミート行列の空間$X$について研究した,但し 剰余体標数は奇数とする.逆対角線上に$1$ が $2n+1$ 個ならぶ行列を固定するユニタリ群 $G$ をとり,これを $k$ 上定義されたユニタリ群の$k$-有理点集合とみなしておく.$G$ 内のエルミート行列で,代数的閉体上で単位行列を含む軌道の有理点集合を $X$とする.$K$ を $G$ の整点からなる極大コンパクト部分群とする.$G$ が作用する空間 $X$ をヘッケ環 $H(G,K)$ の作用を通して解析したい.$X$上の球関数とは,$X$ から複素数体へのヘッケ環同時固有関数を意味し,これを具体的に求めることは基本的かつ重要な問題である.
    まず,この空間$X$ の $K$-軌道分解(カルタン分解)を与え,$X$上の典型的な球関数 $\omega(x;s)$ を定義し,その関数等式や極・零点の位置を調べた,ここで$x \in X$ で,行列のサイズ $2n+1$ に対し,$s \in \C^n$ ($n$ 次の複素変数)である.群 $G$ は$BC_n$ 型であるが,$\omega(x;s)$ の明示式は,$C_n$型のルート系に付随するマクドナルド多項式の特殊化を主要項として持つ.これを核関数に用いて $X$ 上の球フーリエ変換を定し,$X$ 上のシュバルツ関数の空間 $S(K\backslash X)$ を解析した.球フーリエ変換はヘッケ環 $H(G,K)$ の作用と可換であり,$S(K\backslash X)$ は,階数 $2^n$ の自由ヘッケ環加群であることが分かる.また,これから,$X$上のすべての球関数のなす空間が $n$次元であることが分かり,先の典型的な球関数を用いて,全体の基底を構成した.

  • p進球関数の明示的公式とその応用

    基盤研究(C)

    研究期間:

    2012年
    -
    2015年
     

     概要を見る

    2013年度は主に,$p$ 進体上の不分岐ユニタリ・エルミート行列の空間$X$について研究した,但し 剰余体標数は奇数とする.逆対角線上に$1$ が $2n+1$ 個ならぶ行列を固定するユニタリ群 $G$ をとり,これを $k$ 上定義されたユニタリ群の$k$-有理点集合とみなしておく.$G$ 内のエルミート行列で,代数的閉体上で単位行列を含む軌道の有理点集合を $X$とする.$K$ を $G$ の整点からなる極大コンパクト部分群とする.$G$ が作用する空間 $X$ をヘッケ環 $H(G,K)$ の作用を通して解析したい.$X$上の球関数とは,$X$ から複素数体へのヘッケ環同時固有関数を意味し,これを具体的に求めることは基本的かつ重要な問題である.
    まず,この空間$X$ の $K$-軌道分解(カルタン分解)を与え,$X$上の典型的な球関数 $\omega(x;s)$ を定義し,その関数等式や極・零点の位置を調べた,ここで$x \in X$ で,行列のサイズ $2n+1$ に対し,$s \in \C^n$ ($n$ 次の複素変数)である.群 $G$ は$BC_n$ 型であるが,$\omega(x;s)$ の明示式は,$C_n$型のルート系に付随するマクドナルド多項式の特殊化を主要項として持つ.これを核関数に用いて $X$ 上の球フーリエ変換を定し,$X$ 上のシュバルツ関数の空間 $S(K\backslash X)$ を解析した.球フーリエ変換はヘッケ環 $H(G,K)$ の作用と可換であり,$S(K\backslash X)$ は,階数 $2^n$ の自由ヘッケ環加群であることが分かる.また,これから,$X$上のすべての球関数のなす空間が $n$次元であることが分かり,先の典型的な球関数を用いて,全体の基底を構成した.

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特定課題研究 【 表示 / 非表示

  • 弱球等質空間上のp進球関数とその数論的応用

    2007年  

     概要を見る

    極小放物型部分群が開軌道をもつような$p$進体上定義されている等質空間を考え,この上の球関数を研究する.それらは,典型例としては,この放物型部分群に関する相対不変式を極大コンパクト開部分群について平均した関数として得られる.独立な相対不変式の個数が放物型部分群の階数より小さくとも,もとの群からの情報と球関数の関数等式を組み合わせて,球関数を定式化することができる.さらに,かなり多くの例を含むような類の等質空間について,その関数等式が,特殊な形の小さな次元の概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数の関数等式に帰着することが分かる.これらの結果の一部を,$p$進群上の球関数ワークショップ(玉原国際セミナーハウス, 2007.7.29 -- 8.3),Modulformen(ドイツ Oberwolfach高等数学研究所,2007.10.28 -- 11.3), ゼータ関数と$L$関数(日仏冬の学校,三浦海岸,2008.1.8 --11) で講演した.出張旅費をこの研究経費でまかなえたことにより,研究発表ができ,また,研究集会に出席して議論することにより新たな知見を得ることもできて感謝している.関連する書籍の購入もできて,研究推進に役立った.

  • p進等質空間の球関数とその応用

    2006年  

     概要を見る

    Mannheim大学の Siegfried Boecherer 氏と立教大学の佐藤文広氏とは,引き続き密接な連絡をとりつつ共同研究を行い,以下のような結果をまとめることができた.対称形式の局所密度は,その生成関数が典型的な球関数であるが,これを表現される対称形式についての関数とみて,一次独立になるような,元になる対称形式のよい系列を与えた.対称形式からJacobi形式を構成することにより,大域的なSiegel保型形式の理論に応用される.Siegel保型形式の空間の中で,Jacobi形式によって張られる部分空間を考える.それは,考えている空間のlevelが平方因子をもたなければ,全空間に一致し,平方因子をもつときは,別の言葉で特徴付けされる部分空間に含まれることが分かる.これらの結果の一部は,京都大学数理解析研究所での保型形式研究集会(2006.1.15 -- 19)や,浜松で開かれた保型形式周辺分野スプリングコンフェランス(2006.2.5 -- 9)で紹介された.出張旅費をこの研究経費でまかなえたことにより,研究連絡や発表ができ,また,研究集会に出席し,討論することにより新たな知見を得ることもできて感謝している.関連する書籍の購入もできて,研究推進に役立った.

  • p進等質空間の球関数と局所密度

    2001年  

     概要を見る

    以前,指標和(ガウス和)を用いて合同部分群の作用に関する対称形式の代表系に関する和として局所密度を表示する方法を立教大学の佐藤文広氏との共同研究で開発している.対称形式の場合に適用し,合同部分群として,岩堀部分群をとることにより,局所密度の明示式を剰余体標数が奇数の場合に完全に求めた.今回は,この方法をエルミート形式にも拡張して,やはり,剰余体標数が奇数の場合に,一般に求めた.分岐拡大から得られるエルミート形式に関しては,初めての明示式である.不分岐拡大の場合には,3通りの明示式が得られたことになる.二次形式の局所密度に付随する Kitaoka 級数(これは有理関数となる)の分母について,以前の結果を見直し改良した.表現する行列のサイズが偶数のときは,unimodular行列のときと同様に,以前に比べてほぼ半分の分母となることが分かった.二次形式の居所密度に関しては,以前、立教大学の佐藤文広氏との共同研究において,ある明示式を与えているが,それから局所密度相互の関係を読み取ることは困難である.この Kitaoka 級数に関する結果は,局所密度の明示式が改良されるべきものであることも示唆している.また,対称空間ではない球等質空間として,Sp_2 x (Sp_1)^2 が作用する空間 Sp_2 を取り上げて研究した.この空間上の球関数論を構成する端緒として,この空間のカルタン分解を考察し,球関数の明示式を与えた.

  • p進等質空間の球関数

    1998年  

     概要を見る

    p-進体k上定義された代数群Gの等質空間Xのk-有理点の全体をXとし、Gのk-有理点全体Gとその極大コンパクト部分群Kに関するヘッケ環H(G,K)を考える。ヘッケ環に関する同時固有関数となるX上の関数は、X上の球関数と呼ばれ、整数論的にも表現論的にも興味深い研究対象である。 Gの放物部分群に関する相対不変式となるX上の正則関数からX上の球関数の典型例が構成できる。さらに、一定の仮定の下に、Xの球関数の明示式を、その関数等式と群上の球関数の明示式の双方を組み合わせる事で与える事ができている。それは、たとえば整数論的に興味深い対象である対称形式やエルミート形式の空間に適用できる。これらの空間では、球関数と、表現の局所密度とは密接な関係を持ち、後者を求めることは整数論の古典的な問題である。 不分岐エルミート行列の空間では、球関数の明示式を与え、K-不変でコンパクトな台のX上の関数のなす空間S(K\X)のヘッケ環加群としての構造や、すべての球関数のパラメトライズもなされた。また、局所密度についても明示式が得られた。 対称形式の場合も次数が少ない場合には球関数の明示式を得ることができるが、一般には困難である。分岐エルミート形式の場合も球関数、局所密度とも残された部分は多い。 一方、局所密度については、指標和(ガウス和)を用いた別のアプローチも可能である。佐藤文広氏との共同研究により、こちらの方法で対称形式の局所密度の明示式を得ることができた。これを球関数の理論に逆に応用できないかどうかは今後の課題である。

海外研究活動 【 表示 / 非表示

  • p進弱球等質空間の球関数の研究

    2005年03月
    -
    2006年03月

    フランス   ストラスブール大学高等数学研究所

    ドイツ   マンハイム大学数学研究所

 

現在担当している科目 【 表示 / 非表示

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